专题8 统计与概率压轴小题(原卷版)
七年级数学下册专题08 期中-几何综合大题必刷(压轴题)(原卷版)
专题08 期中-几何综合大题必刷（压轴题）1．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．2．如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．（1）填空：∠OBC+∠ODC＝；（2）如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF：（3）如图2：若BF、DG分别平分∠CBM、∠NDC，判断BF与DG的位置关系，并说明理由．3．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转至如图③，当∠CON＝5∠DOM 时，MN与CD相交于点E，请你判断MN与BC的位置关系，并求∠CEN的度数（3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，三角板MON运动几秒后直线MN恰好与直线CD平行．（4）将如图①位置的两块三角板同时绕点O逆时针旋转，速度分别每秒20°和每秒10°，当其中一个三角板回到初始位置时，两块三角板同时停止转动．经过秒后边OC 与边ON互相垂直．（直接写出答案）4．【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflection law）．【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD．【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．（1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝；（2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED＝β，则α与β之间满足的等量关系是．5．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG ＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．6．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B 射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD 的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．7．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．8．如图1，MN∥EF，C为两直线之间一点．（1）如图1，若∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，若∠ACB＝100°，求∠ADB的度数．（2）如图2，若∠CAM与∠CBE的平分线相交于点D，∠ACB与∠ADB有何数量关系？并证明你的结论．（3）如图3，若∠CAM的平分线与∠CBF的平分线所在的直线相交于点D，请直接写出∠ACB与∠ADB之间的数量关系：．9．（1）【问题】如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数；（2）【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．10．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．（1）若点P，F，G都在点E的右侧．①求∠PCG的度数；②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ 的度数；若不存在，请说明理由．11．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°．（1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论；（2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；（3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求的值．12．已知：AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上．（1）如图（1），∠1＝∠2，∠3＝∠4．①若∠4＝36°，求∠2的度数；②试判断EM与FN的位置关系，并说明理由；（2）如图（2），EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，试探究∠GEH与∠EFD的数量关系，并说明理由．13．已知M、N分别为直线AB，直线CD上的点，且AB∥CD，E在AB，CD之间．（1）如图1，求证：∠BME+∠DNE＝∠MEN；（2）如图2，P是CD上一点，连PM，作MQ∥EN，若∠QMP＝∠BME．试探究∠E与∠AMP的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，作NG⊥CD交PM于G，若MP平分∠QME，NF平分∠ENG，若∠MGN＝m°，∠MFN＝n°，直接写出m与n的数量关系．14．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．15．已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．（1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系．（2）若小明把一块三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数．（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，给出下列两个结论：①的②∠GEN﹣∠BDF的值不变．其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少．16．已知AB∥CD，解决下列问题：（1）如图①，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，若∠E＝100°，求∠P的度数．（2）如图②，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，试写出∠P与∠E的数量关系并说明理由．（3）如图③，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，设∠E＝m°，求∠P的度数（直接用含n、m的代数式表示，不需说明理由）．17．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM．（1）求证：∠ABD＝∠C；（2）如图2，在（1）问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN，①求证：∠ABF＝∠AFB；②求∠CBE的度数．18．已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，连接PM、PN、PQ，PQ平分∠MPN，如图①．（1）若∠PMA＝α、∠PQC＝β，求∠NPQ的度数（用含α，β的式子表示）；（2）过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F，如图②，请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接EN，如图③，若∠NEF＝∠PMA，求证：NE平分∠PNQ．19．如图1，AB∥CD，G为AB、CD之间一点．（1）若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求证：EG⊥FG；（2）如图2，若∠AEP＝∠AEF，∠CFP＝∠EFC，且FP的延长线交∠AEP的角平分线于点M，EP的延长线交∠CFP的角平分线于点N，猜想∠M+∠N的结果并且证明你的结论；（3）如图3，若点H是射线EB之间一动点，FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，过点G 作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．20．如图1，直线AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G和点H分别是直线AB和CD上的动点，作直线GH，EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，EI与HI交于点I．（1）如图1，点G在点E的左侧，点H在点F的右侧，若∠AEF＝70°，∠CHG＝60°，求∠EIH的度数．（2）如图2，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，若∠AEF＝α，∠CHG＝β，其他条件不变，求∠EIH的度数．（3）如图3，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，∠GHC的平分线HJ交∠KEG 的平分线EJ于点J．其他条件不变，若∠AEF＝α，∠CHG＝β，求∠EJH的度数．21．如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD（1）求证：∠EMF＝90°．（2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数．（3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．22．已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于H，过A作AG⊥AC交CM于G．（1）如图1，点G在CH的延长线上时，①若∠GAB＝36°，则∠MCD＝．②猜想：∠GAB与∠MCD之间的数量关系是．（2）如图2，点G在CH上时，（1）②猜想的∠GAB与∠MCD之间的数量关系还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出∠GAB与∠MCD之间的数量关系，并说明理由．23．已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点．（1）如图1，∠BME，∠E，∠END的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图2，∠BME＝m°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，EQ∥NP，求∠FEQ的度数．（用含m的式子表示）（3）如图3点G为CD上一点，∠BMN＝n•∠EMN，∠GEK＝n•∠GEM，EH∥MN交AB于点H，探究∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含n的式子表示）24．如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP；（2）如图（2），若∠BAP＝∠BAC，∠DCP＝∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；（3）在（1）的条件下，当∠BAQ＝∠BAP，∠DCQ＝∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围．25．如图1，AB∥CD．G为AB、CD之间一点．（1）若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求证：EG⊥FG；（2）如图2．若∠AEP＝∠AEF，∠CFP＝∠EFC，且FP的延长线交∠AEP的角平分线于点M，EP的延长线交∠CFP的角平分线于点N，猜想∠M+∠N的结果并且证明你的结论；（3）如图3，若点H是射线EB之间一动点，FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，过点G 作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系；并证明你的结论．26．已知，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：（1）如图1所示，求证：OB∥AC；（2）如图2，若点E、F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，此时∠EOC的度数等于（直接写出答案即可）；（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；（4）在（3）的条件下，如果平行移动AC的过程中，若使∠OEB＝∠OCA，求此时∠OCA度数．27．如图1，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠EOF ＝80°．（1）求∠BEO+∠OFD的值；（2）如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，直接写出∠EMN ﹣∠FNM的值（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG＝m∠OEG；FH在∠DFO内，∠DFH＝m∠OFH，直线MN分别交EG、FH分别于点M、N，且∠FMN﹣∠ENM＝80°，直接写出m的值．28．已知，两直线AB，CD，且AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，放置一个足够大的直角三角尺，使得三角尺的两边EP，EQ分别经过点M，N，过点N作射线NF，使得∠ENF＝∠ENC．（1）转动三角尺，如图①所示，当射线NF与NM重合，∠FND＝45°时，求∠AME的度数；（2）转动三角尺，如图②所示，当射线NF与NM不重合，∠FND＝60°时，求∠AME 的度数．（3）转动直角三角尺的过程中，请直接写出∠FND与∠AME之间的数量关系．29．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．30．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．（1）求证：AB∥DE；（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．31．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．（1）如图1，求证：EF∥GH；（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值．32．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF 交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝56°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．33．如图1，G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直线EP交于点P．直线PE交直线CD于点H，满足点E在线段PH上，∠PGB+∠P＝∠PHD．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，Q在同一直线上，且2∠Q+∠P＝120°，求∠QHD的度数；（3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N 在点B左侧，请直接写出∠MNB和∠PHM的数量关系．（题中所有角都是大于0°且小于180°的角）34．已知，DE平分∠ADB交射线BC于点E，∠BDE＝∠BED．（1）如图1，求证：AD∥BC；（2）如图2，点F是射线DA上一点，过点F作FG∥BD交射线BC于点G，点N是FG 上一点，连接NE，求证：∠DEN＝∠ADE+∠ENG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DN，点P为BD延长线上一点，DM平分∠BDE 交BE于点M，若DN平分∠PDM，DE⊥EN，∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，求∠EDN的度数．35．综合应用题：如图，有一副直角三角板如图①放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），P A、PB与直线MN重合，且三角板P AC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）∠DPC＝；（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板∠P AC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板P AC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC ∥DB成立；（3）如图③，在图①基础上，若三角板P AC的边P A从PN．处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM，求旋转的时间是多少？36．已知E，F分别是AB、CD上的动点，P也为一动点．（1）如图1，若AB∥CD，求证：∠P＝∠BEP+∠PFD；（2）如图2，若∠P＝∠PFD﹣∠BEP，求证：AB∥CD；（3）如图3，AB∥CD，移动E，F使得∠EPF＝90°，作∠PEG＝∠BEP，求的值．37．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB＝120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为秒．38．已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．（1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线MN∥AB，又∵AB∥CD，∴∥CD∵MN∥AB，∴∠＝∠MGA．∵MN∥CD，∴∠D＝（）∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由．（3）【应用拓展】如图3，AH平分∠GAE，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDF，∠HDF＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数为°．39．如图1，直线AB、CD被直线EF截，分别交AB于点G，交CD于点H，∠AGE与∠EHC互补．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，点P在直线AB、CD内部直线EF上，点M、N分别在直线AB、CD上，连接PM、PN，点K在∠PMB的角平分线上，连接KN，若∠MKN＝180°∠MPN，求证：∠PNK＝∠CNK；（3）如图3，在（2）的条件下，点O为AB上一点，连接ON、MN，MN平分∠PNO，若∠MNK：∠PMK＝2：7，2∠MKN﹣∠PNO＝180°，求∠NOM的度数．40．已知，AB∥CD，点F、G分别在AB、CD上，且点E为射线FG上一点．（1）如图1：当点E在线段FG上时，连接AE、DE，易得∠AED＝∠EAF+∠EDG．小明给出的理由是：如图1，过E作EH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）∴∠EAF＝∠AEH，∠EDG＝∠DEH，（依据1）∴∠AED＝∠AEH+∠DEH＝∠EAF+∠EDG；（依据2）填空：依据1：．依据2：．（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF＝∠AED+∠EDG；（3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠CDI＝2：1，∠AED＝20°，∠I＝30°，求∠EKD的度数．41．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠P AC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠P AD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．（1）求∠AEC的度数；（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠P AC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC 的度数．（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．42．阅读下面材料：小亮遇到这样问题：如图1，已知AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．判断∠O、∠BEO、∠DFO三个角之间的数量关系．小亮通过思考发现：过点O作OP∥AB，通过构造内错角，可使问题得到解决．请回答：∠O、∠BEO、∠DFO三个角之间的数量关系是．参考小亮思考问题的方法，解决问题：（2）如图2，将△ABC沿BA方向平移到△DEF（B、D、E共线），∠B＝50°，AC与DF相交于点G，GP、EP分别平分∠CGF、∠DEF相交于点P，求∠P的度数；（3）如图3，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连接FE并延长至点A，连接BA、BC和CA，作∠CBF和∠CEF的平分线交于点M，若∠ADC＝α，则∠M＝（直接用含α的式子表示）．。
压轴题08 概率与统计的综合运用(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)
压轴题08概率与统计的综合运用概率统计在高考中扮演着很重要的角色，概率统计解答题是新高考卷及多数省市高考数学必考内容，考查热点为古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等．回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题．考向一：概率与其它知识的交汇问题考向二：递推概率考向三：与体育比赛规则有关的概率问题考向四：决策型问题考向五：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式（一）涉及的概率知识层面主要考查随机变量的概率分布与数学期望，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件还是独立重复试验，以便选择正确的计算方法，进行概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，也要掌握几种常见常考的概率分布模型：离散型有二项分布、超几何分布，连续型有正态分布．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，1、离散型随机变量的期望与方差一般地，若离散型随机变量X 的分布列为称1122()n n E X x p x p x p =+++ 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．称()21()()ni i i D X x E X p ==-∑为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值()E XX 的标准差．（1）离散型随机变量的分布列的性质①0(1,2,,)i p i n = ；②121n p p p +++= ．（2）均值与方差的性质若Y aX b =+，其中,a b 为常数，则Y 也是随机变量，且2()();()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=（3）分布列的求法①与排列、组合有关分布列的求法．由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．②与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．③与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．④与独立事件（或独立重复试验）有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．（4）常见的离散型随机变量的概率分布模型①二项分布；②超儿何分布．2、常见的连续型概率分布模型正态分布．（二）概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力1、与数列结合的实际问题2、与函数导数结合的实际问题3、与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题4、与统计结合的实际问题5、与其他背景结合的实际问题一、单选题1．（2023·福建·统考模拟预测）已知()2,X N μσ ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布()25.40,0.05N ，现从中随机抽取N 个，这N 个零件中恰有K 个的质量指标ξ位于区间()5.35,5.55.若45K =，试以使得()45P K =最大的N 值作为N 的估计值，则N 为（）A ．45B ．53C ．54D ．902．（2023·贵州·统考模拟预测）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且()()01,2,,i P X i p i n ==>=⋅⋅⋅，11ni i p ==∑，定义X 的信息熵()21log ni i i H X p p ==-∑，若2n m =，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ⋅⋅⋅，且()()211,2,,j m j P Y j p p j m +-==+=⋅⋅⋅，则（）A ．()()H X H Y ≥B ．()()H X H Y ≤C ．()()H X H Y <D ．()()H X H Y >3．（2023·云南·高三校联考阶段练习）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，A 表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B 表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C 表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D 表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则（）A ．C 与D 相互独立B ．A 与D 相互独立C ．B 与D 相互独立D ．A 与C 相互独立二、多选题4．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1i a =或2i a =的概率均为()11,2,3,2i =⋅⋅⋅．设n S 能被3整除的概率为n P ，则（）A ．21P =B ．314P =C ．113411024P =D ．当25n ≥时，13n P <5．（2023·福建泉州·统考三模）某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为27，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13．记玩家第n 次抽盲盒，抽中奖品的概率为n P ，则（）A ．21942P =B ．数列37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列C ．1942n P ≤D ．当2n ≥时，n 越大，n P 越小6．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为n P ，则下列说法正确的是（）A ．259P =B ．12133n n P P +=+C ．点Q 移动4次后恰好位于点1C 的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为10111()232+7．（2023·山东烟台·高二统考阶段练习）甲､乙两人进行()*2N n n ∈局羽毛球比赛（无平局），每局甲获胜的概率均为12.规定：比赛结束时获胜局数多的人贏得比赛.记甲贏得比赛的概率为()P n ，假设每局比赛互不影响，则（）A ．()114P =B ．()11316P =C ．()221C 122n nnP n +=-D ．()P n 单调递增三、填空题8．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若c =，2b =，π3C =，AD 是BC 边上的高线，点D 为垂足．点E 为线段BD 上一点，点B 关于直线AE 的对称点为点M ．从四边形BACM 中任取一点，该点来自ABC 的概率记为()P A ，则()P A 的最小值为______．9．（2023·山东枣庄·统考二模）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X 表示样本中黄球的个数．当()P X k =最大时，()E X k +=____________．10．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）定义：如果甲队赢了乙队，乙队赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组”.如果20支球队参加单循环比赛，则友好组个数的最大值为__________.11．（2023·上海黄浦·高二上海市大同中学校考阶段练习）已知正三角形ABC ，某同学从A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子.规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点.②棋子移动的方向由掷骰子（点数为16-）决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动；若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动.设掷骰子n 次时，棋子移动到,,A B C 处的概率分别为()n P A ，()n P B ，()n P C .例如：掷骰子一次时，棋子移动到,,A B C 处的概率分别为1()0P A =，11((1))2P B P C ==.当掷骰子7次时，棋子移动到A 处的概率7()P A 值为___________.12．（2023·天津·统考一模）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球若从中任取3球，则恰有一个白球的概率是__________，若从中不放回的取球2次，每次任取1球，记“第一次取到红球”为事件A ，“第二次取到红球”为事件B ，则()|P B A =__________.13．（2023·山东烟台·高二山东省招远第一中学校考期中）现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n 关要抛掷骰子n 次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n n +，则算过第n 关.假定每次过关互不影响，则直接挑战第2关并过关的概率为__________，若直接挑战第4关，则过关的概率为__________.14．（2023·山东潍坊·统考一模）乒乓球被称为我国的“国球”.甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为34，乙获胜的概率为14，每局比赛都是相互独立的.①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为__________.②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为__________.附：当01q <<时，lim 0n n q →+∞=，lim 0n n n q →+∞⋅=.四、解答题15．（2023·江西·校联考模拟预测）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由()21k k *-∈N 个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为()01p p <<，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k 个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为k p （例如：2p 表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；3p 表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.(1)若23p =，当2k =时，求控制系统中正常工作的元件个数X 的分布列和数学期望，并求3p ；(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a 件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为14，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为Y （单位：元）.（i ）请用k p 表示()E Y ；（ii ）设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.16．（2023·浙江杭州·统考二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，2t X -，1t X -，t X ，1t X +，…，那么1t X +时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态t X ，即()()1211,,,t t t t t t P X X X X P X X +--+⋅⋅⋅=．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为()*N ,A A A B ∈<，赌博过程如下图的数轴所示．当赌徒手中有n 元（0n B ≤≤，N n ∈）时，最终输光的概率为．．．．．．．．()P n ，请回答下列问题：(1)请直接写出()0P 与()P B 的数值．(2)证明(){}P n 是一个等差数列，并写出公差d ．(3)当100A =时，分别计算200B =，1000B =时，()P A 的数值，并结合实际，解释当B →∞时，()P A 的统计含义．17．（2023·吉林·统考三模）2022年11月20日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物都是中国制造，为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛，该足球队教练组为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了输赢）：球队输球球队赢球总计甲参加23032甲未参加81018总计104050(1)根据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联；(2)从该球队中任选一人，A 表示事件“选中的球员参赛”，B 表示事件“球队输球”．()()||P B A P B A 与()()||P B A P B A 的比值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标，记该指标为R ．①证明：()()()()||||P A B P A B R P A B P A B =⋅；②利用球员甲数据统计，给出()|P A B ，()|P A B 的估计值，并求出R 的估计值．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．参考数据：a 0.050.010.0050.001ax 3.8416.6357.87910.82818．（2023·全国·模拟预测）2022年11月4日上午，福建省福州市教育局对2023年初中毕业生体育考试抽考类、抽选考类项目进行摇号抽签，最终确定排球对墙垫球为抽考项目，立定跳远、50米跑、双手头上前掷实心球三项为抽选考项目（考生从这三个项目中自选两项考试）.此外，体育中考还有必考项目：1000米跑（男）、800米跑（女）或200米游泳（泳姿不限），考生按性别从2个项目中自选1项考试.若某初三男生参加中考体育测试的项目为排球对墙垫球、立定跳远、双手头上前掷实心球、1000米跑.为了提高成绩，该男生决定每天进行多次训练（一次练一项），第一次，在4个项目中等可能地随机选一项开始训练，从第二次起，每次都是从上一次未训练的3个项目中等可能地随机选1项训练.(1)若该男生某天进行了3次训练，求第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率；(2)若该男生某天进行了5次训练，4个项目都有训练，且第一次训练的是“1000米跑”，前后训练项目不同视为不同的训练顺序，设5次训练中选择“1000米跑”的次数为X ，求X 的分布列及数学期望.19．（2023·福建莆田·统考二模）互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量12m =，样本平均数18x =，样本方差2119s =；乙镇的样本容量18n =，样本平均数36y =，样本方差2270s =．(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数z 及其方差2S ；(2)为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为35，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为12．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X ，求()E X ．参考数据：2222212183888,183623328,28.8829.44,1210.81399.68,187.2933.12⨯=⨯==⨯=⨯=．20．（2023·浙江·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32队参加，其中欧洲球队有13支，分别是德国、丹麦、法国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士．世界杯决赛圈赛程分为小组赛和淘汰赛，当进入淘汰赛阶段时，比赛必须要分出胜负．淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负，比赛结束，若比分相同，则进入30分钟的加时赛．在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负．点球大战分为2个阶段．第一阶段：前5轮双方各派5名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准（非必要无需踢满5轮），前5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利．第二阶段：如果前5轮还是平局，进入“突然死亡”阶段，双方依次轮流踢点球，如果在该阶段一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利．下表是2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果：淘汰赛比赛结果淘汰赛比赛结果1/8决赛荷兰3:1美国1/4决赛克罗地亚4112（）:（）巴西阿根廷2:1澳大利亚荷兰3224（）:（）阿根廷法国3:1波兰摩洛哥10:葡萄牙英格兰30:塞内加尔英格兰1:2法国日本1113（）:（）克罗地亚半决赛阿根廷30:克罗地亚巴西4:1韩国法国20:摩洛哥摩洛哥3000（）:（）西班牙季军赛克罗地亚2:1摩洛哥葡萄牙61:瑞士决赛阿根廷4332（）:（）法国注：“阿根廷4332（）:（）法国”表示阿根廷与法国在常规比赛及加时赛的比分为33:，在点球大战中阿根廷42:战胜法国．(1)请根据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率．(2)根据题意填写下面的22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“32支决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关．欧洲球队其他球队合计闯入8强未闯入8强合计知甲队球员每轮踢进点球的概率为p，乙队球员每轮踢进点球的概率为23，求在点球大战中，两队前2轮比分为2:2的条件下，甲队在第一阶段获得比赛胜利的概率（用p表示）．参考公式：22(),.()()()()n ad bc n a b c da b c d a c b dχ-==+++ ++++()2Pχα≥0.10.050.010.0050.001α 2.706 3.841 6.6357.87910.82821．（2023·山西·统考一模）假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.22．（2023·江苏盐城·盐城中学一模）抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；(2)取了3次后，取出的一次性筷子的个数（双）的分布列及数学期望；n n=，…）次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率．(3)取了(2,3,423．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有23的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X 的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为pn ，易知121,0==p p ．①试证明：13n p ⎧⎫-⎨⎩⎭为等比数列；②设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为qn ，比较p 10与q 10的大小．24．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有12的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有12的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立：(1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A 为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B 为“技能一和技能二各触发1次”，求条件概率()P B A (2)设n 是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为2n 的概率记为n P ，求n P .25．（2023·全国·模拟预测）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3:0或3:1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3:2取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为()01p p <<.（1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？（2）第10轮比赛中，记张三3:1取胜的概率为()f p .①求出()f p 的最大值点0p ；②若以0p 作为p 的值，这轮比赛张三所得积分为X ，求X 的分布列及期望.26．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[70,100)内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“=Y 频率组距”)时，发现Y 满足*8109,16300,N ,55(1)11,161520n n Y n n X n k n n -⎧⎪⎪=∈<+⎨⎪-⋅>⎪-⎩ .（1）试确定n 的所有取值，并求k ；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[)95,100的参赛者评为一等奖；分数在[90,95)的同学评为二等奖，但通过附加赛有111的概率提升为一等奖；分数在[85,90)的同学评为三等奖，但通过附加赛有17的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生A 和B 均参加了本次比赛，且学生A 在第一阶段评为二等奖.（i ）求学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级的概率；（ii ）已知学生A 和B 都获奖，记A B ，两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.27．（2023·广东江门·高二校考阶段练习）三年多的“新冠之战”在全国人民的共同努力下刚刚取得完胜，这给我们的个人卫生和公共卫生都提出更高的要求！某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组，对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道，该机构从600名员工中进行筛选，筛选方法如下：每位员工测试A ，B ，C 三项工作，3项测试中至少2项测试“不合格”的员工，将被认定为“暂定”，有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试A ，B 两项，如果这两项中有1项以上（含1项）测试“不合格”，将也被认定为“暂定”，每位员工测试A ，B ，C 三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为()01p p <<．(1)记每位员工被认定为“暂定”的概率为()f p ，求()f p ；(2)每位员工不需要重新测试的费用为90元，需要重新测试的前后两轮测试的总费用为150元，所有员工除测试费用外，其他费用总计为1万元，若该机构的预算为8万元，且600名员工全部参与测试，试估计上述方案是否会超出预算，并说明理由．28．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有A ，B ，C ，D 四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有A ，B ，C ，D 四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生接种A 种疫苗后，再为居民们接种，记第n 位居民（不包含张医生）接种A ，B ，C ，D 四种疫苗的概率分别为(),(),(),()n n n n P A P B P C P D .(1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；(2)证明：()()()n n n P B P C P D ==；(3)张医生认为，一段时间后接种A ，B ，C ，D 四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种A ，B ，C ，D 四种的概率，解释张医生观点的合理性.参考数据：910910553411115.110, 1.710, 2.010,9.810.3322----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈⨯≈⨯≈⨯≈⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭29．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）某商场计划在国庆节开展促销活动，准备了游戏环节，主持人准备一枚质地均匀的骰子，掷到奇数和偶数的概率各为12，游戏要求顾客掷()*2n n N ∈次骰子，每次记录下点数为奇数还是偶数.(1)若正好有n 次的点数为偶数，则顾客获得一个价值50元的红包作为顾客，你认为1n =和2n =哪种情况更有利于你获得红包？(2)投掷2n 次骰子后，若掷出偶数的次数多于奇数，则顾客获得一张100元的消费券；掷出偶数的次数等于奇数，则顾客获得一张50元的消费券；掷出偶数的次数少于奇数，则顾客获得一张10元的消费券.（ⅰ）当2n =时，记顾客获得的消费券为X 元，求随机变量X 的数学期望；（ⅱ）记“掷2n 次骰子，掷出偶数的次数多于奇数”的概率为n P ，求n P （直接写出n P 表达式即可）。
压轴题07 统计与概率压轴题压轴题(原卷版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用-理)
压轴题07统计与概率压轴题题型/考向一：计数原理与概率题型/考向二：随机变量及其分布列题型/考向三：统计与成对数据的统计分析一、计数原理与概率热点一排列与组合解决排列、组合问题的一般步骤(1)认真审题弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．热点二二项式定理1．求(a＋b)n的展开式中的特定项一般要应用通项公式T k＋1＝C k n a n－k b k(k＝0，1，2，…，n)．2．求两个因式积的特定项，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解．3．求三项展开式的特定项，一般转化为二项式求解或用定义法．4．求解系数和问题应用赋值法．热点三概率1．古典概型的概率公式P (A )＝事件A 中包含的样本点数试验的样本点总数.2．条件概率公式设A ，B 为随机事件，且P (A )＞0，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.3．全概率公式设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )＞0，i ＝1，2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑ni ＝1P (A i )P (B |A i )．○热○点○题○型一计数原理与概率一、单选题1．现将甲乙丙丁四个人全部安排到A 市､B 市､C 市三个地区工作，要求每个地区都有人去，则甲乙两个人至少有一人到A 市工作的安排种数为（）A ．12B ．14C ．18D ．222．世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（）A ．14B ．27C ．13D ．253．在()62x x y -+的展开式中，项7x y 的系数为（）A ．60B ．30C ．20D ．60-4．在)7311⎛⋅ ⎝的展开式中，含1x 的项的系数为（）A ．21B ．35C ．48D ．565．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．596．一袋中有大小相同的3个白球和4个红球，现从中任意取出3个球，记事件:A “3个球中至少有一个白球”，事件:B “3个球中至少有一个红球”，事件:C “3个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（）A ．事件A 与事件B 不为互斥事件B ．事件A 与事件C 不是相互独立事件C ．()3031P C A =D ．()()P AC P AB >7．某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团．目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为（）A ．14B ．15C ．16D ．188．第十四届“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”分别于2023年3月5日和3月4日胜利召开，为实现新时代新征程的目标任务汇聚智慧和力量．某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动．某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛．在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，则党员甲被选中的概率为（）A ．12B ．1115C ．713D ．27二、多选题9．在9x⎛+ ⎝的展开式中，下列结论正确的是（）A ．第6项和第7项的二项式系数相等B ．奇数项的二项式系数和为256C ．常数项为84D ．有理项有2项10．已知()()()()()923901239252222x a a x a x a x a x -=+-+-+-++- ，则下列结论成立的是（）A ．20911a a a a ++++=LB ．3672a =C ．9012393a a a a a -+-+-= D ．123912398=++++ a a a a 11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A ．()25P B =B ．()1511P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．1A 、2A 、3A 两两互斥12．爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D 投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为34，则（）A ．事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥B ．“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为916C ．表演成功的环节个数的期望为3D ．在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为34二、随机变量及其分布列热点一分布列的性质及应用离散型随机变量X 的分布列为X x 1x 2…x i …x n Pp 1p 2…p i…p n则(1)p i ≥0，i ＝1，2，…，n .(2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.(3)E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n .(4)D (X )＝∑ni ＝1[x i －E (X )]2p i .(5)若Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X ).热点二随机变量的分布列1.二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n .E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p ).2.超几何分布一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k M C n －k N －M C n N，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }，E (X )＝n ·M N .热点三正态分布解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x ＝μ.(2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.○热○点○题○型二随机变量及其分布列一、单选题1．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布()2120,N σ，已(140)0.2P X >=，则[100,140]X ∈的学生人数为（）A ．5B ．10C ．20D ．302．在某个独立重复实验中，事件A ，B 相互独立，且在一次实验中，事件A 发生的概率为p ，事件B 发生的概率为1p -，其中()0,1p ∈．若进行n 次实验，记事件A 发生的次数为X ，事件B 发生的次数为Y ，事件AB 发生的次数为Z ，则下列说法正确的是（）A ．()()()1pE X p E Y =-B ．()()()1p D X pD Y -=C ．()()E Z D Y =D ．()()()2D Z D X D Y=⋅⎡⎤⎣⎦3．新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A 型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km ）情况，随机调查得到了1200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量2(13,)N ξσ ，若()12140.7P ξ<<=，则样本中耗电量不小于14kW h /100km ⋅的汽车大约有（）A ．180辆B ．360辆C ．600辆D ．840辆4．设()()221122~,~X N Y N μσμσ，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）A ．对任意实数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥B ．对任意实数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤C ．()()21P Y P Y μμ≥≥≥D ．()()21P X P X σσ≤≤≤5．下列命题错误．．的是（）A ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B ．设()21N ξσ~，，且(0)0.2P ξ<=，则(12)0.2P ξ<<=C ．线性回归直线ˆˆˆybx a =+一定经过样本点的中心()，x y D ．随机变量()B n p ξ~，，若()()3020E D ξξ==，，则90n =6．某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X 近似服从正态分布()272,8N ，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（）参考数据：()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈．A ．455B ．2718C ．6346D ．95457．某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布()()24,0N σσ>，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（）A ．0.9B ．0.7C ．0.3D ．0.18．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布．假设面包师的说法是真实的，记随机购买一个面包的质量为X ，若()2~,X N μσ，则买一个面包的质量大于900g 的概率为（）（附：①随机变量η服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827μσημσ-≤≤+=，(22)0.9545P μσημσ-≤≤+=，(33)0.9973P μσημσ-≤≤+=；）A ．0.84135B ．0.97225C ．0.97725D ．0.99865二、多选题9．已知随机变量X 服从二项分布29,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，随机变量21Y X =+，则下列说法正确的是（）A ．随机变量X 的数学期望()6E X =B ．512(2)93P X ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭C ．随机变量X 的方差()2D X =D ．随机变量Y 的方差()4D Y =10．随机变量()2,X N μσ 且()20.5P X ≤=，随机变量()3,Y B p ，若()()E Y E X =，则（）A ．2μ=B ．()22D x σ=C ．23p =D ．()36D Y =11．李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，则（）A ．P (X ＞32)＞P (Y ＞32)B ．P (X ≤36)＝P (Y ≤36)C ．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D ．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车12．假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为x g ，随机变量x 服从正态密度函数()2200(1000)x x ϕ--=，其中x ∈R ，则（）附：随机变量2(,)N ξμσ-，则()0.683P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=．A ．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g 的概率为0.15%B ．生产线乙的食盐质量()2~1000,100x N C ．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重D ．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g ，于是判断出该生产线出现异常是合理的三、解答题13．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选到．(1)求恰有1名甲班的候选人被选中的概率；(2)用X 表示选中的候选人中来自甲班的人数，求()3P X ≥；(3)求（2）中X 的分布列及数学期望．14．网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A 组和B 组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响·(1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；(2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X ，估计X 的数学期望()E X ；(3)从A 组和B 组中分别随机抽取2户家庭，记1ξ为A 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，2ξ为B 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差()1D ξ与()2D ξ的大小．（结论不要求证明）15．2022世界机器人大会在北京召开，来自各个领域的参展机器人给参观者带来了不同的高科技体验．现有A ，B 两种型号的小型家庭生活废品处理机器人，其工作程序依次分为三个步骤：分捡，归类，处理，每个步骤完成后进入下一步骤．若分捡步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为20分，若归类步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为30分，若处理步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为50分．若各步骤完成但效能没有达到95%，则该步骤得分为0分，在第三个步骤完成后，机器人停止工作．现已知A 款机器人完成各步骤且效能达到95%及以上的概率依次为45，35，13，B 款机器人完成各步骤且效能达到95%及以上的概率均为12，每款机器人完成每个步骤且效能是否达到95%及以上都相互独立．(1)求B 款机器人只有一个步骤的效能达到95%及以上的概率；(2)若准备在A ，B 两种型号的小型家庭生活废品处理机器人中选择一款机器人，从最后总得分的期望角度来分析，你会选择哪一种型号？三、统计与成对数据的统计分析热点一用样本估计总体1.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2.在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数.(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数.(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.热点二回归分析求经验回归方程的步骤(1)依据成对样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略).(2)计算出x －，y －，∑n i ＝1x 2i ，∑n i ＝1x i y i 的值.(3)计算a ^，b ^.(4)写出经验回归方程.热点三独立性检验独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列2×2列联表；(2)根据公式χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），计算χ2的值；(3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作统计判断.χ2越大，对应假设事件H 0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H 0不成立的概率越大.○热○点○题○型三统计与成对数据的统计分析一、单选题1．已知一组数据1231,31,,31n x x x --- 的方差为1，则数据12,,,n x x x 的方差为（）A ．3B ．1C ．13D ．192．某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4：1且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是（）A ．90B ．96C ．102D ．1203．某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A ．频率分布直方图中a 的值为0.004B ．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75C ．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D ．估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为1504．如图，一组数据123910,,,,,x x x x x ⋅⋅⋅，的平均数为5，方差为21s ，去除9x ，10x 这两个数据后，平均数为x ，方差为22s ，则（）A ．5x >，2212s s >B ．5x <，2212s s <C ．5x =，2212s s <D ．5x =，2212s s >5．某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取9家企业，根据食品安全管理考核指标对抽到的企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图．由茎叶图所给信息，可判断以下结论中正确是（）A ．若2a =，则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差B ．若4a =，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数C ．若5a =，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差D ．若6a =，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数6．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（）A ．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为12,x x 和2212,s s ，且已知12x x =，则总体方差()2221212s s s =+B ．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1C ．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()151P X P X -+= ，则2μ=D ．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,,40,50m ；乙组：24,,33,44,48,52n ，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则67m n +=7．若数据1x ，2x ，…，10x 的平均数为2，方差为3，则下列说法错误的是（）A ．数据141x +，241x +，…，1041x +的平均数为9B ．10120i i x ==∑C ．数据13x ，23x ，…，103x 的方差为D ．102170i i x ==∑8．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d vβ=D ．1d =，22d v β=二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．数据5，7，8，11，10，15，20的中位数为11B ．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为18.5C ．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数能构成直角三角形三边长的概率为0.1D ．设随机事件A 和B ，已知0.8)PA =（，0.6|PB A =（），(|)0.1P B A =，则()0.5P B =10．为了加强学生对党的二十大精神的学习，某大学开展了形式灵活的学习活动．随后组织该校大一学生参加二十大知识测试（满分：100分），随机抽取200名学生的测试成绩，这200名学生的成绩都在区间[]60,100内，将其分成5组：[)60,68，[)68,76，[)76,84，[)84,92，[]92,100，得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，视频率为概率，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则（）A．该校学生测试成绩不低于76分的学生比例估计为76%B．该校学生测试成绩的中位数估计值为80C．该校学生测试成绩的平均数大于学生测试成绩的众数D．从该校学生中随机抽取2人，则这2人的成绩不低于84分的概率估计值为0.1611．随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从2022年到该地旅游的游客中随机抽取10000位游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式，如图所示，则（）A．估计2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人占游客总人数的80%B．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的游客占游客总人数的26.25%C．估计2022年到该地旅游且选择自助游的游客中青年人超过一半D．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人比到该地旅游的老年人还要多12．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（）A．营业收入增速的中位数为9.1%B．营业收入增速极差为13.6%C．利润总额增速越来越小D．利润总额增速的平均数大于6%三、解答题13．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及0.05a =的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p ；（ii ）以（i ）中确定的概率p 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n 个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X ．试验后统计数据显示，当X =99时，P （X ）取最大值，求参加人体接种试验的人数n ．参考公式：22()()()()()n ad bc x a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）20()P x k ≥0.500.400.250.150.1000.0500.0250k 0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.02414．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号i12345678910平均值根部横截面积ix 0.040.060.040.080.080.05a bc 0.070.06材积量iy 0.250.410.220.540.530.340.350.390.430.440.39其中a ，b ，c 为等差数列，并计算得：610.146i i i x y ==∑0.044≈，0.303≈．(1)求b 的值；(2)若选取前6个样本号对应数据，判断这种树木的根部横截面积与材积量是否具有很强的线性相关性，并求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程（若0.250.75r ≤≤，则认为两个变量的线性相关性一般；若0.75r>，则认为两个变量的线性相关性很强）；附：相关系数niix ynx yr -=∑回归直线y bx a =+$$$中，1221niii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑ ，a y bx =-$$．(3)根据回归直线方程估计a ，c 的值（精确到0.01）．。
2020年九年级数学典型中考压轴题训练：统计与概率 (含答案)
2020年九年级数学典型中考压轴题训练：统计与概率1．某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育活动项目：A．篮球B．乒乓球C．羽毛球D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查．并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）求这次被调查的学生人数；（2）通过计算将条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200人，请你估计喜欢羽毛球的学生有多少人？2．在这场疫情中，“新型冠状性病毒”拆散了许多家庭，也有不少人的生命戛然而止，令人心痛．小明为了纪念这场疫情，自己动手做了四张扑克牌，四张扑克牌的文字分别为“武”、“汉”、“加”、“油”．小明将4张扑克牌翻成反面，然后搅匀扑克牌，搅匀后从中随机抽取一张牌，记录字后然后放回去，接着抽取一张牌，记录第二张牌上的字．请用画树状图或列表的方法，求出摸到两次“武”字的概率．3．一二六中学计划举行“最爱辽宁红色景点”调查活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你去过的景点是？”的问卷调查，要求学生必须从“A（辽沈战役纪念馆），B（鸭绿江断桥景区），C（战犯管理所旧址），D（大连市关向应故居纪念馆）”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）本次调查的学生人数为人；（2）在扇形统计图中，D部分所占圆心角的度数为°；（3）请直接将两个统计图补充完整；（4）若该校共有2400名学生，估计该校最想去A和B的学生共有多少人？4．为了解本校九年级同学双休日参加体育锻炼的时间，课题小组进行了问卷调查，并用调查结果绘制了如下两幅统计图（均不完整），其中A、B、C、D、E选项对应的时间（小时）分别为：0.5，1，1.5，2，2小时以上，请根据统计图解答以下问题：（1）求本次接受问卷调查的人数；（2）通过计算补全条形统计图；（3）本校有九年级同学共800人，请估计双休日参加体育锻炼时间在2小时以内（含2小时）的人数．5．在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据．摸球的次数n100150200500800摸到黑球的次数m263749124200摸到黑球的频率0.260.2470.2450.2480.25（1）估算口袋中白球的个数；（2）用画树状图或列表的方法计算连续两名同学都摸出白球的概率．6．“同享一片蓝天，共建美好家园”，北京某中学初三年级同学积极参与义务植树活动．小明同学为了了解本年级600个同学在2019年义务植树的数量，进行了抽样调查，随即抽取了其中30个同学，收集的数据如下（单位：棵）：112423233433433534344545343456（1）对以上数据进行整理、描述和分析：①绘制如下的统计图则该统计图中种植3棵树的有个同学，种植4棵树的有个同学；②这30个同学2019年义务植树数量的中位数是，众数是；（2）中国植树节定于每年的3月12日，是中国为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境．经过进一步调查，小明同学发现这30个同学中有23个是在3月份去义务植树的，由此可以估计该年级所有同学中在3月份去义务植树的有个．7．为宣传6月6日世界海洋日，某校八年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：表1知识竞赛成绩分组统计表组别分数/分频数A60≤x＜70aB70≤x＜8020C80≤x＜9028D90≤x＜10036（1）本次调查一共随机抽取了个参赛学生的成绩；（2）表1中a＝；（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是；（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到90分以上（含90分）的学生约有人．8．4月23日是世界读书日，全称为世界图书与版权日，又称“世界图书日“，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．习近平说：“我爱好挺多，最大的爱好是读书，读书已成为我的一种生活方式，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校某兴趣小组为了了解学生课外阅读的情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：【收集数据】从学校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如表（单位：min）：30608150401101301469010060811201407081102010081【整理数据】按如表分段整理样本数据：课外阅读时间x（min）0≤x＜4040≤x＜8080≤x＜120120≤x≤160人数3584【分析数据】对样本数据进行分析得到如表分析表：平均数中位数众数80m n【得出结论】（1）补全分析表中的数据：m＝，n＝；（2）如果该校现有学生1600人，请估计每周阅读时间超过90min的学生有多少名？（3）假设平均阅读一本课外书的时间为260分钟，请你选择一种统计量估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？9．为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买150双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？10．镇政府想了解对王家村进行“精准扶贫”一年来村民的经济情况，统计员小李用简单随机抽样的方法，在全村130户家庭中随机抽取20户，调查过去一年的收入（单位：万元），从而去估计全村家庭年收入情况．已知调查得到的数据如下：1.9，1.3，1.7，1.4，1.6，1.5，2.7，2.1，1.5，0.9，2.6，2.0，2.1，1.0，1.8，2.2，2.4，3.2，1.3，2.8为了便于计算，小李在原数据的每个数上都减去1.5，得到下面第二组数：0.4，﹣0.2，0.2，﹣0.1，0.1，0，1.2，0.6，0，﹣0.6，1.1，0.5，0.6，﹣0.5，0.3，0.7，0.9，1.7，﹣0.2，1.3（1）请你用小李得到的第二组数计算这20户家庭的平均年收入，并估计全村年收入及全村家庭年收入超过1.5万元的百分比；已知某家庭过去一年的收入是1.89万元，请你用调查得到的数据的中位数推测该家庭的收入情况在全村处于什么水平？（2）已知小李算得第二组数的方差是S，小王依据第二组数的方差得出原数据的方差为（1.5+S）2，你认为小王的结果正确吗？如果不正确，直接写出你认为正确的结果．11．为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，各地教育部门在推迟各级学校开学时间的同时提出“停课不停学”的要求，各地学校也都开展了远程网络教学，某校集合为学生提供四类在线学校方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学校方式最感兴趣”的调查，并根据地产结果绘制成如下两幅不完整的统计图．（1）本次调查的人数有多少人？（2）请补全条形图；（3）请求出“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数；（4）小宁和小娟都参加了远程网络教学活动，请求出小宁和小娟选择同一种学习方式的12．某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题（1）本次调查学生共人，a＝，并将条形图补充完整；（2）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．13．为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛．为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示：大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表：一周诗词诵背数量3首4首5首6首7首8首人数101015402520请根据调查的信息分析：（1）以抽查的这部分学生为样本，求“在大赛启动之初，一周诗词诵背数量不超过5首”（2）以这部分学生经典诗词大赛启动之初和结束一个月后，一周诗词诵背数量的平均数作为决策依据，说明平均每名学生一周诗词诵背数量的增长率接近16%还是22%？14．甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情．（1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是；（2）若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．15．为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：（1）本次调查一共随机抽取了个参赛学生的成绩；（2）表1中a＝；（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是；（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有人．表1 知识竞赛成绩分组统计表组别分数/分频数A60≤x＜70aB70≤x＜8010C80≤x＜9014D90≤x＜10018参考答案1．【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为20÷＝200（人）；（2）选择C项目的人数为200﹣（20+80+40）＝60（人），补全图形如下：（3）喜欢羽毛球的学生有1200×＝360（人）．2．【解答】解：将武汉加油分别记为1、2、3、4，列表如下：1234 111121314221222324331323334441424344由表可知共有16种等可能结果，其中摸到两次“武”字的只有1种结果，∴摸到两次“武”字的概率为．3．【解答】解：（1）本次调查的学生人数为66÷55%＝120．故答案为120；（2）在扇形统计图中，“黄果树瀑布”部分所占圆心角的度数为360°×5%＝18°．故答案为18；（3）选择C的人数为：120×25%＝30（人），A所占的百分比为：1﹣55%﹣25%﹣5%＝15%．补全统计图如图：（4）70%×2400＝1680（人）．答：该校共有2400名学生，估计该校最想去A和B的学生共有1680人．4．【解答】解：（1）40÷25%＝160（人）答：本次接受问卷调查的同学有160人；（2）D组人数为：160×18.75%＝30（人）统计图补全如图：（3）800×＝750（人），答：双休日参加体育锻炼时间在2小时以内（含2小时）的人数为750人．5．【解答】解：（1）又表格中数据可得出，摸到黑球的频率稳定在0.25，故1÷0.25﹣1＝3（个），答：口袋中白球的个数为3个；（2）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况，∴两次都摸到白球的概率为：．6．【解答】解：（1）①由题目中的数据可知，种植3棵树的有11个同学，种植4棵的有9个同学，补全的统计图如右图所示，故答案为：11，9；②这30个同学2019年义务植树数量的中位数是3，众数是3，故答案为：3，3；（2）600×＝460（个），即该年级所有同学中在3月份去义务植树的有460个，故答案为：460．7．【解答】解：（1）36÷36%＝100（个）．（2）a＝100×16%＝16（个）．（3）将竞赛成绩从小到大排列后处在第50、51位的数都落在C组，因此中位数落在C 组；（4）500×36%＝180（人）．答：该校九年级竞赛成绩达到90分以上（含90分）的学生约有180人．故答案为：100；16；C组；180．8．【解答】解：（1）将数据重新排列为10、20、30、40、50、60、60、70、81、81、81、81、90、100、100、110、120、130、140、146，数据81出现次数最多，所以众数为81，第10、11个数据均为81，所以中位数为＝81，故答案为：81、81；（2）估计每周阅读时间超过90min的学生有1600×＝560（人）；（3）因为该校学生平均每周阅读时间为80min，所以＝16，即估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读16本课外书．9．【解答】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为：6+12+10+8+4＝40（人），图①中m的值为：100﹣30﹣25﹣20﹣10＝15；故答案为：40；15；（Ⅱ）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，∴这组样本数据的众数为35号；∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，∴中位数为＝36；（Ⅲ）根据题意得：150×30%＝45（双），答：建议购买35号运动鞋45双．10．【解答】解：（1）第二组数据的平均数为（0.4﹣0.2+0.2﹣0.1+0.1+0+1.2+0.6+0﹣0.6+1.1+0.5+0.6﹣0.5+0.3+0.7+0.9+1.7﹣0.2+1.3）＝0.4，所以这20户家庭的平均年收入＝1.5+0.4＝1.9（万元），130×1.9＝247，估计全村年收入为247万元；全村家庭年收入超过1.5万元的百分比为×100%＝65%；第二组数据排序为：﹣0.6，﹣0.5，﹣0.2，﹣0.2，﹣0.1，0，0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.6，0.7，0.9，1.1，1.2，1.3，1.7，∴这组数据的中位数为＝0.35，∴原数据的中位数为：1.5+0.35＝1.85，某家庭过去一年的收入是1.89万元，则该家庭的收入情况在全村处于中上游；（2）小王的结果不正确．第一组数据的方差和第二组数据的方差一样．它们的方差＝[（0.4﹣0.4）2+（﹣0.2﹣0.4）2+（0.2﹣0.4）2+…+（1.3﹣0.4）2]＝0.34．11．【解答】解：（1）本次调查的人数有25÷25%＝100（人）；（2）在线答题的人数有：100﹣25﹣40﹣15＝20（人），补图如下：（3）“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数是360°×＝72°；（4）记四种学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，分别为A、B、C、D，则可画树状图如下：共有16种等情况数，其中小宁和小娟选择同一种学习方式的有4种，则小宁和小娟选择同一种学习方式的概率是＝．12．【解答】解：（1）本次调查学生共120÷40%＝300（人），a%＝1﹣40%﹣30%﹣20%＝10%，∴a＝10，10%×300＝30，补全图形如下：故答案为：300，10；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为2，所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率＝＝．13．【解答】解：（1）由题意得抽查的这部分学生的数量为：20÷＝120（名），大赛启动之初，一周诗词诵背数量为4首的人数为120×＝45（名），则P（大赛启动之初，一周诗词诵背数量不超过5首）═＝；（2）大赛启动之初，一周诗词诵背数量的平均数为（15×3+45×4+20×5+16×6+13×7+11×8）＝5（首），大赛启结束一个月后，一周诗词诵背数量的平均数为（10×3+10×4+15×5+40×6+25×7+20×8）＝6（首），平均每名学生一周诗词诵背数量的增长率是×100%＝20%，所以平均每名学生一周诗词诵背数量的增长率更接近22%．14．【解答】解：（1）根据题意画图如下：共有4种等情况，其中所选的2名医护人员性别相同的有2种，则所选的2名医护人员性别相同的概率是＝；故答案为：；（2）将甲、乙两所医院的医护人员分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男医护人员，2表示女医护人员），树状图如图所示：共有12种等可能的结果，满足要求的有4种．则P（2名医生来自同一所医院的概率）＝＝．15．【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%＝50（人），故答案为50；（2）a＝50﹣18﹣14﹣10＝8，故答案为8；（3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C组，故答案为C；（4）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有500×＝320（人），故答案为320．。
专题8填空题压轴题之动点问题(原卷版)
专题8填空题压轴题之动点问题（原卷版）模块一 2022中考真题训练类型一用函数观点描述几何图形1．（2022•烟台）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为．2．（2022•营口）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠D＝90°，∠A＝45°，动点P，Q同时从点A 出发，点P以√2cm/s的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2cm/s的速度沿折线AD→DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，当x=72（s）时，则y＝cm2．3．（2022•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C 停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为．类型二三角形、多边形上的动点问题4．（2022•遵义）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，AB=√2．当AM+BN的值最小时，CM的长为．5．（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝，FB+FD的最小值为．6．（2022•广州）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为．7．（2022•柳州）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为．8．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是．9．（2022•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为．10．（2022•盘龙区）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．类型三有关圆的动点问题11．（2022•宁波）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为．12．（2022•东城区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为；②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴正半轴上，则点P的坐标为．模块二2023中考押题预测13．（2022•驻马店二模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为．14．（2022•普定县模拟）如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE=√5，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是．15．（2022•徐州二模）如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点D，E，F分别是边BC，AB，AC边上的动点，则△DEF周长的最小值为．16．（2022•仁怀市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点D为边AB的中点，点P为边AC上的动点，则PB+PD的最小值为．17．（2022•亭湖区校级三模）在平面直角坐标系中，A（3，3），B（6，0），点D、E是OB的三等分点，点P是线段AB上的一个动点，若只存在唯一一个点P使得PD+PE＝a，则a需满足的条件是：．18．（2022•夏邑县校级模拟）如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，点D为AC的中点，点E 为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为．19．（2022•新昌县模拟）在△ABC中，∠A＝60°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连结BP和PQ．把△ABC分割成三个三角形．若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠ABC的度数可以是．20．（2022•新化县一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5．点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是．21．（2022•顺城区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，点M是射线AC上的一个动点，MC＝1，连接BM，以AB为边在AB的上方作∠ABE＝∠AMB，直线BE交AC的延长线于点F，则CF＝．23．（2022•碧江区一模）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为．24．（2022•抚顺县二模）如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且AC CB =13，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为 ．25．（2022•德保县二模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB 是边长为4的等边三角形，OD 是AB 边上的高，点P 是OD 上的一个动点，若点C 的坐标是（0，−√3），则P A +PC 的最小值是 ．26．（2022•元宝区校级一模）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿B →A 匀速运动；同时点Q 从点A 出发以同样的速度沿A →C →B 匀速运动．当点P 到达点A 时，P 、Q 同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为 时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形．27．（2022•大理州二模）如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，AC ＝5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为ts ，当△APB 为等腰三角形时，t 的值为 ．28．（2022•锡山区校级模拟）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，∠ABC 的平分线与线段AC 交于点D ，且有AD ＝BD ，点E 是线段AB 上的动点（与A 、B 不重合），连结DE ，当△BDE 是等腰三角形时，则AE 的长为 ．29．（2022•衡南县校级二模）等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到P A与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为秒．30．（2022•大冶市校级模拟）如图，已知四边形ABCD是正方形AB=2√2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．（1）CE+CG＝；（2）若四边形DEFG面积为5时，则CG＝．31．（2022•玉树市校级一模）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，P是AB边一个动点，E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为．32．（2022•浉河区校级模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝5，点F是AB的中点，点E为AD上一动点，作△AEF关于直线EF的对称图形，点A的对应点为点A′，作△A′EF关于直线A′E 的对称图形，点F的对应点为F'．当点F'落在矩形ABCD的边上时，AE的长为．33．（2022•嵩县模拟）如图，四边形ABCD和AEFG都是正方形，点E是AB边上一个动点，点G在AD 边上，AB=√2cm，连接BF，CF，若△BCF恰为等腰三角形，则AE的长为cm．34．（2022•赣州模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，点E是边CD的中点，点P在AB边上运动，点F为DP的中点；当△DEF为等腰三角形时，则AP的长为．35．（2022•华龙区校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH=23CD，连接GH，则GH的最小值为．36．（2022•柘城县校级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC=√2，点E为射线AD上的动点（不与点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为A'，连接A'B，A'D，A'C，当△A'BC是以BC为底边的等腰三角形时，AE的长为．37．（2022•武汉模拟）如图，菱形ABCD中，AB＝5，BD＝4√5，动点E、F分别在边AD、BC上，且AE ＝CF，过点B作BP⊥EF于P，当E点从A点运动到D点时，线段CP的长度的取值范围为．38．（2022•保亭县二模）如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A →E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x 之间的函数关系图象如图2，则BC的长为；当x＝6时，PQ的长为．39．（2022•丹江口市模拟）已知定点P（a，b），且动点Q（x，y）到点P的距离等于定长r，根据平面内两点间距离公式可得（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，这就是到定点P的距离等于定长r圆的方程．已知一次函数的y＝﹣2x+10的图象交y轴于点A，交x轴于点B，C是线段AB上的一个动点，则当以OC为半径的⊙C 的面积最小时，⊙C的方程为40．（2022•香洲区校级三模）如图正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点且CE＝1，F是线段DE上的动点．连接CF，将线段CF绕点C逆时针旋转90°得到CG，连接EG，则EG的最小值是．41．（2022•韶关模拟）如图，已知正方形ABCD中，AB＝2，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90得到EF，连接CF，连接AF与CD相交于点G，连接DF，当DF 最小时，四边形CEGF的面积是．42．（2022•珠海校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是线段BC上一动点，将线段P A 绕点P顺时针转90°得到线段P A'，连接DA'，则DA'的最小值为．43．（2022•仁怀市模拟）如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段FE，连接AF，若AB＝4，AF=√19，则CF的长为．44．（2022•大庆二模）如图是边长为2的等边三角形ABC，D为△ABC内（包括△ABC的边）一动点，且满足CD2＝AD2+BD2，则CD的长度m的取值范围为．45．（2022•雁塔区校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E为边BC上一动点，将点A绕点E顺时针旋转90°得到点F，则DF的最小值为．46．（2022•沈阳二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E（不与点B重合）是BC边上一个动点，将线段EB绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，当△DFC是直角三角形时，那么BE的长是．47．（2022•台山市校级一模）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D为△ABC的对称轴上一动点，过点D作⊙O与BC相切，BD与⊙O相交于点E，那么AE的最大值为．48．（2022•蓬江区校级一模）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点P为矩形内一个动点．且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为．49．（2022•芜湖二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是．50．（2022•周至县一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AD平分∠BAC，BC＝6，点O 为线段AD上的动点，若以点O为圆心，1为半径的⊙O在△ABC内（⊙O可以与△ABC的边相切），则点D到⊙O上的点的距离最大值为．51．（2022•丹东模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），点M是y轴上的一个动点，当∠BMA＝30°时，点M的坐标为．52．（2022•常山县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AD上一点，且AE＝2，F为BC 边上的动点，以EF为直径作⊙O，当⊙O与矩形的边相切时，BF的长为．53．（2022•元宝区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M 是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则△MBC面积的最小值为．54．（2022•亭湖区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD＝6，BD＝4，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，若△AEP与△ABD相似，AP的长．55．（2022•柯桥区一模）如图，在平面直角坐标系中，M 、N 、C 三点的坐标分别为（1，2），（6，2），（6，0）．点A 为线段MN 上的一个动点，连接AC ，过点A 作AB ⊥AC 交y 轴于点B ．当点A 从M 运动到N 时，点B 随之运动，点B 经过的路径长是 ．。
(名师整理)最新人教版数学中考冲刺压轴题《统计与概率》专题训练(含答案解析)
中考数学压轴题强化训练：统计与概率1、在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字0，1，2；乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，0．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为x ，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为y ，以此确定点M 的坐标（x ，y ）． （1）请你用画树状图或列表的方法，写出点M 所有可能的坐标； （2）求点M （x ，y ）在函数y=﹣2x的图象上的概率．2、某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B．C．D．E）．3、在四个完全相同的小球上分别标上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，小明同学随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机摸取一个小球，记下标号；（1）请你用画树状图或列表的方法分别表示小明同学摸球的所有可能出现的结果。
（2）按照小明同学的摸球方法，把第一次取出的小球的数字作为点M的横坐标，把第二次取出的小球的数字作为点M的纵坐标，试求出点M（x，y）落在直线y=x上的概率是多少？4、《政府工作报告》中提出了十大新词汇，为了解同学们对新词汇的关注度，某数学兴趣小组选取其中的A：“互联网+政务服务”，B：“工匠精神”，C：“光网城市”，D：“大众旅游时代”四个热词在全校学生中进行了抽样调查，要求被调查的每位同学只能从中选择一个我最关注的热词．根据调查结果，该小组绘制了如下的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了多少名同学？（2）条形统计图中，m= ，n= ；（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角是多少度？5、某学校为了增强学生体质，决定开放以下体育课外活动项目：A．篮球、B．乒乓球、C．跳绳、D．踢毽子．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图(如图(1)，图(2))，请回答下列问题：(1)这次被调查的学生共有_______人；(2)请你将条形统计图补充完整；(3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)．图(1)项目人数/人108246C图(2)6、如图，转盘A 的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B 的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4。
中考数学专题复习《统计与概率》经典例题及测试题(含答案)
中考数学专题复习《统计与概率》经典例题及测试题（含答案）【专题分析】统计与概率在中考中的常考点有数据的收集方法，平均数、众数和中位数的计算与选择，方差和标准差的计算和应用，统计图的应用及信息综合分析；事件的分类，简单事件的概率计算，画树状图或列表求概率，对频率和概率的理解等．统计与概率在中考中一般以客观题的形式进行考查，选择题、填空题较多，同时考查多个考点的综合性题目一般以解答题的形式进行考查；统计与概率在中考中所占的比重约为6%～12%.【解题方法】解决统计与概率问题常用的数学思想是方程思想和分类讨论思想；常用的数学方法有分类讨论法，整体代入法等．【知识结构】【典例精选】为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2014年4月份用电量的调查结果.居民(户)132 4月用电量(千瓦时/户)40505560误的是( )A．中位数是55 B．众数是60C．方差是29 D．平均数是54【思路点拨】根据众数、中位数、方差、平均数的定义及计算公式分别进行计算，即可得出答案．答案：C规律方法：解决此类题目的关键是准确掌握各个统计量的概念及计算方法，分别计算直接选择或排除.若一组数据1,2，x,4的众数是1，那么这组数据的方差是32 .【思路点拨】根据众数的定义求出x的值，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．【解析】根据众数的意义得到x＝1，这组数据的平均数x＝1＋2＋1＋44＝2，所以这组数据的方差是S2＝14[(1－2)2＋(2－2)2＋(1－2)2＋(4－2)2]＝14×6＝32.规律方法：为了准确而快速地记忆方差的计算公式，可以用下面12个字来理解性的记忆，即“先平均、再作差、平方后、再平均”，也就是说，先求出一组数据的平均数，再将每一个数据都与平均数作差，然后将这些差进行平方，最后求这些差的平方的平均数，其结果就是这组数据的方差.作为宁波市政府民生实事之一的公共自行车建设工作已基本完成，某部门对今年4月份中的7天进行了公共自行车日租车量的统计，结果如下：宁波市4月份某一周公共自行车日租车量统计图(1)求这7天日租车量的众数、中位数和平均数；(2)用(1)中的平均数估计4月份(30天)共租车多少万车次；(3)市政府在公共自行车建设项目中共投入9 600万元，估计2014年共租车3 200万车次，每车次平均收入租车费0.1元，求2014年租车费收入占总投入的百分率(精确到0.1%)．【思路点拨】(1)根据众数、中位数和平均数的定义即可求出； (2)4月份天数与平均数的积；(3)租车的次数与每次的租车费的积为租车收入，由租车收入与投入的比即可求出百分率．【自主解答】解：(1)8,8,8.5.(2)30×8.5＝255(万车次)．(3)3 200×0.1÷9 600＝1÷30≈3.3%.答：2014年租车费收入占总投入的3.3%.某中学要在全校学生中举办“中国梦·我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛．九年级一班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛．经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛(胜者参赛)．规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止．如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题：(1)小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？(2)该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由．(骰子：六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6个小圆点的小正方体)【思路点拨】(1)由题意得，掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数的等可能的情况共有6种，其中点数为奇数的情况有3种，所以P＝36＝12；(2)判断游戏是否公平，利用画树状图或列表法表示出所有等可能的情况，求出两人胜出的概率，若概率相同，则游戏公平，否则游戏不公平．【自主解答】解：(1)所求概率P＝36＝12.(2)游戏公平．理由如下：由上表可知，共有36种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有9种结果，∴P(小亮胜)＝936＝14，P(小丽胜)＝936＝14.∴该游戏是公平的．规律方法：解决判断游戏是否公平的问题，首先应分别计算出两人获胜的概率，然后比较两个概率的大小，若相同则公平，若不相同则不公平.【能力评估检测】一、选择题1．下列事件是随机事件的是( D )A．明天太阳从东方升起B．任意画一个三角形，其内角和是360°C．通常温度降到0 ℃以下，纯净的水结冰D．射击运动员射击一次，命中靶心2．某校为纪念世界反法西斯战争70周年，举行了主题为“让历史照亮未来”的演讲比赛，其中九年级的5位参赛选手的比赛成绩(单位：分)分别为8.6,9.5,9.7,8.7,9，则这5个数据的中位数和平均分分别是( C )A．9.7,9.1 B．9.5,9.1C．9,9.1 D．8.7,93．甲、乙两名同学某学期的四次数学测试成绩(单位：分)如下表：第一次第二次第三次第四次甲 87 95 85 93乙 80 80 90 90S甲＝17，S乙＝25，下列说法正确的是( )A ．甲同学四次数学测试成绩的平均数是89分B ．甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分C ．乙同学四次数学测试成绩的众数是80分D ．乙同学四次数学测试成绩较稳定答案: B4．一个袋子中装有6个黑球和3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率是( B ) A. 19 B. 13 C. 12 D. 235．如图，在一长方形内有对角线长分别为2和3的菱形、边长为1的正六边形和半径为1的圆，则一点随机落在这三个图形内的概率较大的是( B )A ．落在菱形内B ．落在圆内C ．落在正六边形内D ．一样大6．小李是9人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从1开始按顺序报数，小李报到偶数的概率是( B )A. 23B. 49C. 12D. 197．为积极响应创建“全国卫生城市”的号召，某校 1 500名学生参加了卫生知识竞赛，成绩记为A ，B ，C ，D 四等．从中随机抽取了部分学生的成绩进行统计，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，以下说法不正确的是( )A．样本容量是200B．D等所在扇形的圆心角为15°C．样本中C等所占百分比是10%D．估计全校学生成绩为A等的有900人答案: B8．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如下表所示：候选人甲乙丙丁测试成绩(百分制)面试86929083 笔试90838392别赋予它们6和4的权．根据四人各自的平均成绩，公司将录取( B ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色……如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于30%；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是( B )A．①②③ B．①② C．①③ D．②③10．若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数．如796就是一个“中高数”．若十位上的数字为7，则从3,4,5,6,8,9中任选两个数，与7组成“中高数”的概率是( C )A. 12B. 23C. 25D. 35二、填空题11．一组正整数2,3,4，x 从小到大排列，已知这组数据的中位数和平均数相等，那么x 的值是5 .12．如图，一个圆形转盘被等分成五个扇形区域，上面分别标有数字1,2,3,4,5，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有偶数所在区域的概率为P (偶数)，指针指向标有奇数所在区域的概率为 P (奇数)，指针落在线上时重转，则P (偶数)< P (奇数)(填“＞”“＜”或“＝”)．13．“服务社会，提升自我．”凉山州某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的5名同学(三男两女)成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是 35. 三、解答题14．要从甲、乙两名同学中选出一名，代表班级参加射击比赛，如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图．(1)已求得甲的平均成绩为8环，求乙的平均成绩；(2)观察图形，直接写出甲、乙这10次射击成绩的方差S 甲，S 乙 哪个大；(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选7环参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选9环参赛更合适．解：(1)乙的平均成绩：(8＋9＋8＋8＋7＋8＋9＋8＋8＋7)÷10＝8(环)．(2)根据图象可知，甲的波动小于乙的波动，则S甲＜S乙.(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选乙参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选甲参赛更合适．15．在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“通过”(用√表示)或“淘汰”(用×表示)的评定结果．节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级．(1)请用树状图列举出选手A获得三位评委评定的各种可能的结果；(2)求选手A晋级的概率．解：(1)根据题意画树状图如下：由树状图可知，选手A一共获得8种可能的结果，这些结果的可能性相等．(2)P(A晋级)＝48＝12.16．为推进“传统文化进校园”活动，某校准备成立“经典诵读”、“传统礼仪”、“民族器乐”和“地方戏曲”等四个课外活动小组．学生报名情况如图(每人只能选择一个小组)．(1)报名参加课外活动小组的学生共有30人，将条形图补充完整；(2)扇形图中m＝25，n＝108；(3)根据报名情况，学校决定从报名“经典诵读”小组的甲、乙、丙、丁四人中随机安排两人到“地方戏曲”小组，甲、乙恰好都被安排到“地方戏曲”小组的概率是多少？请用列表或画树状图的方法说明．解：(1)∵由两种统计图可知，报名参加“地方戏曲”小组的有13人，占13%，∴报名参加课外活动小组的学生共有13÷13%＝100(人)，参加“民族乐器”小组的有100－32－25－13＝30(人)．(2)∵m%＝25100×100%＝25%.∴m＝25.n＝30100×360＝108.(3)画树状图如下：∵共有12种等可能的结果，恰好选中甲、乙的有2种，∴P(选中甲、乙)＝212＝16.。
2020年中考数学统计与概率考前押题(详解答案)
2020年中考数学统计与概率考前押题1．今年猪肉价格受非洲猪瘟疫情影响，有较大幅度的上升，为了解某地区养殖户受非洲猪瘟疫情感染受灾情况，现从该地区建档的养殖户中随机抽取了部分养殖户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常严重；B级：严重；C级：一般；D级：没有感染），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：（1）本次抽样调查的养殖户的总户数是；把图2条形统计图补充完整．（2）若该地区建档的养殖户有1500户，求非常严重与严重的养殖户一共有多少户？（3）某调研单位想从5户建档养殖户（分别记为a，b，c，d，e）中随机选取两户，进一步跟踪监测病毒传播情况，请用列表或画树状图的方法求出选中养殖户e的概率．2．为了解全校学生上学的交通方式，该校九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷，对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的总人数是人，并把条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是，“其他方式”所在扇形的圆心角度数是；（3）已知这5名同学中有2名女同学，要从中选两名同学汇报调查结果．请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．3．保护环境卫生，垃圾分类开始实施．我市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”四类，并且设置了相应的垃圾箱．（1）小亮将妈妈分类好的某类垃圾随机投入到四种垃圾箱某类箱内，请写出小亮投放正确的概率为；（2）经过妈妈的教育，小明已经分清了“有害垃圾”，但仍然分不清“可回收物”、“湿垃圾”和“干垃圾”，这天小亮要将妈妈分类好的四类垃圾投入到四种垃圾箱内，请求出小明投放正确的概率；（3）请你就小亮投放垃圾的事件提出两条合理化建议．4．某中学对本校初2018届500名学生中中考参加体育加试测试情况进行调查，根据男生1000米及女生800米测试成绩整理，绘制成不完整的统计图，(图①，图②)，根据统计图提供的信息，回答问题：(1)该校毕业生中男生有_______人；扇形统计图中a ______；(2)扇形统计图中，成绩为10分的所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图；(3)若500名学生中随机抽取一名学生，这名学生该项成绩在8分及8分以下的概率是多少？5．为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：（1）a= ，b= ，c= ；（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为度；（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．6．乒乓球是我国的国球，比赛采用单局11分制，分团体、单打、双打等。
高三数学压轴题训练——概率与统计
高三数学压轴题训练——概率与统计概率与统计应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，解答这类问题的关键是能阅读、理解陈述的材料，深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的转化，能结合所学知识解决问题．解答应用问题要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力．除以上过“三关”外，对于概率与统计应用问题还应再过三关，即文字关、图表关、计算关．[典例]某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率；(2)已知第1组群众中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，求至少有1名女性群众的概率．[方法演示]解：(1)设第1组[20,30)的频率为f1，则由题意可知，f1＝1－(0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝0.05.被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.05＋0.020×10＝0.25.故估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25.(2)第1组[20,30)的人数为0.05×120＝6.故第1组中共有6名群众，其中女性群众共3名．记第1组中的3名男性群众分别为A，B，C,3名女性群众分别为x，y，z，从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队包含(A，B)，(A，C)，(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，C)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共15个基本事件．至少有一名女性群众包含(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共12个基本事件．故从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，至少有1名女性群众的概率P＝1215＝45.[解题师说]本题文字叙述较长，解答此类问题应过文字关，其技巧是：(1)快速了解“无关信息”(如本例第一句话)；(2)仔细阅读题中重要信息，把握信息所给内容；(3)明确题目所求内容．[应用体验]1．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解：(1)当x≤19时，y＝3 800；当x＞19时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800，x ≤19，500x －5 700，x ＞19(x ∈N)． (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800(元)，20台的费用为4 300(元)，10台的费用为4 800(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)． 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000(元)，10台的费用为4 500(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)．比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.[典例] 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．图①B 地区用户满意度评分的频数分布表(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．图②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：[方法演示]解：(1)如图所示．通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大． [解题师说]从所给表格中正确提取解题所需要的信息是解决此类问题的关键． [应用体验]2．某高中学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50,100]内，发布成绩使用等级制．各等级划分标准见图表．规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级．行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中原始成绩在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示．(1)求n 和频率分布直方图中的x ，y 的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；(2)在选取的样本中，从A ，D 两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A 等级的概率．解：(1)由题意可知，样本容量n ＝60.012×10＝50，x ＝250×10＝0.004， y ＝1－0.04－0.1－0.12－0.5610＝0.018.因为成绩是合格等级的频率为1－0.1＝910，依据样本估计总体的思想，所以该校高一年级学生成绩是合格等级的概率是910.(2)由频率分布直方图及茎叶图知，A等级学生共有3名，D等级学生共有0.1×50＝5名，记A等级学生分别为A1，A2，A3，D等级学生分别为D1，D2，D3，D4，D5，则从8名学生中随机抽取2名学生的所有情况为A1A2，A1A3，A1D1，A1D2，A1D3，A1D4，A1D5，A2A3，A2D1，A2D2，A2D3，A2D4，A2D5，A3D1，A3D2，A3D3，A3D4，A3D5，D1D2，D1D3，D1D4，D1D5，D2D3，D2D4，D2D5，D3D4，D3D5，D4D5，共28个基本事件．记“至少有一名学生是A等级”为事件E，则其对立事件E的可能结果为D1D2，D1D3，D1D4，D1D5，D2D3，D2D4，D2D5，D3D4，D3D5，D4D5，共10种．所以P(E)＝1－P(E)＝1－1028＝9 14.[典例]为了解人们对于“生育二孩放开”政策的热度，现在某市进行调查，对[5,65]岁的人群随机抽取了n人，得到如下统计表和各年龄段抽取人数的频率分布直方图.(1)求n，p的值；(2)根据以上统计数据填下面2×2列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“生育二孩放开”政策的支持度有关系？K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .[方法演示]解：(1)从[5,15)岁这一年龄段中抽取的人数为40.8＝5，频率为0.010×10＝0.1，∴n ＝50.1＝50.由题可知，第二组的频率为0.2，∴第二组的人数为50×0.2＝10，则p ＝510＝0.5.(2)由频率分布直方图及统计表知，年龄低于45岁的人数有0.8×50＝40人，其中支持“生育二孩放开”政策的有29人，则年龄不低于45岁的有10人，其中支持“生育二孩放开”政策的有3人，故2×2列联表如下：则K 2＝50×(3×11－7×29)210×40×32×18≈6.272＜6.635，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为以45岁为分界点的不同人群对“生育二孩放开”政策的支持度有关系．[解题师说](1)本例在计算K 2的值时应仔细，计算中易出错，要明确公式中n ，a ，b ，c ，d 所表示值．(2)利用最小二乘法求“b ^”时，应注意避免计算出错． [应用体验]3．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下：(1)如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程；(2)根据(1)所求回归直线方程，预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间．附：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1n x 2i －n x －2，y －＝b ^ x －＋a ^. 解：(1)由表中数据得，∴x ＝15(10＋20＋30＋40＋50)＝30，y ＝15(62＋68＋75＋81＋89)＝75，∑i ＝15x 2i ＝102＋202＋302＋402＋502＝5 500， ∑i ＝15x i y i ＝10×62＋20×68＋30×75＋40×81＋50×89＝11 920，5x y ＝5×30×75＝11 250.∵b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝11 920－11 2505 500－5×302＝0.67， a ^＝y －b ^x ＝75－0.67×30＝54.9， ∴回归直线方程为y ^＝0.67x ＋54.9.(2)由(1)所求回归直线方程可知，在x ＝70时， y ^＝0.67×70＋54.9＝101.8(分钟)．∴预测此车间加工这种零件70个时，所需要加工时间为101.8分钟．1．一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频率分布表：(1)作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x的平均数和众数；(2)若x＜13或x≥21，则该产品不合格．现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率．解：(1)作出频率分布直方图如图所示．估计平均数为x＝12×0.02＋14×0.12＋16×0.34＋18×0.38＋20×0.10＋22×0.04＝17.08.估计众数为18.(2)记技术指标值x＜13的2件不合格产品为a1，a2，技术指标值x≥21的4件不合格产品为b1，b2，b3，b4，则从这6件不合格产品中随机抽取2件包含如下基本事件：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15个基本事件．记抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件为事件M，则事件M包含如下基本事件(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8个基本事件．故抽取2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率为P＝815.2．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2017年8月某日起连续x天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x ，y 的值，并完成频率分布直方图；(2)在空气质量指数分别为51～100和151～200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “2天空气都为良”发生的概率．解：(1)∵0.004×50＝20x ，∴x ＝100. ∵20＋40＋y ＋10＋5＝100，∴y ＝25. 40100×50＝0.008，25100×50＝0.005，10100×50＝0.002，5100×50＝0.001.故频率分布直方图如图所示．(2)由题意知，在空气质量指数为51～100和151～200的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为51～100的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为151～200的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10个，其中事件A“2天空气都为良”包含的基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6个，所以事件A“2天空气都为良”发生的概率是P(A)＝610＝35.3．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(195,210]内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．表1甲流水线样本的频数分布表(1)根据图1，估计乙流水线产品的该项质量指标值的中位数；(2)若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了 5 000件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？(3)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)设乙流水线产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为(0.012＋0.032＋0.052)×5＝0.48＜0.5＜(0.012＋0.032＋0.052＋0.076)×5＝0.86，所以0.48＋0.076×(x －205)＝0.5， 解得x ＝3 90019.(2)由甲、乙两条流水线各抽取50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为1550＝310，乙流水线生产的产品为不合格品的概率为(0.012＋0.028)×5＝15.所以某个月内甲、乙两条流水线均生产了5 000件产品，则甲、乙两条流水线生产的不合格品件数分别为5 000×310＝1 500,5 000×15＝1 000. (3)2×2列联表如下所示：则K 2＝100×(35×10－15×40)250×50×75×25≈1.333，因为1.333＜2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”．4．中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作，获得了安哥拉深海油田区块的开采权，集团在某些区块随机初步勘探了部分旧井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用．勘探初期数据地质资料见下表：(1)若1～6号旧井位置满足线性分布，借助前5组数据所求得的回归直线方程为y ^＝b ^′x ＋a ^′，且b ^′＝6.5，求a ^′，并估计y 的预报值；(2)现准备勘探新井7(1,25)，若通过1,3,5,7号井计算出的b ^，a ^的值与(1)中b ^′，a ^′的值的差不超过10%，则使用位置最接近的旧井6(1，y )，否则在新位置打井，请判断可否使用旧井？(注：其中b ^的计算结果用四舍五入法保留1位小数)参考数据：∑i ＝1nx 22i －1＝94，∑i ＝14x 2i －1y 2i －1＝945.参考公式：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x ·y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .解：(1)由题意可得x ′＝5，y ′＝50， 回归直线必过样本点的中心(x ′，y ′)， 所以a ^′＝50－6.5×5＝17.5， 故回归直线方程为y ^＝6.5x ＋17.5. 当x ＝1时，y ^＝6.5＋17.5＝24，所以y 的预报值为24.(2)由题意可得x ＝4，y ＝46.25，∑i ＝14x 22i －1＝94，∑i ＝14x 2i －1y 2i －1＝945，所以b ^＝∑i ＝14x 2i －1y 2i －1－4x ·y∑i ＝14x 22i －1－4x2＝945－4×4×46.2594－4×42≈6.8，a ^＝y －b ^x ＝46.25－6.8×4＝19.05， 所以b ^－b ^′b ^′≈5%，a ^－a ^′a ^′≈9%，均不超过10%，故可使用位置最接近的旧井6(1,24)．。
压轴题07 统计与概率压轴题(原卷版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用-文)
压轴题07统计与概率压轴题题型/考向一：统计与概率题型/考向二：统计案例一、统计与概率热点一用样本估计总体1.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2.在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数.(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数.(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.热点二概率1．古典概型的概率公式P(A)＝事件A中包含的样本点数试验的样本点总数.2．条件概率公式设A，B为随机事件，且P(A)＞0，则P(B|A)＝P（AB）P（A）.3．全概率公式设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)＞0，i＝1，2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑ni ＝1P (A i )P (B |A i )．○热○点○题○型一统计与概率一、单选题1．对某校中学学生的身高进行统计，并将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），则该校学生身高数据的中位数为（）A ．165B ．165.75C ．166D ．166.252．如图，一组数据123910,,,,,x x x x x ⋅⋅⋅，的平均数为5，方差为21s ，去除9x ，10x 这两个数据后，平均数为x ，方差为22s ，则（）A ．5x >，2212s s >B ．5x <，2212s s <C ．5x =，2212s s <D ．5x =，2212s s >3．已知数据12,,,n x x x 是某市()*5,n n n ≥∈N 个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入1n x +，组成1n +个数据，则下列说法正确的是（）A ．年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大C ．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变小D ．年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变4．甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（图1），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（图2）完好，则（）A ．甲的单场平均得分比乙低B ．乙的60%分位数为19C ．甲、乙的极差均为11D ．乙得分的中位数是16.55．某省普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为,,,,A B C D E 五个等级.某高中2022年参加“选择考”总人数是2020年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平，统计了该校2020年和2022年“选择考”成绩等级结果，得到如下统计图.针对该校“选择考”情况，2022年与2020年比较，下列说法正确的是（）A ．获得A 等级的人数减少了B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同6．在“2，3，5，7，11，13，17，19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是（）A ．328B ．528C ．17D ．3147．2022年11月30日，神舟十五号、神舟十四号乘组在太空“胜利会师”，在中国人自己的“太空家园”里留下了一张足以载入史册的太空合影.某班级开展了关于太空知识的分享交流活动，活动中有2名男生、3名女生发言，活动后从这5人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1名男生的概率为（）A ．310B ．25C ．35D ．7108．不透明箱子中装有大小相同标号为1，2，3，4，5的5个冰墩墩（北京冬奥会吉祥物），随机抽取2个冰墩墩，则被抽到的2个冰墩墩标号相邻的概率是（）A ．15B ．25C ．35D ．45二、多选题9．如图是国家统计局公布的2021年5月至2021年12月的规模以上工业日均发电量的月度走势情况，则（）．A ．2021年7月至2021年10月，规模以上工业月度日均发电量呈现下降趋势B ．2021年5月至2021年12月，规模以上工业月度日均发电量的中位数为228C ．2021年11月，规模以上工业发电总量约为6758亿千瓦时D ．从2021年5月至2021年12月中随机抽取2个月份，规模以上工业月度日均发电量都超过230亿千瓦时的概率为32810．树人中学2006班某科研小组，持续跟踪调查了他们班全体同学一学期中16周锻炼身体的时长，经过整理得到男生、女生各周锻炼身体的平均时长（单位：h ）的数据如下：男生：6.3、7.4、7.6、8.1、8.2、8.2、8.5、8.6、8.6、8.6、8.6、9.0、9.2、9.3、9.8、10.1；女生：5.1、5.6、6.0、6.3、6.5、6.8、7.2、7.3、7.5、7.7、8.1、8.2、8.4、8.6、9.2、9.4.以下判断中正确的是（）A ．女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于8B ．男生每周锻炼身体的平均时长的80%分位数是9.2C ．男生每周锻炼身体的平均时长大于9h 的概率的估计值为0.3125D ．与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大11．已知甲袋内有a 个红球，b 个黑球，乙袋内有b 个红球，a 个黑球(),a b *∈N ，从甲、乙两袋内各随机取出1个球，记事件A =“取出的2个球中恰有1个红球”，B =“取出的2个球都是红球”，C =“取出的2个球都是黑球”，则（）A ．()0.75P AB +≤B ．()()P A P B >C ．()()P B P C <D ．()()P A B P A C +=+12．某中学为了能充分调动学生对学术科技的积极性，鼓励更多的学生参与到学术科技之中，提升学生的创新意识，该学校决定邀请知名教授于9月2日和9月9日到学校做两场专题讲座．学校有东、西两个礼堂，第一次讲座地点的安排不影响下一次讲座的安排，假设选择东、西两个礼堂作为讲座地点是等可能的，则下列叙述正确的是（）A ．两次讲座都在东礼堂的概率是14B ．两次讲座安排在东、西礼堂各一场的概率是12C ．两次讲座中至少有一次安排在东礼堂的概率是34D ．若第一次讲座安排在东礼堂，下一次讲座安排在西礼堂的概率是13三、解答题13．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”．某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图．其中时间段9：20~9：40记作区间[)20,40，9：40~10：00记作[)40,60，10：00~10：20记作[)60,80，10：20~10：40记作[]80,100，例如：10点04分，记作时刻64．(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取5辆，再从这5辆车中随机抽取3辆，则恰有1辆为9：20~10：00之间通过的概率是多少？14．我国某医药研究所在针对某种世界疾病难题的解决方案中提到了中医疗法，为证实此方法的效用，该研究所购进若干副某种中草药，现按照每副该中草药的重量大小（单位：克）分为4组：[)0,20，[)20,40，[)40,60，[]60,80，并绘制频率分布直方图如下所示：(1)估计每副该中草药的平均重量（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；(2)现从每副重量在[)20,40，[]60,80内的中草药中按照分层抽样的方式一共抽取6副该中草药，再从这6副中草药中随机取出2副进行分析，求取出的2副中仅有1副重量在[]60,80中的概率．二、统计案例热点一回归分析求经验回归方程的步骤(1)依据成对样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略).(2)计算出x －，y －，∑n i ＝1x 2i ，∑ni ＝1x i y i 的值.(3)计算a ^，b ^.(4)写出经验回归方程.热点二独立性检验独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列2×2列联表；(2)根据公式χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），计算χ2的值；(3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作统计判断.χ2越大，对应假设事件H 0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H 0不成立的概率越大.○热○点○题○型二统计案例一、单选题1．以模型()e 0kxy c c =>去拟合一组数据时，设ln z y =，将其变换后得到线性回归方程21z x =-，则c =（）A ．12B ．2e -C ．1e -D ．e2．下列说法正确的有（）①对于分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 越大，说明“X 与Y 有关系”的把握越大；②我校高一、高二、高三共有学生4800人，其中高三有1200人.为调查需要，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为200的样本，那么应从高三年级抽取40人；③若数据1x 、2x 、L 、n x 的方差为5，则另一组数据11x +、21x +、L 、1n x +的方差为6；④把六进制数()6210转换成十进制数为：()012621006162678⨯⨯⨯=++=.A ．①④B ．①②C ．③④D ．①③3．给出以下四个命题：①在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好；②回归模型中离差是实际值i y 与估计值ˆy的差，离差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；③在一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅（2n ≥，12,,,n x x x ⋅⋅⋅不全相等）的散点图中，若所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的线性相关系数为12-；④对分类变量x 与y 的统计量2χ来说，2χ值越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大.其中，真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．根据该折线图，下列说法错误的是（）A ．城镇人口与年份呈现正相关B ．乡村人口与年份的相关系数r 接近1C ．城镇人口逐年增长率大致相同D ．可预测乡村人口仍呈现下降趋势5．已知变量,x y 之间的线性回归方程为ˆ0.47.6yx =-+，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，x681012y6m32则下列说法中错误的有（）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．变量,x y 之间的相关系数0.4r =-C ．m 的值为5D ．该回归直线必过点(9,4)6．设两个相关变量x 和y 分别满足下表：x12345y128816若相关变量x 和y 可拟合为非线性回归方程ˆ2bx a y+=，则当6x =时，y 的估计值为（）（参考公式：对于一组数据()11u v ，，()22u v ，，⋯，()n n u v ，，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni ii nii u v nu vunu β==-⋅=-∑∑，ˆˆav u β=-；51.152≈）A ．33B ．37C ．65D ．737．通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有16的男大学生“不看”，有13的女大学生“不看”，若有99%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数可能为（）A ．150B ．170C ．240D ．1758．已知一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，根据这组数据的散点图分析x 与y 之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为0.8587ˆ 5.yx =-，则在样本点(165,57)处的残差为（）A ． 2.45-B ．2.45C ．3.45D ．54.55二、多选题9．下列关于成对数据的统计说法正确的有（）A ．若当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关B ．样本相关系数r 的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度C ．通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据D ．决定系数2R 越大，模型的拟合效果越差10．某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：编号12345678910身高/cm 165168170172173174175177179182体重/kg55896165677075757880由表中数据制作成如下所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l 的方程为 11y bx a =+ ，相关系数为1r ，决定系数为21R ；经过残差分析确定()168,89为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为 22y bx a =+ ，相关系数为2r ，决定系数为22R ．则以下结论中正确的有（）A ． 12a a >B ．12bb > C ．12r r <D ．2212R R >11．下列命题中为真命题的是（）A ．用最小二乘法求得的一元线性回归模型的残差和一定是0．B ．一组数按照从小到大排列后为：1x ，2x ，…，n x ，计算得：25%17n ⨯=，则这组数的25%分位数是17x ．C ．在分层抽样时，如果知道各层的样本量、各层的样本均值及各层的样本方差，可以计算得出所有数据的样本均值和方差．D ．从统计量中得知有97%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指推断有3%的可能性出现错误．12．给出下列说法，其中正确的是（）A ．某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为5.5B ．已知数据12,,x x 的平均数为2，方差为3，那么数据121x +，221x +，L 的平均数和方差分别为5，13C ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定D ．样本相关系数()1,1r ∈-三、解答题13．国家发改委和住建部等六部门发布通知，提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升.现阶段我国生活垃圾有填埋､焚烧､堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y （单位：座）进行统计，得到如下表格：年份20132014201520162017201820192020年份代码x 12345678垃圾焚烧无害化处理厂的个数y166188220249286331389463(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y 与变量x 之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；(2)求出y 关于x 的经验回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；(3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用（2）所求的经验回归方程预测吗？请简要说明理由.参考公式：相关系数()()ni i x x y y r --=∑ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,n ii i ni i x x yy b a y bx x x ==--==-∑∑参考数据：88882211112292,204,730348,12041i i i i i i i i i y x y x y ========∑∑∑∑，257385.84=≈≈14．为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A 级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A 级旅游景区首道门票至少半价优惠．本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的22⨯列联表：不满意满意总计50周岁及以下5550周岁以上15总计100(1)根据统计数据完成以上22⨯列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X ，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率．①求X 的分布列和数学期望；②求()11P X -≤．参考公式及数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．()2P k αχ=≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828。
2021年北师大版数学六年级下册重难点题型训练《总复习—统计与概率》常考题集锦(原卷版)
2021年北师大版数学六年级下册重难点题型同步训练《总复习—统计与概率》常考题集锦一．选择题1．（2020秋•点军区校级期末）从如图两个统计图中，可以看出()的女生多．A．实验小学B．春雷小学C．无法确定哪一个学校2．（2020秋•锦州期末）六（1）班有40名学生，选举中队长时，四名候选人的得票数分别是：李丽20票、王琪10票、张峰6票、邓浩4票．下列四幅图中，能准确地表示这一结果的是()A．B．C．D．3．（2020•朝阳区）阳光小学校园里种了三种树其中有杨树20棵槐树20棵玉兰树20棵．下面统计图中能正确表示阳光小学所种树木占比情况的是()A．B．C．D．4．（2020•益阳模拟）下图是五（1）班期末考试成绩统计图．下面说法正确的是()A．良好占的百分比是40%B．五（1）及格人数最少C．得优秀的人数比得良好的人数少10%5．（2020•萧山区模拟）如图是公园三种花卉数量统计图，下列四幅条形统计图中，能正确反映三种花卉数量之间关系的统计图是()A．B．C．D．6．（2020•防城港模拟）小冬爸爸5月份的工资总收入约是8000元，按照如图进行支配，那么用于教育费用约是()A．4000元B．1200元C．2000元D．900元7．（2020•防城港模拟）盒子里有大小相同的3个红球和3个绿球，从中任意摸出两个球．以下说法错误的是()A．可能摸出两个红球B．可能摸出两个绿球C．可能摸到一个红球和一个绿球D．一定能摸到一个红球和一个绿球8．（2020•天津模拟）把3个白球和5个红球放在盒子里，任意摸出一个，()是蓝色的．A．可能B．一定C．不可能二．填空题9．（2020秋•唐县期末）如图是六年级（1）班图书角各种图书所占百分比情况统计图．（1）这是一幅统计图．（2）图中书的数量最少．（3）图中科技书的数量占图书总数的%．（4）工具书和连环画数量的比是:（5）如果六年级（1）班图书角一共有200本书，图中科技书的数量是本10．（2020秋•洛川县期末）看如图的统计图，回答问题：胖胖一月份的零食消费是元；学习用品消费比衣服消费多%；零食消费与其他消费的比是．11．（2020秋•高碑店市期末）红红家三口元旦外出旅游，各项费用如图所示，已知食宿花了2000元．这次旅行花费最多的是，一共花了元．12．（2020秋•嘉定区期末）掷一枚骰子，点数是6的素因数的可能性大小是．13．（2020秋•海口期末）如图是实验小学图书室的故事书、科技书和连环画三类图书的统计图，已知三类图书共2000本．故事书比科技书多本．14．（2020•防城港模拟）如图是鸡蛋各部分质量统计图．从图中我们可以算出：蛋白的质量占总质量的%．如果一个鸡蛋重80克，那么这个鸡蛋中的蛋白重克．15．（2020•东莞市模拟）某花店各种花的销售量情况如图．玫瑰最多，占全部花销售量的%；最少，占全部花销售量的%；百合比花篮多占全部花销售量的%；康乃馨和玫瑰共占全部花销售量的%．三．判断题16．（2020•长沙模拟）一个正方体，六个面分别写着1~6．掷一次，单数朝上和双数朝上的可能性相同．（判断对错）17．（2020•山西模拟）盒子里装着同样的200个红色小球和1个黑色小球，从中任意取出一个小球，一定是红色的小球．（判断对错）18．（2020•山东模拟）在制作扇形统计图时，总的数量越多，所画的圆就越大．．（判断对错）19．（2020•永州模拟）东东掷一枚硬币，前4次都是正面朝上，第五次肯定是反面朝上．．（判断对错）20．（2020秋•武安市期中）拿一枚硬币，任意抛一下，一定是正面朝上．．（判断对错）四．计算题21．某班一次外语考试，李星因病没有参加，其他同学的平均分是95分，第二天他的补考成绩是65分，如果加上李星的成绩后，全班的平均分是94分，这个班有多少人？五．应用题22．（2020秋•迎江区期末）妈妈上个月收入分配如图，用于生活支出的钱比文化教育的钱多600元．①妈妈上个月一共收入多少元？②妈妈上个月将用于文化教育、生活支出、休闲娱乐后剩下的钱全部存入银行，存期三年，年利率2.75%．到期后妈妈可以取出本金和利息一共多少元？23．（2020秋•勃利县期末）下面是按照空气的主要成分的体积占总体积的百分比情况绘制的统计图．（1）100L空气中含有氧气多少升？（2）在一间长8m、宽6m、高3m的长方体教室内含有氧气多少升？24．（2020秋•瑞安市期末）王大伯有一块菜地，三种蔬菜的种植面积如图，已知西红柿和萝卜的总面积是2105m，且西红柿和萝卜的种植面积比是3:4．（1）西红柿的种植面积是多少平方米？（2）这块菜地的总面积是多少平方米？25．（2020秋•鹿城区期末）甲、乙、丙三名工人共同加工500个零件，他们工作任务分配比例和实际每小时加工的零件个数分别如图所示：（1）如果按计划工作任务分配比例，则乙应加工多少个零件？（2）如果按照他们实际每小时加工的零件个数比例，重新分配这500个零件，在三人完成任务所用时间相同的情况下，则乙需要加工多少个零件？六．操作题26．（2016•淮安）某校对低、中、高三个年级段近视学生数进行了统计，绘制成如下两个统计图，请根据图中信息将扇形图补充完整，并在条形图中画出低年段和高年段近视人数．27．（2016秋•资兴市校级期中）连一连，从如图的3个盒子里，分别摸出1个球．28．（2015秋•广州期中）从下面的5个盒子里，分别摸出1个球．29．（2013秋•宿迁月考）4个盒子里面分别放了一些花，任意摸一朵花可能会怎样？用线连一连．七．解答题30．（2020秋•宜昌期末）某股份有限公司由甲、乙、丙、丁四人控股，情况如图．（1）该公司的股份一共是万元．（2）先计算，再把两幅统计图补充完整．31．（2020秋•交城县期末）在圆盘上涂上红、黄、蓝三种颜色，使指针停在红色区域的可能性最大，停在黄色区域的可能性最小．32．（2020秋•焦作期末）六年级学生进行一次“我最喜欢的文艺节目”小调查，统计如图．（1）已知喜欢小品的有40人，六年级有多少人？（2）请提出一个用百分数解决的问题，并对问题进行解答．33．（2020秋•江汉区期末）江西省的鄱阳湖、湖南省的洞庭湖、江苏省的太湖和洪泽湖、安徽省的巢湖并称我国五大淡水湖，如图是五大淡水湖面积统计图．（1）面积最大的是湖，面积最接近的是湖和湖．（2）太湖面积约是巢湖面积的2倍，则太湖面积占总面积的%，巢湖面积占总面积的%．（3）太湖面积比洪泽湖大2520km ，则五大淡水湖总面积约是2km ．（4）巢湖面积约是鄱阳湖面积的()()，洞庭湖面积比太湖面积大%．。
概率统计与期望方差分布列大题压轴练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)
概率统计与期望方差分布列大题压轴练新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023秋·浙江·高三校联考期末）抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；(2)取了3次后，取出的一次性筷子的个数（双）的分布列及数学期望；(3)取了(2,3,4n n =，…）次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率．2．（2022·江苏南京·南京市江宁高级中学校考模拟预测）2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6:5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有12的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X 的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，易知121,0==p p ．①试证明14n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；②设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为n q ，比较10p 与10q 的大小．3．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y （单位：万台）关于x （年份）的线性回归方程为4.79459.2y x =-，且销量y 的方差为22545y s =，年份x 的方差为22x s =.(1)求y 与x 的相关系数r ，并据此判断电动汽车销量y 与年份x 的相关性强弱；(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：性别购买非电动汽车购买电动汽车总计男性39645女性301545总计692190依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.25≈；②参考公式：（i ）线性回归方程：ˆy bxa =+，其中()()()121ˆˆ,ni ii n i i x x yy b a y bxx x ==--==--∑∑；（ii ）相关系数：()()niix x y y r --=∑0.9r >，则可判断y 与x 线性相关较强.（iii ）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.附表：α0.100.050.0100.001x α2.7063.8416.63510.8284．（2023·浙江·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32队参加，其中欧洲球队有13支，分别是德国、丹麦、法国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士．世界杯决赛圈赛程分为小组赛和淘汰赛，当进入淘汰赛阶段时，比赛必须要分出胜负．淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负，比赛结束，若比分相同，则进入30分钟的加时赛．在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负．点球大战分为2个阶段．第一阶段：前5轮双方各派5名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准（非必要无需踢满5轮），前5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利．第二阶段：如果前5轮还是平局，进入“突然死亡”阶段，双方依次轮流踢点球，如果在该阶段一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利．下表是2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果：（）:（）法国”表示阿根廷与法国在常规比赛及加时赛的比分为33:，在点注：“阿根廷4332:战胜法国．球大战中阿根廷42(1)请根据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率．(2)根据题意填写下面的22 列联表，并通过计算判断是否能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“32支决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关．欧洲球队其他球队合计闯入8强未闯入8强合计(3)若甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战．已知甲队球员每轮踢进点球的概率为p，乙队球员每轮踢进点球的概率为23，求在点球大战中，两队前2轮比分为2:2的条件下，甲队在第一阶段获得比赛胜利的概率（用p表示）．参考公式：22(),.()()()()n ad bc n a b c da b c d a c b dχ-==+++ ++++()2Pχα≥0.10.050.010.0050.001α 2.706 3.841 6.6357.87910.8285．（2022秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：年份t20172018201920202021年份代码()2016x x t=-12345销量/y万辆1012172026(1)统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．①若95w=，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）；②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p ，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为()f p ，求当w 为何值时，()f p 最大．附：ˆˆy bxa =+为回归方程，1221ˆniii nii x ynxy b xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-．6．（2022秋·江苏南通·高三校考期中）核酸检测也就是病毒DNA 和RNA 的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出n 份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果.若每次检测费用为a 元，记检测的总费用为X 元.(1)当n =3时，求X 的分布列和数学期望.(2)比较n =3与n =4两种方案哪一个更好，说明理由.7．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）2022年冬奥会由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛在改造一新的水立方进行.中国女子冰壶队作为东道主对奥运冠军发起冲击.奥运会冰壶比赛将分为循环赛､淘汰赛和决赛三部分，其中循环赛前三名晋级淘汰赛.在淘汰赛中，循环赛第一和第二的两支队伍先进行一场比赛，胜者晋级最后的决赛，负者与循环赛第三名再进行一场比赛，胜者晋级决赛，败者即为本届比赛的第三名.决赛决出比赛的第一名与第二名.(1)循环赛进行九轮比赛，每支队伍都需要与其余九支队伍各进行一场比赛.中国队的主要对手包括加拿大队､瑞士队､瑞典队､英国队.若循环赛的赛程完全随机排列，则中国队在前六轮之内完成与主要对手交锋的概率是多少？(2)若中国队以循环赛第二名的成绩进入淘汰赛，同时进入淘汰赛的还有排名第一的加拿大队和排名第三的瑞士队.过往战绩表明，中国队与加拿大队对战获胜的概率为40%，与瑞士队对战获胜的概率为60%，加拿大队战胜瑞士队的概率为70%.假定每场比赛胜负的概率独立.若以随机变量X 表示中国队最终获得的名次，求其分布列和数学期望.8．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[70,100)内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“=Y 频率组距”)时，发现Y 满足*8109,16300,N ,55(1)11,161520n n Y n n X n k n n -⎧⎪⎪=∈<+⎨⎪-⋅>⎪-⎩.（1）试确定n 的所有取值，并求k ；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[)95,100的参赛者评为一等奖；分数在[90,95)的同学评为二等奖，但通过附加赛有111的概率提升为一等奖；分数在[85,90)的同学评为三等奖，但通过附加赛有17的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生A 和B 均参加了本次比赛，且学生A 在第一阶段评为二等奖.（i ）求学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级的概率；（ii ）已知学生A 和B 都获奖，记A B ，两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.9．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有12的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有12的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立：(1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A 为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B 为“技能一和技能二各触发1次”，求条件概率()P B A (2)设n 是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为2n 的概率记为n P ，求n P .10．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注．这种起搏器体积只有传统起搏器的110，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为99100，9899，9798，设人工抽检的综合指标不达标率为p （01p <<）．(1)求每个芯片智能检测不达标的概率；(2)人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为()p ϕ，求()p ϕ的极大值点0p ；(3)若芯片的合格率不超过96%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的0p 作为p 的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良．11．（2023·福建莆田·统考二模）互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量12m =，样本平均数18x =，样本方差2119s =；乙镇的样本容量18n =，样本平均数36y =，样本方差2270s =．(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数z 及其方差2S ；(2)为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为35，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为12．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X ，求()E X ．参考数据：2222212183888,183623328,28.8829.44,1210.81399.68,187.2933.12⨯=⨯==⨯=⨯=．12．（2023·福建厦门·统考二模）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W 与年份代码t 的散点图，其中年份2018-2022对应的t 分别为1~5．(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；(2)(i)假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(xn ，yn )，两个变量满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩（随机误差ii i e y bx =-）．请推导：当随机误差平方和Q ＝21ni i e =∑取得最小值时，参数b 的最小二乘估计．(ii)令变量,x t t y w w =-=-，则变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩利用(i)中结论求y 关于x 的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．附：样本相关系数()()niit t r w w -=-∑，()25176.9i i w w=-=∑，()()5127.2iii t t w w =--=∑，5160.8ii w ==∑27.7≈13．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第()128,m m m ≤≤∈N 号同学得到球后传给1m +号同学的概率为23，传给2m +号同学的概率为13，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为13，30号同学投篮命中的概率为67，设传球传到第()230,n n n ≤≤∈N 号的概率为n P ．(1)求4P 的值；(2)证明：{}()1228n n P P n +-≤≤是等比数列；(3)比较29号和30号投篮命中的概率大小．14．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品α分为两类不同剂型1α和2α．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂1α和2α合格的概率分别为34和35，第二次检测时两类试剂1α和2α合格的概率分别为45和23．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品α才算合格．(1)设经过两次检测后两类试剂1α和2α合格的种类数为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品α进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)p p <<且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为()f p ，若当0p p =时，()f p 最大，求0p 的值．15．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）由mn 个小正方形构成长方形网格有m 行和n 列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为p ，放红球的概率为q ，1p q +=.(1)若2m =，12p q ==，记y 表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：n 12345y7656423026求y 关于n 的回归方程 ln y bna =+ ，并预测10n =时，y 的值；（精确到1）(2)若2m =，2n =，13p =，23q =，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：()()111nmm n p q -+-≥.附：经验回归方程系数：1221ˆki ii kii x y kx ybxkx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-，51ln 53i i i n y =⋅=∑，ln 3.8y =.16．（2023·山东枣庄·统考二模）某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动．高三（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宜传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12．每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不彩响，求(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．17．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测）治疗慢性乙肝在医学上一直都是一个难题，因为基本不能治愈，只是可以让肝功能正常，不可以清除病毒，而且发展严重后还具有传染性，所以在各种体检中肝功能的检查是必不可少的.在对某学校初中一个班上64名学生进行体检后，不小心将2份携带乙肝的血液样本和62份正常样本（都用试管独立装好的）混在了一起，现在要将它们找出来，试管上都有标签，采用将共64份样品采用混检的方式，先将其平均分成两组，每组32份，将每组的32份进行混检，若携带病毒的在同一组，则将这一组继续取两份平均分组的混合样本进行检验，若携带病毒的样本不在同一组，则将两组都继续平均分组混检下去，直到最后将两份携带病毒的样本找出为止（样品检验时可以很快出结果，每次含病毒的那一组进行平均分组时，每个含病毒的样本被分到任意一组的概率都是12，且互不影响），设共需检验的次数为X.(1)求随机变量X的分布列和期望；(2)若5岁以上的乙肝患者急性和慢性的比例约为91：，急性乙肝炎症治愈率可达9 10，没有治愈的会转为慢性乙肝，慢性乙肝炎症治愈率只有3100，在找出两个乙肝样本后通知其进行治疗，求两人最后至少有一人痊愈的概率o P.（结果保留两位有效数字）18．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：性别锻炼不经常经常女生4060男生2080(1)依据0.01α=的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第n 次传球后球在甲手中的概率.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.0100.0050.001x α 6.6357.87910.82819．（2022秋·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的.切比雪夫在数论､概率论､函数逼近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设X 为离散型随机变量，则()()()2P X E X λλ-λ为任意大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X 的分布未知的情况下，对事件X λλ-的概率作出估计.(1)证明离散型切比雪夫不等式；(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数5n .在一次抽奖游戏中，有n 个不透明的箱子依次编号为1,2,,n ，编号为()1i i n 的箱子中装有编号为0,1,,i 的1i +个大小､质地均相同的小球.主持人邀请n 位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为i 的箱子中抽取的小球号码为i X ，并记1n i i X X i==∑.对任意的n ，是否总能保证()0.10.01P X n （假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论.附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量12,,,,n X X X X 满足1n i i X X ==∑，则有()1()ni i E X E X ==∑.20．（2022秋·湖北十堰·高三校联考阶段练习）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A 、B 进行体育运动和文化项目比赛，由A 部、B 部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A 部、B 部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A 部、B 部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A 部获胜的概率为()01p p <<，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．(1)记第一天需要进行的比赛局数为X ，求()E X ，并求当()E X 取最大值时p 的值；(2)当12p =时，记一共进行的比赛局数为Y ，求()5P Y ≤．21．（2022秋·广东广州·高三广州市真光中学校考开学考试）某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A 的数量y 与连续用药天数x 具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据(),i i x y ，1,2,3,4,5i =，其中i x 表示连续用药i 天，i y 表示相应的临床疗效评价指标A 的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标A 的数量y 变化明显，随着天数增加，y 的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：5162i i y ==∑，()()5147i i i x xy y =--=∑，51 4.79i i u =≈∑，()251 1.615i i u u =-≈∑，()()5119.38i i i u u y y =--≈∑，其中ln i i u x =.(1)试判断y a bx =+与ln y a b x =+哪一个适宜作为y 关于x 的回归方程类型？并建立y 关于x 的回归方程；(2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品约概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.（i ）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；（ii ）若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率.参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线y a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121n i i in i ix x y y b x x ==--=-∑∑ ，a y bx =-$$.22．（2022·广东深圳·统考二模）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛．．．．．．．．．．．．，若甲连续赢两场．．．．．则专业队获胜；若甲连续输两场．．．．．则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相。
2021年中考九年级数学压轴题：《统计与概率》 专题练习
2021年中考九年级数学压轴题：《统计与概率》专题练习1、在不透明的箱子里放有4个乒乓球。
每个乒乓球上分别写有数字1、2、3、4，从箱子中摸出一个球记下数字后放回箱中，摇匀后再摸出一个球记下数字。
若将第一次摸出的球上的数字记为点的横坐标，第二次摸出的球上的数字记为点的纵坐标。
（1）请用列表法或树状图法写出两次摸球后所有可能的结果；（2）求这样的点落在如图所示的圆中的概率（注：图中圆心在直角坐标系中的第一象限内，并且分别与x轴、y轴切于点（2，0和（0，2））两点）。
2、是世界卫生组织发起的第31个“世界无烟日”.为了更好地宣传吸烟的危害，某中学八年级一班数学兴趣小组设计了如下调查问卷，在达城中心广场随机调查了部分吸烟人群，并将调查结果绘制成统计图.根据以上信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的总人数是人，并把条形统计图补充完整.（2）在扇形统计图中，C选项的人数百分比是，E选项所在扇形的圆心角的度数是.（3）若通川区约有烟民14万人，试估计对吸烟有害持“无所谓”态度的约有多少人？你对这部分人群有何建议？3、某初中学校举行毛笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题：（1）请将条形统计图补全；（2）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自八年级，其他同学均来自九年级，现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率．4、现代树苗培育示范园要对A、B、C、D四个品种共800株松树幼苗进行成活实验，从中选出成活率高的品种进行推广，通过实验得知，B种松树幼苗成活率为90%，将实验数据绘制成两幅统计图，如图1，图2所示（部分信息未给出）（1）实验所用的C种松树幼苗的数量为_________ ；（2）试求出B种松树的成活数，并把图2的统计图补充完整；（3）你认为应选哪一种品种进行推广？试通过计算说明理由．5、某校组织了一次防溺水、防交通事故、防食物中毒、防校园欺凌及其他各种安全意识的调查活动，了解同学们在哪些方面的安全意识薄弱，便于今后更好地开展安全教育活动．根据调查结果，绘制出图1，图2两幅不完整的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：(1)本次调查的人数为___________，其中防校园欺凌意识薄弱的人数占_________%；(2)补全条形统计图；(3)若该校共有1500名学生，请估计该校学生中防溺水意识薄弱的人数；(4)请你根据题中的信息，给该校的安全教育提一个合理的建议．6、某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1500名，估计爱好运动的学生有人；（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是．7、某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达6分以上为合格，达到9分以上（含9分）为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下．（1）补充完成下列的成绩统计分析表：组别平均分中位数方差合格率优秀率甲 6.7 3.41 90% 20%乙7.5 80% 10%（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小明是组学生；（填“甲”或“乙”）（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你给出两条支持乙组同学观点的理由．8、某学校为了推动球类运动的普及，成立多个球类运动社团，为此，学生会采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球四个项目调查了若干名学生的兴趣爱好（要求每位同学只能选择其中一种自己喜欢的球类运动），并将调查结果绘制成了如下条形统计图和扇形统计图（不完整）．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查，共调查了名学生；（2）请将条形统计图和扇形统计图补充完整；（3）若该学校共有学生1800人，根据以上数据分析，试估计选择排球运动的同学约有多少人？9、讲、征文四个比赛项目（每人只参加一个项目），九（2）班全班同学都参加了比赛，该班班长为了了解本班同学参加各项比赛的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的折线统计图（图1）和扇形统计图（图2），根据图表中的信息解答下列各题：（1）请求出九（2）全班人数；（2）请把折线统计图补充完整；（3）南南和宁宁参加了比赛，请用“列表法”或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率．10、家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调査．（1）下列选取样本的方法最合理的一种是．（只需填上正确答案的序号）①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．（2）本次抽样调査发现，接受调査的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：①m= ，n= ；②补全条形统计图；③根据调査数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．11、根据某网站调查，2020年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：根据所给信息解答下列问题：（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（2）若菏泽市约有880万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．12、某学校开展以素质提升为主题的研学活动，推出了以下四个项目供学生选择：A模拟驾驶；B..军事竞技；;C. 家乡导游；D.植物识别。
模块八专题5以概率与统计为背景的压轴小题
模块八专题5 以概率与统计为背景的压轴小题【2021秋·广东深圳·高三深圳市】1．2020年初，新冠病毒肺炎（COVID【2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校】2．如图，一只蚂蚁从正方形ABCD涉及相互独立事件的概率综合问题，往往与函数、导数、数列、基本不等式综合考查，【2023春·高二课时练习】【2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测】6．一袋中有大小相同的3个白球和关于条件概率的考查，主要涉及其与相互独立事件概率的关系问题，【2023·全国·高三专题练习】7．随着春节的临近，小王和小张等【2023·湖北武汉·统考模拟预测】【2022·上海·高二专题练习】10．假设抛掷质地均匀的硬币时只有正面向上或反面向上两种情况，甲、乙各抛掷若干“巧用”二项展开式的通项与二项分布的概率公式的一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的【2023·宁夏银川·统考模拟预测】【2023春·江苏扬州·高三扬州中学】13．在某个独立重复实验中，事件【2023·山东枣庄·统考二模】14．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有1. 数学期望、方差的六条性质【江西省名校协作体联盟2023届高三第二次联考模拟】15．李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和【2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习】23．进入秋冬季以来某病毒肆虐，参考答案：可得两球发生有效碰撞和无效碰撞的可能性相等.取出三个球后，每两个球之间碰撞一次，则需碰撞233C =次，每次碰撞均有有效碰撞和无效碰撞两种情况发生，且可能性相等，所以三个球两两碰撞之后共有328=种等可能的情况发生.①若取出的三个球均为b 球，有331C =种取法，碰撞之后产生计数为2的球的情况有：每2个b 球之间有效碰撞2次，无效碰撞1次，计数结果为()2,1,1，有233C =种，1个球计数为2；每2个b 球之间有效碰撞3次，计数结果为()2,2,2，有1种，有三个球计数为2；则符合条件的情况数为()13136⨯+⨯=.②若取出的三个球为1个a 球，2个b 球，有12339C C =种取法，碰撞之后产生计数为2的球的情况有：a ，b 球之间有效碰撞1次，无效碰撞1次，计数结果为()2,1,0或()2,2,1，有1224C ⨯=种1，计数为2的球个数分别为1和2；每2个球之间有效碰撞3次，计数结果为()4,2,2，有1种，计数为2的球个数为2；则符合条件的情况数为()912221272⨯⨯+⨯+⨯=.③若取出的三个球为2个a 球，1个b 球，有21339C C =种取法，碰撞之后产生计数为2的球的情况有：a ，a 碰撞有效，a ，b 碰撞无效，计数结果为()2,2,0，有1种，计数为2的球个数为2；a ，a 碰撞无效，a ，b 碰撞1次有效1次无效，计数结果为()2,1,0，有2种，计数为2的球个数为1；a ，a 碰撞无效，a ，b 碰撞均有效，计数结果为()2,2,2，有1种，计数为2的球个数为3；a ，a 碰撞有效，a ，b 碰撞1次有效1次无效，计数结果为()3,2,1，有2种，计数为2的球个数为1；a ，a 碰撞有效，a ，b 碰撞有效，计数结果为()4,4,2，有1种，计数为2的球个数为1；ξ=，与每条棱相交的棱有当两条棱相交时，0当两条棱平行时，这两条棱之间的距离为AA平行且距离为1的棱为其中，与棱1ξ=，与棱AA当两条棱异面时，1。
数学-统计与概率压轴小题(学生版)
统计与概率压轴小题一、单选题1.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)设集合A =1,2,⋯,2022 ，集合S 是集合A 的非空子集，S 中最大元素和最小元素的差称为集合S 的长度，那么集合S 所有长度为73的子集的元素个数之和为( )A.272⋅38⋅1949B.274⋅1949C.273⋅37⋅1949D.270⋅76⋅19492.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为( )A.20160B.20220C.20280D.203403.(2022·全国·高三专题练习)设E x 是离散型随机变量的期望，则下列不等式中不可能成立的是( )A.E X +ln X >E X +ln E XB.E X 2ln X >E 2X ln E XC.E X +sin X >E X +sin E XD.E (X 2sin X )>E 2(X )sin E X4.(2022·江苏·高三专题练习)已知1+x +x 2 n =T 0n +T 1n x +T 2n x 2+⋯+T 2n n x 2n ，n ∈N *，其中T i n 为1+x +x 2 n 展开式中x i 项系数，i =0,1,2,⋅⋅⋅,2n ，则下列说法不正确的有( )A.T i 7=T 14-i 7，i =0,1,2,⋅⋅⋅,14B.T 27+T 37=T 38C.14i =1T i 7=26i =03i D.T 77是T 07，T 17，T 27，⋯，T 147是最大值5.(2022·内蒙古赤峰·高三开学考试(理))已知数列a n 的前n 项和为S n ，且a i =1或a i =2的概率均为12i =1,2,3,⋯,n ，设S n 能被3整除的概率为P n ．有下述四个结论：①P 2=1；②P 3=14；③P 11=3411024；④当n ≥5时，P n <13．其中所有正确结论的编号是( )A.①③ B.②④ C.②③ D.②③④6.(2022·浙江·高三开学考试)互不相等的正实数x 1,x 2,x 3,x 4∈1,2,3,4 ,x i 1,x i 2,x i 3,x i 4是x 1,x 2,x 3,x 4的任意顺序排列，设随机变量X ,Y 满足：X =max min x i 1,x i 2 ,min x i 3,x i 4Y =min max x i 1,x i 2 ,max x i 3,x i 4 , 则( )A.E X <E Y ,D X >D YB.E X >E Y ,D X >D YC.E X <E Y ,D X =D YD.E X >E Y ,D X =D Y7.(2022·全国·高三专题练习)伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当n ∈N *时，sin x x =1-x 2π2 1-x 24π2 1-x 29π2 ⋯1-x 2n 2π2 ⋯，又根据泰勒展开式可以得到sin x =x -x 33!+x 55!+⋯+-1 n -1x 2n -12n -1 !+⋯，根据以上两式可求得112+122+132+⋯+1n 2+⋯=( )A.π26 B.π23 C.π28D.π248.(2022·全国·高三专题练习(理))在卡方独立性检验中，χ2=(A i ,j -B i ,j )2B i ,j，其中A i ,j 为列联表中第i 行j 列的实际频数，B i ,j 为假定独立情况下由每行､每列的总频率乘以总频数得到的理论频数，取p =q =2时，如表所示，则有：B1,1=0.3×0.4×10=1.2,B1,2=1.8,B2,1=2.8,B2,2=4.2，因此：χ2=(1-1.2)21.2+(2-1.8)21.8+(3-2.8)22.8+(4-4.2)24.2=563与课本公式χ2=n(ad-bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)等价，故以下2×3列联表的χ2最小值为( )12P=0.334P=0.7 P=0.4P=0.6n=105x x∈N*y30302545 (n=200)A.3811B.13033 C.37677 D.5201219.(2022·四川·成都七中高三开学考试(理))某医院分配3名医生6名护士紧急前往三个小区协助社区做核酸检测.要求每个小区至少一名医生和至少一名护士.问共有多少种分配方案？( )A.3180B.3240C.3600D.366010.(2022·全国·高三专题练习(文))设函数f x =ax+xx-1x>1，若a是从0,1,2三个数中任取一个，b 是从1,2,3,4,5五个数中任取一个，那么f x >b恒成立的概率是( )A.35B.715C.25D.1211.(2022·全国·高三专题练习)如图，在某城市中，M､N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1､A2､A3､A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M､N处的甲､乙两人分别要到N､M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N､M处为止.则下列说法正确的是( )A.甲从M到达N处的方法有120种B.甲从M必须经过A2到达N处的方法有64种C.甲､乙两人在A2处相遇的概率为81400D.甲､乙两人相遇的概率为12二、多选题12.(2022·山东济南·三模)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为P n，则下列说法正确的是( )A.P2=59B.P n +1=23P n +13C.点Q 移动4次后恰好位于点C 1的概率为0D.点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为1213 10+1213.(2022·重庆·西南大学附中模拟预测)已知f n a ,b =2a +b n n ∈N ∗,a ,b ∈R ，则下列结论正确的是( )A.若f n 1,1 =a n +2b n ，a n ,b n ∈Z ，则a 5-b 5=12B.f n 1,1 +f n 1,-1 与f n 1,1 -f n 1,-1 都是正整数C.f 2n -11,-1 是f 2n -11,1 的小数部分D.设f n 1,-1 =c n +2d n ，c n ,d n ∈Z ，则c 2n +-1 n +1=2d 2n 14.(2022·江苏南通·模拟预测)若1-x 2 2022=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 4044x 4044，则( )A.a 0=1B.2022i =0a 2i =0C.4044i =1ia i 2i -1=4044×32021 D.2022i =0-1 i C i 2022 2=-C 1011202215.(2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习)已知数列a n 中，a 1>1,a n a n +1=3a n +1-a n a n +1-3a n n ∈N ∗ ，且a 1+a 2+1a 1+1a 2=10，设S n =a 21+a 22+⋯+a 2n ,T n =1a 21+1a 22+⋯+1a 2n ，则下列结论正确的是( )A.a 1=2B.数列a n 单调递增C.S n +T n =25329n -1 -2nD.若12S n +T n 为偶数，则正整数n 的最小值为816.(2022·重庆八中模拟预测)如图，一只蚂蚁从正方形ABCD 的顶点A 出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为13，逆时针的概率为23，设蚂蚁经过n 步到达B ，D 两点的概率分别为pn ,q n n ∈N + ．下列说法正确的有( )A.p 3=1327B.p 2n +q 2n =1C.p 2n -1=16×-19 n -1+12 D.2022k =1p k >50517.(2022·湖北·高三开学考试)甲乙两人进行围棋比赛，共比赛2n n ∈N * 局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为P n ，则( )A.P 2 =516 B.P 3 =1116C.P n =121-C n 2n 22nD.P n 的最小值为1418.(2022·河北衡水·高三阶段练习)已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X =0，a ，2，根据以往销售经验可得0<a <2，随机变量X 的分布列为X0a 2P12b 16其中结论正确的是( )A.b =13B.若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为516C.D (X )min =12D.当D (X )min 最小时，E (X )=1319.(2022·全国·模拟预测)计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行n +1列时，设第i 列像素点的亮度为x i ，则该图像对比度计算公式为C {x i}=1n ni =1(x i -x i +1)2 ．已知某像素点规模为1行n +1列的图像第i 列像素点的亮度x i ∈[0,9](i =1,2,⋅⋅⋅,n +1)，现对该图像进行调整，有2种调整方案：①y i =ax i +b (a >0,b >0,i =1,2,⋅⋅⋅,n +1)；②z i =c lg (x i +1)(c >0,i =1,2,⋅⋅⋅,n +1)，则( )A.使用方案①调整，当b =9时，y i >x i (i =1,2,⋅⋅⋅,n +1)B.使用方案②调整，当c =9时，z i <x i (i =1,2,⋅⋅⋅,n +1)C.使用方案①调整，当C {x i }<C {y i }时，a >1D.使用方案②调整，当x i =9(i -1)n (i =1,2,⋅⋅⋅,n +1)，c ≤ln10时，C {x i }<C {z i}20.(2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测)甲､乙两人进行2n n ∈N * 局羽毛球比赛(无平局)，每局甲获胜的概率均为12.规定：比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为P n ，假设每局比赛互不影响，则( )A.P 1 =14B.P 3 =1116C.P n =1-C n 2n 22nD.P n 单调递增21.(2022·江苏泰州·模拟预测)设一组样本的统计数据为：x 1,x 2,⋯,x n ，其中n ∈N *，x 1,x 2,⋯,x n ∈R ．已知该样本的统计数据的平均数为x ，方差为s 2，设函数f (x )=ni =1x i -x 2 ，x ∈R ．则下列说法正确的是( )A.设b ∈R ，则x 1+b ,x 2+b ,⋯,x n +b 的平均数为x +bB.设a ∈R ，则ax 1,ax 2,⋯,ax n 的方差为as 2C.当x =x 时，函数f (x )有最小值ns 2D.f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x n )<n 2s 222.(2022·江苏省昆山中学高三阶段练习)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代⋯⋯，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P (X =i )=p i (i =0,1,2,3)．假设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，且p 是关于x 的方程：p 0+p 1x +p 2x 2+p 3x 3=x 的一个最小正实根，则下列说法正确的是( )A.1是方程：p 0+p 1x +p 2x 2+p 3x 3=x 的根B.当E (X )=1时，p =1C.当E (X )>1时，p =1D.当E (X )<1时，p =123.(2022·江苏南京·高三开学考试)设1-2x n =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋅⋅⋅+a n x n ，x ∈R ，n ∈N ∗，则下列结论中正确的是( )A.-a 12+a 222-a 323+⋅⋅⋅+-1 n a n 2n =2n -1B.当n ≥3时，2a 2+6a 3+⋅⋅⋅+n n -1 a n =4n n -1C.若a 8 >a 7 ，a 8 >a 9 ，则n =12 D.当x =-12000，n =2022时，1-2x n >1091524.(2022·福建省连城县第一中学高三阶段练习)为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：(1)逐份检测：(2)混合检测：将其中k 份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k 份核酸全为阴性，因而这k 份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k 份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k 份核酸再逐份检测，此时，这k 份核酸的检测次数总共为k +1次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为p 0<p <1 ，若k =10，运用概率统计的知识判断下列哪些p 值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．(参考数据：lg0.794≈-0.1)( )A.0.4B.0.3C.0.2D.0.125.(2022·福建泉州·高三开学考试)若数列a n 的通项公式为a n =(-1)n -1，记在数列a n 的前n +2n ∈N * 项中任取两项都是正数的概率为P n ，则( )A.P 1=13B.P 2n <P 2n +2C.P 2n -1<P 2nD.P 2n -1+P 2n <P 2n +1+P 2n +2.26.(2022·江苏·高三专题练习)下列说法不正确的是( )A.随机变量X ~B 3,0.2 ，则P X =2 =0.032B.某人在10次射击中，击中目标的次数为X 且X ~B 10,0.8 ，则当X =8时概率最大；C.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件D.从10个红球和20个白球颜色外完全相同中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；三、填空题27.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知y ,f ,d 为正整数，f x =(1+x )y +(1+x )f +(1+x )d .其中x 的系数为10，则x 2的系数的最大可能值与最小可能值之和为___________.28.(2022·浙江·模拟预测)“迎冬奥，跨新年，向未来”，水球中学将开展自由式滑雪接力赛．自由式滑雪接力赛设有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三个项目，参赛选手每人展示其中一个项目．现安排两名男生和两名女生组队参赛，若要求相邻出场选手展示不同项目，女生中至少一人展示雪上芭蕾项目，且三个项目均有所展示，则共有___种出场顺序与项目展示方案．(用数字作答)29.(2022·上海·高三专题练习)对于n ∈N *，将n 表示为n =a 0×2k +a 1×2k -1+a 2×2k -2+⋯+a k -1×21+a k ×20，i =0时，a i =1，当1≤i ≤k 时，a i 为0或1，记I (n )为上述表示中a i 为0的个数；例如4=1×22+0×21+0×20，11=1×23+0×22+1×21+1×20，故I (4)=2，I (11)=1；则2I (1)+2I (2)+⋯+2I (254)+2I (255)=_____．30.(2022·上海奉贤·二模)设项数为4的数列{a n }满足：a i ∈-1,0,1 ，i ∈{1,2,3,4}且对任意1≤k <l ≤4，k ∈N ,l ∈N ，都有a k +a k +1+⋯+a l ≤1，则这样的数列{a n }共有_____个.31.(2022·全国·高三专题练习)某商场经销A ，B 两种生活消耗品，顾客每次必买且只买其中一种，经过统计分析发现:顾客第一次购买时购买A 的概率为12.前一次购买A 的顾客下一次购买A 的概率为14，前一次购买B 的顾客下一次购买A 的概率为12,那么某顾客第n 次来购买时购买A 产品的概率为______32.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、⋯、第10站，共10站，设棋子跳到第n 站的概率为P n ，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站(失败)或者第10站(获胜)时，游戏结束．则P 3=_________；该棋手获胜的概率为__________．33.(2022·江苏省滨海中学模拟预测)设a 、b 、m m >0 为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b对模m 同余，记为a ≡b mod m ；已知a =C 09+12C 19+13C 29+⋅⋅⋅+110C 99+710，b ≡a mod10 ，则满足条件的正整数b 中，最小的两位数是______．34.(2022·山西吕梁·二模(文))在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A 参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为p (0<p <1)，若当p =p 0时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则p 0=___________．35.(2022·上海市青浦高级中学模拟预测)如图，由6×6=36个边长为1个单位的小正方形组成一个大正方形．某机器人从C 点出发，沿若小正方形的边走到D 点，每次可以向右走一个单位或者向上走一个单位．如果要求机器人不能接触到线段AB ，那么不同的走法共有______种．36.(2022·浙江浙江·高三阶段练习)一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、白球和黑球，其中红球有1个.每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出红球即停.记拿出的黑球个数为ξ，且P (ξ=0)=14，则随机变量ξ的数学期望E ξ =______.37.(2022·全国·高三专题练习(理))有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.38.(2022·全国·高三专题练习)设随机变量ξ服从正态分布N 0,1 ，则下列结论正确的是______.(填序号)①P ξ <a =P ξ<a +P ξ>-a a >0 ；②P ξ <a =2P ξ<a -1a >0 ；③P ξ <a =1-2P ξ<a a >0 ；④P ξ <a =1-P ξ >a a >0 .39.(2022·全国·高三专题练习)如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间的一个小等边三角形，设DF =2AF .若在大等边三角形内任取一点P ，则该点取自小等边三角形内的概率为___________.40.(2022·全国·高三专题练习(文))将杨辉三角中的每一个数C r n 都换成分数1(n +1)C r n，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：1(n +1)C r n+1(n +1)C r +1n =1nC r n -1，令a n =13+112+130+160+⋯+1nC 2n -1+1(n +1)C 2n，S n 是a n 的前n 项和，则S n =______.41.(2022·全国·高三专题练习)考查等式：C 0m C r n -m +C 1m C r -1n -m +⋯+C r m C 0n -m =C r n (*)，其中n ,m ,r ∈N ∗，r ≤m <n 且r ≤n -m .某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有n 件，其中m 件是次品，其余为正品.现从中随机取出r 件产品，记事件A k ={取到的r 件产品中恰有k 件次品}，则P A k =C k m C r -k n -m C r n，k =0，1，2，⋯，r .显然A 0，A 1，⋯，A r 为互斥事件，且A 0∪A 1∪⋯∪A r =Ω(必然事件)，因此1=P Ω =P A 0 +P A 1 +⋯+P A r =C 0m C r n -m +C 1m C r -1n -m +⋯+C r m C 0n -m C r n，所以C 0m C r n -m +C 1m C r -1n -m +⋯+C r m C 0n -m =C r n ，即等式(*)成立.对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断：①等式(*)成立，②等式(*)不成立，③证明正确，④证明不正确，试写出所有正确判断的序号___________.42.(2022·浙江·高三专题练习)已知关于x 的方程x -a +x -b =x -c +x -d 有且仅有一个实数根，其中互不相同的实数a 、b 、c 、d ∈1,2,3,4,5,6 ，且a -b =c -d ，则a 、b 、c 、d 的可能取值共有________种．(请用数字作答)43.(2022·全国·高三专题练习)如图，在3×3的点阵中，依次随机地选出A ，B ，C 三个点，则选出的三点满足AB ⋅AC ≥0的概率是___________.44.(2022·全国·高三专题练习)对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn ~N 0,2n，为使误差εn 在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545，至少要测量_____次(若X~Nμ,σ2，则P(|X-μ|<2σ)=0.9545))．45.(2022·全国·高三专题练习(文))杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，在数学史上具有重要的地位．现将杨辉三角中的每一个数C r n都换成1(n+1)C r n，就得到一个如下表所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，比如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和．如果n≥2(n∈N)，那么下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是__________．①当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值；②1(n+1)C1n=1(n+1)C0n⋅1nC0n-1；③1(n+1)C r n=1(n+1)C n-r n(r∈N,0≤r≤n)；④1(n+1)C r-1n+1(n+1)C r n=1nC r-1n(r∈N,1≤r≤n)．第0行 1 1第1行 1212第2行 131613第3行 1411211214⋯⋯ ⋯⋯第n行1(n+1)C0n1(n+1)C1n ⋯⋯1(n+1)C n n46.(2022·上海市进才中学高三期中)定义域为集合{1,2,3,⋅⋅⋅,12}上的函数f(x)满足：①f(1)=1；②|f(x+1)-f(x)|=1(x=1,2,⋅⋅⋅,11)；③f(1)、f(6)、f(12)成等比数列；这样的不同函数f(x)的个数为________ 47.(2022·全国·高三专题练习(理))新冠疫情期间，甲､乙､丙三个家庭在某医院等候区等待核酸检测结果.等候区是6(列)×2(行)的座位.甲､乙家庭各有三人，且乙家庭有一个小孩，丙家庭有两人.现有相关规定：同一家庭的人需坐在同一行上，不同家庭的人之间不能太接近(左右不相邻)，小孩至少坐在其一位家长身边(左右相邻).则共有______种坐法.48.(2022·重庆·高三阶段练习)验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素(防止OCR)，由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，⋯，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”(例如：如14532，12543)，已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.49.(2022·全国·高三专题练习)2019年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为1114，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是13，若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是25.记观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为P n，若当n≥2时，P n≤M恒成立，则M的最小值为__________.50.(2022·上海·高三专题练习)某人有两盒火柴,每盒都有n根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根,求他发现用完一盒时另一盒还有r根(1≤r≤n)的概率_____.四、双空题51.(2022·江苏省木渎高级中学模拟预测)甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局(必须分出胜负)，且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数，若0 <p≤13，则E X 的最大值是_________；D X 的取值范围是___________．52.(2022·天津五十七中模拟预测)第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”、“冰墩墩”、“雪容融”等．小王有3张“冬梦”，2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”、“冰墩墩”、"雪容融”邮票各1张．小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以A1、A2、A3表示小王取出的是“冬梦”、“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则P B A2=____________，P(B)=_____ ______．53.(2022·全国·高三专题练习)某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，⋯，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量ξ的数学期望Eξ =______．。
高考题型预测08 概率与统计(真题回顾+押题预测)(解析版)2023
预测08 概率与统计解析版1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．2、二项展开式定理的问题是高考命题热点之一.关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr nT C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用.3、古典概率、离散型随机变量的分布列、均值与方差是高考的热点题型，去年竟有解答题作为压轴题，常与排列、组合、概率等知识综合命题．以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用，注重与数列、不等式、函数、导数等知识的综合考查，是高考的主要命题方向．一、排列组合： 1. 排列与排列数(1)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号__A m n __表示．(2)排列数公式：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！(n ，m ∈N *，并且m ≤n )A nn ＝n ·(n －1)·(n －2)·…·3·2·1＝n ！，规定0！＝1．2. 组合与组合数(1)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号__C m n __表示．(2)组合数公式：Cmn＝A m nA m m＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！＝n ！m ！（n －m ）！(n ，m ∈N *，并且m ≤n )．(3)组合数的性质：性质1：C m n＝C n－mn．性质2：C m n＋1＝C m－1n＋C m n．性质3：m C m n＝n·C m－1n－1．二、二项式定理1、二项式定理的展开式公式：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式，其中的系数C k n(k＝0，1，…，n)叫做二项式系数，式中的C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即T k＋1＝C k n a n－k b k．2、二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1．(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b 按升幂_排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式系数从C0n，C1n，一直到C n－1n，C n n．三、离散型随机变量的概率分布及其性质1、超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件“X＝r”发生的概率为P(X＝r)＝C r M C n－r N－MC n N，r＝0，1，2，…，m，称分布列为超几何分布．2n（1(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．（2）两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．(3)若X服从超几何分布，即X～H(n，M，N)时，E(X)＝nM N．3、正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)μ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(3)正态分布的三个常用数据①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974．四、统计案例1. 两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程为y^＝b^x＋a^_，其中其中a^，b^是待定参数，(y i－bx i－a)2的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．(4)相关系数：当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．2. 独立性检验(1)2×2列联表设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：(2)独立性检验利用随机变量K2(也可表示为χ2)的观测值k＝n（ad－bc）2(其中n＝a＋b＋（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．常用结论(1)求解回归方程的关键是确定回归系数a^，b^，应充分利用回归直线过样本中心点(x－，y－)．(2)根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大．(3)根据回归方程计算的b^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．一．选择题（共5小题）1．（2021•甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【解答】解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为（0.02+0.04）×1＝0.06＝6%，故选项A正确；对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为（0.04+0.02×3）×1＝0.1＝10%，故选项B正确；对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+1 3×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5万元，故选项C错误；对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为（0.1+0.14+0.2+0.2）×1＝0.64＞0.5，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确．故选：C．2．（2021•乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种【解答】解：5名志愿者选2个1组，有C52种方法，然后4组进行全排列，有A44种，共有C52A44=240种，故选：C．3．（2021•甲卷）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．13B ．25C ．23D ．45【解答】解：总的排放方法有C 62=15种，利用插空法，4个1有5个位置可以放0，故排放方法有C 52=10种，所以所求概率为1015=23． 故选：C ．4．（2021•新高考Ⅰ）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立【解答】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），两点数和为7的所有可能为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），P （甲）=16，P （乙）=16，P （丙）=56×6=536，P （丁）=66×6=16， A ：P （甲丙）＝0≠P （甲）P （丙）， B ：P （甲丁）=136=P （甲）P （丁）， C ：P （乙丙）=136≠P （乙）P （丙）， D ：P （丙丁）＝0≠P （丙）P （丁）， 故选：B ．5．（2021•新高考Ⅰ）某物理量的测量结果服从正态分布N （10，σ2），则下列结论中不正确的是（ ）A ．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等【解答】解：因为某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差σ2越小，则分布越集中，对于A，σ越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在（9.9，10.1）内的概率越大，故选项A正确；对于B，测量结果大于10的概率为0.5，故选项B正确；对于C，由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项C正确；对于D，由于概率分布是集中在10附近的，（9.9，10.2）分布在10附近的区域大于（10，10.3）分布在10附近的区域，故测量结果落在（9.9，10.2）内的概率大于落在（10，10.3）内的概率，故选项D错误．故选：D．二．多选题（共2小题）（多选）6．（2021•新高考Ⅰ）下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，x n的离散程度的有（）A．样本x1，x2，…，x n的标准差B．样本x1，x2，…，x n的中位数C．样本x1，x2，…，x n的极差D．样本x1，x2，…，x n的平均数【解答】解：中位数是反应数据的变化，方差是反应数据与均值之间的偏离程度，极差是用来表示统计资料中的变异量数，反映的是最大值与最小值之间的差距，平均数是反应数据的平均水平，故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差．故选：AC．（多选）7．（2021•新高考Ⅰ）有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同【解答】解：对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误；对于C，∵标准差D（y i）＝D（x i+c）＝D（x i），∴两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；对于D，∵y i＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，x的极差为x max﹣x min，y的极差为（x max+c）﹣（x min+c）＝x max﹣x min，∴两组样本数据的样本极差相同，故D正确．故选：CD．三．解答题（共4小题）8．（2021•甲卷）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【解答】解：（1）由题意可得，甲机床、乙机床生产总数均为200件，因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为150200=34；因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为120200=35；（2）根据2×2列联表，可得K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=400(150×80−50×120)2≈10.256＞6.635．270×130×200×200所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．9．（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．【解答】解：（1）由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，则P（X＝0）＝1﹣0.8＝0.2，P（X＝20）＝0.8×（1﹣0.6）＝0.32P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为：X020100P0.20.320.48（2）由（1）可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E（X）＝0×0.2+20×0.32+100×0.48＝54.4，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P（Y＝0）＝1﹣0.6＝0.4，P（Y＝80）＝0.6×（1﹣0.8）＝0.12，P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，则Y的期望为E（Y）＝0×0.4+80×0.12+100×0.48＝57.6，因为E（Y）＞E（X），所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．10．（2021•新高考Ⅰ）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（X＝i）＝p i（i＝0，1，2，3）．（Ⅰ）已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E（X）；（Ⅰ）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E（X）≤1时，p＝1，当E（X）＞1时，p＜1；（Ⅰ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【解答】（Ⅰ）解：由题意，p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，故E（X）＝0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1＝1；（Ⅰ）证明：由题意可知，p0+p1+p2+p3＝1，则E（X）＝p1+2p2+3p3，所以p0+p1x+p2x2+p3x3＝x，变形为p0﹣（1﹣p1）x+p2x2+p3x3＝0，所以p0+p2x2+p3x3﹣（p0+p2+p3）x＝0，即p0（1﹣x）+p2x（x﹣1）+p3x（x﹣1）（x+1）＝0，即（x﹣1）[p3x2+（p2+p3）x﹣p0]＝0，令f（x）＝p3x2+（p2+p3）x﹣p0，＜0，若p3≠0时，则f（x）的对称轴为x=−p2+p32p3注意到f（0）＝﹣p0≤0，f'（1）＝2p3+p2﹣p0＝p1+2p2+3p3﹣1＝E（X）﹣1，若p3＝0时，f（1）＝E（X）﹣1，当E（X）≤1时，f（1）≤0，f（x）＝0的正实根x0≥1，原方程的最小正实根p ＝1，当E（X）＞1时，f'（1）＝p1+2p2+3p3﹣1＞0，f（x）＝0的正实根x0＜1，原方程的最小正实根p＜1，（Ⅰ）解：当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．一．选择题（共8小题）1．如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率．已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为（）A．8B．12C．16D．24【解答】解：由等高条形图的女生喜欢篮球运动的频率为0.2，男生喜欢篮球运动的频率为0.6，从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，=24．则抽取的男生人数为：32×0.60.2+0.6故选：D．2．郑州地铁1号线的开通运营，极大方便了市民的出行．某时刻从二七广场站驶往博学路站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．这组数据的平均数，众数，90%分位数的和为（）A．125B．135C．165D．170×【解答】解：计算该组数据的平均数为x=110（70+60+60+60+50+40+40+30+30+10）＝45，众数是60，×（60+70）＝65，因为10×90%＝9，所以数据的90%分位数是12所以平均数、众数和90%分位数的和为45+60+65＝170．故选：D．3．中华文化综罗百代，广博精微，国学经典中蕴藏着中华五千年历史的智慧精髓．某校学生会举办“传承中华文化，诵读国学经典”活动，供选择的诵读经典著作为：《春秋》、《史记》、《左传》、《孙子兵法》．经过层层遴选，有三位选手进入决赛，这三位选手可以从如上著作中，任选一篇文章诵读．那么这三位选手中，恰有两人诵读的篇目取自于同一部著作的概率为（）A ．164B ．2932C ．916D ．716【解答】解：供选择的诵读经典著作为：《春秋》、《史记》、《左传》、《孙子兵法》．三位选手进入决赛，这三位选手可以从如上著作中，任选一篇文章诵读． 基本事件总数n ＝43＝64，这三位选手中，恰有两人诵读的篇目取自于同一部著作包含的基本事件m =C 32⋅C 41⋅C 31=36，那么这三位选手中，恰有两人诵读的篇目取自于同一部著作的概率为： P =m n=3664=916．故选：C ．4．现有A ，B ，C ，D ，E 五名志愿者分配到甲，乙，丙三个不同社区参加志愿者活动，每个社区至少安排一人，则A 和B 分配到同一社区的概率为（ ） A ．320B ．625C ．325D ．635【解答】解：由题意可得：分配方案为1，1，3型，或1，2，2．共有分配方法C 53•A 33+C 52C 32C 11A 22•A 33=150，A 和B 分配到同一社区的方法共有C 22C 31•A 33+C 22⋅C 32•A 33=36，∴A 和B 分配到同一社区的概率=36150=625， 故选：B ．5．夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为13和14，且两地同时下雨的概率为16，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为（ ） A ．112B ．12C ．23D ．34【解答】解：记事件A 为甲地下雨，事件B 为乙下雨， ∴P （A ）=13，P （B ）=14，P （AB ）=16， ∴在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为： P （A |B ）=P(AB)P(B)=1614=23．故选：C ．6．为充分感受冬奥的运动激情，领略奥运的拼搏精神，甲、乙、丙三人进行短道速滑训练．已知每一场比赛甲、乙、丙获胜的概率分别为16，13，12，则3场训练赛过后，甲、乙获胜场数相同的概率为（ ） A ．1172B ．524C ．724D ．13【解答】解：3场训练赛过后，甲、乙获胜场数相同的情况有两种： ①甲、乙两人均获胜0场，概率为P 1＝（12）3=18；②甲、乙两人均获胜1场，概率为P 2=C 31×12×C 21×13×16=16，∴3场训练赛过后，甲、乙获胜场数相同的概率为： P ＝P 1+P 2=18+16=724． 故选：C ．7．“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符“（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是（ ） A ．29B ．127C ．19D ．13【解答】解：顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件， 有3名顾客都领取一件礼品， 基本事件总数n ＝33＝27，他们三人领取的礼品种类都不相同包含的基本事件个数m =A 33=6， 则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是： P =m n=627=29．故选：A ．8．江西某中学为测试高三学生的数学水平，组织学生参加了联考，共有1000名学生参加，已知该校上次测试中，成绩X （满分150分）服从正态分布N （100，σ2），已知120分及以上的人数为160人，假设这次考试成绩和上次分布相同，那么通过以上信息推测这次数学成绩优异的人数为（成绩140分以上者为优异）（）P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.68，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.95，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.99．A．20B．25C．30D．40【解答】解：∵成绩X（满分150分）服从正态分布N（100，σ2），又∵120分及以上的人数为160人，∴80分及以下的人数也为160人，=0.68，由此可知，σ＝20，即X～N（100，∴P（80＜X＜120）=1000−160−1601000202），∴P（60＜X＜140）＝0.95，=25．故140分及以上的人数为1000−1000×0.952故选：B．二．多选题（共4小题）（多选）9．如图是国家统计局发布的2020年12月至2021年12月的全国居民×100%，环比=消费价格涨跌幅，其中同比=本期数−去年同期数去年同期数本期数−上期数×100%．上期数则下列说法正确的是（）A．2020年12月至2021年12月全国居民消费价格环比的极差为1.5%B．2020年12月至2021年12月全国居民消费价格同比的中位数为0.9% C．这13个月中，2021年6月全国居民消费价格最低D．2021年比2020年全国居民消费平均价格增长大于1.0%【解答】解：对于A，2020年12月至2021年12月，全国居民消费价格环比的最大值为1.0%，最小值为﹣0.5%，∴2020年12月至2021年12月全国居民消费价格环比的极差为1.5%，故A 正确；对于B ，2020年12月至2021年12月，全国居民消费价格同比（单位：%）从小到大依次为：﹣0.3，﹣0.2，0.2，0.4，0.7，0.8，0.9，1.0，1.1，1.3，1.5，1.5，2.3， 中位数是0.9%，故B 正确；对于C ，从环比看，从2021年3至6月，环比涨幅均为负值， ∴全国居民消费价格一直在下降，∴这13个月中，2021年6月全国居民消费价格最低，故C 正确； 对于D ，2021年比2020年全国居民消费平均价格增长：112（﹣0.3﹣0.2+0.4+0.9+1.3+1.1+1.0+0.8+0.7+1.5+2.3+1.5）=1112＜1.0%，故D 错误． 故选：ABC ．（多选）10．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．已知随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）＝30，D （X ）＝20，则p =23B ．若回归直线的斜率估计值为0.25，样本点中心为（2，3），则回归直线的方程为y =0.25x +2.5C ．设ξ服从正态分布N （0，1），若P （ξ＞1）＝p ，则P(−1＜ξ＜0)=12−pD ．某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，X ～B （10，0.8），则当X ＝8时概率最大【解答】解：∵随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），E （X ）＝30，D （X ）＝20，∴E （X ）＝np ＝30，D （X ）＝np （1﹣p ）＝20， 解得，p =13，故选项A 错误；∵回归直线的斜率估计值为0.25，样本点中心为（2，3）， ∴b ＝0.25，a ＝3﹣2×0.25＝2.5，故回归直线的方程为y =0.25x +2.5，故选项B 正确；∵ξ服从正态分布N（0，1），P（ξ＞1）＝p，∴P（ξ＜﹣1）＝p，故P(−1＜ξ＜0)=12−p，故选项C正确；∵X～B（10，0.8），∴P（X＝k）=∁10k•0.8k•0.210﹣k=∁10k•4k510，∴P(X=k+1)P(X=k)=∁10k+14k+1510∁10k⋅4k510=4(10−k)k+1，故当k≤7时，4(10−k)k+1＞1，k≥8时，4(10−k)k+1＜1，故当X＝8时概率最大；故选项D正确；故选：BCD．（多选）11．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列说法正确的是（）A．如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种B．甲不站在排头，乙不站在正中间，则不同的排法共有78种C．甲乙不相邻且乙在甲的右边，则不同的排法共有36种D．若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，但不能改变原来五人的相对顺序，则不同的排法共有42种【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有A22A44=48种不同的排法，A错误；对于B，若甲站在正中间，乙有4种站法，剩下3人全排列，有4×A33=24种排法，若甲不站在正中间，甲有3种站法，乙有3种站法，剩下3人全排列，有3×3×A33=54种排法，则有24+54＝78种不同的站法，B正确；对于C，将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有A33A42=72种排法，其余乙在甲的右边和乙在甲的左边的情况数目相同，则有12×72＝36种不同的排法，C正确；对于D，若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，第一个人有6种插法，第二个人有7种插法，则有6×7＝42种不同的安排方法，D 正确； 故选：BCD ．（多选）12．若x 5＝a 0+a 1（1+x ）+a 2（1+x ）2+⋅⋅⋅+a 5（1+x ）5，其中a 0，a 1，a 2，⋅⋅⋅，a 5为实数，则（ ） A ．a 0＝0B ．a 3＝10C ．a 1+a 2+⋅⋅⋅+a 5＝1D ．a 1+a 3+a 5＝﹣16【解答】解：x 5＝[﹣1+（1+x ）]5＝a 0+a 1（1+x ）+a 2（1+x ）2+a 3（1+x ）3+a 4（1+x ）4+a 5（1+x ）5，可得a 0＝﹣1，a 1＝5，a 2＝﹣10，a 3＝10．a 4＝﹣5，a 5＝1， 故选：BC ．三．填空题（共4小题）13．在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生进行家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为 36 ．【解答】解：根据题意，有一名教师需要对两名学生进行家庭问卷调查，需要先安排1位教师问两个学生作调查，有C 31C 42=18种安排方法，剩下2名教师为其他两个学生作调查，有A 22=2种安排方法， 则有18×2＝36种调查方案； 故答案为：36．14．某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有 156 种． 【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将6人分成1、1、2、2的四组，要求刘老师和王老师不在一起， 有C 62C 42C 21C 11A 22A 22−C 42C 21C 11A 22=45﹣6＝39种分组方法；②，将两个只有1人组分配给1班和2班，将两个2人组分配给3班和4班，有A 22×A 22＝4种情况，则有39×4＝156种不同安排方法；故答案为：156．15．（x +1x ）（2x ﹣1）7的展开式中x 的系数为 ﹣85 ．【解答】解：∵(x +1x )(2x −1)7=（x +1x ）[（2x ）7﹣7（2x ）6+C 72•（2x ）5−C 73•（2x ）4+C 74•（2x ）3−C 75•（2x ）2+C 76•（2x ）﹣1]＝﹣1−C 75•4＝﹣85，故答案为：﹣85．16．在（√x 3−2x ）n 的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则二项展开式常数项等于 112 ．【解答】解：（√x 3−2x）n 的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，∴n ＝8， 通项公式为T r +1=C n r•（﹣2）r •x n−4r3=（﹣2）r•C 8r•x 8−4r3，令8−4r 3=0，求得r＝2，可得二项展开式常数项等于4×C 82=112，故答案为：112． 四．解答题（共6小题）17．某公司招聘员工，应聘者需进行笔试和面试．笔试分为三个环节，每个环节都必须参与．应聘者甲笔试部分每个环节通过的概率均为23，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；应聘者甲面试通过的概率为34．若笔试，面试都通过，则可以成为该公司的正式员工，各个环节相互独立． （1）求应聘者甲未能参与面试的概率；（2）记应聘者甲本次应聘通过的环节数为X ，求X 的分布列以及数学期望； 【解答】解：（1）设应聘者甲末能参与面试为事件A ，则甲通过了0个或1个笔试环节，P(A)=C 30(1−23)3(23)0+C 31(1−23)2(23)1=727，（2）X 的可能取值为0，1，2，3，4．P(X =0)=C 30⋅(13)3=127， P(X =1)=C 31⋅(13)2×23=29，P(X =2)=C 32⋅(23)2×13×(1−34)=19，P(X =3)=C 33⋅(23)3×(1−34)+C 32⋅(23)2×13×34=1127，P(X =4)=C 33⋅(23)3×34=29，则X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P1272919112729故E (X)=0×127+1×29+2×19+3×1127+4×29=239．18．从某校高三年中随机抽取100名学生，对其眼视力情况进行统计（两眼视力不同，取较低者统计），得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1，4.3）的概率为110．（1）求a ，b 的值；（2）若高校A 专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于4.9，高校B 专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于5.0，已知在[4.9，5.1）中有13的学生裸眼视力不低于5.0．现用分层抽样的方法从[4.9，5.1）和[5.1，5.3）中抽取4名同学，4人中有资格（仅考虑视力）考B 专业的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：{b ×0.2=110(b +0.75+1.75+a +0.75+0.25)×0.2=1，解得b ＝0.5，a ＝1．（2）在[4.9，5.1）中，共有15人，其中5人不低于5.0，在这15人中，抽取3人，在[5.1，5.3]中共有5人，抽取1人， 随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4， P （ξ＝1）=C 103C 50C 153=2491，P （ξ＝2）=C 102C 51C 153=4591，P （ξ＝3）=C 104C 52C 153=2091， P （ξ＝4）=C 100C 53C 153=291，∴ξ的分布列为：ξ 1 2 3 4 P 2491 4591 2091 291E （ξ）=1×2491+2×4591+3×2091+4×291=2．19．“一带一路”近年来成为了百姓耳熟能详的热门词汇，对于旅游业来说，“一带一路”战略的提出，让“丝路之旅”超越了旅游产品、旅游线路的简单范畴，赋予了旅游促进跨区域融合的新理念．而其带来的设施互通、经济合作、人员往来、文化交融更是将为相关区域旅游发展带来巨大的发展机遇．为此，旅游企业们积极拓展相关线路；各地旅游主管部门也在大力打造丝路特色旅游品牌和服务．某市旅游局为了解游客的情况，以便制定相应的策略．在某月中随机抽取甲、乙两个景点10天的游客数，统计得到茎叶图如下： （1）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据，以每天游客人数频率作为概率．今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过130人的天数为ξ，求概率P （ξ≤2）；（2）现从上图20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于125且不高于135人的天数为η，求η的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意知，景点甲的每一天的游客数超过130人的概率为410=25． 任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有ξ次发生， 则随机变量ξ服从二项分布ξ～B(4，25)，∴P （ξ≤2）＝P （ξ＝0）+P （ξ＝1）+P （ξ＝2）=C 40(25)0(35)4+C 41(25)(35)3+C 42(25)2(35)2=513625．（2）从图中看出，景点甲的数据中符合条件的只有1天，景点乙的数据中符合条件的有4天，所以在景点甲中被选出的概率为110，在景点乙中被选出的概率为25．由题意知η的所有可能的取值为0、1、2，则P(η=0)=910×35=2750；P(η=1)=110×35+910×25=2150；P(η=2)=110×25=125． ∴η的分布列为η 012P2750 2150125∴E(η)=0×2750+1×2150+2×125=12．20．2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额． （1）完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣 没兴趣 合计 男 55 女 合计（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望和方差． 附表： P （K 2≥k 0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k 02.0722.7063.8415.0246.635。
备战2024中考数学考试易错08统计与概率(解析版)
易错08统计与概率易错点一：忽略排序直接数众数：一组数据中出现次数最多的那个数据中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)易错提醒：要观察数据有没有按照顺序排列，没有的要先排列顺序再找，避免出错．例1．2023年9月5日是第八个“中华慈善日”，主题为“携手参与慈善，共创美好生活”．某校为了响应中华慈善总会的号召，举行捐款活动．下表是某班的捐款金额统计情况，则该班捐款金额的众数和中位数分别是（）捐款金额/元123510人数589158A．5，3B．15，3C．15，5D．5，5【答案】D【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，中位数是一组数据中处在最中间或处在最中间的两个数据的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数，据此求解即可．【详解】解：∵捐款为5元的人数最多，∴众数为5元，人，捐款人数为58915845按照捐款钱数从低到高排列，处在第23名的捐款钱数为5元，∴中位线为5元，故选：D．例2．金牛区某校八年级学生参加体质健康测试，有一组9个女生做一分钟的仰卧起坐个数如表中数据所示，则这组仰卧起坐个数的众数和中位数分别是（）学生（序号）1号2号3号4号5号6号7号8号9号仰卧起坐个数525650504858525054A．众数是58，中位数是48B．众数是58，中位数是52C．众数是50，中位数是48D．众数是50，中位数是52【答案】D【分析】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【详解】解：这组数据中50出现的次数最多，故众数为50，先把这些数从小到大排列，第5个女生的成绩为中位数，则中位数是52；故选：D．练习1．一组由小到大排列的数据为1 ，0，4，x，6，16，其中位数为5，则众数是（）A．5B．6C．1 D．5.5【答案】B【分析】本题考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．先根据中位数的概念找出最中间的两个数的平均数求出x值，再根据众数的概念求解．【详解】解：根据题目提供的数据，可以看到这组数据的中位数应是4与x和的平均数，即452x，解得：6x ，这样这组数据中出现次数最多的就是6，即众数是6．故选：B ．练习2．下表是我市某校九（1）班参加学校“纪念12.9主题演讲活动”的得分情况，表中“得分”数据的中位数是（）．评委评委1评委2评委3评委4评委5评委6评委7得分9.69.49.59.69.49.69.3A ．9.3B ．9.4C ．9.5D ．9.6【答案】C【分析】本题考查了中位数的定义，解题的关键是掌握中位数的定义．将“得分”从小到大的排列，即可求解．【详解】解：将“得分”从小到大的排列：9.3，9.4，9.4，9.5，9.6，9.6，9.6，排在中间的数是9.5，中位数是9.5，故选：C ．练习3．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示在鞋的尺码组成的数据中，中位数和众数分别是（）尺码/cm 2222.52323.52424.525销售量/双12511731A ．23.5和23.5B ．23和23.5C ．23.5和23D ．24和23.5【答案】A【分析】根据众数与中位数的意义进行填空即可．本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．【详解】解：把30双鞋的尺码从小到大排列，排在中位数为最中间两个数为23.5，23.5，所以中位数为23.5．观察数据可知23.5出现次数最多，即众数为23.5；故选：A ．练习4．某次射击比赛，甲队员的成绩如图所示，根据此统计图，判断下列结论中错误的是()A ．最高成绩是9.4环B ．这组成绩的中位数是8.85环C ．这组成绩的众数是9环D ．这组成绩的方差是8.8【答案】B【分析】此题主要考查了折线统计图，中位数，众数和方差，解题的关键是根据各自的计算方法结合表格中的数据分别计算即可．【详解】解：由题意可知，甲队员的成绩为9.4，8.4，9.2，9.2，8.8，9，8.6，9，9，9.4从小到大排列为：8.4，8.6，8.8，9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，最高成绩是9.4环，故正确，选项A 不合题意；这组成绩的中位数为9环，故错误，选项B 合题意；这组成绩的众数是9环，故正确，选项C 不合题意；这组成绩的平均数为 19.49.49.29.29998.88.68.4910，这组成绩的方差是2222221[2(9.49)(8.49)2(9.29)(8.89)3(99)(8.69)]0.09610，故错误，选项D 不符合题意．故选：B1．某学校在6月6日全国爱眼日当天，组织学生进行了视力测试．小红所在的学习小组每人视力测试的结果分别为：5.0，4.8，4.5，4.8，4.6，这组数据的众数和中位数分别为（）A ．4.8，4.74B ．4.8，4.5C ．5.0，4.5D ．4.8，4.8【答案】D【分析】本题考查了众数的定义，理解定义：“一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数；将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数．”是解题的关键．【详解】解：把这组数据从小到大排列为4.5，4.6，4.8，4.8，5.0，排在中间的数是4.8，故中位数是4.8；这组数据中4.8出现的次数最多，故众数为4.8．故选：D ．2．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm ）分别是23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（）A ．24，25B ．23，23C ．23，24D ．24，24【答案】C【分析】本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的关键．根据众数、中位数的定义进行解答即可．【详解】这组数据中，出现次数最多的是23，因此众数是23，将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24，由此中位数是24．故选C ．3．已知数据：2,1,2,1,4,6 ，下列说法正确的是（）A ．平均数3B ．众数是2C ．极差为8D ．中位数是1【答案】C【分析】本题考查求一组数据的平均数、众数、极差、中位数等知识，根据相关知识逐项判断即可求解．【详解】解：A 、这组数据的平均数是21214626，故本选项不符合题意；B 、1出现了2次，出现的次数最多，所以众数是1，故本选项不符合题意；C 、极差是： 628 ，故本选项符合题意；D 、把这些数从小到大排列为2,1,1,2,4,6 ，中位数是12322，故本选项不符合题意．故选：C ．4．若一组数据2，3，x ，5，6，7的众数为7，则这组数据的中位数为（）A ．2B ．3C ．5.5D ．7【答案】C【分析】本题考查的是众数，中位数的含义，先根据众数的含义求解7x ，再排序求解中位数即可.【详解】解：∵数据2，3，x ，5，6，7的众数为7，7x ，把这组数据从小到大排列为：2、3、5、6、7、7，则中位数为565.52；故选：C ．5．如图为荣成市7天的天气情况，这7天最高气温的中位数与众数分别为（）A ．25.5，27B ．26，28C ．26.5，27D ．28，28【答案】B【分析】本题考查求中位数及众数，根据最中间的数叫中位数，出现次数最多的角众数直接求解即可得到答案；【详解】解：由图像可得，28出现次数最多，故众数为28，数据排序为：23，24，25，26，28，28，∴中位数为：26，故答案为：B ．6．2021年5月1日至7日，某市每日最高气温如图所示，则最高气温的中位数是℃．5月1日至7日最高气温统计图【答案】27【分析】本题考查确定一组数据的中位数的能力．解题的关键是先把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，然后再根据奇数和偶数个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．据此解答即可．【详解】解：把这些数从小到大排列为：23，25，26，27，30，33，33，最中间的数是27，∴中位数是27C ．故答案为：27．7．学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为4,7,9,8,7．数据4，7，9,8,7的众数为．【答案】7【分析】此题考查了众数，根据数据中出现次数最多的数据是众数即可得到答案．【详解】解：数据4，7，9,8,7中出现最多的是7，∴数据4，7，9,8,7的众数为7，故答案为：7．易错点二：混淆平均数和加权平均数平均数：一般地，n 个数n x x x ,,,21 ，我们把n x x x n211叫做这n 个数的算术平均数，记做x n 个数的加权平均数：如果在n 个数中，1x 出现了1f 次，2x 出现了2f 次，……k x 出现了k f 次，那么加权平均数为nf x f x f x x kk2211易错提醒：加权平均数即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数．在做题的时候，要注意题设中有没有出现“权”，不能将加权平均数和平均数混淆．例3．如表记录了数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学最近几次拓展训练的数学成绩，现要选拔一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应推选（）甲乙丙丁平均数95969695方差 2.5 2.4 2.3 2.5A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】C【分析】此题考查了算术平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的同学参加．【详解】解：∵乙和丙的平均数大于甲和丁的平均数，∴从乙和丙中选择一人参加比赛，∵丙的方差小于乙的方差，∴选择丙参加比赛．故选：C例4．若一组数据1 ，0，2，5，x的极差为8，则x的值是（）．A．3 B．8或9 C．8D．7或3【答案】D【分析】当x为最大值和最小值时分别根据极差列方程即可．【详解】解：当x为最大值时，18x ，x ；解得7当x为最小值时，x ，58x ，解得3故选D．【点睛】本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．练习1．如果一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，那么这组数据的标准差为() A．4B．3C．2D．1【答案】C【分析】直接利用平均数的求法，得出一元一次方程，解出即可得出x的值，进而求出这组数据的方差，从而求出标准差．【详解】解：∵一组数据6，7，x ，9，5的平均数是2x ，∴679525x x ，解得：3x ，∴这组数据的平均数为6，∴这组数据的方差为22222667636965645，2 ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平均数和标准差，正确得出x 的值是解本题的关键．练习2．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别为20.9s 甲，20.8s 乙，20.2s 丙，20.5s 丁，则射击成绩最稳定的是．【答案】丙【分析】本题考查了数据的波动，明确方差越小越稳定即可解题．【详解】20.9s ∵甲，20.8S 乙，20.2s 丙，20.5S 丁，2222s s s s 丁乙甲丙，成绩最稳定的是丙．故答案为：丙．练习3．小明连续5天的体温数据如下（单位：C ）：36.7，36.3，36.6，36.2，36.3，这组数据的极差是C.【答案】0.5【分析】本题考查了极差的定义，极差是最大数据和最小数据的差，据此解答．【详解】解：这组数据的极差是：36.736.20.5 （℃）．故答案为：0.5．练习4．若五个数据2，1 ，3，x ，5的极差为8，则x 的值为．【答案】7或3【分析】根据题目给的数据和极差的定义，可分两种情况讨论：x 是最大值和x 是最小值，分别列式计算，可求解．【详解】解：由题意可得：极差是8，故x 不可能是中间值，若x 是最大值，则 18x ，∴7x ，若x 是最小值，则58x ，∴3x ，则x 的值为7或3 ，故答案为：7或3 ．【点睛】本题考查了极差的定义，熟记概念是解题的关键．1．某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按2:3:2:2:1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为分．【答案】9【分析】本题考查了求平均数，熟记加权平均数公式是解题的关键．根据加权平均数的计算公式计算即可得解．【详解】解：由题意可得，10293829291923221（分），答：他期末操行得分为9分．故答案为：9．2．某校在12月9日举办了以“不忘国耻振兴中华”为主题的合唱比赛，每支参赛队的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%进行考评．八一班参赛歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分，则八一班的最终成绩是分．【答案】93【分析】本题考查了加权平均数的计算方法，掌握权的分配是解题的关键．根据加权平均数的计算公式列式计算即可．【详解】解：根据题意，八一班的最终成绩是：30%9050%9420%9593 （分）．故答案为：93．3．中卫三中规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩2：3：5的比计算学期成绩，小明同学本学期三项成绩依次为90分、80分、90分，则小红同学本学期的体育成绩是分．【答案】87【分析】本题考查加权平均数的求法，根据题中条件，利用加权平均数的求解公式代值求解即可得到答案，熟记加权平均数公式是解决问题的关键．【详解】解：∵中卫三中规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩235：：的比计算学期成绩，小明同学本学期三项成绩依次为90分、80分、90分，小红同学本学期的体育成绩是23590809087235235235分，故答案为：87．4．在前三场击球游戏中，王新同学得分分别为139143144，，，为使前4场的平均得分为145，第四场他应得分．【答案】154【分析】此题考查了利用平均数求未知数值，用平均数乘以数据个数减去已知数据即可得到答案．【详解】解：根据题意可得，1454139143144154 ，即第四场他应得154，故答案为：1545．已知一组数据a 、b 、c 的平均数为5，那么数据2a 、2b 、2c 的平均数是．【答案】3【分析】本题考查了算术平均数；根据数据a 、b 、c 的平均数为5求出15a b c ，然后根据算术平均数的计算方法求解即可．【详解】解：由题意得：53a b c，∴15a b c ，∴数据2a 、2b 、2c 的平均数为：22215222333a b c ，故答案为：3．6．张老师把七年级2班第三组五名同学的成绩简记为10 ，5 ，0，8 ，3 ，又知道记为0的实际成绩表示90分．(1)成绩最高是多少分？成绩最低是多少分？(2)这5名同学的平均成绩为多少分？【答案】(1)成绩最高是100分．成绩最低是82分(2)五位同学平均成绩是88.8【分析】本题考查的是正负数的含义，有理数的混合运算的实际应用，理解题意是关键；（1）由超过最多的分数加上基准分可得最高分，由不足最多的加上基准分可得最低分数；（2）设这5名同学的平均成绩为x 分，利用总分不变列方程求解即可．【详解】（1）解：成绩最高：9010100 ，成绩最低：90882 ；答：成绩最高是100分．成绩最低是82分；（2）设这5名同学的平均成绩为x 分，由题意，得 5905105083x ．解得88.8x ．答：五位同学平均成绩是88.8．7．某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩和民主测评，A 、B 、C 、D 、E 五位老师作为评委对“演讲答辩”情况进行了评价，全班50位同学参与了民主测评，结果如下表：表1演讲答辩得分表（单位：分）A B C D E 甲9092949588乙8986879491表2民主测评票数统计表（单位：张）规则：①演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分后，再算出平均分”的方法确定；②民主测评得分=“好”票数2 分 “较好”票数1 分 “一般”票数0 分；③演讲答辩得分和民主测评得分按4:6确定权重，计算综合得分，请你计算一下甲、乙的综合得分，选出班长．【答案】见解析【分析】本题考查了平均数和加权平均数的概念及应用，首先分别求出甲、乙两位选手各自演讲答辩的平均分，然后根据平均数的概念分别计算出甲、乙两位选手的民主测评分，最后根据不同权重计算加权成绩．【详解】解：甲演讲答辩的平均分为：909294923++=；乙演讲答辩的平均分为：898791893++=；甲民主测评分为：4027187 ；乙民主测评分为：4224188 ；∴甲综合得分：9248768946 ，乙综合得分：89488688.446，∵8988.4 ，∴应选择甲当班长．易错点三：混淆极差、方差的定义极差：最大值与最小值的差方差：一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数2222121n s x n.方差的算术平方根s 就是标准差．方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．易错提醒：须记住对应的定义，不能因为都有“差”就觉得一样例5．一组数据2，1，4，x ，64，则x 的值为（）A ．3B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】本题考查了算术平均数，可直接根据平均数的定义列方程求解．【详解】解：∵一组数据2，1，4，x ，6的平均值是4，∴ 214654x ，解得7x ，故选：D ．例6．睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到某班40位同学每天睡眠时间（单位：小时）如下表所示，则该班级学生每天的平均睡眠时间是小时．睡眠时间8小时9小时10小时人数62410【答案】9.1【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法，进行求解即可．【详解】解：8692410109.140（小时），即该班级学生每天的平均睡眠时间是9.1小时．故答案为：9.1．练习1．为进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”演讲比赛．演讲得分按“演讲内容”占40%，“语言表达”占40%，“形象风度”占10%，“整体效果”占10%进行计算，小颖这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是分．【答案】87.4【分析】本题考查的是加权平均数的求法．根据加权平均数的定义列式计算可得．【详解】解：她的最后得分是8540%8840%9210%9010%87.4 （分)，故答案为：87.4．练习2．在数据4，5，6，5中添加一个数据后，使其平均数不发生变化，则你添加的这个数可以是．【答案】5【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，先求出原数据的平均数，添加一个数使得新数据的平均数不变，则添加的数即为原数据的平均数，据此可得答案．【详解】解：∵数据4，5，6，5的平均数为456554，∴添加一个数据后，使其平均数不发生变化，则添加的数为5，故答案为：5．练习3．杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩（单位：环）依次是1x ，2x ，3x ，11x ，22x ，33x 若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为环．【答案】8【分析】本题考查了平均数的计算，掌握平均数的计算方法是解题的关键．根据前3箭的平均成绩为7环，可得12321x x x ，再计算6箭的平均成绩，化简为含有 123x x x 的算式，即可求出结果．【详解】解：∵前3箭的平均成绩为7环，12373x x x ， 12321x x x ，这6箭的平均成绩为1231231231232622168666x x x x x x x x x ，故答案为：8．练习4．已知一组数据1234,,,x x x x 的平均数是5，则数据12341,2,3,4x x x x 的平均数是．【答案】7.5【解析】略1．体育课上，九（1）班两个组各10人参加跳绳测试，要判断哪一组成绩比较整齐，通常需要知道这两个组跳绳测试成绩的（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差【答案】D【分析】本题考查了方差的意义，根据方差越小，数据波动越小，越稳定，解答即可．【详解】根据方差越小，数据波动越小，越稳定，故选D ．2．已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（）A ．2B ．3C 2D 3【答案】A【分析】此题考查计算方差和标准差，熟练掌握计算公式是解题的关键，先求出数据的平均数，再根据方差及标准差公式求出方差．【详解】解：这组数据的平均数2345645，方差 222221243444546425，标准差故选：A ．3．如图是根据某打绳巷米面店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．则这组数据的方差是．【答案】8【分析】本题主要考查了折线统计图，求方差，先根据统计图的数据求出这组数据的平均数，进而求出这组数据的方差即可得到答案．【详解】解；这组数据的平均数为35791175，∴这组数据的方差为222223757779711785，故答案为：8．4．数据2，x ，4，2，8，5的平均数为6，这组数据的极差为．【答案】13【分析】考查了平均数和极差公式，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，由平均数公式求出x ，再根据极差的公式：极差 最大值 最小值求解即可．【详解】解:根据题意得：2428566x =´+++++解得：15x 极差：15213 ，故答案为13．5．已知2，3，5，m ，n 五个数据的方差是16，那么3，4，6，1m ，1n 五个数据的标准差是．【答案】4【分析】先设原数据的平均数为x ，即可得出新数据的平均数，再求出原来的方差，和现在的方差，进而得出标准差．【详解】解：由题意知，原数据的平均数为x ，新数据的每一个数都加了1，则平均数变为x ，则原来的方差222211251=[()()()]165S x x x x x x ，现在的方差222211251=[(+1-1)(+1-1)(+1-1)]5S x x x x x x 2221251=[()()()]=165x x x x x x .所以方差不变，标准差为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加1所以波动不会变，方差不变，即数据的波动情况不变．6．若3，a ，4，6，5的平均数是4，则这组数据的标准差是.【分析】先根据求平均数的方法，求出a 的值，再根据标准差的公式，求出标准差即可．【详解】∵3，a ，4，6，5的平均数是4∴346545a ∴2a∴S．【点睛】本题考查了算术平均数，标准差的计算，熟知相应公式，并进行准确计算是解题的关键．7．有一组数据如下：5，6，7，a ，9，它们的平均数是7，那么这组数据的标准差是（）A ．10BC ．2D 【答案】D【分析】根据平均数求出a ，再根据方差公式求出方差，再根据标准差的定义即可得出答案．【详解】∵这组数据的平均数是7∴1(5679)75a ，∴8a ，∴22222217)(67)(77)(87)(97)]25s ，∴s 故选：D ．【点睛】本题考查了标准差的计算，掌握标准差的计算方法是解本题的关键．易错点四：含参求“三数”忽略分类讨论易错提醒：在求众数、平均数、中位数时，如果是一组含有未知数的数据就要分类讨论。
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专题8统计与概率压轴小题一、单选题 1．（2021·全国·高三专题练习）已知数列{a n }满足a 1＝0，且对任意n ∈N*，a n +1等概率地取a n +1或a n ﹣1，设a n 的值为随机变量ξn ，则（ ） A ．P （ξ3＝2）＝12B ．E （ξ3）＝1C ．P （ξ5＝0）＜P （ξ5＝2）D ．P （ξ5＝0）＜P （ξ3＝0）2．（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知202123202101232021(1)x a a x a x a x a x +=+++++，则20202019201820171023420202021a a a a a a ++++++=（ ）A ．202120212⨯B ．202020212⨯C ．202120202⨯D ．202020202⨯3．（2021·江苏省苏州中学园区校高三月考）已知*,,x y z N ∈，且10x y z ++=，记随机变量ξ为x ，y ，z 中的最大值，则()E ξ=（ ） A ．103B ．143C ．5D ．1734．（2021·湖南省岳阳县第一中学高三开学考试）如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A ､2A ､3A ､4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ､M 处为止.则下列说法正确的是（ ）A ．甲从M 到达N 处的方法有120种B ．甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有64种C ．甲､乙两人在2A 处相遇的概率为81400D ．甲､乙两人相遇的概率为125．（2021·全国·高三专题练习（理））定义数列{}n a 如下：存在k *∈N ，满足1k k a a +<，且存在s N *∈，满足1s s a a +>，已知数列{}n a 共4项，若{}()1,2,3,,4,,i a t x y z i =∈且t x y z <<<，则数列{}n a 共有（ ）A ．190个B ．214个C ．228个D ．252个6．（2021·山东·模拟预测）为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲､乙､丙､丁､戊共五名学生担任冰球､冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（ ） A ．34B ．23C ．56D ．127．（2021·全国·高三专题练习）已知62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项的取值范围为[]135,240，且()2ln 2x a x a x++≥恒成立.则a 的取值范围为（ ） A ．[][]4,33,4-- B ．[][]4,13,4--C ．[]1,4D ．[]4,3--8．（2021·河南·高三月考（理））2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为1P ，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为2P ，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为3P ，则满足123P P P <<的分配方案的概率为（ ） A ．13B ．23C ．120 D ．349．（2021·全国·高三专题练习（理））已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（ ） A ．150B ．240C ．390D ．144010．（2021·河北·衡水第一中学高三月考（理））甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n 次由甲掷的概率为n P ，则10P 的值为（ ）A ．5111024B ．12C ．5131024D ．25751211．（2021·全国·高三专题练习）某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移2sin p f νϕλ=，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，ϕ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1500nm （91nm 10m -=），某次检验中可测频移范围为99.50010⨯（1/h ）至910.00010⨯（1/h ），该高铁以运行速度（337.5km /h 至375km /h ）经过时，可测量的概率为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．5612．（2021·河南南阳·高三期末（理））众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形224x y +=.其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题: ①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当32a =-时，直线2y ax a =+与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点(),x y ，则x y +1；④若点()0,1P ，MN 为圆224x y +=过点P 的直径，线段AB 是圆224x y +=所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为12.其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．③④C ．①③④D ．①②④二、多选题 13．（2021·湖南·永州市第四中学高三月考）某人投了100次篮，设投完前n 次的命中率为m r ．其中1,2n =，….100．已知11000,0.85r r ==，则一定存在0100m <<使得（ ）A ．0.5m r =B ．0.6m r =C ．0.7m r =D ．0.8m r =14．（2021·辽宁实验中学二模）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进，例如：自然数1在二进制中就表示为1，2表示为10，3表示为11，7表示为111，即n +∈N ，11011222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+，其中01a =，0i a =或()11,2,,i k =，记()I n 为上述表示中0的个数，如()21I =，()70I =．则下列说法中正确的是（ ）．A ．()()1218I I <B ．()()()22211,2k kI I k k +---=∈≥NC ．()()()222I k I k k +=+∈ND ．1到127这些自然数的二进制表示中()2I n =的自然数有35个15．（2021·全国·高三专题练习）甲､乙两人进行围棋比赛，共比赛()*2n n N ∈局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为()P n ，则（ ） A ．1(2)8P =B ．11(3)32P =C ．221()122n nn C P n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()P n 的最大值为1416．（2021·江苏南通·一模）在庆祝教师节联欢活动中，部分教职员工参加了学校工会组织的趣味游戏比赛，其中定点投篮游戏的比赛规则如下：①每人可投篮七次，每成功一次记1分；②若连续两次投篮成功加0.5分，连续三次投篮成功加1分，连续四次投篮成功加1.5分，以此类推，连续七次投篮成功加3分，假设某教师每次投篮成功的概率为23，且各次投篮之间相互独立，则下列说法中正确的有（ ） A ．该教师恰好三次投篮成功且连续的概率为37523⨯B ．该教师恰好三次投篮成功的概率为373523⨯C ．该教师在比赛中恰好得4分的概率为37523⨯D ．该教师在比赛中恰好得5分的概率为552317．（2021·江苏·南京师大附中模拟预测）将2n (n ∈N *)个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，已知每个球放入这2个盒子的可能性相同，且每个盒子容纳球数不限记2个盒子中最少的球数为X (0≤X ≤n ，X ∈N *)，则下列说法中正确的有（ ） A ．当n =1时，方差1()4D X = B ．当n =2时，3(1)8P X ==C ．3n ∀≥，*0,) [(,)n k n N k ∃∈∈，使得P (X =k )>P (X =k +1)成立D ．当n 确定时，期望222(2)()2n nn nn C E X -=18．（2021·全国全国·模拟预测）以人工智能、量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程科技的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大．某公司抓住机遇，成立了甲、乙、丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题的高绿分别为12，12，23，且三个小组各自独立进行科研攻关，则下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为16B ．只有甲小组受到奖励的概率为12C ．受到奖励的小组数的期望值等于32D ．该技术难题被攻克，且只有丙小组受到奖励的概率为21119．（2021·广东实验中学高三月考）随着高三毕业日期的逐渐临近，有n (2n ≥)个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（ ）A ．当4n =时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为38B ．当5n =时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为340C ．甲和乙恰好互换了卡片的概率为111n n-- D ．记n 个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为n a ，则*21(1)(),n n n a n a a n N ++=++∈20．（2021·辽宁·模拟预测）某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（ ） A ．若1班不再分配名额，则共有420C 种分配方法B ．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有519C 种分配方法 C ．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D ．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法21．（2021·江苏盐城·二模）已知*n N ∈，2,1,n p q ≥+＝设()22k k n kn f k C p q-=，其中,2,k N k n ∈≤则（ ） A ．()201nk f k ==∑B ．()202nk kf k npq ==∑C ．若4np ＝，则()()8f k f ≤D ．()()0112212nnk k f k f k ==<<-∑∑22．（2021·山东聊城·高三期末）已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出--球，然后再放回去，依次类推，第1k +次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出--球，然后:再放回去.记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是（ ） A ．21732P =B ．117232n n P P +=+ C ．()2112212n n n n n n P P P P P P ++++-=-+ D ．对任意的,i j N +∈且1i j n ≤<≤，()()11111141422180n n i j i j n P P --≤<≤⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑ 23．（2021·山东济南·高三期末）已知红箱内有5个红球、3个球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第1k +次从与第k 次取出的球颜色相同的箱箱子内取出一球，然后再放回去.记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是（ ） A ．21732P =B ．117232n n P P +=+ C ．()2112212n n n n n n P P P P P P ++++-=-+ D ．对任意的i 、j N ∈，且1i j n ≤<≤，()()11111141422180n n i j i j n P P --≤<≤⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑24．（2021·福建·厦门外国语学校模拟预测）下列命题中，正确的命题是( ) A ．已知随机变量服从(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则23p = B ．已知()()0.34,0.71P BA P B ==，则()0.37P BA =C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=- D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为()~10,0.8X X B ，，则当8X =时概率最大25．（2021·湖南·雅礼中学高三月考）如图，在某城市中，M 、N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A 、2A 、3A 、4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M 、N 处的甲、乙两人分别要到N 、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N 、M 处为止.则下列说法正确的是（ ）A ．甲从M 到达N 处的方法有120种B ．甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有9种C ．甲、乙两人在2A 处相遇的概率为81400D ．甲、乙两人相遇的概率为41100三、双空题26．（2021·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知()522100121032...x x a a x a x a x -+=++++，则1a =__________，1231023...10a a a a ++++=_____________．27．（2021·浙江·高三月考）设()()23403431212x x a a x a x a x a x -+=++++，则1a =______，234234a a a ++=______．28．（2021·浙江·模拟预测）某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量ξ的数学期望()E ξ=______．29．（2021·浙江·高三期末）袋子里装有编号分别为“2，3，3，4，4，5”的6个大小、质量相同的小球，小明从袋子中一次任取2个球，若每个球被取到的机会均等，记取出的2个小球编号之和为X ，编号之差的绝对值为Y ，记X Y ξ=+，则()6P ξ==______；()E ξ=_____.四、填空题 30．（2021·上海·模拟预测）设整数数列1a ，2a ，…，10a 满足1013a a =，2852a a a +=，且{}11,2i i i a a a +∈++，1,2,,9i =⋅⋅⋅，则这样的数列的个数为___________.31．（2021·陕西渭南·高三月考（文））如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间的一个小等边三角形，设2DF AF =.若在大等边三角形内任取一点P ，则该点取自小等边三角形内的概率为___________.32．（2021·上海·模拟预测）考察等式：0110r r r r m n m m n m m n m n C C C C C C C ----+++=(*)，其中,,n m r *∈N ，r m n ≤<且r n m ≤-.某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有n 件，其中m 件是次品，其余为正品.现从中随机取出r 件产品，记事件k A ={取到的r 件产品中恰有k 件次品}，则()k r km n mk rnC C P A C --=，0k =，1，2，…，r .显然0A ，1A ，…，r A 为互斥事件，且01r A A A ⋃⋃⋃=Ω(必然事件)，因此()()()()0110011r r r m n m m n m m n mr rnC C C C C C P P A P A P A C ----+++=Ω=+++=，所以0110r r r r m n m m n m m n m n C C C C C C C ----+++=，即等式(*)成立.对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断：①等式(*)成立，②等式(*)不成立，③证明正确，④证明不正确，试写出所有正确判断的序号___________.33．（2021·浙江金华·三模）如图，用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有___________种.34．（2021·山东淄博·三模）如图，在33⨯的点阵中，依次随机地选出A 、B 、C 三个点，则选出的三点满足0AB AC ⋅<的概率是______．35．（2021·江苏·高三开学考试）格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点.一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”（如：(2,1)P -，则点P 到原点的格点距离为213+=）.格点距离为定值的点的轨迹称为“格点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径.当格点半径为6时，格点圆的半径有______条（用数字作答）.36．（2021·浙江温州·三模）已知关于x 的方程x a x b x c x d -+-=-+-有且仅有一个实数根，其中互不相同的实数a 、b 、c 、{}1,2,3,4,5,6d ∈，且a b c d -=-，则a 、b 、c 、d 的可能取值共有________种．（请用数字作答）37．（2021·全国·高三专题练习）在生物学研究过程中，常用高倍显微镜观察生物体细胞．已知某研究小组利用高倍显微镜观察某叶片的组织细胞，获得显微镜下局部的叶片细胞图片，如图所示，为了方便研究，现在利用甲、乙等四种不同的试剂对A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个细胞进行染色，其中相邻的细胞不能用同种试剂染色，且甲试剂不能对C 细胞染色，则共有______种不同的染色方法（用数字作答）．38．（2021·重庆·酉阳土家族苗族自治县第三中学校模拟预测）对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差2~0,n N n ε⎛⎫⎪⎝⎭，为使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若()2~,X N μσ，则(||2)0.9545)P X μσ-<=）．。