高等数学同济教案
高等数学(同济大学版)课程讲解第一章习题课1讲课教案
九、授课效果分析 ：
第一章 函数与极限习题课
一、 主要内容
1. 函数
函数的概念与特性，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数
.
2. 极限
极限定义、运算、性质，两个重要极限，无穷小比较，极限存在准则
.
3. 连续
函数连续的概念，间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质，分段 函数的连续性 .
3. 求 0 或 型未定式的极限 0
例4
(x lim
h)3
x3
h0
h
解
3
3
lim ( x h) x
( x h) lim
x (x h)2
(x h)x x2
h0
h
h0
h
lim ( x h) 2 ( x h) x x2 3x2 .
h0
例 5 lim 2x 3 3 x3 x 1 2
解
lim
2x 3 3
(2 x 3) 9 ( x 1 2) lim
lim
a,
bx0
x0 x
x0 x
当 lim f ( x) lim f (x) f (0) 2 ，即 b 1.5, a 2 时， f (x) 在 x 0 处连续 .
x0
x0
12. 闭区间上连续函数性质的应用
例 22 证明方程 ln(1 ex ) 2 x 0 至少有一个小于 1 的正根 .
证 令 f (x) ln(1 ex ) 2x ,则 f ( x) 在 ( , ) 上连续 ,因而在 [0,1] 上连续 , 且
(e x 2 1) ~
1)2
，
2
2
(ex2 1)2 ( x2 )2 x4
高等数学教案同济大学第七版_0
高等数学教案同济大学第七版《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。
高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。
教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。
基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。
2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求第一章函数与极限通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性，掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。
3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。
4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。
5、掌握极限运算法则。
6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
高数同济7版教案第一章函数与极限
广西民族师范学院数计系《高等数学》课程教案课程代码：061041210总学时/周学时：_________ 51/3开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级：制药本152班使用教材：高等数学同济大学第7版教研室：数学与应用数学教研室授课教师:、课程教学计划表、教案正文第一章函数与极限（一）教学目的：1. 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2•了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3•理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4•掌握基本初等函数的性质及其图形。
5•理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6•掌握极限的性质及四则运算法则。
7•了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8•理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9•理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并会应用这些性质。
(二)重点、难点1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。
2 ．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。
三)教学方法、手段：教师讲授，提问式教学，多媒体教学第一节映射与函数一、映射1. 映射概念定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y.其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即y f(x),元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作D f ,即D f X。
同济高数 教案
第一章函数与极限教学目的:1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性.3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限.9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）,会判别函数间断点的类型.10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。
教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。
§1. 1 映射与函数一、集合1。
集合概念集合（简称集)：集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示.元素：组成集合的事物称为集合的元素。
a是集合M的元素表示为a∈M。
集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来。
例如A={a，b，c, d, e, f, g}。
描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为A=｛a1, a2，⋅⋅⋅，a n｝，M={x ｜x具有性质P }。
例如M=｛(x，y)| x，y为实数, x2+y2=1}。
几个数集:N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集。
同济大学高数教案
课时：2课时教学目标：1. 理解并掌握数系的概念和性质；2. 掌握实数的概念和性质；3. 掌握有理数和无理数的概念和性质；4. 理解实数在数轴上的表示方法；5. 培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。
教学重点：1. 数系的概念和性质；2. 实数的概念和性质；3. 有理数和无理数的概念和性质。
教学难点：1. 实数在数轴上的表示方法；2. 无理数的存在性和无理数的大小比较。
教学准备：1. 教学课件；2. 数轴；3. 多媒体设备。
教学过程：一、导入1. 回顾初等数学中的数系概念，如自然数、整数、有理数等；2. 提出问题：如何将初等数学中的数系扩展到实数域？二、新课导入1. 介绍实数的概念，包括实数的定义、性质和分类；2. 讲解实数在数轴上的表示方法；3. 讲解有理数和无理数的概念和性质；4. 举例说明实数在生活中的应用。
三、巩固练习1. 判断题：实数包括有理数和无理数；2. 选择题：找出下列数中的实数；3. 填空题：实数在数轴上的表示方法。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调实数的概念、性质和在数轴上的表示方法；2. 提出课后作业，巩固所学知识。
五、布置作业1. 完成课后习题，加深对实数概念的理解；2. 观察生活中实数的应用，撰写一篇短文。
教学反思：1. 本节课通过导入、新课导入、巩固练习、课堂小结和布置作业等环节，使学生对实数的概念、性质和表示方法有了全面的理解；2. 在讲解实数在数轴上的表示方法时，结合多媒体设备，使学生在直观、形象地理解实数的同时，提高他们的学习兴趣；3. 课后作业的设计有助于学生巩固所学知识，提高他们的实际应用能力。
同济大学课程教案
课程目标：1. 使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法；2. 培养学生运用高等数学解决实际问题的能力；3. 培养学生的逻辑思维和创新能力。
课程内容：一、绪论1. 高等数学的发展历程及意义；2. 高等数学的基本内容；3. 高等数学的学习方法。
二、一元函数微积分学1. 极限的概念与性质；2. 导数的概念与计算；3. 微分中值定理；4. 高阶导数与高阶微分；5. 原函数与不定积分；6. 定积分的概念与性质；7. 定积分的计算方法；8. 定积分的应用。
三、多元函数微积分学1. 多元函数的概念与性质；2. 偏导数与全微分；3. 多元函数的极值与条件极值；4. 重积分的概念与性质；5. 重积分的计算方法；6. 重积分的应用。
四、无穷级数论1. 级数的基本概念；2. 收敛级数的性质；3. 幂级数与泰勒级数；4. 函数展开与插值；5. 项级数与积分级数。
五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念；2. 常微分方程的解法；3. 常微分方程的应用。
教学方法和手段：1. 讲授法：系统讲解高等数学的基本概念、基本理论和基本方法；2. 讨论法：引导学生积极参与课堂讨论，提高学生的思维能力和创新能力；3. 案例分析法：通过实际案例，使学生掌握高等数学的应用方法；4. 习题课：通过大量的习题训练，提高学生的解题能力；5. 网络教学平台：利用网络教学平台，提供教学资源，方便学生自主学习和交流。
教学进度安排：1. 绪论（2课时）2. 一元函数微积分学（12课时）3. 多元函数微积分学（10课时）4. 无穷级数论（8课时）5. 常微分方程（6课时）考核方式：1. 平时成绩（40%）：包括课堂表现、作业、小测验等；2. 期末考试（60%）：闭卷考试，全面检验学生对高等数学知识的掌握程度。
教学资源：1. 《高等数学》教材；2. 教学课件；3. 网络教学平台；4. 习题库。
通过本课程的学习，使学生具备扎实的高等数学基础，为后续专业课程的学习打下良好基础。
同济大学高等数学教案
教案标题：同济大学高等数学教学计划一、教学目标本课程旨在帮助学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法，培养学生的逻辑思维能力、创新意识和实际应用能力。
通过本课程的学习，学生应能熟练运用高等数学知识解决实际问题，为后续专业课程的学习和科学研究打下坚实的基础。
二、教学内容1. 函数与极限1.1 函数的概念、性质和图像1.2 极限的定义和性质1.3 无穷小和无穷大1.4 极限的运算法则1.5 极限的存在性判断2. 导数与微分2.1 导数的定义和性质2.2 导数的运算法则2.3 高阶导数2.4 隐函数和参数方程函数的导数2.5 微分及其应用3. 微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔定理3.2 拉格朗日中值定理3.3 柯西中值定理3.4 泰勒公式3.5 导数在函数性质分析中的应用4. 不定积分4.1 不定积分的概念和性质4.2 基本积分公式4.3 换元积分法4.4 分部积分法4.5 不定积分在实际问题中的应用5. 定积分及其应用5.1 定积分的概念和性质5.2 定积分的运算法则5.3 定积分的换元法和分部法5.4 定积分的应用（如面积、体积、弧长等）6. 微分方程6.1 微分方程的概念和分类6.2 线性微分方程6.3 非线性微分方程6.4 微分方程的求解方法6.5 微分方程在实际问题中的应用三、教学方法1. 讲授法：通过系统、生动的讲解，使学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法。
2. 案例分析法：结合具体实例，让学生了解高等数学在实际问题中的应用。
3. 练习法：布置适量的课后习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
4. 讨论法：组织学生进行课堂讨论，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
5. 实验法：结合数学软件，让学生亲身体验高等数学的实践操作。
四、教学安排1. 授课时间：共计16周，每周2课时。
2. 课后习题：每节课后布置相应的习题，要求学生独立完成。
3. 课堂讨论：每学期组织2-3次课堂讨论，学生可就所学内容提出疑问或分享自己的见解。
《高等数学》(同济六版)教学★
平行 ? 写出其切线方程.
解:
令
得
相应
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线
平行旳切线方程分别为
即
故在原点 (0 , 0) 有铅直切线
四、 函数旳可导性与连续性旳关系
定理1.
证:
设
在点 x 处可导,
存在 ,
所以必有
其中
故
所以函数
在点 x 连续 .
注意: 函数在点 x 连续，但在该点未必可导.
证明中利用了两个主要极限
初等函数求导问题
本节内容
一、四则运算求导法则
定理1.
旳和、
差、
积、
商 (除分母
为 0旳点外) 都在点 x 可导,
且
下面分三部分加以证明,
并同步给出相应旳推论和
例题 .
此法则可推广到任意有限项旳情形.
证: 设
则
故结论成立.
例如,
(2)
证: 设
则有
故结论成立.
推论:
( C为常数 )
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导.
即
在点
旳某个右 邻域内
五、 单侧导数
若极限
则称此极限值为
记作
即
(左)
(左)
例如,
在 x = 0 处有
定义2 . 设函数
有定义,
存在,
定理2. 函数
在点
且
简写为
定理3. 函数
(左)
(左)
若函数
与
都存在 ,
则称
显然:
在闭区间 [a , b] 上可导
可导, 且
则
时, 有
同济大学数学教案
课程名称：高等数学授课班级：数学与应用数学专业本科三年级授课教师：张华教学时间：2课时教学目标：1. 知识目标：掌握导数的概念、定义和性质，了解微分中值定理，能够熟练运用导数解决实际问题。
2. 能力目标：培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
3. 素质目标：培养学生严谨的学术态度、团结协作的精神和终身学习的意识。
教学重点：1. 导数的概念和性质2. 微分中值定理3. 导数在解决实际问题中的应用教学难点：1. 导数的概念和性质的证明2. 微分中值定理的应用教学过程：一、导入1. 复习上一节课所学内容，回顾函数、极限等相关概念。
2. 引入导数的概念，提出本节课的学习目标。
二、讲授新课1. 导数的概念（1）讲解导数的定义：导数是函数在某一点处的变化率，反映了函数的局部性质。
（2）举例说明导数的几何意义：导数表示函数在某一点处的切线斜率。
（3）讲解导数的性质：导数满足线性性质、连续性质、可导性质等。
2. 微分中值定理（1）介绍拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
（2）介绍柯西中值定理：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且g'(x)≠0，那么至少存在一点ξ∈(a, b)，使得[f'(ξ)/g'(ξ)] = [f(b) - f(a)]/[g(b) - g(a)]。
（3）讲解拉格朗日中值定理和柯西中值定理的应用。
3. 导数在解决实际问题中的应用（1）讲解利用导数求解函数的单调性、极值和最值。
（2）讲解利用导数求解函数的切线方程和法线方程。
（3）讲解利用导数求解函数的实际应用问题。
三、课堂练习1. 判断下列函数在指定区间内的单调性。
2. 求下列函数的极值和最值。
3. 求下列函数的切线方程和法线方程。
同济大学高等数学教案第一章函数、极限与连续
特别地，若我们所讨论问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为 ）中进行，集合 是 的子集，此时称 为 的余集（或补集），记作 或 .
3、设 是两个非空的集合，则由有序数对 组成的集合
称为 与 的直积.
4、设 和 都是实数，且 ，数集 称为开区间，记作 ，即
.
和 称为开区 的端点，其中 为左端点， 为右端点，且 ， .
数集 称为闭区间，记作 ，即
.
和 也称为闭区间 的端点，且 ， .
5、邻域
设 与 为两个实数，且 ，数集 称为点 的 邻域，记作 ，即
，
其中 称作 的中心， 称作 的半径.
6、基本初等函数
中学时我们已经学习过的许多函数，比如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等，它们统称为基本初等函数.我们把由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合所构成的并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数.
高等数学教学教案
第一章函数、连续与极限
授课序号01
教学基本指标
教学课题
第一章第一节集合与函数
课的类型
复习、新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
函数的定义域，函数的性质，复合函数性质，分段函数，三角函数性质与公式
教学难点
分段函数图形
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
极限的性质
教学难点
用定义证明极限
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
同济大学高数第七版教案
一、教学目标1. 知识目标：（1）掌握函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等基本概念；（2）理解并掌握极限、导数、积分等基本运算方法；（3）了解数学在工程、科学等领域的应用。
2. 能力目标：（1）培养逻辑思维能力和分析问题的能力；（2）提高解决实际问题的能力；（3）提高自学能力和团队合作能力。
3. 情感目标：（1）激发学生对高等数学的兴趣和热情；（2）培养学生严谨、求实的科学态度；（3）培养学生的创新精神和团队协作精神。
二、教学内容1. 函数与极限2. 导数与微分3. 微分中值定理与导数的应用4. 不定积分5. 定积分及其应用6. 微分方程三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数与极限的基本概念；（2）导数与微分的基本概念；（3）不定积分与定积分的基本概念；（4）微分方程的基本概念。
2. 教学难点：（1）极限的运算法则；（2）导数与微分的应用；（3）不定积分与定积分的应用；（4）微分方程的求解方法。
四、教学方法1. 讲授法：讲解基本概念、基本理论，引导学生理解、掌握；2. 例题法：通过例题讲解，帮助学生理解和应用所学知识；3. 习题法：布置课后习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力；4. 讨论法：组织课堂讨论，激发学生思维，培养团队合作精神。
五、教学过程1. 导入新课：介绍本节课的学习内容，激发学生学习兴趣。
2. 讲解新知识：（1）函数与极限：讲解函数、极限、连续性等基本概念，并举例说明；（2）导数与微分：讲解导数、微分等基本概念，并举例说明；（3）微分中值定理与导数的应用：讲解微分中值定理，并举例说明导数在求解实际问题中的应用；（4）不定积分：讲解不定积分的概念、基本方法，并举例说明；（5）定积分及其应用：讲解定积分的概念、基本方法，并举例说明定积分在求解实际问题中的应用；（6）微分方程：讲解微分方程的基本概念、解法，并举例说明。
3. 课堂练习：布置课后习题，让学生巩固所学知识。
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第03章-中值定理与导数的应用
第三章 中值定理与导数的应用教学目的：1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
6、 知道方程近似解的二分法及切线性。
教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。
教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。
§3. 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)),那么f '(x 0)=0.罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0.简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立.(2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(a , b ). 于是0)()(lim )()(≥--='='-→-ξξξξξx f x f f f x , 0)()(lim )()(≤--='='+→+ξξξξξx f x f f f x , 所以f '(x )=0.罗尔定理的几何意义:二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ<b ), 使得等式f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )成立.拉格朗日中值定理的几何意义:f '(ξ)=ab a f b f --)()(, 定理的证明: 引进辅函数令 ϕ(x )=f (x )-f (a )-a b a f b f --)()((x -a ). 容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: ϕ(a )=ϕ(b )=0, ϕ(x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且ϕ '(x )=f '(x )-ab a f b f --)()(. 根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点ξ, 使ϕ '(ξ)=0, 即f '(ξ)-a b a f b f --)()(=0. 由此得 ab a f b f --)()(= f '(ξ) , 即 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ).定理证毕.f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b <a 也成立.拉格朗日中值公式的其它形式:设x 为区间[a , b ]内一点, x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0), 则在[x , x +∆x ] (∆x >0)或[x +∆x , x ] (∆x <0)应用拉格朗日中值公式, 得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y , 则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较: d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式, 而f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理:定理 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1<x 2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x 1) (x 1<ξ< x 2).由假定, f '(ξ)=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即f (x 2)=f (x 1).因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数.例2. 证明当x >0时, x x xx <+<+)1ln(1. 证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ<x 。
同济高数 教案
第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。
教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。
§1.1映射与函数一、集合1.集合概念集合(简称集):集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C….等表示.元素:组成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表示为a M.集合的表示:列举法:把集合的全体元素一一列举出来.例如A?{a,b,c,d,e,f,g}.描述法:若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为A?{a1,a2,???,a n},M?{x|x具有性质P}.例如M?{(x,y)|x,y为实数,x2?y2?1}.几个数集:N表示所有自然数构成的集合,称为自然数集.N?{0,1,2,?????,n,?????}.N??{1,2,?????,n,?????}.R表示所有实数构成的集合,称为实数集.Z表示所有整数构成的集合,称为整数集.Z?{?????,?n,?????,?2,?1,0,1,2,?????,n,?????}.Q表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.子集:若x?A,则必有x?B,则称A是B的子集,记为A?B(读作A包含于B)或B?A.如果集合A与集合B互为子集,A?B且B?A,则称集合A与集合B相等,记作A?B.若A?B且A?B,则称A是B的真子集,记作A≠⊂B.例如,N≠⊂Z≠⊂Q≠⊂R.不含任何元素的集合称为空集,记作?.规定空集是任何集合的子集.2.集合的运算设A、B是两个集合,由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并),记作A?B,即A?B?{x|x?A或x?B}.设A、B是两个集合,由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交),记作A?B,即A?B?{x|x?A且x?B}.设A、B是两个集合,由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差),记作A\B,即A\B?{x|x?A且x?B}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.此时,我们称集合I为全集或基本集.称I\A为A的余集或补集,记作A C.集合运算的法则:设A、B、C为任意三个集合,则(1)交换律A?B?B?A,A?B?B?A;(2)结合律(A?B)?C?A?(B?C),(A?B)?C?A?(B?C);(3)分配律(A?B)?C?(A?C)?(B?C),(A?B)?C?(A?C)?(B?C);(4)对偶律(A?B)C?A C?B C,(A?B)C?A C?B C.(A?B)C?A C?B C的证明:x?(A?B)C?x?A?B?x?A且x?B?x?A C且x?B C?x?A C?B C,所以(A?B)C?A C?B C.直积(笛卡儿乘积):设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新元素,它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积,记为A?B,即A?B?{(x,y)|x?A且y?B}.例如,R?R?{(x,y)|x?R且y?R}即为xOy面上全体点的集合,R?R常记作R2.3.区间和邻域有限区间:设a<b,称数集{x|a<x<b}为开区间,记为(a,b),即(a,b)?{x|a<x<b}.类似地有[a,b]?{x|a?x?b}称为闭区间,[a,b)?{x|a?x<b}、(a,b]?{x|a<x?b}称为半开区间.其中a和b称为区间(a,b)、[a,b]、[a,b)、(a,b]的端点,b?a称为区间的长度.无限区间:[a,??)?{x|a?x},(??,b]?{x|x<b},(??,??)?{x||x|<??}.区间在数轴上的表示:邻域:以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a).设?是一正数,则称开区间(a??,a??)为点a的?邻域,记作U(a,?),即U(a,?)?{x|a??<x<a??}?{x||x?a|<?}.其中点a称为邻域的中心,?称为邻域的半径.去心邻域U(a,?):U(a,?)?{x|0<|x?a|<?}二、映射1.映射的概念定义设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作f:X?Y,其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即y?f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作D f,即D f?X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记为R f,或f(X),即R f?f(X)?{f(x)|x?X}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域D f?X;集合Y,即值域的范围:R f?Y;对应法则f,使对每个x?X,有唯一确定的y?f(x)与之对应.(2)对每个x?X,元素x的像y是唯一的;而对每个y?R f,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域R f 是Y 的一个子集,即R f ?Y ,不一定R f ?Y . 例1设f :R ?R ,对每个x ?R ,f (x )?x 2.显然,f 是一个映射,f 的定义域D f ?R ,值域R f ?{y |y ?0},它是R 的一个真子集.对于R f 中的元素y ,除y ?0外,它的原像不是唯一的.如y ?4的原像就有x ?2和x ??2两个.例2设X ?{(x ,y )|x 2?y 2?1},Y ?{(x ,0)||x |?1},f :X ?Y ,对每个(x ,y )?X ,有唯一确定的(x ,0)?Y 与之对应. 显然f 是一个映射,f 的定义域D f ?X ,值域R f ?Y .在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x 轴的区间[?1,1]上. (3)f :]2 ,2[ππ-?[?1,1],对每个x ?]2,2[ππ-,f (x )?sin x .f 是一个映射,定义域D f ?]2,2[ππ-,值域R f ?[?1,1].满射、单射和双射:设f 是从集合X 到集合Y 的映射,若R f ?Y ,即Y 中任一元素y 都是X 中某元素的像,则称f 为X 到Y 上的映射或满射;若对X 中任意两个不同元素x 1?x 2,它们的像f (x 1)?f (x 2),则称f 为X 到Y 的单射;若映射f 既是单射,又是满射,则称f 为一一映射(或双射). 上述三例各是什么映射？ 2.逆映射与复合映射设f 是X 到Y 的单射,则由定义,对每个y ?R f ,有唯一的x ?X ,适合f (x )?y ,于是,我们可定义一个从R f 到X 的新映射g ,即 g :R f ?X ,对每个y ?R f ,规定g (y )?x ,这x 满足f (x )?y .这个映射g 称为f 的逆映射,记作f ?1,其定义域1-f D ?R f ,值域1-f R ?X .按上述定义,只有单射才存在逆映射.上述三例中哪个映射存在逆映射？ 设有两个映射 g :X ?Y 1,f :Y 2?Z ,其中Y 1?Y 2.则由映射g 和f 可以定出一个从X 到Z 的对应法则,它将每个x ?X 映射成f [g (x )]?Z .显然,这个对应法则确定了一个从X 到Z 的映射,这个映射称为映射g 和f 构成的复合映射,记作f o g ,即 f o g :X ?Z ,(f o g )(x )?f [g (x )],x ?X . 应注意的问题:映射g 和f 构成复合映射的条件是:g 的值域R g 必须包含在f 的定义域内,R g ?D f .否则,不能构成复合映射.由此可以知道,映射g 和f 的复合是有顺序的,f o g 有意义并不表示g o f 也有意义.即使f o g 与g o f 都有意义,复映射f o g 与g o f 也未必相同. 例4设有映射g :R ?[?1,1],对每个x ?R ,g (x )?sin x , 映射f :[?1,1]?[0,1],对每个u ?[?1,1],21)(u u f -=.则映射g 和f 构成复映射f o g :R ?[0,1],对每个x ?R ,有|cos |sin 1)(sin )]([))((2x x x f x g f x g f =-=== .三、函数 1.函数概念定义设数集D ?R ,则称映射f :D ?R 为定义在D 上的函数,通常简记为 y ?f (x ),x ?D ,其中x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为定义域,记作D f ,即D f ?D . 应注意的问题:记号f 和f (x )的含义是有区别的,前者表示自变量x 和因变量y 之间的对应法则,而后者表示与自变量x 对应的函数值.但为了叙述方便,习惯上常用记号“f (x ),x ?D ”或“y =f (x ),x ?D ”来表示定义在D 上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f .函数符号:函数y ?f (x )中表示对应关系的记号f 也可改用其它字母,例如“F ”,“?”等.此时函数就记作y ??(x ),y ?F (x ). 函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R 内,因此构成函数的要素是定义域D f 及对应法则f .如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的. 函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定:一种是对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定. 求定义域举例:求函数412--=x xy 的定义域. 要使函数有意义,必须x ?0,且x 2??4?0. 解不等式得|x |?2.所以函数的定义域为D ?{x ||x |?2},或D ?(??,2]?[2,??]). 单值函数与多值函数:在函数的定义中，对每个x ?D ,对应的函数值y 总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个x ?D ,总有确定的y 值与之对应,但这个y 不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.例如,设变量x 和y 之间的对应法则由方程x 2?y 2?r 2给出.显然,对每个x ?[?r ,r ]，由方程x 2?y 2?r 2,可确定出对应的y 值,当x ?r 或x ??r 时,对应y ?0一个值;当x 取(?r ,r )内任一个值时,对应的y 有两个值.所以这方程确定了一个多值函数.对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程x 2?y 2?r 2给出的对应法则中,附加“y ?0”的条件,即以“x 2?y 2?r 2且y ?0”作为对应法则,就可得到一个单值分支221)(x r x y y -==;附加“y ?0”的条件,即以“x 2?y 2?r 2且y ?0”作为对应法则,就可得到另一个单值分支222)(x r x y y --==.表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法),这在中学里大家已经熟悉.其中,用图形法表示函数是基于函数图形的概念,即坐标平面上的点集 {P (x ,y )|y ?f (x ),x ?D }称为函数y ?f (x ),x ?D 的图形.图中的R f 表示函数y ?f (x )的值域. 函数的例子: 例.函数⎩⎨⎧<-≥==0 0||x x x x x y .称为绝对值函数.其定义域为D ?(??,??),值域为R f ?[0,??).例.函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==01000 1sgn x x x x y .称为符号函数.其定义域为D ?(??,??),值域为R f ?{?1,0,1}.例设x 为任上实数.不超过x 的最大整数称为x 的整数部分,记作[x ]. 函数 y ?[x ]称为取整函数.其定义域为D ?(??,??),值域为R f ?Z .0]75[=,1]2[=,[?]?3,[?1]??1,[?3.5]??4.分段函数:在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.例。
同济大学高等数学教案第一章函数、极限与连续
0,
1,
数.
x0
x 0 的定义域为 D , ，值域W 1,0,1 ，这个函数称为符号函
x0
例 4 设 x 为任一实数，不超过 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作 x ，函数 y x 的定义域为
D , ，值域为整数集 Z ，它的图形在 x 的整数值处，图形出现跳跃，而跃度为1，这个函数称为取整
x
x
x
定理 2 （极限的四则运算法则） 设 lim f x A， lim g x B ，则
x x0
x x0
（1） lim xx0
f
x
g x
A B
lim
xx0
f
x lim xx0
gx ;
（2） lim xx0
f
x g x
AB
lim
xx0
f
x lim xx0
g x ;
(3)
lim
三、主要例题：
例 1 函数 y C ，其中 C 为某确定的常数. 它的定义域为 D , ，值域为W C，它的图形是
一条平行于 x 轴的直线，这个函数称为常数函数.
例2
函数 y
x
x, x,
x
0
的定义域为
D
, ，值域W
0, ，这个函数称为绝对值函数.
x0
2
1,
例3
函数 y sgn x
高等数学教学教案
第一章函数、连续与极限
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
参考教材
第一章 第一节 集合与函数
课的类型
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
函数的定义域，函数的性质，复合函数性质，分 教学难点
高等数学教案(同济)第二章
I 授课题目:§2.1 导数概念II 教学目的与要求:1. 理解导数的概念，理解导数的几何意义；2. 会用导数描述一些物理量；3. 会用导数的定义求函数的导数并会判断函数的可导性。
III 教学重点与难点:重点：导数的概念难点：用导数的定义判断函数的可导性IV 讲授内容:微分学是微积分的重要组成部分，它的基概念是导数与微分。
主要讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法。
先讨论导数的概念，而导数的概念的形成与直线运动的速度，切线问题有密切的关系。
一、直线运动的速度，切线问题1．直线运动的速度先建立坐标系：设某点沿直线运动，在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴。
此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点，设动点于时刻t 在直线上的位置的坐标为s （简称位置），运动完全由位置函数所确定。
位置函数：)(t f s = （1）从时刻0t 到t 一个时间间隔，有平均速度为：000)()(t t t f t f t t s s --=-- （2） 时间间隔较短，比值在实践中可用来说明动点在时刻0t 的速度，但动点在时刻0t 的速度的精确概念还得让0t t →，即：0)()(lim 0t t t f t f v t t --=→ （3） 极限值叫做动点在时刻0t 的（瞬时）速度，给出了求瞬时速度的方法。
2． 切线斜率问题建立直角坐标系，函数的图形为曲线，分析切线的定义，就得曲线上任一点的切线的0)()(lim 0x x x f x f k x x --=→ （4） 割线斜率的极限就是切线的斜率二、导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数讨论知，非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归为一数学形式： 00)()(lim 0x x x f x f x x --→ （5） 此处的0x x -和)()(0x f x f -的分别是函数)(x f y =的自变量的增量x ∆和函数的增量y ∆式（5）写成：0000()()limlim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ （6） 由它们在数量关系上的共性，就得出函数的导数的概念。
高等数学_同济大学教案
课程名称：高等数学授课对象：同济大学本科生授课时间：2课时教学目标：1. 理解高等数学的基本概念和原理，掌握微积分、微分方程、向量代数与空间解析几何、无穷级数等内容。
2. 能够运用所学知识解决实际问题，提高数学思维能力。
3. 培养学生的自学能力和团队协作精神。
教学内容：一、微积分1. 导数的概念和计算方法2. 偏导数和全微分3. 高阶导数和隐函数求导4. 微分方程及其解法二、向量代数与空间解析几何1. 向量的概念和运算2. 空间直角坐标系3. 向量积和混合积4. 平面和直线的方程5. 曲面和曲线的方程教学过程：第一课时一、导入1. 复习初等数学知识，如函数、极限等。
2. 介绍高等数学的基本概念和原理。
二、微积分1. 导数的概念和计算方法2. 举例讲解导数的几何意义和物理意义。
3. 讲解导数的计算方法，如求导法则、复合函数求导等。
三、课堂练习1. 学生独立完成例题，巩固所学知识。
2. 教师讲解学生作业中的问题。
第二课时一、复习1. 复习上节课所学内容，检查学生对导数的理解和掌握程度。
2. 解答学生提出的问题。
二、偏导数和全微分1. 介绍偏导数的概念和计算方法。
2. 讲解全微分的概念和计算方法。
3. 举例讲解偏导数和全微分在实际问题中的应用。
三、向量代数与空间解析几何1. 介绍向量的概念和运算。
2. 讲解空间直角坐标系和向量的表示方法。
3. 讲解向量积和混合积的计算方法。
4. 介绍平面和直线的方程。
四、课堂练习1. 学生独立完成例题，巩固所学知识。
2. 教师讲解学生作业中的问题。
教学评价：1. 课堂表现：观察学生的课堂参与度、回答问题的情况。
2. 作业完成情况：检查学生的作业质量，了解学生对知识的掌握程度。
3. 期末考试：评估学生对本课程知识的综合运用能力。
教学反思：1. 根据学生的学习情况，调整教学内容和教学方法。
2. 注重培养学生的自学能力和团队协作精神。
3. 提高教学效果，提高学生的学习兴趣。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高等数学同济教案教案标题：高等数学同济教案
教案目标：
1. 理解高等数学的基本概念和原理。
2. 掌握高等数学的基本运算和方法。
3. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
4. 培养学生的数学推理和证明能力。
教案内容：
课时一：导数与微分
1. 导数的定义和性质
2. 导数的计算方法和应用
3. 微分的定义和性质
4. 微分的计算方法和应用
课时二：不定积分与定积分
1. 不定积分的定义和性质
2. 不定积分的计算方法和应用
3. 定积分的定义和性质
4. 定积分的计算方法和应用
课时三：微分方程
1. 微分方程的基本概念和分类
2. 一阶常微分方程的解法
3. 二阶常微分方程的解法
4. 微分方程的应用
课时四：级数与数项级数
1. 级数的概念和性质
2. 数项级数的概念和性质
3. 数项级数的收敛性判定
4. 数项级数的求和方法
教学方法：
1. 讲授结合实例：通过具体的例子引入新的概念和原理，帮助学生理解和记忆。
2. 案例分析：选取一些实际问题，引导学生运用所学知识解决问题，培养学生
的应用能力。
3. 互动讨论：鼓励学生在课堂上提问和讨论，促进学生的思维活跃和合作学习。
4. 课堂练习：安排一定数量的练习题，巩固学生的基本运算和方法。
评估方式：
1. 课堂表现：学生在课堂上的积极参与和回答问题的能力。
2. 作业完成情况：学生按时完成作业并正确计算和解答问题的能力。
3. 小测验：定期进行小测验，检验学生对所学知识的掌握程度。
4. 期末考试：综合考察学生对整个学期所学内容的理解和应用能力。
教学资源：
1. 教材：《高等数学同济版》
2. 多媒体教学资源：投影仪、电脑、PPT等
3. 额外练习题和习题解析：辅助教材、习题集等
教学建议：
1. 鼓励学生主动思考和解决问题，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
2. 注重理论与实践的结合，通过实际问题的引入，增加学生对数学知识的兴趣和应用意识。
3. 给予学生足够的练习机会，巩固基本运算和方法，提高他们的计算和解题能力。
4. 鼓励学生合作学习和互助互动，培养他们的团队合作和交流能力。
希望以上教案建议和指导能对您的教学工作有所帮助。
祝您教学顺利！。