七年级上册数学同步讲义第4讲：幂的运算(一) - 教师版

辅导教案

学员姓名：学科教师：周乔乔

年级：七年级辅导科目：数学

授课日期时间

主题幂的运算（一）

教学内容

《整式的乘除》是整式加减的延续和发展，也是后续学习因式分解、分式运算的基础．整式的乘法运算包含单项式乘法、单项式与多项式乘法和多项式乘法，它们最后都转化为单项式乘法．单项式的乘法又以幂的运算为基础．“整式的乘法”的内容和逻辑线索是：同底数幂的乘法——幂的乘方——积的乘方——单项式乘单项式——单项式乘多项式——多项式乘多项式——乘法公式（特例）．

由此可见，同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是整式乘法的逻辑起点，是该章的起始课．作为章节起始课，承载着单元知识以及学习方法、路径的引领作用．

幂的运算（一）

知识结构

模块一：同底数幂的乘法

知识精讲

内容分析

1、幂的运算概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数．

含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘． 例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，()5

3-表示()()()()()33333-⨯-⨯-⨯-⨯-，53-表示

()33333-⨯⨯⨯⨯，5

27⎛⎫

⎪⎝⎭表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227⨯⨯⨯⨯．

特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号． 2、“奇负偶正”口诀的应用：

口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：

（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号． （3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．

例如：()2

39-=，()3

327-=-．

特别地：当n 为奇数时，()n n a a -=-；而当n 为偶数时，()n

n a a -=． 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．

正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”． 3、同底数幂相乘

同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为： m n m n a a a +⋅=（,m n 都是正整数）．

【例1】 下列各式正确吗？不正确的请加以改正． （1）347()()x x x -⋅-=-； （2）246()()x x x --=-； （3）()

()

1

21m m m a a a ++--=；

（4）5552b b b ⋅=；

（5）4610b b b +=； （6）55102x x x ⋅=；

（7）5525x x x ⋅=；

（8）33c c c ⋅=．

【难度】★

【答案】（1）正确；（2）不正确，正确为：()()4

6

26x x x x --=-=--；（3）不正确，正确为：

()()

()

1

21

21m m m m a a a a +++--=-=-；（4）不正确，正确为：5510b b b ⋅=；（5）不正确，不能计算；（6）不正

确，正确为：5510x x x ⋅=；（7）不正确，正确为：5510x x x ⋅=； （8）不正确，正确为：34c c c ⋅=． 例题解析

【解析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

【总结】本题主要考查同底数幂的乘法运算，同时一定要注意确保是在同底数幂乘法运算时才可以应用，注意算式中的符号．

【例2】 计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1）567(2)(2)(2)-⨯-⨯-； （2）23a a a ⋅⋅；

（3）24()()a b a b +⋅+；

（4）235()()()x y x y x y -⋅-⋅-．

【难度】★

【答案】（1）182；（2）6a ；（3）()6

a b +；（4）()10

x y -． 【解析】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加．

【例3】 计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1）()()3

34333x x x x x x x x ⋅+⋅⋅+-⋅-⋅；

（2）()()()()

()3

2

2

4

a a a a a ---+--；

（3）12211m n m n m n a a a a a a -++-+⋅+⋅+⋅． 【难度】★

【答案】（1）73x ；（2）0；（3）13m n a ++．

【解析】（1）原式77773x x x x =++=； （2）原式660a a =-=；

（3）原式11113m n m n m n m n a a a a ++++++++=++=．

【总结】本题主要考查同底数幂相乘的计算和合并同类项相关知识概念，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，然后进行合并同类项的运算．

【例4】 计算下列各式，结果用幂的形式表示．

（1）()()

()3

3

2

a a a --⋅--；

（2）()()

2

3

x y y x --；

（3）()()()

21

2

222m m x y x y x y -+---．

【难度】★★

【答案】（1）8a ；（2）()5y x -；（3）()23

2m x y +-．

【解析】（1）原式358a a a =⋅=； （2）原式235()()()y x y x y x =-⋅-=-；