高中数学例谈三角函数中的几种取舍问题专题辅导

高中数学例谈三角函数中的几种取舍问题
三角函数中的两角和与差、倍角、半角公式，是进行恒等变换的工具。

近几年的高考中经常出现求值问题，下面举例说明求值中的几种取舍，来帮助大家提高解题能力。

一、利用三角形中A<B ⇔sinA<sinB 进行取舍 例1 在△ABC 中，53A sin =，13
5B cos =，那么cosC 的值为（ ） A. 65166556或 B. 6556 C. 6516 D. 65
17 解：由13
5B cos =，得A sin 1312B cos 1B sin 2>=-=，则B>A 。

由于△ABC 中，0135B cos >=，所以B 为锐角，可知A 为锐角，可得5
4A cos =。

∴65
16B cos A cos B sin A sin )]B A (cos[C cos =-=+-=π，应选C 。

二、利用条件对结果进行取舍 例2 已知πβπα<<<<20，又5
3sin =α，54)cos(-=+βα，则cos β的值为（ ） A. －1 B. －1或257- C. 257- D. 25
7± 解：由5
3sin =α，20πα<<，得54cos =α。

由πβπα<<<<20，得232πβαπ<+<。

而54)cos(-=+βα，所以5
3)sin(±=+βα。

sin cos )cos()cos(B cos ++=-+=αβααβα（α＋β）sin α，代入可得1cos 257cos -=-=ββ或。

由πβπα<<<<2
0，知1cos -=β，产生矛盾应舍去，故25
7cos -=β，应选C 。

三、利用条件的位置轮换进行取舍 例3 已知πγβα20<<<<，且0sin sin sin cos cos cos =++=++γβαγβα，则β－α的值为（ ）
A. 3π
B.
32π C. 34π D. 3432ππ或 解：由γβαcos cos cos -=+，得γβαβα222cos cos cos 2cos cos =++ ① 由γβαsin sin sin -=+，得γβαβα222sin sin sin 2sin sin =++
② 由①＋②得1)cos(22=-+αβ，即21)cos(-=-αβ
因为πγβα20<<<<，得παβ20<-<，所以3432παβπαβ=-=
-或 同理可得3
432παγπαγ=-=-或。

根据πγβα20<<<<，得αβαγ->-，所以32παβ=-，3
4παγ=-，应选B 。

四、利用特殊值缩小角的范围进行取舍
例4 已知),0(,πβα∈，212tan =α，13
5)cos(-=+βα，求βsin 的值。

解：由212tan =
α，得342
tan 12tan 2tan 2
=-=ααα，所以54sin =α，53cos =α。

αβααβααβαβsin )cos(cos )sin()sin(sin +-+=-+=，又πβα20<+<，下面关键确定)sin(βα+的值。

根据334tan 1<=<α，可得34παπ<<，知3
44πβαπ<+<。

由21135)cos(->-=+βα，知320πβα<+<。

于是有3
24πβαπ<+<，求得)sin(βα+=13
12。

∴6556sin )cos(cos )sin()sin(sin =+-+=-+=αβααβααβαβ 注意：在三角函数问题中，通过灵活运用三角公式进行求值，可以提高同学们的逻辑思维能力及综合应用能力，便于更好地应对将来的高考。