类比思想

“中学数学解题思想方法” 微视频

8.类比思想

内容概述

类比思想就是由已知两个（类）事物具有某些相似性质，从而推断它们在其他性质上也可能相似的推理思想（由特殊到特殊）。类比思想是串联新旧知识的纽带，同时也是培养学生探究能力和创新能力的有力工具．类比往往是猜想的前提，猜想又往往是发现的前兆，类比是数学发现的重要源泉，数学中许多定理、公式和法则都是用类比推理提出的。在高中数学中，类比是最基本、最重要的数学思想方法之一，它不仅能由已知解决未知，由简单问题解决复杂问题，更能体现数学思想方法之奇妙．恰当的运用类比思想，可以帮助学生举一反三、触类旁通，提高解题能力，也可以引导学生去探索获取新知识，提高学生的创新思维能力．类比思想存在于解决数学问题的过程中，是帮助我们寻找解题思路的一种重要的思想方法．当我们遇到一个“新”的数学问题时，如果有现成的解法，自不必说．否则解决问题的关键就是寻找合适的解题策略，看能否想办法将之转化到曾经做过的、熟悉的、类似的问题上去思考。通过联系已有知识给我们的启发，将已有知识迁移到新问题中来，把解决已有问题的方法移植过来，为所要解决的问题指引了方向．

例题示范

例1：等差数列{n a }中，若100a =，则有12n a a a ++

+1219n a a a -=+++

(19,)n n N +<∈成立，类比上述性质，在等比数列{n b }中，若9b =1，则_______.

解：在等差数列中，100a =，那么以10a 为中心，前后间隔相等的项和为0，即

9118120,0a a a a +=+=，…所以有121219(19,)

n n a a a a a a n n N -++++=+++<∈成立．

类比过来：同样在等比数列{n b }中，若9b =1，则以9b 为中心，前后间隔相等的项的积为1，即8107111,1

b b b b ==，所以有下列结论成立：12

1217(17,)n n b b b b b b n n N -+=<∈

评析：在等差数列和等比数列的性质类比中，常见的运算类比有：和类比为积，差类比为商，算术平均类比几何平均等等。当然此题中已知等式的左右式子各项特征，特别是下标变化规律是类比的关注点。

例2：在平行四边形ABCD 中，有2

2

2

2

2()AC BD AB AD +=+,类比在空间平行六面体

1111ABCD A B C D -中，类似的结论是_______。

AB a =，

解：如图，平行四边形ABCD 中，设向量AD b = ,则AC a b =+，DB a b =-, 有()2

2

22

2AC a b a a b b =+=++…①同理，()

2

22

2

2DB

a b a a b b =-=-+…②

①+②得，

(

)(

)

2

2

22

22

22AC DB a b

AB AD

+=+=+，即 2

2

222()AC BD AB AD +=+．

类似地，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，可设AB a =， AD b = 1AA c =则

1AC a b c =++,1BD a b c =-++,1CA a b c =--+,1DB a b c =-+

C 1

同上面方法可计算出下列结论成立:11112

2

2

2

2

2

2

14()AC BD CA DB AA AB AD +++=++ 评析：在解决空间几何问题时，有很多可以类比平面几何问题求解，美国数学家、数学教育家波利亚曾指出：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”

平面与空间类比的例子还有很多，如：

1、在Rt △ABC 中，∠C=900，CD ⊥AB 于点D ，则

222

111

CD CA CB =+

成立，类比此性质，在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，PD ⊥平面ABC 于点D ，则可得到的结论是：

2222

1111

PD PA PB PC

=++． 2、已知△ABC 中，内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ，则△ABC 的面积为1

()2

S r a b c =

++，若一个四面体内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234,,,S S S S ，则这个四面体的体积是：12341

()3

V R S S S S =

+++． 3、如图，在平面几何中△ABC 的内角平分线AD 分BC 所成的线段比BD ：DC=AB ：AC ，把这个结论类比空间有： 在三棱锥中中，平面DCE 平分二面角A-CD-B ，且与棱相交于点E ，则有

ACD BCD

S

AE BE S

=．

例3： ．已知正数a b c ，，满足：

b

a

的取值范围是 4l n 53l n b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则

． 534a b a c c c

-≤≤-

解

：

由

534c a b c a

-≤≤-得

， ∴12a c ≥，742b

a c

c ≤-≤，由ln ln c b a c c ≥+，得ln b a c c ≥， 设b x c =，a y c =，

在处理ln y x ≤时可以类比：y x ≤是表示直线y x =的下方区域，所以ln y x ≤表示曲线ln y x =下方区域，这就是线性与非线性的类比．

则x y ，满足ln 7

2

1

2

0,0y x x y x y ≤⎧⎪

⎪≤⎪⎨⎪≥⎪⎪>>⎩，可先求y x 的取值范围． 作出（x y ，）所在平面区域（如图）

： 利用y

x

的几何意义：可行域内的任一点和点(0,0)所在直线的斜率，

由图像可知y

x

分别在点71(,)22和切点分别取得最小值和最大值．

设过点(0,0)的直线与ln y x =相切于点00(,)p x y ， ∴000

ln 1

x x x =，解得0x e =，01y =， ∴117y x e

≤≤，7b x e a y ≤=≤，即b

a 的取值范围是[] 7e ，

． A BCD

-