非线性方程组研究毕业论文
求解非线性方程组的方法研究
目前国内外求解非线性方程组已有多种解法，如牛顿迭代法、大范围收敛法、人工智能法[7]等。其中最常用、最基本的是牛顿迭代法，牛顿迭代法在理论上已经达到了比较成熟的阶段，各种以牛顿迭代法为基础的高级收敛法也得到了不断地完善。
牛顿法又叫迭代法，最初是由物理学家艾萨克·牛顿于1736年在Method of Fluxions中公开提出。而事实上该方法已经由Joseph Raphson在1690年在AnalysisAequationum中提出。牛顿法是一种在实数域和复数域上求方程近似解的方法[8]。在方程的根附近有平方收敛是此方法一个很大的优点，此方法也可以用来求非线性方程的重根和复根。另外该方法可以用Matlab来进行数值实验。本文也介绍了牛顿法的Matlab编程。
MATIAB实现拟牛顿法
用Matlab计算式（2-10）程序如图2-3所示
图2-3拟牛顿法程序
计算结果如图2-4所示
图2-4拟牛顿法结果
3
3.1
遗传算法简称GA（Genetic Algorithm），是1962年密歇根大学Holland教授提出的算法，它起源于对生物系统所进行的计算机模拟研究。它是模仿自然界的生物进化理论发展起来的随机全局并行搜索和优化的方法，借鉴了达尔文的进化论和孟德尔的遗传学说[12]。其本质是一种高效、并行、全局的搜索方法，能在搜索过程中自动获取和积累有关知识，并自适应的控制搜索过程以求得最佳解。
下面我们讨论拟牛顿法推导公式。
首先分析如何构造矩阵可以近似Hesse矩阵的逆：
设第k次迭代之后得到点，将目标函数 在 处展成Taylor级数，取一阶近似，得
（2-11）
因此
令 ，则
令 ，同时设Hesse矩阵 可逆，则方程（2-11）可表示为
数学的非线性方程研究
数学的非线性方程研究在数学领域，非线性方程是一类相对复杂的方程，与线性方程不同，非线性方程包含了一个或多个非线性项。
非线性方程的研究对于理解自然界中的各种现象和解决实际问题具有重要意义。
本文将讨论非线性方程的研究内容和方法。
一、非线性方程的基本概念非线性方程是指方程中某些未知量的函数与其导数以及积分的各项不全为一次、且相互不只线性关系的方程。
非线性方程的一般形式可以表示为：F(x) = 0其中F(x)是一个非线性函数，x是未知量。
非线性方程不具有线性方程那样简单的解析解，需要借助数值计算方法或者近似解法进行求解。
二、求解非线性方程的数值方法求解非线性方程的数值方法主要包括迭代法和牛顿法。
1. 迭代法迭代法是一种通过不断逼近的方法求解非线性方程的近似解。
具体步骤如下：（1）选择一个初始值x₀；（2）根据递推关系式xᵢ₊₁ = G(xᵢ)，进行迭代计算；（3）当满足停止准则时停止迭代，否则返回（2）继续迭代。
迭代法的优点是简单、易于实施，但对于某些非线性方程可能会求得不收敛或收敛速度较慢的近似解。
2. 牛顿法牛顿法是一种基于切线逼近的迭代方法，其基本思想是通过构造连续函数的切线来逼近非线性方程的解。
具体步骤如下：（1）选择一个初始值x₀；（2）根据切线方程xᵢ₊₁ = xᵢ - f(xᵢ)/f'(xᵢ)，进行迭代计算；（3）当满足停止准则时停止迭代，否则返回（2）继续迭代。
牛顿法的优点是收敛速度较快，但对于初始值的选取较为敏感，可能会导致迭代失败。
三、非线性方程的应用领域非线性方程的研究广泛应用于自然科学和工程技术领域，在以下几个方面有重要应用。
1. 力学非线性方程在力学中的应用十分广泛，如在物体的运动学和动力学分析中，使用非线性方程描述物体的运动规律和力学关系。
2. 经济学经济学中的经验模型和数理经济学模型常常涉及到非线性方程，通过研究非线性方程可以解决经济学中的各种实际问题。
3. 生物学生物学中的生命过程往往是非线性的，研究非线性方程可以揭示生物系统的动力学行为和稳定性。
非线性方程求解方法的研究与比较分析
非线性方程求解方法的研究与比较分析非线性方程是数学中一类重要的方程，它们的求解对很多实际问题具有重要的意义。
然而，非线性方程由于其非线性特性，使得其求解更加困难和复杂。
本文旨在研究和比较非线性方程的求解方法，通过对不同求解方法的分析和比较，来评估它们的优缺点和适用范围。
首先，我们介绍一些常用的非线性方程求解方法。
目前常用的求解方法主要包括迭代法、牛顿法、二分法等。
迭代法是一种比较简单的求解非线性方程的方法。
其基本思想是通过不断迭代逼近方程的解。
具体的迭代公式可以选择不同的形式，如固定点迭代法、牛顿迭代法等。
迭代法的优点是简单易懂，但是其收敛速度较慢，而且在某些情况下可能无法收敛到解。
牛顿法是一种较为常用的非线性方程求解方法。
它利用函数的一阶导数和二阶导数信息，通过不断的迭代逼近方程的解。
牛顿法的优点是收敛速度快，但是在某些情况下可能会出现迭代发散的情况。
二分法是一种比较简单但是有效的非线性方程求解方法。
其基本思想是通过不断地缩小解的搜索范围，直到找到满足方程的解。
二分法的优点是简单易懂，而且收敛性和精度较好，但是其收敛速度相对较慢。
在对以上几种方法进行比较分析之前，我们需要明确一些评价指标。
首先是收敛性，即方法是否能够收敛到解。
其次是收敛速度，即方法迭代到解所需的时间。
还有精度，即方法得到的解与真实解之间的误差。
最后是稳定性，即方法对初始值的选择是否敏感。
通过对以上几种方法的比较分析，我们可以得出以下结论：首先，迭代法是一种简单但是不稳定的求解方法。
其收敛性和精度较差，而且对初始值的选择较为敏感。
因此，在实际应用中，迭代法通常只适用于简单的非线性方程求解。
其次，牛顿法是一种较为常用的求解方法。
它具有收敛速度快、精度高的优点，但是在某些情况下可能会出现迭代发散的情况。
此外，牛顿法对函数的一阶导数和二阶导数的计算要求较高，所以在某些情况下可能不适用。
最后，二分法是一种简单而有效的求解方法。
它具有收敛性好、精度高的优点，但是其收敛速度相对较慢。
数学中的非线性方程求解算法研究
数学中的非线性方程求解算法研究一、引言非线性方程是数学中的重要问题，具有广泛的应用背景。
在现实生活中，很多问题都是由非线性方程建模的，需要通过求解非线性方程来得到问题的解。
因此，对于非线性方程求解算法的研究具有重要的理论和实际意义。
本文旨在对目前常用的非线性方程求解算法进行详细介绍，并对其优缺点进行评价和比较。
二、二分法二分法也称为割线法或区间收缩法，它是一种比较基础的求解非线性方程的方法。
具体来讲，二分法的思想是：首先给定一个初始区间，然后取区间中点作为近似值，通过与零点的比较来缩小区间，直到区间长度小于给定的精度要求为止。
二分法的基本流程可以简述如下：1. 给定初始区间[a,b]，满足f(a)f(b)＜0。
2. 求出中点c=(a+b)/2。
3. 计算f(c)并判断其与零点的位置关系。
4. 根据f(a)f(c)＜0或者f(c)f(b)＜0将区间缩小。
5. 重复步骤2~4，直到满足收敛条件。
二分法的优点在于其思路简单，易于实现和理解。
但是，其收敛速度比较慢，并且对函数的单调性和连续性要求比较高。
三、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种基于导数信息的非线性方程求解方法。
其基本思想是：选取一个初始点作为近似解，并通过不断迭代，逐渐逼近方程的零点。
牛顿迭代法的基本流程如下：1. 选取一个初始点x0。
2. 计算函数f(x)的一阶导数f'(x0)。
3. 计算当前点x0的函数值f(x0)。
4. 根据泰勒公式得到近似解x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
5. 重复步骤2~4直到满足收敛条件。
牛顿迭代法具有收敛速度快的优点，尤其适用于连续可微的函数。
但是其缺点在于需要求取函数的一阶导数，如果函数难以求导或者计算导数比较费时，则会影响其求解效率和准确性。
四、弦截法弦截法是一种基于线性插值的非线性方程求解方法。
其基本思路是：从两点出发构造一条直线，通过直线与x轴的交点来逼近方程的零点。
根据插值定理，可以通过两个初始点上的函数值来构造一条直线，并根据截距与零点的位置关系来选择新的近似解。
非线性方程的求解毕业论文
非线性方程的求解毕业论文题目(中文): 非线性方程的求解(英文): The Solution of Nonlinear Equations目录绪论 ..................................................................... ........................................................... 1 1 非线性方程的简介 ..................................................................... .. (1)1.1非线性方程的背景 ..................................................................... . (1)1.2非线性方程的概念 ..................................................................... ...................... 2 2非线性方程求解的数值方法 ..................................................................... (3)2.1 二分法 ..................................................................... .. (3)2.1.1 二分法的思想 ..................................................................... . (3)2.1.2 二分法的推理 ..................................................................... . (3)2.1.3 二分法的应用 ..................................................................... . (4)2.2 牛顿迭代法 ..................................................................... (4)2.2.1 迭代法 ..................................................................... (4)2.2.2 牛顿迭代法 ..................................................................... . (6)2.3 改进牛顿迭代法 ..................................................................... .. (10)2.3.1 改进牛顿迭代法的背景 ......................................................................102.3.2 改进的法 ..................................................................... ........... 11 Newton3 牛顿迭代法和改进牛顿迭代法的应用 ....................................................................123.1 牛顿迭代法的应用...................................................................... . (12)3.2 改进牛顿迭代法的应用 ..................................................................... ............ 19 4 结束语 ..................................................................... ................................................. 22 参考文献 ..................................................................... ................................................. 23 致谢 ..................................................................... (24)I非线性方程的求解摘要非线性方程在实际问题中经常出现，很多熟悉的线性模型都是在一定的条件下由非线性问题简化得到的;非线性方程在科学与工程计算中的地位越来越重要,因此研究和探讨非线性方程求解的方法是非常有必要的。
最新非线性方程(组)的解法比较 毕业论文名师资料合集
毕业论文题目：非线性方程(组)的解法比较学院：数学与统计学院姓名：专业：信息与计算科学学号：24010202010指导教师：提交日期：原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名：年月日论文指导教师签名：目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)第一章引言 (2)第二章非线性方程的解法 (3)2.1 二分法 (3)2.2迭代法 (5)2.3Newton法 (6)第三章非线性方程组的解法 (9)3.1牛顿法 (9)3.2 最速下降法 (12)3.3牛顿过程及变度量法 (14)第四章方法的选择与总结 (15)参考文献 (16)致谢 (17)非线性方程(组)的解法比较郭亮军（天水师范学院数学与统计学院甘肃天水 741000）摘要: 本文主要总结求非线性方程解的一些常用方法及它们之间的优缺点，这些方法均是知道根的初始近似值后，进一步把根精确化，直到达到所要求的精度为止.主要介绍的有二分法、迭代法、牛顿法.在总结的基础上对一些较好的方法进行改进,在文章的最后总结了各种方法的选择原则，使其能更加准确的计算非线性方程，这对以后的科学计算中有很重要的实际意义.关键词: 非线性方程; 精确解; 迭代法; 根分类号：O241.6The comparisons among the methods of nonlinear equation(s)Guo Liangjun(College of Mathematics and Statistics, Tisanshui Normal University) Abstract: In this paper, we mainly summed up some methods, such as dichotomy method, Newton's law, for solving nonlinear equations, and compare the advantages and disadvantages between them. There is a common featrure among these methods, that is, the initial approximation root is known, then by iterative process, we find the accurate root. Base on analysis of these methods, we revise and improve the cerresponding methods. Finally, we give the principle of choosing these methods.Key words: Nonlinear equation；Accurate solution；Iterative method；Solution第一章 引言在实际问题中，常常会遇到方程f(x)=0的求解问题.当f(x)为一次多项式时，f(x)=0称为线性方程，否则称为非线性方程.对于非线性方程，由于f(x)的多样性，求其根尚无一般的解析方法可以使用，因此研究非线性方程的数值解法是十分必要的.与线性方程组不同，除特殊情况外，求解非线性方程不能用直接法求数值解，而是要用迭代法.迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率.对于线性方程组，若某迭代法收敛，则取任何初值都收敛.但是，对于非线性方程，不同的初值可能有不同的收敛性态，有的初值使迭代收敛，有的则不然.一般说来，为使迭代法收敛，初值应取在解的附近.我们常常会遇到非线性方程432103550240x x x x -+-+=或 sin 02x x e π-⎛⎫-=⎪⎝⎭一般的，我们记非线性方程为 ()0fx =非线性方程组的一般形式为 ()()()11221212,,,0,,,0,,,0n n n n f x x x f x x x f x x x =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩L L L L 其中(1,2,,)i f i n =L 是n 维实空间n R 上的实值函数.用向量形式表示()0f x =u r r r这里,,0f x u r r r 均是n 维向量.为了方便计，还是用,,0f x 分别表示上述向量.简记为()0f x =方程的解亦称方程的根或函数的零点,根可能是实数或复数.若()()'0,0,f f αα=≠则α称为单根；若()()()()1'0k f f f ααα-====L 而()()0k f α≠则α称为k 重根； 常见的求解问题有两种：(1)要求在给定范围内的某个解.(2)要求在给定范围内的全部解.然而非线性问题，除少数情况外，一般不能不利用公式求解.而要采用某种迭代解法.即构造出一近似值序列01,,,n αααL L 逼近真解α.收敛速度一般由迭代方法所决定，方程的性态也会起一些作用.我们主要介绍非线性方程的解法.第二章 非线性方程的解法2.1二分法二分法是方程求解最直观、最简单的方法.二分法以连续函数的介值定理为基础的.由介值定理知道，若函数)(x f 区间],[b a 上连续，且0)(*)(<b f a f ，即)(a f 和)(b f 符号相反，则)(x f 在],[b a 内一定有实根.二分法的基本思想是：用对分区间的方法根据分点处函数)(x f 的符号逐步将有限区间缩小，使在足够小的区间内，方程有且仅有一根.下面简述其基本步骤.首先记b b a a ==00,.用中点2000b a x +=将区间],[00b a 等分成2个小区间],[00x a 和],[00b x .然后分析可能存在的三种情况：如果0)(*)(0=x f a f ，则0x 是零点，也就是方程的根.如果0)(*)(0<x f a f ，则区间],[00x a 内存在零点.如果0)(*)(0<b f x f ，则区间],[00b x 内存在零点.对有根的新区间施行同样的操作，于是得到一系列非空的区间],[],[],[],[221100k k b a b a b a b a ⊃⊃⊃⊃Λ 其中每1个区间的长度都是前一区间长度的一半，最后1个区间的长度为 kk k a b a b 2-=- 如果取最后1个区间],[k k b a 的中点2k k k a b x -= 作为0)(=x f 根的近似值，则有误差估计式1*22+-≤-≤-k k k k a b a b x x 对于所给精度ε，若取k 使得ε≤-+12k a b 则有，ε≤-k x x *计算方法如图所示例：求方程3()10f x x x =--=在区间[1，1.5]内的一个实根，要求准确到小数点后的第二位.解：这里1, 1.5,()0,()0.a b f a f b ==<>取[a,b]的中点0 1.25x =，将区间[a,b]二等分，由于0()0,f x <即0()()f a f x 与同号，故在0x 的右侧有方程的一个实根，这时令1011.25, 1.5a x b b ====，而新的有限区间为11[,]a b .二分过程可如此反复下去，计算结果如下：k0 1 2 3 4 5 6 k a1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 1.3203 k b1.5 1.5 1.375 1.375 1.3438 1.3281 1.3281 k x1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 ()k f x - + - + - + -我们现在预估所要的次数.令1()/20.005k b a +-≤，得6k ≥，即二分6次就能达到预定的精度*60.005x x -≤，与实际计算结果相符.二分法的优点是算法简单，且在有限区间内收敛性总能得到保证.值得注意的是，为了求出足够精确的近似解，往往需要计算很多次函数值，是一种收敛较慢的方法，通常用求根的粗略近似值，把它作为后面要讨论的迭代法的初始值.另一方面，二分法只使用于求一元方程的奇数重实根.在二分法中，是逐次将有根区间折半.更一般地是，从有限区间的左端点出发，按预定的步长h 一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的“搜索”，即检查所在节点上的函数值的符号，一旦发现其与左端的函数值异号，则可确定一个缩小了的有限区间，其宽度等于预定的步长h.然后，再对新的有限区间，取新的更小的预定步长，继续“搜索”，直到有限区间的宽度足够小.2.2 迭代法迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解.迭代法的基本思想是一种逐次逼近.首先取一个粗糙的近似值，然后用同1个递推公式，反复校正这个初值，直到满足预先给定的精度要求为止.对于迭代法，一般需要讨论的基本问题是：迭代法的构造、迭代序列的收敛性和收敛速度以及误差估计.这里，主要看看解方程迭代式的构造.对方程0)(=x f ，在区间],[b a 内，可改写成为)(x x ϕ= 取],[0b a x ∈，用递推公式)(1k k x x ϕ=+, Λ,2,1,0=k 可得到序列∞==0210}{,,,,k k k x x x x x ΛΛ当∞→k 时，序列∞=0}{k k x 有极限x ~，且)(x ϕ在x ~附近连续，则在式)(1k k x x ϕ=+两边极限，得)~(~x x ϕ=即，x ~为方程)(x x ϕ=的根，所以x x ~*=即*lim x x k k =∞→ 式)(1k k x x ϕ=+称为迭代式，也称为迭代公式；)(x ϕ可称为迭代函数.称求得的序列∞=0}{k k x 为迭代序列.当迭代序列收敛时，称迭代收敛，否则称迭代发散.称k k x x e -≡*为第k 次迭代误差.用迭代式)(1k k x x ϕ=+求得方程近似根的方法简称为简单迭代法，也称为迭代法.用迭代法求解方程，其迭代所产生的迭代序列是否会收敛于方程0)(=x f 的一个根，通常与初始近似值选取范围有关，若从任何可取的初始值出发都能保证收敛，则称之为大范围收敛.但若为了保证收敛性，必须选取初始值充分接近于所要求根，则称它为局部收敛.通常，局部收敛方法比大范围收敛方法收敛的更快.因此，一个合理的算法是先用一种大范围收敛方法求得接近于根的近似值，再以其作为新的初始值使用局部收敛方法.迭代法的收敛速度通常用收敛阶数来衡量.若存在实数λ和C ，使得， C e e k k k =+∞→λ1lim则称该迭代法为λ阶收敛，或者说穹的收敛阶数是λ.若λ为整数，则上式，可以写成为：C e e kk k =+→∞λ1lim的大小反映了收敛速度的快慢.2.3 Newton 法从前面迭代法，我们知道，迭代函数)(x ϕ构造的好坏，不仅影响收敛速度，而且迭代格式有可能发散.怎样选择一个迭代函数才能保证迭代序列一定收敛呢？构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根.因此，如果能将非线性方程0)(=x f 用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便.牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法. 设k x 是方程0)(=x f 的一个近似根，如果把)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即))((')()(k k k x x x f x f x f -+≈ 于是我们得到如下近似方程0))((')(=-+k k k x x x f x f 设0)('≠k x f ，则方程)(x x ϕ=的解为)(')(~k k k x f x f x x == 取x ~作为原方程0)(=x f 的新近似根1+k x ，即令)(')(1k k k k x f x f x x -=+， Λ,2,1,0=k 上式称为牛顿迭代格式.用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法.牛顿法具有明显的几何意义.方程))((')(k k k x x x f x f y -+= 是曲线)(x f y =上点))(,(k k x f x 处的切线方程.迭代格式)(')(1k k k k x f x f x x -=+， Λ,2,1,0=k 就是用切线式))((')(k k k x x x f x f y -+=的零点来代替曲线0)(=x f 的零点.正因为如此，牛顿法也称为切线法.牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的.一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x 时才能保证收敛.若要保证初值在较大范围内收敛，则需对)(x f 加一些条件.如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些修改，即可以采用下面的迭代格式)(')(1k k k k x f x f x x λ-=+， Λ,2,1,0=k 式中，10<<λ，称为下山因子.因此，用这种方法求方程的根，也称为牛顿下山法. 如图所示对牛顿法的改进牛顿法对单根收敛速度快，但每迭代一次，除需计算)(k x f 之外，还要计算)('k x f 的值.如果)(x f 比较复杂，计算)('k x f 的工作量就可能比较大.为了避免计算导数值，我们可用差商来代替导数.通常用如下几种方法： (1) 割线法.如果用11)()(----k k k k x x x f x f代替)('k x f ，则得到割线法的迭代格式为 )()()(111k k k k k k k x f x f x f x x x x --+---=(2) 拟牛顿法.如果用)())(()(1k k k k x f x f x f x f ---代替)('k x f ，则得到拟牛顿法的迭代格式为))(()()(121-+---=k k k k k k x f x f x f x f x x(3) Steffenson 法.如果用)()())((k k k k x f x f x f x f -+代替)('k x f ，则得到拟牛顿法的迭代格式为)())(()(21k k k k k k x f x f x f x f x x -+-=+ 第三章 非 线 性 方 程 组 的 解 法非线性方程组的向量形式可表示为()0f x =，()12,,,T n f f f f =L ，()12,,,Tn x ξξξ=L解法：1. 几乎不可能用直接法.2. 线性化，迭代逼近,牛顿法.3. 最优化，求函数极小值,下降法. 3.1牛顿法为方便，用二维情形来讨论:()()()112212,031,0f f ξξξξ=⎧⎪-⎨=⎪⎩假定（3-1）的解012,,[0(,)]x f f C x δ**∈,且存在一阶偏导数，设()()0,k x x δ*∈,这里()()()1212(,),(,)k k k x x ξξξξ***==,作线性函数（Taylor 展开，取一阶精度） ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1111112212222211221232kk k k k k k x x k kk x x f f l x f x f fl x f x ξξξξξξξξξξξξ∂∂⎧=+-+-⎪∂∂⎪-⎨∂∂⎪=+-+-⎪∂∂⎩在()0,x δ*内用线性函数（3-2）代替非线性方程组(3-1)中的f1,f2, 从而()()()()()()()()()()()()11121122212222k k xkk xkkkxk k k x f f f x f f f x ξξξξξξξξ⎧∂∂∆+∆=-⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪∆+∆=-⎪∂∂⎩()()()()111222,k k k k ξξξξξξ∆=-∆=-这里，,如果在()0,x δ*中矩阵（称Jacobi 矩阵） ()()()1112221233k k x f f Df x f f ξξξξ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥=-∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦非奇异，则可解出()()()()()()()()()1112234k k k x k k f xDf f x ξξ-⎛⎫-⎛⎫∆ ⎪⎡⎤=- ⎪⎣⎦ ⎪ ⎪∆ ⎪-⎝⎭⎝⎭()Df x 称为向量函数的Jacobi 矩阵，从而()()()()()()11111222k k k k k k ξξξξξξ++⎧=+∆⎪⎨=+∆⎪⎩ 于是()()()()()()()1135k k k kx x x Df f x -+⎡⎤=--⎣⎦非线性方程组（3-1）的牛顿迭代公式n 维情形可以如下表示()()()111122221212k n k n n n n n x f f f f f f Df x f f f ξξξξξξξξξ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦L L L L LL例：用牛顿法求方程组()()2211212122222121122,4220,2330f f ξξξξξξξξξξξξξ≡++--=≡++-= 的近似解解：设初始近似解为()00.4,0.9Tx =()()()()()()001120212,0.73,0.79f f ξξξξ=-=-再算1212''112112''21221282,22143,32f f f f ξξξξξξξξξξξξ=+=+-=+=+故()()()12012''110''22 5.0 1.64.3 3.0x f f Df x f f ξξξξ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此()()11112 5.0 1.60.73 3.0 1.60.7314.3 3.00.79 4.3 5.00.798.12ξξ-⎛⎫∆-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-∆⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 ()()00.114,0.100Tx ∆=故 ()()()()1000.514, 1.000Tx x x =+∆=重复上述过程()()()()()1112,0.084784,0.070392TT f x f x⎡⎤=⎣⎦()()1 6.112 2.0285.056 3.524Df x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()()()()()()()11111112 6.112 2.0280.0847840.0138265.056 3.5240.0703920.000138f x x Df x f x --⎛⎫---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪∆=== ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎪-⎝⎭ 故()()()()2110.500174,0.999862Tx x x =+∆=再重复做一次，得()()20.000174,0.000138Tx ∆=-故()()()()3220.500000,1.000000Tx x x =+∆=，且()()()()33120.0f x f x ==由此例可得：（1）当Jacobi 矩阵()()kDf x 非奇()0,1,k =L ，且初值()()00,x x δ*∈，δ充分小，则迭代式（3-5）收敛，且收敛速度阶为2.（2）初始要求高，即δ很小，()()k Df x 可能出现病态. （3）计算()()k Df x 的逆矩阵工作量大. 为克服上述三个缺点，改进（3-5）的迭代式. 牛顿法的改进改进１ 带松弛因子的牛顿迭代格式改善了对初始值近似程度的要求,(3-5)中引入了松弛因子k ω,有()()()()110,1,2,36k k k k k x x Df x f x k ω-+=-=-⎡⎤⎣⎦L而k ω的选取满足()()()()()()11min 37k k k k k f x f x f x Df x f x ωω-+≤--⎡⎤⎣⎦或()()()12036k εωεε<<->-当时收敛.()21,k ω=即是牛顿法.收敛最快.()()()33737k ω--按求取时，是一维的极值问题.改进2 修正牛顿法尽可能减少矩阵求逆次数,一种简单的办法是每次使用同一个Jacobi 矩阵的逆，但大大影响收敛速度，另一种办法是若干次迭代后求一个矩阵逆.令()()()()(),01,,1,11,1,,0,1,38k kk i k i k k i k k mx x x x Df x f x i m x x k ---+=⎧⎪⎪=-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪==-⎪⎩L L 它减少了矩阵求逆，又保证了收敛，换一个角度看，如果说它的求逆次数与牛顿法相同(k 次)，则它的收敛阶为m+1. 3.2 最速下降法极值化方法是解非线性方程组的主要方法，如何极值化，比如求解()()12,,,01,2,,i n f x x x i n ==L L等价于求解()()()()2139ni i f x f x ==-∑的零极值点,求解(3-9)的极值点也是一个无约束的最优化问题，求解最优化问题，通常采用下降法,一般描述如下：设x *是无约束问题局部极小点，0x 是x *的初始估计，即()()min f x f x *=有()0f x *∇=其中()()()1,,Tn f x f x f x x x ∂∂⎡⎤∇=⎢⎥∂∂⎣⎦L 称为()f x 的剃度.显然，剃度方向是函数增加最块的方向. 下降法的迭代步骤()1.(),0k k k h f x h ∇<确定下降的搜索方向，使. ()()2.0k k k k k f x h f x λλ>+<选择步长因子，以保证.13.k k k k x x h λ+=+计算.()()()11124.6k k k f x f x f x εε++∇≤-≤若且则转.5.:11k k =+置，转. 16.:k x x *+=置，迭代结束.最速下降法取()k k h f x =-∇，因此()()10,1,2,k k k k x x f x k λ+=-∇=L其中0k λ≥为步长因子，它的取法有()()()()()12k k k k k k k i f x f x f x λλλλλλ=-∇<=取为给定常数，检验不成立时，让，再检验.()()(),:min k k k k ii f x f x λλλλ≥-∇通过一维搜索确定讨论与改进 优点：１. 程序简单，每步迭代计算量少，存储省. ２. 对于不太好的初始点x0，往往也能收敛.缺点：最速下降法是名不符实的，一般来说，它只有线性的收敛速度,究其原因，()k f x -∇只是局部下降的最快的方向，从整体看这个方向并非最好. 若()()()1min k k k f x f x f x λλ+=-∇则()()()()10Tk k i f x f x +∇∇=()ii 对于一族扁椭圆，迭代出现锯齿形,收敛很慢.一般来说，开始几步下降速度较快，但越靠近极小值点越慢. 改进思想：1.前几步用最速下降法，后改用Newton 法.2.tan Par 法()10,1,2,k k k kx x h k λ+=+=L其中()()23,1,2,{kk k k x x if k i i h f x else--===-∇L3.3 牛顿过程及变度量法 Newton--Raphson 迭代把函数()f x 在第k 次近似解k x 附近进行Taylor 展开：()()()()()()()12TTk k k k k k f x f x f x x x x x J x x f x ≅+∇-+--记 求()f x 之极小点x *()()01,2,,i xif f x i n ξ*∂∆==∂L即()()()0k k k k f x f x J x x ∇=∇+-=()11k k k k x x J f x -+=-∇ ()k k k k J x J x f x =-∇这就是Newton raphson-迭代格式.() 2.i收敛快.其收敛阶为()()ii f x若是二次函数，则一步收敛.()iii有些问题可能发散，或收敛到鞍点.()iv J可能奇异.k第四章方法的选择与总结1. 原则：（1）有效性（2）运算量（3）存储量2.非线性代数方程（1）二分法具有良好的有效性（2）二次插值和有理插值运算量少（3）一般采用组合方法3.对于非线性方程组，一般采用最优化方法.有几种组合方法可以利用，选择方法强烈依赖于问题，它也是一种艺术.参考文献：[1] 张禾瑞，郝鈵新.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1999.[2] 卢刚.线性代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005.[3] 白峰杉.数值计算引论[M].北京：高等教育出版社，2004.[4] 徐良藏.求解非线性方程迭代法之研究[D].浙江大学,2001.[5] 夏季,黄正良.一个求非线性方程实根的新方法[J].西南工学院学报,1995(03):50-54.[6] 蔡春.一类非线性方程组的改进牛顿算法[J].北京联合大学学报,2002,(04):15-19.[7] 王宝东.一类非线性发展方程精确解的构造方法[D].大连理工大学,2006.[8] 刘慧,张立杰.解非线性方程组的一种新的Newton型迭代法[J].新疆工学院学报, 1997,(03):8-10.[9] 王宗木.一个改进的非线性方程求解的迭代方法[J].安徽建筑工业学院学报, 1996,(04):28-30.[10] 吴忠麟,吴新元.解非线性方程的一个非线性迭代法[J].高等学校计算数学学报, 1995,(04):23-27.[11] 赵华敏,陈开周.解多元非线性方程组的一个非线性迭代法[J].西安公路交通大学学报, 2001,(02):19-21.致谢。
离散型牛顿法解非线性方程的应用论文1
本科毕业设计(论文)题目名称：离散型牛顿法在解非线性方程中的应用学院：数学学院专业年级：信息与计算科学2009级学生姓名：班级学号：200911020110指导教师：姜晓威二O一三年四月十七日摘要牛顿型方法是解非线性方程组的一类重要方法,在非线性方程组迭代解法的理论研究中占有十分重要的地位,牛顿型方法是逐步线性化方法的典型代表,牛顿法的收敛性理论及其研究方法,特别是K ahtopobnu的著名论文,对迭代的研究产生了深远的影响.在通常情况下，非线性算子方程的解不能精确解出，而是用数值方法求其近似解.牛顿法是一种普遍适用的迭代法.它的计算格式简洁，程序简单，而且收敛速度快，适用范围广.多年来，众多学者对经典牛顿法提出多种改进方案，如：萨马斯基提出的修正牛顿法，阻尼牛顿法，拟牛顿法等各种变形.经典牛顿法尽管具有很多优点,但在处理某些不可微问题或导数难计算问题时会遇到一些困难,而离散型牛顿法可以在一定程度上弥补这方面的不足.本文讨论了牛顿法及离散型牛顿法的半局部收敛性及大范围收敛性，并给出数值算例对此两种方法的执行情况.关键词：非线性方程；牛顿法；离散型牛顿法；收敛性AbstractThe Newton method is an important method for the solution of nonlinear equations，Occupies a very important position in the theory group iterative method for solving nonlinear equations.The Newton method is a typical representative of successive l inearization method, Newton method, convergence theory and research method, especially the famous paper Kahtopobnu, exerted a profound influence on the study of iteration.Generally speaking, we can not solve the nonlinear equations exactly. We always Give the approximate solution by using the numerical methods for nonlinear equations. Newton’s method is one of the most powerful and well-known iterative methods known to converge operator equation. In recent decades, scholars obtained many progresses of the classic Newton ’s method for solving nonlinear equations, Frozen- Newton method given by Samaski, damped Newton method, Quasi- Newton method and other forms.In this paper, we will give the convergence and convergence rate of the modified discrete Newton’s method, again. And numerical examples are given to verify the validity of the method. Moreover, using the modified discrete Newton’s method, we propose the modified continuous Newton’s method. We prove that it is convergence.Keywords: nonlinear equations; Newton’s method;Discret e Newton’s method; convergence目录中文摘要 (Ⅰ)英文摘要 (Ⅱ)目录 (Ⅲ)1.引言 (1)2.主要内容 (1)2.1牛顿法和牛顿型方法介绍 (1)2.2牛顿方法的收敛性 (3)2.2.1牛顿法的半局部收敛性 (3)2.2.2大范围收敛问题 (4)2.3.离散型牛顿法 (6)2.3.1半局部收敛性 (6)2.3.2大范围收敛性 (7)2.4数值算例 (8)3.总结 (10)致谢 (11)参考文献 (12)1.引 言牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域或复数域上近似求解方程的方法.多数方程不存在求根公式,因此求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要.牛顿法是求方程的重要方法之一,其最大优点是在方程0)(=x f 的单根附近具有平方收敛速度,而且该方法还可以用来求方程的重根,复根,此时线性收敛,但是可通过一些手段变成超线性收敛.该方法已广泛用于计算机编程中. 本课题主要来源于非线性算子方程数值解法.随着非线性科学的飞速发展，许多科研工作者逐渐的对非线性问题的求解产生了浓厚的兴趣.线性系统的解很容易由计算机求出，但是对于非线性问题，无论从理论上还是从计算方法上都比解线性问题要复杂的多.一般情况下，非线性问题是很难求出解析解(或精确解)，往往只能求出数值解(或近似解).经典牛顿法尽管具有很多优点,但在处理某些不可微问题或导数难计算问题时会遇到一些困难,而离散型牛顿法可以在一定程度上弥补这方面的不足.2.主要内容2.1 牛顿法和牛顿型方法介绍考虑解方程式 ()0F x =，(2.1)其中映像F :nnR RΩ⊂→ 于凸区域Ω中二次G-可微,且()F x ''于Ω连续.设*x ∈Ω为方程组(2,1)的解.选定*x 的初始近似值(0)x ∈Ω,利用Taylor 级数,我们有1(0)(0)(0)(0)(0)(0)2()()()()(())()(1)F x F xF xx xF xt x xx xt d t'''=+-++---⎰.由于(0)x 充分接近*x ,因此我们可以用线性方程组(0)(0)(0)()()()0F xF xx x'+-= (2.2)近似的代替方程组(2.1).设(2.2)的解为(1)x :(1)(0)(0)1[()]()xxFx F x-'=-. 一般说来,(1)x 应较(0)x 更近似于*x ,因而,类似的可以再(1)x 近旁用线性方程组(1)(1)(1)()()()F xFx x x'+-= 近似代替(2.1),其解(2)x 为*x 的新的近似值: (2)(1)(1)1[()]()xxFx F x-'=-. 一般地.我们有...2,1,0),()]([)(1)()()1(='-=-+k xF xF xxk k k k (2.3)这就是解方程组的牛顿程序.从上述讨论看出,解方程组的牛顿法,无论其形式或者构造方法均与方程式情形相同.对于方程组,同样可以构造简化牛顿程序,其迭代公式为...2,1,0),()]([)(1)()()1(='-=-+k xF xF xxk k k k (2.4)显然,对于方程组,这种简单化更有意义,因为他每一步减少了2n 个微商值的计算. 迭代公式(2.3)及(2.4)一般说来只是一种形式记法,因为,在空间维数n 很大,求微商的逆是困难的.实际计算时,它们分别采用下述形式:(1)()()'()()()()()0,0,1,2,k k k k k k xx x F x x F x k +⎧=+∆⎪⎨∆+==⎪⎩ , (2.5)(1)()()'(0)()()()()0,0,1,2,k k k k kxx x F x x F xk +⎧=+∆⎪⎨∆+==⎪⎩ . (2.6)即利用牛顿法或简化牛顿法计算时,每步需要解一个n 阶线性方程组,其中简化牛顿程序每步所解得方程组具有同一系数矩阵.按上述构造牛顿法的方法,我们实际上是用形如()()()()()()0k k k A xx xF x-+= (2.7)的线性方程组近似代替方程组(2.1),其解(1)()()1()[()](),0,1,2,...k k k kxxA xF xk +-=-= (2.8)即作为(2.1)的解的近似值,为保证()k x 近似于*x ,应要求A(x)近似于*()F x '.基于不 同的考虑,适当选取)(x A ,即得到牛顿法的各种变体.这类方法统称为牛顿型方法.考虑到很多问题(例如,由微积分方程离散化导出的方程组)()F x ''的计算较复杂,因此常常将()F x '的元素用相应的差商代替,即)(x A 去乘下列矩阵:(,)J x h 211111121111(()()),...,(()()).................................................................................11(()()),...,(()())nn nn n n n n n n f x h e f x f x h e f x h h f x h e f x f x h e f x h h ⎛⎫+-+- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪+-+- ⎪⎝⎭ (2.9)1(,...,),Tin h h h e=为第i 个单位向量,此时相应的迭代程序(2.8)称为离散型牛顿程序,其计算公式为(1)()()(k )()()()(,)()0,0,1,2...k k k k k k xx x J x h xF x k +⎧=+∆⎪⎨∆+==⎪⎩ (2.10) 其中()k h 为事先选定的向量序列.容易看出,为实现(2.10)每步需计算1+n 个函数向量(即(1)n n +个函数值),并且解一个n 阶线性方程组,每步计算量与牛顿法相同,但无需计算()F x '.2.2牛顿方法的收敛性2.2.1牛顿法的半局部收敛性局部收敛性定理都是在假定原方程的解*x 存在,并且初值0x 必须在真解的某个邻域中得到的.但是一般情况下，我们不知道方程是否有解,自然地，希望能从迭代过程的收敛性去确定方程解的存在性.并且对选取的初值0x ，给出保证迭代收敛性的条件，进一步还希望估计出*xx k-的误差.这样不事先假定解存在的收敛性叫做半局部收敛性.讨论牛顿法的半局部收敛性,最著名的定理是康托洛维奇定理. 定理2.1 设,X Y 均为实Banach 空间,算子0:(,)F B x X Yγ⊂→是F-可微分的,且满足: (i)0[()]F x ' 是Y到X 的有界性算子100||[()]()||F x F x α-'≤10||[()]||F x β-'≤,(ii)0||[()()]||||||,,(,)F x F y L x y x y B x γ''-≤-∈,(iii) 21L αβ<, 2αγ<.则牛顿迭代程序: 11[()](),0,1,...n n n nx x Fx F x n -+'=-= 收敛于方程()F x θ=的唯一解*0(,2),x B x α∈且有估计式:*2111||||2nn n x x q---≤,其中2qL αβ=.2.2.2大范围收敛问题Mbicobcknx 曾经指出,在Cauchy 型条件下,即使对单调函数,牛顿法也仅有局部收敛性质,并且举出方程式情形4ρ>不收敛的例子,然而,选择初始近似(0)x ,使之满足牛顿法的收敛条件是很困难的,因此,改造牛顿型方法,使之具有大范围收敛性,无论在理论上或是实际应用上都有意义的.大范围收敛的牛顿程序是按下降思想导出的,现以方程式为例介绍牛顿下降法的构造思想.考虑解方程式()0F x =(2.11)的牛顿程序(1)()()1(()()k k k kxxFx F s +-''=-,利用Taylor 公式有(1)(1)()()(1)|()||()()()()|k k k kk kF xF xF xFx x x +++'=---(k )()1()21|(x)||()()|2k k F F x F x-'''=,式中()()(1)()(),01k k k k x xx xθθ+=+-<<. 由此看出,若()()12()1|()||()||()|12k kk F xF x F x -'''<, (2.12)则有(1)()|()||()|k k F x F x +<.条件(2.2)实际上是Mbicobcknx 定理2.1中的条件2ρ<.换言之,当()F x 满足Cauchy 型条件时, 2ρ<保证了()|()|k F x 随着k 的增大而减少.上述事实启发我们适当改造牛顿程序,以减弱2ρ<的限制并保持()|()|k F x 关于k 下降的性质.基于这种考虑,构造程序(1)()()1(()()k k k kk xxFx F x ω+-'=- , (2.13)仍利用Taylor 公式导出(1)2()()12()()1|()|(|()||()||()|1)|()|2k k k kkk k F xF x F x F x F x ωω+-'''≤-+, 01k ω<≤,当()()12()1|()||()||()|12kk k k f xf xf x ω-'''<(2.14) 时,将有(1)|()||()|k kf x f x +<.只要取k ω充分小,尽管(2.2)不成立,仍可使(2.4)成立.这就解除了2ρ<的限制.鉴于上述讨论,在方程组情形考虑下述牛顿下降程序(1)()()1(()()k k k kk xxFx F x ω+-'=- 0,1,...,01k k ω=<≤ (2.15)我们有 定理2.2 设:nnFR RΩ⊂→满足下列条件:(1)(0)||()||;F x η< (2)于区域(0){||||}()x x xF x γβη'Ω=-≤⊂Ω有逆存在,且1||()||,F x x β-''≤∀∈Ω, (2.16)||()()||||||,,F x F y x y x y ρ''-≤-∀∈Ω (2.17) 则当22/1γρα≥>时,方程组()F x =于0Ω有解*x 存在,且对任何01k ω<≤,210,02,k a x αωρβη<≤≤-=.由(2.5)定义之()k x 收敛于*x ,且至少是线性收敛的.注1 当满足定理2.1的条件时,有0k 使02||()||2kx F x βα≤-,此时视0k x 为该定理中(0)x ,仍满足定理条件,因而可取1k ω≡,即此时牛顿法收敛,因而得到二阶收敛性.注2 注意到二次三项式21()12ϕωωρω=+- 在12ρ>时由1ωρ=处取最小值:11()12ρϕρρ=-,因而,为使(2.5)具有较快的敛速,可取2(k)1/||()||kx F xωβ=,换言之,程序(2.5)可以取成下列形式(1)()()1(2()()(),m i n {1,1/||()},0,1,2,... .k k k k k k k x x F x F x xF x k ωωβ+-'⎧=-⎪=⎨⎪=⎩(2.18) 对由(2.11)定义的()k x ,估计式(3.8)变成为()()22(1)2()2()212||()||,||()||;2||()||12||()||,||()||.2k k k k k F x F x X X F x X F x F x X ββββ+⎧-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩当当 (2.19) 注3 如果集合{||()||()||}Dx F x F x =<为有限区域,且于D 满足(2.6)(2.7)则对任何(0)(0),||()||||()||x D F x F x ∈<,故定理(2.1)的结论成立.事实上,此时由(2.5)定义的()k x 均落于D 中,否则,若有某m,使()m x D∈,而(1)m x D+∈,则有()()1()()()m m m m xx Fx F x θω-'=- ,01θ<<,使||()||||()||F xF x = ,对此x 仍有222()()1||()||(||()||1)||()||2m mm m F xX F x F x θωβθω<-+(0)||()||F x < , 这就导致了矛盾.前述定理已给出了牛顿法的大范围收敛条件.程序(2.5)早就有人研究过.2.3离散型牛顿法2.3.1半局部收敛性对于非线性算子方程 ()F x θ=其中,:FX Y→,这里Y X ,都是Banach 空间,则有以下定理:定理2.3设,X Y 均为实际Banach 空间,算子0:(,)F B x r X Y⊂→是F-可微分的,且满足:(i) 10[()]F x -'是Y 到X 的有界线性算子,100||[()]()||F x F x a-'≤ ,10||[()]||F x β-'< (ii)||()()||||||,F x F y L x y ''-≤- 0,(,)x y B x r ∈(iii)41,2,lim 0n n L a r αβτ→∞<<=则离散型牛顿法11[()]()(),0,1,...n n n n n n x x F x F x x x n τ-+'=---=收敛于式(3.1)的唯一解*0(,)x B x r ∈,且有估计式:*02||||2() (,)32n n r x x a x B x -≤∈.即对牛顿法进行简单修正后得到的离散型牛顿法 11[()]()(),0,1...n n n n n n x x F x F x x x n τ-+'=---=只要对n τ附加条件:lim 0nn τ→∞=,再加上牛顿法收敛的条件,就能收敛到非线性算子方程()F x =的解*x ,且收敛率为*2||||2()3nn x x a -≤ .2.3.2大范围收敛性由于离散牛顿法在实际应用中的重要性以及它对初始近似的苛刻限制(定理3.2及3.3),研究离散牛顿程序的大范围收敛条件更有实际意义. 相应于离散牛顿程序烤炉大范围收敛程序(1)()1()()()()11(,)(),||||||()||.k k kk kk k k k xx J xhF xhF x ωω+-⎧=-⎪⎨≤⎪⎩我们有定理2.4 设:nnFR RΩ⊂→ 满足下列条件:(1)0||()||F x η≤,(2)于(0){||||}x x xγβηΩ=-≤⊂Ω内()F x '有逆存在,且满足(2.6)及(2.7),则当35/γρα≥时,方程组()F x =于0Ω有解*x 存在,且对任何401,07k k ωαωρ<≤<≤≤,由(2.13)定义的序列(){}k x 收敛于*x ,并且至少是线性收敛的,其中,max(,1)X ρββηββ==.对于定理2.2也可以列出与定理2.1类似的注记.例如,特别可以取0Ω为集合11{||()||||()||}D x F x F x =≤,而(0)x 满足条件(0)11||()||||()||F x F x ≤其次,为提高收敛速度可以将(2.13)取成下列形式(1)()1()()()()1()()11(,)(),m in{1,25/84||()||},||||||()||.k k k k k k k k k k k x x J x h F x X F x h F x ωωββω+-⎧=-⎪=⎨⎪≤⎩此时由(2.13)定义的()k x 有下述估计式:()()11(1)1()2()11254||()||,||()||;1687||()||424||()||,||()||257.k k k k k F x X F x X F x X F x X F x ββββββββ+⎧-≤⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩当当最后,容易想到,仿定理2.2可以建立离散型牛顿程序的大范围收敛性定理.2.4数值算例本小节对二个经典的非线性方程组分别运用牛顿法和离散型牛顿法求解,并将所求结果进行对比,直观的说明修正的离散型牛顿法的有效性.1. 求方程组212121()0c os(/2)x x F x x x π⎧⎫-+==⎨⎬-⎩⎭的真解为*(0,1)x =,其中迭代停止准则为101||||10n n x x -+-≤.若取初值0(1,0)x =,用牛顿法收敛到(1,2)-,不收敛到所需要的真解*x .若使用离散型牛顿法来求解非线性方程组,取(0.5,0.5)x=-,则有小面的计算结果:表2.1取(0.5,0.5)x=-时的修正的离散型牛顿法迭代计算结果2. 方程组121212211(sin())22()01(1)()24x x x x x f x ex e e ex πππ⎧⎫--⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎪⎪--+-⎪⎪⎩⎭的真解为*(0.3,2.8)x =,其中迭代停止准则为101||||10n n x x -+-≤.若取初值0(0.1,0.1)x =,使用牛顿法进行迭代,求解结果收敛到点(-0.26059929002248,0.62253089661391), 也就是不收敛到所需要的真解*x . 而用离散型牛顿法求解,若取(0.5,3.3)x=,则有以下计算结果:表2.2取(0.5,3.3)x=时离散型牛顿法迭代计算结果对于以上两个非线性方程组,当初值取在真解附近时,使用牛顿法求解,所得结果都不收敛到真解,而使用离散型牛顿法求解,所得结果都收敛到真解,收敛准则都确定为101||||10n n x x -+-≤.数值算例的结果说明了离散型牛顿法是可行有效的.3.总 结牛顿型方法是解非线性方程组的一类重要方法,在非线性方程组迭代解法的理论研究中占有十分重要的地位,牛顿程序的构造方法是逐步线性化方法的典型代表,牛顿法的收敛性理论及其研究方法,特别是Kahtopobnu[1984,1957]的著名论文,对迭代的研究产生了深远的影响. 因此, 寻找快速可行的迭代的方法具有重要意义本文针对这种离散型牛顿法，列出完善的收敛性证明以及收敛速率，并应用数值算例验证算法的可行性.致谢本文的研究和撰写工作都是在导师姜晓威老师的悉心指导下完成的. 从论文的选题、开题、撰写直至最后的答辩, 都得到了姜老师的关心、大力帮助和耐心指导. 姜老师在学术上敏锐的洞察力、开阔活跃的学术思维、不懈进取的精神、严谨的治学风范、崇高的敬业精神、渊博的学识给我留下深刻的印象, 将使我终身受益. 最令我感动的是姜老师在我撰写论文期间给予了孜孜不倦的指导, 他严谨的科研作风给我留下了深刻的教诲和影响. 谨此之际, 向关心和培养我的导师姜晓威老师表示衷心的感谢和诚挚的敬意!同时, 感谢论文的各位评审专家能在百忙之中抽出时间对我的学士论文进行评审, 并提出宝贵的建议, 在此表示衷心的感谢! 最后, 向所有曾经关心和帮助过我的老师、同学、朋友表示诚挚的感谢!参考文献[1]关治, 陆金甫.数值分析基础（第二版）[M], 高等教育出版社,1998.52-67[2]谢如彪, 姜培庆.非线性数值分析[M], 上海交通大学出版社, 1984. 1-6[3] 袁东锦, 计算方法（第二版）[M], 南京师范大学出版社,2007. 183-209.[4] 李庆扬, 王能超，易大义.数值分析[M], 清华大学出版社,1995.863-1003[5] 姜波, 徐家旺. 非线性方程组的数值解法比较[J],沈阳航空工业学院报,2002(29):195-203.[6]邓建中, 葛仁杰,程正兴.计算方法[M], 西安交通大学出版社,2003(30): 1255-1258.[7]吴淦洲.求解非线性方程组的改进牛顿法[J], 茂民学院学报,2004, 8(2): 88-96.[8]田巧玉,古钟壁,周新志.基于混合遗传算法求解非线性方程组[J], 计算机技术与发展, 1999, 292: 99-125.[9]罗亚中,袁端才,唐国金.求解非线性方程组的混合遗传算法[J]. 计算力学学报,1979, 244(5): 1093-1096.[10] Gill P E, Murray W, Saunders M A, Tomlia J A, Wright M H. On projected Newton barrier methods for linear programming and an equivalence to Karmarkar’s projective method[J]. Mathematical Programming, 1986, 36: 183-209.。
非线性方程(论文)
非线性方程根的数值求法（二）摘要在科学研究和工程设计中, 经常会遇到的一大类问题是非线性方程f(x)=0的求根问题，其中f(x)为非线性函数。
方程f(x)=0的根, 亦称为函数f(x)的零点。
如果f(x)可以分解成 *()()()m f x x x g x =- ,其中m 为正整数且 *()0g x ≠,则称x *是f(x)的m 重零点,或称方程f(x)=0的m 重根。
当m=1时称x *为单根。
若f(x)存在m 阶导数,则是方程f(x)的m 重根(m>1)当且仅当**(1)*()()()0,()0m m f x f x f x f x -'====≠ 。
当f(x)不是x 的线性函数时，称对应的函数方程为非线性方程。
如果f(x)是多项式函数，则称为代数方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。
一般称n 次多项式构成的方程11100(0)n n n n n a x a x a x a a --++++=≠ 为n 次代数方程,当n ＞1时,方程显然是非线性的。
一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程,很难甚至无法求得精确解。
此论文将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法 。
关键词：非线性方程；数值解法；近似根THE NUMERICAL METHOD OF NONLINEAR EQUATION(TWO)ABSTRACTIn scientific research and engineering design, a large class of problems often encountered is a nonlinear equationF (x) =0The root problem, where f (x) is a nonlinear function.The equation f (x) =0 root, also known as a function of F (x) zero.If f (x) can be decomposed into *()()()m f x x x g x =-, where m is a positive integer and *()0g x ≠, then x* is called f (x) m zeros, or equation f (x) m =0. When m=1 x* is called single. If f (x) m derivative, is the equation f (x) m roots (m>1) if and only if **(1)*()*()()()0,()0m m f x f x f x f x -'====≠ .When f (x) is not a linear function of X, function equation is a nonlinear equation. If f (x) is a polynomial function, is called algebraic equations, otherwise known as the transcendental equation (trigonometric equation, exponential, logarithmic equation). The general said the N polynomial equation for n algebraic equation 11100(0)n n n n n a x a x a x a a --++++=≠ , when n > 1, the equation is nonlinear. Generally slightly complicated algebraic equation 3 times above or beyond the equation, it is difficult or even impossible to obtain the exact solution. This paper will introduce some approximate numerical solution of the nonlinear equations root of.Key words: nonlinear equation; numerical solution; approximate root目录1题目内容 (1)1.1 题目的复述 (1)2问题分析 (2)2.1问题的分析………………..…………………………………………………………. .23 算法描述 (3)3.1 简单迭代法 (3)3.1.1 简单迭代法的原理 (3)3.1.2 简单迭代法的几何解析 (3)3.1.3 简单迭代法的收敛依据 (3)3.1.4 简单迭代法收敛的条件 (3)3.1.5 简单迭代法的局部收敛性 (4)3.1.6 简单迭代法的收敛阶 (4)3.2 牛顿迭代法 (4)3.2.1 牛顿迭代法原理 (4)3.2.2 牛顿迭代法的几何解析 (5)3.2.3 牛顿迭代法的收敛性 (5)3.2.4 牛顿迭代法的收敛速度 (5)3.2.5 迭代过程的加速 (6)3.3 弦割法 (6)4 简短源程序及有关运行结果 (8)参考文献 (16)附录 (17)1 题目内容1.1 题目的复述（1）用简单迭代法求下列方程的根，要求有6位有效数字，3250--=改变初x x值的选取，对出现的情况进行总结分析；构造收敛速度尽可能高的迭代法，并求根。
数学中非线性方程组的求解方法与应用研究
数学中非线性方程组的求解方法与应用研究在数学中，非线性方程组是指其中至少存在一个方程的未知数之间的关系不遵循线性关系的一类方程组。
它们与线性方程组不同，在求解时需要应用更加复杂的方法。
而非线性方程组的求解方法是非常有用的，因为许多实际问题通常不能用线性模型来描述。
本文将讨论非线性方程组的求解方法及其应用研究。
第一种求解方法是牛顿法。
牛顿法是一种迭代方法，其中函数的局部二次近似用于计算每次迭代中的解。
它是一种广泛应用的非线性方程组求解方法，尤其在大型问题中非常有效。
它的主要优点是速度快，并且可以通过使用加速技术来提高其效率。
然而，牛顿法的一些局限性包括它可能会偏离解，它要求可微函数，而且在某些情况下它可能无法收敛。
为了弥补这些不足，人们重点研究牛顿法的变种模型，如加速牛顿法、阻尼牛顿法等，从而提高算法的稳定性和收敛速度。
第二种方法是拟牛顿法。
拟牛顿法跟牛顿法结构类似，只是在牛顿法的基础上做出改进。
拟牛顿法是不计算牛顿法中的海森矩阵，而是逐步构建近似的海森矩阵。
它通过计算基于当前迭代点与上一次迭代点之间的差异的差分来构造该矩阵。
这样可以减少计算量，提高算法的收敛速度。
这种方法广泛应用于许多实际问题中，特别是在机器学习和优化领域。
第三种方法是分枝定界法。
分枝定界法是解决非线性方程组问题的另一种方法。
它也是一种迭代方法，但它通过逐步缩小不满足约束条件的点集合来进行迭代。
分枝定界法的优点是可以在有限的迭代次数内找到可接受的解，而且可以使用在具有更复杂逻辑限制的问题上。
以上是几种常见的非线性方程组求解方法。
但是在实际应用中，这些算法仍然存在一些问题。
例如，在计算机上运行时，这些算法往往需要数值计算，而这些计算往往可能会产生舍入误差，导致算法出现问题。
另一方面，尽管这些算法已经在许多实际问题中成功应用，但是它们在处理某些情况下可能会陷入无法收敛、收敛速度慢等的问题。
因此，人们在继续改进这些算法的基础上，探索新的算法方法和技术来解决这些问题。
非线性方程组求解的高效算法研究
非线性方程组求解的高效算法研究随着计算机技术的不断发展，越来越多的问题可以通过数值方法来解决。
其中，非线性方程组（Nonlinear Equations System，简称NES）求解是众多领域中常见的一类问题。
然而，在实际应用中，常常需要求解的方程组规模巨大、非线性程度高，甚至出现多解或无解的情况，进而给求解带来极大的困难。
因此，如何高效地求解非线性方程组是当前数学和计算机领域的一个热点问题。
一、非线性方程组求解的基本方法非线性方程组求解的基本方法包括迭代法、牛顿法、拟牛顿法、全局优化等。
其中，迭代法最为简单、直接，通过不断的迭代近似解来寻找精确解。
在实际求解中，为了保证计算精度和收敛性，迭代过程通常具有明确的收敛条件，并且不能一味地增加迭代次数。
牛顿法是一种常见的求解NFS的方法，它通过计算函数的一阶和二阶导数来确定某一点的局部线性化，然后通过求解线性方程组来求解方程组。
拟牛顿法是经典的无约束最优化算法，它利用因变量和自变量之间动态关系的变化来逐步接近全局极小值点。
全局优化将各种现存的局部最优解合理地结合起来获取全局最优解。
除此之外，还有其他求解非线性方程组的复杂方法，例如遗传算法、蚁群算法等。
二、非线性方程求解的效率问题对于非线性方程组的解法，很多人首先想到的是迭代法，它的计算量小，收敛速度快，并且具有较强的可控性，容易实现。
但在实际应用中，迭代法常常很难满足求解高性能、高效率的需求。
例如，考虑一个方程组：$$\left\{\begin{aligned}x_1+sin(x_2)&=1 \\x_2+sin(x_3)&=2 \\x_3+sin(x_1)&=3\end{aligned}\right.$$对于该方程组，使用牛顿法或拟牛顿法可以在数十次迭代内得到相对较优的解。
但是，对于一些规模庞大、非线性程度复杂的方程组，迭代法的实际收敛速度往往非常缓慢，甚至无法得到可行解。
非线性方程组迭代算法研究(论文摘要)
非线性方程组的迭代算法研究杨立明（陕西理工学院数学系数学与应用数学专业04级1班,陕西汉中723000）指导教师:雍龙泉迭代法就是用某种收敛于所给问题的精确解的极限过程来逼近的一种计算方法，利用给定方法可以用有限个步骤算出精确解的具有指定精度的近似解。
本文就对几种常见的迭代方法做了介绍、给出了其算法，并通过程序对算法有效性进行了验证。
二分法是较简单的一种迭代法，它是利用求中点的方法不断缩小有根区间，从而求得精确解的方法。
二分法的优缺点：二分法是求简单根行之有效的方法，其优点就是算法和相应程序简单，对函数性质要求不高，收敛性可得到保证。
缺点是在求根过程中只用到函数值的符号，而没有用到所计算的函数值，而且，他不能用于求复根和偶数重根。
迭代法原理是求解非线性方程的最重要原理，它通过构造给定方程的等价形式，把求解非线性方程的问题转化为求不动点问题。
简单迭代法、牛顿法、弦割法都是运用迭代原理求解方程的。
迭代法是一种逐步逼近的方法。
它使用一定的公式，反复校正根的近似值，使其达到事先要求的精度。
它是解决超越方程和方程组问题行之有效的方法。
它是迭代法最简单的形式，要注意收敛阶、局部收敛性等概念和简单迭代法的计算步骤，掌握判别迭代格式的收敛，选择具有更好收敛性的迭代格式。
牛顿法是当方程的根在其某一个邻域可导且不为零时，利用迭代公式求得精确解的迭代法。
牛顿法收敛速度很快，但是每迭代一次，其计算量都十分大。
它在单根附近具有较快的收敛速度，应用牛顿法关键在于足够精度的初始值，因为初始值的选择问题是与迭代格式和收敛性联系在一起的。
牛顿法的加速法中提出重根情形的牛顿法，用来解决普通牛顿法对于重根形式收敛缓慢的问题。
而牛顿下山法则是用来解决初始值选择问题。
基于牛顿法求解过程计算量大的缺点，我们将其修正，于是引出弦割法。
弦割法是针对牛顿法需要计算函数微商而提出的，它通过方程上的两点构造一次插值函数来解决了这个问题。
弦割法也可以看作是用均差取代牛顿法中的函数微商的一种方法。
非线性方程(组)数值解法及应用研究
《非线性方程(组)数值解法及应用》研究
第1章
一、《非线性方程数值解法》描述
对象描述
若 f (x) 为实变量 x 的实值函数，则方程为非线性方程，如，
x4 - 8.6x3 - 3.55x2 + 464.4x - 998.46 = 0 称为高次代数方程，而 e-x - sin(p2x ) = 0 及 xex -1 = 0 则成为超越方程。 一 般 的 非 线 性 方 程 组 可 写 成 F(x) = 0 的 形 式 ， 其 中 F 和 x 都 是 n 维 向 量 ， 或 写 成
34csoisnxx1
+ +
4 cos(x1 + x2 ) = 6 5sin(x1 + x2 ) = 5
显然，这是一个关于 x1 和 x2 的非线性方程组。
二、《非线性方程数值解法》的相关概念
非线性方程，就是因变量与自变量之间的关系不是线性的关系，一般可以表示为
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封红梅 郝超超 洪伟
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封红梅 郝超超 洪伟
1 如果 f[(a+b)/2]=0，该点就是零点，如果 f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b)/2，b) 内有零点，(a+b)/2>=a，从①开始继续使用中点函数值判断。
2 如果 f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2<=b，从①开始继续 使用中点函数值判断。这样就可以不断接近零点。通过每次把 f(x)的零点所在小区间 收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值， 这种方法叫做二分法。 从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。另外，二分法不能计 算复根和重根。 综上可得二分法的求法： 给定精确度 ξ,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下: 1 确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0,给定精确度 ξ. 2 求区间(a,b)的中点 c. 3 计算 f(c). (1) 若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点;
非线性电路的仿真与分析毕业论文
非线性电路的仿真与分析摘要：近20年来，由于计算机技术的高度发展，使得对于混沌的研究成为当今科学研究的前沿，并发展成一门新兴的学科。
本文从理论分析与仿真两个角度分别研究非线性电路中的混沌现象。
简要介绍了混沌及其特征，混沌产生的机理和条件，以及非线性电路分析仿真的算法。
在分析与仿真蔡氏电路的基础上，构造一个变形蔡氏电路模型，对其电路的非线性元件利用分段线性化方法处理，接着利用非线性电路模型的仿真算法──四阶龙格-库塔算法，并用MATLAB编程语言对该非线性微分方程进行分析与仿真该变形蔡氏电路通向混沌的道路。
结果表明该变形蔡氏电路也和蔡氏电路一样，在不同的参数下存在有丰富的分岔和混沌现象，并在特定参数下存在所谓的“双涡卷”混沌吸引子。
关键字：混沌；四阶龙格-库塔算法；非线性电路模型；MATLAB仿真分析Abstract: In recent 20 years, because of the development of computer technology, chaos research has become the advanced positions of science research, and chaos has been a new academic subject. The chaos phenomenon in nonlinear circuit is studied by MATLAB simulation and theoretical analysis in the paper. This paper introduces simply chaos and its characteristic, the chaos output mechanism and condition, and the calculable method of analytic simulation of nonlinear circuit. In the foundation of the analysis and simulation of Chua’s circuit, a modified Chua’s circuit model is constructed. Its nonlinear component is processed using the way of the segment lining. Then the simulated calculable method of fourth rank Rounge-kutta and the language of MA TLAB are used to analyze the nonlinear differential equation and to simulate the way of this modified Chua’s circuit to the chaos. The result is that the modif ied Chua’s circuit exists abundantly bifurcation and chaos phenomenon under the different parameter, and exists so-called" double scroll" chaos attractor under the particular parameter as soon as Chua’s one.Key words: Chaos; Calculable way of fourth rank Rounge-kutta; Nonlinear circuit model; Analysis of MATLAB simulation.目录引言 (1)一．非线性电路简介 (3)二．基于VISUAL C + + 的非线性电路实验 (7)（一）电路实验及模拟实验算法分析 (8)（二）模拟实验算法分析 (9)（三）实验室结果与模拟结果对比分析 (11)二．基于蔡氏电路的混沌仿真与分析 (17)（一）蔡氏电路模型 (18)（二）蔡氏电路仿真研究 (23)三．基于MATLAB 的混沌系统仿真与分析 (24)（一）混沌系统的MATLAB 分析 (25)（二）参数A= 0. 6 时系统的混沌特性分析 (28)（三）系统的庞加莱截面 (29)参考文献 (34)引言非线性是自然界中普遍存在的自然现象，正视非线性现象才构成了变化莫测的世界。
优秀论文--非线性方程的求解
优秀论文--非线性方程的求解丽水学院毕业设计（论文）任务书（2011届）题目非线性方程的求解指导教师方建平教授院别数理学院专业物理学班级物理071学号17姓名魏超2011 年 3 月 6 日至 2011 年 4 月 30 日共 8 周一、二、毕业论文（设计）进度安排：注：1.指导教师填写，任务下达人为指导教师，指导教师和接受任务的学生均应签字。
2.此任务书最迟必须在学生毕业设计（论文）开始前下达给学生。
丽水学院毕业设计（论文）开题报告（2011届）题目非线性方程的求解指导教师方建平教授院系数理学院班级物理071本学号17姓名魏超二〇一〇年十一月二十五日一、选题的意义过去对动力系统的研究一般多限于线性系统，即其动力学方程都是线性的。
也就是说，在方程中只有各状态变量及其各阶导数的线性（一次）项。
这样做是因为线性方程易于求解，而且具有一些简单的特性，如当初始条件给定后，方程的解（代表系统的运动）便是确定的，而且解服从所谓叠加原理：方程不同的解的线性叠加仍是方程的解。
然而实际的自然现象或社会现象毕竟是很复杂的，其动力学规律往往都须用非线性方程表示，即实际存在的客体大多数都是非线性系统。
随着20世纪六七十年代计算机科学技术的迅速发展，人们可以容易地求得一般非线性方程的数值解。
问题的研究进展迅速，在物理领域中非线性方程的内容也日趋丰富，非线性方程的精确求解和数值求解成为广大物理学、数学工作者研究非线性问题所关心的一个热门课题。
但由于非线性方程的复杂性，使得许多在线性问题中常用的行之有效的方法如叠加法在解决非线性问题是遇到了新的严重困难甚至完全不可用，导致非线性方程迄今仍然没有统一的求解方法。
本文利用映射法求解非线性动力学系统新的精确解。
首先在正确理解和熟练应用Riccati程映射法的基础上，想办法利用其他的较为简单的且有丰富精确解的方程作为新的映射方程来求解给定的非线性动力学方程的新解。
二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）为了利用映射法求解非线性动力学系统新的精确解。
《2024年非线性方程组的锥模型方法研究》范文
《非线性方程组的锥模型方法研究》篇一一、引言非线性方程组作为数学领域内的一个关键研究分支，具有广泛的应用背景，涉及到科学计算、优化理论、工程设计等多个领域。
然而，由于其复杂性和多解性，传统方法在求解非线性方程组时往往面临诸多困难。
近年来，锥模型方法作为一种新兴的求解技术，在非线性方程组求解中展现出独特的优势。
本文旨在深入探讨非线性方程组的锥模型方法，分析其原理、应用及未来发展方向。
二、锥模型方法的基本原理锥模型方法是一种基于优化理论的方法，它通过引入锥形约束，将非线性方程组转化为一种更为容易处理的优化问题。
这种方法的关键在于锥的选取以及约束条件的合理设定。
当选择合适的锥和约束条件时，可以有效地降低问题的复杂性，从而提高求解效率。
三、锥模型方法在非线性方程组中的应用1. 数学规划问题：在解决线性或非线性规划问题时，可以将目标函数和约束条件转化为锥约束下的优化问题。
通过锥模型方法，可以更高效地找到最优解。
2. 经济学领域：在经济学中，许多经济问题都可以转化为非线性方程组问题。
利用锥模型方法，可以更准确地分析经济现象，为政策制定提供科学依据。
3. 工程设计：在工程设计领域，锥模型方法可用于解决复杂的机械、电气等工程系统的建模与优化问题。
通过引入锥约束，可以更好地处理工程系统中的非线性关系，提高设计效率。
四、锥模型方法的优势与挑战（一）优势1. 适用范围广：锥模型方法可以应用于各种类型的非线性方程组问题，具有较强的通用性。
2. 求解效率高：通过引入锥约束，可以降低问题的复杂性，提高求解效率。
3. 结果准确性高：锥模型方法基于优化理论，通过合理设置约束条件，可以得到较为准确的结果。
（二）挑战1. 锥的选取：锥的选取对于求解效果具有重要影响。
如何选择合适的锥是锥模型方法的一个关键问题。
2. 约束条件的设置：约束条件的设置需要针对具体问题进行具体分析，具有一定的复杂性。
3. 算法优化：随着问题规模的增大，如何优化算法以提高求解速度是一个亟待解决的问题。
《2024年非线性方程组的锥模型方法研究》范文
《非线性方程组的锥模型方法研究》篇一一、引言在科学研究及工程应用中，非线性方程组解的探索始终是重要的一环。
针对此问题，近年来发展出的锥模型方法展现出了显著的求解能力及适应性。
本篇论文旨在研究非线性方程组的锥模型方法，对其理论基础及求解策略进行深入探讨。
二、非线性方程组概述非线性方程组是指含有未知数的非线性方程所组成的方程组。
这类方程组在现实世界的各种问题中广泛存在，如物理、化学、生物、经济等领域。
由于非线性问题的复杂性，传统的线性代数方法往往无法有效解决，因此需要寻找新的解决方法。
三、锥模型方法理论基础锥模型方法是一种解决非线性优化问题的方法，其基本思想是将非线性问题转化为锥优化问题。
在锥模型中，通过引入适当的锥形结构，将原问题分解为一系列的子问题，然后通过求解这些子问题来得到原问题的解。
这种方法在处理非线性方程组时，具有较高的求解效率和较好的稳定性。
四、锥模型方法求解非线性方程组针对非线性方程组，锥模型方法的求解步骤主要包括：首先，根据问题的特点，选择合适的锥形结构；然后，将原非线性方程组转化为锥优化问题；接着，利用现有的优化算法求解锥优化问题；最后，通过求解得到的子问题的解，反推出原非线性方程组的解。
五、方法研究及应用在具体应用中，锥模型方法已成功应用于各种复杂的非线性方程组求解。
例如，在电力系统中的电力潮流计算、经济学中的最优化问题、生物学中的复杂系统建模等。
这些应用实例均证明了锥模型方法的有效性和实用性。
此外，随着计算机技术的不断发展，锥模型方法在求解大规模非线性方程组时也展现出显著的优势。
六、讨论与展望虽然锥模型方法在解决非线性方程组方面取得了显著的成果，但仍存在一些挑战和问题需要进一步研究。
例如，如何选择合适的锥形结构以更好地描述问题；如何设计更高效的算法以加快求解速度；如何处理具有复杂约束条件的非线性方程组等。
此外，随着实际问题规模的增大和复杂性的提高，锥模型方法仍需进一步发展和完善。
毕业论文参考资料_非线性方程求根迭代法
毕业论文参考资料_非线性方程求根迭代法本文涉及的参考资料如下：
1. 《数值分析》（第五版），理查德L.伯杰，唐纳德R.福斯特著，刘大卫，刘
韵华，唐立民，吴继新译，清华大学出版社，2011年。
2. 《数值计算方法》（第二版），李荣华著，高等教育出版社，2016年。
3. 《非线性方程数值求解》，林一民，陈玉昆，李建军，杨洪波著，北京大学出版社，2012年。
4. 《数值计算方法》，方朝栋，刘家荣，陈祥宏著，北京大学出版社，2013年。
5. 《数值分析与计算方法》，邵振涛，魏东方著，清华大学出版社，2018年。
6. 《常微分方程数值解法》，姚天昌，沈洪波著，高等教育出版社，2014年。
7. 《计算数学：数值计算方法、数值代数》，高立恒，王秉瑶著，高等教育出版社，2011年。
8. 《数值逼近与插值》，宋明世，张文武，吴小灿著，清华大学出版社，2015年。
以上参考资料涵盖了非线性方程求根、数值计算方法、计算数学等相关领域的经典著作，在论文研究过程中提供了许多宝贵的参考资料。
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非线性方程组研究毕业论文第一章绪论1.1 了解非线性方程组的一般形式如下:f l X i ,X 2,X 3,...,X n =0, ,f n （X i ,X 2,X 3，…，X n ）=0,可以看出f i i = 1,2,3,..., n 是在空间R 的实值函数。
再用向量转换下可以得到：把F 可以看做在R n 区域内展开的非线性映像，表示为F 尸 D R n、 R n1.2下面来介绍简单的边值问题：X = f t,s 0 乞t 辽1 , x 0 二 a, x 1 = ：。
（ 1.2）此时定义f 在D —t,x |0岂21,-：： ：：x ：：：：［上二阶可微连续, 现在求解（1.2）上X 的数值。
(1.1)F X = 0。
我们用差分方法离散化得到：u 1 4 •…h= -------- , t j = J h, j=0,1,2,3 ,、、n+1 ,n +1在得到：'' 1X (t j )=活区斗—2X j +X j J j+1,2，八、n, h在转化矩阵又可以得到：2-10-1 2 ...A =0 ... -1-…-1 2_在从映像转换成：2x =h X j,...X n ,方程（1.2）转化为：Ax+ 「x =0本文将介绍求解非线性方程组的牛顿法，迭代法，牛顿法，这是本人对非线性方程数值求解的认识，我会使用这些方法并为为开展进一步研究。
第二章、求解非线性方程组的牛顿法2.1牛顿法的引入与介绍在学习中关于方程f x =0的求解这种题型接触的太多了， f x 作为线性方程 函数，解法多样也很容易求解值。
我们来比较一下牛顿法，牛顿法简单的来说其实也 是一种线性化方法，他的理念就是把非线性方程 f x 转化成某种类型的线性方程求解x 的值。
非线性方程不过是线性方程的扩展， 非线性方程组就是在此基础上加以延 伸。
F 面我们来介绍了解一下牛顿法的理论:我们看下例题:f l X i ,X 2,X 3,…，X n i=0.也可以用向量把它转化为F x [=0 可以看出n^2时，fj(i=1,...,n )至少有一个变量是在x(i=1,...,n )的非线性函数， 我们这时(2.1)就可以看作非线性方程组，非线性方程组的求解实际上就是n=1求根的应用。
也就是把单一变量的函数f x 转化为向量函数F x ，这个时候就可以用 求解单变量的方法来求解非线性方程组(2.2)。
若果知道方程组F (x )=0的一个近似根x$)=(辽...,X ：)，再用函数F(x )的分量fi (x )(i =1,...., n )在x (k 用多元函数泰勒的 方法展开，提取线性方程就可以得到：F (X )跆 F (x * ))十 F'(X (k )K x _X (k ))，f n X i ,X 2,X 3,...,X n = 0,从上面非线性方程组我们可以看出 f 1，(2.1)f n 是N ，…x n 的多元函数，这是我们(2.2)我们同时把他转化为:得到:F x %—F ' x k x —x k其中：这时可以把（2.4）作为雅克比矩阵，（2.3）的线性方程组的解我们记作为 x k1 , 就可以得到：x x D=x （k ）-F'（x （k ））」F （x （k ）） （k=0,1,2，..…）。
（2.5）这就是我们所说的求解非线性方程组（2.5）的牛顿法。
从上面的实例我们可以看得出牛顿法求解非线性方程的主要理论是用x D=x f ）-F'（x （k ）） F （x （k ））在（k=0,1,2，...）的基础上进行迭代计算。
我们这时所要做的就是计算出F （x ）的雅克比矩阵F ' x ，通过F ' x 得到它的逆F ' x J ，直到 达到所需要的精度（x_k ）的范围内才停止迭代2.2牛顿法的算法牛顿法算法如下：第一步：首先我们把所要求解的非线性方程组定义为F （x ），并为之确定精度（x_k ）＜第二步：把F x 转化为雅克比矩阵，得到F ' x 。
求解方法如下：少 f j （ X i ,..., X j ,..., X n ） f i （ x i X j * X _,..., X n ） — f ^ x i ,..., x j ,..., X n ）®X j x_第三步：重复第二步方法，求解F ' x 雅克比矩阵的逆F ' x '。
另外把F ' x 乘以单位F x 二令F X j=O ,(2.3)(2.4)白…o '矩阵“ ''，我们可以用单位矩阵转换求解F '（X ）的逆用来保存。
\0 (1)J第四步：F ' X 与F ' X 的相乘第五步：再用 X X D=X （k ）_F （X （k ）） F （X （k ）） （ k=0,1,2,..…）来迭代。
精度达到最小（精度 < X k ）时停止迭代，最后的迭代结果为X k i 。
i=J （x i （卑）_旳（»，…，（x f 率）一xf ））2.3牛顿法代码程序编程最后介绍代码的编程:#i nclude <iostream.h> #include <stdlib.h> #in clude <math.h> #in clude vconi o.h>#define f0(x1,x2) (x1+2*x2-3)#define f1(x1,x2) (2*X 1*X 1+X 2*X 2-5) #defi ne X _ 0.000001 #define matrixNum 2double *matrixF2(double *X ); int y=0; void mai n() {int i,j,n;double p,*x; double *b;double *matrixF; //矩阵 Fdouble *matrixF_;〃矩阵F 的雅可比矩阵的逆b=(double *)malloc(matrixNum);matrixF=(double *)malloc(matrixNum); matrixF_=(double *)malloc(matrixNum*matrixNum); coutvv"请输入初值:"； for(i=0;i<matrixNum;i++)cin> >*(x+i); do {p=0.0;for(i=0;i<matrixNum;i++)第六步：最后我们注意的时精度，其精度x_K >x_k 时，我们需要重复 2—5次,直使x_k i*(b+i)=0;*matrixF=f0(*x,*(x+1));*(matrixF+1)=f1(*x,*(x+1));matrixF_=matrixF2(x);for(i=0;i<matrixNum;i++){for(j=0;j<matrixNum;j++) *(b+i)+=*(matrixF_+i*matrixNum+j)*(*(matrixF+j));*(x+i)=*(x+i)-*(b+i);cout<<*(x+i)<<" ";}cout<<endl;for(i=0;i<matrixNum;i++) p+=pow(*(b+i),2);y++;}while(sqrt(p)>x_);cout«"停止迭代，最终迭代结果为"vv*x<v','vv*(x+1)vv""vvendl; delete []matrixF; delete [] matrixF_;getch();}double *matrixF2(double *x){int i,j;double t;double *matrixF1; //矩阵F 的雅可比矩阵double *matrixF2; //矩阵F 的雅可比矩阵的逆matrixF1=(double *)malloc(matrixNum*matrixNum);matrixF2=(double *)malloc(matrixNum*matrixNum); for(i=0;i<matrixNum;i++) for(j=0;j<matrixNum;j++)if(i==j) *(matrixF2+i*matrixNum+j)=1;else *(matrixF2+i*matrixNum+j)=0;*matrixF1=(f0((*x+x_),*(x+1))-f0(*x,*(x+1)))/x_;*(matrixF1+1)=(f0(*x,(*(x+1)+x_))-f0(*x,*(x+1)))/x_;*(matrixF1+2)=(f1((*x+x_),*(x+1))-f1(*x,*(x+1)))/x_;*(matrixF1+3)=(f1(*x,(*(x+1)+x_))-f1(*x,*(x+1)))/x_;//for(i=0;i<matrixNum;i++)// cout<<*(x+i)<<endl; cout«"矩阵F 在["vv*x<v','vv*(x+1)vv"]的雅可比矩阵"<<endl; for(i=0;i<matrixNum;i++){for(j=0;j<matrixNum;j++)cout<<*(matrixF1+i*matrixNum+j)<<" ";cout<<endl;}//求矩阵F 的雅可比矩阵的逆t=*matrixF1;for(i=0,j=0;j<matrixNum;j++){*(matrixF1+i*matrixNum+j)/=t;*(matrixF2+i*matrixNum+j)/=t;}t=*(matrixF1+1*matrixNum);for(i=1,j=0;j<matrixNum;j++){*(matrixF1+i*matrixNum+j)-=*(matrixF1+j)*t;*(matrixF2+i*matrixNum+j)-=*(matrixF2+j)*t;}t=*(matrixF1+1*matrixNum+1);for(i=1,j=0;j<matrixNum;j++){*(matrixF1+i*matrixNum+j)/=t;*(matrixF2+i*matrixNum+j)/=t;}t=*(matrixF1+1);for(i=i,j=0;j<matrixNum;j++){*(matrixF1+j)-=*(matrixF1+i*matrixNum+j)*t;*(matrixF2+j)-=*(matrixF2+i*matrixNum+j)*t;}for(i=0;i<matrixNum;i++){for(j=0;j<matrixNum;j++)cout<<*(matrixF1+i*matrixNum+j)<<" ";cout<<endl;}for(i=0;i<matrixNum;i++){for(j=0;j<matrixNum;j++)cout<<*(matrixF2+i*matrixNum+j)<<" ";cout<<endl;}cout«"第"vvyvv"次迭代结果为"vv*x<v','vv*(x+1)vv""vvendl;getch();return matrixF2;delete [] matrixF1;delete [] matrixF2;}最后总结：我们可以从上面的实例可以得到，牛顿法是求解非线性方程组最简单的一种线性方法，它的构想是通过非线性方程组以线性方程组转化，从而来形成一种迭代形式然后迭代达到迭代次数来逼近，最终来求解。