抽象函数周期函数复合函数对称性课件

第六讲i

一、 周期函数

（a ）概念：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，

则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

（b ）函数周期性的几个重要结论：

2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=

3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=

4、)

(1

)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)

(1

)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 7、 1)(1

)(+-

=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)

(1)

(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)

(1)(x f x f a x f -+=

+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=

10、若.2

, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则

推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=

推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=

二、函数对称性

（一） 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）

若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称

2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数

3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称

4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称

推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称

推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称

推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称

三、抽象函数

（a ）概念：抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等。 （b ）抽象函数的对称性与周期性

1、抽象函数的对称性

性质1 若函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a ＋x)＝f(a －x) （2）f(2a －x)＝f(x) （3）f(2a ＋x)＝f(－x)

性质2 若函数y ＝f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a ＋x)＝－f(a －x)（2）f(2a －x)＝－f(x)（3）f(2a ＋x)＝－f(－x)

易知，y ＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a ＝0时的特例。

四、复合函数的奇偶性

定义1、 若对于定义域内的任一变量x ，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y ＝f[g(x)]为偶函数。

定义2、 若对于定义域内的任一变量x ，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数。

说明：

（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。

（2）两个特例：y ＝f(x ＋a)为偶函数，则f(x ＋a)＝f(－x ＋a)；y ＝f(x ＋a)为奇函数，则f(－x ＋a)＝－f(a ＋x)。

（3）y ＝f(x ＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称（或关于点（a ，0）中心对称）。

例题：

1. 若)(),()()2()(x f y x a f x a f x a f x f =+=--=则或的图像关于直线a x =对称。设个不同的实数根，则有n x f 0)(=

na x a x x a x x a x x x x n n n =-+++-++-+=+++)2()2()2(2

2221121 .

),212(111a x x a x k n =⇒-=+=时，必有当

五、例题分析

灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。

1.求函数值

例1.（1996年高考题）设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（-0.5）

（A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.

例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.23)1989(-=f 。

2、比较函数值大小

例 3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(19981

x x f =试比较