高二椭圆与直线相交知识点
直线和椭圆位置关系总结大全
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
3.1.3直线与椭圆的位置关系ppt课件
(3)△<0 无解
直线与椭圆没有公共点 (相离)．
通法
直线与椭圆的位置关系
x2 y2
1 的位置关
例1：判断直线y=x+1与椭圆
5
4
系
相交
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
知识点2.弦长问题
x2 y 2
若直线 l : y kx m与椭圆 2 2 1(a b 0) 的
交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
知识3.面积问题
x2
例3 已知椭圆C： y 2 1.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知点M (1,0), 且直线y x 1与椭圆C相交于A, B两点，求ABM的面积.
知识点4.中点弦问题
2
2
x y
1
例、椭圆 1, 设直线y x 1与椭圆交于
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达
定理来处理.
2
或
AB
1
1 2
k
2
( y1 y2 ) 2 4 y1 y2
（适用于任何曲线）
x2 y2
1
例2、椭圆
1, 设直线y x 1与椭圆交于
16 4
2
A、B两点，求弦长| AB | 。
设点
解：设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 )
弦长.
• (2)求以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方
程.
16 4
2
A、B两点，求线段AB的中点坐标。
分析：中点坐标
+ +
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
分类与判定
分类
根据直线与椭圆的交点个数，可以分为相离、相切和相交三种情况。
判定
使用代数方法（例如求解方程）或几何方法（例如测量距离和角度）来判断 直线与椭圆的位置关系。
解题方法与技巧
方法
解决直线与椭圆的位置关系问题，一般采用代数方法或几何方法。根据题目具体 情况选择合适的方法。
技巧
对于复杂的问题，需要灵活运用各种数学工具和技巧，例如设点、设线、数形结 合、分类讨论等。
03
交汇点以及中点的问题。
性质
弦中点问题涉及直线与椭圆的相交、平行、中点等性质，以 及弦长、中点坐标等计算。
分类与判定
分类
根据直线与椭圆的位置关系，弦中点问题可分为相交型、平行型和中点型三 种类型。
判定
判定弦中点问题主要依据直线与椭圆的交点坐标、中点坐标计算公式以及相 关的几何性质。
在医学中，弦长公式被用于诊断疾病和预测病情发展趋势。例如，利
用弦长公式可以准确地计算心电图的异常波形，进而诊断心脏疾病。
弦中点问题的应用
计算机科学
在计算机科学中，弦中点问题被用于研究图形的算法和优化 问题。例如，利用弦中点问题可以设计出更高效的图形算法 ，实现快速查找和数据处理。
数学
在数学中，弦中点问题被用于研究函数的性质和解析几何。 例如，利用弦中点问题可以推导出函数的对称性和周期性， 进而研究其几何性质。
弦长公式的应用
01 02
统计学
在统计学中，弦长公式被用于计算样本数据的离散程度和置信区间。 通过利用弦长公式，科学家可以准确地描述一组数据的分散程度和不 确定性。
工程学
在工程学中，弦长公式被用于计算结构强度和稳定性。例如，利用弦 长公式可以准确地计算桥梁的承重能力和稳定性，确保其安全可靠。
高二直线和椭圆相交知识点
高二直线和椭圆相交知识点直线和椭圆的相交是高中数学中的一个重要知识点，它涉及到了几何图形的性质和方程的求解。
在本文中，我将为大家详细介绍高二直线和椭圆相交的相关知识点。
一、直线和椭圆的基本定义直线是一个无限延伸的线段，它可以由一个点和一个方向确定。
在平面直角坐标系中，一条直线可以由线段的两个端点坐标确定。
椭圆是一个平面内到一定点距离之和等于常数的点的集合。
在平面直角坐标系中，椭圆的方程可以表示为：[(x - h) / a]^2 + [(y - k) / b]^2 = 1，其中(h, k)是椭圆的中心点坐标，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半长轴和半短轴长度。
二、直线和椭圆的相交情况当直线与椭圆相交时，有以下几种可能的情况：1. 直线不过椭圆：当直线与椭圆没有交点时，二者之间不存在相交关系。
2. 直线与椭圆相切：当直线恰好与椭圆相切时，直线与椭圆只有一个交点，并且该交点是切点。
在这种情况下，直线的斜率与椭圆的法线的斜率相等。
3. 直线穿过椭圆：当直线穿过椭圆时，直线与椭圆有两个不同的交点。
此时，直线的方程和椭圆的方程联立求解即可得到交点的坐标。
三、求解直线和椭圆的交点为了求解直线和椭圆的交点，我们可以先将直线的方程和椭圆的方程联立，然后求解这个方程组。
具体方法如下：1. 将直线的方程代入椭圆的方程，得到关于x和y的方程；2. 将得到的方程整理，使其变为关于x的一元二次方程；3. 求解该二次方程，即可得到交点的x坐标；4. 将得到的x坐标代入直线的方程，求解y坐标。
通过以上步骤，我们可以求出直线和椭圆的交点坐标。
四、实例演练假设直线的方程为y = 2x + 1，椭圆的方程为[(x - 3) / 2]^2 + [(y - 2) / 3]^2 = 1。
现在我们来求解这个方程组。
将直线的方程代入椭圆的方程，得到：[(x - 3) / 2]^2 + [(2x + 1 - 2) / 3]^2 = 1；整理该方程，得到：5x^2 + 14x - 5 = 0；求解该二次方程，得到：x = (-7 ± √89) / 5；代入直线的方程，求解y坐标，得到两个交点的坐标分别为(-7 + √89) / 5 和 (-7 - √89) / 5。
直线与椭圆的位置关系、弦长公式
解：
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学 熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的 直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1
直线与椭圆的位置关系之中点问题
直线与椭圆的位置关系之中点问题一、知识点1） 已知弦的中点坐标，利用点差法求弦所在直线的斜率；2） 利用点差法求证：22AB OM b k k a⋅=-； 3） 利用点差法解决有关中点的问题．二、教学过程1 点差法 引例：已知椭圆22:143x y C +=，求以(1,1)P 为中点的弦所在的直线方程． 分析1：设直线1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-入椭圆方程22143x y +=，得到 222(43)8(1)4(1)120k x k k x k ++-+--=，设弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y ，则1228(1)243k k x x k -+==+，得34k =- 所以所求的直线方程为3470x y +-=分析2：设设弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y ，则22113412x y +=，22223412x y +=，两式相减得： 121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=，所以121234y y k x x -==--，下同上 一般： 若椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的弦AB 的中点为00(,)M x y ，则仿上可知2020AB x b k a y =-⋅，这种方法称为点差法；说明：1） 通过点差法，我们可有弦的中点坐标直接求出弦的斜率，进一步我们可以发现关系：22AB OM b k k a⋅=-，揭示了两个斜率的关系。
（并且可以发现与“若P 为椭圆上任意一点，,M N 为椭圆上关于原点对称的两个定点，则22PM PNb k k a ⋅=-”道理想通） 2）点差法，先设弦端点的坐标，再将点的坐标代入椭圆方程，两式相减，利用两点的斜率公式，中点的坐标公式综合得到，这是一种与求弦长不同的处理方式，一般直线与椭圆位置关系的处理上一种是设直线方程，与椭圆联立方程的方法我们称为“线参数法”，一种是设点的坐标不联立方程的方法称为“点参数法”．2 应用练习1 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的弦AB 的中点为(1,1)M ，又34AB k =-，求椭圆的离心率． 分析：利用点差法可知2234b a =，所以2214c a =，12e = 2 椭圆22:143x y C +=上的动弦AB 的中点为M ，又34AB k =-，求中点M 的轨迹方程． 解：设(,)M x y ，利用点差法可知：3344y x -⋅=-，所以0x y -=，检验可知：必须||7x <说明，利用极限思想可以发现，过点(,77，斜率为34-的直线恰好为椭圆的切线 . 3椭圆22:143x y C +=上的动弦AB 过定点(1,1)N ，中点为M ，求中点M 的轨迹方程． 解：利用点差法可知：34AB y k x ⋅=-，又11AB y k x -=-，所以2234340x y x y +--=， 即2211()()221771216x y --+=（含在椭圆内部分） 配套练习：1、已知椭圆22:12x C y +=，求以21(,)33P -为中点的弦的弦长． 解答：根据点差法知1k =，利用弦长公式||3AB =2、已知椭圆：221ax by +=，与直线l ：10x y +-=与椭圆交于,A B 两点，C 为,A B中点，又||2OC AB k ==，求椭圆方程答案：22113x y +=。
高二椭圆知识点总结
高二椭圆知识点总结椭圆是一个经典的几何图形，它在高二数学中也占据着重要的地位。
本文将对高二椭圆的相关知识点进行总结，包括椭圆的定义、性质、方程、焦点与直径、切线与法线以及与其他几何图形的关系等内容。
1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和恒定的点的集合。
这两个固定点称为椭圆的焦点，记作F1、F2，它们之间的距离为2a。
椭圆上的任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
2. 椭圆的性质(1) 椭圆的离心率e小于1，且越接近于1，椭圆越扁平。
(2) 椭圆的长轴是通过两个焦点的直线段，记为2a；短轴是通过椭圆中心且垂直于长轴的直线段，记为2b。
(3) 椭圆的离心率e与长轴a、短轴b的关系为e = √(1 - b²/a²)。
(4) 椭圆的面积为πab。
3. 椭圆的方程(1) 标准方程：设椭圆的焦点在坐标原点上，长轴与x轴重合。
则椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1。
(2) 一般方程：设椭圆的焦点在任意位置，且长轴与x轴的夹角为α。
则椭圆的一般方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标。
4. 椭圆的焦点与直径(1) 椭圆的焦点是确定椭圆形状和大小的重要元素，它们与椭圆的离心率相关。
(2) 椭圆的直径是通过椭圆中心且与椭圆两点重合的直线段，它的长度等于长轴的长度2a。
5. 椭圆的切线与法线(1) 椭圆上任意一点P处的切线是与椭圆相切且经过点P的直线，切线的斜率为y' = -b²x/a²y。
(2) 椭圆上任意一点P处的法线是与切线垂直的直线，它的斜率为y' = a²x/b²y。
6. 椭圆与其他几何图形的关系(1) 椭圆与直线的关系：当直线与椭圆相交时，交点个数有四种情况：无交点、一个交点、两个交点、两个交点且直线与椭圆相切。
直线与椭圆相交问题
直线与椭圆相交问题汇报人：日期:contents•直线与椭圆的基本概念•直线与椭圆相交的判定目录•直线与椭圆相交的解法•直线与椭圆相交的应用•直线与椭圆相交的实例分析直线与椭圆的基本概念01CATALOGUE直线是两点之间最短的距离，可以看作是无数个点的集合。
定义直线是连续的，没有端点，且可以向两个方向无限延伸。
性质椭圆是一种平面图形，可以看作是由所有到两个固定点距离之和相等的点的集合。
椭圆是封闭的，有两个焦点，且其长度轴和短轴的比例是固定的。
性质定义当直线与椭圆有且只有一个交点时，称直线与椭圆相交。
相交平行垂直当直线与椭圆无交点时，称直线与椭圆平行。
当直线与椭圆的长轴或短轴垂直时，称直线与椭圆垂直。
030201直线与椭圆的关系直线与椭圆相交的判定02CATALOGUE0102当直线斜率为0时，直线与椭圆相切；当直线斜率不存在时，直线与椭圆相割。
直线与椭圆相交的充要条件是：直线的斜率不为0，且直线与椭圆的交点既不在坐标轴上，也不在无穷远处。
将直线的方程和椭圆的方程联立起来，消去其中一个变量（通常是y），得到一个关于x的二次方程。
如果这个二次方程有两个实根，则直线与椭圆相交；否则，直线与椭圆不相交。
方法二利用几何图形的方法判断。
如果直线与椭圆有且仅有一个交点，则直线与椭圆相交；如果直线与椭圆没有交点或者有两个以上的交点，则直线与椭圆不相交。
特殊情况下的处理当直线与椭圆的长轴平行时，直线与椭圆相交于两个点；当直线与椭圆的短轴平行时，直线与椭圆相交于四个点。
当直线的斜率不存在时，直线与椭圆相割，此时可以通过把x作为变量，把y作为常数的方法来求解。
直线与椭圆相交的解法03CATALOGUE代入法将直线方程代入椭圆方程，得到一元二次方程，通过求解一元二次方程，得到交点的横坐标。
联立方程组通过联立直线和椭圆的方程组，利用消元法或者代入法，得到关于x或y的一元二次方程，再求解得到交点坐标。
解方程组的方法交点坐标的计算根据一元二次方程的解，计算交点的横坐标和纵坐标。
直线与椭圆相交问题
xx年xx月xx日
contents
目录
• 问题概述 • 直线与椭圆的位置关系 • 直线与椭圆相交的判定方法 • 直线与椭圆相交的求解方法 • 直线与椭圆相交问题的扩展 • 结论与展望
01
问题概述
直线与椭圆的基本定义
直线
直线是最简单的几何图形，表示为两点之间的最短距离。
椭圆
利用参数方程法求解
参数方程法基本思想
将直线与椭圆的方程联立，利用参数方程求解。
具体步骤
将直线与椭圆的方程联立，利用参数方程将x和y表示成参数的函数，再利用 参数的取值范围求解交点坐标。
05
直线与椭圆相交问题的扩展
直线与椭圆相交的公共点问题
直线与椭圆相交的公共点个数问题
研究直线与椭圆相交时，交点的个数及位置关系。
方程求解
对于直线$l:ax+by+c=0$和椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，联立方程后，得到一个二元 一次方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式 $\bigtriangleup = 0$，即$b^{2} - 4ac = 0$。
06
结论与展望
研究结论总结
直线与椭圆相交的解 的数量和性质
通过使用代数和几何方法，我们得到 直线与椭圆相交的解的数量和性质， 包括实数解和复数解的情况。
方程的解法
我们推导出了直线与椭圆方程的解法 ，并使用数值模拟来验证我们的方法 的有效性和准确性。
算法的复杂度和实现
我们分析了所提出算法的复杂度和实 现，证明了算法的时间复杂度和空间 复杂度都是可接受的。
我们期望加强所提出理论依据的健壮性和鲁 棒性，以更好地应对不同应用场景和实际需 求。
高二年级数学椭圆的第二定义
高二年级数学椭圆的第二定义WORD格式整理版高二数学椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精讲一. 本周教学内容：椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系［知识点］1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数e?c(0?e?1)的动点M的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 a椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
x2y2 注意：①对2?2?1(a?b?0)对应于右焦点F2(c，0)的准线称为右准线，aba2a2方程是x?，对应于左焦点F1(?c，0)的准线为左准线x??cc②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。
x2y2 对于椭圆??2?1(a?b?0)，设P(x，y)为椭圆上一点，由第二定义：abc? 左焦半径a2ax0?c 右焦半径r左ca2∴r左?ex0?・?a?ex0acr右a2?x0c?c?r右?a?ex0 a3. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BN⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕优质.参考.资料WORD格式整理版O旋转时点M的轨迹的参数方程。
解：设点M的坐标是(x，y)，?是以Ox为始边，??为终边的正角，取?为参数。
那么x?ON?|OA|cos?y?NM?|OB|sin??x?acos?∴??y?bsin?(1)这就是椭圆参数方程：?为参数时，?称为“离心角” 说明：<1> 对上述方程（1）消参即?x?cos??x2y2?a?2?2?1普通方程 ?yab??sin???b <2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。
4. 补充名称直线方程参数几何意义 ?x?x0?tcos?P0(x0，y0)定点，?倾斜角,t?P0P，(t为参数) ??y?y0?tsin?P（x，y）动点 ?x?a?rcos?(?为参数) ??y?b?rsin?(?为参数) ?y?bsin??A（a，b）圆心，r半径， ?P（x，y）动点，旋转角 a长半轴长，b短半轴长圆椭圆 ?x?acos??离心角(不是OM与Ox的夹角) 一般地，?、?取[0，2?]5. 直线与椭圆位置关系：（1）相离优质.参考.资料WORD格式整理版x2y2 2?2?1aby?kx?b?x2y2?1?? ①相离??a2b2?y?kx?b?无解②求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l'∥l且l'与椭圆相切）③关于直线的对称椭圆。
直线与椭圆相交问题
联立方程求解法
总结词
直接、准确、快速
详细描述
联立方程求解法是解决直线与椭圆相交问题的一种坐标。这种方法直观、准确、快速，但需要一定的代数运算基础。
参数方程求解法
总结词
间接、参数、易错
详细描述
参数方程求解法是通过引入参数变量，将直线和椭圆的方程转化为参数方程，然 后通过解参数方程得到交点的坐标。这种方法虽然较为间接，但可以借助参数的 特性简化运算，但也可能因为参数的复杂性导致计算错误。
从物理角度的判定条件
• 光学性质：当光线从空气进入介质时，传播方向会发生改变。如果光 线从椭圆的一个焦点出发并穿过另一个焦点，则传播方向不变。因此 ，通过观察光线的传播方向是否改变，可以判断直线与椭圆是否相交 。当传播方向改变时，直线与椭圆相离；当传播方向不变时，直线与 椭圆相交。
04
直线与椭圆相交的解法
几何法求解法
总结词
直观、易于理解、但繁琐
详细描述
几何法求解法是通过分析直线的性质和椭圆的几何特征，借助几何关系找出 交点。这种方法直观且易于理解，但较为繁琐，需要较强的空间想象能力和 几何分析能力。
05
直线与椭圆相交的应用
在数学领域的应用
01
解析几何
直线和椭圆是解析几何中的基本图形，研究它们的相交问题可以深化
03
02
联立方程
椭圆方程
标准形式的椭圆方程为(x - a)^2 / b^2 + (y - c)^2 / d^2 = 1，其中 a、b、c和d为椭圆的半轴长。
将直线方程和椭圆方程联立，形 成二元二次方程组。
04 判别式
通过计算联立方程的判别式，可以 判断直线与椭圆是否有交点
从几何角度的判定条件
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
汇报人： 日期:
目录
• 直线与椭圆的位置关系 • 弦长公式 • 弦中点问题
01
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的基本定义
直线的定义
直线是无限延伸的，没有起点和 终点。在平面几何中，直线通常 用两点间的连线表示。
椭圆的定义
椭圆是一种平面曲线，其定义是 固定两点（焦点）的距离之和等 于常数的点的轨迹。
通过观察直线与椭圆的交点个数来判 断位置关系。
02
弦长公式
弦长的定义及计算方法
Байду номын сангаас弦长定义
弦长是指连接圆内任意两点间的线段 长度。
计算方法
通过利用勾股定理和圆的基本性质， 可以计算出连接圆内两点的线段长度 。
弦长公式的推导过程
勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方。
圆的基本性质：圆内任意两点间的距离平方等于 这两点与圆心距离的平方和。
直线与椭圆的位置关系分类
相交
直线与椭圆有两个不同的交点。
相切
直线与椭圆只有一个交点。
相离
直线与椭圆没有交点。
判断直线与椭圆位置关系的常用方法
代数法
通过联立直线和椭圆的方程，消元后 得到一元二次方程，然后根据判别式 的值判断直线与椭圆的位置关系。
几何法
参数法
通过引入参数来表示直线的方程，然 后代入椭圆的方程进行求解，根据解 的情况判断位置关系。
弦中点的性质
弦中点与椭圆中心连线段与弦AB垂直，且该线段等于A、B两点到椭圆中心的距 离之和的一半。
弦中点问题的求解方法
利用定义求解
根据弦中点的定义，可以求出弦中点的坐标。
利用几何性质求解
312 椭圆的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
3.1.2椭圆的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一椭圆的范围以椭圆22221(0)x y a b a b +=>>为例．由标准方程可知，椭圆上点的坐标(,)x y 都适合不等式22221,1x y a b≤≤，即2222,x a y b ≤≤，所以||,||x a y b ≤≤．这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框内（如图2．2-8）．拓展（1）确定了曲线的范围后，用描点法作图时，就可以不取范围之外的点了，在解析几何中，讨论曲线的范围就是确定方程中变量的取值范围．（2）如果将椭圆的标准方程22221(0)x y a b a b+=>>变形为y =，那么这个椭圆的方程可以分成y =，y =两个函数式，研究椭圆的范围，就是讨论这两个函数的定义域和值域，这也是讨论椭圆范围的一种方法．知识点二椭圆的对称性以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．1．椭圆的对称轴：坐标轴．2．椭圆的对称中心：原点(0,0)O ，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．通过观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．提示：（1）在方程22221(0)x y a b a b+=>>中，将x 换成x -，方程显然不变，这就是说椭圆上的点(,)x y 关于y 轴的对称点(,)x y -也在椭圆上，故椭圆关于y 轴对称；将方程中的y 换成y -，方程也不变，故椭圆关于x 轴对称；同理，将,x y 分别换成,x y --时，方程也不变，故椭圆关于原点对称．（2）椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及它的垂直平分线．（3）椭圆关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，原点为椭圆的中心．知识点三椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．1．椭圆的顶点令0x =，得y b =±，令0y =，得x a =±．这说明12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点，1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 的两个交点，因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点．这四个交点叫做椭圆的顶点．2．椭圆的长轴、短轴线段12A A 叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长．线段12B B 叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长．提示明确,a b 的几何意义，a 是长半轴长，b 是短半轴长，由222c a b =-，得“已知椭圆的四个顶点求焦点”的几何作法，只要以短轴的端点1B （或2B ）为圆心，以a 为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点．知识点四椭圆的离心率1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作22c c e a a==．2．范围：因为0a c >>，所以01ca<<，即(0,1)e ∈．拓展对椭圆离心率的理解（1）01e <<，越趋近于1，椭圆越扁；越趋近于0，椭圆越接近于圆．（2）当趋近于0时，c 趋近于0，椭圆变圆，直至成为圆，此时也可认为圆在椭圆在0e =时的特例．（3）当趋近于1时，c 趋近于a ，椭圆变扁，直至成为线段12F F ，此时也可认为12F F 为椭圆在1e =时的特例．（4）2221b e a=-．知识点五直线与椭圆的位置关系1．直线与椭圆的三种位置关系：（1）相交；（2）相切；（3）相离．2．直线与椭圆的位置关系的判断；直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于x （或y ）的一元二次方程的判别式∆来判定；0∆>⇔直线与椭圆相交；0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆<⇔直线与椭圆相离．3．弦长公式一条直线被椭圆所截得的线段叫做椭圆的弦，若直线y kx b =+与椭圆相交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线被椭圆所截得的弦长公式为12|||AB x x =-或12|||AB y y =-．考点一由方程求椭圆的几何性质例1．求椭圆22925225x y +=的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．解：将椭圆的方程化为标准形式为221259x y +=，得5,3a b ==，则4c ==因此，长轴长210a =，短轴长26b =，离心率40.85c e a ===．焦点坐标为1(4,0)F -和2(4,0)F ，顶点坐标为1212(5,0),(5,0),(0,3),(0,3)A A B B --．将方程变形为55)y x =-≤≤，根据5)y x =≤≤可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(,)x y ，列表如下：x 012345y32．942．752．41．8先描点画出第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．将椭圆的方程化成标准方程易得5,3a b ==，则椭圆位于四条直线5x =±，3y =±所围成的矩形框内，又因为椭圆以两坐标轴为对称轴，所以只要画出椭圆在第一象限内的图形，就可以利用对称性画出整个椭圆．考点二由椭圆的几何性质求方程例2．已知椭圆C 以坐标轴为对轴称、长轴长是短轴长的5倍，且经过点(5,0)A ，求此椭圆的标准方程．解：方法1：若椭圆的焦点在x 轴上，设其标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>由题意，得22252,2501,a b a b =⨯⎧⎪⎨+=⎪⎩解得5,1.a b =⎧⎨=⎩故所求椭圆的标准方程为22125x y +=，若椭圆的焦点在y 轴上，设其标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>，由题意，得22252,0251,a b a b =⨯⎧⎪⎨+=⎪⎩解得25,5.a b =⎧⎨=⎩故所求椭圆的标准方程为22162525y x +=．综上所述，所求椭圆的标准方程为22125x y +=或22162525y x +=．方法2：设椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n +=>>≠．由题意，得2501,5m n ⎧+=⎪⎨⎪=⨯⎩或2501,5m n⎧+=⎪⎨⎪=⨯⎩解得25,1m n =⎧⎨=⎩或25,625.m n =⎧⎨=⎩故所求椭圆的标准方程为22125x y +=或22162525y x +=．（1）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，通常利用待定系数法．（2）根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，其一般步骤：①确定焦点所在的坐标轴；②求出22,a b 的值；③写出标准方程．考点三求椭圆的离心率例3．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．分析：解答本题的关键是先由椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，列出,,a b c 的关系式，再转化成,a c 间的关系式，从而求出．解：因为椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，所以2b a c =+，①所以224()b a c =+，即22242b a ac c =++．②又因为222a b c =+，所以22224()2a c a ac c -=++，③即225230c ac a +-=．两边同除以2a ，得25230e e +-=．④解得35e =或1e =-（舍去）．故该椭圆的离心率为35．求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地，（1）若已知,a c ，则直接代入ce a=求解；（2）若已知,a b，则由e =（3）若已知,,a b c 的关系，则可先转化为,a c 的齐次式，再转化为含的方程，求解即可．例4．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在一点M ，使1290F MF ∠=︒（12,F F 为椭圆的两焦点），求椭圆的离心率的取值范围．解：设点M 的坐标是00(,)x y ，则220022222001,.x y a b x y c ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩消去0y ，得222202()a cb xc -=．因为2200x a ≤≤②所以222222222()0,().a c b c a c b a c ⎧-≥⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩①②由①，得22c b ≥，即222c a c ≥+，所以222a c ≤，所以22212c e a =≥．又因为01e <<，所以2[2e ∈，由②，得222c b c -≤，此式恒成立．综上所述，所求椭圆的离心率的取值范围是2[2．（1）解析几何中求参数的取值范围是一类常见而又较困难的题型，其基本的解题思路有：①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解．（2）本题在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围(||,||)x a y b ≤≤建立了一个关于基本量的不等式组．考点四点与椭圆的位置关系例5．直线1()y kx k R =+∈与焦点在x 轴上的椭圆2215x y m+=总有公共点，求m 的取值范围．解：方法1，直线1y kx =+恒过定点(0,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点(0,1)在椭圆内或椭圆上，所以20115m+≤，即1m ≥．又由于5m <，故[1,5)m ∈，方法2：由221,15y kx x y m=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(5)105(1)0m k x kx m +++-=，则2210020(1)(5)0k m m k ∆=--+≥对k R ∈恒成立，即2250mk m m +-≥对k R ∈恒成立．因为0m >，所以251k m ≥-对k R ∈恒成立，故10m -≤，即1m ≥．又因为5m <，所以[1,5)m ∈．点与椭圆的位置关系（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上2200221x y a b ⇔+=；（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外⇔2200221x y a b +>；（3）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>内2200221x y a b⇔+<．考点五直线与椭圆的位置关系例6．已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+．（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；（2）求直线被椭圆截得的最长弦的长度．解：由方程组2241,x y y x m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理，得225210x mx m ++-=．（1）因为直线与椭圆有公共点，所以222420(1)20160m m m ∆=--=-≥．解得m ≤故实数m 的取值范围是55[]22．（2）由根与系数的关系，得1225m x x +=-，21215m x x -⋅=，则弦长12||d x x =-===故当0m =时，d．（1）利用方程讨论直线与椭圆的位置关系设直线方程为y kx m =+，椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，联立方程，得2222,1.y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去方程组中的一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，写出判别式∆，则0∆>⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点；0∆=⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点；0∆<⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．（2）弦长问题设直线：y kx m =+交椭圆22221(0)x y a b a b+=>>于111(,)P x y ，222(,)P x y 两点，则1212||||PP x x =-=或1212||||PP y y =-=考点六椭圆中弦的中点问题例7焦点分别为和的椭圆截直线32y x =-所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程．分析：设椭圆的方程→联立椭圆的方程与直线的方程→利用根与系数的关系设而不求→由中点列出方程→已知焦点→求出方程．解析：设22221(0)y x a b a b+=>>依题意，有22250a b -==．①由22221,32y x a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 并整理，得2222222(9)1240a b x b x b a b +-+-=．因为12122x x +=，所以2226192b a b =+．所以223a b =．②由①②，得275a =，225b =．经检验，此时0∆>．所以椭圆方程为2217525y x +=．弦的中点问题的解决方法关于中点的问题，我们一般可以采用两种方法解决：(1)联立方程、消元，利用根与系数进行设而不求，从而简化运算过程；(2)利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解．不管应用何种方法，我们都必须要注意判别式∆的限制．考点七椭圆中的最值问题例8设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e =3(0,2P 到这个椭圆P的点的坐标．分析:本题是解析几何与代数中的最大值的综合题．解题关键是怎样运用“最远距离是”这个条件，可尝试用两点间的距离公式，转化为函数的最大值问题来解．解析:设所求椭圆方程为22221x y a b +=(a >b >0)．由c e a ==，得a =2b ．①设椭圆上任一点M 的坐标为(x ，y )，点M 到点P 的距离为d ，则22222a y x a b =-，且2222222233()()22a d x y a y yb =+-=-+-2222913343()4342y y b y b =--++=-+++，其中b y b -≤≤．若12b <，则当y =-b 时，2d 取得最大值223()2b =+．解得3122b =>，与12b <矛盾．若12b ≥，则当12y =-时，2d 取得最大值2243b =+．②由①②，得b =1，a =2．故所求椭圆方程为2214x y +=．由12y =-，得椭圆上到点P 的点为1()2-，12-．本题是一道考查椭圆知识和函数最值的综合性问题，需要全面的掌握基础知识和基本方法，在建立二次函数求最值时，要特别注意通过椭圆的范围来确定自变量的取值范围．考点八与椭圆相关的实际问题例9在大西北的荒漠上，A ，B 两地相距2km ，正在准备在荒漠上围成一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域，建立农艺园．按照规划，围墙总长度为8km ．(1)农艺园的最大面积能达到多少?(2)该荒漠上有一条直线型水沟刚好过点A ，且与AB 成45︒角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园内的水沟要重新设计改造，因此该水沟可能被农艺园围住的部分暂不加固，那么暂不加固的部分有多长?分析:(1)如图2．2-12所示，求农艺园的最大面积，实际就是求平行四边形ADBC 的面积的最大值．结合图形和椭圆的几何性质，易知当点C 位于短轴端点时，ACB ∆的面积最大，即平行四边形ADBC 的面积最大；(2)实质就是求弦长．解析:(1)如图2．2-12所示，由题意，知平行四边形相邻两边长之和为4km ，另两个端点C ，D 在以A ，B 为焦点的椭圆上．以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则椭圆方程为22143x y +=(0y ≠)．因为max ()ABC S ∆=(点C 在短轴端点)，所以农艺园的最大面积为2km ．(2)由题可知，直线型水沟的方程是y =x +1，暂时不加固的部分的长度即直线被椭圆所截得的弦长．把直线方程代入椭圆方程，得27880x x +-=．1224|7x x -=．所以暂时不加固的部分长为247km ．椭圆是天文学和日常生产、生活中常见的一个模型，因此，我们必须熟练掌握利用代数方法解决与椭圆有关的问题的技巧．。
高二椭圆知识点小结
椭圆知识点1. 知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b ac -=；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 4.一般方程均不为零）C B A C By Ax ,,(22=+是表示椭圆的条件方程C By Ax =+22可化为122=+CBy C Ax ，即122=+BC By A C x ，所以只有A 、B 、C 同号，且A ≠B 时，方程表示椭圆。
当B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当BCA C <时，椭圆的焦点在y 轴上。
知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
直线交椭圆两点距离公式
直线交椭圆两点距离公式本文将为大家介绍直线交椭圆两点距离的公式。
直线与椭圆的交点是数学中的重要问题，它涉及到数学中的诸多重要的概念和方法。
在实际问题中，直线与椭圆的交点可以用来计算出两个点之间的距离，因此具有非常重要的应用价值。
首先，让我们来了解一下什么是椭圆。
椭圆是一个凸曲线，其形状类似于拉长的圆形。
它由两个互相垂直的轴确定，其中一个轴称为长轴，另一个轴称为短轴。
椭圆常被用来研究力学，光学和电磁学等多个领域的问题。
现在我们考虑一条直线与椭圆的交点。
已知一条直线的方程为y = kx + b，其中k,b为常数。
将方程中的y带入到椭圆的方程中，得到一个二次方程，将其解得两个解，这两个解就是直线与椭圆的交点的纵坐标。
为了计算这两个点的距离，我们需要用到勾股定理，即在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
将两个交点的坐标代入勾股定理中，即可得到它们之间的距离公式。
直线交椭圆两点距离公式如下：$$ d = \left |\sqrt{\frac{(a^2k^2 + b^2 - c^2)}{(a^2k^2 + b^2)}}\right |$$其中，a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，c则为椭圆的焦距，k为直线的斜率，b为直线的截距。
这个公式看起来很复杂，但是只要按照公式中的参数计算出各个值，就可以轻松地得到两点距离。
这个公式在实际工作中具有应用价值，例如在计算出两个目标点之间的距离以及在制定路线规划时等都可以使用这个公式。
总之，直线交椭圆两点距离公式是一个非常重要的数学公式，它能够用来计算直线与椭圆的交点的距离，从而在实际问题中具有重要的应用价值。
希望通过本文的介绍，大家能够掌握这个公式的应用方法，解决实际问题。
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高二椭圆与直线相交知识点椭圆与直线是高二数学中的一种重要的几何关系，深入理解它们的相交性质对于解题和应用实践具有重要意义。
本文将介绍高二椭圆与直线相交的几个关键知识点。
一、椭圆与直线的方程
在介绍椭圆与直线相交的知识点之前，我们先来了解椭圆和直线的方程。
椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$为椭圆的长半轴，$b$为椭圆的短半轴。
直线的一般方程为：$Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$为实数且$A$与$B$不同时为零。
二、椭圆与直线相交的条件
椭圆与直线相交的条件为：直线不经过椭圆的中心，且直线方程与椭圆方程联立可解，即联立方程有实数解。
三、椭圆与直线相交的情况分类
根据椭圆与直线相交的情况，可以将其分为以下三种情况：
1. 直线与椭圆相交于两个不同的点
当直线与椭圆相交于两个不同的点时，此时直线既不是椭圆内切线也不是椭圆外切线，同时直线方程与椭圆方程联立可解。
2. 直线与椭圆相切于一个点
当直线与椭圆相切于一个点时，此时直线既是椭圆内切线又是椭圆外切线，同时直线方程与椭圆方程联立有唯一实数解。
3. 直线与椭圆不相交
当直线与椭圆不相交时，此时直线既不是椭圆内切线也不是椭圆外切线，同时直线方程与椭圆方程联立无实数解。
四、解题方法与实例
在解决涉及椭圆与直线相交的问题时，可以采用以下方法：
1. 代数法：将直线方程代入椭圆方程，联立方程求解解得交点坐标。
2. 几何法：利用椭圆和直线的性质进行几何推导，得出交点的几何特征。
以下为一个实例：
例题：已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，直线$2x-
3y+4=0$，求椭圆与直线的交点坐标。
解：将直线方程代入椭圆方程，得到$\frac{(2x-
3y+4)^2}{4^2}+\frac{y^2}{9}=1$。
化简方程得$4x^2-12xy+9y^2+48x-72y+48=64$，整理得$4x^2-12xy+9y^2+48x-72y-16=0$。
利用配方法化简得$(2x-3y+8)(2x-3y-2)=0$。
解方程组得两组解：$(x,y)=\left(-\frac{5}{2},-
\frac{1}{6}\right)$和$(x,y)=\left(\frac{7}{2},\frac{7}{6}\right)$。
所以，椭圆与直线的交点坐标为$(-\frac{5}{2},-\frac{1}{6})$和$(\frac{7}{2},\frac{7}{6})$。
五、总结
通过本文的介绍，我们了解了高二椭圆与直线相交的几个关键知识点，包括椭圆与直线的方程、相交的条件、相交的情况分类以及解题方法与实例。
掌握这些知识点，能够更好地理解和应用椭圆与直线相交的相关概念，提高解题的准确性和效率。
在学习过程中，建议多进行练习和实践，以加深理解并提高解决实际问题的能力。