高三数学反函数试题答案及解析
高三数学反函数试题答案及解析
高三数学反函数试题答案及解析1.已知函数，则．【答案】1【解析】因为，所以因此【考点】反函数2.把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f(x)=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图像向右平移一个单位长度变为，函数的反函数是，则有，设，则，所以，即函数.【考点】1.反函数；2.函数图像的平移变换3.在同一平面直角坐标系中，已知函数的图象与的图象关于直线对称，则函数对应的曲线在点（）处的切线方程为．【答案】【解析】由题意知，，所求的切线斜率为，所以切线方程为化简即.【考点】互为反函数的函数图象的关系，导数的几何意义，切线方程的求法.4.函数的反函数是．【答案】【解析】对于函数=y,则可知2x-1=2，x= (2+1),互换x,y可知得到的反函数为,故答案为【考点】反函数点评：主要是考查了反函数的解析式的求解，属于基础题。
5.函数的反函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据已知函数，函数，由得，所求反函数为，选B。
【考点】反函数点评：主要是考查了反函数的求解，属于基础题。
6.若满足2x+="5," 满足2x+2(x－1)="5," +＝A．B．3C．D．4【答案】A【解析】如图示：因为2x+=5,，所以有，可令，则即为两函数图像交点A的横坐标；又因为2x+2(x－1)=5,，可令，则即为此两函数图像交点B的横坐标，则点A、点B关于直线对称，即直线与直线的交点即是点A、点B的中点，所以有中点坐标公式可得，所以，选择A【考点】本题主要考查互为反函数的同底指对数函数图像的对称性。
点评：要求学生具有很好的数学功底与很好的逻辑思维能力，如果可以结合图像，数形结合的解决本题会使得思路更加清晰，处在选择题中应该可以归为难题了。
7.函数为奇函数，是y＝f(x)的反函数，若f(3)=0则=_______．【答案】-1【解析】因为函数为奇函数，是y＝f(x)的反函数，若f(3)=0则=-18.已知函数f (x)=a x+2-1（a>0，且a≠1）的反函数为．（1）求；（注意：指数为x+2）（2）若在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a的值；（3）设函数，求不等式g(x)≤对任意的恒成立的x的取值范围．(x+1)-2(x>-1)．（2）或．【答案】（1）=loga（3）满足条件的x的取值范围为．【解析】本题考查反函数，考查函数的最值及其几何意义，考查函数恒成立问题，综合性强，考查化归思想、方程思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题（y+1）-2，即可得f-1（x）；（1）由y="f" （x）=a x+2-1，求得x=loga（2）对底数a分a＞1与0＜a＜1两类讨论，分别求得其最大值与最小值，利用f-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，即可求得a的值；（3）由题意可得转化为不等式x2≤a3+1对任意的恒成立，从而可求得x的取值范围。
反函数(练习+详细答案)
提能拔高限时训练7 反函数一、选择题1.若y ＝f(x)有反函数,则方程f(x)＝a(a 为常数)的实根的个数为( )A.无实数根B.只有一个实数根C.至多有一个实数根D.至少有一个实数根解析:y ＝f(x)存在反函数,则x 与y 是“一对一”的.但a 可能不在值域内,因此至多有一个实根. 答案:C2.设函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x),若f(x)＝2x ,则f -1(21)的值为( ) A.2 B.1 C.21 D.-1 解析:令f(x)＝2x ＝21,则x ＝-1,故f -1(21)＝-1,故选D. 答案:D3.若函数y ＝f(x-1)的图象与函数1ln +=x y 的图象关于直线y ＝x 对称,则f(x)等于…( )A.e 2x-1B.e 2xC.e 2x+1D.e 2x+2 解析:由函数y ＝f(x-1)的图象与函数1ln+=x y 的图象关于直线y ＝x 对称,可知y ＝f(x-1)与1ln +=x y 互为反函数,有1ln +=x y ⇒1ln -=y x ⇒1-=y e x ⇒x ＝e 2y-2,所以y ＝e 2x-2⇒y ＝f(x-1)＝e 2x-2.故f(x)＝e 2x .答案:B4.已知函数f(x)＝2x+3,f -1(x)是f(x)的反函数,若mn ＝16(m,n ∈R +),则f -1(m)+f -1(n)的值为( )A.-2B.1C.4D.10 解析:设y ＝2x+3,则有x+3＝log 2y,可得f -1(x)＝log 2x-3.于是f -1(m)+f -1(n)＝log 2m+log 2n-6＝log 2mn-6＝-2.答案:A5.设函数x x f -=11)((0≤x ＜1)的反函数为f -1(x),则( )A.f -1(x)在其定义域上是增函数且最大值为1B.f -1(x)在其定义域上是减函数且最小值为0C.f -1(x)在其定义域上是减函数且最大值为1D.f -1(x)在其定义域上是增函数且最小值为0解析:由x x f -=11)((0≤x ＜1),得该函数是增函数,且值域是［1,+∞),因此其反函数f -1(x)在其定义域上是增函数,且最小值是0.答案:D6.函数⎩⎨⎧<-≥=0,,0,22x x x x y 的反函数是( )A.⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,0,2x x x x y B.⎩⎨⎧<-≥=0,0,2x x x x y C.⎪⎩⎪⎨⎧<--≥=0,0,2x x x x y D.⎩⎨⎧<--≥=0,0,2x x x x y解析:当x ≥0时,y ＝2x,且y ≥0, ∴2)(1x x f =-(x ≥0). 当x ＜0时,y ＝-x 2且y ＜0, ∴x x f --=-)(1(x ＜0).∴函数⎩⎨⎧<-≥=0,,0,22x x x x y 的反函数是⎪⎩⎪⎨⎧<--≥=.0,,0,2x x x x y 答案:C7.(2009北京东城期末检测,7)已知函数24)(x x f --=在区间M 上的反函数是其本身,则M 可以是( )A.［-2,-1］B.［-2,0］C.［0,2］D.［-1,0］ 解析:画出函数24)(x x f --=; 由24x y --=得y 2＝4-x 2且y ≤0,即x 2+y 2＝4,y ≤0,所以图象是以(0,0)为圆心,以2为半径的圆在x 轴下方的部分(包括点(±2,0));又y ＝f(x)在区间M 上反函数是其本身,故y ＝f(x)图象自身关于y ＝x 对称,故区间M 可以是［-2,0］.答案:B8.设0＜a ＜1,函数)2(log log )(1x x x f aa -+=,则函数f -1(x)＜1的x 的取值范围是( )A.(0,2)B.(2,+∞)C.(0,+∞)D.(log a (2-a),+∞) 解析:f(x)在(0,2)上是减函数,所以x ＞f(1)＝0.故选C.答案:C9.设函数为y ＝f(x)的反函数为y ＝f -1(x),将y ＝f(2x-3)的图象向左平移2个单位,再作关于x 轴的对称图形所对应的函数的反函数是( ) A.21)(1--=-x f y B.2)(11x f y --=- C.2)(1x f y -= D.21)(-=x f y解析:由题意知,最后得到的图形对应的函数可以表示为y ＝-f ［2(x+2)-3］＝-f(2x+1),即-y ＝f(2x+1),2x+1＝f -1(-y),21)(1--=-y f x ,故所求函数的反函数是21)(1--=-x f y . 答案:A 10.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=,1,13,1,12)(x x x x x x f 若函数y ＝g(x)的图象与函数y ＝f -1(x-1)的图象关于直线y ＝x 对称,则g(11)的值是( ) A.512 B.913 C.513 D.1115 解析:∵函数y ＝g(x)的图象与函数y ＝f -1(x-1)的图象关于直线y ＝x 对称,∴函数y ＝g(x)与函数y ＝f -1(x-1)互为反函数.由g(11)得f -1(x-1)＝11,∴x-1＝f(11),即x ＝f(11)+1.∵57)11(=f ,∴512)11(=g . 答案:A二、填空题11.设f(x)＝x 5-5x 4+10x 3-10x 2+5x+1,则f(x)的反函数为f -1(x)＝_____________.解析:∵f(x)＝(x-1)5+2, ∴12)(51+-=-x x f .答案:125+-x12.若函数)54(541≠++=a x ax y 的图象关于直线y ＝x 对称,则a ＝_________. 解析:∵54≠a , ∴541++=x ax y 不是常函数,且存在反函数. 在f(x)的图象上取一点(0,51),它关于y ＝x 的对称点(51,0)也在函数f(x)的图象上,可解得a ＝-5.答案:-513.已知函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,其反函数为f -1(x),则f -1(3x-2)的定义域为___________,值域为____________.解析:由于函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,所以其反函数f -1(x)的定义域为［-3,3］,值域为［-1,1］.所以由-3≤3x-2≤3,解得31-≤x ≤35.故函数f -1(3x-2)的定义域为［31-,35］,值域为［-1,1］.答案:［31-,35］ ［-1,1］ 14.(2009河南南阳期末质检,14)定义在R 上的函数y ＝f(x)有反函数,则函数y ＝f(x+1)+2与y ＝f -1(x+1)+2的图象关于直线__________对称.解析:函数y ＝f(x)沿向量(-1,2)平移得到函数y ＝f(x+1)+2,函数y ＝f -1(x)沿向量(-1,2)平移得到函数y ＝f -1(x+1)+2,又y ＝f(x)与y ＝f -1(x)关于y ＝x 对称,y ＝x 沿向量(-1,2)平移得到y ＝x+3,∴y ＝f(x+1)+2与y ＝f -1(x+1)+2关于y ＝x+3对称.答案:y ＝x+3三、解答题15.已知函数11)(-+=x x x f ,g(x)＝f -1(-x),求g(x). 解: 由11-+=x x y ,得xy-y ＝x+1, ∴11-+=y y x ,即11)(1-+=-x x x f . ∴g(x)＝f -1(-x)＝11+-x x . 16.已知函数f(x)＝2(1121+-x a )(a ＞0且a≠1). (1)求函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x);(2)判定f -1(x)的奇偶性；(3)解不等式f -1(x)＞1.解:(1)化简，得11)(+-=x x a a x f . 设11+-=x x a a y ,则y y a x -+=11. ∴yy x a -+=11log . ∴所求反函数为xx x f y a-+==-11log )(1(-1＜x ＜1). (2)∵)(11log )11(log 11log )(111x f x x x x x x x f a a a ----=-+-=-+=+-=-, ∴f -1(x)是奇函数. (3)111log >-+xx a . 当a ＞1时， 原不等式⇒a x x >-+11⇒011)1(<--++x a x a . ∴11+-a a ＜x ＜1.当0＜a ＜1时，原不等式⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11xx a x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x a a x 或 ∴-1＜x ＜aa +-11. 综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为(11+-a a ,1); 当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为(-1，11+-a a ). 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=,0,1,0,0,0,1)(x x x x f 若g(x)＝(x-1)2f(x-1),y ＝g(x)的反函数为y ＝g -1(x),则g(-1)·g -1(-4)＝___________.解析:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=-.1,1,1,0,1,1)1(x x x x f∴g(x)＝(x-1)2f(x-1)＝⎪⎩⎪⎨⎧<--=>-.1,)1(,1,0,1,)1(22x x x x x设g(x)＝-4,可得-(x-1)2＝-4且x ＜1,解得x ＝-1.∴g(-1)＝-4.∴g -1(-4)＝-1.∴g(-1)·g -1(-4)＝-4×(-1)＝4.答案:4【例2】 已知f(x)是定义在R 上的函数,它的反函数为f -1(x).若f -1(x+a)与f(x+a)互为反函数且f(a)＝a(a 为非零常数),则f(2a)＝____________.解析:设y ＝f -1(x+a),则x ＝f(y)-a,即y ＝f -1(x+a)的反函数为y ＝f(x)-a,∴f(x+a)＝f(x)-a. 令x ＝a,得f(2a)＝f(a)-a ＝a-a ＝0.答案:0。
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2．4 反函数·例题解析【例1】求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0)(0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+-解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)，由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122x x yy xx++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1)x(1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2，反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x(2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a axx 令x ＝0，∴a ＝－3．或解 由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax bcx d++试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc adc cxd dx bcx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)， 因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x xx-+-++-+----121212112212111解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a--111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax aa x ax ----111111∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，且2t t -，是关于x的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，， 且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ） 由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-． ∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ） Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ．米 Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．函数关系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+． 图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． ) 图(1)90 图(2)90天21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >． （3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价．故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100；②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593； ③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56．综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++） （2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+ 1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-（舍），2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-<（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）． 解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元．（1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分） 不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系 （1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=> ∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令M N x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ， MN MFAD AB∴=．B A D MF2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-．(102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b =+⎧∴⎨=+⎩ 解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中． （1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴．BB 图(1)图(2)l∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30， ∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。
高中数学-反函数例题选讲
高中数学-反函数例题选讲【例1】求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)， 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122x x y y x x++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．或解 由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d++ 试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc ad c cx d dx b cx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)，因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x 设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x-+-++-+----121212112212111解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关 系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12 【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax aa x ax ----111111 ∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．。
反函数题型及解析
反函数题型及解析1.求下列函数的反函数，找出它们的定义域和值域（1）y=2+lg（x+1）；（2）y=3+；（3）y=．2.求函数的反函数（1）y=（2）y=（3）y=lnx+1 （4）y=3x+23.求下列函数的反函数的定义域（1）y=（2）（3）4.求下列函数的反函数，并指出该函数和它的反函数的定义域（1）y=；（2）y=；（3）y=e x﹣15.求下列函数的反函数（1）y=；（2）y=（e x﹣e﹣x）；（3）y=1+ln（x﹣1）6.求下列函数的反函数．（1）y=log（1﹣x）+2（x＜0）；（2）y=2﹣（﹣2≤x≤0）；（3）y=（﹣1≤x≤0）；（4）y=x|x|+2x．反函数题型解析1.分析:（1）由对数式的真数大于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，化对数式为指数式，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域；（2）由根式内部的代数式大于等于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域；（3）由分式的分母不为0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y 互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域．解：（1）y=2+lg（x+1），由x+1＞0，可得x＞﹣1，∴原函数的定义域为（﹣1，+∞），值域为R．由y=2+lg（x+1），得lg（x+1）=y﹣2，化为指数式得，x+1=10y﹣2，x，y互换得：y=10x﹣2﹣1，此反函数的定义域为R，值域为（﹣1，+∞）；（2）y=3+，由x≥0，可得原函数的定义域为[0，+∞），值域为[3，+∞）．由y=3+，得，x=（y ﹣3）2，x，y互换得：y=（x﹣3）2，此反函数的定义域为[3，+∞），再由为[0，+∞）；（3）y=，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴原函数的定义域为{x|x≠﹣1}，由y==，∴原函数的值域为{y|y≠1}．由y=，得yx+y=x﹣1，即（1﹣y）x=1+y，∴x=，x与y互换得：，此反函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠﹣1}．2. 分析：由已知的解析式求出x的表达式，再把x换成y、y换成x，并注明反函数的定义域．解：由y=的得，xy+4y=x﹣4，解得（y≠1），所以（x≠1），则函数y=的反函数是（x≠1）．（2）函数y=可得：2x=2x y+y．可得2x（1﹣y）=y，2x=，可得x=，函数y=的反函数为y=．（3）由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1，∵x＞0，∴y∈R所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）；（4）∵y=3x+2，∴3x=y﹣2，又3x＞0，故y＞2，∴x=log3（y﹣2）（y＞2），∴函数y=3x+2的反函数是y=log3（x﹣2）（x＞2）3.分析：欲求反函数的定义域，可以通过求原函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可，反函数的定义域即为原函数的值域求解即可解：（1）∵y=，∴ye x+y=e x，∴（y﹣1）e x=﹣y，∴，∴x=ln，x，y互换，得函数y=的反函数为：，，解得反函数的定义域为：{x|0＜x＜1}（2）反函数的定义域即为原函数的值域，由，x＞0，所以，所以，则y＜0，反函数的定义域为（﹣∞，0）（3）由得，e x=．∵e x＞0，∴＞0，∴﹣1＜y＜1，∴反函数的定义域是（﹣1，1）4.解：（1）由y=，即2xy﹣y=x，x（2y﹣1）=y，解得x=，x，y互换得y=，其定义域为{x|x ≠}（2）由（2）y=可得y2=2x﹣3，即x=（y2+3），x，y互换得y=（x2+3），因为原函数的值域为[0，+∞），则反函数的定义域为[0，+∞）（3）由y=e x﹣1则x﹣1=lny，即x=1+lny，x，y互换得y=1+lnx，则其定义域为（0，+∞）5.分析:由已知解析式，用y表示出x，然后把x与y互换，即得反函数，应注意定义域与值域的互换．解：（1）由y=得到x=，把x与y互换可得：y=，（x∈R）；（2）由y=（e x﹣e﹣x）得到：e x=y±，∵e x＞0，∴e x=y+，由此得：x=ln（y+）∴函数y=（e x﹣e﹣x）的反函数是y=ln（x+）（x∈R）；（3）∵y=1+ln（x﹣1）∴x=e y﹣1+1（y∈R），∴函数y=1+ln（x﹣1）的反函数为y=e x﹣1+1（x∈R）；6.分析:首先确定函数的值域，即反函数的定义域，然后看作方程解出x，从而将x与y互换即可．解：（1）∵y=log（1﹣x）+2（x＜0）；∴y＜2，∴y=﹣log2（1﹣x）+2，∴x=1﹣22﹣y，即y=1﹣22﹣x，（x＜2）；（2）∵y=2﹣（﹣2≤x≤0）的值域为[0，2]，∴x=﹣，即y=﹣，（x∈[0，2]）；（3）∵y=（﹣1≤x≤0）的值域为[，1]，∴x2=1+log3y，∴x=﹣，故y=﹣，（≤x≤1）；（4）y=x|x|+2x的值域为R，当x≥0时，y=x2+2x，故x=，当x＜0时，y=﹣x2+2x，x=1﹣；故y=．。
SXA265高考数学必修_反函数高考常考题型(分析加练习)
反函数高考常考题型反函数这部分内容是高中数学的一个难点，在高考中一般以选择填空题出现的可能性较大。
由于对反函数知识在理解上有偏差，有的同学常对这类问题束手无策。
本文将全面介绍高考中反函数常考题型。
一、求反函数型例1 函数()1x f x x =-的反函数1()f x -=——————————— 解：用y 表示x ，由1xy x =-（x ≠1）得(1)y x x -=，即yx y x -=，(1)x y y -=，∴当1y ≠时，得1yx y =-。
将将x 、y 互换，有1xy x =-。
∵原函数的值域就是反函数的定义域，∴由原函数1x y x =-=111x +-知原函数的值域为{y|y R ∈，且1y ≠}，可得反函数的定义域为{x|x R ∈，且1x ≠}。
故所求反函数为1xy x =-（{x|x R ∈，且1x ≠}）点评：求反函数一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f(x)反求出x=Ф(y)；（2）交换x=Ф(y)中x 、y 的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）。
二、求定义域值域型例2 设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为 ．解：因为3≥x ，,1log )1(2≥-x 所以有5log 4)1(2≥+=-x y24log (1)(3)y x x =+-≥的反函数的定义域为[5)+，∞点评：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域这一性质求解。
三、条件存在型例3函数f x x ax ()=--223在区间[]12，上存在反函数的充要条件是（ ）A. (]a ∈-∞，1B. [)a ∈+∞2，C. (][)a ∈-∞+∞，，12D. []a ∈12，解析：因为二次函数f x x ax ()=--223不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间(]-∞，a 或[)a ，+∞上是单调函数。
反函数练习（含详细解析）
反函数练习（含详细解析）反函数练习一．填空题1．若f（x）=（x﹣1）2（x≤1），则其反函数f﹣1（x）=．2．定义在R上的函数f（x）=2x﹣1的反函数为y=f﹣1（x），则f﹣1（3）=3．若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．4．已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=．5．函数y=x2+2（﹣1≤x≤0）的反函数是f﹣1（x）=．6．已知函数f（x）=2x+m，其反函数y=f﹣1（x）图象经过点（3，1），则实数m 的值为．7．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）=．8．函数f（x）=x2，（x＜﹣2）的反函数是．9．函数的反函数是．10．函数y=x2+3（x≤0）的反函数是．11．设函数f（x）=3x，若g（x）为函数f（x）的反函数，则g （1）=．12．设函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=x ﹣f（x）的图象经过点（2，5），则函数y=f﹣1（x）+3的图象一定过点．13．函数（x≤0）的反函数是．14．已知函数，则=．15．函数的反函数为f﹣1（x）=．16．函数的反函数的值域是．17．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=．18．设f（x）=4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）=．19．若函数y=ax+8与y=﹣x+b的图象关于直线y=x对称，则a+b=．20．已知函数f（x）=log2（x2+1）（x≤0），则f﹣1（2）=．参考答案一．填空题（共20小题）1．1﹣（x≥0）；2．2；3．；4．3；5．，x∈[2，3]；6．1；7．1；8．；9．f﹣1（x）=（x﹣1）2（x≥1）；10．y=﹣（x ≥3）；11．0；12．（﹣3，5）；13．（x≥﹣1）；14．﹣2；15．，（x∈（0，1））；16．；17．（x＞﹣2）；18．1；19．2；20．﹣；。
反函数(含答案)
反函数 一些结论:()1定义域上的单调函数必有反函数；()2奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数； ()3定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数. ()4周期函数在整个定义域内不存在反函数.（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．考点一。
反函数图象1.已知函数的反函数是，则的图象是（ ）解：由题意知则所以的图象可由的图象向右平移1个单位而得到。
故选（C ）。
考点二。
求反函数定义域，值域2.（1）若为函数的反函数，则的值域为_________。
解：利用反函数的值域就是原函数的定义域，立即得的值域为。
（2）已知p 为xe 2y =上一点，Q 为2ln ln y -=x 上一点，求PQ 最小值。
解：由题，两函数互为反函数，当PQ 与y=x 垂直，且P,Q 分别为两曲线切点时，PQ 最小。
2ln ln y -=x ，则1x 1y =='，即x=1,切点为（1，-ln2),故22ln 1d +=。
由对称性，PQ 最小值=)2ln 12+（。
（3）已知y=a 与y=2(x+1),y=x+lnx 交于A ，B 两点,求AB 最小值。
解：0x11y >+='，单调递增，y=2(x+1)单增且k=2,画图像得:要使AB 最小，只需B 到y=2(x+1)距离d 最小又5535212d =+-=，故AB min=d 25=23。
考点三。
求反函数3.（1）函数的反函数是（ ）A. B. C. D. 解：由可得，故从解得因所以即其反函数是故选（B ）。
（2）求下列函数的反函数： （1）2()(1)f x x x x =+≤-； （2）221(01)(){(10)x x f x x x -≤≤=-≤<.解：（1）由2(1)y x x x =+≤-得2211()(1)24y x x =+-≤-，∴211(0)24x y y +=-+≥，∴所求函数的反函数为211(0)24y x x =--+≥． （2）当01x ≤≤时，得1(10)x y y =+-≤≤，当10x -≤<时，得(01)x y y =-<≤，∴所求函数的反函数为1(10)(01)x x y x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩．（3）f(x)图像与g(x)图像关于直线x+y=0对称，则f(x)反函数为（ ) A.y=g(x) B.y=g(-x) C.y=-g(x) D.y=-g(-x)解：f(x)图像与g(x)图像关于直线x+y=0对称，∴-x=f(-y),即-y=)(f 1x --,则y=-)(f 1x --,)()(f 1x g x -=-∴-,故)(-g (f 1x x -=-），选D. 考点四。
高三数学反函数试题答案及解析
高三数学反函数试题答案及解析1.已知函数，则．【答案】1【解析】因为，所以因此【考点】反函数2.设方程和方程的根分别为和，函数，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，可得，同理，令，得，从而为曲线与直线交点的横坐标，为曲线与直线交点的横坐标，而曲线与曲线关于直线对称，故点与点关于直线对称，由于直线与直线对称，故的中点即为直线与直线的交点，故点的坐标为，由中点坐标公式可得，，故曲线的对称轴为直线，因此函数在上单调递增，故有，故选A.【考点】1.函数的零点；2.互为反函数的两个函数图象的关系；3.二次函数3.若函数是函数且的反函数，且函数的图像经过点，则____________.【答案】【解析】函数且的反函数是，又因为图像经过点，，解得：，所以．【考点】本题反函数的定义，学生的基本运算能力．4.函数与的图像关于直线对称，则 .【解析】由已知可知g（x）与f(x)是互为反函数，设g（3）=b，则1+logb=3，解得b=4，所以2g（3）=4.【考点】反函数的图象及其性质.5.函数的反函数（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由.∵x>0，∴y>0. ∴.故选A.【考点】反函数的求解.6.函数的反函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据已知函数，函数，由得，所求反函数为，选B。
【考点】反函数点评：主要是考查了反函数的求解，属于基础题。
7.设函数的反函数是，且过点，则经过点．【答案】【解析】因为函数的反函数是，且过点，而的图象就是的图象沿x轴向右平移1单位的结果，所以反函数是的图象过（0,2），的图象过（2,0），故经过点（3,0）.【考点】本题主要考查互为反函数的函数图象之间的关系，图象的平移。
点评：基础题，点（a,b）在函数的图象上，则点（b，a）在反函数的图象上。
8.若函数y=的图象经过（0，-1），则y=的反函数图象经过点( )A．（4，一1）B．（一1,-4）C．（-4,- 1）D．（1,-4）【答案】B【解析】根据原函数与反函数图象之间的关系可得结论，对于原函数与复合函数的所过定点问题，本题可利用在函数值-1保持不变的情况下，求出与原函数自变量x=0与之对应的复合函数的自变量x=-4，由函数y=f（x）的图象经过点（0，-1），所以当x=-4时有f（4+x）=f（0）=-1，从而函数y=f（4+x）过点（-4，-1），则函数y=f（4+x）的反函数并经过点（-1，-4），故答案为B。
高三一轮复习反函数
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数学 (大纲版)
解析：解法 1：求得 f－1(x)＝loga(x＋ x2＋1)(a>1) 由 f－1(x)>1 得 loga(x＋ x2＋1)>logaa， a2－1 ∴x＋ x2＋1>a，解得 x> . 2a 1 x －x 解法 2：∵a>1，∴f(x)＝ (a －a )为增函数． 2 根据函数与反函数的定义域、值域之间的关系，f－ 1 (x)>1. 即 在 f(x)中 ， 在 x>1 的 条 件 下 ， 求 f(x)的 范 a2－1 1 围．∴f(x)>f(1)＝ (a－a－1)＝ . 2 2a
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(1)函数y＝f(x)的反函数y＝f －1(x)的图象与y轴交于点 P(0,2)(如图1所示)，则方程f(x)＝0的根是x等于 ( )
A．4
C．2
B．3
D．1
(2)函数y＝1＋ax(0<a<1)的反函数的图象大致是下图中
的
解析：(1)∵反函数图象经过(0,2)， ∴原函数图象经过(2,0)， ∴x＝2.答案为C.
1(x)的
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2．互为反函数的函数图象间的关系 (1)函数y＝f(x)的图象和它的反函数y＝f －1(x)的图象关 于 直线y＝x 对称． (2)若函数y＝f(x)的图象过点(a，b)，则y＝f －1(x)的图 象必过点 (b，a) ，即f(a)＝b⇔ f－1(b)＝a .
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注意：互为反函数的两个函数的图象的对称性是在横、 纵坐标单位长度相同的前提下研究的．
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1－ax 1．(2009· 湖北高考)设 a 为非零实数，函数 y＝ 1＋ax 1 (x∈R，且 x≠－ )的反函数是 ( ) a 1－ax 1 A．y＝ (x∈R，且 x≠－ ) a 1＋ax 1＋ax 1 B．y＝ (x∈R，且 x≠ ) a 1－ax 1＋x C．y＝ (x∈R，且 x≠1) a(1－x) 1－x D．y＝ (x∈R，且 x≠－1) a(1＋x)
《反函数》典型例题精析
《反函数》典型例题解析【例1】求下列函数的反函数：（1）3521x y x -=+（12x ≠-）； （2）223y x x =-+（(],0x ∈-∞）；（3）211y x =+（0x ≤）； （4）()()1001x y x -≤≤=<≤⎪⎩。
【解析】（1）∵3521x y x -=+()313213132221242x x x +-==-++， 当12x ≠-时，32y ≠； 由3521x y x -=+可得()235y x y -=--，即523y x y --=-； ∴所求反函数为523x y x --=-（32x ≠）。
（2）∵223y x x =-+()212x =-+， ∴函数在(],0-∞上单调递减，其值域为[)3,+∞；又由()212y x =-+（(],0x ∈-∞）可得1x -=1x = 所以反函数为()11fx -=[)3,x ∈+∞） （3）∵211y x =+（0x ≤），其值域为01y <≤， 由211y x =+得x = 所以反函数为()1fx -=01x <≤）。
（4）由y =10x -≤≤）得值域为01y ≤≤，又由y =21x y =-，所以反函数为()121f x x -=-（01x ≤≤）；由y =01x <≤）得值域为10y -≤<，且由y =2x y =，所以反函数为()12f x x -=（10x -≤<）；故所求反函数为()()()212,101,01x x f x x x -⎧-≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩。
注意：分段函数的反函数一定为分段函数（由各段的反函数合并而成）。
【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．（1）1y =； （2）232y x =--（0x ≤）【解析】（1）∵已知函数的定义域是[)1,+∞，且函数1y =在定义域上单调递增， ∴值域为{}1y y ≥；又由1y =可得()211x y =++，所以函数1y =的反函数为()211y x =++（[)1,x ∈+∞）。
高三数学反函数试题
高三数学反函数试题1.函数的反函数为_______.【答案】【解析】由题意得，，所以反函数为.【考点】反函数.2.已知函数，则．【答案】1【解析】因为，所以因此【考点】反函数3.设点在曲线上，点Q在曲线上，则最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数与函数互为反函数，图象关于对称函数上的点到直线的距离为．设函数，由图象关于对称得：最小值为．4.已知，设函数的零点为，的零点为，则的最大值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，函数的零点为，即的图象相交于点；由得，函数的零点为，即的图象相交于点因为互为反函数，所以，即且，由基本不等式得，当且仅当时“=”成立，所以的最大值为.故选.【考点】函数的零点，反函数的图象和性质，基本不等式.5.已知函数的反函数满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的反函数为又，所以且 , .【考点】反函数,对数运算,均值不等式6.．设的反函数的解析式是，【答案】【解析】解：因为，那么配凑变形可知的反函数的解析式是7.如果函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调递减区间是A．B．C．D．【答案】D【解析】函数f(x)与g(x)互为反函数，所以,所以由,所以函数的单调递减区间为8.函数,则函数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】此题考查函数解析式和反函数的求法、考查反函数性质；【解法一】利用反函数性质：即；设，所以选C【解法二】因为，选C9.函数的图像与图像关于直线对称，则函数的单调增区间是__________【答案】【解析】略10.已知函数，则的反函数是A．B．C．D．【答案】A【解析】本题考查反函数概念，能根据原函数求出反函数.由得：则的反函数为.故选A11.函数的反函数为A．B．C．D．【答案】B【解析】由得：则反函数为故选B12.(本小题满分12分) 设a > 1，函数．（1）求的反函数；（2）若在[0，1]上的最大值与最小值互为相反数，求a的值；（3）若的图象不经过第二象限，求a的取值范围．【答案】解：(1) 由∴∴··································································· 4分(2) ∵ a > 1 ∴在[0，1]上递增∴，∴即∴······························································································· 8分(3) 在y轴上的截距为要使的图象不过第二象限，只需∴∴因此，a的取值范围为····································································· 12分【解析】略13.已知的图象关于点对称且存在反函数，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本题考查函数图像的对称性，反函数的概念，互为反函数的关系.若的反函数为则因为函数的图像关于点对称，所以则即则故选A14.（13分）已知的反函数为．（1）若函数在区间上单增，求实数的取值范围；（2）若关于的方程在内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．【答案】解：（1），因为，故题意在上单增且恒正，故必有于是且,解得；（2）方程，令，因为，故当时题意等价于方程即有两个不相等的正数根，故【解析】略15.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本题考查反函数的概念及互为反函数的图像性质及基本运算.因为指数函数与对数函数是互为反函数，互为反函数的函数图像关于直线对称；所以则故选A16.已知函数的反函数为(),则函数的图象必过定点（）A．（１，０）B．（０，１）C．（－１，０）D．（０，－１）【答案】A【解析】略17.已知函数f(x)＝()x，函数y＝f－1(x)是函数y＝f(x)的反函数．(1)若函数y＝f－1(mx2＋mx＋1)的定义域为R，求实数m的取值范围；(2)当x∈[－1,1]时，求函数y＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值g(a)；(3)是否存在实数m＞n＞3，使得g(x)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]？若存在，求出m、n 的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)∵f－1(x)＝logx(x＞0)，∴f－1(mx2＋mx＋1)＝log(mx2＋mx＋1)，由题知，mx2＋mx＋1＞0恒成立，∴①当m＝0时，1＞0满足题意；②当m≠0时，应有⇒0＜m＜4，∴实数m的取值范围为0≤m＜4.(2)∵x∈[－1,1]，∴()x∈[，3]，y＝[f(x)]2－2af(x)＋3＝[()x]2－2a()x＋3＝[()x－a]2＋3－a2，当a＜时，＝g(a)＝－；ymin当≤a≤3时，＝g(a)＝3－a2；ymin当a＞3时，y＝g(a)min＝12－6a.∴g(a)＝(3)∵m＞n＞3，且g(x)＝12－6x在(3，＋∞)上是减函数．又g(x)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]．∴②－①得：6(m－n)＝(m＋n)(m－n)∵m＞n＞3，∴m＋n＝6.但这与“m＞n＞3”矛盾．∴满足题意的m、n不存在．【解析】略18.已知函数的反函数是，则函数的图像必过定点（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略19.函数的反函数是_______ ___.【答案】【解析】略20.若函数存在反函数，且函数的图像过点，则函数的图象一定过点（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略21.已知函数的定义域为R，它的反函数为，如果与互为反函数，且，则的值为（）A．B．0C．D．【答案】B【解析】略22.【答案】f -1(x) = e2x（x∈R）【解析】略23.已知在区间上的反函数是其本身，则可以是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略24.函数的反函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略25.函数f(x)=的反函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略26.已知函数的反函数的对称中心为（－1，3），则实数a的值为。
(完整版)反函数基础练习含答案
反函数基础练习(一)选择题1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是[ ]A y (x 0)B y (x 0)C y (x 0)D y |x|．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x --2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ]A ．[0，＋∞)B ．[－∞，1]C ．(0，1]D ．(－∞，0]3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2[ ]A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2)B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2)C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1)D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1)4．下列各组函数中互为反函数的是[ ]A y y xB y y 2．＝和＝．＝和＝x x x11C y y (x 1)D y x (x 1)y (x 0)2．＝和＝≠．＝≥和＝≥3131311x x x x x +-+-5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是[ ]A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数C．若y＝f(x)是偶函数，则y＝f-1(x)也是偶函数D．若f(x)的图像与y轴有交点，则f-1(x)的图像与y轴也有交点6．如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是x 1y＝－，那么另一个函数是[ ] A．y＝x2＋1(x≤0)B．y＝x2＋1(x≥1)C．y＝x2－1(x≤0)D．y＝x2－1(x≥1)7．设点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，那么y＝f-1(x)的图像上一定有点[ ] A．(a，f-1(a))B．(f-1(b)，b)C．(f-1(a)，a) D．(b，f-1(b))8．设函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，则函数y＝f(－x)的反函数是[ ] A．y＝g(－x) B．y＝－g(x)C．y＝－g(－x) D．y＝－g-1(x)9．若f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则函数f-1(x)的草图是[ ]10y g(x)．函数＝的反函数是，则13x[ ]A ．g(2)＞g(－1)＞g(－3)B ．g(2)＞g(－3)＞g(－1)C ．g(－1)＞g(－3)＞g(2)D ．g(－3)＞g(－1)＞g(2) (二)填空题1y 32y (x 0)y f(x)y x ．函数＝＋的反函数是．．函数＝＞与函数＝的图像关于直线＝对称，x x ++2121 解f(x)＝________．3．如果一次函数y ＝ax ＋3与y ＝4x －b 的图像关于直线y ＝x 对称，那a ＝________，b ＝________．4y (1x 0)．函数＝－＜＜的反函数是，反函数的定92-x义域是________．5．已知函数y ＝f(x)存在反函数，a 是它的定义域内的任意一个值，则f -1(f(a))＝________．6y 7y (x 1)(x 1)8f(x)(x 1)f ()1．函数＝的反函数的值域是．．函数＝≥－＜的反函数是：．．函数＝＜－，则－＝．121121232x x x x ---⎧⎨⎪⎩⎪--(三)解答题1y 12f(x)．求函数＝＋的反函数，并作出反函数的图像．．已知函数＝．x ax x +++252(1)求函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)的值域；(2)若点P(1，2)是y ＝f -1(x)的图像上一点，求函数y ＝f(x)的值域．3．已知函数y ＝f(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)在它的定义域内也是增函数．4f(x)y g(x)y f (x 1)．设函数＝，函数＝的图像是＝＋的图像2311x x +-- 关于y ＝x 对称，求g(2)的值．参考答案(一)选择题1．(C)．解：函数y=－x 2(x ≤0)的值域是y ≤0，由y=－x 2得x=－－，∴反函数－－≤．y x f (x)=(x 0)1-2．(D)．解：∵y=－x 2－2x=－(x ＋1)2，x ≥0，∴函数值域y ≤0，即其反函数的定义域为x ≤0．3(D)y =x 21x 2y 1y =x 2．．解：∵－＋，≥，∴函数值域≥，由－＋1，得反函数f －1(x)=(x －1)2＋1，(x ≥1)．4．(B)．解：(A)错．∵y=x 2没有反函数．(B)中如两个函数互为反函数．中函数＋－≠的反函数是＋－≠而不是＋－．中函数≥的值域为≥．应是其反函数的定义域≥．但中的定义域≥，故中两函数不是互为反函数．(C)y =3x 1x (x 1)y =x 1x 3(x 3)y =3x 13x 1(D)y =x (x 1)y 1x 1y =x x 0(D)21 5．(B)．解：(A)中．∵y=f(x)在[1，2]上是增函数．∴其反函数y=f -1(x)在[f(1)，f(2)]上是增函数，∴(A)错．(B)对．(C)中如y=f(x)=x 2是偶函数但没有反函数．∴(C)错．(D)中如函数f(x)=x 2＋1(x ≥0)的图像与y 轴有交点，但其反函数－≥的图像与轴没有交点．∴错．f -(x)=x 1(x 1)y (D)1 6(A)y =y 0f (x)=x 12．．解：∵函数－－的值域≤；其反函数＋x 1-＋1(x ≤0)．选(A)．7．(D)．解：∵点(a ，b)在函数y=f(x)的图像上，∴点(b ，a)必在其反函数y=f -1(x)的图像上，而a=f -1(b)，故点(b ，f －1(b))在y=f -1(x)的图像上．选(D)．8．(B)．解：∵y=f(x)的反函数是y=f -1(x)即g(x)=f -1(x)，而y=f(－x)的反函数是y=－f -1(x)=－g(x)，∴选(B)．9．(C)．解：令t=x －1．∵x ≤1，∴t ≤0，f(t)=t 2＋2(t ≤0)，即f(x)=x 2＋2(x ≤0)，值域为f(x)≥2，∴反函数f -1(x)的定义域是x ≥2，值域y ≤0，故选(C)．10(B)g(x)=1x (0)33．．解：∵在－∞，上是减函数，又－＜－＜100g(3)g(1)g(2)=120g(2)g(3)g(1)3，∴＞－＞－而＞，∴＞－＞－．故选 (B)．(二)填空题1y =3y 3y =x 6x 2．解：∵函数＋＋的值域≥，其反函数－＋x 27(x ≥3)2y =12x 1(x 0)y 1f(x)=1x2x(x 1)．解：＋＞的值域＜，其反函数－＜． 3y =4x b y =14x x =ax ．解：函数－的反函数是＋，则＋＋，b b41443比较两边对应项系数得，．a =14b =12 4y =9x (1x 0)y (223)2．解：函数－－＜＜的值域∈，，反函数f -1 (x)=(223)－－．反函数的定义为，．92x5．a6．[0，2)∪(2，＋∞)7f (x)=x 1(x 1)1x(x 0)122．＋≥－＜-⎧⎨⎪⎩⎪8．－2(三)解答题1x 2y 1y =x 21=．解：∵≥－，得值域为≥．由＋＋得反函数f x -1()(x －1)2－2，(x ≥1)，其图像如右图．2．解(1)：∵y=f(x)的定义域是{x|x ≠1，x ∈R ，∴y=f -1(x)的值域是{y|y ≠1，y ∈R}．解(2)：∵点P(1，2)在，y=f -1(x)的图像上，点P(1，2)关于直线y=x的对称点为′，一定在的图像上，即由＋＋得－，∴－＋，其反函数－＋．∵的定义域为≠－，∈，∴的值域为≠－，∈．P (21)y =f(x)=1a =f(x)=10x 2x 4f -(x)=104x 2x 1f -(x){x|x x R}y =f(x){y|y y R}112522121212a3．证明略．4f(x)=2x 3x 1f -(x)=x 3f (x 1)=11．略解；＋－的反函数是＋－，∴＋x 2x 4x 1x 4x 1=2x =6g(2)=6＋－，由＋－得即．。
高考数学 第二章 第六节反函数
同步检测训练一、选择题 1．(2008·全国Ⅰ)若函数y ＝f (x －1)的图象与函数y ＝ln x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝( )A ．e 2x －1 B ．e 2xC ．e 2x ＋1D ．e 2x ＋2 答案：B解析：∵函数y ＝ln x ＋1的反函数为y ＝e 2(x －1)，即f (x －1)＝e 2(x －1)，∴f (x )＝e 2x ，故选B.2．(2008·北京)“函数f (x )(x ∈R )存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析：若函数f (x )在R 上为增函数，则x 与y 一一对应，故存在反函数，∴必要性成立；若函数f (x )存在反函数，则x 与y 一一对应，函数f (x )在R 上也可能是减函数，∴充分性不成立，故选B.3．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，－x 2，x <0的反函数是( )A ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≥0，－x ，x <0B ．y ＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，－x ，x <0C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－－x ，x <0D ．y ＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，－－x ，x <0答案：C解析：本题考查求分段函数的反函数． y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0－x 2，x <0，当x ≥0，x ＝y 2，∴y ＝x 2.当x <0，x ＝－－y ，∴y ＝－－x .∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－－x，x ≥0，x <0 故选C.4．(2009·郑州一测)定义在R 上的函数f (x )的反函数为f －1(x )，且对于任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝3，则f －1(x －1)＋f －1(4－x )＝( )A ．0B ．－2C ．2D ．2x －4 答案：A解析：由f (－x )＋f (x )＝3可知函数y ＝f (x )的图象关于点(0，32)对称，因此其反函数y ＝f－1(x )的图象必关于点(32，0)对称，即有f －1(x )＋f －1(3－x )＝0，故f －1(x －1)＋f －1[3－(x －1)]＝0，即f －1(x －1)＋f －1(4－x )＝0，选A.5．已知函数f (x )＝a －x x －a －1的反函数f －1(x )的图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫－1，32，则函数h (x )＝log a (x 2－2x )的单调递增区间是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0)D ．(2，＋∞)答案：C解析：由已知得f (x )＝－1－1x －(a ＋1)知，其对称中心是点(a ＋1，－1)，因此，其反函数f －1(x )的对称中心是点(－1，a ＋1)，结合题意得a ＋1＝32，a ＝12.因此函数h (x )的单调递增区间由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x >0x ≤1确定，由此解得x <0，即函数h (x )的单调递增区间是(－∞，0)．故选C. 6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3(x ＋1)， (x >4)2x －4， (x ≤4)的反函数为f －1(x )，且f －1⎝⎛⎭⎫18＝a ，则f (a ＋7)等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：A解析：当x >4时，f (x )＝－log 3(x ＋1)<－log 35<0；当x ≤4时，0<f (x )＝2x －4≤1.又f －1⎝⎛⎭⎫18＝a ，因此f (a )＝18>0,2a －4＝18＝2－3，a ＝1，f (a ＋7)＝f (8)＝－log 39＝－2.故选A.7．已知函数f (x )＝ax ＋3x －1的反函数为f －1(x )，若函数y ＝g (x )的图象与函数y ＝f －1(x ＋1)的图象关于直线y ＝x 对称，且g (3)＝72，则实数a 的值为( )A ．2B ．1C ．－1 D.12答案：A解析：由题意得f －1(x )＝x ＋3x －a，∴f －1(x ＋1)＝x ＋4x ＋1－a ，又∵g (3)＝72，∴y ＝x ＋4x ＋1－a中的x ＝72，y ＝3，代入解得a ＝2，故选A.8．(2009·湖北八校联考)已知函数f (x )＝12(e x ＋e x －2)(x <1)(其中e 是自然对数的底数)的反函数为f －1(x )，则有( )A ．f －1(12)<f －1(32)B ．f －1(12)>f －1(32)C ．f －1(32)<f －1(2)D ．f －1(32)>f －1(2)答案：A解析：∵函数f (x )＝12(e x ＋e x －2)＝e 2＋12e2e x 是一个单调递增函数，∴f －1(x )在(0，＋∞)上也是单调递增函数．又∵x <1，∴f (x )＝e 2＋12e 2e x <e 2＋12e 2e ＝e 2＋12e.e 2＋12e －2＝e 2－4e ＋12e ＝(e －2)2－32e ，∵2<e<3，∴0<e －2<1，∴(e －2)2－3<0，∴e 2＋12e<2； e 2＋12e －32＝e 2－3e ＋12e ＝(e －32)2－542e， ∵2.7<e<2.8，∴1.2<e －32<1.3，∴(e －32)2－54>0，∴e 2＋12e >32，∴32<e 2＋12e<2.∴在x <1时，函数f (x )＝12(e x ＋e x －2)的值域为(0，e 2＋12e )，其中32<e 2＋12e<2，故选A.二、填空题9．(2009·成都模拟)设函数f (x )＝e 2(x －1)，y ＝f －1(x )为y ＝f (x )的反函数，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤0)f －1(x )(x >0)，则g [g (－1)]＝__________. 答案：1解析：依题意得g (－1)＝－1＋2＝1，g [g (－1)]＝g (1)＝f －1(1)．设f －1(1)＝t ，则有f (t )＝1，即e 2(t －1)＝1，t ＝1，所以g [g (－1)]＝1.10．已知y ＝f (x )在定义域(0，＋∞)内存在反函数，且f (x －1)＝x 2－2x ＋1，则f －1(7)＝__________.答案：7解析：设x －1＝t ，则x ＝1＋t ，所以f (t )＝(t ＋1)2－2(t ＋1)＋1＝t 2，即f (x )＝x 2(x >0)，设f －1(7)＝a ，则f (a )＝a 2＝7，故a ＝7.11．(2009·湖北五市联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≥0)12(x <0)的反函数为f －1(x )，则f －1(18)＝________.答案：4解析：设f －1(18)＝m ，∴f (m )＝18，∴x 2＋2＝18，得x ＝±4，又x ≥0，∴x ＝4. 三、解答题12．求下列函数的反函数(1)y ＝2x ＋3x －1(x <－1)；(2)y ＝－x 2－1(x ≥1)； (3)y ＝x |x |＋2x .解：(1)y ＝2x ＋3x －1＝2＋5x －1，在x <－1时为减函数，存在反函数，原函数值域为{y |－12<y <2}．又由y ＝2x ＋3x －1，得x ＝y ＋3y －2，故反函数为y ＝x ＋3x －2(－12<x <2)．(2)∵x ≥1，∴y ＝－x 2－1≤0.由y ＝－x 2－1，得y 2＝x 2－1，∴x 2＝1＋y 2， ∵x ≥1，∴x ＝1＋y 2(y ≤0)． ∴f －1(x )＝1＋x 2(x ≤0)．(3)当x ≥0时，y ＝x 2＋2x ，即(x ＋1)2＝y ＋1， ∴x ＝－1＋y ＋1(y ≥0)．当x <0时，y ＝－x 2＋2x ，即1－y ＝(x －1)2.∴x ＝⎩⎨⎧－1＋y ＋1，(y ≥0)，1－1－y ，(y <0).∴所求反函数为y ＝⎩⎨⎧－1＋1＋x ，(x ≥0)，1－1－x ，(x <0).13．已知函数f (x )＝a ＋b x －1(b >0，b ≠1)的图象经过点A (1,3)，函数y ＝f －1(x ＋a )的图象经过点B (4,2)，试求f －1(x )的表达式．解：由f (x )＝a ＋b x －1(b >0，b ≠1)得， x －1＝log b (y －a )．∵b x －1>0，则a ＋b x －1>a ，∴y >a ，∴f －1(x )＝1＋log b (x －a )(x >a )， ∴f －1(x ＋a )＝1＋log b x (x >0)．∵点A 在f (x )的图象上，点B 在f －1(x ＋a )的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b 0＝3，log b 4＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4， ∴f －1(x )的表达式为f －1(x )＝log 4(x －2)＋1(x >2)．14．已知定义在R 上的函数f (x )的反函数为f －1(x )，且函数f (x ＋1)的反函数恰为y ＝f －1(x ＋1)．若f (1)＝3999，求f (2010)的值．解：∵y ＝f －1(x ＋1)，∴f (y )＝f [f －1(x ＋1)]． ∴x ＝f (y )－1.∴y ＝f －1(x ＋1)的反函数为y ＝f (x )－1.∵f (x ＋1)的反函数为y ＝f －1(x ＋1)． ∴f (x ＋1)＝f (x )－1.∴{f (n )}是以3999为首项，－1为公差的等差数列， ∴f (2010)＝3999－(2010－1)＝1990.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x >013x 3＋mx 2，x ≤0(m ∈R ，e ＝2.71828…是自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的极值；(2)当x >0时，设f (x )的反函数为f －1(x )，对0<p <q ，试比较f (q －p )、f －1(q －p )及f －1(q )－f －1(p )的大小．解：(1)当x >0，f (x )＝e x －1在(0，＋∞)上单调递增，且f (x )＝e x －1>0；当x ≤0时，f (x )＝13x 3＋mx 2，此时f ′(x )＝x 2＋2mx ＝x (x ＋2m )．①若m ＝0，f ′(x )＝x 2≥0，则f (x )＝13x 3，在(－∞，0]上单调递增，且f (x )＝13x 3≤0.又f (0)＝0，可知函数f (x )在R 上单调递增，无极值． ②若m <0，令f ′(x )＝x (x ＋2m )>0 ⇒x <0或x >－2m (舍去)．函数f (x )＝13x 3＋mx 2在(－∞，0]上单调递增，同理，函数f (x )在R 上单调递增，无极值．③若m >0，令f ′(x )＝x (x ＋2m )>0⇒x >0或x <－2m .函数f (x )＝13x 3＋mx 2在(－∞，－2m ]上单调递增，在(－2m,0]上单调递减．此时函数f (x )在x ＝－2m 处取得极大值：f (－2m )＝－83m 3＋4m 3＝43m 3>0；又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故在x ＝0处取得极小值：f (0)＝0.综上可知，当m >0时，f (x )的极大值为43m 3，极小值为0；当m ≤0时，f (x )无极值．(2)当x >0时，设y ＝f (x )＝e x－1⇒y ＋1＝e x ⇒x ＝ln(y ＋1)． ∴f －1(x )＝ln(x ＋1)(x >0)．(ⅰ)比较f (q －p )与f －1(q －p )的大小．记g (x )＝f (x )－f －1(x )＝e x －ln(x ＋1)－1(x >0)．∵g ′(x )＝e x －1x ＋1在(0，＋∞)上是单调递增函数，∴g ′(x )>g ′(0)＝e 0－10＋1＝0恒成立．∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∴g (x )>g (0)＝e 0－ln(0＋1)－1＝0. 当0<p <q 时，有q －p >0，∴g (q －p )＝e q －p －ln(q －p ＋1)－1>0.∴e q －p －1>ln(q －p ＋1)，即f (q －p )>f －1(q －p )．①(ⅱ)比较f －1(q －p )与f －1(q )－f －1(p )的大小． ln(q －p ＋1)－[ln(q ＋1)－ln(p ＋1)] ＝ln(q －p ＋1)－ln(q ＋1)＋ln(p ＋1)＝ln (q －p ＋1)(p ＋1)q ＋1＝ln pq ＋q －p 2－p ＋p ＋1q ＋1＝ln pq ＋q －p 2＋1q ＋1＝ln p (q －p )＋q ＋1q ＋1＝ln[p (q －p )q ＋1＋1]．∵0<p <q ，∴p (q －p )q ＋1＋1>1，故ln[p (q －p )q ＋1＋1]>0.∴ln(q －p ＋1)>ln(q ＋1)－ln(p ＋1)，即f －1(q －p )>f －1(q )－f －1(p )．②∴由①②可知，当0<p <q 时，有f (q －p )>f －1(q －p )>f －1(q )－f －1(p )．。
反函数专题含答案
反函数专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数y=e x的图象关于直线y=x对称，则f(x)=()A.ln(x−1)B.ln x−1C.ln(x+1)D.ln x+12. 指数函数y＝a x(a>0, a≠1)的反函数图象过点(4, 2)，则a＝（）A.3B.2C.9D.43. 已知函数y=f(x)的图象与函数y=2x+1(x>0)的图象关于直线y=x对称，则（）A.f(x)=log2x−1(x>2)B.f(x)=log2x−1(x>0)C.f(x)=log2(x−1)(x>2)D.f(x)=log2(x−1)(x>0)4. 函数y=√x23−1(x≥−1)的反函数是（）A.y=√(x+1)3(x≥−1)B.y=−√(x+1)3(x≥−1)C.y=√(x+1)3(x≥0)D.y=−√(x+1)3(x≥0)5. 若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数，则f(2)的值是（）A.4B.2C.1D.06. 函数y=(12)x2(x≥1)的反函数为（）A.y=√log12x(0<x≤2) B.y=−√log12x(0<x≤12)C.y=√log12x(0<x≤12) D.y=−√log12x(0<x≤2)7. 函数y=log2(√x+4−2)(x>0)的反函数是（）A.y=4x+2x+1(x>0)B.y=4x+2x+1(x∈R)C.y=4x+2x+2(x>0)D.y=4x+2x+2(x∈R)A.(−∞, 2]B.(−∞, −4]∪[2, +∞)C.[−2, +∞)D.(−∞, −2]∪[4, +∞)9. 已知函数y=f(x)与y=f−1(x)互为反函数，又y=f−1(x+1)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，若f(x)=log12(x2+2)(x>0)，那么g(√6)等于（）A.−4B.−3C.−2D.210. 已知函数f(x)=a x(a>0,a≠1)的反函数的图象经过点(√22,12)．若函数g(x)的定义域为R，当x∈[−2,2]时，有g(x)=f(x)，且函数g(x+2)为偶函数．则下列结论正确的是（）A.g(π)<g(3)<g(√2)B.g(π)<g(√2)<g(3)C.g(√2)<g(3)<g(π)D.g(√2)<g(π)<g(3)11. 函数f(x)=xx+1(x>0)的反函数为f−1(x)=________．12. 函数y=log2(√x+4+2)(x>0)的反函数是________．13. f(x)=−√1−x(x≤1)，则f−1(x)=________．14. 函数y=2x1+x（x∈(−1, +∞)）图象与其反函数图象的交点为________．15. 已知函数f(x)=|1−12x4x|的反函数为f−1(x)，则f−1(12)=________．16. 已知函数y=g(x)的图象与函数y=3x+1的图象关于直线y=x对称，则g(10)的值为________．17. 设f−1(x)为f(x)=3x−1+x−1，x∈[0, 1]的反函数，则y=f(x)+f−1(x)的最大值为________．18. 若函数y=2x+1x−a的图象关于直线y=x对称，则实数a的值为________．19. 若定义在R上的函数y=f(x+1)的反函数是y=f−1(x−1)，且f(0)=1，则f(2006)=________．，函数y=g(x)的图象与y=f−1(x−1)的图象关于直线y= 20. 已知函数f(x)=1−2x1+xx对称，则g(x)=________．的反函数．21. 求函数y=2x2x+122. 设y=f(x)是函数y=a x−1(a>0, a≠1)的反函数，（1）试比较3f(x)与f(3x)的大小；（2）若在区间[1, 2]上的最大值比最小值大1，求实数a的值．的反函数．23. 求函数y=x−4x+424. 一次函数y=−x的图象与它的反函数的图象重合，试写出一个非一次函数的函数，使它的图象与其反函数的图象重合．25. 已知函数f(x)=3x，且f−1(18)=a+2，g(x)=3ax−4x（1）求a的值；（2）求g(x)的表达式；（3）当x∈[−1, 1]时，g(x)的值域并判断g(x)的单调性．26. 已知函数f(x)=3x−3−x，求它的反函数f−1(x)．227. 已知函数f(x)=√a−3x的反函数为y=f−1(x)（1）求函数f(x)的反函数f−1(x)的解析式；（2）若y=f(x)的图象与直线y=x有交点，求实数a的取值范围；（3）判断方程f(x)=f −1(x)的实根的个数，并说明理由．28. 已知函数f(x)=log a (x +√1+x 2)(x ∈R ，a >0，a ≠1)．(1)判断f(x)奇偶性；(2)若g(x)图象与曲线y =f(x)(x ≥34)关于y =x 对称，求g(x)的解析式及定义域；(3)若g(x)<5m −5−m 2对于任意的m ∈N ∗恒成立，求a 的取值范围．29. 求证：若奇函数f(x)存在反函数，则反函数必为奇函数．30. 若函数f(x)=a +1x−b 与g(x)=1+c 2x+1互为反函数，求实数a 、b 、c 的值．31. 求函数f(x)=√x 2+x(x ≤−1)的反函数．32. 求函数y ={−x +1x 2−1<x <00≤x <1的反函数．33. 求函数f(x)=√x +√1+x 23+√x −√1+x 23(x ∈R)的反函数．34. 已知函数f(x)=log a (a x −1)(a >1)且x >1，求使f(2x)=f −1(x)的x 的值．35. 若函数y =1−ax 1+ax (x ≠−1a , x ∈R)的图象关于直线y =x 对称，求a 的值．36. 已知函数f(x)=3x+1x+a (x ≠−a, a ≠13)． （1）求f(x)的反函数f −1(x)；（2）若函数f(x)的图象关于直线y =x 对称，求实数a 的值．（1）求f(x)的反函数图象上点(1, 0)处的切线方程；（2）证明：曲线y =f(x)与曲线y =12x 2+x +1有唯一公共点；（3）设a <b ，比较f(a)+f(b)2与f(b)−f(a)b−a 的大小，并说明理由．38. 已知函数f(x)的反函数是f −1(x)，g(x)的反函数为g −1(x)．（1）求证f （g(x)）的反函数为g −1（f −1(x)）；（2）F(x)=f(−x)，G(x)=f −1(−x)，若F(x)是G(x)的反函数，求证：f(x)是奇函数．39. 已知函数f(x)=3x 的反函数经过点(18, a +2)，设g(x)=3ax −4x 的定义域为区间[−1, 1]，（1）求g(x)的解析式；（2）若方程g(x)=m 有解，求m 的取值范围；（3）对于任意的n ∈R ，试讨论方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数．40. 已知函数y =f(x)存在反函数，定义：若对给定的实数a(a ≠0)，函数y =f(x +a)与y =f −1(x +a)互为反函数，则称y =f(x)满足“a 和性质”．（1）判断函数g(x)=x 2+1(x >0)是否满足“1和性质”，说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数．参考答案与试题解析反函数专题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【考点】反函数【解析】与函数y=e x的图象关于直线y=x对称的函数为y=ln x，只需把y=ln x向左平移一个单位长度即可．【解答】解：由题意可知与函数y=e x的图象关于直线y=x对称的函数为y=ln x，只需把y=ln x向左平移一个单位长度得到y=ln(x+1)，∴f(x)=ln(x+1)，故选：C2.【答案】B【考点】反函数【解析】根据反函数与原函数的定义域和值域的关系求解即可．【解答】指数函数y＝a x(a>0, a≠1)的反函数图象过点(4, 2)，根据反函数的值域是原函数的定义域，可知：指数函数图象过点(2, 4)，可得，4＝a2，解得：a＝2；3.【答案】A【考点】反函数【解析】由题意可得，函数y=f(x)是函数y=2x+1(x>0)的反函数，求出函数y=2x+1(x> 0)的反函数，即可得到f(x)的解析式．【解答】解：由于函数y=f(x)的图象与函数y=2x+1(x>0)的图象关于直线y=x对称，故函数y=f(x)是函数y=2x+1(x>0)的反函数．由y=2x+1(x>0)可得x+1=log2y，x=log2y−1，y>2．故y=2x+1(x>0)的反函数为y=log2x−1 (x>2)，故f(x)=log2x−1，(x>2)．故选A．4.B【考点】反函数【解析】由条件求得y ≥−1，x =−√(y +1)3，把x 、y 互换，并注明反函数的定义域，即可求得反函数．【解答】解：∵ 函数y =√x 23−1(x ≥−1)，y ≥−1，∴ x 2=(y +1)3，故x =−√(y +1)3，故反函数为y =−√(x +1)3(x ≥−1)，故选B ．5.【答案】C【考点】反函数【解析】令反函数的值 2x =2，可得x 的值，即为f(2)的值．【解答】解：根据函数与反函数的关系，令 2x =2，可得x =1，故f(2)=1，故选C ．6.【答案】C【考点】反函数【解析】由y =(12)x 2(x ≥1)，能导出x =√log 12y ，0<y ≤12，x ，y 互换，得到函数y =(12)x 2(x ≥1)的反函数为y =√log 12x ，0<x ≤12． 【解答】解：∵ y =(12)x 2(x ≥1)，∴ x 2=log 12y ，0<y ≤12，x =√log 12y ，0<y ≤12，x ，y 互换，得到函数y =(12)x 2(x ≥1)的反函数为y =√log 12x ，0<x ≤12． 故选C ．7.【答案】D【考点】【解析】根据已知中函数y=log2(√x+4−2)(x>0)的解析式及定义域，我们可以求出函数的值域，即反函数的定义域，进而将x表示成Y的函数，进而即可得到函数y=log2(√x+4−2)(x>0)的反函数．【解答】解：∵函数y=log2(√x+4−2)(x>0)则函数的值域为R又∵函数的解析式可化为：√x+4−2=2y即√x+4=2y+2即x+4=(2y+2)2即x=4y+2y+2，故函数y=log2(√x+4−2)(x>0)的反函数是y=4x+2x+2(x∈R)故选D8.【答案】D【考点】反函数【解析】函数f(x)=x2−bx+2在闭区间[−1, 2]上有反函数，只须函数f(x)=x2−bx+2在闭区间[−1, 2]上是单调函数⇔f′(x)≥0或f′(x)≤0在[−1, 2]恒成立，从而转化求函数g(x)=2x，在[−1, 2]上的最值问题解决即可．【解答】解：对函数求导可得，f′(x)=2x−b，函数f(x)=x2−bx+2在闭区间[−1, 2]上有反函数，只须函数f(x)=x2−bx+2在闭区间[−1, 2]上是单调函数即f′(x)=2x−b≥0或f′(x)=2x−b≤0在[−1, 2]恒成立即b≤2x或b≥2x在[−1, 2]上恒成立令g(x)=2x，则g(x)在[−1, 2]上的最小值为−2，最大值是g(2)=4∴a≤−2或a≥4故选D．9.【答案】A【考点】反函数【解析】求出函数f(x)的反函数，在反函数解析式中取x=x+1，然后由得到的解析式等于√6求解x的值．【解答】解：由f(x)=log12(x2+2)(x>0)，得x=√(12)y−2，∴f(x)的反函数为f−1(x)=√(12)x−2(x<−1)．又y=f−1(x+1)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，由√(12)x+1−2=√6，得x=−4．故g(√6)=−4．故选A．10.【答案】C【考点】反函数【解析】本题考查函数的奇偶性、反函数．【解答】解：因为函数f(x)的反函数的图象经过点(√22,12)，则函数f(x)的图象经过点(12,√22)，则由√22=a12，解得a=12，所以f(x)=(12)x，所以函数f(x)在定义域内为减函数．因为g(x+2)为偶函数，所以g(x+2)=g(2−x)，所以g(3)=g(1+2)=g(2−1)= g(1)，g(π)=g[(π−2)+2]=g(4−π)．因为当x∈[−2,2]时，g(x)=f(x)，所以g(x)在[−2,2]上单调递减，又4−π<1<√2，所以g(4−π)>g(1)>g(√2)，即g(√2)<g(3)<g(π)．故选C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】x1−x，（x∈(0, 1)）【考点】反函数【解析】由y=f(x)=xx+1(x>0)，解得x=y1−y>0，解得0<y<1，即可得出．【解答】解：由y=f(x)=xx+1(x>0)，解得x=y1−y>0，解得0<y<1，因此f(x)的反函数为f−1(x)=x1−x，（x∈(0, 1)）．故答案为：x1−x，（x∈(0, 1)）．12.【答案】y=22x−4⋅2x(x>2)【考点】反函数【解析】【解答】解：∵y=log2(√x+4+2)(x>0)，∴y>2；√x+4+2=2y；则x=(2y−2)2−4=22y−4⋅2y(y>2)；故答案为：y=22x−4⋅2x(x>2)．13.【答案】1−x2，(x≤0)【考点】反函数【解析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=−√1−x(x≤1)，∴x=1−y2，(y≤0)故反函数为f−1(x)=1−x2，(x≤0)．故答案为：1−x2，(x≤0)．14.【答案】(0, 0)，(1, 1)【考点】反函数【解析】根据原函数和反函数关于y=x对称，解得原函数和y=x的交点即可．【解答】解：∵原函数和反函数关于y=x对称，∴联立{y=2x 1+xy=x，解的x=0或1，则当x=0时，y=0，当x=1时，y=1，故函数y=2x1+x（x∈(−1, +∞)）图象与其反函数图象的交点为为(0, 0)，(1, 1)，故答案为(0, 0)，(1, 1)．15.【答案】log23【考点】反函数【解析】先根据二阶行列式的运算法则化简函数，然后欲求f−1(12)的值，只须从条件中函数式f(x)=12中反解出x，即得f−1(12)的值．解：f(x)=|1−12x4x|=1×4x−(−1)×2x=4x+2x，令f(x)=12，即4x+2x=12，即(2x−3)(2x+4)=0，解得：2x=3即x=log23，根据f(a)=b，则f−1(b)=a，可知f−1(12)=log23．故答案为：log23．16.【答案】2【考点】反函数【解析】利用互为反函数的性质：定义域与值域互换的性质即可得出．【解答】解：∵函数y=g(x)的图象与函数y=3x+1的图象关于直线y=x对称，∴10=3x+1，解得x=2．∴g(10)=2．故答案为2．17.【答案】2【考点】反函数【解析】f(x)=3x−1+x−1，x∈[0, 1]，则f(x)在此区间上单调递增，可得f(x)∈[−23，1]，利用互为反函数的性质可得：f−1(x)在x∈[−23，1]上单调递增，f−1(x)∈[0, 1]．【解答】解：f(x)=3x−1+x−1，x∈[0, 1]，则f(x)在此区间上单调递增，∴f(x)∈[−23，1]，同理可得f−1(x)在x∈[−23，1]上单调递增，∴f−1(x)∈[0, 1]．∴y=f(x)+f−1(x)的最大值为2．故答案为：2．18.【答案】2【考点】反函数【解析】一个函数关于直线y=x对称，则这个函数与其反函数是同一个函数．【解答】 解：由y =2x+1x−a得xy −ay =2x +1，即x =1+ay y−2，即ff −1(x)=1+ax x−2，所以有a =2． 故答案为：2 19.【答案】 2007 【考点】 反函数 【解析】由y =f −1(x −1)，求出该函数的反函数，再由y =f −1(x −1)的反函数是y =f(x +1)，得到f(x +1)=f(x)+1，结合已知f(0)=1可求答案． 【解答】解：由y =f −1(x −1)，得x −1=f(y)，即x =f(y)+1． ∴ 函数y =f −1(x −1)的反函数为y =f(x)+1． 又y =f −1(x −1)的反函数是y =f(x +1)， ∴ f(x +1)=f(x)+1．∴ f(2006)=f(2005)+1=f(2004)+1+1=...=f(0)+1+1+...+1=f(0)+2006=2007． 故答案为：2007． 20. 【答案】 2−x1+x 【考点】 反函数 【解析】由已知中函数f(x)=1−2x 1+x，函数y =g(x)的图象与y =f −1(x −1)的图象关于直线y =x 对称，可得函数y =g(x)与y =f −1(x −1)互为反函数，根据互为反函数的图象的平移变换关系，可得函数y =g(x)的图象可由函数y =f(x)的图象向上平移一个单位得到，进而由函数图象的平移变换法则，可得答案． 【解答】解：∵ 函数y =g(x)的图象与y =f −1(x −1)的图象关于直线y =x 对称， ∴ 函数y =g(x)与y =f −1(x −1)互为反函数而y =f −1(x −1)的图象是把y =f −1(x)的图象向右平移一个单位 故函数y =g(x)的图象可由函数f(x)=1−2x 1+x的图象向上平移一个单位得到即y =g(x)=1−2x 1+x+1=2−x1+x故答案为：2−x1+x三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ） 21.【答案】解：函数y =2x 2x +1可得：2x =2x y +y ．可得2x (1−y)=y ， 2x =y1−y ， 可得x =log 2y1−y ，函数y =2x2x +1的反函数为：y =log 2x1−x ． 【考点】 反函数 【解析】直接利用反函数的对应求解反函数即可． 【解答】解：函数y =2x2x +1可得：2x =2x y +y ． 可得2x (1−y)=y ， 2x =y1−y ， 可得x =log 2y1−y ，函数y =2x2x +1的反函数为：y =log 2x1−x ． 22.【答案】解：由y =a x −1(a >0, a ≠1)，得a x =1+y ，即x =log a (1+y)， x ，y 互换得：y =log a (1+x)，∴ f(x)=log a (1+x)(a >0, a ≠1)．（1）3f(x)=3log a (1+x)=log a (1+x)3，f(3x)=log a (1+3x)，∵ (1+x)3−(1+3x)=1+3x +3x 2+x 3−1−3x =3x 2+x 3=x 2(3+x)>0(x >−1)， ∴ (1+x)3>1+3x ．当a >1时，3f(x)>f(3x)； 当0<a <1时，3f(x)<f(3x)．（2）当a >1时，f(x)=log a (1+x)在区间[1, 2]上的最大值与最小值分别为log a 3，log a 2，由log a 3−log a 2=log a 32=1，解得a =32；当0<a <1时，f(x)=log a (1+x)在区间[1, 2]上的最大值与最小值分别为log a 2，log a 3，由log a 2−log a 3=1，解得：a =23．【考点】 反函数 【解析】（1）求出函数的反函数，得到3f(x)与f(3x)，然后利用作差法比较真数的大小，然后利用对数函数的单调性得答案；（2）分类求出函数在区间[1, 2]上的最大值比最小值，由最大值比最小值大1求实数a 的值．【解答】解：由y =a x −1(a >0, a ≠1)，得a x =1+y ，即x =log a (1+y)， x ，y 互换得：y =log a (1+x)，∴ f(x)=log a (1+x)(a >0, a ≠1)．（1）3f(x)=3log a (1+x)=log a (1+x)3，f(3x)=log a (1+3x)，∵ (1+x)3−(1+3x)=1+3x +3x 2+x 3−1−3x =3x 2+x 3=x 2(3+x)>0(x >−1)， ∴ (1+x)3>1+3x ．当a >1时，3f(x)>f(3x)； 当0<a <1时，3f(x)<f(3x)．（2）当a >1时，f(x)=log a (1+x)在区间[1, 2]上的最大值与最小值分别为log a 3，log a 2，由log a 3−log a 2=log a 32=1，解得a =32；当0<a <1时，f(x)=log a (1+x)在区间[1, 2]上的最大值与最小值分别为log a 2，log a 3，由log a 2−log a 3=1，解得：a =23． 23. 【答案】 解：由y =x−4x+4的得，xy +4y =x −4，解得x =4(1+y)1−y(y ≠1)，所以y =4(1+x)1−x (x ≠1)，则函数y =x−4x+4的反函数是y =4(1+x)1−x(x ≠1)．【考点】 反函数 【解析】由已知的解析式求出x 的表达式，再把x 换成y 、y 换成x ，并注明反函数的定义域． 【解答】解：由y =x−4x+4的得，xy +4y =x −4，解得x =4(1+y)1−y(y ≠1)，所以y =4(1+x)1−x (x ≠1)，则函数y =x−4x+4的反函数是y =4(1+x)1−x(x ≠1)．24.【答案】解：若函数f(x)的图象与其反函数的图象重合， 则函数f(x)自身关于y =x 对称，比如函数y =1x ，则由y =1x 得x =1y ，即函数y =1x 的反函数是y =1x ． 【考点】反函数 【解析】根据反函数的定义进行寻找即可． 【解答】解：若函数f(x)的图象与其反函数的图象重合， 则函数f(x)自身关于y =x 对称，比如函数y =1x，则由y =1x得x =1y，即函数y =1x的反函数是y =1x．25.【答案】 解：（1）f −1(x)=log 3x ，log 318=a +2， ∴ a =log 32．（2）g(x)=(3a )x −4x =(33log2)x −4x =2x −4x ． （3）令u =2x ，∵ −1≤x ≤1，则12≤u ≤2，g(x)=φ(u)=u −u 2=−(u −12)2+14，当u =12时，φ(u)max =14，当u =2时，φ(u)min =−2． ∴ g(x)的值域为[−2, 14]，当−1≤x ≤1时，12≤u ≤2，φ(u)为减函数，而u =2x 为增函数， g(x)在[−1, 1]上为减函数．【考点】 反函数 【解析】（1）欲求a 的值，根据f −1(18)=a +2，只要即从原函数式中反解出x ，后再进行x ，y 互换，求得反函数的解析式即可．（2）由（1）求得的a 值直接代入g(x)=3ax −4x 欲即得g(x)的表达式；（3）令u =2x ，将g(x)的值域、单调性问题转化为二次函数u −u 2的值域、单调性解决即可．【解答】 解：（1）f −1(x)=log 3x ，log 318=a +2， ∴ a =log 32． （2）g(x)=(3a )x −4x =(33log 2)x −4x =2x −4x．（3）令u =2x ，∵ −1≤x ≤1，则12≤u ≤2， g(x)=φ(u)=u −u 2=−(u −12)2+14，当u =12时，φ(u)max =14，当u =2时，φ(u)min =−2．∴ g(x)的值域为[−2, 14]，当−1≤x ≤1时，12≤u ≤2，φ(u)为减函数，而u =2x 为增函数， g(x)在[−1, 1]上为减函数． 26. 【答案】 解：令y =3x −3−x2，则3x −3−x −2y =0，∴ (3x )2−2y3x −1=0， ∴ 3x =2y+√4y 2+42=y +√y 2+1，∴ x =log 3(y +√y 2+1)．∴ f −1(x)=log 3(x +√x 2+1)． 【考点】 反函数 【解析】 令y =3x −3−x2，将式子变形用y 表示出x ，然后互换变量符号得出．【解答】 解：令y =3x −3−x2，则3x −3−x −2y =0，∴ (3x )2−2y3x −1=0， ∴ 3x =2y+√4y 2+42=y +√y 2+1，∴ x =log 3(y +√y 2+1)．∴ f −1(x)=log 3(x +√x 2+1)． 27. 【答案】解：（1）由y =√a −3x ，得：x =a−y 23(y ≥0)，所以原函数的反函数为f −1(x)=a−x 23(x ≥0)；（2）由y =f(x)=√a −3x ，得：y 2=−3x +a =−3(x −a3)(y ≥0)，其图象是把函数y 2=−3x(y ≥0)的图象向左(a >0)或向右(a <0)平移|a3|个单位得到的，如图，要使y =f(x)的图象与直线y =x 有交点，则a ≥0；当a<0时，函数y=f(x)与其反函数的图象无交点，所以方程f(x)=f−1(x)无实根；当a≥0时，函数y=f(x)与其反函数的图象仅有一个交点，所以方程f(x)=f−1(x)有一个实根．【考点】反函数根的存在性及根的个数判断【解析】（1）把原函数两边平方后解出x，然后把x和y互换，注意反函数的定义域；（2）作出函数y=f(x)的图象，然后数形结合分析可得答案；（3）作出函数y=f(x)与其反函数y=f−1(x)的图象，由图可以直观看出方程f(x)= f−1(x)的实根的个数．【解答】解：（1）由y=√a−3x，得：x=a−y 23(y≥0)，所以原函数的反函数为f−1(x)=a−x23(x≥0)；（2）由y=f(x)=√a−3x，得：y2=−3x+a=−3(x−a3)(y≥0)，其图象是把函数y2=−3x(y≥0)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a3|个单位得到的，如图，要使y=f(x)的图象与直线y=x有交点，则a≥0；当a<0时，函数y=f(x)与其反函数的图象无交点，所以方程f(x)=f−1(x)无实根；当a≥0时，函数y=f(x)与其反函数的图象仅有一个交点，所以方程f(x)=f−1(x)有一个实根．28.【答案】解：(1)∵f(x)=loga(x+√1+x2)，∴f(−x)=loga [−x+√1+(−x)2]=loga(−x+√1+x2)，可得f(x)+f(−x)=loga [(x+√1+x2)(−x+√1+x2)]=loga (1+x2−x2)=loga1=0，∴f(−x)=−f(x).∵f(x)的定义域为R，∴函数f(x)是奇函数.(2)∵f(x)=loga(x+√1+x2)，g(x)图象与曲线y=f(x)关于y=x对称，∴函数y=g(x)与y=f(x)互为反函数，令x=loga(y+√1+y2)，得y+√1+y2=a x，得(a x−y)2=1+y2，∴2ya x=a2x−1，得y=a2x−12a x，因此g(x)的解析式为g(x)=12(a x−a−x).∵f(x)的定义域为{x|x≥34}，∴解不等式12(a x−a−x)≥34，得a x≥2，当a>1时，g(x)的定义域为[loga2, +∞)；当0<a<1时，g(x)的定义域为(−∞，log a2].(3)由(2)得g(x)=12(a x−a−x)，当0<a<1时，loga2<0，此时定义域中无正整数，不满足条件；当a>1时，需所有正整数在定义域中，故loga2≤1，得a≥2.∵g(x)=12(a x−a−x)在其定义域内是增函数，∴由不等式g(x)<5m−5−m2=g(5)，得a<5，所求a的取值范围是2≤a<5.【考点】函数奇偶性的判断对数函数图象与性质的综合应用函数的定义域及其求法反函数不等式恒成立问题【解析】（1）根据对数的运算性质，化简得f(x)+f(−x)=0，可得f(−x)=−f(x)，可得函数f(x)是奇函数；（2）由题意，函数y=g(x)与y=f(x)互为反函数，将f(x)的x、y互换，解出用x表示y的式子，即可得到g(x)的解析式．再结合a的范围加以讨论，即可得到函数g(x)的定义域；（3）根据a的范围加以讨论，并结合函数g(x)的单调性，建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．【解答】解：(1)∵f(x)=loga(x+√1+x2)，∴f(−x)=loga [−x+√1+(−x)2]=loga(−x+√1+x2)，可得f(x)+f(−x)=loga [(x+√1+x2)(−x+√1+x2)]=loga (1+x2−x2)=loga1=0，∴f(−x)=−f(x).∵f(x)的定义域为R，∴函数f(x)是奇函数.(2)∵f(x)=loga(x+√1+x2)，g(x)图象与曲线y=f(x)关于y=x对称，∴函数y=g(x)与y=f(x)互为反函数，令x=loga(y+√1+y2)，得y+√1+y2=a x，得(a x−y)2=1+y2，∴2ya x=a2x−1，得y=a2x−12a x，因此g(x)的解析式为g(x)=12(a x−a−x).∵f(x)的定义域为{x|x≥34}，∴解不等式12(a x−a−x)≥34，得a x≥2，当a>1时，g(x)的定义域为[loga2, +∞)；当0<a<1时，g(x)的定义域为(−∞，log a2].(3)由(2)得g(x)=12(a x−a−x)，当0<a<1时，loga2<0，此时定义域中无正整数，不满足条件；当a>1时，需所有正整数在定义域中，故loga2≤1，得a≥2.∵g(x)=12(a x−a−x)在其定义域内是增函数，∴由不等式g(x)<5m−5−m2=g(5)，得a<5，所求a的取值范围是2≤a<5.29.【答案】解：设奇函数f(x)的反函数为f−1(x)，∵f(x)是奇函数，∴f(x)的值域关于原点对称，即f−1(x)的定义域关于原点对称．假设f(x)=y，则f(−x)=−y．∴f−1(y)=x，f−1(−y)=−x．∴f−1(−y)=−f−1(y)，即f−1(−x)=−f−1(x)∴f−1(x)是奇函数．【考点】反函数【解析】根据奇函数的性质得出f−1(−x)和f−1(x)的关系，利用函数奇偶性的定义得出结论．【解答】解：设奇函数f(x)的反函数为f−1(x)，∵f(x)是奇函数，∴f(x)的值域关于原点对称，即f−1(x)的定义域关于原点对称．假设f(x)=y，则f(−x)=−y．∴f−1(y)=x，f−1(−y)=−x．∴f−1(−y)=−f−1(y)，即f−1(−x)=−f−1(x)∴f−1(x)是奇函数．30.【答案】解：∵y=a+1x−b，∴x=b+1y−a，∴f(x)=a+1x−b 的反函数为b+1x−a，∵f(x)与g(x)互为反函数，∴b+1x−a =1+c2x+1=1+12cx+12∴b=1，c=2，a=−12．【考点】反函数【解析】先求出f(x)的反函数，再根据反函数的定义得到一个等式相等，对应的系数相等即可求出实数a 、b 、c 的值 【解答】解：∵ y =a +1x−b ， ∴ x =b +1y−a，∴ f(x)=a +1x−b 的反函数为b +1x−a ， ∵ f(x)与g(x)互为反函数， ∴ b +1x−a =1+c2x+1=1+12c x+12∴ b =1，c =2，a =−12． 31. 【答案】解：由y =√x 2+x(x ≤−1) 得y 2=(x +12)2−14(x ≤−1)， ∴ x +12=−√y 2+14(y ≥0)，∴ 所求函数的反函数为y =−12−√x 2+14(x ≥0)． 【考点】 反函数 【解析】欲求原函数f(x)=√x 2+x(x ≤−1)的反函数，即从原函数式中反解出x ，后再进行x ，y 互换，即得反函数的解析式． 【解答】解：由y =√x 2+x(x ≤−1) 得y 2=(x +12)2−14(x ≤−1)，∴ x +12=−√y 2+14(y ≥0)，∴ 所求函数的反函数为y =−12−√x 2+14(x ≥0)． 32.【答案】解：当−1<x <0时，y =−x +1⇒x =−y +1，∴ y =−x +1的反函数为y =−x +1，(1<x <2)． 当0≤x <1时， y =x 2⇒x =√y ，∴ y =x 2的反函数为y =√x(0≤x <1)．故函数y ={−x +1x 2−1<x <00≤x <1的反函数为y ={−x +1√x (1<x <2)(0≤x <1)．【考点】反函数 【解析】当−1<x <0时，y =−x +1⇒x =−y +1，所以y =−x +1的反函数为y =−x +1 (1<x <2)；当0≤x <1时，y =x 2⇒x =√y ，所以y =x 2的反函数为y =√x(0≤x <1)． 【解答】解：当−1<x <0时，y =−x +1⇒x =−y +1，∴ y =−x +1的反函数为y =−x +1，(1<x <2)． 当0≤x <1时， y =x 2⇒x =√y ，∴ y =x 2的反函数为y =√x(0≤x <1)．故函数y ={−x +1x 2−1<x <00≤x <1的反函数为y ={−x +1√x (1<x <2)(0≤x <1)．33. 【答案】解：∵ y =f(x)=√x +√1+x 23√x −√1+x 23(x ∈R)，∴ y 3=(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)3=(x +√1+x 2)+3(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)+(x −√1+x 2)=2x −3(√x +√1+x 23+√x −√1+x 23) =2x −3y ， ∴ x =12(y 3+3y)，x ，y 互换，得函数f(x)=√x +√1+x 23+√x −√1+x 23(x ∈R)的反函数为：y =12(x 3+3x)．x ∈R ． 【考点】 反函数 【解析】由已知条件，利用二项式定理求出y 3=2x −3y ，由此能求出函数f(x)=√x +√1+x 23+√x −√1+x 23(x ∈R)的反函数．【解答】解：∵ y =f(x)=√x +√1+x 23√x −√1+x 23(x ∈R)，∴ y 3=(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)3=(x +√1+x 2)+3(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)+(x −√1+x 2)=2x −3(√x +√1+x 23+√x −√1+x 23) =2x −3y ，∴ x =12(y 3+3y)，x ，y 互换，得函数f(x)=√x +√1+x 23+√x −√1+x 23(x ∈R)的反函数为：y =12(x 3+3x)．x ∈R ．34.【答案】解：∵ y =f(x)=log a (a x −1)，∴ a x −1=a y ，解得x =log a (a y +1)， ∴ 反函数f −1(x)=log a (a x +1)，故f(2x)=f −1(x)可化为log a (a 2x −1)=log a (a x +1)， 可得a 2x −1=a x −1，即(a x +1)(a x −1)=a x +1， ∵ a x +1>1，∴ a x −1=1，即x =log a 2，【考点】 反函数 【解析】求反函数可得f −1(x)=log a (a x +1)，可得log a (a 2x −1)=log a (a x +1)，解方程可得． 【解答】解：∵ y =f(x)=log a (a x −1)，∴ a x −1=a y ，解得x =log a (a y +1)， ∴ 反函数f −1(x)=log a (a x +1)，故f(2x)=f −1(x)可化为log a (a 2x −1)=log a (a x +1)， 可得a 2x −1=a x −1，即(a x +1)(a x −1)=a x +1， ∵ a x +1>1，∴ a x −1=1，即x =log a 2， 35.【答案】 a =1． 【考点】 反函数 【解析】求出原函数的反函数，根据函数图象本身关于直线y =x 对称知，原函数与它的反函数相同，从而比较系数求得a 值． 【解答】解：由y =1−ax1+ax ，解得x =1−yay+a ． 故函数y =1−ax 1+ax 的反函数为y =1−x ax+a．∵ 函数y =1−ax1+ax 的图象关于直线y =x 对称， ∴ 函数y =1−ax1+ax 与它的反函数y =1−xax+a 相同． 由1−ax1+ax =1−xax+a 恒成立， 得a =1． 36.【答案】解：（1）设y=3x+1x+a，则y(x+a)=3x+1，整理得(y−3)x=1−ay．若y=3，则a=13，与已知矛盾，∴y≠3．∴x=1−ayy−3．故所求反函数为f−1(x)=1−axx−3(x≠3)．（2）依题意得f−−1(x)=f(x)，则3x+1x+a =1−axx−3，整理得3x2−8x−3=−ax2+(1−a2)x+a，比较两边对应项的系数，有{−a=3a2−1=8a=−3故a=−3．【考点】反函数【解析】（1）由y=3x+1x+a，得y(x+a)=3x+1，(y−3)x=1−ay．由此能求出所求反函数．（2）依题意得f−−1(x)=f(x)，则3x+1x+a =1−axx−3，由此能求出a．【解答】解：（1）设y=3x+1x+a，则y(x+a)=3x+1，整理得(y−3)x=1−ay．若y=3，则a=13，与已知矛盾，∴y≠3．∴x=1−ayy−3．故所求反函数为f−1(x)=1−axx−3(x≠3)．（2）依题意得f−−1(x)=f(x)，则3x+1x+a =1−axx−3，整理得3x2−8x−3=−ax2+(1−a2)x+a，比较两边对应项的系数，有{−a =3a 2−1=8a =−3故a =−3． 37.【答案】 解：（1）由于f(x)=e x 的反函数为g(x)=ln x(x >0)，则点(1, 0)处的切线斜率为k =g′(1)=1，故点(1, 0)处的切线方程为y −0=1×(x −1)，即x −y −1=0．（2）证明：设ℎ(x)=f(x)−(12x 2+x +1)=e x −12x 2−x −1，则ℎ′(x)=e x −x −1，∵ ℎ″(x)=e x −1，故当x <0时，ℎ″(x)<0，ℎ′(x)为减函数． 当x >0时，ℎ″(x)>0，ℎ′(x)为增函数．故当x =0时，ℎ′(x)取得最小值为0，故有ℎ′(x)≥0恒成立， 故函数ℎ(x)在R 上是增函数，故函数ℎ(x)最多有一个零点． 再根据ℎ(0)=0，可得函数ℎ(x)有唯一零点． （3）设a <b ，∵ f(a)+f(b)2−f(b)−f(a)b−a =(2+b−a)f(a)+(b−2−a)f(b)2(b−a)=(2+b−a)⋅e a +(b−2−a)⋅e b2(b−a)=(b−a+2)+(b−a−2)⋅e b−a2(b−a)⋅e a=e a2(b−a)•[(b −a +2)+(b −a −2)⋅e b−a ]．由于e a2(b−a)>0，故只需考虑(b −a +2)+(b −a −2)⋅e b−a 的符号即可． 令g(x)=x +2+(x −2)e x (x >0)，则g′(x)=1+(x −1)e x ．在(0, +∞)上，g ″(x)=xe x >0，∴ g′(x)在(0, +∞)上单调递增，且g′(0)=0， ∴ g′(x)>0，∴ g(x)在(0, +∞)上单调递增，而g(0)=0，∴ 在(0, +∞)上，g(x)>0．∵ 当x >0时，g(x)=x +2+(x −2)⋅e x >0，且a <b ，∴(b−2+a)+(b−2+a)e b−a ⋅e a2(b−a)>0， 即f(a)+f(b)2>f(b)−f(a)b−a．【考点】 反函数 【解析】（I ）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可．(II)令ℎ(x)=f(x)−(12x 2+x +1)=e x −12x 2−x −1，利用导数研究函数ℎ(x)的单调性即可得出． (III)利用作差法得f(a)+f(b)2−f(b)−f(a)b−a=e a2(b−a)•[(b −a +2)+(b −a −2)⋅e b−a ]．构造函数，令g(x)=x +2+(x −2)e x (x >0)，利用导数的符号研究其单调性，可得g(x)的符号，从而得到f(a)+f(b)2与f(b)−f(a)b−a的大小关系．【解答】 解：（1）由于f(x)=e x 的反函数为g(x)=ln x(x >0)，则点(1, 0)处的切线斜率为k=g′(1)=1，故点(1, 0)处的切线方程为y−0=1×(x−1)，即x−y−1=0．（2）证明：设ℎ(x)=f(x)−(12x2+x+1)=e x−12x2−x−1，则ℎ′(x)=e x−x−1，∵ℎ″(x)=e x−1，故当x<0时，ℎ″(x)<0，ℎ′(x)为减函数．当x>0时，ℎ″(x)>0，ℎ′(x)为增函数．故当x=0时，ℎ′(x)取得最小值为0，故有ℎ′(x)≥0恒成立，故函数ℎ(x)在R上是增函数，故函数ℎ(x)最多有一个零点．再根据ℎ(0)=0，可得函数ℎ(x)有唯一零点．（3）设a<b，∵f(a)+f(b)2−f(b)−f(a)b−a=(2+b−a)f(a)+(b−2−a)f(b)2(b−a)=(2+b−a)⋅e a+(b−2−a)⋅e b2(b−a)=(b−a+2)+(b−a−2)⋅e b−a2(b−a)⋅e a=e a2(b−a)•[(b−a+2)+(b−a−2)⋅e b−a]．由于e a2(b−a)>0，故只需考虑(b−a+2)+(b−a−2)⋅e b−a的符号即可．令g(x)=x+2+(x−2)e x(x>0)，则g′(x)=1+(x−1)e x．在(0, +∞)上，g″(x)=xe x>0，∴g′(x)在(0, +∞)上单调递增，且g′(0)=0，∴g′(x)>0，∴g(x)在(0, +∞)上单调递增，而g(0)=0，∴在(0, +∞)上，g(x)>0．∵当x>0时，g(x)=x+2+(x−2)⋅e x>0，且a<b，∴(b−2+a)+(b−2+a)e b−a⋅e a2(b−a)>0，即f(a)+f(b)2>f(b)−f(a)b−a．38.【答案】证明：（1）∵函数f(x)的反函数是f−1(x)，g(x)的反函数为g−1(x)．令t=g(x)，则y=f（g(x)）=f(t)，则g−1(t)=x．f−1(y)=t，即g−1（f−1(y)）=x，即f（g(x)）的反函数为g−1（f−1(x)）；（2）∵F(x)=f(−x)，…①故函数F(x)与f(x)的图象关于y轴对称，又∵G(x)=f−1(−x)，∴G(x)与f−1(x)的图象关于y轴对称，故G(x)的图象由f(x)的图象逆时针旋转90∘得到，又∵F(x)是G(x)的反函数，故F(x)与G(x)的图象关于y=x轴对称，故F(x)与f(x)的图象关于x轴对称，即F(x)=−f(x)，…②由①②得：f(−x)=−f(x)，故f(x)是奇函数【考点】反函数【解析】（1）令t =g(x)，则y =f （g(x)）=f(t)，结合函数f(x)的反函数是f −1(x)，g(x)的反函数为g −1(x)，可得g −1（f −1(y)）=x ，从而得到f （g(x)）的反函数为g −1（f −1(x)）；（2）由已知中G(x)=f −1(−x)，若F(x)是G(x)的反函数，可得F(x)与f(x)的图象关于x 轴对称，即F(x)=−f(x)，结合F(x)=f(−x)，可得f(−x)=−f(x)，故f(x)是奇函数．【解答】 证明：（1）∵ 函数f(x)的反函数是f −1(x)，g(x)的反函数为g −1(x)． 令t =g(x)，则y =f （g(x)）=f(t)， 则g −1(t)=x ．f −1(y)=t ， 即g −1（f −1(y)）=x ，即f （g(x)）的反函数为g −1（f −1(x)）； （2）∵ F(x)=f(−x)，…①故函数F(x)与f(x)的图象关于y 轴对称， 又∵ G(x)=f −1(−x)，∴ G(x)与f −1(x)的图象关于y 轴对称，故G(x)的图象由f(x)的图象逆时针旋转90∘得到， 又∵ F(x)是G(x)的反函数，故F(x)与G(x)的图象关于y =x 轴对称， 故F(x)与f(x)的图象关于x 轴对称， 即F(x)=−f(x)，…②由①②得：f(−x)=−f(x)， 故f(x)是奇函数 39.【答案】 解：（1）∵ 函数f(x)=3x 的反函数经过点(18, a +2)， ∴ 3a+2=18，解得：a =log 32；∴ g(x)=3ax −4x =3x log 32−4x =2x −4x ，x ∈[−1, 1]；（2）∵ g(x)=2x −4x =−(2x −12)2+14， 又x ∈[−1, 1]，∴ 12≤2x ≤2，0≤2x −12≤32，∴ 0≤(2x −12)2≤94， ∴ g(x)∈[−2, 14]，∵ 方程g(x)=m 有解，∴ m 的取值范围为[−2, 14]；（3）由ℎ(x)=g(|x|)+2|x|+1=2|x|−4|x|+2|x|+1=3⋅2|x|−4|x|可知，ℎ(x)为偶函数，在[0, 1]上，ℎ(x)=3⋅2x −4x ，令2x =t(1≤t ≤2)，则y =−t 2+3t =−(t −32)2+94(1≤t ≤2)，显然，y =−t 2+3t =−(t −32)2+94在区间[1, 32]上单调递增，在区间[32, 2]上单调递减， ∴ t =32(x =log 23−1)时，y max =94；又t =1（即x =0）时，y =2，当t =2（即x =1）时，y =2， ∴ t =1或t =2（即x =0或x =1）时，y min =2．又n ∈R ，∴ 当n >94或n <2时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为0个； 当n =94时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为2个； 当n =2时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为3个； 当2<n <94时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为4个；【考点】 反函数 【解析】（1）利用函数与其反函数之间的关系可得a =log 32，从而可求得g(x)的解析式； （2）由g(x)=2x −4x =−(2x −12)2+14，x ∈[−1, 1]，可求得g(x)∈[−2, 14]，方程g(x)=m 有解，从而可得m 的取值范围为[−2, 14]；（3）由ℎ(x)=g(|x|)+2|x|+1=2|x|−4|x|+2|x|+1=3⋅2|x|−4|x|可知，ℎ(x)为偶函数，令2x =t ，当x ∈[0, 1]时，1≤t ≤2，则y =−t 2+3t =−(t −32)2+94(1≤t ≤2)，利用二次函数的单调性可求得t =32（即x =log 23−1）时，y max =94，t =1或t =2（即x =0或x =1）时，y min =2，于是可得答案． 【解答】 解：（1）∵ 函数f(x)=3x 的反函数经过点(18, a +2)， ∴ 3a+2=18，解得：a =log 32；∴ g(x)=3ax −4x =3x log 32−4x =2x −4x ，x ∈[−1, 1]；（2）∵ g(x)=2x −4x =−(2x −12)2+14， 又x ∈[−1, 1]，∴ 12≤2x ≤2，0≤2x −12≤32，∴ 0≤(2x −12)2≤94，∴ g(x)∈[−2, 14]，∵ 方程g(x)=m 有解，∴ m 的取值范围为[−2, 14]；（3）由ℎ(x)=g(|x|)+2|x|+1=2|x|−4|x|+2|x|+1=3⋅2|x|−4|x|可知，ℎ(x)为偶函数，在[0, 1]上，ℎ(x)=3⋅2x −4x ，令2x =t(1≤t ≤2)，则y =−t 2+3t =−(t −32)2+94(1≤t ≤2)，显然，y =−t 2+3t =−(t −32)2+94在区间[1, 32]上单调递增，在区间[32, 2]上单调递减， ∴ t =32(x =log 23−1)时，y max =94；又t =1（即x =0）时，y =2，当t =2（即x =1）时，y =2， ∴ t =1或t =2（即x =0或x =1）时，y min =2．又n ∈R ，∴ 当n >94或n <2时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为0个；当n =94时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为2个； 当n =2时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为3个； 当2<n <94时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为4个；40.【答案】 解：（1）不是；∵ g(x)=x 2+1(x >0)∴ y =g(x +1)=(x +1)2+1(x >0)∴ x +1=√y −1 ∴ x =√y −1−1∴ y =√x −1−1即g ′(x +1)=√x −1−1(x >2)① ∵ g ′(x)=√x −1，，∴ g ′(x +1)=√x 与①不符故函数g(x)=x 2+1(x >0)不满足“1和性质” （2）设所有满足“2和性质”的一次函数为f(x)=kx +b(k ≠0) 则f ′(x)=x−b k∴f′(x+2)=x+2−bk∵f(x+2)=k(x+2)+b∴f′(x+2)=x−2k−bk∴x+2−bk =x−2k−bk∴k=−1∴f(x)=−x+b【考点】反函数【解析】（1）根据y=f(x)满足“a和性质”的定义可先根据求反函数的步骤求出g′(x)=√x−1进而求出g′(x+1)=√x①；再根据g(x)=x2+1(x>0)求出g(x+1)=(x+1)2+ 1(x>0)进而求出g(x+1)的反函数即g′(x+1)②然后比较①②是否相同进而可根据定义得出结论．（2）设所有满足“2和性质”的一次函数为f(x)=kx+b(k≠0)然后求出f′(x)进而求出f′(x+2)；再根据f(x+2)求出f′(x+2)然后两者相等求出k，b所满足的条件．【解答】解：（1）不是；∵g(x)=x2+1(x>0)∴y=g(x+1)=(x+1)2+1(x>0)∴x+1=√y−1∴x=√y−1−1∴y=√x−1−1即g′(x+1)=√x−1−1(x>2)①∵g′(x)=√x−1，，∴g′(x+1)=√x与①不符故函数g(x)=x2+1(x>0)不满足“1和性质”（2）设所有满足“2和性质”的一次函数为f(x)=kx+b(k≠0)则f′(x)=x−bk∴f′(x+2)=x+2−bk∵f(x+2)=k(x+2)+b∴f′(x+2)=x−2k−bk∴x+2−bk =x−2k−bk∴k=−1∴f(x)=−x+b。
反函数-高中数学知识点讲解(含答案)
反函数（北京习题集）（教师版）一．选择题（共4小题）1．（2010秋•海淀区校级期中）若3log y x =的反函数是()y g x =，则(1)g -值为( ) A ．3B ．3-C ．13D ．13-2．（2010春•宣武区期末）若函数()y f x =是函数2x y =的反函数，则[f f （2）]的值为( ) A ．16B ．0C ．1D ．23．（2010春•平谷区校级月考）已知函数()y f x =的图象与函数21x y -=-的图象关于直线y x =对称，则f （3）的值为( ) A ．1B ．1-C ．2D ．2-4．（2009•海淀区一模）函数1()2x f x +=的反函数1()y f x -=的图象是( )A ．B ．C ．D ．二．填空题（共8小题）5．（2009•东城区二模）设函数2210()10x x f x x x -<⎧=⎨-⎩的反函数为1()f x -，则1f -（1）的值为 ．6．（2009•丰台区二模）已知函数2log y x a =+的图象与函数32x y -=的图象关于直线y x =对称，则a = ． 7．（2009秋•海淀区校级期中）已知函数()f x 的图象与函数()2x g x =的图象关于直线y x =对称，令()(1||)h x f x =-，则关于函数()h x 有以下命题：（1）()h x 的图象关于原点(0,0)对称； （2）()h x 的图象关于y 轴对称； （3）()h x 的最小值为0； （4）()h x 在区间(1,0)-上单调递增． 正确的是 ．8．（2008秋•昌平区期末）函数()f x a =(2,3)，则a = ，1f -（1）= ． 9．（2009秋•海淀区校级期中）记()2x f x =的反函数为1()y f x -=，则1f -（4）= ． 10．（2007秋•东城区期末）已知函数8()log f x x =，它的反函数为1()f x -，则12()3f -= ．11．（2008•丰台区一模）若函数()y f x =的图象与函数2(0)y x x =的图象关于直线0x y -=对称，则()f x = ． 12．（2007秋•东城区校级月考）设函数36log (1)(6)()3(6)x x x f x x +-+>⎧=⎨⎩的反函数为1()f x -，则11()9f -= ．三．解答题（共3小题）13．（2003•崇文区一模）已知()log (a f x x =，且01a <<． （Ⅰ）求()f x 的定义域和值域； （Ⅱ）求()f x 的反函数1()f x -．14．（2014秋•西城区校级期末）设a 为常数，记函数21()()1x f x k x -=+，1x >的反函数为1()f x -．已知1()y f x -=的图象经过点1(,3)4．（Ⅰ）求实数k 的值和反函数1()f x -的解析式；（Ⅱ）定义函数1()log [()]log c cF x f x -=-，其中常数0c >且1c ≠，求函数()F x 的值域．15．（2008秋•海淀区校级月考）已知函数()(0x k f x a a +=>且1)a ≠的图象过点(1,1)-，其反函数1()f x -的图象过点(8,2)．（1）求a ，k 的值 （2）若将1()y f x -=的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到函数()y g x =的图象，写出()y g x =的解析式（3）若函数21()()()F x g x f x -=-，求()F x 的最小值及取得最小值时x 的值．反函数（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2010秋•海淀区校级期中）若3log y x =的反函数是()y g x =，则(1)g -值为( ) A ．3B ．3-C ．13D ．13-【分析】根据函数与它的反函数的关系，令3log 1x =-，可得13x = 即为所求． 【解答】解：令3log 1x =-，可得13x =， 根据函数与它的反函数的关系可得1(1)3g -=， 故选：C ．【点评】本题考查函数与它的反函数的关系，由3log 1x =-，解得x 的值，是将诶提的关键． 2．（2010春•宣武区期末）若函数()y f x =是函数2x y =的反函数，则[f f （2）]的值为( ) A ．16B ．0C ．1D ．2【分析】先求出函数2x y =的反函数，再利用求函数值的方法先求f （2），最后求出[f f （2）]的值即可． 【解答】解：函数2x y =的反函数是： 2log y x =，即2()log f x x =，[f f ∴（2）2][log 2]f f ==（1）2log 10==．故选：B ．【点评】本题主要考查了反函数，一般地，设函数()()y f x x A =∈的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关系，用y 把x 表示出，得到()x f y =．互换x ，y ，得到的函数叫做函数()()y f x x A =∈的反函数，记作1()y f x -=． 3．（2010春•平谷区校级月考）已知函数()y f x =的图象与函数21x y -=-的图象关于直线y x =对称，则f （3）的值为( ) A ．1B ．1-C ．2D ．2-【分析】由两个函数的图象关于直线y x =对称得，这两个函数互为反函数，故只要利用求反函数的方法求出原函数的反函数即可．【解答】解：函数()y f x =的图象与函数21x y -=-的图象关于直线y x =对称，∴函数()y f x =与函数21x y -=-互为反函数，又函数21x y -=-的反函数为： 2log (1)y x =-+，即2()log (1)f x x =-+， f ∴（3）2log (31)2=-+=-，故选：D ．【点评】本小题主要考查反函数、对数式的运算等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．反函数求解三步骤：1、换：X 、Y 换位 2、解：解出Y 3、标：标出定义域． 4．（2009•海淀区一模）函数1()2x f x +=的反函数1()y f x -=的图象是( )A ．B ．C ．D ．【分析】先求出函数1()2x f x +=的反函数1()y f x -=，再根据反函数的图象结合对数函数的图象与性质即可选出答案． 【解答】解：函数1()2x f x +=的反函数为12()log 1f x x -=-， 它可由对数函数2log y x =的图象向下平移1个单位得到， 故选：D ．【点评】本题主要考查了对数函数、指数函数的图象与性质、反函数，以及函数的图象与图象变化，属于基础题． 二．填空题（共8小题）5．（2009•东城区二模）设函数2210()10x x f x x x -<⎧=⎨-⎩的反函数为1()f x -，则1f -（1）的值为2 ．【分析】根据题意，可以直接求出反函数的解析式，然后代入1x =即可求得为1f -（1），本题作为填空题也可以根据求1f -（1）的值，也就是求使()1f x =的x 值，这样求解更方便，也是合理的． 【解答】解：法一：由函数2210()10x x f x x x -<⎧=⎨-⎩得当0x <时，12y x += 当0x时，x =由此可得：112()11x f x x x -+⎧⎪=<-- 所以1f -（1）=法二：根据题意求1f -（1）的值，也就是求使()1f x =的x 值 0x <时，()1f x <-，0x 时()1f x -∴令211x -=，得x 即1f -（1）=【点评】本题解答给出了2种方法，方法一是直接接法，常规思路，走弯路，有些繁琐，但适合于各种题型； 方法二是抓住要害，直击目标，过程简捷，对解选择题、填空题值得使用．6．（2009•丰台区二模）已知函数2log y x a =+的图象与函数32x y -=的图象关于直线y x =对称，则a = 3 ． 【分析】由题意知，函数2log y x a =+ 与函数32x y -=互为反函数，再根据函数2log y x a =+求出其反函数， 则求出的反函数与32x y -=一样，比较系数可得a 值．【解答】解：函数2log y x a =+的图象与函数32x y -=的图象关于直线y x =对称，∴函数2log y x a =+ 与函数32x y -=互为反函数，由2log y x a =+得，2y a x -=， ∴函数2log y x a =+的反函数为2x a y -=，3a ∴=，故答案为3．【点评】本题考查反函数的求法，互为反函数的2个函数图象间的关系．7．（2009秋•海淀区校级期中）已知函数()f x 的图象与函数()2x g x =的图象关于直线y x =对称，令()(1||)h x f x =-，则关于函数()h x 有以下命题：（1）()h x 的图象关于原点(0,0)对称； （2）()h x 的图象关于y 轴对称；（3）()h x 的最小值为0； （4）()h x 在区间(1,0)-上单调递增． 正确的是 （2）（4） ．【分析】先根据函数()f x 的图象与函数()2x g x =的图象关于直线y x =对称求出函数()f x 的解析式，然后根据奇偶性的定义进行判定，根据复合函数的单调性进行判定可求出函数的最值，从而得到正确选项． 【解答】解：函数()f x 的图象与函数()2x g x =的图象关于直线y x =对称 2()log f x x ∴=2()(1||)log (1||)h x f x x ∴=-=- (1,1)x ∈-而2()log (1||)()h x x h x -=--=则()h x 不是奇函数是偶函数，故（1）不正确，（2）正确 该函数在(1,0)-上单调递增，在(0,1)上单调递减 ()h x ∴有最大值为0，无最小值故选项（3）不正确，（4）正确 故答案为：（2）（4）【点评】本题主要考查了反函数，以及函数的奇偶性、单调性和最值，同时考查了奇偶函数图象的对称性，属于基础题．8．（2008秋•昌平区期末）函数()f x a =(2,3)，则a = 4 ，1f -（1）= ．【分析】本题考查求函数解析式，求反函数及其反函数等多个知识点，将点的坐标(2,3)代入函数式()f x a =-就可以求出a 的值，然后利用反函数的函数值即为原函数的x 的值这一特点，不用求出反函数的解析式就可以求出1f -（1）=的值． 【解答】解：法一：依题意，将2x =，3y =代入()f x a =-4a =，所以函数的解析式为：()4f x =-设4y =2(4)1x y =-+， 即反函数的解析式为12()(4)1f x x -==-+ 所以1f -（1）10= 法二：依题意，将2x =，3y =代入()f x a =-4a =，所以函数的解析式为：()4f x =-根据互为反函数的函数的函数特征，令41= 解得：10x =，即1f -（1）10=答案：4，10【点评】本题提供的两种解法都有2个层次，第一个层次是相同的，利用点在函数的图象上，代入坐标获得参数a 的值，第二个层次的区别在于：法一是先求出反函数的解析式，再代入求值，法二依据了“反函数的函数值即为原函数的x 的值”，巧妙的获得了结果，相比之下法二更可取． 9．（2009秋•海淀区校级期中）记()2x f x =的反函数为1()y f x -=，则1f -（4）= 2 ． 【分析】欲求1f -（4），设1f -（4）a =，则可得f （a ）4=，解方程可求a ． 【解答】解：设1f -（4）a =， f ∴（a ）24a ==， 2a ∴=，即1f -（4）2=．故答案为：2．【点评】本题主要考查了函数的反函数值的求解，其中主要利用了互为反函数直接的关系：原函数的定义域是反函数的值域．10．（2007秋•东城区期末）已知函数8()log f x x =，它的反函数为1()f x -，则12()3f -= 4 ．【分析】互为反函数的两个函数图象关于直线y x =对称，若()f x 的图象上有(,)a b 点，则(,)b a 点一定在其反函数的图象上．【解答】解：令12()3f a -=则f （a ）82log 3a ==． 即238a = 4a ∴=故答案为4【点评】互为反函数的两个函数图象关于线y x =对称，具体体现在：若()f x 的图象上有(,)a b 点，则(,)b a 点一定在其反函数的图象上，这种方法的优势在于，不用求出反函数的解析式，即可求出反函数的函数值，其实是转化思想在反函数这一知识点上的应用．11．（2008•丰台区一模）若函数()y f x =的图象与函数2(0)y x x =的图象关于直线0x y -=对称，则()f x =0)x ．【分析】由题意判断两个函数互为反函数，然后求出函数2(0)y x x =的反函数即可． 【解答】解：函数()y f x =的图象与函数2(0)y x x =的图象关于直线0x y -=对称，说明两个函数互为反函数，函数2(0)y x x =的反函数是1()0)f x x -=所以()0)f x x =故答案为：0)x【点评】本题考查反函数的知识，是基础题．12．（2007秋•东城区校级月考）设函数36log (1)(6)()3(6)x x x f x x +-+>⎧=⎨⎩的反函数为1()f x -，则11()9f -= 8- ．【分析】欲求11()9f -的值，只须从条件中函数式1()9f x =中反解出x ，即得11()9f -的值．【解答】解：令1()9f x =， 当6x >时，即：31log (1)9x -+=，无解， 当6x 时，即：3619x +=，解得：6x =-， ∴则11()69f -=-，故答案为：8-．【点评】本小题主要考查反函数、反函数的应用等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于基础题． 三．解答题（共3小题）13．（2003•崇文区一模）已知()log (a f x x =，且01a <<． （Ⅰ）求()f x 的定义域和值域； （Ⅱ）求()f x 的反函数1()f x -．【分析】（Ⅰ）直接由对数式的真数大有0列不等式组求解；（Ⅱ）由()log (a f x x =+，解出x ，然后把x 和y 互换即可得到答案．【解答】()I 解：由2010x x ⎧⎪+>⎨-⎪⎩①②，解②得1x -或1x ，代入①验证得1x ， ()f x ∴的定义域为[1，)+∞．11x x 又，()f x ∴的值域为(-∞，0]．()II解：设()log (a a y f x x log ==+=，∴y y a x a x -⎧=+⎪⎨=⎪⎩，两式相加，得2y y a a x-+=因此，()log ([1a f x x x =+∈，))+∞的反函数是1()((,0])2x xa a f x x --+=∈-∞．【点评】本题考查了函数定义域的求法，考查了函数的反函数的求法，关键是注明反函数的定义域，是中档题． 14．（2014秋•西城区校级期末）设a 为常数，记函数21()()1x f x k x -=+，1x >的反函数为1()f x -．已知1()y f x -=的图象经过点1(,3)4．（Ⅰ）求实数k 的值和反函数1()f x -的解析式；（Ⅱ）定义函数1()log [()]log c cF x f x -=-，其中常数0c >且1c ≠，求函数()F x 的值域．【分析】（Ⅰ）由1()y f x -=的图象经过点1(,3)4，得到关于k 的等式，求出实数k 的值，进一步求得反函数1()f x -的解析式；（Ⅱ）把1()f x -的解析式代入1()log [()]log c c F x f x -=-，化简整理后求出真数的范围，可得函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）21()()1x f x k x -=+，且1()y f x -=的图象经过点1(,3)4，∴2311()314k -=+，解得1k =， ∴21()()(1)1x y f x x x -==>+，则11x x -=+，x =．∴1()1)f x x -=<<；（Ⅱ）1()log [()]log c cccF x f x log log -=-=-1)clog x =<<．要使该函数有意义，则0c >恒成立，01x <<，1c ∴>．由1t===-，01x <<，01∴，1c c c -<<-，∴111cc <--，121c c c +<<-． ∴函数()F x 的值域为12[,]1cc c log log c c +-． 【点评】本题考查函数的性质，考查了函数反函数的求法，训练了函数值域的求法，是中档题．15．（2008秋•海淀区校级月考）已知函数()(0x k f x a a +=>且1)a ≠的图象过点(1,1)-，其反函数1()f x -的图象过点(8,2)．（1）求a ，k 的值 （2）若将1()y f x -=的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到函数()y g x =的图象，写出()y g x =的解析式（3）若函数21()()()F x g x f x -=-，求()F x 的最小值及取得最小值时x 的值．【分析】（1）由函数()(0x k f x a a +=>且1)a ≠的图象过点(1,1)-，1(1)1k f a -+-==，解得1k =．函数()x k f x a +=反函数1()f x -的图象过点(8,2)，知28k a +=，解得2a =．（2）由（1）得1()2x f x +=，所以12()log 1xf x -=-．由此解得2()log (2)g x x =+．(2)x >-（3）由21()()()f x g x f x -=-，知22222()log 1log ()1x xf x x x+=+=++，由此能求出当且仅当x =25()log 12F x min F ===． 【解答】解：（1）函数()(0x k f x a a +=>且1)a ≠的图象过点(1,1)-，1(1)1k f a -+∴-==， 解得1k =．函数()x k f x a +=反函数1()f x -的图象过点(8,2)，∴函数()x k f x a +=的图象过点(2,8)，28k a +∴=，即38a =， 2a ∴=．（2）由（1）得1()2x f x +=，第11页（共11页）12()log 1x f x -∴=-．将1()y f x -=的图象向左移2，向上移1得12(2)1log (2)f x x -+-=+，2()log (2)g x x ∴=+．(2)x >-（3）21()()()f x g x f x -=-222log (2)log 1(0)x x x =+-+>22222log 1log ()1x x x x+=+=++， 0x ∴>， ∴222x x+，当且仅当x∴25()log 12F x min F ===． 【点评】本题考查反函数的性质和应用，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．。
高三数学反函数试题
高三数学反函数试题1.若函数是函数的反函数，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，因此，故选B.【考点】1.反函数；2.对数的运算2.已知函数存在反函数，若函数的图像经过点，则的值是___________．【答案】2【解析】本题关键是出函数的反函数，由得，，即函数的反函数为，那么这个反函数图象一定过点，所以，．【考点】反函数的性质与求反函数．3.若函数的反函数为，则．【答案】1【解析】求，可以先求出，再求值，当然我们可以根据反函数的定义，通过解方程来求，令，解得，故.【考点】反函数.4.设方程与方程 (其中e是自然对数的底数)的所有根之和为,则（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】的根即和交点横坐标；的根即和交点横坐标，在同一直角坐标系中，画出函数图象，因为和互为反函数，其图象关于对称，故与直线的交点亦关于对称，则两个交点关于原点对称，所以．【考点】１、指数函数和对数函数的图象和性质；2、反函数.5.把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f(x)=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图像向右平移一个单位长度变为，函数的反函数是，则有，设，则，所以，即函数.【考点】1.反函数；2.函数图像的平移变换6.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 .【答案】.【解析】由反函数的定义知，函数（且）与函数（且）的图象关于直线对称，则.【考点】反函数的定义7.若函数是函数且的反函数，且函数的图像经过点，则____________.【答案】【解析】函数且的反函数是，又因为图像经过点，，解得：，所以．【考点】本题反函数的定义，学生的基本运算能力．8.函数的反函数（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由.∵x>0，∴y>0. ∴.故选A.【考点】反函数的求解.9.函数的反函数是．【答案】【解析】对于函数=y,则可知2x-1=2，x= (2+1),互换x,y可知得到的反函数为,故答案为【考点】反函数点评：主要是考查了反函数的解析式的求解，属于基础题。
数学分析23.3反函数定理和隐函数定理(含习题及参考答案)
第二十三章向量函数微分学3 反函数定理和隐函数定理一、反函数定理概念1：若定义在开集D⊂R n上的向量函数f: D→R m是一一映射，即不仅对每一个x∈D只有一个y∈R m与之对应，且对每一个y∈f(D)也只有惟一确定的x∈D, 使得f(x)=y. 于是由后者能确定一个定义在f(D)上的函数，记为f-1: f(D)→D,称它为函数f的反函数. 函数f与其反函数f-1满足：(1)(f-1◦f)(x)=x, x∈D；(2) (f◦f-1)(y)=y, y∈f(D).定理23.17：(反函数定理)设D⊂R n是开集, 函数f: D→R m满足条件：①在D上可微且f’连续；②存在x0∈D, 使det f’(x0)≠0,则存在邻域U=U(x0)⊂D, 使得：(1)f在U上一一映射，从而存在反函数f-1: V→U，其中V=f(U)是开集;(2)f-1在V上存在连续导数(f-1)’, 且(f-1)’(y)=(f’(x))-1, x=f-1(y), y∈V.证：1)将函数f变换为定义在零点邻域内的函数.设T=f’(x0), 由①②知存在点x0的邻域U⊂D, 使得f’(x)在U内非零.在U-x0={x-x0|x∈U}上定义函数F(x)=T-1[f(x0+x)-f(x0)], x∈U-x0.记U-x0为U1, 即有0∈U1, F(0)=0, F’(0)=I (单位矩阵), 且F在U1可微, F’连续, 对所有x∈U1, F’(x)≠0.(2)证明存在邻域U2⊂U1, 使得F在U2上是一一映射.设φ(x)=x-F(x), x∈U1, 则φ’(0)=0. 取定0<α<1, 由φ’(x)的连续性,存在中心在原点的开球U 2⊂U 1, 使得对x ∈U 2, )(x ϕ'<α.应用定理23.14微分中值不等式得)()(x x '-''ϕϕ≤αx x '-'', x ’,x ”∈U 2. ∴)()(x F x F '-''≥(1-α)x x '-'', 即F 在U 2上是一一映射. 若定义F 的反函数H: F(U 2)→U 2, H(F(x))=x, x ∈U 2, 则有H 连续. 3)证明F(U 2)⊃(1-α)U 2, U=H(V)是开集，其中V=(1-α)U 2. 任取y ∈(1-α)U 2, 对任何n>1, 应用迭代法构造x 0,…,x n 使得 x 0=0, x i =y+φ(x i-1), x i-1∈U 2, 1--i i x x ≤αi-1y , 1≤i ≤n. 于是有n x ≤∑=--ni i i x x 11≤∑=-ni i y 11α<y α-11, 即 x n ∈U 2, x n+1=y+φ(x n ), n n x x -+1=)()(1--n n x x ϕϕ≤α1--n n x x . 所以将n 换成n+1时归纳法假设也成立.由于α<1, 因此{x n }是R n 中的柯西序列，于是有x n →x ∈U 2. ∴∞→n lim F(x n )=∞→n lim (x n -φ(x n ))=∞→n lim (x n -x n+1+y)=y. 设V=(1-α)U 2, 于是有U=F -1(V). 由F 连续，而开集的原象是开集知, U 是开集. 4)证明：若y ∈V, x=H(y), 则H ’(y)=F ’(x)-1.设y ∈V, y+k ∈V, k ≠0, x=H(y), x+h=H(y+k), S=F ’(x), 于是有 H(y+k)-H(y)-S -1k=h-S -1k=S -1(Sh-k)= -S -1[F(x+h)-F(x)-Sh]. 由(1-α)h ≤k 得,kkS y H k y H 1)()(---+≤hShx F h x F S )1()()(1α---+-.当k →0时, h →0, 即有上式右边趋于0，∴H ’(y)=F ’(x)-1. 5)证明：H ’(x)在V 内连续.∵)()(y H k y H '-+'≤11)]([)]([--'-+'x F h x F≤11)]([)()()]([--''-+'+'x F x F h x F h x F .由F ’的连续性, 当h 充分小时, 1)]([)()(-''-+'x F x F h x F <21. ∴1)]([-+'h x F ≤21)]([-'x F , 于是)()(y H k y H '-+'≤2)()()]([21x F h x F x F '-+''-, ∴H ’也连续.例1：记w=(x,y,z)T , p=(r,θ,φ)T ,求函数w=f(p)=(rsin θcos φ,rsin θsin φ,rcos θ) 的反函数的导数.解：(f -1)’(w)=[f ’(p)-1]=10sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--θθϕθϕθϕθϕθϕθϕθr r r r r =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0cos sin sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin sin cos sin sin 122222222ϕϕθϕθθϕθθθθϕθϕθθr r r r r r r r r=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0sin cos sin sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin θϕθϕθϕθϕθθϕθϕθr r r r r (r 2sin θ≠0). 将w=f(p)代入上式得：(f -1)’(w)=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++02222222222222y x x y x y r y x y x r yz yx r xzrz r y r x, (x 2+y 2≠0), 其中r=222z y x ++.二、隐函数定理概念2：设X ⊂R n , Y ⊂R m , Ω=X ×Y ⊂R n+m , F: Ω→R m . 考察向量函数方程 F(x,y)=0, x ∈X,y ∈Y. 若有向量函数f: U →Y(U ⊂X), 则F(x,f(x))≡0, x ∈U. 称函数f 是由方程F(x,y)=0确定的定义在U 上的隐函数.固定y∈Y时, 关于x的偏导数记为：F’x(x,y)或D x F(x,y) (为m×n矩阵); 固定x∈X时, 关于y的偏导数记为：F’y(x,y)或D y F(x,y) (为m×n矩阵).定理23.18：(隐函数定理)设X⊂R n,Y⊂R m是开集,Ω=X×Y⊂R n+m(为开集), F: Ω→R m. 若F满足下列条件：①存在x0∈X, y0∈Y, 使得F(x0,y0)=0;②F在Ω上可微，且F’连续; ③det F’y(x0,y0)≠0.则存在点x0的n维邻域U=U(x0)⊂X和点y0的m维邻域V=V(x0)⊂Y,使得在点(x0,y0)的n+m维邻域W=U×V⊂Ω内, 由方程F(x,y)=0惟一地确定了隐函数f: U→V，它满足：(1)y0=f(x0);(2)当x∈U时, (x,f(x))∈W, 具有恒等式F(x,f(x))≡0, x∈U;(3)f在U内存在连续偏导数f’, 且f’(x)=-[F’y(x,y)]-1F’x(x,y), (x,y)∈W. 证：定义函数G: Ω→R n×R m, G(x,y)=(x,F(x,y)), 即有det G’(x0,y0)=det F’y(x0,y0)≠0, G(x0,y0)=(x0,F(x0,y0))=(x0,0).应用定理23.17, 存在R n×R m中包含(x0,0)的开集U×V’, U⊂R n, V’⊂R m和R n×R m中包含(x0,y0)的开集U’×V, U’⊂R n, V⊂R m使得G: U’×V→U×V’具有可微反函数H: U×V’→U’×V. 由G(x,y)=(x,F(x,y))得H(x,y)=(x,k(x,y)),其中k(x,y)是从U×V’到V的可微向量函数. 定义映射π: R n×R m→R m, π(x,y)=y. 由于π◦ G=F, ∴F(x,k(x,y))=F◦ H(x,y)=(π◦ G)◦H(x,y)=π◦(G◦H)(x,y)= π(x,y)=y, ∴F(x,k(x,0))=0. 定义f(x)=k(x,0), 即有x∈U, f(x)∈V, F(x,f(x))=0, y0=f(x0). 引入向量增量符号△f=f(x+△x)-f(x), x,x+△x∈U. 于是有F(x+△x,f(x+△x))-F(x,f(x))=F(x+△x,f(x)+△f)-F(x,f(x))=0.各分量运用微分中值公式： F i (x+△x,f(x)+△f)-F i (x,f(x))=k i i nk k i x f x f x x x F ∆∆+∆+∂∂∑=))(,(1θθ+j i i mj ji f f x f x x y F∆∆+∆+∂∂∑=))(,(1θθ=0 (i=1,…,m). 又k i mj ji x fx f x y F ∂∂∂∂∑=))(,(1=))(,(x f x x F k i ∂∂-(i=1,…,m; k=1,…,n).将这m ×n 个式子列成矩阵式，即有：F ’y (x,y)f ’(x)=-F ’x (x,y), y=f(x), (x,y)∈U ×V. 由F ’y 在U 内可逆, 解得： f ’(x)=-[F ’y (x,y)]-1F ’x (x,y), (x,y)∈W. 由条件②推得f ’(x)在U 上连续.例2：设Ω⊂R 4, F,G: Ω→R.若向量H=(F,G)T 在点(z 0,w 0)T ∈Ω的某邻域内 满足定理23.18条件, 其中z 0=(x 0,y 0)T , w 0=(u 0,v 0)T , 且det H w ’(z 0,w 0)≠0, 则方程H(x,y,u,v)=0. 在点z 0的某邻域内确定一个可微的隐函数w=f(z), 且f ’(z)=-[H ’w (z,w)]-1H ’z (z,w), 即f ’(z)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂y v xvyu x u=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂--y G x G yF x F vG u Gv F u F1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂-∂∂-∂∂-y G x Gy F x Fv F u G v F v GJ 1 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂-),(),(),(),(),(),(),(),(1y u G F x u G F v y G F v x G F J , 其中J=),(),(v u G F ∂∂.三、拉格朗日乘数法设D ⊂R n 为开集, f: D →R, φ: D →R m , n=m+r, 用行向量记x=(x 1,…,x n )=(x 1,…,x r ,x r+1,…,x r+m )=(y,z), y ∈R r , z ∈R m , 当φ(x)=φ(y,z)=0时,求函数f(x)=f(y,z)的极值, 其格拉朗日函数为L(x,λ)=L(y,z,λ)=f(y,z)+λTφ(y,z), 其中λ=(λ1,…,λn)T为拉格朗日乘数向量.定理23.19：对上述所设函数f, φ若满足条件：(1)f, φ在D内有连续导数；(2)φ(x0)=φ(y0,z0)=0；(3)rank φ’(x0)=rank[φ’y(y0,z0),φ’z(y0,z0)]=m；(4)x0=(y0,z0)是f在φ(x)=φ(y,z)=0时的极值点.则存在A0∈R m, 使得(x0,A0)是函数L(x,λ)=f(y,z)+λTφ(y,z)的稳定点, 即满足L’(x0,A0)=[L x(x0,A0)+ Lλ(x0,A0)]=0, 其中λ=(λ1,…,λn)T,又由条件(2)有Lλ(x0,A0)=[φ(x0)]T=0, ∴L x(x0,A0)=f’(x0)+A0Tφ’(x0)=0.证：不妨设由条件(3)有det φ’z(y0,z0)≠0.由条件(1)(2)及上式满足定理23.18, 知由方程φ(x)=φ(y,z)=0确定惟一隐函数z=g(y), (y,z)∈U(y0)×U(z0)⊂D, 使得z0=g(y0), φ(y,g(y))≡0, y∈U(y0) 且g在U(y0)存在连续导数. 于是由复合函数求导法则得φy(y0,z0)+φz(y0,z0)g’(y0)=0. 又(y0,z0)是f的条件极值点,∴y0是h(y)=f(y,g(y))的极值点. 于是有f y(y0,z0)+f z(y0,z0)g’(y0)=0.取A0∈R m为方程f z(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0的解. 由det φ’z(y0,z0)≠0知, A0存在. ∵A0Tφy(y0,z0)+A0Tφz(y0,z0)g’(y0)=0, ∴A0Tφy(y0,z0)-f z(y0,z0)=0,∴f y(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0, 又f z(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0, 得证.习题1、设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=+-+023*******u z y x u z y x u z y x , 证明：除了不能把x,y,z 用u 惟一表示出来外,其他任何三个变量都能用第四个变量惟一表示出来.证：令F(x,y,z,u)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321F F F =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+++-+-+u z y x u z y x u z y x 2322232, 则F ’(x,y,z,u)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---232212112113u . F 满足条件：(1)F(0,0,0,0)=0, 存在(0,0,0,0)T ∈R 4; (2)F 在R 4上可微, 且F ’连续;(3)令ω1=(x,y,z)T , ω10=(0,0,0)T , 则det F ’ω1(0,ω10)=322211113---=0; 令ω2=(x,z,u)T , ω20=(0,0,0)T , 则det F ’ω2(0,ω20)=232121013--=21≠0;令ω3=(x,y,u)T , ω30=(0,0,0)T , 则det F ’ω3(0,ω30)=222111013-=-12≠0;令ω4=(x,y,u)T , ω40=(0,0,0)T , 则det F ’ω4(0,ω40)=232121011---=3≠0; 根据定理23.17，在原点邻域，除了不能把x,y,z 用u 唯一表示出来，其他任何三个变量都能用第四个变量唯一表示出来.2、应用隐函数求导公式，求由方程组x=ucosv, y=usinv, z=v 所确定的隐函数之一z=z(x,y)的所有二阶偏导数.解：令F=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321F F F =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---v z v u y v u x sin cos , ω1=(x,y)T , ω2=(z,u,v)T , 依隐函数求导公式有f ’(ω1)=-[F ’ω2(ω1,ω2)]-1F ’ω1(ω1,ω2), 即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂y v xv y u x u y z x z =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------001001101cos sin 0sin cos 01v u v v u v =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----0010010cos sin 0sin cos cos sin 1v v v u v u u v v u =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----v vv u v u v v u cos sin sin cos cos sin 1, 其中u=),,(),,(321v u z F F F ∂∂. ∴xz ∂∂=u v sin -, y z ∂∂=u v cos , x u ∂∂=cosv, y u ∂∂=sinv, x v ∂∂=u v sin -, y v ∂∂=u v cos .又u=22y x +, cosv=22yx x +, sinv=22yx y +, 因此有22x z∂∂=2sin cos u vx u x v vu ∂∂-∂∂-=2sin cos 2u v v =222)(2y x xy +; yx z∂∂∂2=2sin cos u vy uy v vu ∂∂-∂∂-=222cos sin u v v -=22222)(y x x y +-;22yz∂∂=2cos sin u vyuy v vu ∂∂-∂∂-=2cos sin 2uv v -=222)(2y x xy +-.3、设方程组⎩⎨⎧=---=0),,(),,(z y x g uv z uv y uv x f u . 试问：(1)在什么条件下，能确定以x,y,v 为自变量, u,z 为因变量的隐函数组？ (2)能否确定以x,y,z 为自变量, u,v 为因变量的隐函数组? (3)计算x u ∂∂,y u ∂∂,vu∂∂.解：设F=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21FF =⎥⎦⎤⎢⎣⎡----),,(),,(z y x g uv z uv y uv x f u , F: R 5→R 2. 若F 满足下列条件： ①存在P 0(x 0,y 0,z 0,u 0,v 0)∈R 5, 使F(p 0)=0;②在邻域U(p 0)⊂R 5内，F 可微且F ’连续，则有f, g 可微且f ’, g ’连续; ③由行列式求导法知：F ’=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''''+'+''+'+'+'-'-'-00)()(1321321321z y x g g g f f f u f f f v f f f (1)令ω1=(x,y,v)T , ω2=(u,z)T , ω10=(x 0,y 0,v 0)T , ω20=(u 0,z 0)T , 满足det F ’ω2(ω10,ω20)=g ’z [1+v(f 1’+ f 2’+ f 3’)]≠0时，在邻域U(ω10)⊂U(p 0)内， 由方程F=0, 能唯一确定隐函数f(ω1)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z u =⎥⎦⎤⎢⎣⎡),,(),,(v y x z v y x u . (2)令ω3=(x,y,z)T , ω4=(u,v)T , 则det F ’ω4(ω3,ω4)≡0,∴不能判断确定x,y,z 为自变量，u,v 为因变量的隐函数组. (3)由(1)所设, 有f ’(ω1)=-[F ’ω2(ω1,ω2)]-1F ’ω1(ω1,ω2), 即f ’(ω1)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂v z yz xzv u y uxu =⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''+'+''-'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-'+'+'+--0)(0)(13212113321y x z g g f f f u f f g f f f f v =⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''+'+''-'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+'+''∆-0)()(101321213213y x zg g f f f u f f f f f v f g =⎪⎪⎭⎫⎝⎛'+'+'+''+'+'+''+'+''''+''-''+''-∆-0)](1[)](1[)(1321321321323f f f v g f f f v g f f f g u g f g f g f g f y x z y z x z . 其中△=g ’z [1+v(f ’1+f ’2+f ’3)].∴xu ∂∂=∆''-''x z g f g f 3; y u ∂∂=∆''-''y z g f g f 32,v u ∂∂=∆'+'+''-)(321f f f g u z .4、设f(x,y)=(e x cosy,e x siny)T . 证明：(1)当(x,y)∈R 2时, det f ’(x,y)≠0, 但在R 2上f 不是一一映射； (2)f 在D={(x,y)|0<y<2π}上是一一映射，并求(f -1)’(0,e). 证：(1)当(x,y)∈R 2时, det f ’(x,y)=ye ye y e y e x x x x cos sin sin cos -=e 2x ≠0,令v=(x,y)T , 取v 1=(0,0)T , v 2=(0,2π)T , v 1≠v 2, 而f(v 1)=f(v 2)=[1,0]T , ∴f 在R 2上不是一一映射.(2)当(x,y)∈D={(x,y)|0<y<2π}时, 令v=(x,y)T, 而u=f(v)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y e y e x x sin cos .取v 1=(x 1,y 1)T , v 2=(x 2,y 2)T , 且x 1≠x 2, y 1≠y 2, 若有f(v 1)=f(v 2), 即e x1cosy 1=e x2cosy 2且e x1siny 1=e x2siny 2, 则有21x x e e =12cos cos y y =12sin sin y y , 从而有11cos sin y y =22cos sin y y , 即tany 1= tany 2, 由正切函数的周期性知|y 1-y 2|=π, 因此知cosy 1与cosy 2异号, 即不可能有21x x ee =12cos cos y y , ∴f(v 1)≠f(v 2),即f 在D 上一一映射.又f 在D 上可微, f ’连续，∴存在可导函数并求f -1:V →D, 其中V=f(D),则(f -1)’(u)=[f ’(v)]-1=1cos sin sin cos -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y e y e y e y e xx xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y e y e y e y e e x x x x x cos sin sin cos 12. 又e2x=u 12+u 22, e x cosy=u 1, e x siny=u 2,∴(f -1)’(u)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+122122211u u u u u u , 从而(f -1)’(0,e)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0110ee .5、计算下列函数反函数的偏导数：u x ∂∂,v x ∂∂,u y ∂∂,vy ∂∂.(1)(u,v)T =Tx y x x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛sin ,cos ；(2)(u,v)T =(e x +xsiny,e x -xcosy)T . 解：令s=(u,v)T , t=(x,y)T , s=f(t), 则有(f -1)’(s)=[f ’(t)]-1, 即 (1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂v y u y v x u x =1cos cos sin sin sin cos -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+x y x y x y x y x y x y x y x y =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-x y x y x y x y x y x y x y x y sin cos sin cos sin cos =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅-⋅+u u v v v u v u v u v u arctan arctan 122. ∴u x ∂∂=22v u u +,v x ∂∂=22v u v +,u y ∂∂=22arctan v u v u v u +-⋅,v y ∂∂=22arctan vu u u v v ++⋅. (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂v y u y v x u x =1sin cos cos sin -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+y x y e y x y e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+-x x x x e y e y y x y x y e y e x sin cos cos sin )1cos sin (1. ∴u x ∂∂=1cos sin sin +-y e y e y x x , v x ∂∂=1cos sin cos +--y e y e y x x , u y ∂∂=)1cos sin (cos +--y e y e x e y x x x , v y ∂∂=)1cos sin (sin +-+y e y e x e y x x x .6、设D ⊂R n 为开集, φ, ψ:D →R, f: D →R 2且f(x)=[φ(x),φ(x)ψ(x)]T , x ∈D. 证明：在满足f(x 0)=0的点x 0处, rank f ’(x 0)<2. 但是由方程f(x)=0仍可能在点x 0的邻域内确定隐函数g: E →R 2, E ⊂R n-2, n>2.证：由f(x 0)=0, 得φ(x 0)=0, φ(x 0)ψ(x 0)=0, 依定理23.9求导公式得f ’(x 0)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+''+''')()()()()()()()()()(0000000000111x x x x x x x x x x nn nx x x x x x ψϕψϕψϕψϕϕϕΛΛ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''')()()()()()(00000011x x x x x x nnx x x x ψϕψϕϕϕΛΛ. 设f 在的导数矩阵两行线性相关，则rank f ’(x 0)<2.但f(x)=0仍可能在点x 0的邻域内确定隐函数g: E →R 2, E ⊂R n-2, n>2. 例如φ(x 1+x 2+x 3-x 4)=x 1+x 2+x 3-x 4, ψ(x)=(x 1-x 32-x 2x 4), 则f(x)=[φ(x),φ(x)ψ(x)]T =[x 1+x 2+x 3-x 4,(x 1+x 2+x 3-x 4)(x 1-x 32-x 2x 4)]T ,取x 0=(0,0,0,0)满足f(x 0)=0, 能由方程f(x)=0确定函数g(x 1,x 3)=Tx x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++2233223223221,1.7、设D ⊂R n 为开集, f: D →R n , 证明：当满足条件(1)f 在D 上可微，且f ’连续；(2)当x ∈D 时, det f ’(x)≠0. 则f(D)是开集. 证：对任一y 0∈f(D), 存在x 0∈D, 使y 0=f(x 0), 依定理23.17, 存在邻域U(x 0)⊂D, 使f 在U 上一一映射, 存在反函数f -1: V →U(V=f(U)), 且(f -1)’在V 上连续, x 0=f -1(y 0). 由开集U ⊂D, 取ε>0, 使U(x 0,ε)⊂U, 又 (f -1)’在V 上连续知f -1(y)在y 0连续, ∴存在δ>0, 当y ∈U(y 0,δ)时, f -1(y)∈U(x 0,ε)⊂D, 于是U(y 0,δ)⊂f(D), 可见y 0是f(D)的点,由y 在f(D)上的任意性知f(D)为开集.8、设D,E ⊂R n 为开集, f: D →E 与f -1: E →D 互为反函数. 证明：若f 在x ∈D 可微, f -1在y=f(x)∈E 可微, 则f ’(x)与(f -1)’(y)为互逆矩阵. 证：依定理23.13, 复合函数h=f -1◦f: D →D 在x 可微，且h ’(x)=(f -1◦f)’(x)=(f -1)’(y)f ’(x), 把h(x)=(f -1◦f)(x)看作以下两个变换的复合：(x 1,x 2,…,x n )↦(y 1,y 2,…,y n )↦(x 1,x 2,…,x n ), 则有(f -1)’(y)f ’(x)=h ’(x)=n nx x x x x x ∂∂∂∂∂∂0000000000002211ΛΛΛΛΛ=I. ∴f ’(x)与(f -1)’(y)为互逆矩阵.9、对n 次多项式进行因式分解P n (x)=x n +a n-1x n-1+…+a n =(x-r 1)…(x-r n ). 从某种意义上说，这也是一个反函数问题. 因为多项式的每个系数都是它的n 个根的已知函数，即a i =a i (r i ,…,r n ), i=0,1,…,n-1.要求得到用系数表示的根，即r j =r j (a 0,a 1,…,a n-1),j=1,2,…,n. 试对n=2与n=3两种情形，证明：当方程P n (x)=0无重根时, 函数组 a i =a i (r i ,…,r n ), i=0,1,…,n-1存在反函数组r j =r j (a 0,a 1,…,a n-1),j=1,2,…,n. 证：(1)当n=2时, P 2(x)=x 2+a 1x+a 0=(x-r 1)(x-r 2)=x 2-(r 1+r 2)x+r 1r 2.则有函数组a 1=-(r 1+r 2), a 0=r 1r 2. ),(),(2101r r a a ∂=1211r r --=r 2-r 1≠0(r 1≠r 2). 当r 1≠r 2时一切点偏导连续, 依定理18.5上述函数组确定反函数组： r 1=2)40211a a a -+-, r 2=2)40211a a a ---.(2)当n=3时,P 3(x)=x 3+a 2x 2+a 1x+a 0=(x-r 1)(x-r 2)(x-r 3)=x 3-(r 1+r 2+r 3)x 2+(r 1r 2+r 2r 3+r 3r 1)-r 1r 2r 3. 则有函数组a 2=-(r 1+r 2+r 3), a 1=r 1r 2+r 2r 3+r 3r 1, a 0=-r 1r 2r 3.),,(),,(321012r r r a a a ∂=213132213132111r r r r r r r r r r r r ---+++---≠0 (r 1,r 2,r 3互不相等时).在r1,r2,r3互不相等时,一切点上偏导连续, 依定理18.5确定反函数组：r1=r1(a2,a1,a0), r2=r2(a2,a1,a0), r3=r3(a2,a1,a0).。
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高三数学反函数试题答案及解析
1.函数的反函数为_______.
【答案】
【解析】由题意得，，所以反函数为.
【考点】反函数.
2.函数是奇函数，且当时，，则= 。
【答案】-2
【解析】∵时,,
∴时,＜0
∵=-＜0
由反函数的性质得-=x=-2
∴=-2
3.已知函数存在反函数，若函数的图像经过点，则的值是___________．
【答案】2
【解析】本题关键是出函数的反函数，由得，，即函数的反函数为，那么这个反函数图象一定过点，所以，．
【考点】反函数的性质与求反函数．
4.函数与的图像关于直线对称，则 .
【答案】4
【解析】由已知可知g（x）与f(x)是互为反函数，设g（3）=b，则1+log
b=3，解得b=4，所以
2
g（3）=4.
【考点】反函数的图象及其性质.
5.函数的反函数________________．
【答案】
【解析】由函数≥2，可得x=2y-1（y≥2），所以所求的反函数为.
【考点】反函数的求法.
6.函数与的图像关于直线对称，则 .
【答案】4
【解析】因为函数与的图像关于直线对称，所以，与互为反函数。
就是为3时的x值，即由=3得，
，x=4，故 4.
【考点】本题主要考查反函数的概念，互为反函数的图象关系。
点评：简单题，函数f(x)的图象过（a，b），则其反函数的图象过（b，a）。
7.设函数的反函数是，且过点，则经过点．
【答案】
【解析】因为函数的反函数是，且过点，而的图象就是的图象沿x轴向右平移1单位的结果，所以反函数是的图象过（0,2），的图象过
（2,0），故经过点（3,0）.
【考点】本题主要考查互为反函数的函数图象之间的关系，图象的平移。
点评：基础题，点（a,b）在函数的图象上，则点（b，a）在反函数的图象上。
8.已知函数，则________．
【答案】-2．
【解析】即x的值，解得：x=－2.
【考点】本题主要考查互为反函数的函数关系。
点评：简单题，注意互为反函数的函数定义域，值域互换。
9.已知函数，则的反函数是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：因为，故f(x)的反函数即为
再结合原函数的值域得到反函数的定义域，选A
10.函数的反函数是，若，则( )
A．B．C．D．．
【答案】D
【解析】根据原函数与反函数定义域与值域的关系可知.
11.函数的反函数的大致图象为
【答案】C
【解析】首先先找出的反函数。
反函数即将x与y交换，即：，再转换成用x表示y，两边取对数得：。
显然，C为正确的图象。
12.已知函数，则的反函数是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】本题考查反函数概念，能根据原函数求出反函数.
由得：
则的反函数为.故选A
13.设函数的反函数为，且的图像过点，则
的图像必过（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】本题考查函数的图像变换，互为反函数的图像关系.
函数的图像是将函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的图像向左平移1个单位得到的；函数的图像过点
则函数的图像过点又互为反函数的图像关于直线对称，所以函数的图
像必过故选C
14.函数的反函数是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】本题考查反函数的求法
由知，此函数的值域为，则其反函数的定义域为；
又由得，所以或
因为，所以
将互换得
故正确答案为D
15.函数的反函数是
【答案】
【解析】略
16.定义在区间上的函数有反函数，则a最大为（）
【答案】A
【解析】【考点】反函数．
分析：函数在一个区间上有反函数时，此函数在此区间上一定是单调函数，故其导数值的符号不变，由2-aln2≥0 求出a的最大值．
解：∵定义在区间（0，a）上的函数f（x）=有反函数，∴f（x）在此区间上是单调函数．
此函数的导数在（0，a）上符号相同，故 2-aln2≥0，∴a?ln2≤2，
∴a≤，a最大为，
故选 A．
17.已知函数的反函数为若且，则
的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用均值定理
18.函数的反函数为（）
A．；B．；
C．；D．。
【答案】B
【解析】略
19.已知函数 (是自然对数的底数)的反函数为，则有（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】略
20.函数的反函数为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】略
21.设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】本题考查互为反函数关系和性质.
，函数具有相同的单调性.
由函数知：则且函数
是增函数，所以函数是增函数；所以不等式可化为，解得故选A
22.函数的反函数为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】本题考查求反函数的方法.求反函数的步骤:(1)确定原函数的值域，（2）解方程
得（3）互换，写出反函数，并注明定义域（原函数的值域）
由方程得
，所以所以反函数是
故选A
23.函数的反函数是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】略
24.已知函数的反函数为，则
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】略
25.若函数的反函数是=，则 .
【答案】
【解析】略
26.记函数的反函数为，则
A．2B．一2C．一4D．4
【答案】B
【解析】略
27.已知函数，是的反函数，若（），则的值为（）
A．B．1C．4D．10
【答案】A
【解析】由已知可得，则
，选A．
28.函数的反函数为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
所以反函数为。
29.函数的反函数．
【答案】
【解析】令，则，，即函数的反函数.【考点】函数的反函数.
30.若函数是函数的反函数，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据互为反函数的两个函数间的关系，原函数中时，，故反函数中当时，即.
【考点】反函数.。