复变函数与积分变换(练习题) (答案)
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
２.-8i得三个单根分别为：、、。
3.Lｎz在得区域内连续。
4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。
五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。
八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数与积分变换试题及答案9
∂u ∂v =x= ∂x ∂y
∴ u = xy + g ( x )
∂v ∂u =y= ∂y ∂x
∴ u = xy + c （3 分）
∴ u = xy + g ′( x )
∵ f (0) = u (0,0) + iv (0,0) = c = 0 ∴ f ( z ) = (−
（2 分）
x2 1 2 i + y )i + xy = − z 2 2 2 2
v = 3x 2 y − y 3
∂u ∂u ∂u ∂u = 3x 2 − 3 y 2 = ， = −6 xy = − 且四个偏导连续 ∂x ∂y ∂y ∂x
∴f(z)在整个复平面上解析 ∴ f ′( z ) = 3x − 3 y + i 6 xy = 3 z
2 2
2
(4 分) （3 分）
2．解：∵ −
原式（4 分）= 2πi
∑ Re s ⎢ z ( z − i)
k =1
2
⎡ ⎣
1
3
⎤ , zk ⎥ ⎦
z1 = 0, z 2 = i
（3 分）= 2πi⎜ +
⎛1 ⎝i
1 2⎞ ⋅ ⎟ =0 2! i 3 ⎠
7
4．解：∵
1 1 1 = = z i + z −i z −i
1 1+ i z −i
=
1 ∞ 1 (−i) n ∑ z − i m=0 ( z − i) n
4．解： s 3 F ( s ) + 3s 2 F ( s ) + F ( s ) =
1 s
（4 分）
F (S ) =
1 1 1 1 = = ⋅ 2 3 s( s + 3s + 3s + 1) s ( s + 1) s ( s + 1) 3
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数与积分变换试题及答案26
复变函数与积分变换试题与答案一、填空（3分×10）1．ln( 1 3i ) 的模。
2．-8i 的三个单根分别为：，幅角，，。
3．Ln z 在4．f (z) = z 的解极域为：5．f (z) = x2 y2+ 2xyi 的导数 f 2(z) =的区域内连续。
ϒ z /6．Re s'≤sinz3,0∞ƒ =7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若F(⎤)=F [f(t)]，则f (t) = F 1f [(⎤)]。
10．若f（t）满足拉氏积分存在条件，则L [f(t)]= 。
二、判断题（每题 2 分，共20 分，请在正确的题打“√”，错误的题后打“×\u8221X）） （ （ 5．如果 f 2(z o ) 存在，那么f (z)在zo 解析。
（ ） 6．如果zo 是f (z)的奇点，那么f (z)在zo 不可导。
（ ） 7．如果 u(x,y)，v (x,y)的偏导数存在，那么 f(z)=u+iv 可导。
（ ） 10．在zo 处可导的函数，一定可以在zo 的邻域内展开成泰勒级数。
） 二、计算题(6 分×4) 1．求 p ，m ，n 的值使得函数 3 2 3 2 数。
f ( z) = my +nx y +i (x + pxy ) 为解析函函数 f ( z) = u(x ，y ) +iv ( x ，y ) 1 2 （积分沿正向圆周进行） 3. + = |z| 4 z +1+ z 3 dz z 4． +|z|=2z 2 1dz （积分沿正向圆周进行）四、（5分）将下面函数在指定圆环内展为罗朗级数1f z( ) =z z(1 )（1<|z|<+∞）五、（5分）求把上半平面保形照为单位圆的分式线性函数。
六、解答题：1．（5 分）已知某函数的傅氏变换为F w = ™+ + ™+求该函数。
( ) [ (w w0) (w w0)]y 22 +2y 2 3y = e t 满足初始条件 y 2 = ， = 的解。
复变函数与积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。
(1)i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2)-1解：1cos sin i e i πππ-==+(3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4)1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5)3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6)1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑ (6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=(1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++ 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=(1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。
(完整版)复变函数与积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。
(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。
复变函数与积分变换答案（马柏林、李丹横、晏华辉）修订版,习题3
习题三1. 计算积分2()d Cx y ix z -+⎰,其中C 为从原点到点1+i 的直线段.解 设直线段的方程为y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤故 ()()12212310()11(1)(1)(1)333Cx y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+⋅=+=⎰⎰⎰2. 计算积分(1)d Cz z -⎰，其中积分路径C 为(1) 从点0到点1+i 的直线段;(2) 沿抛物线y =x 2，从点0到点1+i 的弧段.解 (1)设z x ix =+. 01x ≤≤()()111()Cz d z x i x dx i x i-=-++=⎰⎰ (2)设2z x ix =+. 01x ≤≤()()122211()3Ciz dz x ix d x ix -=-++=⎰⎰ 3. 计算积分d Cz z ⎰，其中积分路径C 为(1) 从点-i 到点i 的直线段;(2) 沿单位圆周|z |=1的左半圆周，从点-i 到点i ;(3) 沿单位圆周|z |=1的右半圆周，从点-i 到点i .解 (1)设z iy =. 11y -≤≤1111Cz dz ydiy i ydy i --===⎰⎰⎰(2)设i z e θ=. θ从32π到2π22332212i i Cz dz de i de i ππθθππ===⎰⎰⎰(3) 设i z e θ=. θ从32π到2π23212i Cz dz de i πθπ==⎰⎰6. 计算积分()sin zCz ez dz -⋅⎰ ,其中C 为0za =>.解()sin sin zzCCCz ez dz z dz e zdz -⋅=-⋅⎰⎰⎰∵sin ze z ⋅在z a =所围的区域内解析∴sin 0zCezdz ⋅=⎰从而()2022sin 0z i CCi z e z dz z dz adae a i e d πθπθθ-⋅====⎰⎰⎰⎰ 故()sin 0zCz ez dz -⋅=⎰7. 计算积分21(1)Cdz z z +⎰,其中积分路径C 为（1）11:2C z =（2）23:2C z =（3）31:2C z i +=（4）43:2C z i -= 解：（1）在12z =所围的区域内，21(1)z z +只有一个奇点0z =. 12111111()2002(1)22CC dz dz i i z z z z i z i ππ=-⋅-⋅=--=+-+⎰⎰ （2）在2C 所围的区域内包含三个奇点0,z z i ==±.故22111111()20(1)22CC dz dz i i i z z z z i z iπππ=-⋅-⋅=--=+-+⎰⎰ （3）在2C 所围的区域内包含一个奇点z i =-,故32111111()00(1)22C C dz dz i i z z z z i z i ππ=-⋅-⋅=--=-+-+⎰⎰（4）在4C 所围的区域内包含两个奇点0,z z i ==,故42111111()2(1)22C C dz dz i i i z z z z i z i πππ=-⋅-⋅=-=+-+⎰⎰10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1)20cos 2izdz π+⎰(2)z ie dz π--⎰ (3)21(2)iiz dz +⎰(4) 1ln(1)1iz dz z ++⎰ (5)1sin z zdz ⋅⎰(6)211tan cos izdz z +⎰解 (1)2201cos sin21222iiz z dz ch ππ++==⎰(2)2zz iiedz e ππ----=-=-⎰(3)22311111111(2)(2)(2)(2)333ii ii iz dz iz d iz iz i i +=++=⋅+=-+⎰⎰ (4) 222111ln(1)11ln(1)ln(1)ln (1)(3ln 2)1284ii iz dz z d z z z π+=++=+=-++⎰⎰ (5)11110000sin cos cos cos sin1cos1z zdz zd z z z zdz ⋅=-=-+=-⎰⎰⎰(6) 222112111221tan 1sec sec tan tan cos 2111tan1tan 1t 122ii i i iz dz zdz z zdz tanz z z ith h +=+=+⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰11. 计算积分21zCe dz z +⎰,其中C 为 (1) 1z i -= (2) 1z i += (3) 2z =解 (1)221()()z z ziz iC C e e e dz dz i e z z i z i z iππ===⋅=++-+⎰⎰ (2)221()()z z zi z iC C e e e dz dz i e z z i z i z iππ-=-==⋅=-++--⎰⎰(3)122222sin1111z z z i iC C C e e e dz dz dz e e i z z z πππ-=+=-=+++⎰⎰⎰16. 求下列积分的值,其中积分路径C 均为|z |=1.(1) 5zC e dz z ⎰ (2) 3cos C z dz z ⎰(3) 020tan12,()2C zdz z z z <-⎰ 解 (1) (4)52()4!12z z z C e i idz e z ππ===⎰ (2)(2)3cos 2(cos )2!z C z i dz z i z ππ===-⎰(3) 0'220tan22(tan )sec ()2z z C zz dz i z i z z ππ===-⎰17. 计算积分331(1)(1)C dz z z -+⎰ ,其中积分路径C 为(1)中心位于点1z =,半径为2R <的正向圆周(2) 中心位于点1z =-,半径为2R <的正向圆周解：(1) C内包含了奇点1z =∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i idz z z z ππ===-++⎰ (2) C内包含了奇点1z =-,∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i i dz z z z ππ=-==--+-⎰19. 验证下列函数为调和函数.3223(1)632;(2)e cos 1(e sin 1).x xx x y xy y y i y ωω=--+=+++解(1) 设w u i υ=+,3223632u x x y xy y=--+ 0υ=∴223123u x xy y x ∂=--∂ 22666ux xy y y∂=--+∂ 22612u x y x∂=-∂ 22612ux y y ∂=-+∂ 从而有22220u ux y ∂∂+=∂∂,w 满足拉普拉斯方程,从而是调和函数. (2) 设w u i υ=+,cos 1x u e y =⋅+ sin 1x e y υ=⋅+∴cos x u e y x ∂=⋅∂ s i n x ue y y∂=-⋅∂ 22cos x u e y x ∂=⋅∂ 22cos x u e y y∂=-⋅∂ 从而有22220u ux y∂∂+=∂∂,u 满足拉普拉斯方程,从而是调和函数. sin x e y x υ∂=⋅∂ cos x e y yυ∂=⋅∂ 22sin xe y x υ∂=⋅∂ 22s i n x y e yυ∂=-⋅∂ 22220x yυυ∂∂+=∂∂,υ满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.20.证明:函数22u x y =-,22xx yυ=+都是调和函数,但()f z u i υ=+不是解析函数证明: 2u x x ∂=∂ 2u y y ∂=-∂ 222u x ∂=∂ 222u y∂=-∂ ∴22220u ux y ∂∂+=∂∂,从而u 是调和函数. 22222()y x x x y υ∂-=∂+ 2222()xy y x y υ∂-=∂+ 223222362()xy x x x y υ∂-+=∂+ 223222362()xy x y x y υ∂-=∂+ ∴22220x yυυ∂∂+=∂∂,从而υ是调和函数. 但∵u x y υ∂∂≠∂∂ u yx υ∂∂≠-∂∂ ∴不满足C-R 方程,从而()f z u i υ=+不是解析函数.22.由下列各已知调和函数,求解析函数()f z u i υ=+ (1)22u x y xy =-+(2)22,(1)0yu f x y ==+ 解 (1)因为 2u x y x y υ∂∂=+=∂∂ 2u y x y xυ∂∂=-+=-∂∂ 所以22(,)(,)(2)(2)(2)00(0,0)(0,0)222u u x y x y y x dx dy C y x dx x y dy C xdx x y dy C y xx y xy Cυ∂∂=-++=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰∂∂=-+++2222()i(2)22x y f z x y xy xy C =-++-+++令y =0,上式变为22()i()2x f x x C =-+从而22()i i 2z f z z C =-⋅+(2)2222()u xy x x y ∂=-∂+ 22222()u x y y x y ∂-=∂+ 用线积分法，取（x 0,y 0）为(1,0)，有2(,)4222(1,0)122222()0()1110x y x u u x y ydx dy C dx x dy Cy x x x y x x yC x x y x y υ∂∂=-++=-+⎰∂∂+=-+=-+++⎰⎰ 2222()i(1)y xf z C x y x y=+-+++ 由(1)0.f =，得C=0 ()11f i z z ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭23.设12()()()()n p z z a z a z a =--- ,其中(1,2,,)i a i n = 各不相同，闭路C 不通过12,,,n a a a ,证明积分1()d 2π()C p z z i p z '⎰ 等于位于C 内的p(z )的零点的个数.证明: 不妨设闭路C 内()P z 的零点的个数为k , 其零点分别为12,,...k a a a1112312121()()()...()...()1()12πi ()2πi ()()...()111111...2πi 2πi 2πi 111111...1...2πi 2πi nnk k n k k C Cn C C C nC C k n k z a z a z a z a z a P z dz dzP z z a z a z a dz dz dz z a z a z a dz d z a z a -==+-+--+--'=---=+++---=++++++--∏∏⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰个z k=24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式): 设f (z )在闭路C 及其外部区域D 内解析，且lim ()z f z A →∞=≠∞，则(),,1()d ,.2πC f z A z D f A z G i z ξξξ-+∈⎧=⎨∈-⎩⎰ 其中G 为C 所围内部区域.证明：在D 内任取一点Z ，并取充分大的R ，作圆C R : R z =，将C 与Z 包含在内则f(z )在以C 及RC 为边界的区域内解析，依柯西积分公式，有R 1()()()[-]2πi C C f f f z d d z zζζζζζζ=--⎰⎰ 因为()f z zζζ-- 在R ζ>上解析，且()1lim lim ()lim ()11f f f z z ζζζζζζζζζ→∞→∞→∞=⋅==--所以，当Z 在C 外部时，有1()()2πi C f f z A d z ζζζ=--⎰即1()()2πi C f d f z A zζζζ=-+-⎰ 设Z 在C 内，则f(z )=0，即 R 1()()0[]2πi C C f f d d zz ζζζζζζ=---⎰⎰ 故有：1()2πi C f d A z ζζζ=-⎰ 。
复变函数与积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。
(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 13i +解：()/31322cos /3sin /3i i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7) 11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值 (1) a ib +解：1ar 2ar 2222421ar 22421ar 2242 b b i ctg k i ctg k a a bi ctg abi ctg a a ib a b ea b ea b ea b e ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=+=+⎧+⎪=⎨⎪-+⎩(2)3i解：62263634632323322322i k i i i i k i e i i eee e iπππππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)ii解：()1/2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i e e ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=(1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=(1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。
复变函数及积分变换试题及答案
第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分）1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。
A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。
2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。
A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C +3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰（ ）。
A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。
A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n =C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的（ ）。
A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。
A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。
A.22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. ks 1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.23(1)i += [1] ；----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------2. 幂级数∑∞=1n nn z ！收敛于 [2] ；3. 设0Z 为复函数）（z f 的可去奇点，则）（z f 在该点处的留数为 [3] . ；4. 通过分式线性映射z kz λωλ-=-（k 为待定复常数）可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<；5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1zω=三种特殊形式的映射复合而成，分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ； 6. 求积分()i x e x dx ωδ∞--∞=⎰[6] ；三、判断题 （每小题2分，共10分）1. 平面点集D 称为一个区域，如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一)1．一、填空(3 分×10)1．ln(-1- 3 i ) 的模 .幅角 。
2．-8i 的三个单根分别为： . . 。
3．Ln z 在的区域内连续。
4． f ( z ) = z 的解极域为： 。
5． f (z ) = x 2 - y 2 + 2xyi 的导数 f (z ) =。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是： 。
9．若F () =F [f (t )].则 f (t )= F -1 f [()] 。
10．若f (t )满足拉氏积分存在条件.则 L [f (t )]=二、(10 分)-1x 2+ 1 y 2.求函数u (x ,y )使函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )为解析函数.且 f (0)=0。
、(10 分)应用留数的相关定理计算dz|z |=2 z 6(z -1)(z -3)四、计算积分(5 分×2)dz |z |=2 z ( z - 1)6． Re ssin 3z ,0 z 3已知v (x , y ) =2．c(z co-s i z)3 C：绕点i一周正向任意简单闭曲线。
五、(10 分)求函数f ( z) =z(z1-i)在以下各圆环内的罗朗展式。
1．0 | z - i | 12．1 | z - i | +六、证明以下命题：(5 分×2)(1)(t - t )与e-iwt o构成一对傅氏变换对。
+(2)+e-i t dt=2()-x + y + z = 1七、(10分)应用拉氏变换求方程组x + y+z = 0满足x(0)=y(0)=z(0)=0的解y + 4z = 0y(t)。
八、(10 分)就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）= 2i [-1+1] =02 分）一、1． 3. 8.二、解： 2 4 - ln 2 2 + 2. arctg 3 + 2k9 ln 2Z 不取原点和负实轴 角形域映为角形域 v u = - x = - x y 2. 2i 3 -i 、解： 四、 4. 空集 5. 2z 6． 1 +9. 1 +F ()e i d 2 -v =y =y f (z )=i - x + y +xy +c 7.将常形域映为角形域 10. 0+f (t )e -st dt ∵f (0)=0 c =0 ∴ f (z ) = xy - ( x - y ) = - ( x 2原式=(2 分) 2i Re s k =1 42 分)= -2i Re s k =3 Re sRe s,3z 6(z -1)(z -3),z 6(z -1)(z -3)u ∴ u = xy + c x 3 分） - y + 2xyi ) = z 6(z -1)(z -3) kz 6(z -1)(z -3) k(2分)3612= （2分）Re s 5 分） -2i z 2 2 分）z 3 z 1 = 0 z 2 =3 z 4 =1 = 1∴原式=(2分) 2i3 62=-36 i21．解：原式 = 2i Re s k =11 z (z -1),zk16(1-1)(1-3)z 2,0 z6 z z3 分) z 1=0z 2=1=0八、解：①定义； ②C-R 充要条件 Th ； ③v 为 u 的共扼函数 10 分1 +2)解：∵ 1+2()e -i t dw =e -i t2 -S （2）-（1）：∴Y (t )=1-12e t -12e -t =1-cht2．解： 原式 = cos z 2! z =i = i (- cos z ) = -i cos i = -ich 1 五、1．解：f ( z ) (1分)( z - i ) z - i + i 1分)(z 1-i ) 11 i 1+ z-iin =01分)z1- i1in - 1n = i (z -i )n -1 = i (z -i )n2 分）n =0 n =-12． 解： f (z )1分)=(z 1- i )i + ( z - i )1分）11+1 分）1 (z - i )2n =01 1=1n (z -1i )n +2n =0 i n -i n (z -i )n -2 (2 分) n =0六、1．+ +(t -t )e -i tdt = e--i t t =t =e -it3 分） ∴结论成立++e -i t dt = 2() -（2 分）sX (s )+Y (s )+sZ (s )= 1S (1)X (s )+sY (s )+Z (s ) = 0 （2） （3 分） Y (s )+4sZ (s ) = 0(3)∴ 2（ w ） 与 1 构成傅氏对七、解：∵∴Y (s )=s21-1s 2 -1= s - 2s -1+ s +13 分）=1=02 分）复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3 分×10)7．若 z 0为 f (z )的 m 级极点.则Re s [ f (z ),z ]=( )。
复变函数及积分变换试卷及答案
«复变函数与积分变换»期末试题〔A〕一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i-的幅角是〔〕；2.)1(iLn+-的主值是〔〕；3.211)(zzf+=，=)0()5(f〔〕；4．0=z是4sinzzz-的〔〕极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zf s〔〕；二．选择题〔每题3分，共计15分〕1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为〔〕；〔A〕yxiuuzf+=')(；〔B〕yxiuuzf-=')(；〔C〕yxivuzf+=')(；〔D〕xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf〔〕，那么0d)(=⎰C zzf．〔A〕23-z；〔B〕2)1(3--zz；〔C〕2)2()1(3--zz；〔D〕2)2(3-z. 3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，那么级数在〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 〕．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成以下各题〔每题10分，共计40分〕〔1〕设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a〔2〕．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；〔3〕计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z〔4〕函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩大复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、〔此题14分〕将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域展开成罗朗级数； 〔1〕110<-<z ，〔2〕10<<z ，〔3〕∞<<z 1五．〔此题10分〕用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、〔此题6分〕求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题〔A 〕答案及评分标准一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i -的幅角是〔 2,1,0,23±±=+-k k ππ〕；2.)1(i Ln +-的主值是〔 i 432ln 21π+ 〕； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f 〔 0 〕，4．0=z 是4sin z zz -的〔 一级 〕极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s 〔-1 〕； 二．选择题〔每题4分，共24分〕1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为〔B 〕；〔A 〕 y x iu u z f +=')(； 〔B 〕y x iu u z f -=')(；〔C 〕y x iv u z f +=')(； 〔D 〕x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f 〔 D 〕，那么0d )(=⎰Cz z f ．〔A 〕23-z ； 〔B 〕2)1(3--z z ； 〔C 〕2)2()1(3--z z ； 〔D 〕2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，那么级数在〔C 〕〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( B )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 D 〕．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成以下各题〔每题10分，共40分〕〔1〕．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换练习册参考答案
分析：显然原方程可化简为一个典型的二项方程。
⎛ 1+ z ⎞ 解：由直接验证可知原方程的根 z ≠ 1 。所以原方程可改写为 ⎜ ⎟ = 1。 ⎝ 1− z ⎠
令
5
ω=
1+ z ， ……………(1) 1− z
2π i 5
则 ω = 1 ， ……………………(2)
5
方程(2)的根为 ω = 1, e
(5) lim
z →1
zz + 2 z − z − 2 3 = 。 2 z2 −1 zz + 2 z − z − 2 ( z + 2)( z − 1) z +2 3 = lim = lim = 。 2 z →1 ( z − 1)( z + 1) z →1 z + 1 2 z −1
提示： lim
z →1
(1 − cos α ) 2 + sin 2 α = 4sin 2
α
2
= 2sin
α
2
；因为当 0 < α < π 时，
sin α > 0 ， 1 − cos α > 0 ，则 arg z = arctan
= arctan(tan +i sin
π −α
2
)=
π −α
2 e
π −α i 2
sin α α = arctan(cot ) 1 − cos α 2
。
6、 ( 2)
=e
2 ln 2 − 2kπ
7、方程 sinh z = i 的解为 三、计算和证明 1、试证函数
1 在复平面上任何点都不解析。 z
利用 C-R 条件，即用解析的充要条件判别，即 u =
数学物理方法综合试题及答案 ()
复变函数与积分变换 综合试题（一）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设cos z i =，则（ ）A ． Im 0z =B ．Re z π=C ．0z =D ．argz π= 2．复数3(cos,sin )55z i ππ=--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．443(cos ,sin )55i ππD ．443(cos ,sin )55i ππ--3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰c z dz||等于（ ）A ．0B ．2πiC ．2πD ．－2π 4．设函数()0zf z e d ζζζ=⎰，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答：5．1z =-是函数41)(z zcot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4z π<<保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）A ．4411z w z +=-B ．44-11z w z =+C ．44z i w z i -=+D ．44z iw z i +=-7. 线性变换[]i i z z i z ae z i z i z aθω---==-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<18.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )xv x y e y y x y =+，则(,)uxy=（ ）A.(cos sin )ye y y x y -)B.(cos sin )xe x y x y -C.(cos sin )xe y y y y - D.(cos sin )xe x y y y -(cos sin )sin (cos sin cos )x x x ve y y x y e y x ve y y y x y y∂=++∂∂=-+∂[][]cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin (1)x x x iy iy iyz w u v v v i i z x x y xe y y y x y iy y ix y i y e y i y x y ix y iy y y y e e xe iye e z ∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂=-++++=++++-⎡⎤=++⎣⎦=+()()()()cos sin cos sin sin cos z x iy x x w ze x iy e e x iy y i y e x y y y i x y y y u iv+==+=++=-++=+⎡⎤⎣⎦()cos sin x u e x y y y =-9.()1(2)(1)f z z z =--在021z <-< 的罗朗展开式是（）A.∑∞=-01n nnz )( B.∑∞=-021n nz )z (C.∑∞=-02n n)z ( D .10(1)(2)nn n z ∞-=--∑10.320cos z z dz ⎰=（ ）A.21sin9 B.21cos9 C.cos9 D.sin9二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
《复变函数与积分变换(刘建亚)》作业答案
《复变函数与积分变换》作业参考答案习题1： 4、计算下列各式 (1)3i(3i)(1+3i)-； (3)23(3i)-(5)13i 2z +=，求2z ，3z ，4z ； (7) 61-。
解：(1)3i(3i)(1+3i)=3i(3+3i i+3)=3i(2i+23)=6+63i ---；(3)2333(223i)3(223i)333i 41288(3i)223i (223i)(223i)++====++---+； (5)213i 3i 3223i 13i 4422z ++--+===-+，3213i 13i 131224z z z -++--=⋅=⋅==-， 4313i 22z z z =⋅=--．(7) 因为1cos isin ππ-=+，所以6221cosisin66k k ππππ++-=+，即0k =时，031cosisini 6622w ππ=+=+； 1k =时，133cosisin i 66w ππ=+=； 2k =时，25531cosisin i 6622w ππ=+=-+； 3k =时，37731cosisin i 6622w ππ=+=--； 4k =时，499cos isin i 66w ππ=+=-； 5k =时，5111131cosisin i 6622w ππ=+=-．习题2：3、下列函数在何处可导？何处解析？在可导点求出其导数． (2) 2()i f z x y =-； (4) ()sin ch icos sh f z x y x y =+(6)()az b f z cz d+=+。
解：(2) 因为2(,)u x y x =，(,)v x y y =-，2x u x '=，0y u '=，0x v '=，1y v '=-．这四个一阶偏导数都连续，故(,)u x y 和(,)v x y 处处可微，但柯西-黎曼方程仅在12x =-上成立，所以()f z 只在直线12x =-上可导，此时1122()21x x f z x =-=-'==-，但复平面上处处不解析． (4) 因为(,)sin ch u x y x y =，(,)cos sh v x y x y =，cos ch x u x y '=，sin sh y u x y '=，sin sh x v x y '=-，cos ch y v x y '=．这四个一阶偏导数都连续，故(,)u x y 和(,)v x y 处处可微，且满足柯西-黎曼方程，所以()f z 在复平面内解析，并且()()i i i i iz iz ()i cos ch isin sh cos isin 22cos isin cos isin 2222cos 22y y y yx x y y y y x x y x y x e e e e f z u v x y x y x x e e e e x x x x e e e e e e z-------+-+-'''=+=-=⋅-⋅=-++=⋅+⋅++===．(6)020()()1()limlim ()lim()()()z z z f z z f z a z z b az b z z c z z d cz d ad bc ad bccz c z d cz d cz d ∆→∆→∆→⎡⎤+∆-+∆++=-⎢⎥∆∆+∆++⎣⎦--==+∆+++所以，()f z 在除dz c=-外处处解析，且2()()ad bc f z cz d -'=+．4、指出下列函数的奇点． (1)221(4)z z z -+； (2) 222(1)(1)z z z +++．解：(1)22343242242232322(4)(1)(48)3448()(4)(4)3448(4)z z z z z z z z zf z z z z z z z z z z +--+-+-+'==++-+-+=+所以，()f z 的奇点为0，2i ±．(2)22232422322(1)(1)2(2)(1)(21)3953()(1)(1)(1)(1)z z z z z z z z z f z z z z z ++-+++++++'==-++++ 所以，()f z 的奇点为1-，i ±．10、如果()i f z u v =+在区域D 内解析，并且满足下列条件之一，试证()f z 在D 内是一常数．(2)()f z 在D 内解析；证明：由()i f z u v =+在区域D 内解析，知(,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内可微，且x y u v ''=，y x u v ''=-．同理，由()f z 在D 内解析，知x y u v ''=-，y x u v ''=．从而我们得到0x y y x u v u v ''''====，所以(,)u x y 、(,)v x y 皆为常数，故()f z 在D 内是一常数．15、求解下列方程： (2)10z e +=解：1ze =-，于是Ln(1)ln1iarg(1)2i=(21)i,z k k k Z ππ=-=+-++∈18、求Ln(i)-，Ln(34i)-+的值及主值．解：Ln(i)ln i i arg(i)2i i 2i 2k k πππ-=-+-+=-+，所以其主值为i 2π-； 4Ln(34i)ln 34i i arg(34i)2i ln 5i(arctan )2i 3k k πππ-+=-++-++=+-+，所以其主值为4ln 5i(arctan )3π+-．19、求1i2eπ-，1i 4eπ+，i 3，i(1i)+的值．解：1ii()22cos()isin ()i 22ee ee e ππππ--⎡⎤=⋅=-+-=-⎢⎥⎣⎦；()1i 11i444444222cos isin i 1i 44222ee ee e e ππππ+⎛⎫⎛⎫=⋅=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()i iLn3i(ln32i)2+iln323cosln3isinln3k k k e e e e πππ+--====+； 11i ln 2i 2i 2iln 22i iln(1i)444ln 2ln 2(1i)cos isin 22k k k e eeeππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫+====+ ⎪⎝⎭．20、求21，2(2)-，i 1-，i i ，1i(34i)+-的值．解：22Ln122i1cos(22)isin(22)k e e k k πππ===+；()22Ln(2)2ln 2(21)2i2(2)2cos (21)2isin (21)2k eek k πππ-++⎡⎤⎡⎤-===+++⎣⎦⎣⎦；i iLn1i(2i)21k k e e e ππ---===；1i i 2i 2i iLni22i k k eeeπππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===；()()444(1i)ln5arctan i 2i ln5arctan 2i ln5arctan 231i(1i)Ln(34i)332(34i)45cos ln 5isin ln 5,arctan ,3k k k k eeee k Z πππθπθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-++-+-+ ⎪⎢⎥⎪++-⎝⎭⎣⎦⎝⎭--====-+-=∈⎡⎤⎣⎦22、解方程： (1)ch 0z =；解：1Arch0Ln(001)Lni 2i 2z k π⎛⎫==+-==+ ⎪⎝⎭，k Z∈．习题3：1、沿下列路径计算积分2i20z dz +⎰：(1) 从原点至2i +的直线段；(2) 从原点沿实轴至2，再由2铅直向上至2i +； (3) 从原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至2i +． 解：(1) 从原点至2i +的直线段的复参数方程为i2x z x =+，1(1i)2dz dx =+，参数:02x →，所以22i22323330001111(1i)(1i)(2i)2323z dz x dx x +=+=+=+⎰⎰(2) 从原点沿实轴至2的直线段的复参数方程为z x =，参数:02x →，由2铅直向上至2i +的直线段的复参数方程为2i zy =+，参数:01y →，所以122i212222202132300(2i )i 18i 2111(i 44i)24i=i (2i)333333C C z dz z dz z dz x dx y dyx y y dy +=+=++=+--+=--++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3) 从原点沿虚轴至i 的直线段的复参数方程为i z y =，参数:01y →，由i 沿水平方向向右至2i +的复参数方程为i zx =+，参数:02x →，所以122i1222222012223300(i )i (i)i 1i 1i (i)(2i)(2i)3333C C z dz z dz z dz y dy x dxy dy x dx +=+=++=-++=-+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2、分别沿y x =与2y x =算出积分1i20(i )x y dz +-⎰的值．解：y x =的复参数方程为(1i)z x =+，(1i)dz dx =+，参数:01x →所以1i122051(i )(i )(1i)i 66x y dz x x dx +-=-+=-⎰⎰； 2y x =的复参数方程为2i z x x =+，(12i)dz x dx =+，参数:01x →所以1i 1222051(i )(i )(12i)i 66x y dz x x x dx +-=-+=+⎰⎰5、计算积分Czdz z⎰的值，其中C 为正向圆周： (1)3z =解：设1C 是C 内以被积函数的奇点0z=为圆心的正向圆周，那么111132i=6i CC C C z z z zdz dz dz z dz z z z z z ππ⋅====⋅⎰⎰⎰⎰6、试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？C 是正向圆周1z =：(1)2Cdzz +⎰； (2) 223Cdzz z ++⎰； (3)cos C dz z⎰ ；(4)13Cdzz -⎰； (5) z Cze dz ⎰； (6)i 522C dzz z ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ ．解：(1) 02C dzz =+⎰ ，根据柯西积分定理；(2) 2023C dz z z =++⎰ ，根据柯西积分定理；(3) 0cos C dz z =⎰ ，根据柯西积分定理；(4)2i 13C dz z π=-⎰ ，根据复合闭路定理；(5)0z Cze dz =⎰，根据柯西积分定理；(6)4ii 55i 22C dz z z π=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ ，根据柯西积分定理及复合闭路定理．7、沿指定曲线的正向计算下列积分：(1)3zCe dz z -⎰ ，:31C z -=； (2)22Cdz z a -⎰，:C z a a +=；(3)i 21zCe dz z +⎰ ，4:2i 3C z -=； (4)3Czdzz +⎰，:2C z =； (5)23(1)(1)C dzz z +-⎰ ，:1C z r =<；(6)3cos Cz zdz ⎰，C 为包围0z =的闭曲线；(7)22(1)(4)C dzz z +-⎰ ，3:2C z =； (8)sin C zdz z ⎰ ，:3C z =；(9)2cos 2Czdz z π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰ ，:3C z =；(10)5z C e dz z ⎰ ，:1C z =．解：(1)332i 2i 3z zz C e dz e e z ππ==⋅=-⎰ ；(2)2212i i C z adz z a z aaππ=-=⋅=---⎰ ；(3)i i 2i 2i 1i z z C z e e dz z z eππ==⋅=++⎰ ； (4)03Czdzz =+⎰； (5)230(1)(1)C dzz z =+-⎰ ；(6)3cos 0Czzdz =⎰ ；(7)222222i i 1(1)(4)2i (i)(4)(i)(4)11102i 44C C C z z dz dz dzz z z z z z z z =-=⎡⎤-=-⎢⎥+-+---⎣⎦⎛⎫-=-= ⎪--⎝⎭⎰⎰⎰ ；(8)0sin 2i sin 0z C z dz z z π==⋅=⎰ ；(9)()22cos 2sin 21!2Cz zidz z i z ππππ==⋅-=-⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰ ；(10) 502(51)!12z zC z e i idz ez ππ==⋅=-⎰ ．21、证明：22ux y =-和22yv x y =+都是调和函数，但是i u v +不是解析函数．证明：因为2u x x ∂=∂，222u x ∂=∂，2u y y ∂=-∂，222u y∂=-∂， 2222()v xy x x y ∂-=∂+，223222362()v x y y x x y ∂-=∂+，22222()v x y y x y ∂-=∂+，232222326()v y x y y x y ∂-=∂+， 所以22220u u x y ∂∂+=∂∂，22220v vx y∂∂+=∂∂，且x y u v ''≠，y x u v ''≠-． 即22u x y =-和22y v x y =+都是调和函数，但是i u v +不是解析函数．22、由下列各已知调和函数求解析函数()i f z u v =+，并写出z 的表达式：(1)22()(4)u x y x xy y =-++；(2)22y v x y =+，(2)0f =；(3)2(1)u x y =-，(2)i f =-．解：(1) 因为()i f z u v =+是调和函数，所以22363v u x xy y x y ∂∂=-=-++∂∂，22363v u x xy y y x∂∂==+-∂∂． 于是22223(363)()33v x xy y dy g x x y xy y =+-=++-⎰．那么222()63363vg x xy y x xy y x∂'=++=-++∂， 则3()g x x C =-+，所以322333v x x y xy y C =-++-+，3223322332233()(33)i(33)i (1i)3(i )3(i )(i )i (1i)i f z x x y xy y x x y xy y Cx x y x y y Cz C=+--+-++-+⎡⎤=-++++⎣⎦=-+(2)2222()v xy x x y ∂-=∂+，22222()v x y y x y ∂-=∂+．因为()i f z u v =+是调和函数，所以222222222222222(i )11()i i ()()()(i )y xx y xy x y f z v v x y x y x y x y z ---'''=+=+===++++，从而1()f z C z=-+．由(2)0f =知12C =，所以11()2f z z=-．(3) 因为()i f z u v =+是调和函数，所以2(1)v u x x y ∂∂=-=--∂∂，2v uy y x∂∂==∂∂． 于是22()v ydy g x y ==+⎰．那么()2(1)vg x x x∂'==--∂， 则2()2g x x x C =-++，所以222v x x y C =-+++，2222()(22)i(2)i i (i )2(i )1i i(1)i f z xy y x x y Cx y x y Cz C=-+-+++⎡⎤=-+-+++⎣⎦=--+由(2)i f =-知0C =，所以2()i(1)f z z =--．习题4： 1、下列数列{}n z 是否收敛？若收敛，求其极限．(1)1i 1i n n z n +=-； (2) i 12nn z -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； (3)i(1)1nn z n =-++； (4) i2n n z e π-=．解：(1)222221i 12i 12i1i 111n n n n n n z n n n n +-+-===+-+++，当n →∞时，实部22111n n -→-+，虚部2201nn→+，所以{}n z 收敛于1-． (2)i i 5122n nn n z e ---⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当n →∞时502n-⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭，那么0n z →，所以{}n z 收敛于0．(3) 当n →∞时，实部(1)n-是发散的，所以{}n z 发散．(4) i 2cosisin 22n n n n z eπππ-==-，实部和虚部都发散，所以{}n z 发散．2、判断下列级数的收敛性与绝对收敛性：(1)21131i nn n n ∞=⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑； (3) i 221n n en π-∞=∑．解：(1) 记2131i nn z n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则当n →∞时1Re()1nn z e n ⎛⎫=+→ ⎪⎝⎭，那么n z 不趋近于0，所以级数发散．(3)i 222111n n n en nπ-∞∞===∑∑收敛，即级数i 221n n en π-∞=∑绝对收敛，所以收敛．7、将下列各函数展成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径． (1)311z +； (3)2cos z ．解：(1)3363311()111()n n z z z z z ∞===-=-+-+--∑ ． 因为1(1)lim1(1)n nn ρ+→∞-==-，所以收敛半径1R =．(3)22021*******cos 211(2)cos (1)122(2)!21222(1)1(2)!22!4!6!nn n n n n n z z z n z z z zn ∞=-∞=⎡⎤+==-+⎢⎥⎣⎦=-+=-+-+∑∑因为211212(1)(22)!4limlim0(21)(22)2(1)(2)!n n n n n nn n n n ρ++-→∞→∞-+===++-，所以收敛半径R =∞．8、将下列各函数在指定点0z 处展成泰勒级数，并指出它们的收敛半径． (3)21z ，01z =-； (4)143z-，01i z =+； (6) arctan z ，00z =．解：(3)()20()(1)(1)!1!!n n n n z z f z n z c n n n --=-+===+，则201(1)(1)n n n z z ∞==++∑．因为1lim1n n nρ→∞+==，所以收敛半径1R =． (4)()101()3!(43)3!!(13i)n n n nn n z z f z n z c n n --+=-===-，则 []1013(1i)43(13i)n nn n z z ∞+==-+--∑． 因为121333lim(13i)(13i)10n nn n n ρ+++→∞==--，所以收敛半径103R =． (6)21222000000arctan ()()(1)121n zz z n n n n n n dz z z z dz z dz z n +∞∞∞=====-=-=-++∑∑∑⎰⎰⎰． 因为1(1)(1)lim12321n nn n n ρ+→∞--==++，所以收敛半径1R =．10、求下列各函数在指定圆环域的洛朗级数展开式： (2)21(1)z z -，01z <<，11z <-<+∞；(5)21(i)z z -，在以i 为中心的圆环域内；(7)1(2)(3)z z --，3z >．解：(2) 在01z <<内，由于011nn z z ∞==-∑，且211(1)1z z '⎛⎫= ⎪--⎝⎭，所以 21(1)(1)n n n z z ∞==+-∑， 从而211(2)(1)nn n z z z ∞=-=+-∑．在11z <-<+∞内，由于111z <-，所以 011111111(1)11111nn z z z z z z ∞=⎛⎫==⋅=⋅- ⎪+----⎝⎭+-∑，从而2301(1)(1)(1)nn n z z z ∞+=-=--∑． (5) 当0i 1z <-<时，由于211z z '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且10011111i (i)(1)i i (i)i i i i 1inn n n n n z z z z z ∞∞+==--⎛⎫==⋅=-=- ⎪-+-⎝⎭+∑∑，所以12111(i)(1)i n n n n n z z -∞+=-=--∑，从而212111(i)(1)(i)i n n n n n z z z -∞-+=-=--∑．当1i z <-<∞时，由于i11z <-，所以 10011111i i (1)i i (i)i i i (i)1inn n n n n z z z z z z z ∞∞+==⎛⎫==⋅=⋅-=- ⎪+-----⎝⎭+-∑∑， 且211z z '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而2211(1)i (1)(i)n n n n n z z ∞+=+=--∑，所以2311(1)i (1)(i)(i)n n n n n z z z ∞+=+=---∑．(7) 由于21z <且31z<，所以 10000111111(2)(3)32131213213232n n n n n n nn n n n n z z z z z z z z z z z zz ∞∞∞∞+====⎛⎫=-=⋅- ⎪------⎝⎭⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=-==⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑习题5：1、求下列函数的孤立奇点并确定它们的类别，若是极点，指出它们的级． (1)221(1)z z +； (3)3sin z z ； (4) ln(1)z z +； (7) 21(1)zz e -； (11) 1sin 1z -． 解：(1) 易见0z =，iz =±是221()(1)f z z z =+的孤立奇点．由于221lim(1)z z z →=∞+，22i 1lim(1)z z z →±=∞+，所以0z =，i z =±是极点．0z =，一级极点，i z =±，二级极点．(3) 30sin limz zz →=∞，所以0z =是极点．0z =，二级极点． (4) 易见0z =是ln(1)()z f z z +=的孤立奇点，且0ln(1)lim1z z z→+=，所以0z =是可去奇点； (7) 0z =，三级极点，2i 1,2,z k k π==±± （），一级极点； (11) 1z =，本性奇点．5、求下列各函数在有限奇点处的留数． (2)()211z z -； (3) ()2221z z +； (6)21sinz z．解：(2) 记()21()1f z z z =-，则易见0，1±是()f z 的孤立奇点，且他们都是一级极点．由规则Ⅰ， ()201Res[(),0]lim 0()lim11z z f z z f z z →→=-==-，()1111Res[(),1]lim 1()lim(1)2z z f z z f z z z →→-=-==-+，()1111Res[(),1]lim 1()lim(1)2z z f z z f z z z →-→--=+==--．(3) 记()222()1z f z z=+，则()f z 有二级极点i ±．由规则Ⅱ，()3i i 12i iRes[(),i]lim i ()lim (21)!(i)4z z d z f z z f z dz z →→=-==-⎡⎤⎣⎦-+， ()3i i 12i iRes[(),i]lim i ()lim (21)!(i)4z z d z f z z f z dz z →-→---=+==⎡⎤⎣⎦--． (6) 记21()sinf z z z=，则()f z 有本性奇点00z =．因为1sin z 在00z =的去心邻域0z <<∞内的洛朗级数为2101(1)sin (21)!n n n z z n --∞=-=+∑于是有()21201(1)sin 0(21)!n n n z z z z n -+∞=-=<<∞+∑其中1n=的项的系数113!c -=-，所以1Res[(),0]6f z =-6、利用留数定理计算下列积分． (1)22(1)(1)Cdz z z -+⎰ ，C 为圆周222()x y x y +=+ 解：被积函数()f z 在圆周C 的内部有一级极点0i z =和二级极点11z =，由留数的计算规则Ⅰ、Ⅱ得()2ii11Res[(),i]lim i ()lim(1)(i)4z z f z z f z z z →→=-==-+， ()22211121Res[(),1]lim 1()lim (21)!(i)2z z d z f z z f z dz z →→-⎡⎤=-==-⎣⎦-+．于是由留数定理得积分值{}22i2i Res[(),i]Res[(),1](1)(1)2Cdz f z f z z z ππ=+=--+⎰ (2)222(1)zz e dz z =-⎰ 解：被积函数()f z 在2z =内有一个二级极点01z =，由留数的计算规则Ⅱ得()222111Res[(),1]lim 1()lim 22(21)!z z z d f z z f z e e dz →→⎡⎤=-==⎣⎦-于是由留数定理得积分值22222iRes[(),1]4i (1)zz e dz f z e z ππ===-⎰ (4)32sin z z dz z =⎰解：被积函数()f z 在32z =内有可去奇点00z =，则Res[(),0]0f z =，所以由留数定理知 32sin 0z z dz z ==⎰(6)sin 2212(1)zz e dz z z =+⎰解：被积函数()f z 在12z =内有一个二级极点00z =，由留数的计算规则Ⅱ得 sin 2sin 222001(1)cos 2Res[(),0]lim ()lim 1(21)!(1)z zz z d e z z ze f z z f z dz z →→+-⎡⎤===⎣⎦-+于是由留数定理得积分值sin 22122iRes[(),0]2i (1)zz e dz f z z z ππ===+⎰9、(1)2053cos d πθθ+⎰解：令i z e θ=，则i dzd zθ=，21cos 2z zθ+=．于是221253cos i 3103z d dzI z z πθθ===+++⎰⎰ 被积函数21()3103f z z z =++在1z =内有一个一级极点13z =-，其留数 11331111Res[(),]lim ()lim 333(3)8z z f z z f z z →-→-⎛⎫-=+== ⎪+⎝⎭所以212i i 82I ππ=⋅⋅=(5)222(1)(4)x dx x x +∞++⎰解：222()(1)(4)x R x x x =++是偶函数，而()R z 在上半平面内有一级极点0i z =和12i z =，且()22i i iRes[(),i]lim i ()lim (i)(4)6z z z R z z R z z z →→=-==++， ()222i 2i iRes[(),2i]lim 2i ()lim (1)(2i)3z z z R z z R z z z →→=-==-++，所以2221i i 2i (1)(4)2636x dx x x ππ+∞⎛⎫=⋅⋅-= ⎪++⎝⎭⎰(6)22cos (1)(9)xdx x x +∞-∞++⎰解：421()109R x x x =++，4m =，0n =，1m n -≥，且()R z 在实轴上无孤立奇点，故积分 i 22(1)(9)xe dx x x +∞-∞++⎰存在，所求积分I 是它的实部． 函数()R z 在上半平面有两个一级极点0i z =和13i z =，而且()i i i 2i i iRes[(),i]lim i ()lim (i)(9)16z zzz z e R z e z R z e z z e→→=-==-++， ()i i i 233i 3i iRes[(),3i]lim 3i ()lim (1)(3i)48z zzz z e R z e z R z e z z e →→=-==++，从而()i 22233ii 2i 31(1)(9)164824x e dx e x x e e eππ+∞-∞⎛⎫=-+=- ⎪++⎝⎭⎰所以()2223cos 31(1)(9)24x dx e x x eπ+∞-∞=-++⎰习题8： 4、试求()tf t e-=的傅氏变换．解：()f t 的傅里叶变化为0j j j 00(1j )(1j )0(1j )(1j )02()()111j (1j )1121j 1j 1t t t t t t t t tF f t e dt e e dt e e dte dt e dt e e ωωωωωωωωωωωωω+∞+∞-----∞-∞+∞--+-∞+∞--+-∞==+=+=+--+=+=-++⎰⎰⎰⎰⎰5、试求矩形脉冲,0,()0,A t f t τ≤≤⎧=⎨⎩其他的傅氏变换．解：()f t 的傅里叶变化为j j 0j j 0()()(1)j j tt t F f t edt Ae dtA A e e τωωωττωωωω+∞---∞--==-==-⎰⎰6、求下列函数的傅氏积分：(1)0,1,1,10,()1,01,0,1.t t f t t t -∞<<-⎧⎪--<<⎪=⎨<<⎪⎪<<+∞⎩ 解：()f t 是(.)-∞+∞上的奇函数，则()0a ω=，12221cos ()()sin sin b f d d ωωτωττωττπππω+∞-===⋅⎰⎰，于是()()cos ()sin 21cos 21cos sin sin f t a td b td td td ωωωωωωωωωωωωπωπω+∞+∞+∞+∞=+--=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰7、求函数2221,1,()0,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩的傅氏积分，并计算3cos sin cos 2x x x xdx x +∞-∞-⋅⎰． 解：()f t 是(.)-∞+∞上的偶函数，则123224(sin cos )()()cos (1)cos a f d d ωωωωτωτττωττπππω+∞-==-=⎰⎰，()0b ω=，于是33()()cos ()sin 4(sin cos )4sin cos cos cos f t a td b td td td ωωωωωωωωωωωωωωωωπωπω+∞+∞+∞+∞=+--=⋅=⎰⎰⎰⎰10、求符号函数1,0,sgn 1,0t tt -<⎧=⎨>⎩的傅氏变换．（提示：sgn 2()1t u t =-．）解：方法一：12[sgn ]2[()]2()2()2()j j t u t πδωπδωπδωωω⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭FF ． 方法二：0j j j 02()sgn j ttt F t edt edt e dt ωωωωω+∞+∞----∞-∞=⋅=-+=⎰⎰⎰．11、求函数()sin 2cos f t t t =的傅氏变换．解：()sin(2)sin(2)1()sin 2cos sin 3sin 22t t t t f t t t t t ++-===+，则()1[()][sin 3][sin ]2j [(3)(3)(1)(1)]2f t t t ωδωδωδωδω=+=+--++--F F F15、利用位移性质计算下列函数的傅氏变换： (1)()u t C -；(2)1[()()]2t a t a δδ++- 解：(1)j j j 11[()][()]()()j j C C Cu t C e u t e e ωωωπδωπδωωω---⎡⎤-==+=+⎢⎥⎣⎦F F ； (2) j j ()()[()][()]cos 222a at a t a t a t a e e a ωωδδδδω-++-++-+⎡⎤===⎢⎥⎣⎦F F F ．23、求下列函数的傅氏变换： (2)0j ()()t f t e u t ω=；(3) 0j 0()()t f t e u t t ω=-；(4) 0j ()()t f t e tu t ω=．解：(2) 记0j 10()[]2()t F e ωωπδωω==-F ，21()[()]()j F u t ωπδωω==+F ，由卷积定理有12000000000111[()]()()2()()22j()1()()()j()11()()j()j()t f t F F d t t dt t t t t ωωπδτωπδωττππωτδπδωωτωωωπδωωπδωωωωωω+∞-∞+∞-∞=⎡⎤=*=-+-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤=+--=-⎢⎥--⎣⎦=+--=+----⎰⎰令F(3) 记0j 10()[]2()t F e ωωπδωω==-F ，221()[()]j ()F tu t ωπδωω'==-+F ，由卷积定理有120200200022000111[()]()()2()j ()22()1()j ()()()11j ()j ()()()t f t F F d t t dt t t t t ωωπδτωπδωττππωτδπδωωτωωωπδωωπδωωωωωω+∞-∞+∞-∞=⎡⎤'=*=--+-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤'=-+--=-⎢⎥--⎣⎦''=-+--=-+----⎰⎰令F(4) 记0j 10()[]2()t F e ωωπδωω==-F ，0j 201()[()]()j t F u t t e ωωπδωω-=-=+F ，由卷积定理有000000j()120j()000j()j()00000111[()]()()2()()22j()1()()()j()11()(j()j()t t t t t t t f t F F e d t e t d t t e t e t ωτωωωωωωωωπδτωπδωττππωτδπδωωττωωωπδωωπδωωωωωω+∞---∞+∞----∞-----=⎡⎤=*=-+-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤=+--=-⎢⎥--⎣⎦=+--=+----⎰⎰令F )习题9：2、求下列函数的拉氏变换：(1)1,01,()1,15,0,5t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩(3)()cos ()sin ()f t t t tu t δ=-.解：(1)1550011[()]()(12)st st st s s f t f t e dt e dt e dt e e s+∞-----==-=-+⎰⎰⎰L ．(3) 22201[()]()(1sin )111ststs f t f t e dt t e dt s s +∞+∞--==-=-=++⎰⎰L ．3、求下列周期函数的拉氏变换： (1)()f t 以2π为周期且在一个周期内的表达式为sin ,0,()0,2t t f t t πππ≤<⎧=⎨≤<⎩．解：()00(j )(j )220011[()]()sin 11111sin 12j (1)(1)T st st sT sT s t s tss f t f t e dt te dt e ee dt te dt e e s πππππ------+--==--=⋅-=--+⎰⎰⎰⎰L4、求下列函数的拉氏变换： (1) 2()(1)t f t t e =-；(2)()5sin 23cos f t t t =-；(3) ()1t f t te =-；(6) ()cos t f t e kt =（k 为实常数）； (9) 3()sin 2t f t te t -=； (10)30()sin 2tt f t t e tdt -=⎰；(11)3sin 2()t e tf t t-=．解：(1)222323[()][2][]2[][]211452(1)(1)1(1)t t t t t t f t t e te e t e te e s s s s s s =-+=-+-+=-⋅+=----L L L L L(2)22103[()]5[sin 2]3[cos ]41sf t t t s s =-=-++L L L(3)211[()][1][](1)t f t te s s =-=--L L L ；(6)22()[cos ]s F s kt s k ==+L ，则由位移性质有221[()](1)(1)s f t F s s k -=-=-+L ；(9)322()[sin 2](3)4t F s e t s -==++L ，则224(3)[()]()[(3)4]s f t F s s +'=-=++L ；(10)322()[sin 2](3)4tF s et s -==++L ，则301sin 2()t t e tdt F s s -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L ，从而 222212(31213)[()]()[(3)4]d s s f t F s ds s s s ++⎡⎤=-=⎢⎥++⎣⎦L ；(11) 322()[sin 2](3)4t F s e t s -==++L ，则 33[()]()arctanarccot 222s s s f t F s ds π∞++==-=⎰L ．。
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复变函数与积分变换第一章 练习题1． 计算(1)(2)i i i --；解：（1）103)31)(31()31(3123)2)(1(2i i i i i ii i i i i i i +-=+-+=-=+-=--；（2）10310)2)(1()2)(2(1)1)(1()2)(1()2)(1(i i i i i i i i i i i i i +-=---=----------=--。
2． 解方程组12122(1)43z z i i z iz i -=⎧⎨++=-⎩；解：消元法，)2()1(+⨯i 得：i z i 33)31(1-=+，解得：563)31)(31()31)(33(31331i i i i i ii z --=-+--=+-=，代入)1(得：517656322ii i z --=---⨯=。
3．求1i --、13i -+的模与辐角的主值；解：]arg arctan arctan,arctan arg ππππ，（，，三，二一，四-∈⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=z x y x y xy z ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=--)43s i n ()43c o s (21ππi i ；[])3a r c t a n s i n ()3a r c t a n c o s (1031-+-=+-ππi i 。
4．用复数的三角表示计算312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、； 解：1)sin()cos()3cos()3cos(23133-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ππππi i i ； 3,2,1,0,4243s i n 4243c o s 2)43s i n43(c o s 228341=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k i k i ππππππ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=163sin 163cos 2830ππi z ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1611sin 1611cos 2831ππi z ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1619sin 1619cos 2832ππi z ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1627sin 1627cos 2833ππi z 。
5．解方程310z +=； ππs i n c o s 13i z +=-=，()2,1,0,32sin32cossin cos 31=+++=+=k k i k i z ππππππ，,23210i z +=,11-=z i z 23212-=。
6．用复数形式的参数方程表示连接1i +与14i --的直线段； 解：10,z z ：10,)(010≤≤-+=t t z z z z ， 10,)52(1≤≤--++=t t i i z 。
7．证明：2221212122Re()z z z z z z -=+-。
证明：z z z =2， 2121222121212121221))(()()(z z z z z z z z z z z z z z z z --+=--=--=-，)R e (221222121212221z z z z z z z z z z -+=--+=。
第二章 解析函数1．(34)Ln i -+=（ ），主值为（ ）； 解： ,2,1,0),2(arg ln ln ±±=++=+=k k z i z iArgz z Lnz π， ,2,1,0),234arctan(5ln )43(±±=+-+=+-k k i i Ln ππ，)34a r c t a n (5ln )43ln(-+=+-πi i 。
2．当a =（ ）时，22()ln()arctany f z a x y i x=++在区域0x >内解析；解：C-R 方程xvy u y v xu ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,，xyv y x a u a r c t a n ),ln(22=+=，222222111,2yx x xxy yv yx x axu +=⋅+=∂∂+=∂∂，得到21=a 。
3．函数()2arg(3)f z z =-在复平面除去实轴上一区间（ ]3,(-∞ ）外是解析的； 4．函数Im R e w z z z =-在其可导处的导数为（ ）； 解：2)(,iy x xy x y iy x w iy x z +-=-+=+=，2,y v x xy u =-=，C-R 方程：y yv xv x yu y xu 2,0,,1=∂∂=∂∂=∂∂-=∂∂，可导点i z -=， 2)(-=∂∂+∂∂=-'-=-=iz iz xv ixu i f 。
5．计算3i e π+、(23)Ln i -+、、1i 的值；3333)s i n (c o s e i e e e e i i -=+=⋅=+ππππ；,2,1,0),223arctan(13ln)32(±±=+-+=+-k k i i Ln ππ，,2,1,0,122)21(ln 2122±±====+k ee eik k i Ln ππ，,2,1,0,12)21(ln 1±±====-+k eee k k i i iLn iππ。
6．问函数23()2f z x y i =+在何处可导？何处解析？并求(3)f i '+，(32)f i '+；解：C-R 方程 322,y v x u ==，26,0,0,2y yv xv yu x xu =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂，23y x =⇒处可导，(3)f i '+6=，(32)f i '+不存在，处处不解析。
7．1212ln()ln ln z z z z =+是否正确？若不正确，举例说明； 错误， 1212ln()ln ln z z z z =+，2121arg arg )arg(z z z z +=，2121)(L n z L n z z z Ln +=，2121)(Argz Argz z z Arg +=， L n z L n z L n z L n z 22≠+=，0≠-=Lnz Lnz zz Ln，Lnz nz Ln n1≠。
8．已知23(,)3v x y xy x =-+，求以v 为虚部的解析函数()f z u iv =+，并单独用z 的形式表示；解：C-R 方程：2233,6x y xv yu xy yv xu -=∂∂-=∂∂-=∂∂=∂∂， ),(3)1(2y y x u ϕ+-=⇒22233)(3x y y x yu -='+-=∂∂⇒ϕ，得到：c y y y y +=='32)(,3)(ϕϕ,332c y y x u ++-=⇒()()c iz x xy i c y y x z f +=+-+++-=⇒3323233)(。
9．如果函数()f z u iv =+在区域D 内解析，并且满足条件892003u v +=，试证()f z 在D 必为常数。
解：方程892003u v +=两边对y x ,求偏导数得：098=∂∂+∂∂xv xu ，098=∂∂+∂∂yv yu ，C-R 方程：x v y u y v xu ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,，解得：0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂xvy u y v x u ，()f z 在D 必为常数。
第三章 复变函数的积分1．2||122z dz z z ==++⎰（ 0 ）；2|1c o s ()z zdz z π==-⎰（ 0 ）； 2、计算积分2(2)Ciz dz +⎰，C 是由(1,0)A 到(0,1)B 的直线段；解：(1,0)A ，(0,1)B 的直线段的复数形式的参数方程为：10,)1(1≤≤-+=t t i z2(2)Ciz dz +⎰dt i t i i )1()])1(1(2[21--++=⎰3．计算积分（1）22zCedz z z+⎰，:||2C z =；（2）2|2|1cos z i z dzz-=⎰；解：（1）:||2C z =内有奇点1,021-==z z ，22zCedz z z+⎰⎰⎰+++=212222C zC zdz zz edz zz e⎰⎰+++=211122C zC zdz z z edz zz e1202212-==++=z zz zzeiz eiππ)1(22--=e i π；（2）12=-i z 内没有奇点2|2|1cos z i z dz z-=⎰0=4．计算(21)(2)Czdz I z z =+-⎰，其中C 是(1) ||1z =; (2) |2|1z -=; （3）1|1|2z -=； （4）||3z =解：（1）(21)(2)Czdz I z z =+-⎰5222121221211i z zi dz z z zz z ππ=-⋅⋅=+-=-==⎰；（2）(21)(2)Czdz I z z =+-⎰54122212212i z zi dz z z zz z ππ=+⋅=-+===-⎰；（3）)(z f 在1|1|2z -=内处处解析，故(21)(2)Czdz I z z =+-⎰0=；（4）(21)(2)Czdz I z z =+-⎰i i i dz z z zdz z z zz z πππ=+=-++-+=⎰⎰=-=545)2)(12()2)(12(121。
5、计算积分3(1)zCedz z z -⎰ ，其中C 是不经过0与1的简单光滑闭曲线．解：（1）3(1)zCedz z z -⎰;0=（2）3(1)zCedz z z -⎰;2)1(2)1(0332i z eidz zz ez zC zππ=-=-==⎰（3）3(1)zCedz z z -⎰;!22)1(2133i e ze i dz z z ez zC zππ-="⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--==⎰（4）3(1)zCedz z z -⎰ i e dz z z edz zz eC zC zπ)2()1()1(23332-=-+-=⎰⎰。
第四章 解析函数的级数表示1．311z+的幂级数展开式为（∑∞=-03)(n nz），收敛域为（ 1<z ）； 2．函数21()(1)f z z =+展开成z 的幂级数，有()f z =（ ）；21()(1)f z z =+∑∑∞=-∞=--='⎪⎭⎫ ⎝⎛--='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=110)1()(11n n n n n nzz z 3． 下列幂级数的收敛半径（1）21n n z n∞=∑；（2）0!nn zn ∞=∑；（3）0!n n n z ∞=∑；解：（1）212)1(1,1+==+n u n u n n ，1lim1=+∞→nn n u u ，收敛半径为1；（2）)!1(1,!11+==+n u n u n n ，011limlim1=+=∞→+∞→n u u n nn n ，收敛半径为∞+；（3）)!1(,!1+==+n u n u n n ，+∞=+=∞→+∞→)1(lim lim 1n u u n nn n ，收敛半径为0。