人教版九年级数学反比例函数知识点归纳

人教版九年级数学反比例函数知识点归纳

本文介绍了新人教版九年级数学下册第26章反比例函数的知识点和研究目标。其中，重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用。难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握。基础知识包括反比例函数的概念和反比例函数的图象。反比例函数的图象与x轴、y轴无交点，称取点关于原点对称。反比例函数的图象的形状是双曲线，与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。图象关于原点对称，对称性是反比例函数的重要性质。

如图1所示，设点P（a，b）在双曲线上。作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积等于三角形PAO和三角形PBO的面积之和。

由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上。作QC⊥XXX的延长线于C，则三角形PQC的面积为（图2）。

需要注意的是，双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。直线与双曲线的关系有两种情况：一种是两图象必有两个交点，另一种是两图象没有交点；当有交点时，这两个交点关于原点成中心对称。

反比例函数与一次函数有联系。求函数解析式的方法有两种：待定系数法和根据实际意义列函数解析式。需要注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上。在解决问题时，可以充分利用数形结合的思想。

对于例题，若y是x的反比例函数，则应选C或A。对于已知函数的图象在第二、四象限内和y随x的增大而减小的情况，可以求出k的值。已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限时，可以确定它的图象位于第三象限。若反比例函数经过点（a，b），则直线不经过的象限为第四象限。若P （2，2）和Q（m，n）是反比例函数图象上的两点，则一次

函数y=kx+m的图象经过第一、三、四象限。对于函数的增减

性问题，需要分别讨论。

y轴作垂线，得到三个小矩形和一个三角形，它们的面积

之和为20平方单位，求函数的解析式．

2）已知函数y=f(x)的图象如图所示，其中ABCD为一矩形，E为函数图象上一点，且E在ABCD内部．若矩形

ABCD的长为4，宽为2，求函数的解析式．

答案：（1）设函数解析式为y=ax²+bx+c，由题意可列出

方程组：

a+b+c=5

4a+2b+c=20

16a+4b+c=80

解得a=2，b=-4，c=7，因此函数的解析式为y=2x²-4x+7．2）设函数解析式为y=f(x)=kx+m，由题意可得：

f(0)=m=2

f(2)=2k+m=4

f(4)=4k+m=0

解得k=-1/2，m=2，因此函数的解析式为y=-1/2x+2．

1) 在图中，通过每个点作两条垂线段，分别与x轴和y轴围成一个矩形。这些矩形的面积分别为（），因此答案为D。

2) 在图中，连接AB、AC，可以得到△ABC。由于AC//y 轴，BC//x轴，因此△ABC是一个以AB为直角边的直角三角形。根据勾股定理，AB的平方等于AC的平方加BC的平方，即（）。因此，△XXX的面积为2，答案为C。

3) 在图中，由于△AOB是直角三角形，因此它的面积等

于底乘高的一半，即（）。又因为S△AOB=3，因此m的值

满足（）。解得m=6，答案为6.

4) 在图中，矩形OQ1P1R1的周长为2P1Q1+2P1R1，矩

形OQ2P2R2的周长为2P2Q2+2P2R2.由于P1、P2分别在y=x

和y=2x上，因此它们的坐标分别为（a，a）和（b，2b）。因此，P1Q1和P2Q2的长度分别为a，P1R1和P2R2的长度分别为2b。代入公式，可以得到矩形OQ1P1R1的周长为4a，矩

形OQ2P2R2的周长为6b。因为a

周长小于后者的周长，答案为前者小于后者。

5) 在图中，点A、C分别在正比例函数和反比例函数的图象上，因此它们的坐标分别为（a，ka）和（k/a，a）。连接AC，可以得到△ABC。由于AC是一个以y轴为直角边的直

角三角形，因此它的面积等于AB乘BC的一半，即（）。因此，△XXX的面积为k/2，答案为k/2.

6) 在图中，双曲线的解析式为y=1/x，直线的解析式为

y=x-2.由于直线与x轴的交点为（2，0），因此直线与y轴的

交点为（0，-2）。又因为△ABO的面积为2，因此OB的长

度为（）。由于AB⊥x轴，因此AB的斜率为（）。代入点

斜式公式，可以得到直线的解析式为y=-x+2.直线与双曲线的

交点满足方程y=1/x和y=-x+2，解得它们的坐标分别为（1，1）和（2/3，4/3）。因此，△AOC的面积等于底乘高的一半，即（）。答案为6.

7) 在图中，点B在函数y=kx（k>0）的图象上，因此它

的坐标为（b，kb）。又因为正方形OABC的面积为9，因此AB的长度为3.由于B在函数y=kx上，因此kb=k/b，即

k=b^2.因此，函数的解析式为y=x^2.过点P作x轴和y轴的垂线，可以得到矩形OEPF的长和宽分别为m和n/b。因此，矩

形OEPF的面积为mn/b。由于正方形OABC的面积为9，因

此BC的长度为3.又因为B在函数y=x^2上，因此b^2=3，即

b=√3.因此，k=3.点P在函数y=x^2的图象上，因此它的坐标

为（m，m^2）。过P作x轴和y轴的垂线，可以得到矩形OEPF的长和宽分别为m和m^2/√3.因此，矩形OEPF的面积

为m^3/√3.因为矩形OEPF在正方形OABC以外的部分，所以

S=9-m^3/√3.答案为①B（3，3），k=3；②P（m，m^2），E （m，0），F（0，m^2/√3），△AOC的面积为6；③S=9-

m^3/√3.

1）无需改写。

2）求一次函数和反比例函数的解析式，以及使一次函数

的值大于反比例函数的值的x的取值范围。

3）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1.

①求点A、B、D的坐标；

点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，1），点D

的坐标为（1，k）。