椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结
高中数学椭圆中的最值问题与定点、定值问题
椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理；（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解； （3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围；（4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。
一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a -c （近日点）。
推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 12222>>=+b a by a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -，2201)(||y c x PF ++=，由 1220220=+b y a x 得)1(22020ax b y -=，将其代入 20201)(||y c x PF ++=并化简得a x acPF +=01||。
所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a acPF +=+⋅=max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。
c a a a acPF -=+-⋅=)(||min 1。
当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。
1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 1222=+y x 上两个 不同的点A 、B 关于直线21+=mx y 对称。
（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）。
解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为b x my +-=1。
联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==+bx m y y x 11222，消y 去，得012)121(222=-+-+b x m b x m 。
因为直线b x my +-=1与椭圆 1222=+y x 有两个不同的交点， 所以042222>++-=∆m b 。
与椭圆有关的最值问题
角度类问题典型例题
例题2
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$frac{sqrt{3}}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线$x^2 = 8sqrt{2}y$的焦点，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与C相交于A、B两点，若直线PA与直线PB的斜率 之积为$- frac{5}{16}$，则直线l的方程为____。
距离类问题典型例题
例题1
已知椭圆$frac{x^2}{4} + frac{y^2}{3} = 1$，点P是椭圆上一点，F₁、F₂是椭圆的 两个焦点，则|PF₁|·|PF₂|的最大值为____。
例题2
过椭圆$frac{x^2}{5} + y^2 = 1$的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、 B两点，O为坐标原点，则弦AB的长为____。
通过解析几个与椭圆有关的最值问题的典型例题，我们掌握了这类问情况
通过本次课程的学习，我深刻理解了椭圆的标准方程和性质，掌握了在约束条件下求解最值问题的方法，对于典型例 题的解析也有了更深入的认识。
学习方法与效率
在学习过程中，我采用了课前预习、课后复习的方法，同时结合了大量的练习来巩固所学知识。这种学习方法使我能 够高效地吸收和掌握知识。
利用平面几何知识，如相似、勾股定 理等，求出最值；
03
与椭圆相关的最值问题类 型
面积类问题
1 2
椭圆内接矩形面积的最大值
给定椭圆，求其内接矩形面积的最大值。
椭圆内接三角形面积的最大值
给定椭圆，求其内接三角形面积的最大值。
3
椭圆与直线围成的图形面积
给定椭圆和直线，求它们围成的图形面积。
距离类问题
需要注意定义域的限 制。
利用一元二次函数的 性质，如顶点、对称 轴等，求出最值；
椭圆总结(全)
椭圆总结一、椭圆的定义：（隐含条件）平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
二、 方程1、标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22b a c -=（一个Rt 三角形）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22b a c -=2、 一般方程：)0,0(122>>=+B A By Ax Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
要求能熟练的把一般方程转化成标准方程，并找出a,b,c.三、性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质：1、范围：|x|≤a ，|y|≤b ；[][]22121212,*,0PF a c a c PF PF b a F PF F BF ∈-+⎡⎤∈⎣⎦∈角，2、对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）；3、顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）；4、通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=ab 225、离心率：e=ca==（焦距与长轴长之比）()1,0∈；e 越大越扁，0=e 是圆。
(文理通用)椭圆题型总结(完美全面)
椭圆题型归纳一、知识总结1、椭圆的概念在平面内与两定点21F F 、的 等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 。
集合}2{21a MF MF M P =+=，c F F 221=，其中0>a ，0>c ，且c a ，为常数。
（1）若c a >，则集合P 为 ；（2）若c a =，则集合P 为 ； （3）若c a <，则集合P 为 。
b ab aa x a ≤≤-b x b ≤≤- （1）确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两方面：“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的情况下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断椭圆方程的标准形式。
“定量”是指确定22,a b 的具体数值，常用待定系数法。
（2）当椭圆的焦点位置不明确时（或无法确定）求其标准方程时，可设方程为221(0,0,),x y m n m n m n+=>>≠且可避免讨论和繁琐的计算。
也可以设为221A>0,B>0,A B Ax By +=≠（），这种形式在解题中较为方便。
（3）求动点的轨迹方程时，应首先充分的挖掘图形的几何性质，看能否确定轨迹的类型，而不要起步就代入坐标，以避免陷入繁琐的化简计算中二、例题剖析题型一、椭圆的定义例1、设定点)30(1-，F ，)30(2，F ，动点满足条件，则点的轨迹是A 、椭圆B 、线段C 、不存在D 、椭圆或线段例2、下列说法中正确的是（ ）A.已知12(4,0),(4,0)F F -,到12,F F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；B. 已知12(4,0),(4,0)F F -,到12,F F 两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆；C.到12(4,0),(4,0)F F -两点的距离之和等于点(5,3)M 到12,F F 的距离之和的点的轨迹是椭圆；D.到12(4,0),(4,0)F F -的距离相等的点的轨迹的方程。
第15讲 椭圆中6大最值问题题型总结(解析版)
第15讲 椭圆中6大最值问题题型总结【题型目录】题型一：利用均值不等式求最值题型二：利用焦半径范围求最值题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题题型五：椭圆有关向量积最值问题题型六：声东击西，利用椭圆定义求最值【典型例题】题型一：利用均值不等式求最值【例1】已知，是椭圆的两个焦点，点M 在C 上，则1F 2F 22:12516x y C +=12MF MF ⋅的最大值为（ ）．A ．13B ．12C ．25D ．16【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆定义可得，利用基本不等式可得结果.1210MF MF +=【详解】由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：，5a =12210MF MF a +==（当且仅当时取等号），21212252MF MF MF MF ⎛+⎫∴⋅≤= ⎪⎝⎭12MF MF =的最大值为.12MF MF ∴⋅25故选：C.【例2】（2022·安徽·高二阶段练习）已知椭圆C ：221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C 上的动点，1m PF =，2n PF =，则14m n +的最小值为（ ）A ．98B ．54C D 【答案】A 【解析】【分析】由椭圆的定义可得8m n +=；利用基本不等式，若0a b >， ，则a b +≥，当且仅当a b =时取等号.【详解】根据椭圆的定义可知，1228a PF PF +==，即8m n +=，因为40m ≥>，40n ≥>，所以()141141419558888n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当83m =，163n =时等号成立.故选：A【题型专练】1.（2022·河南·辉县市第一高级中学高二期末（文））设P 是椭圆22194x y +=上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12cos F PF ∠的最小值是（ ）A ．19-B ．1-C ．19D ．12【答案】A 【解析】【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式可求得12cos F PF ∠的最小值.【详解】在椭圆22194x y +=中，3a =，2b =，c ==，由椭圆定义可得1226PF PF a +==，122F F c ==，由余弦定理可得()2222212121212121212122cos 22PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--⋅+-∠==⋅⋅22121262016161111218922PF PF PF PF -=-≥-=-=-⋅⎛+⎫⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当123PF PF ==时，等号成立，因此，12cos F PF ∠的最小值为19-.故选：A.2．（2022·全国·高二课时练习）已知 P ( m ， n ) 是椭圆上的一个动点，则22+=112x y 22m n+的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(]0,1[]1,2(]0,2[)2,+∞3.（2022·全国·高三专题练习）已知点P 在椭圆上，22221(0)y x a b a b +=>>12F F 、为椭圆的两个焦点，求的取值范围．12||||F P P F ⋅【答案】.22,b a ⎡⎤⎣⎦题型二：利用焦半径范围求最值【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C ：（）的右焦点，点22221x y a b +=0a b >>(),0F c (),P x y 是椭圆C 上的一个动点．求证：．a c PF a c-≤≤+【例2】（2021·山西吕梁·一模（理））已知为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一点，则F 22143x y +=PF 的取值范围为_________．【答案】[1,3]【分析】设出点P 的坐标，由两点间的距离公式求出||PF ，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范围.【例3】（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二开学考试（文））已知椭圆，点，22142x y +=()0,1A P为椭圆上一动点，则的最大值为____.PA【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），P 24x 2y P 为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄12F F 、O M 12F PF ∠1F M MP，则丨丨的取值范围为（ ）OMA ．（0B ．（0，2）C ．（l ，2）D 2）【题型专练】1.平面内有一长度为4的线段，动点P 满足，则的取值范围是（ ）AB ||||6PA PB +=||PA A ．B ．C ．D ．[1,5][1,6][2,5][2,6]【答案】A【解析】由题可得动点在以为焦点，长轴长为6的椭圆上，P ,A B ，3,2a c ∴==则可得的最小值为，最大值为，||PA 1a c -=5a c +=的取值范围是.∴||PA [1,5]故选：A.2.已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，且，则P 2214940x y +=A (30)，M ||1AM = 0PM AM ⋅= 的最小值是 ．||PM【答案】15【解析】由题意知 ，所以，解得，所以40,4922==b a 92=c 3=c ()0,3A 为椭圆的右焦点，由题意知点是以为圆心，为半径上的圆上一动点，且所以M A 1AM PM ⊥1222-=-=PA AMPA PM ，因的最小值为，所以PA437=-=-c a 15142min=-=PM3.已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，p 22:198x y C +=C 1F 2F 分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则M 12F PF ∠10MF MP ⋅=OM的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()0,2(0,(0,3-()0,1【答案】D 【解析】【分析】作出辅助线，得到，求出的取值范围，从而求出的取值范围.212OM F N =2F N OM 【详解】如图，直线与直线相交于点N ，1F M 2PF 由于PM 是的平分线，且，即PM ⊥，12F PF ∠10MF MP ⋅=1F N 所以三角形是等腰三角形，1F PN 所以，点M 为中点，1PF PN =1F N 因为O 为的中点，12F F 所以OM 是三角形的中位线，12F F N所以，212OM F N =其中，212112226F N PF PF PF a PF =-=-=-因为P 与的四个顶点不重合，设，则，C (),P m n ()0,3m ∈22198m n +=，193m ==+所以，又，()12,4PF ∈20F N >所以，()20,2F N ∈()210,12OM F N =∈∴的取值范围是.||OM ()0,1故选：D.题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴长为，短轴长为，则椭圆上任意一点108P 到椭圆中心的距离的取值范围是（ ）O A ．B ．C ．D ．[]4,5[]6,8[]6,10[]8,10【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：P 221129x y +=P C 的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（ ）()2211x y +-=M PMA ．B ．C ．D ．4⎤⎦4⎤⎦【例3】（2022·重庆市实验中学高二阶段练习）已知点P 在椭圆22193x y +=上运动，点Q 在圆225(1)8x y -+=上运动，则PQ 的最小值为___________.【解析】【分析】将求PQ最小值的问题，转化为求点P 到圆心()1,0M 距离最小值的问题，结合点P满足椭圆方程，转化为二次函数求最值即可.【详解】不妨设点P 为()00,x y ，[]03,3x ∈-，则2200193x y +=，则220033x y =-设圆225(1)8x y -+=的圆心为M ，则M 坐标为()1,0则PQ的最小值，即为MP的最小值与圆225(1)8x y -+=.又MP ===当[]03,3x ∈-时，MP ≥，当且仅当032x =时取得等号；故PQ ≥=.故答案为.【题型专练】1.（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设B 是椭圆的上顶点，点P 在C 上，则22:14x C y +=PB 的最大值为________.2.已知椭圆的焦点，过点引两条互相垂直的两直线、，若222:1(1)x T y a a+=>(20)F -，(01)M ，1l 2l P 为椭圆上任一点，记点到、的距离分别为、，则的最大值为（ ）P 1l 2l 1d 2d 2212d d +A ．2B ．C ．D ．134134254【答案】D【解析】由题意知 ，所以，解得，所以椭圆的方程为，设4,122==c b 52=a 5=a 1522=+y x ，因为，且，所以又因，所以()00,y x P 21l l ⊥()1,0M (),1202022221-+==+y x PM d d 152020=+y x ，202055y x -=所以因为，所以当时，6241255020020202221+--=+-+-=+y y y y y d d 110≤≤-y 410-=y 的最大值为2221d d +4253.（多选题）已知点是椭圆：上的动点，是圆：P C 2213x y +=Q D ()22114x y ++=上的动点，则（ ）A ．椭圆的短轴长为1B ．椭圆C C C ．圆在椭圆的内部D ．的最小D C PQ 【答案】BC 【解析】【分析】AB.利用椭圆的方程求解判断；C.由椭圆方程和圆的方程联立，利用判别式法判断；D.利用圆心到点的距离判断.【详解】解：因为椭圆方程为：，2213x y +=所以，故A 错误，B 正确；222223,1,2,c a b c a b e a ===-===由，得，()222213114x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩2824210x x ++=因为，2244821960∆=-⨯⨯=-<所以椭圆与圆无公共点，又圆心在椭圆内部，()1,0-所以圆在椭圆内部，故C 正确；设，()(,P x y x ≤≤，==当时，取得最小则的最小，故D 错误，32x =-PD PQ 12故选：BC4．（全国·高二课前预习）点、分别在圆和椭圆上，则、P Q (222x y+=2214x y +=P Q两点间的最大距离是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的的焦点为2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,,F F P是C 上的动点，直线的一个焦点，的周长为y x =12PF F △4+（1）求椭圆的标准方程；（2）求的最小值和最大值．12PF PF +题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题两种思路：法一：设椭圆参数方程，即设椭圆上一点为()θθsin ,cos b a P ，用点到直线的距离公式法二：利用直线与椭圆相切，联立方程，利用判别式0=∆，求出切线，再求两直线间距离【例1】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）椭圆22143x y +=上的点P 到直线l ：30x y ++=的距离的最小值为（ ）ABCD【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的形式，运用三角代换法，结合点到直线距离公式、辅助角公式进行求解即可.【详解】由222cos 143x x y y θθ=⎧⎪+=⇒⎨⎪⎩，设(2cos )P θθ，设点P 到直线l ：30x y ++=的距离d ，所以有d ，其中tan (0,))2πϕϕ=∈，所以当2()2k k Z πθϕπ+=-∈时，d 有最小=，故选：C【例2】（2022·全国·高二专题练习）椭圆上的点到直线22143x y +=290l x =：－的距离的最大值为______.【例3】（2021·浙江·慈溪市浒山中学高二阶段练习）设点在椭圆上，点()11,P x y 22182x y +=在直线上，则的最小值为___________.()22,Q x y 280x y +-=212136x x y y -+-【题型专练】1．（2022·甘肃·兰州一中高二期中（文））已知实数x ，y 满足方程，则22220x y +-=x y +的最大值为________．2．（2022·全国·高二专题练习）椭圆：上的点到直线C 22194x y +=P 43180l x y ++=：的距离的最小值为_____.3.（2022·四川遂宁·高二期末（理））如图，设P 是圆229x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的射影，M 为PD 上的一点，且．23MD PD =(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 方程；(2)求点M 到直线距离的最大值.:290l x y +-=4．（2020·海南·高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为 ，12（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.联立直线方程与椭圆方程，2x y m -=2211612x y +=可得：，()2232448m y y ++=化简可得：，2216123480y my m ++-=题型五：椭圆有关向量积最值问题【例1】（2022·黑龙江·佳木斯一中高二期中）已知P 为椭圆2212524x y +=上任意一点，EF 为圆22:(1)4N x y -+=任意一条直径，则PE PF ⋅的取值范围为（ ）A ．[8，12]B ．[12,20]C ．[12,32]D ．[32,40]【答案】C 【解析】【分析】由题意可得圆心(1,0)N 恰好是椭圆的右焦点，将PE PF ⋅ 化简得24NP-+ ，由椭圆的性质可知[,]NP a c a c ∈-+，从而可求出PE PF ⋅ 的取值范围【详解】由2212524x y +=，得2225,24a b ==，则5,1a b c ===，圆22:(1)4N x y -+=的圆心(1,0)N 恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2，因为()()PE PF NE NP NF NP⋅=-⋅- ()2NE NF NP NE NF NP=⋅-⋅++ 2cos 0NE NF NPπ=⋅-+ 24NP=-+ ，因为P 为椭圆2212524x y +=上任意一点，N 为椭圆的右焦点，所以[,]NP a c a c ∈-+ ，即[4,6]NP ∈ ，所以2[16,36]NP ∈ ，所以24[12,32]NP -+∈ ，所以PE PF ⋅的取值范围为[12,32]，故选：C【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆12,F F 22:142x y E +=的两个焦点，P 是椭圆E 上任一点，则的取值范围是____________12⋅ F P F P【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知点满(),P x y =，点A ，B 关于点对称且，则的最大值为（ ）()0,2D -2AB =PA PB ⋅A ．10B ．9C ．8D ．2【题型专练】1.（2022·山东·高三开学考试）在椭圆上有两个动点，为定点，，则2214x y +=,P Q ()1,0E EP EQ ⊥的最小值为（ ）EP QP →→⋅131223故选：C ．2.（2022·全国·高三专题练习多选题）已知椭圆的左､右焦点为､，点22:132x y C +=1F 2F M为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（ ）(M xA ．椭圆的长轴长为CB ．椭圆的离心率C 13e =C ．△的周长为12MF F 2+D ．的取值范围为12MF MF ⋅[1,2)3．（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，12,F F 22163x y +=,A B分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________.P AB 12PF PF ⋅4.（2015·山西大同市·高二期末（理））设、分别是椭圆的左、右焦点，若Q 是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为A ．与B ．与C ．与D ．与12-22-11-21-【答案】A【详解】试题分析：设，由题得，所以(,)Q x y 12(F F ，12(,),,)QF x y QF x y =-=--，因为在椭圆上，所以所以2212·3QF QF x y =-+(22)x -≤≤(,)Q x y ，所以当有最小值；或222123·31244x x QF QF x =-+-=- (22)x -≤≤0x =2-2x =2-时，有最大值1题型六：声东击西，利用椭圆定义求最值此种类型题目，一般要利用椭圆定义，转化为三点共线问题，利用三角形两边之和大于第三边，或者两边之差小于第三边解决【例1】（2022·辽宁·高二期中）动点M 分别与两定点(5,0)A -，(5,0)B 连线的斜率的乘积为1625-，设点M 的轨迹为曲线C ，已知N ，(3,0)F -，则||||MF MN +的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．12【答案】B 【解析】【分析】求出轨迹方程2212516x y +=，根据椭圆的定义，可得210MF MF +=，当2MF 经过点N 时，MF MN+最短.【详解】设动点M 的坐标为()M x y ， ，则165525y y x x ⋅=-+- 整理后得：2212516x y += ，动点M的轨迹为椭圆，左焦点为()30F -，，右焦点为()230F ， ，210MF MF += ，如下图所示，当2MF 经过点N 时，MF MN+最短，此时210108MF MN MF MN +=-+==故选：B【例2】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则F 22:11615x y C +=P C Q (4,4)的最大值为（ ）||||PQ PF +A B ．13C ．3D ．5【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解.【详解】如图所示：，||||||2||2||813PQ PF PQ a PF a QF ''+=+-≤+==故选：B【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：2212516x y +=内有一点()2,3M ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆C 上的一点，求：(1)1PM PF -的最大值与最小值；(2)1PM PF +的最大值与最小值．【答案】(1)最大，最小值为(2)最大值为10，最小值为10【解析】【分析】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得11||||||||PM PF MF -…然后得到1||||PM PF -的最大值与最小值；(2)利用椭圆的定义表示出1||||PM PF +，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案．(1)由椭圆22:12516x y C +=可知5a =，4b =，3c =，则1(3,0)F -，2(3,0)F ，则11||||||||PM PF MF -…，当且仅当P 、M 、1F 三点共线时成立，所以1||||PM PF -…，所以1||||PM PF -和；(2)210a =，2(3,0)F ，2||MF =，设P 是椭圆上任一点，由12||||210PF PF a +==，22||||||PM PF MF -…，12212210PM PF PF MF PF a MF ∴+-+=-=…，等号仅当22||||||PM PF MF =-时成立，此时P 、M 、2F 共线，由22||||||PM PF MF +…，12212210PM PF PF MF PF a MF ∴+++=+=+…，等号仅当22||||||PM PF MF =+时成立，此时P 、M 、2F 共线，故1||||PM PF +的最大值10与最小值为10．【题型专练】1.（2022·全国·高二专题练习）已知点(4,0)A 和(2,2)B ，M 是椭圆221259x y +=上的动点，则||||MA MB +最大值是（ ）A ．10+B ．10-C ．8+D ．8【答案】A 【解析】【分析】设左焦点为(4,0)F -，A 为椭圆右焦点，利用椭圆定义转化||||10||||MA MB MB MF +=+-，然后利用平面几何的性质得最大值．【详解】解：椭圆221259x y +=，所以A 为椭圆右焦点，设左焦点为(4,0)F -，则由椭圆定义||||210MA MF a +==，于是||||10||||MA MB MB MF +=+-.当M 不在直线BF 与椭圆交点上时，M ､F ､B 三点构成三角形，于是||||||MB MF BF -<，而当M 在直线BF 与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有||||||MB MF BF -=-，在第三象限交点时有||||||MB MF BF -=.显然当M 在直线BF 与椭圆第三象限交点时||||MA MB +有最大值，其最大值为||||10||||10||1010MA MB MB MF BF +=+-=+==+.故选：A.2.（2022·全国·高二专题练习）已知F 为椭圆221259x y +=的左焦点，(2,2)B 是其内一点，M为椭圆上的动点，则MF MB+的最大值为__，最小值为__.【答案】 10+10-【解析】【分析】设A 为椭圆右焦点，设左焦点为(4,0)F -，B 在椭圆内，由椭圆定义210MA MF a +==，结合当M 在直线AB 与椭圆交点上时和当M 在直线BA与椭圆交点，分别求得其最大值与最小值，即可求解.【详解】设A 为椭圆右焦点，设左焦点为(4,0)F -，B 在椭圆内，则由椭圆定义210MA MF a +==，当M 在直线AB 与椭圆交点上时，M 在x 轴的上方时，10MF MB AB+=-，取得最小值，最小值为：1010-=-；当M 在直线BA 与椭圆交点，在x 轴的下方时，MF MB+有最大值，其最大值为1010MF MB MF MA AB AB +≤++=+=+.故答案为：10+10-3.（2022·四川·成都七中高二期末（文））已知点()4,0A ，()2,2B 是椭圆221259x y +=内的两个点，M 是椭圆上的动点，则MA MB+的最大值为______．【答案】10+##10+【解析】【分析】结合椭圆的定义求得正确答案.【详解】依题意，椭圆方程为221259x y +=，所以5,3,4a b c ===，所以()4,0A 是椭圆的右焦点，设左焦点为()4,0C -，根据椭圆的定义可知210MA MB a MC MB MB MC+=-+=+-，=，所以MA MB+的最大值为10+故答案为：10+4．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点22:12521x y C +=1F 2F ()2,3P Q在椭圆上，则可以是（ ）2QF QP+A ．B ．C ．D ．5101520【答案】ABC 【解析】【分析】作出图形，设直线交椭圆于点、，利用椭圆定义可得1PF C M N 2110QF QP QP QF +=+-，利用点分别与点、重合时取得最小值和最大值可求得Q M N 2QF QP+的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】在椭圆中，，，，则、，如下图所示：C 5a =b =2c =()12,0F -()22,0F设直线交椭圆于点、，1PF C M N 5=由椭圆定义可得，则，故，1210QF QF +=2110QF QF =-2110QF QP QP QF +=+-当点与点重合时，此时取得最小值，即，Q M 2QF QP +()21min 105QF QP PF +=-=当点与点重合时，此时取得最大值，即.Q N 2QF QP+()21max 1015QF QP PF +=+=因此，的取值范围是.2QF QP+[]5,15故选：ABC.。
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法：1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组；4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在)121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+=u u u r u u u r②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题”(如：AQ QB λ=⇔u u u r u u u r数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想：1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法：(1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法：(1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题．一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的． (1)直线恒过定点问题1．已知点00()P x y ，是椭圆E ：2212x y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点(10)M -，关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标． 解：直线0l 的方程为()()00002x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设(10)M -，关于直线0l 的对称点N 的坐标为()N m n ，，则0000001212022x n m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨⎪-⋅--=⎪⎩，，解得()3200020432000020023444244824x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩ 所以直线PN 的斜率为()432000003200004288234n y x x x x k m x y x x -++--==---+， 从而直线PN 的方程为：()()432000000320004288234x x x x y y x x y x x ++---=---+即()32000432000023414288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(10)G ，．2．已知椭圆两焦点12F F ，在y 轴上，短轴长为22，离心率为2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点． (1)求P 点坐标；(2)求证直线AB 的斜率为定值；解：(1)设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2222a b c ===，，， 所以椭圆的方程为22142y x +=， 则12(02)(02)F F -，，，，设()()000000P x y x y >>，， 则()()10020022PF x y PF x y =--=---u u u r u u u u r，，，，.所以()22120021PF PF x y ⋅=--=u u u r u u u r ，因为点()00P x y ，在曲线上，则2200124x y +=，所以220042y x -=，从而()22004212y y ---=，得0y =，则点P的坐标为(1．(2)由(1)知1PF //x 轴，直线PA PB ，斜率互为相反数，设PB 斜率为0)k k >(，则PB的直线方程为：(1)y k x -，由22(1)124y k x y x ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222))40k x k k x k ++-+--=，设()B B B x y ，，则1B x -同理可得A xA Bx x -， ()()28112A B A B k y y k x k x k-=----=+，所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -==-3．已知动直线(1)y k x =+与椭圆C ：221553y x +=相交于A B ，两点，已知点()703M -，， 求证：MA MB ⋅u u u r u u u r为定值．解：将(1)y k x =+代入221553y x +=中得()2222136350k x k x k +++-=， 所以()()4222364313548200k k k k ∆=-+-=+>，221212226353131k k x x x x k k -+=-=++，所以()()()()1122121277773333MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++u u u r u u u r，， ()()()()21212771133x x k x x =+++++()()()2221212749139k x x k x x k =++++++()()()22222223576491393131k k k k k k k -=+++-++++422231654949931k k k k ---=++=+．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2213x y +=．如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A B ，两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3)D m -，． (1)求22m k +的最小值；(2)若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点． 解：(1)由题意：设直线l ：(0)y kc n n =+≠，由2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()222136330k x knx n +++-=， ()()()222222364133112310k n k n k n ∆=-+⨯-=+->，设()()1122A x y B x y ，，，，AB 的中点()00E x y ，， 则由韦达定理得：0122613t nx x k -+=+，即00022233131313kn kn n x y kx n k n k k k--==+=⨯+=+++，， 所以中点E 的坐标为()2231313km n k k -++，，因为O E D ，，三点在同一直线上，所以O OE D k k =，即133m k -=-，解得1m k =，所以222212m k k k+=+…，当且仅当1k =时取等号，即22m k +的最小值为2． (2)证明：由题意知：0n >，因为直线OD 的方程为3m y x =-，所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+， 又因为213E D n y y m k==+，，且2OG OD OE =⋅，所以222313m n m m k =⋅++， 又由(1)知：1m k=，，所以解得k n =，所以直线l 的方程为y kx k =+，即(1)y k x =+， 令1x =-得，0y =，与实数k 无关．椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函敞的值域来解． (1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围．5．已知直线l 与y 轴交于点(0)P m ，，与椭圆C ：2221x y +=交于相异两点A B，，且3AP PB =u u u r u u u r ， 求m 的取值范围．解：(1)当直线斜率不存在时：12m =±；(2)当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为()()1122A x y B x y ，，，， 所以2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，，得()2222210k x knx m +++-= 所以()()()22222(2)4214220()kn k m k m ∆=-+-=-+>*21212222122km m x x x x k k --+==++， 1233AP PB x x =∴-=u u u r u u u r Q ，，所以122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩，，消去2x 得()21212340x x x x ++=， 所以()22222134022km m k k --+=++， 整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立；214m ≠时，2222241m k m -=-， 所以22222041m k m -=-…，所以112m -<-„或112m <„， 把2222241m k m -=-代入(*)得112m -<<-或112m <<， 所以112m -<<-或112m <<，综上m 的取值范围为112m -<-„或112m <„．(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围． 6．已知点(40)(10)M N ，，，，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=u u u u r u u u r u u u r． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A B ，两点，若181275NA NB -⋅-u u u r u u u r 剟，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点()P x y ，，则(4)(30)(1)MP x y MN PN x y =-=-=--u u u r u u u u r u u u r，，，，，．由已知得3(4)x --=223412x y +=，得22143y x +=．所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为22143y x +=． (2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A B ，两点的坐标分别为()()1122A x y B x y ，，，． 由22(1)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=，因为N 在椭圆内，所以0∆>．所以2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 因为()()()()()212121211111NA NB x x y y k x x⋅=--+=+--u u u r u u u r()()2121211k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦()()22222229141283413434k k k k k k k -+--++=+=++，所以()229118127534k k -+--+剟，解得213k 剟．(3)利用基本不等式求参数的取值范围7．已知点Q 为椭圆E ：221182y x +=上的一动点，点A 的坐标为(31)，，求AP AQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围． 解：(13)AP =u u u r，，设()(31)Q x y AQ x y =--u u u r ，，，， (3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-u u u r u u u r因为221182y x +=，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +⋅…，所以18618xy -剟．而222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[036]，， 3x y +的取值范围是[66]-，， 所以36AP AQ x y ⋅=+-u u u r u u u r取值范围是[120]-，．8．已知椭圆的一个顶点为(01)A -，，焦点在x轴上．若右焦点到直线0x y -+=的距离为3． (1)求椭圆的方程．(2)设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M N ，．当AM AN =时，求m 的取值范围． 解：(1)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)0F，3=，解得23a =，故所求椭圆的方程为2213x y +=．(2)设()()(),,,p p M M N N P x y M x y N x y ，，，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()()222316310k x mkx m +++-= 因为直线与椭圆相交，所以()()22222(6)43131031mk k m m k ∆=-+⨯->⇒<+，① 所以23231M NP x x mk x k +==-+，从而231p p m y kx m k =+=+， 所以21313P AP P y m k k x mk+++==-，又AM AN =，所以AP MN ⊥, 则23113m k mk k++-=-，即2231m k =+，②把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得22103m k -=>，解得12m >．综上求得m 的取值范围是122m <<．9．如图所示，已知圆C ：22(1)8x y ++=，定点(10)A ，，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足20AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r，，点N 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)若过定点(02)F ，的直线交曲线E 于不同的两点G H ，(点G 在点F H ，之间)，且满足FG FH λ=u u u r u u u r，求λ的取值范围．解：(1)因为20AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r，． 所以NP 为AM 的垂直平分线，所以NA NM =， 又因为22CN NM +=，所以222CN AN +=>． 所以动点N 的轨迹是以点(10)(10)C A -，，，为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为222a =，焦距21c =． 所以2211a c b ===，，． 所以曲线E 的方程为2212x y +=(2)当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+．代入椭圆方程2212x y +=， 得()2214302k x kx +++=，由0∆>得232k >，设()()1122G x y H x y ，，，，则121222431122k x x x x k k -+==++，， 又因为FG FH λ=u u u r u u u r，所以()()112222x y x y λ-=-，，，所以12x x λ=，所以2122122(1)x x x x x x λλ+=+=，， 所以()22121221x x x x x λλ+==+，所以2222431122(1)k k k λλ-⎛⎫ ⎪+ ⎪+⎝⎭=+，整理得22(1)161312k λλ+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为232k >，所以2161643332k <<+，所以116423λλ<++<，解得133λ<<．又因为01λ<<，所以113λ<<．又当直线GH 斜率不存在，方程为11033x FG FH λ===u u u r u u u r ，，， 所以113λ<…，即所求λ的取值范围是)113⎡⎢⎣，． 10．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点(20)M ，的直线与椭圆C 相交于两点A B ，，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点)，当||PA PB -<u u u r u u u r时，求实数t 取值范围．解：(1)由题意知c e a ==，所以22222212c a b e a a -===， 即222a b =，所以2221a b ==，． 故椭圆C 的方程为2212x y +=．(2)由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：()2y k x =-，()()1122()x y B x A y P x y ，，，，，， 由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222128820k x k x k +-+-=， ()()42221644218202k k k k ∆=-+-><，，221212228821212k k x x x x k k -+=⋅=++，． 因为OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r ，所以()()212121228()12x x k x x y y t x y x t t k +++===+，，，，()()1212214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+， 因为点P 在椭圆上，所以()()()2222222228(4)221212k k tk t k-+=++，所以()2221612k t k =+．因为||PA PB -<u u u r u u u r12x -()()22121220149k x x x x ⎡⎤++-⋅<⎣⎦，所以()()4222226482201491212k k k k k ⎡⎤-⎢⎥+-⋅<⎢⎥++⎣⎦， 所以()()224114130k k -+>，所以214k >，所以21142k <<，因为()2221612k t k=+，所以222216881212k t k k==-++，所以2t -<<2t <<，所以实数t取值范围为()22-U ，．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： (1)利用基本不等式求最值，11．已知椭圆两焦点12F F ，在y轴上，短轴长为，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点，求PAB ∆面积的最大值．解：设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2a b c ===，故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：2y x m =+．由222124y x m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得2242240x mx m ++-=，由()22(22)1640m m ∆=-->，得2222m -<<，P 到AB 的距离为3d =， 则()2111||432223PAB S AB d m ∆=⋅=-⋅⋅， ()()2222211882882m m m m -+=-+=„．当且仅当2(2222)m =±∈-，取等号，所以三角形PAB 面积的最大值为2． (2)利用函数求最值，12．如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且2DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点(0)T t ，作圆221x y +=的切线l 交曲线C 于A B ，两点，求AOB ∆面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解：(1)设点M 的坐标为()x y ，，点P 的坐标为00()x y ，，则002x x y y ==，，所以002yx x y ==，，① 因为00()P x y ，在圆221x y +=上，所以22001x y +=② 将①代入②，得点M 的轨方程C 的方程2214y x +=． (2)由题意知，||1t …．当1t =时，切线l 的方程为1y =，点A B ，的坐标分别为()()3311-，，，，此时3AB =；当1t =-时，同理可得3AB =；当||1t >时，设切线l 的方程为y kx m k =+∈R ，， 由2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2224240k x ktx t +++-=③设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则由③得： 21212222444kt t x x x x k k -+=-=++，．又由l 与圆221x y +=1=，即221t k =+． 所以||AB ==因为||23||||ABt t ==+，且当t = 2AB =，所以AB 的最大值为2，依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆221x y +=的半径，所以AOB ∆面积1112S AB =⨯„， 当且仅当t =AOB∆面积S 的最大值为1，相应的T的坐标为(0-，或(0．13．已知椭圆G ：2214x y +=．过点(0)m ，作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A B ，两点．将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．解：由题意知，||1m …．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A B ，的坐标分别为((11，，，此时AB= 当1m =-时，同理可得AB =当||1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-． 由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222148440k x k mx k m +-+-=． 设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，， 又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k =+． 所以AB ===由于当1m =±时，AB ，23||||AB m m==+， 当且当m =时，2AB =．所以AB 的最大值为2．【练习题】1．已知A B C ，，是椭圆m ：22221(0)y x a b a b+=>>上的三点，其中点A 的坐标为(230)，，BC 过椭圆m 的中心，且0||2||AC BC BC AC ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，． (1)求椭圆m 的方程；(2)过点(0 )M t ，的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P Q ，，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =u u u r u u u r ，求实数t 的取值范围．2．已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(10)N ，，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP上，且满足20NP NQ GQ NP =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，． (1)若104m n r =-==，，，求点G 的轨迹C 的方程；(2)若动圆M 和(1)中所求轨迹C 相交于不同两点A B ，，是否存在一组正实数m n r ，，，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．3．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线：y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点(A B ，不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．4．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点1(2)M ，，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l交椭圆于A B ，两个不同点．(1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围；(3)求证直线MA MB ，与x 轴始终围成一个等腰三角形．。
椭圆中有关的取值范围问题大全(附详解)新高考
椭圆中有关的取值范围问题【目标导航】求解最值，可直接求导. 但是解析几何中的最值，直接求导，暴力求解最值的较少，更多的是化简函数表达式，根据结构采用基本不等式(无法取等的时候就求导来解决)来求解最终的最值(或者值域)，必然要有定义域，所以寻找函数的定义域是非常重要的，而解析几何中直线和曲线联立(曲直联立)以后的关于x(或者y)的一元二次方程有解，判别式就是很重要的一个点，也就是定义域的一个重要来源，有些题目甚至是唯一来源．与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。
线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。
与向量有关的最值问题关键就是表示出点坐标，通过数量积转化为函数问题，然后运用基本不等式或者求导研究最值。
与面积有关的最值问题通常建立起面积的目标函数，可以通过公式B acC ab sh s sin 21sin 2121===求解。
然后通过基本不等式或者求导研究函数的最值问题。
【例题导读】例1、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线P A 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .①当直线P A 的斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程； ②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值．例3、如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，右准线方程为x ＝4，过点P(0，4)作关于y 轴对称的两条直线l 1，l 2，且l 1与椭圆交于不同两点A ，B ，l 2与椭圆交于不同两点D ，C.(1) 求椭圆M 的方程；(2) 证明：直线AC 与直线BD 交于点Q(0，1)；(3) 求线段AC 长的取值范围．例4、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．。
椭圆中的参数范围及最值问题(教师版)
椭圆中的参数范围及最值1.点N x 0,y 0 是曲线Γ:ax 2+by 2=1上任一点，已知曲线Γ在点N x 0,y 0处的切线方程为ax 0x +by 0y =1．如图，点P 是椭圆C :x 22+y 2=1上的动点，过点P 作椭圆C 的切线l 交圆O :x 2+y 2=4于点A 、B ，过A 、B 作圆O 的切线交于点M ．(1)求点M 的轨迹方程；(2)求△OPM 面积的最大值．【答案】(1)x 28+y 216=1;(2)22【解析】(1)设P m ,n ，则AB :mx2+ny =1，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则MB :x 1x +y 1y =4，MA :x 2x +y 2y =4，设M s ,t ，则x 1s +y 1t =4,x 2s +y 2t =4，故AB :sx +ty =4即AB :s 4x +t4y =1，所以s 4=m2t 4=n即s 2=m t 4=n所以s 28+t 216=1即M 的轨迹方程为：x 28+y 216=1.(2)由(1)可得M 2m ,4n ，故直线OM :2nx -my =0.P 到OM 的距离为2nm -mn4n 2+m 2=nm4n 2+m 2，故△OPM 面积S =12×nm 4n 2+m 2×2×4n 2+m 2=nm ，因为m 22+n 2=1，故1≥2m 2n 22即mn≤22，当且仅当m =±1,n =±22时等号成立，故△OPM 面积的最大值为22.2.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0的离心率为223，且经过点6,33 ．(1)求C 的方程；(2)动直线l 与圆O :x 2+y 2=1相切，与C 交于M ，N 两点，求O 到线段MN 的中垂线的最大距离．【答案】(1)x 29+y 2=1;(2)43【解析】(1)由题知：e =c a =2236a 2+13b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a =3b =1c =22.所以C 的方程为x 29+y 2=1．(2)当l 的斜率不存在时，线段MN 的中垂线为x 轴，此时O 到中垂线的距离为0．当l 的斜率存在时，设l :y =kx +m (k ≠0)，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ．因为l 与圆x 2+y 2=1相切，则O 到l 的距离为|m |1+k2=1，所以m 2=k 2+1．联立方程x 29+y 2=1y =kx +m，得1+9k 2 x 2+18kmx +9m 2-9=0，则x 1+x 2=-18km 1+9k 2，可得MN 的中点为-9km 1+9k 2,m1+9k 2．则MN 的中垂线方程为y =-1k x +9km 1+9k 2 +m 1+9k 2，即x +ky +8km1+9k 2=0．因此O 到中垂线的距离为d =8km1+9k 21+k 2=|8k |1+9k 2=89|k |+1|k |≤43(当且仅当k =13，m =103时等号成立)．综上所述，O 到线段MN 的中垂线的最大距离为43．3.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到直线x =2的距离和点P 到点C 1,0 的距离的比为2，记点P 的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)若不经过点C 的直线l 与Γ交于M ，N 两点，且∠OCM =∠xCN ，求△CMN 面积的最大值.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)24【解析】(1)设P x ,y ，P 到直线x =2的距离记为d ，则dPC=2，依题意，2-x =2x -1 2+y 2，化简得x 2+2y 2=2，即x 22+y 2=1.(2)设直线l ：x =my +t ，t ≠1，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，由x =my +tx 22+y 2=1得：m 2+2 y 2+2mty +t 2-2=0，则Δ=(2mt )2-4m 2+2 t 2-2 =8m 2+2-t 2 >0，可得m 2+2>t 2，所以y 1+y 2=-2mt m 2+2，y 1y 2=t 2-2m 2+2.法一：由∠MCO =∠xCN ，则k CM +k CN =y 1x 1-1+y 2x 2-1=0，所以x 2y 1+x 1y 2=y 1+y 2，即2my 1y 2+t -1 y 1+y 2 =0，所以2m t 2-2 m 2+2+t -1-2mt m 2+2=0，可得t =2，所以直线l 经过定点T 2,0 .因为△CMN 面积S =12CT y 1-y 2 =12y 1-y 2 ，所以S =2m 2+2-t 2m 2+2=2m 2-2m 2+2=2-4m 2+2 2+1m 2+2，当1m 2+2=18，即m =±6时，S 有最大值为24.法二：作M 点关于x 轴的对称点M x 1,-y 1 ，因为∠OCM =∠xCN ，则∠OCM =∠xCN ，故∠OCM +OCN =180°，所以M ，C ，N 三点共线，所以CM⎳CN ，因为CM =x 1-1,-y 1 ，CN =x 2-1,y 2 ，所以x 1-1 y 2--y 1 x 2-1 =0，即x 2y 1+x 1y 2=y 1+y 2，所以2my 1y 2+t -1 y 1+y 2 =0，则2m t 2-2 m 2+2+t -1(-2mt )m 2+2=0，可得t =2，所以直线l 经过定点T 2,0 ，因为△CMN 面积S =12CT y 1-y 2 =12y 1-y 2 ，所以S =2m 2+2-t 2m 2+2=2m 2-2m 2+2，设m 2-2=u ，则m 2=u 2+2，则S =2u u 2+4=21u +4u≤24，当u =2，即m =±6时，S 有最大值为24.4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为2，点P 1,32 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，且直线PM ，PN 的倾斜角互补，求△OMN 面积的最大值.【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)3【解析】(1)设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，因为焦距为2，P 1,32所以2c =2且PF 1⊥x 轴，故b 2a =32又由于a 2=b 2+c 2=b 2+1，所以解得a =2，b =3故椭圆C 方程为x 24+y 23=1；(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为y =kx +m ，由于直线PM ，PN 的倾斜角互补，故k PM +k PN =0联立方程y =kx +m x 24+y 23=1，整理得3+4k 2 x 2+8kmx +4m 2-12=0，故Δ=8km 2-43+4k 2 4m 2-12 =483+4k 2-m 2 >0，即m 2<3+4k 2且x 1+x 2=-8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2-123+4k 2k PM +k PN =y 1-32x 1-1+y 2-32x 2-1=2k +k +m -32 1x 1-1+1x 2-1=2k +k +m -32 x 1+x 2-2x 1x 2-x 1+x 2 +1=2k -k +m -32 8k 2+8km +64m 2+4k 2+8km -9 =2k -8k 2+8km +622m +2k +3 =12k -622m +2k +3=0，所以k =12，故MN 的方程为y =12x +m ，且0≤m 2<3+4k 2=4所以弦长MN =1+12 2x 1-x 2 =52(x 1+x 2)2-4x 1x 2=52×34-m 2原点到直线MN ：x -2y +2m =0的距离为d =2m5，所以S △OMN =12MN d =32m 24-m 2 =32-m 2-2 2+4≤3 故当且仅当m =±2时，△OMN 的面积的最大值为 3.5.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且经过点A (-2,0)，B(2,0)，过点M -23,0 作直线l 与椭圆交于点P ，Q (点P ，Q 异于点A ，B )，连接直线AQ ，PB 交于点N .(1)求椭圆的方程；(2)当点P 位于第二象限时，求tan ∠PNQ 的取值范围.【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)0,13.【解析】(1)由题意知，a =2，又a 2=b 2+c 2，e =c a =32，所以c =3，b =1，故椭圆的标准方程为x 24+y 2=1;(2)设直线PB 倾斜角为α，斜率为k 1，直线AQ 倾斜角为β，斜率为k 2，直线PQ 的方程为：x =my -23，则x 24+y 2=1x =my -32，消去x ，得(m 2+4)y 2-43my -329=0，Δ=169+4×329(m 2+4)>0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，y 1+y 2=4m 3(m 2+4)，y 1y 2=-329(m 2+4)，有my 1y 2=-83(y 1+y 2)，所以k 2k 1=y 2x 2+2y 1x 1-2=y 2(x 1-2)y 1(x 2+2)=y 2my 1-23-2 y 1my 2-23+2 =my 1y 2-83y 2my 1y 2+43y 1=-163y 2-83y 1-83y 2-43y 1=2，即k 2=2k 1，则tan ∠PNQ =tan (α-β)=tan α-tan β1+tan α⋅tan β=k 1-k 21+k 1k 2=k 1-2k 11+2k 12=-k 11+2k 12=-11k 1+2k 1，因为点P 位于第二象限，则k 1∈-12,0 ，所以1k 1+2k 1∈(-∞,-3)，故tan ∠PNQ =-11k 1+2k 1∈0,13 .6.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为63，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作不平行于坐标轴的直线交Γ于A ，B 两点，且△ABF 1的周长为4 6.(1)求Γ的方程；(2)若AM ⊥x 轴于点M ，BN ⊥x 轴于点N ，直线AN 与BM 交于点C ，求△ABC 面积的最大值．【答案】(1)x 26+y 22=1;(2)34【解析】(1)由椭圆定义可知△ABF 1的周长为4a =46，即a =6，因为离心率e =c a =63，所以c =2，又因为b 2=a 2-c 2，所以b 2=2，故Γ的方程为x 26+y 22=1．(2)依题意，设直线AB 方程为x =my +2(m ≠0)．联立x =my +2x 26+y 22=1，得m 2+3 y 2+4my -2=0，易知Δ=16m 2+8m 2+3 =24m 2+1 >0设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-4m m 2+3,y 1⋅y 2=-2m 2+3．因为AM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，所以M x 1,0 ,N x 2,0 ．所以直线AN ：y =y 1x 1-x 2x -x 2 ①，直线BM ：y =y 2x 2-x 1x -x 1 ②，联立①②解得x C =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2=my 1+2 y 2+my 2+2 y 1y 1+y 2=2+2my 1y 2y 1+y 2=3．因为S △ABC =12|BN |⋅x C -x 1 =12y 2 ⋅3-x 1 =12y 2-my 1y 2 ，又my 1y 2y 1+y 2=12，则S △ABC =12y 1-y 1+y 22=14y 1-y 2 =14y 1-y 2 2=62m 2+1m 2+3，设m 2+1=t >1，则S △ABC =62⋅t t 2+2=62⋅1t +2t≤34，当且仅当t =2t，即m =±1时，等号成立，故△ABC 面积的最大值为34．7.已知点F 为椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x4+y 2=1与椭圆E 有且仅有一个公共点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x4+y 2=1与y 轴交于点P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若PM 2⋅PF 2=λPA ⋅PB ，求实数λ的取值范围.【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)5,254【解析】(1)由题意，得a =2c ，b =3c ，则椭圆E 为x 24c 2+y 23c 2=1，由x 24+y 23=c 2x 4+y 2=1 ，得x 2-2x +4-3c 2=0，因为直线x4+y 2=1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，所以Δ=4-44-3c 3 =0，解得c 2=1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)知：M 1,32 ，P 0,2 ，所以PM 2=54，PF 2=5，当直线l 与x 轴垂直时，PA ⋅PB =2+3 2-3 =1，由PM 2⋅PF 2=λPA ⋅PB ，得λ=254.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线方程为y =kx +2，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y =kx +23x 2+4y 2-12=0，得3+4k 2 x 2+16kx +4=0，则x 1x 2=43+4k2，Δ=484k 2-1 >0，即k 2>14.所以，PA ⋅PB =1+k 243+4k 2=254λ，所以λ=2541-14+4k 2，因为k 2>14，所以，5<λ<254.综上，实数λ的取值范围为5,254 .8.定义：若点(x 0,y 0)，(x 0,y 0)在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，并且满足x 0x 0a 2+y 0y 0 b2=0，则称这两点是关于M 的一对共轭点，或称点(x 0,y 0)关于M 的一个共轭点为(x 0 ,y 0).已知点A (3,1)在椭圆M :x 212+y 24=1，O 坐标原点.(1)求点A 关于M 的所有共轭点的坐标；(2)设点P ，Q 在M 上，且PQ ∥OA，求点A 关于M 的所有共轭点和点P ，Q 所围成封闭图形面积的最大值.【答案】(1)A 13,-3 或A 2-3,3 ;(2)83【解析】(1)设点A (3,1)在椭圆M :x 212+y 24=1的共轭点为(x ,y )，则3x 12+y 4=0，且x 212+y 24=1，解得x =3y =-3 或x =-3y =3 ，所以点A 关于M 的所有共轭点的坐标为A 13,-3 或A 2-3,3(2)因为PQ ∥OA ，k OA =13，所以设直线PQ 的方程为y =13x +m ，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，，将y =13x +m 代入x 212+y 24=1中，化简得4x 2+6mx +9m 2-36=0，由Δ=36m 2-16(9m 2-36)>0，得0≤m 2<163，x 1+x 2=-3m 2,x 1x 2=9m 2-364，所以PQ =1+19(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1039m 24-9m 2+36=10216-3m 2，设A 1，A 2到直线PQ 的距离分别为d 1,d 2，因为PQ ∥OA ，所以d 1+d 2等于A 1，A 2到直线OA :y =13x 的距离和，所以d 1+d 2=3+33 1+9+-3-33 1+9=8310，所以S =S △A 1PQ +S △A 2PQ =12d 1+d 2 PQ=12×10216-3m 2×8310=23×16-3m 20≤m 2<163 ，令t =m 2，则y =16-3t 在0≤t <163上单调递减，所以当t =0时，即m =0时，y 取最大值16，所以当m =0时，S 的最大值为23×16=839.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F 2,0 ，离心率为63，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点P 3,m m >0 ，过F 作PF 的垂线交椭圆于A ，B 两点．求△OAB 面积的最大值．【答案】(1)x 26+y 22=1；(2) 3.【解析】(1)由右焦点为F 2,0 ，可得c =2，又离心率为63，∴a =6，b 2=a 2-c 2=6-4=2，∴椭圆C 的标准方程为x 26+y 22=1.(2)由题可知k PF =m3-2=m ，∴k AB =-1m，故直线AB 为y =-1mx -2 ，即x =-my +2，由x 26+y 22=1x =-my +2，可得3+m 2 y 2-4my -2=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=4m 3+m 2,y 1y 2=-23+m 2，∴y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=4m 3+m 2 2-4⋅-23+m 2=261+m 23+m 2，∴△OAB 面积为S =12×OF ×y 1-y 2 =261+m 23+m 2，令t =1+m 2>1，∴S =26t 2+t 2=262t+t ≤2622=3，当且仅当2t =t ，即t =2,m =1时取等号，∴△OAB 面积的最大值为 3.10.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，点A -1,32 在椭圆C 上，点P 是y 轴正半轴上的一点，过椭圆C 的右焦点F 和点P 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求PM +PNPF的取值范围.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)85,4 .【解析】(1)由题意知c a =121a 2+94b 2=1c 2+b 2=a 2，∴a =2b =3 ，椭圆C 标准方程为x 24+y 23=1.(2)设直线l 的方程为y =k (x -1)，其中k <0，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)y =k (x -1)3x 2+4y 2=12⇒3x 2+4k 2(x 2-2x +1)=12∴(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0，Δ=64k 4-4(3+4k 2)(4k 2-12)=144(k 2+1)>0，x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1⋅x 2=4k 2-123+4k 2，∴PM =1+k 2x 1 ，PN =1+k 2⋅x 2 ，PF =1+k 2∴PM +PNPF=x 1 +x 2若k ≤-3，则x 1≥0，x 2>0，∴x 1 +x 2 =x 1+x 2=8k 23+4k 2=83k 2+4∈85,4若-3<k <0，则x 1<0,x 2>0，∴x 1 +x 2 =x 2-x 1=12k 2+13+4k 2令k 2+1=m ，∴1<m <2，∴x 2-x 1=12m 3+4(m 2-1)=12m 4m 2-1=124m -1m，因为y =124m -1m 在(1,2)单调递减，所以x 2-x 1=124m -1m∈85,4 综上：PM +PN PF 的取值范围为85,4 .11.已知O 坐标原点，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的上顶点为A ，右顶点为B ，△AOB 的面积为22，原点O 到直线AB 的距离为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若DE ⋅MN=0，求△FPQ 面积的最大值．【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)19【解析】(1)解：由题意，S △AOB =12ab =22①∵A (0,b )，B (a ,0)，则直线AB 的方程为：xa +y b=1，即为bx +ay -ab =0，∵原点到直线AB 的距离为63，∴ab a 2+b2=63，∴3a 2b 2=2(a 2+b 2)，②∵b 2+c 2=a 2，③由①②③得：a 2=2，b 2=1，所以椭圆C 的标准方程为：x 22+y 2=1；(2)由(1)可知F -1,0 ，因为DE ⋅MN=0，所以DE ⊥MN ，若直线DE 或MN 中有一条直线斜率不存在，那么P 、Q 中一点与F 重合，故斜率一定存在，设DE ：y =k x +1 ，则MN 的斜率为-1k，由x 22+y 2=1y =k (x +1)可得：(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2-2=0，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则x 1+x 2=-4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2-21+2k 2，所以x P =x 1+x 22=-2k 21+2k 2y P =k x P +1 =k -2k 21+2k 2+1 =k 1+2k 2，即P -2k 21+2k 2,k1+2k 2，同理将-1k 代入得Q -22+k 2,-k2+k 2，所以PF =-1+2k 21+2k 2 2+k 1+2k 2 2=1+k 21+2k 2，QF =-1--22+k 2 2+-k2+k 2 2=k 1+k 22+k 2，所以S △QFP =12PF ⋅QF =12×1+k 21+2k 2×k 1+k 22+k 2=12×k 1+k 22k 4+5k 2+2=12×k 21+2k 2+k 4 2k 4+5k 2+2=12×k 41k 2+k 2+2 k 22k 2+5+2k2 =12×1k 2+k 2+22k 2+5+2k 2令t =1k 2+k 2+2，则t ≥2，当且仅当1k 2=k 2即k =±1时取等号，所以1k 2+k 2=t 2-2，所以S △QFP =12×t 2t 2+1=12×12t +1t，因为函数y =2x +1x 在2,+∞ 上单调递增，所以当x =2时y min =92，所以S △QFP max =19，即△FPQ 面积的最大值为19；12.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 经过点M (0,3)，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l :y =kx -1与椭圆C 相交于A 、B 两点，求MA ⋅MB 的最大值.【答案】(1)x 218+y 29=1；(2)32.【解析】(1)由已知得9b 2=1,a 2-b 2a 2=12, 解得a =32,b =3，因此椭圆C 的方程为x 218+y 29=1；(2)由x 218+y 29=1,y =kx -1,整理得2k 2+1 x 2-4kx -16=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k 2k 2+1,x 1x 2=-162k 2+1，因为MA ⋅MB=x 1x 2+(y 1-3)(y 2-3)=x 1x 2+kx 1-4 kx 2-4=k 2+1 x 1x 2-4k x 1+x 2 +16=-16k 2+1 2k 2+1-4k ×4k 2k 2+1+16=0，所以MA ⊥MB ，三角形MAB 为直角三角形，设d 为点M 到直线l 的距离，故MAMB =AB ⋅d ，又因为d =41+k 2，AB =1+k 2 x 1+x 2 2-4x 1x 2 =1+k 2 4k 2k 2+1 2-4×-162k 2+1=41+k 2 9k 2+4 2k 2+1，所以MA MB =169k 2+42k 2+1，设2k 2+1=t ，则MA MB =16818-121t -92 2，由于1t∈0,1 ，所以MA MB ≤32，当1t=1，即k =0时，等号成立.因此，MA MB 的最大值为32.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知F (1,0)，动点P 到直线x =6的距离等于2PF +2.动点P 的轨迹记为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知A (2,0)，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记△AOB 和△AOD 的面积分别为S 1和S 2，求S 1+S 2的最大值.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)最大值为3.【解析】(1)设点P (x ,y )，当x ≥6时，P 到直线x =6的距离显然小于PF ，故不满足题意；故|x -6|=2(x -1)2+y 2+2(x <6)，即4-x =2(x -1)2+y 2，整理得3x 2+4y 2=12，即x 24+y 23=1，故曲线C 的方程为x 24+y 23=1；(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为x =my +1，B x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，联立x =my +1x 24+y 23=1，整理得3m 2+4 y 2+6my -9=0，Δ>0显然成立，所以y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，所以y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=-6m 3m 2+4 2+363m 2+4=12m 2+13m 2+4，故S 1+S 2=12OA y 1 +12OA y 2 =12OA y 1-y 2 =12m 2+13m 2+4，设t =m 2+1，t ≥1，则m 2=t 2-1，则S 1+S 2=12t 3t 2+1=123t +1t，因为t ≥1，所以3t +1t≥4(当且仅当t =1时，等号成立).故S 1+S 2=123t +1t≤3，即S 1+S 2的最大值为3.14.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18.【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4.当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b2=1，解得b 2=12.所以C 的方程：x 216+y 212=1.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=3 5.所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18.15.如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A 两点，AA =4．(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P '，过P 、P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．【答案】(1)x 216+y 28=1;(2)答案不唯一，具体见解析【解析】(1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，左焦点F 1-c ,0 ，将x =-c 代入椭圆方程，得y =±b 2a，由题意可得b 2a =2c a=22a 2=b 2+c 2 ，解得a =4b =c =22 ，所以椭圆方程为x 216+y 28=1.(2)解：当点Q 在y 轴的右侧时，设Q t ,0 t >0 ，圆的半径为r ，直线PP 方程为x =m m >t ，则圆Q 的方程为x -t 2+y 2=r 2，由x -t2+y 2=r 2x 2+2y 2=16得x 2-4tx +2t 2+16-2r 2=0，由Δ=16t 2-42t 2+16-2r 2 =0，即，得t 2+r 2=8，①把x =m 代入x 216+y 28=1，得y 2=81-m 216 =8-m 22，所以点P 坐标为m ,8-m 22，代入x -t 2+y 2=r 2，得m -t 2+8-m 22=r 2，②由①②消掉r 2得4t 2-4mt +m 2=0，即m =2t ，S △PPQ =12PP m -t =8-m 22×m -t =8-2t 2⋅t =2⋅4-t 2 t2≤2×4-t 2+t22=22，当且仅当4-t 2=t 2时，即当t =2时取等号，圆Q 的标准方程为x -2 2+y 2=6．在椭圆上任取一点E x ,y ，其中-4≤x ≤4，则y 2=8-x 22，所以，EQ =x -2 2+y 2=x 2-22x +2+8-x 22=x 22-22x +10=12x -22 2+6≥6，当且仅当x =22时，等号成立，故椭圆上除P 、P '外的点在圆Q 外，所以△PP Q 的面积的最大值为22，当圆心Q 、直线PP 在y 轴左侧时，由对称性可得圆Q 的方程为x +2 2+y 2=6，△PP Q 的面积的最大值仍为22．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，椭圆C的离心率为12，B 0,3 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左顶点A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆C 交于M 、N 两点(不同于点A )，且AD ⊥MN ，D 为垂足，求三角形ABD 面积的最大值．【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)37+337【解析】(1)由题意得c a =12b =3b 2=a 2+c2 ，解得a =2b =3c =1，所以椭圆C 的方程x 24+y 23=1．(2)当MN 垂直于x 轴时，则M 、N 关于x 轴对称，设点M 在x 轴上方，因为AM ⊥AN ，易知直线AM 的倾斜角为π4，所以，直线AM 的方程为y =x +2，联立y =x +23x 2+4y 2=12x ≠-2，可得x =-27y =127，即点M -27,127 ，则N -27,-127 ，可得D -27,0 ，此时，S △ABD =12⋅-27+2 ⋅3=637；当MN 不垂直于x 轴时，设直线MN 的方程为y =kx +t ，设点M x 1,y 1 、N x 2,y 2 ，联立y =kx +t3x 2+4y 2=12，可得3+4k 2 x 2+8ktx +4t 2-12=0，Δ=64k 2t 2-44k 2+3 4t 2-12 >0，可得t 2<4k 2+3，由韦达定理可得x 1+x 2=-8kt 4k 2+3，x 1x 2=4t 2-124k 2+3，AM =x 1+2,y 1 =x 1+2,kx 1+t ，AN =x 2+2,kx 2+t ，因为AM ⊥AN ，则AM ⋅AN=x 1+2 x 2+2 +kx 1+t kx 2+t =k 2+1 x 1x 2+kt +2 x 1+x 2 +t 2+4=k 2+1 4t 2-12 -8kt kt +24k 2+3+t 2+4=0，整理可得4k 2-16kt +7t 2=0，即2k -t 2k -7t =0，所以，t =2k 或t =2k 7.若t =2k ，则直线MN 的方程为y =k x +2 ，此时直线MN 过点A ，则M 、N 必有一点与点A 重合，不合乎题意；若t =27k ，则直线MN 的方程为y =k x +27 ，此时直线MN 过定点E -27,0 ，合乎题意.因为AD ⊥DE ，且线段AE 的中点坐标为-87,0 ，AE =127，所以，△AED 的外接圆为x +87 2+y 2=3649，因为AB 直线方程为x-2+y 3=1，即3x -2y +23=0，且AB =3+4=7，因为D 到直线AB 的最大距离为-837+233+4+67=42+62149，所以△ABD 的面积S △ABD ≤12⋅7⋅42+62149=37+337．综上所述，△ABD 面积的最大值为37+337．17.已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 的离心率为63，且经过点P 1,3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)A 、B 为椭圆C 上两点，直线PA 与PB 的倾斜角互补，求△PAB 面积的最大值．【答案】(1)y 26+x 22=1；(2)3﹒【解析】(1)由题意得：e =c a =633a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a =6，b =2，∴y 26+x 22=1．(2)由题意可知直线AB 的斜率一定存在，设直线AB 的方程为y =kx +t ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，将y =kx +t 代入y 26+x 22=1得：k 2+3 x 2+2ktx +t 2-6=0，∴x 1+x 2=-2kt k 2+3，x 1x 2=t 2-6k 2+3，则y 1+y 2=kx 1+t +kx 2+t =k x 1+x 2 +2t =6tk 2+3，x 1y 2+x 2y 1=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t =kt x 1+x 2 +2ktx 1x 2=-12kk 2+3，∵直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，∴k PA =-k PB ⇒y 1-3x 1-1=-y 2-3x 2-1，化简可得：23+x 1y 2+x 2y 1=y 1+y 2 +3x 1+x 2 ，即23+-12k k 2+3=6t k 2+3+3⋅-2ktk 2+3，即k -3 k +t -3 =0，∵直线AB 不过点P ，∴k =3，∴x 1+x 2=-3t 3，x 1x 2=t 2-t6，则AB =1+3 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=2312-t 23，又点P 到直线AB 的距离为t2，∵Δ=12t 2-24t 2-6 >0，∴-23<t <23，∴S =12⋅2312-t 23⋅t 2=3612-t 2 t 2≤3，当且仅当t =±6时等号成立，∴△PAB 面积最大值为3．18.已知O 为坐标原点，定点F 1,0 ，M 是圆O :x 2+y 2=4内一动点，圆O 与以线段FM 为直径的圆内切．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若直线l 与动点M 的轨迹交于P ，Q 两点，以坐标原点O 为圆心，1为半径的圆与直线l 相切，求△POQ 面积的最大值．【答案】(1)x 24+y 23=1且x ≠±2；(2)263.【解析】(1)令M (x ,y )，又F 1,0 在圆O :x 2+y 2=4内，且圆O 与以线段FM 为直径的圆内切，所以线段FM 为直径的圆心为x +12,y 2 ，则12(x -1)2+y 2=2-(x +1)24+y 24，整理有(x -1)2+y 2=4-(x +1)2+y 2，则x 2-2x +1+y 2=4-x 2+2x +1+y 2，所以x 24+y 23=1，又M 是圆O :x 2+y 2=4内一动点，故x ≠±2，故M 的轨迹方程为x 24+y 23=1且x ≠±2.(2)由题意知：O 到直线l 的距离为1，要使△POQ 面积最大，只需|PQ |最大，若直线l 斜率不存在时，直线l :x =±1，此时P ,Q 为1,±32 或-1,±32，所以|PQ |=3，则△POQ 面积为32；若直线l 斜率存在时，令直线l :y =kx +b ，而|b |1+k2=1，即b 2=1+k 2，联立直线与M 的轨迹，x 24+y 23=1y =kx +b，整理有(4k 2+3)x 2+8kbx +4b 2-12=0，则x P +x Q =-8kb 4k 2+3，x P x Q =4b 2-124k 2+3，所以|PQ |=1+k 2⋅|x P -x Q |=1+k 2⋅(x P +x Q )2-4x P x Q =4(1+k 2)(12k 2+9-3b 2)4k 2+3，则|PQ |=43⋅(1+k 2)(3k 2+2)4k 2+3，令t =4k 2+3≥3，则|PQ |=3⋅-1t2+2t +3=3⋅-1t-1 2+4，而0<1t ≤13，所以|PQ |max =463，此时△POQ 最大面积为263；综上，△POQ 最大面积为263.19.如图，已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为32，直线l 1:y =12x +b 与圆O :x 2+y 2=b 2交于M ，N 两点，MN =455．(1)求椭圆E 的方程；(2)A ，B 为椭圆E 的上、下顶点，过点A 作直线l 2:y =kx +b k <0 交圆O 于点P ，交椭圆E 于点Q (P ，Q 位于y 轴的右侧)，直线BP ，BQ 的斜率分别记为k 1，k 2，试用k 表示k 1+14k 2，并求当k 1+14k 2∈2,52时，△BPQ 面积的取值范围．【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)1285,65 .【解析】(1)圆心O 到直线l 1的距离为d =b 2-2552=12b1+122，解得b 2=1，由题设，b =1c a =32c 2=a 2-b2 ，解得a =2c =3 ，故椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)由(1)知，A 0,1 ，B 0,-1 ，直线l 2为y =kx +1k <0 ，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，联立y =kx +1x 2+y 2=1，得1+k 2 x 2+2kx =0，所以x 1=-2k k 2+1，y 1=kx 1+1=-k 2+1k 2+1，联立y =kx +1x 24+y 2=1得：4k 2+1 x 2+8kx =0，所以x 2=-8k 4k 2+1，y 2=kx 2+1=-4k 2+14k 2+1，k 1+14k 2=y 1+1x 1+x 24y 2+1=2k 2+1-2k k 2+1+-8k 4k 2+184k 2+1=-1k -k ．由-1k-k ∈2,52 ，得：k ∈-2,-12 ，S △BPQ =S △ABQ -S △ABP =12AB x 2-x 1 =x 2-x 1=-8k 4k 2+1--2kk 2+1=-6k4k 2+1 k 2+1．令f k =-6k 4k 2+1 k 2+1 ，则fx =612k 4+5k 2-1 4k 2+1 k 2+12>0，所以函数f k 在-2,-12 上单调递增，f -2 =1285，f -12 =65，所以△BPQ 面积的取值范围为1285,65 .20.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ，其离心率e =22，过点F 垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q 两点，PQ =2．(1)求椭圆Γ的方程；(2)若椭圆的下顶点为B ，过点D (2，0)的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为k 1,k 2，求k 1+k 2的取值范围．【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)k 1+k 2∈-∞,12 ∪12,2-2 ∪2+2,+∞ 【解析】(1)由题可知e =c a =22PQ=2b 2a =2a 2=b 2+c 2，解得a =2b =1c =1.所以椭圆Γ的方程为：x 22+y 2=1.(2)由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为y =k (x -2)，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2).由题可知x 22+y 2=1y =k (x -2)，整理得(2k 2+1)x 2-8k 2x +8k 2-2=0Δ=(-8k 2)2-4(2k 2+1)(8k 2-1)=-8(2k 2-1)>0，解得k ∈-22,22.由韦达定理可得x 1+x 2=8k 22k 2+1，x 1x 2=8k 2-22k 2+1.由(1)知，点B (0,-1)设椭圆上顶点为A ，∴A (0,1)，k ≠k DA =-12且k ≠k DB =12，∴k 1+k 2=y 1+1x 1+y 2+1x 2=k x 1-2 +1x 1+k x 2-1 +1x 2=2k +1-2k x 1+x 2 x 1x 2=2k +1-2k⋅8k 21+2k 28k 2-21+2k 2=2k -4k 22k +1=2k 2k +1=1-12k +1∈2+2,+∞ ∪-∞,12 ∪12,2-2∴k 1+k 2的取值范围为-∞,12 ∪12,2-2 ∪2+2,+∞ ．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),四点P 12,32 ,P 2(0,1),P 31,22 ,P 41,-22 中恰有三点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点Q 2,0 的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，求△OMN 面积的取值范围.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)0,22【解析】(1)由对称性可知：P 3,P 4都在椭圆C 上，对于椭圆在第一象限的图像上的点x ,y ，易知y 随x 的增大而减小，故P 1,P 2中只有P 2符合.所以P 2,P 3,P 4三点在椭圆上，故b =1，将P 3代入椭圆方程得a =2，所以椭圆方程为：x 22+y 2=1(2)(3)由已知直线l 斜率不为0，故设方程为：x =my +2设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，由x =my +2x 22+y 2=1联立方程得：(m 2+2)y 2+4my +2=0∴Δ=16m 2-8(m 2+2)=8(m 2-2)>0,即m 2>2y 1+y 2=-4m m 2+2;y 1y 2=2m 2+2;S △OMN =12⋅2⋅y 1-y 2 =y 1-y 2=16m 2(m 2+2)2-8m 2+2=22m 2-2m 2+2;令m 2-2=t >0，则m 2=t 2+2令S △OMN =22t t 2+4=22t +4t ≤222t ⋅4t=22，当且仅当t =2，m 2=6时取等号∴△OMN 面积的取值范围为0,2222.已知椭圆E :x 22+y 2=1的右焦点为F ，椭圆Γ:x 22+y 2=λλ>1 ．(1)求Γ的离心率；(2)如图：直线l :x =my -1交椭圆Γ于A ，D 两点，交椭圆E 于B ，C 两点．①求证：AB =CD ；②若λ=5，求△ABF 面积的最大值．【答案】(1)22;(2)①证明过程见解析；② 2.【解析】(1)椭圆Γ:x 22+y 2=λλ>1 的标准方程为：x 22λ+y 2λ=1，则椭圆Γ的离心率为2λ-λ2λ=22(2)对于①，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，直线l :x =my -1与x 22+y 2=λ联立整理得2+m y2-2my +1-2λ=0则y 1+y 2=2m 2+m 2,y 1y 2=1-2λ2+m 2则AD 的中点坐标-22+m 2,m2+m 2同理可知BC 的中点坐标-22+m 2,m2+m 2 .所以AD 与BC 中点重合，故AB =CD .对于②，由①知，直线l 被椭圆截得弦长为1+m 2y 2-y 1 =21+m 22λm 2+4λ-22+m 2把λ=5代入得，AD =21+m 210m 2+182+m 2把λ=1代入得，BC =21+m 22m 2+22+m 2F 1,0 到l 的距离为d =21+m 2，则△ABF 面积为：S =12×12×AD -BC ×d =10m 2+18-2+2m22+m 2=810m 2+18+2+2m 2∴当m =0时，△ABF 的面积最大值是 2.23.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点恰好为圆A ：x 2+y 2-4x+3=0的圆心，且圆A 上的点到直线l 1：bx -ay =0的距离的最大值为255+1．(1)求C 的方程；(2)过点(3，0)的直线l 2与C 相交于P ，Q 两点，点M 在C 上，且OM =λ(OP+OQ )，弦PQ 的长度不超过3，求实数λ的取值范围．【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)-33,-12 ∪12,33 ．【解析】(1)圆A 化为标准方程：(x -2)2+y 2=1，圆心A (2,0)，半径r =1，∴椭圆C 的右顶点标准为(2,0)，即a =2，∵圆心A (2,0)到直线l 1:bx -ay =0的距离d =2ba 2+b 2，∴圆A 上的点到直线l 1:bx -ay =0的距离的最大值为d +r =2ba 2+b 2+1=255+1，∴2b 4+b 2=255，解得b =1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意可知，直线l 2的斜率一定存在，设直线l 2的方程为y =k (x -3)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立方程y =k (x -3)x 24+y 2=1，消去y 得(1+4k 2)x 2-24k 2x +36k 2-4=0，∴Δ=576k 4-4(1+4k 2)(36k 2-4)=16-80k 2>0，解得0≤k 2<15，∴x 1+x 2=24k 21+4k 2，x 1x 2=36k 2-41+4k 2，∴y 1+y 2=k x 1+x 2-6 =k ⋅24k 21+4k 2-6 =-6k1+4k 2，因为PQ =1+k 2 x 1+x 2 2-4x 1x 2 =1+k 2⋅16-80k 21+4k 2≤3所以可解得k 2≥18，所以15>k 2≥18设PQ 中点N ，所以N 12k 21+4k 2，-3k1+4k 2 ，∴OP +OQ =2ON =24k 21+4k 2，-6k 1+4k 2，∴k ON =-3k1+4k 212k 21+4k 2=-14k ，∴直线ON 的方程为y =-14kx ，∵OM =λ(OP +OQ )，∴M 为直线ON 与椭圆的交点，联立方程y =-14k x x 24+y 2=1 ，解得x =±16k 21+4k 2，∴M 16k 21+4k 2，-14k 16k 21+4k 2 或M -16k 21+4k 2，14k 16k 21+4k 2，∴OM =16k 21+4k 2，-14k 16k 21+4k 2 或OM -16k 21+4k 2，14k 16k 21+4k 2，∴±16k 21+4k 2=λ⋅24k 21+4k 2，∴16k 21+4k 2=λ2⋅24k 21+4k 22，∴λ2=16k 21+4k 2⋅1+4k 224k 2 2=136k2+19，又∵18≤k 2<15，∴13≥136k 2+19>14，∴13≥λ2>14，∴12<λ≤33或-33≤λ<-12即实数λ的取值范围为-33,-12 ∪12,3324.已知椭圆C :x 24+y 2=1，点P 为椭圆C 上非顶点的动点，点A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，过点A 1，A 2分别作l 1⊥PA 1，l 2⊥PA 2，直线l 1，l 2相交于点G ，连接OG (O 为坐标原点)，线段OG 与椭圆C 交于点Q ，若直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求k1k 2的值；(2)求△POQ 面积的最大值．【答案】(1)14;(2)35【解析】(1)由题意知，A 1-2,0 ，A 22,0 ，设P x 0,y 0 x 0≠±2,y 0≠±1 ，设直线l 1的方程为：y =-x 0+2y 0x +2 ，设直线l 2的方程为：y =-x 0-2y 0x -2 ，所以解得点G -x 0,-4y 0 ，所以k 1=y 0x 0，k 2=4y 0x 0，即k 1k 2=14.(2)由(1)知，设直线OP 的方程为：y =k 1x ，直线OQ 的方程为：y =4k 1x ，由y =k 1xx 24+y 2=1，得4k 21+1 x 2=4，又对称性，设x P >0，所以P 24k 21+1,2k 14k 21+1，所以OP =2k 21+14k 21+1，由(1)知x P 和x Q 异号，由y =4k 1xx 24+y 2=1，得64k 21+1 x 2=4，所以Q -264k 21+1,-8k 164k 21+1，点Q 到直线y =k 1x 的距离为：d =6k 1k 21+1×64k 21+1，即S △POQ =12×OP ×d =12×2k 21+14k 21+1×6k 1 k 21+1×64k 21+1=6k 1 4k 21+1×64k 21+1=6×k 214k 21+1 ×64k 21+1 =6×k 21256k 41+68k 21+1=6×1256k 21+68+1k 21≤6×168+2256k 21×1k 21=35等号成立条件为，当且仅当256k 21=1k 21即k 1=±14等号成立，故△POQ 面积的最大值为：35.25.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为32，过C 的右顶点A的直线l 与C 的另一交点为P .当P 为C 的上顶点时，原点到l 的距离为255.(1)求C 的标准方程；(2)过A 与l 垂直的直线交抛物线y 2=8x 于M ,N 两点，求△PMN 面积的最小值.【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)9【解析】(1)由题意知：A a ,0 ，若P 为C 的上顶点，则P 0,b ，∴l :xa +y b=1，即bx +ay -ab =0，∴原点到l 的距离d =ab a 2+b2=255，又离心率e =c a =32，a 2=b 2+c 2，∴a =2，b =1，∴椭圆C 的标准方程为：x 24+y 2=1.(2)由题意知：直线l 斜率存在；①当直线l 斜率为0时，l :y =0，P -2,0 ；此时直线MN :x =2，则M 2,4 ，N 2,-4 ，∴S △PMN =12MN ⋅PA =12×8×4=16；②当直线l 斜率存在且不为0时，l :y =k x -2 ，由y =k x -2x 24+y 2=1得：1+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-4=0，又A 2,0 ，∴x P =8k 2-21+4k 2，则y P =-6k 1+4k 2，∴P 8k 2-21+4k 2,-4k1+4k 2；又直线MN :y =-1kx -2 ，由y =-1k x -2y 2=8x得：x 2-8k 2+4 x +4=0，∴x M +x N =8k 2+4；∵y 2=8x 的焦点为A 2,0 ，∴MN =x M +x N +4=8k 2+8，又AP =8k 2-21+4k 2-2 2+-4k 1+4k 2 2=4k 2+11+4k 2，∴S △PMN =12AP ⋅MN =16k 2+1 ⋅k 2+11+4k 2，设k 2+1=t >1，则k 2=t 2-1，∴S △PMN =16t 34t 2-3t >1 ，令f t =16t 34t 2-3，则ft =48t 24t 2-3 -16t 3⋅8t 4t 2-3 2=16t 22t +3 2t -3 4t 2-3 2，∴当t ∈1,32 时，f t <0；当t ∈32,+∞ 时，f t >0；∴f t 在1,32 上单调递减，在32,+∞ 上单调递增，∴f t min =f 32=9，即S △PMN min =9；综上所述：△PMN 面积的最小值为9.26.已知曲线C 由C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0,x ≥0)和C 2:x 2+y 2=b 2(x <0)两部分组成，C 1所在椭圆的离心率为32，上、下顶点分别为B 1,B 2，右焦点为F ,C 2与x 轴相交于点D ，四边形B 1FB 2D 的面积为3+1.(1)求a ,b 的值；(2)若直线l 与C 1相交于A ,B 两点，AB =2，点P 在C 2上，求△PAB 面积的最大值.【答案】(1)2；1；(2)2.【解析】(1)由题意知c a =3212b +c ⋅2b =3+1a 2=b 2+c 2⇒a =2b =1 ；(2)①当AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，y =kx +m x 2+4y 2=4⇒1+4k 2x 2+8kmx +4m2-4=0 ，Δ=64k 2m 2-41+4k 2 4m 2-4 =164k 2-m 2+1 >0，且-8km 1+4k 2>04m 2-41+4k 2≥0⇒m ≥1 ，AB =1+k 2⋅44k 2-m 2+11+4k 2=2⇒12k 2-4m 2-4k 2m 2+3=0，计算可得m 2=34k 2+14k 2+1，故原点O 到直线AB :y =kx +m 的距离d =m 1+k 2=34k 2+121+k 2 ≤3+4k 2+141+k 2=1，当3=4k 2+1时，即k =22m =-62或k =-22m =62时取等号，故原点O 到直线AB 的距离d 的最大值为1，则点P 到直线AB 的距离h ≤d+1≤2，故S △PAB =12AB h =h ≤2，∴△PAB 面积最大值2；②当AB 斜率不存在时，A 0,-1 ,B 0,1 ，此时S △PAB =12×2×1=1<2.综上：△PAB 面积的最大值为2.27.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的上顶点B ，左、右焦点分别为F 1-c ,0 、F 2c ,0 ，△F 1BF 2是周长为4+42的等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P -1,-1 ，且互相垂直的直线l 1、l 2分别交椭圆C 于M 、N 两点及S 、T 两点.①若直线l 1过左焦点F 1，求四边形MSNT 的面积；②求PM ⋅PN PS ⋅PT的最大值.【答案】(1)x 28+y 24=1;(2)①3269；②2.【解析】(1)因为△F 1BF 2是等腰直角三角形，且BF 1 =BF 2 =a ，F 1F 2 =2c ，由勾股定理可得BF 1 2+BF 2 2=F 1F 2 2，即2a 2=4c 2，则a =2c ，因为△F 1BF 2的周长为2a +2c =22+1 c =4+22，可得c =2，a =22，b =a 2-c 2=2，因此，椭圆C 的标准方程为x 28+y 24=1.。
高考数学考点：椭圆的最值问题
2021年高考数学考点：椭圆的最值问题一、已知椭圆的方程，求线段或线段和的最值例1. 已知椭圆上的一动点P和一定点，试求线段|PA|的最小值。
分析：如图1所示，P为椭圆上的点，则点P的坐标有一定的范围限制，因此，求线段|PA|的最小值时要对a进行讨论。
解：设点P(x，y)是椭圆上的一点，则由两点公式可知当，即时，x取，当，即时，x取，当，即时，，点评：这里字母a是常量，但是不知道它的具体值，因此要加以讨论，许多同学会忽视这一情况。
例2. 已知椭圆的左焦点为F，椭圆内有一个定点A(4，1)，P为椭圆上的任意一点，试求的最大值。
分析：如图2所示，设右焦点为C，式子|PF|+|PA|涉及到了焦半径|PF|，所以可利用椭圆的定义，将转化为，然后应用三角形中两边之和大于第三边这个性质求得最大值。
解：设椭圆的右焦点为C则(当点P在线段AC的延长线上时取“=”)，所以说明：由上述求解过程可知，椭圆上任一点P到椭圆内一定点A及一焦点F的距离之和存在最大值，这个最大值就等于长轴长加上这个定点到另一焦点的距离。
二. 利用椭圆的定义或几何性质求最值(取值范围)例3. 已知椭圆的长轴的两端点分别是A、B，若椭圆上有一点P，使得∠APB=120°，求椭圆的离心率e的取值范围。
分析：要求离心率e的取值范围，根据条件建立等式，再根据椭圆上点的坐标的范围建立不等式求解。
解：由题设知设点，则有化简得由椭圆的几何性质知利用得，解得点评：当点P在椭圆上运动时，∠APB的大小也随之变化，且当点P在向短轴端点靠近时，∠APB逐渐增长，当点P为椭圆短轴端点时，∠APB达到最大。
因此，只要长轴关于短轴端点的张角大于或等于120°，椭圆上就存在一点P，使∠ABP=120°。
练一练：直线总有公共点，试求m的取值范围。
答案：。
椭圆中的最值、定值(一)
椭圆中的最值和定值问题一 椭圆中的定值问题由于椭圆只研究中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过动点问题一般不会出现，椭圆中的定值问题包括以下几个方面： 1、与椭圆有关的直线过定点(1)00)(y x x k y +-=表示横过定点),(00y x 的直线；(2)0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示过直线0111=++C y B x A 与0222=++C y B x A 的交点；2、与椭圆有关的圆过定点问题0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ表示横过直线0=++C By Ax 与圆022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆的方程； 3、与椭圆有关的参数的定值问题 二 椭圆中的最值问题 1、参数的取值范围由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如),(,,,,y x c b a k 等值的变化，此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解； 2、由于直线或椭圆的动点引起的长度或面积的变化。
此类问题主要是建立参数)),((y x k 或如的函数，运用函数或基本不等式求值；探究一 与椭圆有关的定值问题 在椭圆中出现的定值问题，椭圆本身一般为固定的椭圆，主要是椭圆上的动点构成的直线或与准线有关的动直线过定点问题。
例1 椭圆1422=+y x 的左顶点为A ，过A 做两条相互垂直的弦AN AM ,交椭圆于N M ,两点(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点；若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请给出理由。
例2 椭圆的两焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，且椭圆过)23,1( (1)求椭圆的标准方程；(2)过)0,56(-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于N M ,两点，A 为左顶点，试判断MAN ∠是否为定值；探究二 与椭圆有关的最值问题与椭圆有关的最值问题一般建立两类函数：一是关于k 的函数，二是关于点),(y x 的函数；例3 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆于y 轴交于B A ,两点，其右准线与x 轴交于点T ，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆弧AC 上一点 (1)求证：T C A ,,三点共线；(2)如果FC BF 3=，四边形APCB 的最大面积是326+，求此时椭圆的方程和点P 的坐标；探究三 椭圆和圆的综合问题 椭圆和圆的综合问题中，题目中往往存在多种曲线混合，椭圆以考查标准方程和离心率为主，而圆中会涉及定值或最值问题。
高中数学复习-定点、定值、范围、最值问题
考点突破
课堂总结
整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0， 由 x0x1＝22mk22＋－14，可得 x1＝（2（2km2＋2－1）2）x0， 所以 y1＝kx1＋m＝（2k（2k2m＋2－1）2）x0＋m. 同理 x2＝（2（ 18mk22＋－12））x0，y2＝－（61k8（k2m＋2－ 1）2） x0 ＋m. 所以 x2－x1＝（2（18mk22＋－12））x0－（2（2km2＋2－1）2）x0 ＝（18－k23＋2k12）（（m22－k2＋2）1）x0，
考点突破
课堂总结
考点三 范围问题 【例 3】(2016·天津卷)设椭圆ax22＋y32＝1(a＞ 3)的右焦点为 F，
右顶点为 A.已知|O1F|＋|O1A|＝|F3Ae|，其中 O 为原点，e 为椭 圆的离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的 直 线 与 l 交 于 点 M , 与 y 轴 交 于 点 H. 若 BF⊥HF , 且 ∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.
考点突破
课堂总结
①设直线 PM，QM 的斜率分别为 k，k′，证明kk′为定值. ②求直线 AB 的斜率的最小值. (1)解 设椭圆的半焦距为 c.由题意知 2a＝4，2c＝2 2. 所以 a＝2，b＝ a2－c2＝ 2. 所以椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1. (2)①证明 设 P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0). 由 M(0，m)，可得 P(x0，2m)，Q(x0，－2m).
考点突破
课堂总结
解 (1)设椭圆的焦距为 2c，由题意知 b＝1， 且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又 a2＝b2＋c2，所以 a2＝3. 所以椭圆的方程为x32＋y2＝1. (2)由题意设 P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 设 l 方程为 x＝t(y－m)， 由P→M＝λ1M→Q知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)， ∴y1－m＝－y1λ1，由题意 y1≠0，∴λ1＝ym1－1. 同理由P→N＝λ2N→Q知 λ2＝ym2－1.
与椭圆有关的最值问题
与椭圆有关的最值问题圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。
对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。
而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。
能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。
下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。
1．定义法例1。
P(-2,3),F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。
分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。
由此想到椭圆第一定义 ︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。
解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1延长PF 1交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知–︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 122a=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8结论1：设椭圆12222=+by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。
例2：P(-2,6),F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。
分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小，求最大值方法同例1。
解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法：1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组；4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在) 121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+= ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题”(如：AQ QB λ=⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想：1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法：(1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法：(1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题．一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的． (1)直线恒过定点问题1．已知点00()P x y ，是椭圆E ：2212x y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x xy y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点(10)M -，关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标． 解：直线0l 的方程为()()00002x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设(10)M -，关于直线0l 的对称点N 的坐标为()N m n ，，则0000001212022x n m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨⎪-⋅--=⎪⎩，，解得()3200020432000020023444244824x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩所以直线PN 的斜率为()432000003200004288234n y x x x x k m x y x x -++--==---+， 从而直线PN 的方程为：()()43200000032004288234x x x x y y x x y x x ++---=---+即()32000432000023414288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(10)G ，．2．已知椭圆两焦点12F F ，在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点．(1)求P 点坐标；(2)求证直线AB 的斜率为定值；解：(1)设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2222a b c ===，，， 所以椭圆的方程为22142y x +=， 则12(02)(02)F F -，，，，设()()000000P x y x y >>，， 则()()10020022PF x y PF x y =--=---，，，，所以()22120021PF PF x y ⋅=--=，因为点()00P x y ，在曲线上，则2200124x y +=，所以220042y x -=，从而()22004212y y ---=，得0y =，则点P的坐标为(1．(2)由(1)知1PF //x 轴，直线PA PB ，斜率互为相反数，设PB 斜率为0)k k >(，则PB的直线方程为：(1)y k x =-，由22(1)124y k x y x ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222))40k x k k x k +++-=，设()B B B x y ，，则1B x ==同理可得A xA Bx x -， ()()28112A B A B k y y k x k x k-=----=+，所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -=-3．已知动直线(1)y k x =+与椭圆C ：221553y x +=相交于A B ，两点，已知点()703M -，， 求证：MA MB ⋅为定值．解：将(1)y k x =+代入221553y x +=中得()2222136350k x k x k +++-=， 所以()()4222364313548200k k k k ∆=-+-=+>，221212226353131k k x x x x k k -+=-=++，所以()()()()1122121277773333MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++，， ()()()()21212771133x x k x x =+++++()()()2221212749139k x x k x x k =++++++()()()22222223576491393131k k k k k k k -=+++-++++422231654949931k k k k ---=++=+． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2213x y +=．如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A B ，两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3)D m -，． (1)求22m k +的最小值；(2)若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点． 解：(1)由题意：设直线l ：(0)y kc n n =+≠，由2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()222136330k x knx n +++-=， ()()()222222364133112310k n k n k n ∆=-+⨯-=+->，设()()1122A x y B x y ，，，，AB 的中点()00E x y ，， 则由韦达定理得：0122613t nx x k-+=+， 即00022233131313kn kn n x y kx n k n k k k--==+=⨯+=+++，， 所以中点E 的坐标为()2231313km n k k -++，，因为O E D ，，三点在同一直线上，所以O OE D k k =，即133m k -=-，解得1m k=，所以222212m k k k +=+，当且仅当1k =时取等号，即22m k +的最小值为2． (2)证明：由题意知：0n >，因为直线OD 的方程为3m y x =-，所以由22313m y xx y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+， 又因为213E Dn y y m k ==+，，且2OG OD OE =⋅，所以222313m n m m k =⋅++， 又由(1)知：1m k =，，所以解得k n =，所以直线l 的方程为y kx k =+，即(1)y k x =+， 令1x =-得，0y =，与实数k 无关．椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函敞的值域来解． (1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围．5．已知直线l 与y 轴交于点(0)P m ，，与椭圆C ：2221x y +=交于相异两点A B ，，且3AP PB =， 求m 的取值范围．解：(1)当直线斜率不存在时：12m =±；(2)当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为()()1122A x y B x y ，，，， 所以2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，，得()2222210k x knx m +++-= 所以()()()22222(2)4214220()kn k m k m ∆=-+-=-+>*21212222122km m x x x x k k --+==++， 1233AP PB x x =∴-=，，所以122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩，，消去2x 得()21212340x x x x ++=， 所以()22222134022km m k k --+=++， 整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立；214m ≠时，2222241m k m -=-， 所以22222041m k m -=-，所以112m -<-或112m <， 把2222241m k m -=-代入(*)得112m -<<-或112m <<， 所以112m -<<-或112m <<，综上m 的取值范围为112m -<-或112m <．(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围． 6．已知点(40)(10)M N ，，，，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A B ，两点，若181275NA NB -⋅-，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点()P x y ，，则(4)(30)(1)MP x y MN PN x y =-=-=--，，，，，． 由已知得3(4)x --=223412x y +=，得22143y x +=．所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为22143y x +=．(2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A B ，两点的坐标分别为()()1122A x y B x y ，，，． 由22(1)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=，因为N 在椭圆内，所以0∆>． 所以2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 因为()()()()()212121211111NA NB x x y y k x x⋅=--+=+--()()2121211k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦()()22222229141283413434k k k k k k k -+--++=+=++，所以()229118127534k k-+--+，解得213k ． (3)利用基本不等式求参数的取值范围7．已知点Q 为椭圆E ：221182y x +=上的一动点，点A 的坐标为(31)，，求AP AQ ⋅的取值范围． 解：(13)AP =，，设()(31)Q x y AQ x y =--，，，， (3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-因为221182y x +=，即22(3)18x y +=，而22(3)2|||3|x y x y +⋅，所以18618xy -．而222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[036]，， 3x y +的取值范围是[66]-，， 所以36AP AQ x y ⋅=+-取值范围是[120]-，．8．已知椭圆的一个顶点为(01)A -，，焦点在x 轴上．若右焦点到直线0x y -+的距离为3． (1)求椭圆的方程．(2)设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M N ，．当AM AN =时，求m的取值范围． 解：(1)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)0F，3=，解得23a =，故所求椭圆的方程为2213x y +=． (2)设()()(),,,p p M M N N P x y M x y N x y ，，，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()()222316310k x mkx m +++-= 因为直线与椭圆相交，所以()()22222(6)43131031mk k m m k ∆=-+⨯->⇒<+，① 所以23231M NP x x mk x k +==-+，从而231p p m y kx m k =+=+，所以21313P AP P y m k k x mk+++==-，又AM AN =，所以AP MN ⊥, 则23113m k mk k++-=-，即2231m k =+，②把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得22103m k -=>，解得12m >．综上求得m 的取值范围是122m <<．9．如图所示，已知圆C ：22(1)8x y ++=，定点(10)A ，，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足20AM AP NP AM =⋅=，，点N 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)若过定点(02)F ，的直线交曲线E 于不同的两点G H ，(点G 在点F H ，之间)，且满足FG FH λ=，求λ的取值范围．解：(1)因为20AM AP NP AM =⋅=，． 所以NP 为AM 的垂直平分线，所以NA NM =， 又因为22CN NM +=，所以222CN AN +=>． 所以动点N 的轨迹是以点(10)(10)C A -，，，为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为222a =，焦距21c =． 所以2211a c b ===，，． 所以曲线E 的方程为2212x y += (2)当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+．代入椭圆方程2212x y +=， 得()2214302k x kx +++=，由0∆>得232k >，设()()1122G x y H x y ，，，，则121222431122k x x x x k k -+==++，， 又因为FG FH λ=，所以()()112222x y x y λ-=-，，， 所以12x x λ=，所以2122122(1)x x x x x x λλ+=+=，，所以()22121221x xx x x λλ+==+，所以2222431122(1)k k k λλ-⎛⎫ ⎪+ ⎪+⎝⎭=+，整理得22(1)161312k λλ+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为232k >，所以2161643332k <<+，所以116423λλ<++<，解得133λ<<．又因为01λ<<，所以113λ<<．又当直线GH 斜率不存在，方程为11033x FG FH λ===，，， 所以113λ<，即所求λ的取值范围是)113⎡⎢⎣，． 10．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点(20)M ，的直线与椭圆C 相交于两点A B ，，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=(O 为坐标原点)，当25||3PA PB -<t 取值范围．解：(1)由题意知c e a =，所以22222212c a b e a a -===， 即222a b =，所以2221a b ==，． 故椭圆C 的方程为2212x y +=． (2)由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：()2y k x =-，()()1122()x y B x A y P x y ，，，，，， 由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222128820k x k x k +-+-=， ()()42221644218202k k k k ∆=-+-><，，221212228821212k k x x x x k k -+=⋅=++，． 因为OA OB tOP +=，所以()()212121228()12x x k x x y y t x y x t t k +++===+，，，，()()1212214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+， 因为点P 在椭圆上，所以()()()2222222228(4)221212k k tk t k-+=++，所以()2221612k t k =+．因为25||3PA PB-<12x -<，所以()()22121220149k x x x x ⎡⎤++-⋅<⎣⎦，所以()()4222226482201491212k k k k k ⎡⎤-⎢⎥+-⋅<⎢⎥++⎣⎦， 所以()()224114130k k -+>，所以214k >，所以21142k <<，因为()2221612k t k=+，所以222216881212k t k k==-++，所以2t -<<2t <<，所以实数t取值范围为(()26223-，，．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： (1)利用基本不等式求最值，11．已知椭圆两焦点12F F ，在y轴上，短轴长为，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点，求PAB ∆面积的最大值．解：设椭圆方程为22221y x ab+=，由题意可得2a b c ===，故椭圆方程为22142y x += 设AB 的直线方程：y m =+．由22124y m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得22440xm ++-=，由()22)1640m ∆=-->，得m -<< P 到AB 的距离为d =则1||2PAB S AB d ∆=⋅=，)(2188m -=当且仅当2(m =±∈-取等号，所以三角形P AB ． (2)利用函数求最值，12．如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且2DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点(0)T t ，作圆221x y +=的切线l 交曲线C 于A B ，两点，求AOB ∆面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解：(1)设点M 的坐标为()x y ，，点P 的坐标为00()x y ，，则002x x y y ==，，所以002yx x y ==，，① 因为00()P x y ，在圆221x y +=上，所以22001x y +=② 将①代入②，得点M 的轨方程C 的方程2214y x +=． (2)由题意知，||1t ．当1t =时，切线l 的方程为1y =，点A B ，的坐标分别为()()331122-，，，，此时3AB =；当1t =-时，同理可得3AB =；当||1t >时，设切线l 的方程为y kx m k =+∈R ，， 由2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2224240k x ktx t +++-=③设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则由③得： 21212222444kt t x x x x k k -+=-=++，．又由l 与圆221x y +=相切，得2||11t k =+，即221t k =+．所以()()()()()222222212122224443||4||1434t t k t AB x x y y k k t k ⎡⎤-⎢⎥=-+-=+-=⎢⎥+++⎣⎦． 因为243||43||233||||t AB t t t ==++，且当3t =±时， 2AB =，所以AB 的最大值为2，依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆221x y +=的半径，所以AOB ∆面积1112S AB =⨯，当且仅当3t =±时，AOB ∆面积S 的最大值为1，相应的T 的坐标为(03)-，或(03)，．13．已知椭圆G ：2214x y +=．过点(0)m ，作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A B ，两点．将AB 表示为m的函数，并求AB 的最大值． 解：由题意知，||1m ．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A B ，的坐标分别为((11，，，此时AB =； 当1m =-时，同理可得AB =；当||1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-． 由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222148440k x k mx k m +-+-=． 设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，， 又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k =+． 所以AB ===由于当1m =±时，AB23||||AB m m==+， 当且当m =时，2AB =．所以AB 的最大值为2．【练习题】1．已知A B C ，，是椭圆m ：22221(0)y x a ba b+=>>上的三点，其中点A 的坐标为0)，BC 过椭圆m 的中心，且0||2||AC BC BC AC ⋅==，． (1)求椭圆m 的方程；(2)过点(0 )M t ，的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P Q ，，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =，求实数t 的取值范围．2．已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(10)N ，，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP上，且满足20NP NQ GQ NP =⋅=，． (1)若104m n r =-==，，，求点G 的轨迹C 的方程；(2)若动圆M 和(1)中所求轨迹C 相交于不同两点A B ，，是否存在一组正实数m n r ，，，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．3．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线：y kx m，不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的，两点(A B=+与椭圆C相交于A B右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．4．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点1M，，平行于OM(2)的直线l在y轴上的截距为(0)，两个不同点．m m≠，l交椭圆于A B(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围；(3)求证直线MA MB，与x轴始终围成一个等腰三角形．。
椭圆中的定点、定值问题
分析几何中的椭圆是高考取的热门，常有的有求最值、过定点、定值等，这种题型中以直线与椭圆订交为基本模型，办理问题的方法能够是设直线，运用韦达定理求出坐标之间的关系，过椭圆上一点的直线与椭圆订交是能够解出另一个交点的，而过椭圆外一点的直线与椭圆订交只好找到两个交点坐标的关系，不适合解，再运用题目中的条件整体化简。
也能够是设点的坐标， 运用坐标在椭圆上或直线上整体代入化简， 究竟设什么需要依据题目的条件，因题而异。
例 1、（ 2017 盐城高三三模 18）已知 A 、 F 分别是椭圆 C :x 2y 2 1(a b 0) 的左极点、右焦点，点 P 为椭圆a 2b 2C 上一动点，当 PFx 轴时， AF2PF .（ 1）求椭圆 C 的离心率；（ ）若椭圆C 存在点 Q ，使得四边形 AOPQ 是平行四边形（点P在第一象限） ，求直线AP 与 OQ 的斜率之积；2（ 3）记圆 O : x 2y 2a 2 ab 为椭圆 C 的“关系圆” . 若 b3 ，过点 P 作椭圆 C 的“关系圆”的两条切线，b 234切点为 M 、 N ，直线 MN 的横、纵截距分别为m 、 n ，求证： 为定值 . 学科 *网m 2 n 2解：（ 1）由 PFx 轴，知 x Pc ，代入椭圆 C 的方程，得 c2y P 2 1 ，解得 y Pb 2 . 又 AF 2PF ，所以 ac 2b 2 ，解得 e1 .a 2b 2 aa2（ 2）由于四边形AOPQ 是平行四边形，所以 PQa 且 PF / / x 轴，所以 x Pa，代入椭圆 C 的方程，解得 y P3b ，22由于点 P 在第一象限，所以y P3 b ，同理可得 x Qa3 2， y Qb223b 3b b 2c 1b 2 33所以 k AP k OQ22 ，所以 k AP k OQaa a 2 ，由（ 1）知 e，得4.( a)a2a 242 2（ 3）由（ 1）知 ec 1 ，又 b 3 ，解得 a2 ，所以椭圆 C 方程为x 2 y 21，4 3a 2圆 O 的方程为 x 2y 22 3① .7连结 OM , ON ，由题意可知， OMPM ， ON PN ，所以四边形 OMPN 的外接圆是以 OP 为直径的圆，设 P( x 0 , y 0 ) ，则四边形 OMPN 的外接圆方程为 (x x 0 ) 2 ( yy 0 ) 2 1( x 02 y 0 2 ) ，224即 x 2xx 0y 2 yy 0② .（注：以 OP 为直径的圆的方程能够直接写出(x 0)( x x 0 ) ( y 0)( y y 0 )0 ）由①－②，得直线MN 的方程为 xx 0yy 02 3 ，7令 y0，则 m2 3 ；令 x 0 ，则 n2 3.3 4 49(x 02y 02 ) ，7x 07 y 0所以n 2 4 3m 2由于点 P 在椭圆 C 上，所以x 02y 02 1，所以 34 49 .43m 2 n 2例 2、（ 2018 苏锡常镇高三二模）如图，椭圆x 2y 21(a b 0) 的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1，a 2b 22点 A ， B ， C 分别为椭圆的左极点、右极点和上极点，过点 C 的直线 l 交椭圆于点 D ，交 x 轴于点 M ( x 1，0) ，直线 AC 与直线 BD 交于点 N ( x 2， y 2 ) ．（ 1）求椭圆的标准方程；y2 uuuuruuuurlCCM 2MD ，求直线的方程；（ ）若AB（ 3）求证： x 1 x 2 为定值．DM OxN解：（ 1）由椭圆的离心率为2，焦点到对应准线的距离为1.2c 2 ， a ，2得a 2解得2 所以，椭圆的标准方程为x y 2 1 .a 2c，2，c11c（ 3）设 D 坐标为 ( x 3， y 3） , 由 C(0,1) ， (1， 0) 可得直线 CM 的方程 y1 M xx 1，x 1y1，x 1 x 1 4x 1x 122联立椭圆方程得：解得 x 3, y3x 1 2x 122x 2 y 2，221由 B( 2,0) ，得直线 BD 的方程： yx 1 22( x 2) ①22x 14x 12 2直线 AC 方程为 y2x 1 ②2 联立①②得 x 22即 x 1 x 2 =2， x 1法3 ， y 32：设 D 坐标为 ( x ），由 C M D 三点共线得1 y 3 ，所以x 1 x 3 ①, ,x 1 x 3 x 11y 3由 B , D , N 三点共线得y 3= y 2，将 y 22 12x 3 2y 3 2 ②x 3x 2代入可得 x 2 x 322 x 2222 y 3①和②相乘得， x 1 x 2x 32x 3 2y 32 = 2x3 2 2x 3 y 3 2 x 3 2x 32 2x 3 y 3 2x 32 . 1 y 32y 3 x 32 2 y 32x 3 y 3 x 3 2x 3 2x 3 y 3 x 322(1 )2例 3、（ 2018 苏北四市高三一模18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2y 2 1( a b 0) 的离心率为a 2b 213 F 为椭圆的右焦点， A, B 为椭圆上对于原点对称的两点，连结AF, BF 分别交椭圆于 C, D 两点 .2，且过点 (1， ).2（ 1）求椭圆的标准方程；（ 2）若 AF FC ，求BF的值； FD（ 3）设直线 AB ， CD 的斜率分别为 k 1 , k 2 ，能否存在实数 m ，使得 k 2请说明原因 .解：（ 1）设椭圆方程为x 2 y 2 1(a b 0) ，a 2b 2c 1a 2x 2 y 2 由题意知：a 2解得：1 9 b，所以椭圆方程为：41133a 24b2（ 2）若 AFFC ，由椭圆对称性，知A(1, 3) ，所以 B( 1,3) ，22此时直线 BF 方程为 3x 4 y3 03x4y 3 0,13 （ x 由 x2y 21, ，得 7 x 2 6x 13 0 ，解得 x 1舍去）故743（ 3）设 （Ax 0 , y 0 ) ，则 B( x 0 , y 0 ) ，直线 AF 的方程为 yy 0 ( x 1) ，代入椭圆方程 x 2 y 21 ，得x 01 4 3mk 1 ，若存在，求出 m 的值；若不存在，yADOxFBCBF1 (1)7 FD1331(15 6x 0 ) x 2 8 y 02 15x 02 24x 00 ，由于 xx 0 是该方程的一个解，所以 C 点的横坐标 x C8 5x 0 ，5 2x 0又 C( x c , y C ) 在直线 yy 0 ( x 1) 上，所以 y C y 0( x c 1) 5 3 y，x 0 1x 012x 03y 03y 0同理，D 点坐标为 (85x 0 ， 3 y 0 )，所以 5 2 x 05 2 x 05y 0 5 ，5 2 x 0 5 2x 0 k 28 5x 0 8 5x 0 3x 0 3 k15 2 x 05 2 x 0即存在 m5，使得 k 25k 1 ．33例 4、（ 2016 泰州高三期末 19）如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆 O : x 2y 2 4 ，椭圆 C :x 2y 2 1，4A 为椭圆右极点．过原点 O 且异于坐标轴的直线与椭圆 C 交于 B,C 两点，直线 AB 与圆 O 的另一交点为P ，直线PD 与圆 O 的另一交点为 Q ，此中 D(6,0) ．设直线 AB, AC 的斜率分别为 k 1, k 2 ．5（ 1）求 k 1 k 2 的值；（ 2）记直线 PQ, BC 的斜率分别为 k PQ , k BC ，能否存在常数 ，使得 k PQk BC 若存在，求值；若不存在，说明原因；（ 3）求证：直线AC 必过点 Q ．解：（ 1）设 B( x 0 , y 0 ) ，则 C ( x 0 , y 0 ) ，x 02y 0 2141 2所以 k 1 k 2y 0 y 0y 0 21 4 x 01x 0 2 x 02 x 0 2 4x 02 2．4（ 2）联立y k 1 (x 2) 得 (1 k 12)x 24k 12x4(k 12 1) 0 ，x2y242(k 12 1)4k 1y k 1( x2)2 222解得x P1 k 12, yPk 1 ( x P 2)1 k 12 ，联立 x 2y 2 1得 (1 4k 1 ) x16k 1 x 4(4 k 1 1)0 ，4解得2(4k 12 1)4k 1 ， 所以y B2k 1 ，x B1 4k 2, yBk 1 (x B2) 1 4k2kBCx B4k 121114k 1kPQy P 6 1 k 126 5k 1 ，所以k PQ 5 k BC ，故存在常数5 ，使得 k PQ 5 k BC ．x P2(k 12 1) 4k 12 1 22251k 125法二： 设直线 AC 方程： y1(x 2) 与圆 O : x 2 y 2 4 联立方程组， 运用韦达定理解出 Q' 坐标， 证明 Q ' 在4k 1直线 PD 上，即可说明AC 必过点 Q （请同学们自己去试试）2 2注：对于随意的椭圆 C : x2y 2 1(a b0) ，过原点的随意向来线与椭圆交于A, B 两点， P 为椭圆上随意一ab动点，假定直线PA, PB 斜率都存在，则有 k AP k BPb 2a2证明：设 A( x 1 , y 1 ) , 则 B( x 1 , y 1) ， P( x 0 , y 0 ) ，由于 A 、B 、 P 在椭圆上所以x 12y 12 1 ①，x2y 02 1 ②a 2b2a 2b 2由① - ②得(x 1x 0 )( x 1 x 0 ) ( y 1 y 0 )( y 1 y 0 )k APkBPb 2a 20 ，化简得a 2b 2例 5、（ 2017 苏锡常镇高三一模 18）已知椭圆x 2 y 2 1右极点为 A . 过点 D( 2, 2 ) 作直线 PQ 交椭圆于两个2不一样点 P 、 Q 求证：直线AP, AQ 的斜率之和为定值. 剖析：法一：先考虑过D 的直线斜率不存在满不知足题意。
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椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法：1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组；4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在)121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+=u u u r u u u r②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题”(如：AQ QB λ=⇔u u u r u u u r数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想：1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法：(1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法：(1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题．一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的． (1)直线恒过定点问题1．已知点00()P x y ，是椭圆E ：2212x y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点(10)M -，关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标． 解：直线0l 的方程为()()00002x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设(10)M -，关于直线0l 的对称点N 的坐标为()N m n ，，则0000001212022x n m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨⎪-⋅--=⎪⎩，，解得()3200020432000020023444244824x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩ 所以直线PN 的斜率为()432000003200004288234n y x x x x k m x y x x -++--==---+， 从而直线PN 的方程为：()()432000000320004288234x x x x y y x x y x x ++---=---+即()32000432000023414288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(10)G ，．2．已知椭圆两焦点12F F ，在y 轴上，短轴长为22，离心率为2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点． (1)求P 点坐标；(2)求证直线AB 的斜率为定值；解：(1)设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2222a b c ===，，， 所以椭圆的方程为22142y x +=， 则12(02)(02)F F -，，，，设()()000000P x y x y >>，， 则()()10020022PF x y PF x y =--=---u u u r u u u u r，，，，.所以()22120021PF PF x y ⋅=--=u u u r u u u r ，因为点()00P x y ，在曲线上，则2200124x y +=，所以220042y x -=，从而()22004212y y ---=，得0y =，则点P的坐标为(1．(2)由(1)知1PF //x 轴，直线PA PB ，斜率互为相反数，设PB 斜率为0)k k >(，则PB的直线方程为：(1)y k x -，由22(1)124y k x y x ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222))40k x k k x k ++-+--=，设()B B B x y ，，则1B x -同理可得A xA Bx x -， ()()28112A B A B k y y k x k x k-=----=+，所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -==-3．已知动直线(1)y k x =+与椭圆C ：221553y x +=相交于A B ，两点，已知点()703M -，， 求证：MA MB ⋅u u u r u u u r为定值．解：将(1)y k x =+代入221553y x +=中得()2222136350k x k x k +++-=， 所以()()4222364313548200k k k k ∆=-+-=+>，221212226353131k k x x x x k k -+=-=++，所以()()()()1122121277773333MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++u u u r u u u r，， ()()()()21212771133x x k x x =+++++()()()2221212749139k x x k x x k =++++++()()()22222223576491393131k k k k k k k -=+++-++++422231654949931k k k k ---=++=+．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2213x y +=．如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A B ，两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3)D m -，． (1)求22m k +的最小值；(2)若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点． 解：(1)由题意：设直线l ：(0)y kc n n =+≠，由2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()222136330k x knx n +++-=， ()()()222222364133112310k n k n k n ∆=-+⨯-=+->，设()()1122A x y B x y ，，，，AB 的中点()00E x y ，， 则由韦达定理得：0122613t nx x k -+=+，即00022233131313kn kn n x y kx n k n k k k--==+=⨯+=+++，， 所以中点E 的坐标为()2231313km n k k -++，，因为O E D ，，三点在同一直线上，所以O OE D k k =，即133m k -=-，解得1m k =，所以222212m k k k+=+…，当且仅当1k =时取等号，即22m k +的最小值为2． (2)证明：由题意知：0n >，因为直线OD 的方程为3m y x =-，所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+， 又因为213E D n y y m k==+，，且2OG OD OE =⋅，所以222313m n m m k =⋅++， 又由(1)知：1m k=，，所以解得k n =，所以直线l 的方程为y kx k =+，即(1)y k x =+， 令1x =-得，0y =，与实数k 无关．椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函敞的值域来解． (1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围．5．已知直线l 与y 轴交于点(0)P m ，，与椭圆C ：2221x y +=交于相异两点A B，，且3AP PB =u u u r u u u r ， 求m 的取值范围．解：(1)当直线斜率不存在时：12m =±；(2)当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为()()1122A x y B x y ，，，， 所以2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，，得()2222210k x knx m +++-= 所以()()()22222(2)4214220()kn k m k m ∆=-+-=-+>*21212222122km m x x x x k k --+==++， 1233AP PB x x =∴-=u u u r u u u r Q ，，所以122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩，，消去2x 得()21212340x x x x ++=， 所以()22222134022km m k k --+=++， 整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立；214m ≠时，2222241m k m -=-， 所以22222041m k m -=-…，所以112m -<-„或112m <„， 把2222241m k m -=-代入(*)得112m -<<-或112m <<， 所以112m -<<-或112m <<，综上m 的取值范围为112m -<-„或112m <„．(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围． 6．已知点(40)(10)M N ，，，，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=u u u u r u u u r u u u r． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A B ，两点，若181275NA NB -⋅-u u u r u u u r 剟，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点()P x y ，，则(4)(30)(1)MP x y MN PN x y =-=-=--u u u r u u u u r u u u r，，，，，．由已知得3(4)x --=223412x y +=，得22143y x +=．所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为22143y x +=． (2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A B ，两点的坐标分别为()()1122A x y B x y ，，，． 由22(1)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=，因为N 在椭圆内，所以0∆>．所以2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 因为()()()()()212121211111NA NB x x y y k x x⋅=--+=+--u u u r u u u r()()2121211k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦()()22222229141283413434k k k k k k k -+--++=+=++，所以()229118127534k k -+--+剟，解得213k 剟．(3)利用基本不等式求参数的取值范围7．已知点Q 为椭圆E ：221182y x +=上的一动点，点A 的坐标为(31)，，求AP AQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围． 解：(13)AP =u u u r，，设()(31)Q x y AQ x y =--u u u r ，，，， (3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-u u u r u u u r因为221182y x +=，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +⋅…，所以18618xy -剟．而222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[036]，， 3x y +的取值范围是[66]-，， 所以36AP AQ x y ⋅=+-u u u r u u u r取值范围是[120]-，．8．已知椭圆的一个顶点为(01)A -，，焦点在x轴上．若右焦点到直线0x y -+=的距离为3． (1)求椭圆的方程．(2)设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M N ，．当AM AN =时，求m 的取值范围． 解：(1)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)0F，3=，解得23a =，故所求椭圆的方程为2213x y +=．(2)设()()(),,,p p M M N N P x y M x y N x y ，，，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()()222316310k x mkx m +++-= 因为直线与椭圆相交，所以()()22222(6)43131031mk k m m k ∆=-+⨯->⇒<+，① 所以23231M NP x x mk x k +==-+，从而231p p m y kx m k =+=+， 所以21313P AP P y m k k x mk+++==-，又AM AN =，所以AP MN ⊥, 则23113m k mk k++-=-，即2231m k =+，②把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得22103m k -=>，解得12m >．综上求得m 的取值范围是122m <<．9．如图所示，已知圆C ：22(1)8x y ++=，定点(10)A ，，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足20AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r，，点N 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)若过定点(02)F ，的直线交曲线E 于不同的两点G H ，(点G 在点F H ，之间)，且满足FG FH λ=u u u r u u u r，求λ的取值范围．解：(1)因为20AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r，． 所以NP 为AM 的垂直平分线，所以NA NM =， 又因为22CN NM +=，所以222CN AN +=>． 所以动点N 的轨迹是以点(10)(10)C A -，，，为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为222a =，焦距21c =． 所以2211a c b ===，，． 所以曲线E 的方程为2212x y +=(2)当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+．代入椭圆方程2212x y +=， 得()2214302k x kx +++=，由0∆>得232k >，设()()1122G x y H x y ，，，，则121222431122k x x x x k k -+==++，， 又因为FG FH λ=u u u r u u u r，所以()()112222x y x y λ-=-，，，所以12x x λ=，所以2122122(1)x x x x x x λλ+=+=，， 所以()22121221x x x x x λλ+==+，所以2222431122(1)k k k λλ-⎛⎫ ⎪+ ⎪+⎝⎭=+，整理得22(1)161312k λλ+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为232k >，所以2161643332k <<+，所以116423λλ<++<，解得133λ<<．又因为01λ<<，所以113λ<<．又当直线GH 斜率不存在，方程为11033x FG FH λ===u u u r u u u r ，，， 所以113λ<…，即所求λ的取值范围是)113⎡⎢⎣，． 10．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点(20)M ，的直线与椭圆C 相交于两点A B ，，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点)，当||PA PB -<u u u r u u u r时，求实数t 取值范围．解：(1)由题意知c e a ==，所以22222212c a b e a a -===， 即222a b =，所以2221a b ==，． 故椭圆C 的方程为2212x y +=．(2)由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：()2y k x =-，()()1122()x y B x A y P x y ，，，，，， 由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222128820k x k x k +-+-=， ()()42221644218202k k k k ∆=-+-><，，221212228821212k k x x x x k k -+=⋅=++，． 因为OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r ，所以()()212121228()12x x k x x y y t x y x t t k +++===+，，，，()()1212214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+， 因为点P 在椭圆上，所以()()()2222222228(4)221212k k tk t k-+=++，所以()2221612k t k =+．因为||PA PB -<u u u r u u u r12x -()()22121220149k x x x x ⎡⎤++-⋅<⎣⎦，所以()()4222226482201491212k k k k k ⎡⎤-⎢⎥+-⋅<⎢⎥++⎣⎦， 所以()()224114130k k -+>，所以214k >，所以21142k <<，因为()2221612k t k=+，所以222216881212k t k k==-++，所以2t -<<2t <<，所以实数t取值范围为()22-U ，．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： (1)利用基本不等式求最值，11．已知椭圆两焦点12F F ，在y轴上，短轴长为，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点，求PAB ∆面积的最大值．解：设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2a b c ===，故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：2y x m =+．由222124y x m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得2242240x mx m ++-=，由()22(22)1640m m ∆=-->，得2222m -<<，P 到AB 的距离为3d =， 则()2111||432223PAB S AB d m ∆=⋅=-⋅⋅， ()()2222211882882m m m m -+=-+=„．当且仅当2(2222)m =±∈-，取等号，所以三角形PAB 面积的最大值为2． (2)利用函数求最值，12．如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且2DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点(0)T t ，作圆221x y +=的切线l 交曲线C 于A B ，两点，求AOB ∆面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解：(1)设点M 的坐标为()x y ，，点P 的坐标为00()x y ，，则002x x y y ==，，所以002yx x y ==，，① 因为00()P x y ，在圆221x y +=上，所以22001x y +=② 将①代入②，得点M 的轨方程C 的方程2214y x +=． (2)由题意知，||1t …．当1t =时，切线l 的方程为1y =，点A B ，的坐标分别为()()3311-，，，，此时3AB =；当1t =-时，同理可得3AB =；当||1t >时，设切线l 的方程为y kx m k =+∈R ，， 由2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2224240k x ktx t +++-=③设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则由③得： 21212222444kt t x x x x k k -+=-=++，．又由l 与圆221x y +=1=，即221t k =+． 所以||AB ==因为||23||||ABt t ==+，且当t = 2AB =，所以AB 的最大值为2，依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆221x y +=的半径，所以AOB ∆面积1112S AB =⨯„， 当且仅当t =AOB∆面积S 的最大值为1，相应的T的坐标为(0-，或(0．13．已知椭圆G ：2214x y +=．过点(0)m ，作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A B ，两点．将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．解：由题意知，||1m …．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A B ，的坐标分别为((11，，，此时AB= 当1m =-时，同理可得AB =当||1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-． 由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222148440k x k mx k m +-+-=． 设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，， 又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k =+． 所以AB ===由于当1m =±时，AB ，23||||AB m m==+， 当且当m =时，2AB =．所以AB 的最大值为2．【练习题】1．已知A B C ，，是椭圆m ：22221(0)y x a b a b+=>>上的三点，其中点A 的坐标为(230)，，BC 过椭圆m 的中心，且0||2||AC BC BC AC ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，． (1)求椭圆m 的方程；(2)过点(0 )M t ，的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P Q ，，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =u u u r u u u r ，求实数t 的取值范围．2．已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(10)N ，，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP上，且满足20NP NQ GQ NP =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，． (1)若104m n r =-==，，，求点G 的轨迹C 的方程；(2)若动圆M 和(1)中所求轨迹C 相交于不同两点A B ，，是否存在一组正实数m n r ，，，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．3．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线：y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点(A B ，不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．4．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点1(2)M ，，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l交椭圆于A B ，两个不同点．(1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围；(3)求证直线MA MB ，与x 轴始终围成一个等腰三角形．。