专题8 统计与概率压轴小题(原卷版)

专题8统计与概率压轴小题
一、单选题 1．（2021·全国·高三专题练习）已知数列{a n }满足a 1＝0，且对任意n ∈N*，a n +1等概率地取a n +1或a n ﹣1，设a n 的值为随机变量ξn ，则（ ） A ．P （ξ3＝2）＝1
2
B ．E （ξ3）＝1
C ．P （ξ5＝0）＜P （ξ5＝2）
D ．P （ξ5＝0）＜P （ξ3＝0）
2．（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知2021
23202101232021(1)x a a x a x a x a x +=+++++，则
20202019201820171023420202021a a a a a a ++++
++=（ ）
A ．202120212⨯
B ．202020212⨯
C ．202120202⨯
D ．202020202⨯
3．（2021·江苏省苏州中学园区校高三月考）已知*,,x y z N ∈，且10x y z ++=，记随机变量ξ为x ，y ，z 中的最大值，则()E ξ=（ ） A ．
10
3
B ．143
C ．5
D ．
173
4．（2021·湖南省岳阳县第一中学高三开学考试）如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A ､2A ､3A ､4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ､M 处为止.则下列说法正确的是（ ）
A ．甲从M 到达N 处的方法有120种
B ．甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有64种
C ．甲､乙两人在2A 处相遇的概率为
81
400
D ．甲､乙两人相遇的概率为
12
5．（2021·全国·高三专题练习（理））定义数列{}n a 如下：存在k *∈N ，满足1k k a a +<，且存在s N *∈，满足1s s a a +>，已知数列{}n a 共4项，若{}()1,2,3,,4,,i a t x y z i =∈且t x y z <<<，则数列{}n a 共有（ ）
A ．190个
B ．214个
C ．228个
D ．252个
6．（2021·山东·模拟预测）为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲､乙､丙､丁､戊共五名学生担任冰球､冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（ ） A ．34
B ．23
C ．56
D ．12
7．（2021·全国·高三专题练习）已知6
2a x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭展开式的常数项的取值范围为[]135,240，且()2ln 2x a x a x
++≥恒成立.则a 的取值范围为（ ） A ．[][]4,33,4-- B ．[][]4,13,4--
C ．[]1,4
D ．[]4,3--
8．（2021·河南·高三月考（理））2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为1P ，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为2P ，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为3P ，则满足123P P P <<的分配方案的概率为（ ） A ．1
3
B ．23
C ．
120 D ．34
9．（2021·全国·高三专题练习（理））已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（ ） A ．150
B ．240
C ．390
D ．1440
10．（2021·河北·衡水第一中学高三月考（理））甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n 次由甲掷的概率为n P ，则10P 的值为
（ ）
A ．
511
1024
B ．1
2
C ．
513
1024
D ．
257
512
11．（2021·全国·高三专题练习）某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移2sin p f νϕ
λ
=
，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，ϕ为两束探测光线
夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1500nm （91nm 10m -=），某次检验中可测频移范围为99.50010⨯（1/h ）至910.00010⨯（1/h ），该高铁以运行速度（337.5km /h 至375km /h ）经过时，可测量的概率为（ ）
A ．1
2
B ．13
C ．23
D ．56
12．（2021·河南南阳·高三期末（理））众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形224x y +=.其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题: ①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是1
2； ②当3
2
a =-时，直线2y ax a =+与白色部分有公共点；
③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点(),x y ，则x y +1；
④若点()0,1P ，MN 为圆224x y +=过点P 的直径，线段AB 是圆224x y +=所有过点P 的弦中最短的弦，则
()AM BN AB -⋅的值为12.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A ．①③
B ．③④
C ．①③④
D ．①②④
二、多选题 13．（2021·湖南·永州市第四中学高三月考）某人投了100次篮，设投完前n 次的命中率为m r ．其中1,2n =，….100．已知11000,0.85r r ==，则一定存在0100m <<使得（ ）
A ．0.5m r =
B ．0.6m r =
C ．0.7m r =
D ．0.8m r =
14．（2021·辽宁实验中学二模）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进，例如：自然数1在二进制中就表示为1，2表示为10，3表示为11，7表示为111，即n +∈N ，11011222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+，其中01a =，0
i a =或()11,2,
,i k =，记()I n 为上述表示中0的个数，如()21I =，()70I =．则下列说法中正确的是（ ）．
A ．()()1218I I <
B ．()()()22211,2k k
I I k k +---=∈≥N
C ．()()()222I k I k k +=+∈N
D ．1到127这些自然数的二进制表示中()2I n =的自然数有35个
15．（2021·全国·高三专题练习）甲､乙两人进行围棋比赛，共比赛()
*
2n n N ∈局，且每局甲获胜的概率和乙
获胜的概率均为1
2.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为()P n ，则（ ） A ．1
(2)8
P =
B ．11(3)32
P =
C ．221()122n n
n C P n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
D ．()P n 的最大值为1
4
16．（2021·江苏南通·一模）在庆祝教师节联欢活动中，部分教职员工参加了学校工会组织的趣味游戏比赛，其中定点投篮游戏的比赛规则如下：①每人可投篮七次，每成功一次记1分；②若连续两次投篮成功加0.5分，连续三次投篮成功加1分，连续四次投篮成功加1.5分，以此类推，连续七次投篮成功加3分，假设某
教师每次投篮成功的概率为
2
3
，且各次投篮之间相互独立，则下列说法中正确的有（ ） A ．该教师恰好三次投篮成功且连续的概率为3
7523⨯
B ．该教师恰好三次投篮成功的概率为3
7
3523⨯
C ．该教师在比赛中恰好得4分的概率为3
7523
⨯
D ．该教师在比赛中恰好得5分的概率为5
523
17．（2021·江苏·南京师大附中模拟预测）将2n (n ∈N *)个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，已知每个球放入这2个盒子的可能性相同，且每个盒子容纳球数不限记2个盒子中最少的球数为X (0≤X ≤n ，X ∈N *)，则下列说法中正确的有（ ） A ．当n =1时，方差1
()4
D X = B ．当n =2时，3(1)8
P X ==
C ．3n ∀≥，*0,) [(,)n k n N k ∃∈∈，使得P (X =k )>P (X =k +1)成立
D ．当n 确定时，期望222(2)()2n n
n n
n C E X -=
18．（2021·全国全国·模拟预测）以人工智能、量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程科技的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大．某公司抓住机遇，成立了甲、乙、丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题的高绿分别为12，1
2，23，且三个小组各自独立进行科研攻关，则下列说法正确的是（ ）
A ．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为1
6
B ．只有甲小组受到奖励的概率为12
C ．受到奖励的小组数的期望值等于3
2
D ．该技术难题被攻克，且只有丙小组受到奖励的概率为
211
19．（2021·广东实验中学高三月考）随着高三毕业日期的逐渐临近，有n (2n ≥)个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（ ）
A ．当4n =时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为3
8
B ．当5n =时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为340
C ．甲和乙恰好互换了卡片的概率为
111n n
-- D ．记n 个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为n a ，则*21(1)(),n n n a n a a n N ++=++∈
20．（2021·辽宁·模拟预测）某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（ ） A ．若1班不再分配名额，则共有420C 种分配方法
B ．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有5
19C 种分配方法 C ．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D ．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
21．（2021·江苏盐城·二模）已知*n N ∈，2,1,n p q ≥+＝设()22k k n k
n f k C p q
-=，其中,2,k N k n ∈≤则（ ） A ．()20
1n
k f k ==∑
B ．()20
2n
k kf k npq ==∑
C ．若4np ＝，则()()8f k f ≤
D ．()()0
1
12212n
n
k k f k f k ==<<-∑
∑
22．（2021·山东聊城·高三期末）已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出--球，然后再放回去，依次类推，第1k +次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出--球，然后:再放回去.记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是（ ） A ．217
32P =
B ．117232
n n P P +=
+ C ．()211221
2
n n n n n n P P P P P P ++++-=-
+ D ．对任意的,i j N +∈且1i j n ≤<≤，
()()11111141422180n n i j i j n P P --≤<≤⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪⎪
⎝
⎭⎝⎭∑ 23．（2021·山东济南·高三期末）已知红箱内有5个红球、3个球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第1k +次从与第k 次取出的球颜色相同的箱箱子内取出一球，然后再放回去.记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是（ ） A ．217
32
P =
B ．117232
n n P P +=
+ C ．()211221
2
n n n n n n P P P P P P ++++-=-
+ D ．对任意的i 、j N ∈，且1i j n ≤<≤，
()()11111141422180n n i j i j n P P --≤<≤⎛
⎫⎛⎫--=
-- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭∑
24．（2021·福建·厦门外国语学校模拟预测）下列命题中，正确的命题是( ) A ．已知随机变量服从(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则2
3
p = B ．已知()()0.34,0.71P BA P B ==，则()
0.37P BA =
C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1
102
P p ξ-<<=
- D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为()~10,0.8X X B ，，则当8X =时概率最大
25．（2021·湖南·雅礼中学高三月考）如图，在某城市中，M 、N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A 、
2A 、3A 、4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M 、N 处的甲、乙两人分别要到N 、M
处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N 、M 处为止.则下列说法正确的是（ ）
A ．甲从M 到达N 处的方法有120种
B ．甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有9种
C ．甲、乙两人在2A 处相遇的概率为81
400
D ．甲、乙两人相遇的概率为41100
三、双空题
26．（2021·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知()5
22100121032...x x a a x a x a x -+=++++，则1
a =__________，1231023...10a a a a ++++=_____________．
27．（2021·浙江·高三月考）设()()2340343
1212x x a a x a x a x a x -+=++++，则1a =______，234234a a a ++=
______．
28．（2021·浙江·模拟预测）某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3
个球，
则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量ξ的数学期望()E ξ=______．
29．（2021·浙江·高三期末）袋子里装有编号分别为“2，3，3，4，4，5”的6个大小、质量相同的小球，小明从袋子中一次任取2个球，若每个球被取到的机会均等，记取出的2个小球编号之和为X ，编号之差的绝对值为Y ，记X Y ξ=+，则()6P ξ==______；()E ξ=_____.
四、填空题 30．（2021·上海·模拟预测）设整数数列1a ，2a ，…，10a 满足1013a a =，2852a a a +=，且{}11,2i i i a a a +∈++，
1,2,,9i =⋅⋅⋅，则这样的数列的个数为___________.
31．（2021·陕西渭南·高三月考（文））如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间的一个小等边三角形，设2DF AF =.若在大等边三角形内任取一点P ，则该点取自小等边三角形内的概率为___________.
32．（2021·上海·模拟预测）考察等式：0110r r r r m n m m n m m n m n C C C C C C C ----+++=(*)，其中,,n m r *
∈N ，r m n ≤<且
r n m ≤-.某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有n 件，其中m 件是次品，其余为正品.现从
中随机取出r 件产品，记事件k A ={取到的r 件产品中恰有k 件次品}，则()k r k
m n m
k r
n
C C P A C --=，0k =，1，2，…，r .显然0A ，1A ，…，r A 为互斥事件，且01r A A A ⋃⋃⋃=Ω(必然事件)，因此
()()()()011
0011r r r m n m m n m m n m
r r
n
C C C C C C P P A P A P A C ----++
+=Ω=++
+=，所以
011
0r r r r m n m m n m m n m n C C C C C C C ----++
+=，即等式(*)成立.对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性
与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断：①等式
(*)成立，②等式(*)不成立，③证明正确，④证明不正确，试写出所有正确判断的序号___________.
33．（2021·浙江金华·三模）如图，用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有___________种.
34．（2021·山东淄博·三模）如图，在33⨯的点阵中，依次随机地选出A 、B 、C 三个点，则选出的三点满足0AB AC ⋅<的概率是______．
35．（2021·江苏·高三开学考试）格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点.一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”（如：(2,1)P -，则点P 到原点的格点距离为213+=）.格点距离为定值的点的轨迹称为“格点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径.当格点半径为6时，格点圆的半径有______条（用数字作答）.
36．（2021·浙江温州·三模）已知关于x 的方程x a x b x c x d -+-=-+-有且仅有一个实数根，其中互不相同的实数a 、b 、c 、{}1,2,3,4,5,6d ∈，且a b c d -=-，则a 、b 、c 、d 的可能取值共有________种．（请用数字作答）
37．（2021·全国·高三专题练习）在生物学研究过程中，常用高倍显微镜观察生物体细胞．已知某研究小组利用高倍显微镜观察某叶片的组织细胞，获得显微镜下局部的叶片细胞图片，如图所示，为了方便研究，现在利用甲、乙等四种不同的试剂对A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个细胞进行染色，其中相邻的细胞不能用同种试剂染色，且甲试剂不能对C 细胞染色，则共有______种不同的染色方法（用数字作答）．
38．（2021·重庆·酉阳土家族苗族自治县第三中学校模拟预测）对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差2~0,n N n ε⎛⎫
⎪⎝⎭
，为使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小
于0.9545，至少要测量_____次（若()
2
~,X N μσ，则(||2)0.9545)P X μσ-<=）．。