高考数学模拟复习试卷试题模拟卷20144

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【高频考点解读】

1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；

2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点

等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭

⎫－π2，π2内的单调性． 【热点题型】

题型一 三角函数的定义域、值域

【例1】 (1)函数y ＝1

tan x －1

的定义域为____________．

(2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭

⎫πx 6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－3

解析 (1)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪

⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋kπ，k ∈Z ，

即⎩

⎨⎧x ≠π

4＋kπ，k ∈Z ，x ≠π

2＋kπ，k ∈Z.

故函数的定义域为{x|x≠π4＋kπ且x≠π

2＋kπ，k ∈Z}． (2)∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π

6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－32，1.

∴y ∈[]－3，2，∴ymax ＋ymin ＝2－ 3. 答案 (1){x|x≠π4＋kπ且x≠π

2＋kπ，k ∈Z} (2)A 【提分秘籍】

(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：

①形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝asin2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sinx±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值

)．

【举一反三】

(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________． (2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin xcos x 的值域为________．

解析 (1)法一 要使函数有意义，必须使sinx －co s x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．

在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π

4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z . 法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．

∴定义域为

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z .

法三 sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭

⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知

2kπ≤x －π

4≤π＋2kπ，k ∈Z ，

解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π

4，k ∈Z.

所以定义域为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z . (2)设t ＝sin x －cos x ，则t2＝sin2x ＋cos2x － 2sin xcos x ，sin xcos x ＝1－t2

2，且－2≤t≤ 2.

∴y ＝－t22＋t ＋12＝－1

2(t －1)2＋1.

当t ＝1时，ymax ＝1；当t ＝－2时，ymin ＝－1

2－ 2.

∴函数的值域为⎣⎡⎦

⎤－12－2，1. 答案 (1)⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

x ⎪

⎪2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z

(2)⎣⎡⎦

⎤－12－2，1 题型二三角函数的奇偶性、周期性、对称性

【例2】 (1)已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π

4是函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)的图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )

A.π4

B.π3

C.π2

D.3π4

(2)函数y ＝2cos2⎝

⎛⎭

⎫x －π4－1是( )

A ．最小正周期为π的奇函数

B ．最小正周期为π的偶函数

C ．最小正周期为π

2的奇函数 D ．最小正周期为π

2的偶函数

【提分秘籍】

(1)求f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π

2＋kπ(k ∈Z)，求x ；求f(x)的对称中心的

横坐标，只需令ωx ＋φ＝kπ(k ∈Z)即可．

(2)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos( ωx ＋φ)的形式，则最小正周期为T ＝2π

|ω|；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx ＋b 的形式．

【举一反三】

(1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭

⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π

2

(2)(·杭州模拟)若函数f(x)＝sin x ＋φ

3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3

题型三 三角函数的单调性

【例3】 (1)已知f(x)＝2sin ⎝

⎛⎭

⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f(x)的单调递增区间为________．

(2)已知ω＞0，函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭

⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34

C.⎝⎛⎦

⎤0，12 D ．(0，2] 解析 (1)由－π2＋2kπ≤x ＋π4≤π

2＋2kπ，k ∈Z ， 得－3π4＋2kπ≤x≤π

4＋2kπ，k ∈Z.又x ∈[0，π]，

所以f(x)的单调递增区间为⎣

⎡⎦

⎤0，π4.

(2)由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π

4，