类比思想

“中学数学解题思想方法” 微视频8.类比思想内容概述类比思想就是由已知两个（类）事物具有某些相似性质，从而推断它们在其他性质上也可能相似的推理思想（由特殊到特殊）。

类比思想是串联新旧知识的纽带，同时也是培养学生探究能力和创新能力的有力工具．类比往往是猜想的前提，猜想又往往是发现的前兆，类比是数学发现的重要源泉，数学中许多定理、公式和法则都是用类比推理提出的。

在高中数学中，类比是最基本、最重要的数学思想方法之一，它不仅能由已知解决未知，由简单问题解决复杂问题，更能体现数学思想方法之奇妙．恰当的运用类比思想，可以帮助学生举一反三、触类旁通，提高解题能力，也可以引导学生去探索获取新知识，提高学生的创新思维能力．类比思想存在于解决数学问题的过程中，是帮助我们寻找解题思路的一种重要的思想方法．当我们遇到一个“新”的数学问题时，如果有现成的解法，自不必说．否则解决问题的关键就是寻找合适的解题策略，看能否想办法将之转化到曾经做过的、熟悉的、类似的问题上去思考。

通过联系已有知识给我们的启发，将已有知识迁移到新问题中来，把解决已有问题的方法移植过来，为所要解决的问题指引了方向．例题示范例1：等差数列{n a }中，若100a =，则有12n a a a +++1219n a a a -=+++(19,)n n N +<∈成立，类比上述性质，在等比数列{n b }中，若9b =1，则_______.解：在等差数列中，100a =，那么以10a 为中心，前后间隔相等的项和为0，即9118120,0a a a a +=+=，…所以有121219(19,)n n a a a a a a n n N -++++=+++<∈成立．类比过来：同样在等比数列{n b }中，若9b =1，则以9b 为中心，前后间隔相等的项的积为1，即8107111,1b b b b ==，所以有下列结论成立：121217(17,)n n b b b b b b n n N -+=<∈评析：在等差数列和等比数列的性质类比中，常见的运算类比有：和类比为积，差类比为商，算术平均类比几何平均等等。

当然此题中已知等式的左右式子各项特征，特别是下标变化规律是类比的关注点。

例2：在平行四边形ABCD 中，有22222()AC BD AB AD +=+,类比在空间平行六面体1111ABCD A B C D -中，类似的结论是_______。

AB a =，解：如图，平行四边形ABCD 中，设向量AD b = ,则AC a b =+，DB a b =-, 有()22222AC a b a a b b =+=++…①同理，()22222DBa b a a b b =-=-+…②①+②得，()()22222222AC DB a bAB AD+=+=+，即 22222()AC BD AB AD +=+．类似地，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，可设AB a =， AD b = 1AA c =则1AC a b c =++,1BD a b c =-++,1CA a b c =--+,1DB a b c =-+C 1同上面方法可计算出下列结论成立:1111222222214()AC BD CA DB AA AB AD +++=++ 评析：在解决空间几何问题时，有很多可以类比平面几何问题求解，美国数学家、数学教育家波利亚曾指出：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”平面与空间类比的例子还有很多，如：1、在Rt △ABC 中，∠C=900，CD ⊥AB 于点D ，则222111CD CA CB =+成立，类比此性质，在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，PD ⊥平面ABC 于点D ，则可得到的结论是：22221111PD PA PB PC=++． 2、已知△ABC 中，内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ，则△ABC 的面积为1()2S r a b c =++，若一个四面体内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234,,,S S S S ，则这个四面体的体积是：12341()3V R S S S S =+++． 3、如图，在平面几何中△ABC 的内角平分线AD 分BC 所成的线段比BD ：DC=AB ：AC ，把这个结论类比空间有： 在三棱锥中中，平面DCE 平分二面角A-CD-B ，且与棱相交于点E ，则有ACD BCDSAE BE S=．例3： ．已知正数a b c ，，满足：ba的取值范围是 4l n 53l n b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则． 534a b a c c c-≤≤-解：由534c a b c a-≤≤-得， ∴12a c ≥，742ba cc ≤-≤，由ln ln c b a c c ≥+，得ln b a c c ≥， 设b x c =，a y c =，在处理ln y x ≤时可以类比：y x ≤是表示直线y x =的下方区域，所以ln y x ≤表示曲线ln y x =下方区域，这就是线性与非线性的类比．则x y ，满足ln 72120,0y x x y x y ≤⎧⎪⎪≤⎪⎨⎪≥⎪⎪>>⎩，可先求y x 的取值范围． 作出（x y ，）所在平面区域（如图）： 利用yx的几何意义：可行域内的任一点和点(0,0)所在直线的斜率，由图像可知yx分别在点71(,)22和切点分别取得最小值和最大值．设过点(0,0)的直线与ln y x =相切于点00(,)p x y ， ∴000ln 1x x x =，解得0x e =，01y =， ∴117y x e≤≤，7b x e a y ≤=≤，即ba 的取值范围是[] 7e ，． A BCD-评析：此题求解中充分利用条件和结论的形式特征，将不等条件与线性规划中约束条件类比，将所求分式与斜率类比，将求线性规划问题的方法与非线性的方法进行类比。

解决问题的策略就是把不熟悉的问题类比到熟悉的问题中，降低思维难度。

例4：（2017年浙江21）如图，已知抛物线2x y =，点11(,)24A -，39(,)24B ，抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q. (1)求直线AP 斜率的取值范围 （2）求PA PQ ∙的最大值 。

解：（1）设直线AP 的斜率为K. 2114122x k x x -==-+，因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围为()1,1-。

（2）常规解法：设直线AP 的方程：11()24y k x =++，则由211()24y k x x y⎧=++⎪⎨⎪=⎩消y 得：11()[()]022x x k +-+=，则11,22A P x x k =-=+.由于1322p x -<<，则(1,1)k ∈-。

由题意得AQ BQ ⊥，所以直线BQ ：49231++-=k x k y ，联立方程112413924y kx k y x k k ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得22432(1)Q k k x k -++=+, 因为1|PA |)1)2x k +=+，2|P |)Q Q x x -= ,所 以 2||||(1)(1)PA PQ k k =--+。

令()f k 3(1)(1)k k =--+，因为 2()(1)(42)f k k k '=-+-，所以()f k 在区间1(1,)2-上单调递增，1[,1)2上单调递减，因此当12k =时，||||PA PQ 取得最大值2716。

当然我们也可以利用不等式的性质直接求解：4311(33)(1)(1)(1)27(1)(1)(33)(1)(1)(1)33416k k k k PA PQ k k k k k k -++++++⎛⎫=--+=-+++≤⨯=⎪⎝⎭，当12k =时等号成立。

有没有其他的解决途径呢？重新审视已知条件，直线AP 的垂线BQ 及所求的PA PQ∙量有没有什么内在的联系？垂足Q 与已知点,A B 之间有没有特殊的关系呢？如果我们能发现PQ 就是PB 在直线AP 上的射影的话，那么PA PQ ∙就可直接转化为PA PQ PA PB ∙=-∙，于是问题转化为向量的坐标运算。

解法2：两线段积类比向量数量积的几何意义 设2(,)P t t ，则221139(,),(,)2424AP t t PB t t =+-=-- BQ AP ⊥221319cos ()()()()2244AP PQ AP PB BPQ AP PB t t t t ∴=∠==+-+-- （ * ）对于（*）式 我们可以直接展开得4233216AP PQ t t t ⋅=-+++ ，下面可求导计算（过程同上）。

解法3：类比于已解决的问题已知直线AB 与抛物线24y x =交于点A,B,点M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足{}00min C A C B CA CB =,则下列一定成立的是（ B ）0.A C M AB ⊥ 0.BC M l ⊥,其中l 是抛物线过 0C 的切线分析：设AB 的中点为M ，由于221()()()()4CA CB CM MA CM MB CM MA CM MA CM AB =++=+-=-若线段AB 为定值，则当以M 为圆心的圆与抛物线相切时（切点为0C ） 满足{}00min C A C B CA CB =，此时圆与抛物线在0C 处有共同的切线l 。

如果在考场上我们能够回忆起这样一个解题经历，或者能深层地发现本问题中蕴含的几何位置关系，那么下面的解法应该是水到渠成的。

设AB 的中点为D ，则15(,)24D , 由于222()2AP PQ PA PB PD DA PD =-=--=- ，如图当圆D 与抛物线相切于点P 时PD 值最小，此时DP 与过P 的抛物线的切线垂直。

设2(,)P t t 则2542112t t t -⨯=-- 化简得34310t t --= 即2(1)(21)0t t -+=，1322t -<< 1t ∴= 。

故(1,1)P 时最大值为。

评析：上面的多维度解析让我们感受了数学问题的解决是多方面的，类比思想体现在数算，形态，及解题策略方面的互通。

配套练习：1、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列.类比以上结论有设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列.2、把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r ＝a 2＋b 22(其中a ，b 为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a ，b ，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径R ＝________. 3、已知圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为4、对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现， (1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心； (2)计算f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013). 答案： 1、T 8T 4 T 12T 8解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12，T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列.2解析: 222152722(1)(1)2416AP PQ PD ⎡⎤=-=--+-=⎢⎥⎣⎦3、(22π+ 解析：类比题（2010北京理科（14））如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动 .设顶点P （x ，y ）的轨迹方程是()y f x =，则()f x 的最小正周期为 ；()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积为 .说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动 .沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续 .类似地，正方形PABC 可以沿x 轴负方向滚动 .分析：此题若想直接求出P 点运动的轨迹方程是有点困难的，但我们可以根据题意画出点P 的轨迹，然后根据图形的特征求出周期和所围成的面积 . 通过动手操作点P 的轨迹是如图2中周期为4的图像，()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域是由两个半径为1的14圆及两个边长为1的正方形和.其面积2211121211442S πππ=⨯⨯+⨯-⨯⨯=+在解决原题时我们可以类比操作：如果我们将六边形从A 点处剪开依次重复地平铺在直线上（如图）问题可直接类比转化为上面的高考试题 . 在直线上正方形的顶点A 转动的轨迹是以半径1，弧所对的圆心角为090，交替进行的 . 而在正六边形内转动时，半径变化一致，但弧所对的圆心角为030 .于是A 的轨迹是以半径为1，1，0 为重复呈现的一段弧（圆心角为030），正方形纸片在圆形盖内转了三圈后（即正方形顶点第12次与圆周相碰）回到初始点P, 故点A走过的路径的长度为(110)36π++⨯⨯=. 4、解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12. f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为图(12，1). (2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)，所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2. 故f (12 013)＋f (2 0122 013)＝2， f (22 013)＋f (2 0112 013)＝2， f (32 013)＋f (2 0102 013)＝2，…f (2 0122 013)＋f (12 013)＝2. 所以f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013)＝12×2×2 012＝2 012.。