高三一轮专题---数列复习大串讲(解析版)

高三一轮专题复习--------数列

一、知识网络

二、重难点突破

热门知识点01 求数列的最大项、最小项

求数列的最小项或最大项的方法：

（1）利用作差比较法或作商比较法判断出数列的单调性，进而找出数列的最小项或最大项．

（2）令或，解不等式组，找出数列的最小项或最大项．

典例一：已知数列{a n}中，a n＝n•（）n+1，求此数列的最大项的项数．

【解答】解：假设数列的最大项的项数为a n，

则满足，

则，

即，

解得，

即，

即n＝4，

故数列的最大项的项数为4．

典例二：已知数列的通项公式a n，求该数列的最大项．

【解答】解：a n，

当x＞0时，函数y＝x在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，

∴当n＝4时，4，

当n＝5时，5，

∴当n＝4时，n最小，此时a n最大，

即最大项为a4

热门知识点02 由Sn与an间的关系求an

（1）已知求

由前项和求通项公式的主要步骤有四部：①令确定；②由确定；

③检验②中时的结果是否等于；④写出通项公式（若③中符合，则合着写；若不符，则分段写）．

（2）已知与之间的关系求

解决此类问题通常有两种途径：①由关系式消去建立与或之间的关系求；

②由关系式消去建立与或之间的关系求，进而求．

典例一：已知数列{a n}的前n项和S n＝3+2n，求a n．

【解答】解：a1＝S1＝3+2＝5，

a n＝S n﹣S n﹣1＝（3+2n）﹣（3+2n﹣1）＝2n﹣1，

当n＝1时，2n﹣1＝1≠a1，

∴．

典例二：数列的前n项的和S n＝2n2+n+1，求数列的通项公式．

【解答】解：当n≥2时，有a n＝S n﹣S n﹣1＝2n2+n+1﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）+1]＝4n﹣1；，

而a1＝S1＝4不适合上式，

所以．

热门知识点03 利用等差数列的性质解题

对于等差数列的运算问题，可观察已知项和所求项的序号之间的关系，利用等差数列的性质求解．

典例一：已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a8+a12＝12，则S13＝（）

A．104 B．78 C．52 D．39

【解答】解：因为已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a8+a12＝3a1+18d＝3a7＝12，故a7＝4，所以S1313a7＝13×4＝52．

故选：C．

典例二：在等差数列{a n}中，已知a2+a5+a12+a15＝36，则S16＝（）

A．288 B．144 C．572 D．72

【解答】解：a2+a5+a12+a15＝2（a2+a15）＝36，

∴a1+a16＝a2+a15＝18，

∴S168×18＝144，

故选：B．

热门知识点04 求数列{|an|}前n项和的方法

给出数列，要求数列的前项和，关键是分清取什么值时．

一般地，如果数列为等差数列，为其前项和，，那么有：

（1）若，则由

（2）若，则由

典例一：已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝35，a2a4＝45．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）记b n＝|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．

【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，

由S7＝35，a2a4＝45，

得，

解得，

∴a n＝11+（n﹣1）×（﹣2）＝13﹣2n．

（2）由a n＝13﹣2n＞0，得n，

∴当n≤6时，a n＞0，

此时T n＝|a1|+|a2|+…+|a n|＝a1+a2+…+a n

12n﹣n2，

当n＞6 时，a n＜0，

此时T n＝|a1|+|a2|+…+|a n|＝a1+a2+…+a6﹣（a7+a8+…+a n）

＝2（a1+a2+…+a6）﹣（a1+a2+…+a6+a7+…+a n）

＝2×（12×6﹣62）﹣（12n﹣n2）＝n2﹣12n+72，

∴T n．

典例二：等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5＝﹣5，S7＝﹣49．

（1）求数列{a n}的通项公式a n和前n项和S n；

（2）求数列{|a n|}的前24项和T24．

【解答】解：（1）由题得，，

∴a n＝﹣13+2（n﹣1）＝2n﹣15，

S n n（n﹣14）．

（2）当1≤n≤7时，a n＜0，当n＞8时，a n＞0．

S7＝7×（7﹣14）＝﹣49，S24＝24×（24﹣14）＝240．

∴T24＝﹣S7+（S24﹣S7）＝S24﹣2S7＝338．

热门知识点05 等比数列前n项和公式与性质的应用

利用等比数列的前项和公式解题，属同行通法；利用性质解题，方法灵活，技巧性强，有时能使计算简便．

等比数列前项和的性质：

①项的个数的“奇偶”性质：等比数列中，公比为，

a．若共有项，则；

b．若共有项，则．

②“片断和”性质：等比数列中，公比为，则个连续项的和（和不为0），

构成公比为的等比数列．

典例一：已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，S6＝54，则数列{a n}的公比为（）A．B．C．2 D．3

【解答】解：依题意可得q≠1，

∵S36，S654，

∴1+q3＝9，

∴q＝2，

故选：C．

典例二：已知数列{a n}为等比数列，满足a3a11＝6a7；数列{b n}为等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，则S13＝（）

A．13 B．48 C．78 D．156

【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，满足a3a11＝6a7，

∴6a7，

解得a7＝6

∵数列{b n}为等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，

∴b7＝a7＝6，

∴S1313b7＝13×6＝78．

故选：C．

热门知识点06 数列求和的常用方法

（1）公式法求和

①直接用等差、等比数列的求和公式．

②掌握一些常见的数列的前项和公式．