高考数学模拟复习试卷试题模拟卷20144

合集下载

数学_2014年河南省高考数学模拟试卷(文科)(含答案)

数学_2014年河南省高考数学模拟试卷(文科)(含答案)

2014年河南省高考数学模拟试卷(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6},集合M ={2, 3, 5},N ={4, 5},则∁U (M ∪N)的非空真子集有( )A 0个B 1个C 2个D 3个 2. 复数z =2i1−i ,则其共轭复数z ¯=( )A −1−iB −1+iC 1−iD 1+i3. 抛物线y =4x 2的焦点到准线的距离为 ( ) A 116B 18C 14D 44. 一个几何体的三视图如图所示,其俯视图为正三角形,则这个几何体的体积为( )A 4√3B 8√3C 16√3D 32√35. 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的一个可能的值是( ) A 52 B 12 C 2 D 326. 设有算法如图所示,如果输入A =144,B =39,则输出的结果是( )A 144B 3C 0D 12 7. 椭圆x 23+y 2=1与直线y =k(x +√2)交于A 、B 两点,点M 的坐标为(√2, 0),则△ABM的周长为( )A 2√3B 4√3C 12D 68. 已知命题p:∃x ∈R ,lnx +x −2=0,命题q:∀x ∈R ,2x ≥x 2,则下列命题中为真命题的是( )A p ∧qB ¬p ∧qC p ∧¬qD ¬p ∧¬q 9. 对于下列命题:①在△ABC 中,若cos2A =cos2B ,则△ABC 为等腰三角形;②△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =2,b =5,A =π6,则△ABC 有两组解;③设a =sin2014π3,b =cos2014π3,c =tan2014π3,则a <b <c ;④将函数y =2sin(3x +π6)的图象向左平移π6个单位,得到函数y =2cos(3x +π6)的图象. 其中正确命题的个数是( ) A 0 B 1 C 2 D 310. 已知P 为三角形ABC 内部任一点(不包括边界),且满足(PB →−PA →)⋅(PB →+PA →−2PC →)=0,则△ABC 的形状一定为( )A 等边三角形B 直角三角形C 钝三角形D 等腰三角形11. 设实系数一元二次方程x 2+ax +2b −2=0有两个相异实根,其中一根在区间(0, 1)内,另一根在区间(1, 2)内,则b−4a−1的取值范围是( ) A [−17, 0) B (12, 32) C (−∞, −17) D (1, 32)12. 设f(x)={−2x,x ≤0f(x −1),x >0,若f(x)=x +a 有且仅有三个解,则实数a 的取值范围( )A [1, 2]B (−∞, 2)C [1, +∞)D (−∞, 1)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

2014年高考文科数学模拟试题

2014年高考文科数学模拟试题

2014年高考文科数学模拟题一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1.已知集合{}{}12,03A x x B x x =-<=<<,则A B =( )A .{}13x x -<< B .{}03x x <<C .{}12x x -<<D .{}23x x <<2.已知y x ,是实数, 则“22y x >”是“0<<y x ”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3. 若复数z 与其共轭复数z 满足:i z z 2+=,则复数z 的虚部为 ( )A .1B .iC .2D .-14.已知三条直线l 、m 、n ,三个平面αβγ、、,有以下四个命题:①αββγαγ⊥⊥⇒⊥、;②//l m l n m n ⊥⊥⇒、;③//,////,m n m n ββαβαα⎫⇒⎬⊂⊂⎭;④ββαβα⊥⇒⊥=⊥m l m l ,, 。

其中正确 命题的个数为 ( ) A .0 B .1 C .2 D .35.右图程序运行后输出的结果为 ( ) A .3 4 5 6 B .4 5 6 7 C .5 6 7 8 D .6 7 8 9 6.若函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且)的定义域和值域都是[0,1],则a = ( ) A .2B .2C .22D .127.△ABC 中,4,3),(21,0==+==⋅CB CA CB CA CD CB CA ,则向量CD 与CB 夹角的余弦值为( )A .51B .52C .53D .54 8.已知圆的方程为,08622=--+y x y x 设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积是( )A .610B .620C .630D .640 9.函数),0(,cos 22cos π∈+=x x x y 的单调递增区间为 ( )A .)3,0(πB .)32,3(ππ C .)2,3(ππD .),32(ππ10.点P 是双曲线12222=-by a x (a >0, b >0)左支上的一点,其右焦点为F )0,(c ,若M 为线段FP 的中点,且M 到坐标原点的距离为c 81,则双曲线的离心率e 范围是 ( )A .]8,1(B .]34,1(C .)35,34(D .]3,2(二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分11.已知函数()y f x =为奇函数,若(3)(2)1f f -=,则(2)(3)f f ---= . 12.已知ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若C C ab b a c ∠++<则,2cos 2222 的取值范围是 。

2014年高考模拟试题-理科数学试题

2014年高考模拟试题-理科数学试题

2014年高考模拟试题-理科数学试题D变换的充要条件为()f x 是R 上的一次函数其中是真命题有 ______ (写出所有真命题的编号)三.解答题:(本大题共6小题,共75分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

) 16、某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数a .①︒︒-︒+︒17cos 13sin 17cos 13sin 22;②︒︒-︒+︒15cos 15sin 15cos 15sin 22;③︒︒-︒+︒12cos 18sin 12cos 18sin 22;④︒︒--︒+︒-48cos )18sin(48cos )18(sin 22;⑤︒︒--︒+︒-55cos )25sin(55cos )25(sin 22.(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数a ;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.17、已知集合22{|210}A x x ax a =-+-<,1{|}2x B x ax +=-,命题:2P A ∈,命题:1q B ∈,若复合命题“p 或q ”为真命题,“p 且q ”为假命题,求实数a 的取值范围。

18、如图,在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC —A 1B 1C 1中,AC=AA 1=2AB = 2,BAC∠=900,点D 是侧棱CC 1 延长线上一点,EF 是平面ABD 与平面A 1B 1C 1的交线.(I)求证:EF 丄A 1C;(II)当平面DAB 与的长.19、攀枝花市医疗保险实行定点医疗制度,按照“就近就医、方便管理”的原则,参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A , B , C 三家社区医院,并且他们对社区医院的选择是相互独立的.(1)求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率;(2)求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率;(3)设4名参加保险人员选择A 社区医院的人数为x ,求x 的分布列和数学期望.20、已知各项均为正数的数列{}na 满足12212+++=n n nn a a a a ,且42342+=+a a a ,其中*N n ∈.(1)求数列{}na 的通项公式;(2)设数列{}nb 满足nnn n na b 2·)12(+=,是否存在正整数nm 、,使得nmb b b 、、1成等比数列?若存在,求出所有n m 、的值;若不存在,请说明理由.(3)令nna n c +=1,记数列{}nc 的前n 项积.为nT ,其中*N n ∈,试比较nT 与9的大小,并加以证明.21、已知函数()()ln 1f x x =+,()()()()()220,,().g x a x x a a R h x f x g x =-≠∈=-2014年高考模拟试题理科数学试题(参考答案)一、选择题1-5 BBAAB 6-10 DCCBC 8.由题意得:(a 1q 16)2=a 1q 23,∴a 1q 9=1.由等比数列的性质知:数列{1a n }是以1a 1为首项,以1q为公比的等比数列,要使不等式成立, 则须a 1(q n-1)q -1>1a 1[1-(1q )n ]1-1q,把a 21=q -18代入上式并整理,得q -18(q n-1)>q(1-1qn ),q n >q 19,∵q >1,∴n >19,故所求正整数n 的取值范围是n≥20.二、填空题:11、 3015 12、1- 13、 14、20 15、○1、○2、○3三.解答题:(本大题共6小题,共75分。

2014年高三数学高考模拟卷(附详细答案)

2014年高三数学高考模拟卷(附详细答案)

2014届高三数学(理)试题注:请将答案填在答题卷相应的位置上.................一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1. 已知全集U R =,集合11,2xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭3{|log 0}B x x =>,则()U A C B ⋂=A. {}0x x <B. {}1x x >C. {}01x x <≤D. {}01x x <<2. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减,则实数a 满足的条件是 A .8a ≥ B .8a ≤ C .4a ≥ D .4a ≥- 3. 下列函数中,满足22()[()]f x f x =的是A .()ln f x x =B .()|1|f x x =+C .3()f x x = D .()xf x e =4. 已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ,下面结论错误..的是 A .函数)(x f 的最小正周期为π B .函数)(x f 是偶函数 C .函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D .函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 5. 给出如下四个命题:①若“p 且q ”为假命题,则p 、q 均为假命题;②命题“若2x ≥且3y ≥,则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <,则5x y +<”;③在ABC ∆中,“45A >”是“sin 2A >”的充要条件。

④命题 “00,0xx R e ∃∈≤”是真命题. 其中正确的命题的个数是A. 3B. 2C. 1D. 06. 定义行列式运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4=a 1a 4-a 2a 3;将函数f (x )=⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x 的图象向左平移n (n >0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则n 的最小值为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π37. 函数x x e x y e x+=-的一段图象是8. 设函数[],0(),(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩ 其中][x 表示不超过x 的最大整数,如[ 1.2]-=-2,]2.1[=1,]1[=1,若直线y=)0(>+k k kx 与函数y=)(x f 的图象恰有三个不同的交点,则k 的取值范围是 A .]31,41( B .]41,0( C .]31,41[ D .)31,41[二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,满分30分.9. 已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩,则1(())9f f = .10. 已知1sin()33πα-=,则5cos()6πα-=_____________. 11. 曲线0,,2y y x y x ===-所围成的封闭图形的面积为 .12. 已知函数2()1,f x x mx =++若命题“000,()0x f x ∃><”为真,则m 的取值范围是___. 13. 设25a b m ==,且112a b+=,则m = _________. 14. 若关于x 的方程24xkx x =+有四个不同的实数解,则实数k 的取值范围是 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15.(本小题满分12分) 已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2(I )求函数)(x f 的最小正周期;(II )确定函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的单调性并求在此区间上)(x f 的最小值.16.(本小题满分12分)已知函数f (x )=A sin ⎝⎛⎭⎫π3x +φ,x ∈R ,A >0,0<φ<π2,y =f (x )的部分图象如图所示,P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点,点P 的坐标为(1,A ).(1)求f (x )的最小正周期及φ的值;(2)若点R 的坐标为(1,0),∠PRQ =2π3,求A 的值.17. (本小题满分14分)已知等比数列{}n a 中,232a =,812a =,1n n a a +<. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设21222log log log n n T a a a =++⋅⋅⋅+,求n T 的最大值及相应的n 值.18. (本小题满分14分)设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足条件:(1)(1)(1)f x f x -+=--;(2)函数在y 轴上的截距为1,且3(1)()2f x f x x +-=+. (1)求()f x 的解析式;(2)若[,1],()x t t f x ∈+的最小值为()h t ,请写出()h t 的表达式; (3)若不等式()11()f x tx ππ->在[2,2]t ∈-时恒成立,求实数x 的取值范围.19.(本题满分14分)已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图,直线0y =在原点处与函数图象相切,且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274.(1)求()f x 的解析式(2)若常数0m >,求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值.20.(本小题满分14分)已知函数()ln f x x x a x =--,a ∈R .(Ⅰ)若2a =,求函数()f x 在区间[]1e ,上的最值; (Ⅱ)若()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围. 注:e 是自然对数的底数2014届高三数学(理)试题数学(理)试题注:请将答案填在答题卷相应的位置上.................一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1. 已知全集U R =,集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,3{|log 0}B x x =>则()U A C B ⋂=( C )A. {}0x x <B. {}1x x >C. {}01x x <≤D. {}01x x <<2. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减,则实数a 满足的条件是( A ) A .8a ≥ B .8a ≤ C .4a ≥ D .4a ≥-3. 下列函数中,满足22()[()]f x f x =的是 ( C ) A .()ln f x x =B .()|1|f x x =+C .3()f x x =D .()xf x e =4. 已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ,下面结论错误..的是 ( C ) A .函数)(x f 的最小正周期为π B .函数)(x f 是偶函数 C .函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D .函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数5. 给出如下四个命题:①若“p 且q ”为假命题,则p 、q 均为假命题;②命题“若2x ≥且3y ≥,则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <,则5x y +<”;③在ABC ∆中,“45A >”是“2sin 2A >”的充要条件。

2014年高考模拟考试数学试卷

2014年高考模拟考试数学试卷

2014年高考模拟考试数学试卷(理工类) 第I 卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.集合{}2,1=M ,{}3,2,1=N ,{}N b M a ab x x P ∈∈==,,,则集合P 的元素个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2. 若i 是虚数单位,则复数i i +-12的实部与虚部之积为( ) A.43 B.43- C.i 43D.i 43- 3.若βα,表示两个不同的平面,b a ,表示两条不同的直线,则α//a 的一个充分条件是( ) A.ββα⊥⊥a , B.b a b //,=βα C.α//,//b b a D.ββα⊂a ,// 4. 若312cos =θ,则θθ44cos sin +的值为( )A.1813 B.1811 C.95 D.1 5. 若按右侧算法流程图运行后,输出的结果是76,则输入的N的值为( )A.5 B.6 C.7 D.86. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥043041y x y x x ,则目标函数y x z -=3的最小值为( )A.4- B.0C.34D.47. 直线02=++y x 截圆422=+y x 所得劣弧所对圆心角为 A.6π B.3πC.32πD.65π8. 如图所示,是一个空间几何体的三视图,且这个空间几何 体的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是( ) A.π949 B.π37C.π328D.π928 9. 等比数列{}n a 中,若384-=+a a ,则()106262a a a a ++ 的值是( )A.9- B.9 C.6- D.3 10. 在二项式n xx )2(4+的展开式中只有第五项的二项式系数最大,把展开式中所有的项重新排成一列,则有理项都互不相邻的概率为( )A.61 B. 41 C.31 D.125 11. 设A 、B 、P 是双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 上不同的三个点,且A 、B 连线经过坐标原点,若直线PA 、PB 的斜率之积为41,则该双曲线的离心率为( )A.25 B. 26 C.2 D.315侧视12. 在平面直角坐标系xOy 中,已知P 是函数()ln f x x x x =-的图象上的动点,该曲线在 点P 处的切线l 交y 轴于点(0,)M M y ,过点P 作l 的垂线交y 轴于点(0,)N N y .则NMy y 的 范围是( ) A .),3[]1,(+∞--∞ B. ),1[]3,(+∞--∞ C. [3,)+∞ D. ]3,(--∞ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡相应的位置上.)13. 已知(0,)2πθ∈,由不等式1tan 2tan θθ+≥, 22222tan tan 2tan 3tan 22tan θθθθθ+=++≥, 33333tan tan tan 3tan 4tan 333tan θθθθθθ+=+++≥,归纳得到推广结论: tan 1()tan nm n n N θθ*+≥+∈,则实数=m _____________ 14. 五名三中学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有 两名同学拿对自己衣服的不同情况有_____________种.(具体数字作答)15. 已知(0,1),(0,1),(1,0)A B C -,动点P 满足22||AP BP PC ⋅= ,则||AP BP +的最大值为_____________16. 在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,已知角A 为锐角, 且 22sin sin sin 4sin sin ()B C A B C m+==,则实数m 范围为_____________三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.( 12分) 数列{}n a 满足112,2n n a a a +-==,等比数列{}n b 满足8411,a b a b ==.(I )求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(II )设n n n c a b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .18.(本小题满分12分)某高中毕业学年,在高校自主招生期间,把学生的平时成绩 按“百分制”折算,排出前n 名学生,并对这n 名学生按成 绩分组,第一组[75,80),第二组[80,85),第三组[85,90),第四组[90,95),第五组[95,100],如图为频率分布直方图的一部分,其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列,且第四组的人数为60. (I )请在图中补全频率分布直方图;(II )若Q 大学决定在成绩高的第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.①若Q 大学本次面试中有B 、C 、D 三位考官,规定获得两位考官的认可即面试成功,且面试结果相互独立,已知甲同学已经被抽中,并且通过这三位考官面试的概率依次为12、13,15,求甲同学面试成功的概率;②若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试,第3组中有ξ名学生被考官B 面试,求ξ的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为菱形,︒=∠60BAD ,Q 为AD 的中点.(I )若PD PA =,求证:平面⊥PQB 平面PAD ;(II )若平面⊥PAD 平面ABCD ,且2===AD PD PA ,点M 在线段PC 上,试 确定点M 的位置,使二面角C BQ M --大小为︒60,并求出PCPM的值.20.(本小题满分12分) 若点()2,1A 是抛物线px y C 2:2=()0>p 上一点,经过点()2,5-B 的直线l 与抛物线 C 交于Q P ,两点.(I )求证:⋅为定值;(II )若点Q P ,与点A 不重合,问APQ ∆的面积是否存在最大值?若存在,求出最大 值; 若不存在,请说明理由.21.(本小题满分12分) 设a R ∈,函数21()(1)xf x x e a x -=--.(Ⅰ)当1a =时,求()f x 在3(,2)4内的极值; (Ⅱ)设函数1()()(1)xg x f x a x e-=+--,当()g x 有两个极值点1x ,2x (12x x <) 时,总有211()()x g x f x λ'≤,求实数λ的值.(其中()f x '是函数()f x 的导函数.)BACD PQ请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,AB 是的⊙O 直径,CB 与⊙O 相切于B ,E 为线段CB 上一点,连接AC 、AE 分别交⊙O 于D 、G 两点,连接DG 交CB 于点F . (Ⅰ)求证:C 、D 、G 、E 四点共圆.(Ⅱ)若F 为EB 的三等分点且靠近E ,EG 1=,GA 3=,求线段CE 的长.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=-=t y t x 33,(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ (Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设点P 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离d 的取值范围.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数1)(-=x x f .(Ⅰ)解不等式6)3()1(≥++-x f x f ;(Ⅱ)若1,1<<b a ,且0≠a ,求证:)()(ab f a ab f >.C数学(理工类)一、选择题1.C2.B3.D4.C5.B6.B7.C8.C9.B 10.D 11.A 12.A 二、填空题13.nn 14. 20 15. 616. ((22-三、解答题17.解:(I )112,2n n a a a +-==,所以数列{}n a 为等差数列, 则2(1)22n a n n =+-=; ----3分. 11482,16b a b a ====,所以3418,2b q q b ===, 则2nn b =;----------------------6分(II )12n n n n c a b n +==则23411222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++345221222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++ 两式相减得2341212223222n n n T n ++-=⋅+⋅+⋅++- ----9分整理得2(1)24n n T n +=-+---12分18.解:(Ⅰ)因为第四组的人数为60,所以总人数为:560300⨯=,由直方图可知,第五组人数为:0.02530030⨯⨯=人,又6030152-=为公差,所以第一组人数为:45人,第二组人数为:75人,第三组人数为:90人--4分(Ⅱ)设事件A =甲同学面试成功,则()=P A 114121111111423523523523515⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……………..8分 (Ⅲ)由题意得,0,1,2,3=ξ0333361(0)20===C C P C ξ, 1233369(1)20===C C P C ξ, 2133369(2)20===C C P C ξ, 3033361(3)20===C C P C ξ 分布列为19913()0123202020202=⨯+⨯+⨯+⨯=E ξ…………………..12分 19. (I ) PD PA =,Q 为AD 的中点,AD PQ ⊥∴,又 底面ABCD 为菱形,︒=∠60BAD ,AD BQ ⊥∴ ,又Q BQ PQ = ∴⊥AD 平面PQB ,又 ⊂AD 平面PAD ,∴平面⊥PQB 平面PAD ;-----------------------------6分(II ) 平面⊥PAD 平面ABCD ,平面 PAD 平面AD ABCD =,AD PQ ⊥⊥∴PQ 平面ABCD .∴以Q 为坐标原点,分别以QP QB QA ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标系如图.则)0,3,2(),0,3,0(),3,0,0(),0,0,0(-C B P Q ,所以))1(3,3,2(λλλ--M ,平面CBQ 的一个法向量是)1,0,0(1=n ,设平面MQB 的一个法向量为=2n ),,(z y x ,所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅−→−−→−22n QB n QM 取=2n )3,0,233(λλ--------9分由二面角C BQ M --大小为︒60,可得:||||||212121n n n n ⋅=,解得31=λ,此时31=PC PM ------12分 20. 解:(I )因为点()2,1A 在抛物线px y C 2:2=()0>p 上,所以p 24=,有2=p ,那么抛物线x y C 4:2=---------------------------------------2分 若直线l 的斜率不存在,直线l :5=x ,此时()()()2,1,52,5,52,5A Q P -()()0522,4522,4=+-⋅--=⋅-------------------------------------------3分若直线l 的斜率存在,设直线l :()()0,25≠--=k x k y ,点()11,y x P ,()22,y x Q⎩⎨⎧--==2)5(42x k y x y ,有()()⎪⎩⎪⎨⎧>++=∆+-==+⇒=+--0251616820,40254421212k k kk y y k y y k y ky ,---------------5分()()()()()()()024164212416412412,12,12121222121221212122212221212121212211=++-++-+-=++-+++-=++-+++-=--⋅--=⋅y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x y x y x 那么,⋅为定值.--- -7分 (II ) 若直线l 的斜率不存在,直线l :5=x ,此时()()()2,1,52,5,52,5A Q P -5845421=⨯⨯=∆APQ S 若直线l 的斜率存在时,()()221221y y x x PQ -+-=()22221221216328011411kk k k y y y y k++⋅+=-+⋅+=------------------9分 点()2,1A 到直线l :()25--=x k y 的距离2114kk h ++=------------------------------10分()()4221125821k k k k h PQ S APQ+++=⋅⋅=∆,令211⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k u ,有0≥u ,则u u S APQ 482+=∆没有最大值--12分 21. 解:(Ⅰ)当1a =时,21()(1)xf x x e x -=--,则211(2)()x x x x e f x e----'=, 令21()(2)x h x x x e -=--,则1()22x h x x e -'=--,显然()h x '在3(,2)4上单调递减.又因为31()042h '=<,故3(,2)4x ∈时,总有()0h x '<,所以()h x 在3(,2)4上单调递减.-- ----3分 又因为(1)0h =,所以当3(,1)4x ∈时,()0h x >,从而()0f x '>,这时()f x 单调递增, 当(1,2)x ∈时,()0h x <,从而()0f x '<,这时()f x 单调递减, 当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表:所以()f x 在3(,2)4上的极大值是(1)1f =.-----------------------------5分 (Ⅱ)由题可知21()()xg x x a e-=-,则21()(2)xg x x x a e-'=-++.根据题意方程220x x a -++=有两个不等实数根1x ,2x ,且12x x <,所以440a ∆=+>,即1a >-,且122x x +=.因为12x x <,所有11x <. 由211()()x g x f x λ'≤,其中21()(2)xf x x x e a -'=--,可得1111222111()[(2)]x x x x a e x x e a λ---≤--又因为221112,2x x x a x =--=,2112a x x =-,将其代入上式得:1111221111112(2)[(2)(2)]x x x x e x x e x x λ---≤-+-,整理得11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤.--------8分即不等式11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤对任意1(,1)x ∈-∞恒成立 (1) 当10x =时,不等式11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤恒成立,即R λ∈; (2) 当1(0,1)x ∈时,11112(1)0x x eeλ---+≤恒成立,即111121x x e e λ--≥+ 令11121()2(1)11x x x e k x e e ---==-++,显然()k x 是R 上的减函数,所以当(0,1)x ∈时,2()(0)1e k x k e <=+,所以21ee λ≥+; (3)当1(,0)x ∈-∞时,11112(1)0x x eeλ---+≥恒成立,即111121x x e e λ--≤+ 由(2)可知,当(,0)x ∈-∞时,2()(0)1e k x k e >=+,所以21e e λ≤+; 综上所述,21ee λ=+----12分22. (Ⅰ)连接BD ,则ABD AGD ∠=∠,90︒∠+∠=ABD DAB ,90︒∠+∠=C CAB 所以∠=∠C AGD ,所以180︒∠+∠=C DGE ,所以,,,C E G D 四点共圆.…..5分 (Ⅱ)因为2⋅=EG EA EB ,则2=EB ,又F 为EB 三等分,所以23=EF ,43=FB , 又因为2FB FC FE FD FG =⋅=⋅,所以83=FC ,2=CE …………………….10分 23.(I )直线l 的普通方程为:0333=+-y x ; 曲线的直角坐标方程为1)2(22=+-y x -------4分(II )设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ,则2|35)6cos(2|2|33sin )cos 2(3|++=+-+=πθθθd 所以d 的取值范围是]2235,2235[+---10分 24. (I )不等式的解集是),3[]3,(+∞--∞ ------------------------------5分(II )要证)()(abf a ab f >,只需证|||1|a b ab ->-,只需证22)()1(a b ab ->-而0)1)(1(1)()1(22222222>--=+--=---b a b a b a a b ab ,从而原不等式成立.- --10分。

2014版高考数学模拟试题精编4

2014版高考数学模拟试题精编4

2014版高考数学模拟试题精编4 D6.在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )A.14B.13C.12D.327.(理)下列四个判断:①某校高三(1)班的人数和高三(2)班的人数分别是m和n,某次测试数学平均分分别是a,b,则这两个班的数学平均分为a+b2;②从总体中抽取的样本(1,2.5),(2,3.1),(3,3.6),(4,3.9),(5,4.4),则回归直线y∧=b∧x+a∧必过点(3,3.6);③已知ξ服从正态分布N(1,22),且p(-1≤ξ≤1)=0.3,则p(ξ>3)=0.2其中正确的个数有( )A.0个 B.1个C.2个 D.3个(文)某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查,y与x具有相关关系,回归方程为y∧=0.66x+1.562,若某城市居民人均消费水平为7.675千元,估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A.83% B.72%C.67% D.66%8.阅读程序框图(如图),如果输出的函数值在区间[1,3]上,则输入的实数x的取值范围是( )A.{x∈R|0≤x≤log23}B.{x∈R|-2≤x≤2}C.{x∈R|0≤x≤log23或x=2}D.{x∈R|-2≤x≤log23或x=2}9.已知点M(a,b)(a>0,b>0)是圆C:x2+y2=1内任意一点,点P(x,y)是圆上任意一点,则实数ax+by-1( )A.一定是负数 B.一定等于0C.一定是正数 D.可能为正数也可能为负数10.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线l 交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,则△AOB 的形状为( )A.不确定 B.钝角三角形C.锐角三角形 D.直角三角形11.(理)设方程10x=|lg(-x)|的两个根分别为x1、x2,则( )A.x1x2<0 B.x1x2=1C.x1x2>1 D.0<x1x2<1(文)定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x =2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则( )A.f(-1)<f(3) B.f(0)>f(3)C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3)12.等差数列{a n}的前n项和为S n,公差为d,已知(a8+1)3+2013(a8+1)=1,(a2006+1)3+2013(a2006+1)=-1,则下列结论正确的是( )A.d<0,S2013=2013 B.d>0,S2013=2013 C.d<0,S2013=-2013 D.d>0,S2013=-2013 答题栏第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填写在题中的横线上)13.在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14,且样本容量为160,则中间一组的频数为________.14.(理)如图,阴影部分由曲线y=x与y轴及直线y=2围成,则阴影部分的面积S=________. (文)曲线y=x3-2x+3在x=1处的切线方程为________.15.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________cm3.16.观察下面两个推理过程及结论:(1)若锐角A,B,C满足A+B+C=π,以角A,B ,C 分别为内角构造一个三角形,依据正弦定理和余弦定理可得到等式:sin 2A =sin 2B +sin 2C -2sin B sin C cos A ,(2)若锐角A ,B ,C 满足A +B +C =π,则⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-A 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-B 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-C 2=π,以角π2-A 2,π2-B 2,π2-C 2分别为内角构造一个三角形,依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式:cos 2A 2=cos 2B 2+cos 2C 2-2cos B 2cos C 2sin A 2. 则:若锐角A ,B ,C 满足A +B +C =π,类比上面推理方法,可以得到的一个等式是________.三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程及演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知c =1,C =π3.(1)若cos(α+C)=-35,0<α<2π3,求cos α;(2)若sin C+sin(A-B)=3sin 2B,求△ABC的面积S.18.(理)(本小题满分12分)如图已知:菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD =2CD=4,∠ABE=60°,∠BAD=∠CDA=90°,点H,G分别是线段EF,BC的中点.(1)求证:平面AHC⊥平面BCE;(2)点M在直线EF上,且GM∥平面AFD,求平面ACH与平面ACM所成角的余弦值.(文)(本小题满分12分)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1.(1)若M、N分别是AB、A1C的中点,求证:MN∥平面BCC1B1;(2)若三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,∠B1BA =∠B1BC=60°,P为线段B1B上的动点,当PA +PC最小时,求证:B1B⊥平面APC.19.(理)(本小题满分12分)空气质量指数PM2.5(单位:μg/m3)表示每立方米空气中入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重(如下表):某市某年8月8日~9月6日(30天)对空气质量指数PM2.5进行监测,获得数据后得到如图所示的条形图:(1)以该数据为依据,求该城市一个月内空气质量类别为良的概率;(2)在上述30个监测数据中任取2个,设X为其中空气质量类别为优的天数,求X的分布列和数学期望.(文)(本小题满分12分)某车间将10名技术工人平均分为甲、乙两个小组加工某种零件.已知甲组每名技术工人加工的零件合格的分别为4个、5个、7个、9个、10个,乙组每名技术工人加工的零件合格的分别为5个、6个、7个、8个、9个.(1)分别求出甲、乙两组技术工人加工的合格零件的平均数及方差,并由此比较这两组技术工人加工这种零件的技术水平;(2)假设质检部门从甲、乙两组技术工人中分别随机抽取1人,对他们加工的零件进行检测,若抽到的2人加工的合格零件之和超过12个,则认为该车间加工的零件质量合格,求该车间加工的零件质量合格的概率.20.(本小题满分13分)已知数列{a n}的前n项和S n 和通项a n满足S n=12(1-a n).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=na n,求证:b1+b2+…+b n <34.21.(理)(本小题满分13分)已知函数g(x)=2a ln(x+1)+x2-2x(1)当a≠0时,讨论函数g(x)的单调性;(2)若函数f (x )的图象上存在不同两点A ,B ,设线段AB 的中点为P (x 0,y 0),使得f (x )在点Q (x 0,f (x 0))处的切线与直线AB 平行或重合,则说函数f (x )是“中值平衡函数”,切线叫做函数f (x )的“中值平衡切线”.试判断函数g (x )是否是“中值平衡函数”?若是,判断函数g (x )的“中值平衡切线”的条数;若不是,说明理由.(文)(本小题满分12分)已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a >0)的零点的集合为{0,1},且x=13是f (x )的一个极值点. (1)求b a的值; (2)试讨论过点P (m,0)且与曲线y =f (x )相切的直线的条数.22.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左,右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.。

2014年江苏高考数学模拟试卷(四)

2014年江苏高考数学模拟试卷(四)

EFABC D P2013年江苏高考数学模拟试卷(四)第1卷(必做题,共160分)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分. 1.设a R ∈,且2()a i i +为正实数,则a 的值为 .2.抛物线22(0)y px p =>上的一点(1,)A m 到其焦点的距离为3,则m = .3.函数2221(0)()1(0)x x x f x x ax x ⎧-+>⎪=⎨---<⎪⎩是奇函数,则实数a = .4.已知全集U R =,集合{}250A x Z x x =∈-+≤,{}40B x x =-<,则()U A B 中最大的元素是 .5.若向量a ,b 满足1=a ,2=b ,且()⊥a a +b ,则a 与b 的夹角为 .6.下面求258112012+++++的值的伪代码中,正整数m 的最大值为 .7.设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x n x , 则201212012220122011log log log x x x +++的值为 .8.若0<x <4,则函数y =tan 3xtan2x 的最大值为 .9.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,点O 为底面ABCD 的中心,在正方 (第6题图)体1111ABCD A B C D -内随机取一点 P ,则点P 到点O 的距离大于1的概率为 .10.在ABC ∆中,两中线AD 与BE 相互垂直,则()cos A B +的最大值为 .11.某同学为研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质,构造了如右 图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ,点P 是边BC 上的一个动点,设CP x ,则()AP PF f x . 请你参考这些信息,推知函数()4()9g x f xI ←2 S ←0While I <mS ←S +II ←I +3(第11题的零点的个数是 .12.在平面直角坐标系xOy 中,直线l :x -y +3=0与圆O :x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ,B 两点.若OA +2OB =3OC ,且点C 也在圆O 上,则圆O 的方程为 . 13.设正项数列{a n }的前n 项和是S n ,若{a n }和{S n }都是等差数列,且公差相等,则a 1= .14.对于函数()y f x =,若存在区间[,]a b ,当[,]x a b ∈时的值域为[,]ka kb (0)k >,则称()y f x =为k 倍值函数.若()ln f x x x =+是k 倍值函数,则实数k 的取值范围是 .二、解答题:本大题共6小题,共90分.15. (本小题满分14分)已知锐角ABC ∆中的三个内角分别为,,A B C . ⑴设BC CA CA AB ⋅=⋅,求证ABC ∆是等腰三角形;⑵设向量(2sin ,3s C =-,2(cos2,2cos 1)2C t C =-,且s ∥t ,若12sin 13A =,求sin()3B π-的值.16. (本小题满分14分)如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为a 的正方形,PA ⊥ 平面ABCD ,点E 是PA 的中点.⑴求证:PC ∥平面BDE ; ⑵求证:平面PAC ⊥平面BDE .ADP E17.(本小题满分14分如图一块长方形区域ABCD,AD=2(km),AB=1(km).在边AD的中点O处,有一个可转动的探照灯,其照射角∠EOF始终为π4,设∠AOE=α,探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S.(1)当0≤α<π2时,写出S关于α的函数表达式;(2)若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(OE自OA转到OC,再回到OA,称“一个来回”,忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间),且转动的角速度大小一定,设AB边上有一点G,且∠AOG=π6,求点G在“一个来回”中,被照到的时间.ED(第1718.(本小题满分16分) 已知椭圆221:12xC y+=和圆222:1C x y+=,A,B,F分别为椭圆C1左顶点、下顶点和右焦点.⑴点P是曲线C2上位于第二象限的一点,若△APF的面积为124+,求证:AP⊥OP;⑵点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点,且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍,证明直线MN恒过定点.19.(本小题满分16分)对于函数y =f (x ),若存在开区间D ,同时满足:①存在t ∈D ,当x <t 时,函数f (x )单调递减,当x >t 时,函数f (x )单调递增;②对任意x >0,只要t -x ,t +x ∈D ,都有f (t -x )>f (t +x ),则称y =f (x )为D 内的“勾函数”. (1)证明:函数y =log (0,1)a x a a >≠为(0,+∞)内的“勾函数”;(2)若D 内的“勾函数”y =g (x )的导函数为y =g (x ),y =g (x )在D 内有两个零点x 1,x 2,求证:g (x 1+x 22)>0;(3)对于给定常数,是否存在m ,使函数h (x )=13x 3-122x 2-23x +1在(m ,+∞)内为“勾函数”?若存在,试求出m 的取值范围,若不存在,说明理由.20.(本小题满分16分)已知数列{}n a 中,11a =,*,0n n N a ∈>,数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足1121n n n a S S ++=+-.⑴求证:数列21{()}2n S -为等差数列,并求数列{}n a 的通项公式;⑵数列{}n S 中存在若干项,按从小到大的的顺序排列组成一个以S 1首项,3为公比的等比数列{}k b .①求这个等比数列的项数k 与n 的关系式()k k n =;②记1(2)()1n c n k n =-≥,求证:212[,)33ni i c =∈∑.第Ⅱ卷(附加题,共40分)21.[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题,每小题10分;请选定其中两题,并在相应............的答题区域内作答......... A .(选修4-1:几何证明选讲)如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,AE =AC , DE 交AB 于点F .求证:△PDF ∽△POC .B .(选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1211A ,向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,求向量α,使得(第21-AA BPF OE DC·βα=2A .C .(选修4-4:坐标系与参数方程)椭圆中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为12,点(,)P x y 是椭圆上的一个动点,若y x 32+的最大值为10,求椭圆的标准方程.D .(选修4-5:不等式选讲)已知x ,y ,z 均为正数.求证:111y xz yz zxxy x y z≥.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.22.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. (1)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率; (2)求比赛局数X 的分布列和数学期望E (X).23.已知f n (x )=(1+2x )n ,n ∈N *.(1) 若g (x )=f 4(x )+f 5(x )+f 6(x ),求g (x )中含x 2项的系数;(2) 若p n 是f n (x )展开式中所有无理项的二项式系数和,数列{a n }是各项都大于1的数组成的数列,试用数学归纳法证明:1212(1)(1)(1)1n n n a a a p a a a +++≤+.。

2014届高三数学文科高考模拟试卷及答案

2014届高三数学文科高考模拟试卷及答案

2014届高三数学文科高考模拟试卷考生须知:1、全卷分试卷I 、II ,试卷共4页,有三大题,满分150分。

考试时间120分钟。

2、本卷答案必须做在答卷I 、II 的相应位置上,做在试卷上无效。

3、请用蓝、黑墨水笔或圆珠笔将姓名、准考证号分别填写在答卷I 、II 的相应位置上,用2B 铅笔将答卷I 的准考证号和学科名称所对应的方框内涂黑。

参考公式:如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式P (A +B )=P (A )+P (B ) V =ShP (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 P n (k )=C k np k (1-p )n -k (k = 0,1,2,…, n )球的表面积公式棱台的体积公式S = 4πR 2)2211(31S S S S h V ++=球的体积公式其中S 1, S 2分别表示棱台的上.下底面积, h 表示棱台 V =34πR 3的高 其中R 表示球的半径选择题部分(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.如图,全集}9,7,6,4,2,1{=I , 其中}9,7,4,2{=M ,}9,7,4,1{=P ,}7,4,2{=S 是I 的3个子集,则阴影部分所表示的集合等于 ( ▲ )(A )}9,7,4{ (B )}9,7{ (C )}9,4{ (D )}9{2.已知a R ∈,则“2a >”是“22a a >”成立的( ▲ )(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件3.已知βα,是不同的两个平面,n m ,是不同的两条直线,则下列命题中不正确...的是( ▲ ) (A )若α⊥m n m ,//,则α⊥n (B )若,m m αβ⊥⊥,则αβ∥ (C )若βα⊂⊥m m ,,则αβ⊥ (D )若,m n ααβ=∥,则m n ∥4.下列函数中,既是偶函数又在) , 0(∞+上单调递增的是( ▲ )(A )||ln x y = (B )2x y -= (C )xe y = (D )x y cos = 5. 某中学高三理科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如右图,其中甲班学生成绩的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是83,则x +y 的值为( ▲ )(A )8 (B )7 (C )9 (D )168 6. 函数)(x f y =的图象向右平移3π单位后与函数x y 2sin =的图象重合,则)(x f y =的(第5题)乙甲y x 611926118056798解析式是( ▲ ) (A )()f x =)32cos(π-x (B )()f x =)62cos(π-x (C )()fx =)62cos(π+x (D )()f x =)32cos(π+x7.已知函数n mx x x f 231)(23+-=(n m ,为常数),当2=x 时,函数)(x f 有极值,若函数)(x f 只有三个零点,则实数n 的取值范围是( ▲ )(A )]35,0( (B ))32,0( (C ))35,1[ (D )]32,0[ 8.已知向量OA ,OB 的夹角为60°,|OA |=|OB |=2,若OC =2OA +OB ,则△ABC 为( ▲ )(A )直角三角形 (B )等腰三角形 (C )等边三角形 (D )等腰直角三角形9.P 为双曲线221916x y -=右支上一点,12,F F 分别是双曲线的左焦点和右焦点,过P 点作 12PH F F ⊥,若12PF PF ⊥,则PH = ( ▲ )(A )645 (B )85 (C )325 (D )16510.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=2,132|,12|)(x x x x f x ,若方程0)(=-a x f 有两个不同的实数根,则实数a的取值范围为 ( ▲ ) (A ))3,1( (B ))3,1[(C ))1,0( (D ))3,0(非选择题部分(共100分)二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。

【VIP专享】2014版高考数学模拟试题精编4

【VIP专享】2014版高考数学模拟试题精编4

形的边长的概率为( )
11 A.4 B.3
13 C.2 D. 2
7.(理)下列四个判断:
①某校高三(1)班的人数和高三(2)班的人数分别是 m 和 n,某次测试数学平均分分别是
a+b a,b,则这两个班的数学平均分为 2 ;②从总体中抽取的样本(1,2.5),(2,3.1),
∧y ∧b
(3,3.6),(4,3.9),(5,4.4),则回归直线 = x+ 必过点(3,3.6);③已知 ξ
一项是符合题目要求的.) 1+i
1.已知复数 z=2-i(其中是虚数单位),则复数 z 在坐标平面内对应的点在( ) A.第2.(理)已知 f(x)=3sin x-πx,命题 p:∀x∈( 2 ),f(x)<0,则( )
0,
π
A.p 是真命题,綈 p:∀x∈( 2 ),f(x)>0 B.p 是真命题,綈 p:∃x0∈( 2 ),f(x0)

21
0,
0,
选做 总分

π
π
4.“m<0”是“函数 f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asin ax 的图象不可能是( )
6.在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦长超过该圆的内接等边三角
课标全国卷数学高考模拟试题精编四
【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间
120 分钟.请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.
题号
得分


13 14 15 16 17 18 19 20

2014年高考数学模拟试题及答案(理)

2014年高考数学模拟试题及答案(理)

2013-2014学年度高考模拟试题数学(理)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,1.若集A ={x |-1≤2x +1≤3},B ={x |2x x-≤0},则A ∪B = ( )A .{x |-1≤x <2}B .{x |-1≤x ≤2}C .{x |0≤x ≤2}D .{x |0≤x ≤1} 2.函数()lg f x x =的零点是( )A .(1,0)B .(1,0)和(1,0)-C .1D .1和1-3.复数i +2与复数i +31在复平面上的对应点分别是A 、B ,则AO B ∠等于 ( ) A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 4.已知函数)4lg(x y -=的定义域为A ,集合{}a x x B <=|,若P :”“A x ∈是 Q :”“B ∈x ”充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( ) A .4≥a B .4≤a C .4>a D .4<a 5.已知等差数列{}n a 中,37101140,4a a a a a +-=-=,记12n n S a a a =+++,S 13=( )A .78B .68C .56D .526.要得到一个奇函数,只需将x x x f cos 3sin )(-=的图象( )A 、向右平移6π个单位B 、向右平移3π个单位C 、向左平移3π个单位 D 、向左平移6π个单位 7.已知x >0,y >0,若222y xm m x y8+>+恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .m ≥4或m ≤-2 B .m ≥2或m ≤-4 C .-2<m <4 D .-4<m <28(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为( )A 9.设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,()()()()0f x g x f x g x ''+>.且(3)0g =.则不等式()()0f x g x <的解集是 ( ) A .(-3,0)∪(3,+∞) B .(-3,0)∪(0, 3)C .(-∞ ,- 3)∪(3,+∞)D .(-∞,- 3)∪(0, 3)10.已知函数x x f 2sin 1)(π+=,若有四个不同的正数i x 满足M x f i =)((M 为常数),且8<i x ,)4,3,2,1(=i ,则4321x x x x +++的值为( ) A 、10 B 、14 C 、12 D 、12或2011.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-,当11x -≤< 时,3()f x x =,若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点,则a 取值范围是( )A.10,5,5+∞(]()B.10,[5,5+∞())C.11,]5,775(()D.11,[5,775())12.在平面直角坐标系xOy 中,点A (5,0),对于某个正实数k ,存在函数f (x )=a 2x (a >0).使得OP =λ·(OA OA+OQ OQ)(λ为常数),这里点P 、Q的坐标分别为P (1,f (1)),Q (k ,f (k )),则k 的取值范围为( )A .(2,+∞)B .(3,+∞)C .[4,+∞)D .[8,+∞) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上) 13. 过点(1,1)-的直线与圆2224110x y x y +---=截得的弦长为线的方程为 。

2014年湖南省六校联考高考数学模拟试卷(文科)(4月份)

2014年湖南省六校联考高考数学模拟试卷(文科)(4月份)

2014年湖南省六校联考高考数学模拟试卷(文科)(4月份)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、选择题(本大题共10小题,共50.0分)1.已知P={-1,0,},Q={y|y=sinθ,θ∈R},则P∩Q=()A.∅B.{0}C.{-1,0}D.{-1,0,}【答案】C【解析】解:∵Q={y|y=sinθ,θ∈R},∴Q={y|-1≤y≤1},∵P={-1,0,},∴P∩Q={-1,0}故选C.由题意P={-1,0,},Q={y|y=sinθ,θ∈R},利用三角函数的值域解出集合Q,然后根据交集的定义和运算法则进行计算.本题考查两个集合的交集的定义和求法,以及函数的定义域、值域的求法,关键是明确集合中元素代表的意义.2.已知i为虚数单位,若=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=()A.2+iB.-2-iC.l-2iD.1+2i【答案】B【解析】解:∵=y+2i,x,y∈R,∴x-i=-2+yi,∴,解得x=-2,y=-1.∴复数x+yi=-2-i.故选:B.利用复数的运算法则和复数相等即可得出.本题考查了复数的运算法则和复数相等,属于基础题.3.“log2a>log2b”是“2a>2b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解:2a>2b⇔a>b,当a<0或b<0时,不能得到log2a>log2b,反之由log2a>log2b即:a>b>0可得2a>2b成立.∴“log2a>log2b”是“2a>2b”的充分不必要条件.故选A.分别解出2a>2b,log2a>log2b中a,b的关系,然后根据a,b的范围,确定充分条件,还是必要条件.本题考查对数函数的单调性与特殊点,必要条件、充分条件与充要条件的判断,是基础题.4.已知倾斜角为α的直线l与直线x-2y+2=0平行,则tan2α的值为()A. B. C. D.【答案】C【解析】解:由题意可得tanα=∴tan2α===故选C由题意可得tanα=,代入二倍角公式tan2α=可求本题主要考查了直线的倾斜角与斜率的关系,两直线平行的条件及二倍角正切公式的应用,计算虽简单,但应用的知识较多5.若变量x,y满足,实数z是2x和-4y的等差中项,则z的最大值等于()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解:∵z是2x和-4y的等差中项,∴2x-4y=2z,即x-2y=z,y=,作出不等式组对应的平面区域如图:平移直线y=,由图象可知当直线经过点A时,直线的解决最小,此时z最大.由,解得,即A(1,-1),此时z=1-2×(-1)=1+2=3,故选:C.作出不等式组对应的平面区域,利用等差中项,求出z的表达式,利用数形结合即可得到结论.本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.6.已知x,y∈R+,=(x,1),=(1,y-1),若⊥,则+的最小值为()A.4B.9C.8D.10【答案】A【解析】解:∵=(x,1),=(1,y-1),且⊥,∴x+y-1=0.∴x+y=1.则+==.又∵x,y∈R+,由基本不等式可得+=≥2+2=4,当且仅当,即时,“=”成立.故选:A.首先根据向量垂直的坐标表示得到x+y=1.则+==.利用基本不等式即可求出+的最小值.本题考查向量垂直的坐标表示,基本不等式等知识,属于基础题.7.设函数g(x)=是定义在R上的函数,其中g(x)的导函数为g′(x),满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立,则()A.f(2)>e2g(0),f(2014>e2014g(0)B.f(2)>e2g(0),f(2014)<e2014g(0)C.f(2)<e2g(0),f(2014)<e2014g(0)D.f(2)<e2g(0),g(2014)>e2014g(0)【答案】C【解析】解:由f′(x)<f(x)得,f′(x)-f(x)<0,∴g′(x)=′<0,∴函数g(x)=是定义在R上的减函数,∴g(0)>g(2),g(0)>g(2014)即g(0)>,g(0)>即f(2)<e2g(0),f(2014)<e2014g(0),故选:C.由f′(x)<f(x),利用导数与函数单调性的关系,判断出函数f(x)=是定义在R上的减函数,即可的答案.考查利用导数研究判断函数单调性及导数的运算法则的运用.8.阅读如图所示程序框图,运行相应的程序,则输出的结果是()A.-B.-C.D.【答案】C【解析】解:由程序框图知:算法的功能是求S=sin+sin+sinπ+…的值,当n=2014时终止运行,∴输出S=sin+sin+sinπ+…+sin,∵sin+sin+…+sin=0,∴S=sin+sin+sinπ=.故选:C.算法的功能是求S=sin+sin+sinπ+…的值,根据n=2014时终止运行,可得S=sin+sin+sinπ+…+sin,再根据sin的值的周期性变化规律,计算S.本题考查了循环结构的程序框图,根据程序框图判断算法的功能是解答此类问题的关键.9.已知双曲线-=1(m>0,n>0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合,则mn的值为()A.4B.12C.16D.48【答案】D【解析】解:∵抛物线y2=16x的焦点为(4,0),则双曲线的焦距为8,则有m+n=16,①∵双曲线-=1(m>0,n>0)的离心率为2,∴e==2②由①②解得m=4,n=12,∴mn=48故选:D.先根据抛物线方程求得抛物线的焦点,进而可知双曲线的焦距,根据双曲线的离心率求得m,最后根据m+n=16,求得n,则答案可得.本题主要考查了圆锥曲线的共同特征.解题的关键是对圆锥曲线的基本性质熟练掌握,属于基础题.10.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为()A.(-,-2]B.[-1,0]C.(-∞,-2]D.(-,+∞)【答案】A【解析】解:∵f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,故函数y=h(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点,故有<,即<,解得-<m≤-2,故选A.由题意可得h(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点,故有<,由此求得m的取值范围.本题考查函数零点的判定定理,“关联函数”的定义,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于基础题.二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)11.在直角坐标系中,参数方程为(t为参数)的直线l,被以原点为极点、x轴的正半轴为极轴、极坐标方程为ρ=2cosθ的曲线C所截,则截得的弦长是______ .【答案】【解析】解:由题意知,直线l的倾斜角为30°,并过点A(2,0);曲线C是以(1,0)为圆心、半径为1的圆,且圆C也过点A(2,0);设直线l与圆C的另一个交点为B,在R t△OAB中,°.故答案为.将直线的参数方程与圆的极坐标方程化为普通方程联立直接可得直线被圆所截得的弦长可用代数和几何两种方法求解.12.设函数f(x)=x2-5x+4(l≤x≤8),若从区间[1,8]内随机选取一个实数x0,则所选取的实数x0满足f(x0)≤0的概率为______ .【答案】【解析】解:由题意知本题是一个几何概型,概率的值为对应长度之比,由f(x0)≤0,得到x2-5x+4≤0,解得:1≤x≤4,∴P==,故答案为:.由题意知本题是一个几何概型,概率的值为对应长度之比,根据题目中所给的不等式解出解集,解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率.本题主要考查了几何概型,以及一元二次不等式的解法,概率题目的考查中,概率只是一个载体,其他内容占的比重较大,属于基础题.13.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积是______ .【答案】【解析】解:由三视图知:四棱锥的一条侧棱与底面垂直,高为2,底面为直角梯形,且直角梯形的直角腰长为,两底边长分别为2、3,∴几何体的体积V=×××2=.故答案为:.根据三视图得四棱锥的高为2,底面为直角梯形,且直角梯形的直角腰长为,两底边长分别为2、3,把数据代入棱锥的体积公式计算.本题考查了由三视图求几何体的体积,判断三视图的数据所对应的几何量是关键.14.①函数在[0,π]上是减函数;②点A(1,1)、B(2,7)在直线3x-y=0两侧;③数列{a n}为递减的等差数列,a1+a5=0,设数列{a n}的前n项和为S n,则当n=4时,S n取得最大值;④定义运算则函数的图象在点,处的切线方程是6x-3y-5=0.其中正确命题的序号是______ (把所有正确命题的序号都写上).【答案】②④【解析】解:①,∵y=sin(x-)=-cosx,在[0,π]上是增函数,故①错误;②,将A(1,1)、B(2,7)的坐标分别代入3x-y得(3×1-1)•(3×2-7)=-2<0,故点A(1,1)、B(2,7)在直线3x-y=0两侧,即②正确;③,∵数列{a n}为递减的等差数列,a1+a5=0,又a1+a5=2a3,∴2a3=0,故当n=2或3时S n取得最大值,故③错误;④,∵=a1b2-a2b1,∴f(x)==x3+x2-x,∴[f′(x)]|x=1=(x2+2x-1)|x=1=2,∴f(x)的图象在点(1,)处的切线方程为:y-=2(x-1),整理得:6x-3y-5=0,故④正确;综上所述,正确答案为②④.故答案为:②④.①,利用诱导公式将y=sin(x-)转化为y=-cosx,利用余弦函数的单调性即可判断其正误;②,将A(1,1)、B(2,7)的坐标分别代入3x-y,观察乘积的符号即可判断;③,由题意结合等差数列的性质可判断③的正误;④,依题意可求得f(x)的解析式,从而可求得在点(1,)处的切线方程,继而可作出判断;本题考查命题的真假判断与应用,考查三角函数、平面区域、等差数列、及函数与导数等知识,属于中档题.15.对于实数x,将满足“0≤y<1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分,用符号<x>表示.对于实数a,无穷数列{a n}满足如下条件:①a1=<a>;②a n+1=<>.(Ⅰ)若a=时,数列{a n}通项公式为______ ;(Ⅱ)当a>时,对任意n∈N*都有a n=a,则a的值为______ .【答案】;或【解析】解:(Ⅰ)若时,<>=-1,则a2==<>=-1,∴.(Ⅱ)当>时,由a n=a知,a<1,所以a1=<a>=a,a2=<>,且,.①当,时,a2=<>=-1,故(舍去)②当,时,a2=<>=-2,故(舍去)综上,或.故答案为:(Ⅰ);(Ⅱ)或.(Ⅰ)利用符号<x>的含义,计算,可得a=时,数列{a n}通项公式;(Ⅱ)分类讨论,利用符号<x>的含义,根据a n=a,建立方程,即可a的值.本题考查符号<x>的含义,考查学生的计算能力,正确理解符号<x>的含义是关键.三、解答题(本大题共6小题,共75.0分)16.某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组:第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动,应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者?(Ⅱ)在(1)的条件下,该市决定在第3,4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.【答案】解:(Ⅰ)第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10.因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:×6=3;第4组:×6=2;第5组:×6=1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人;(Ⅱ)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,.则从5名志愿者中抽取2名志愿者有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)共有10种.其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共有7种所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为.【解析】(Ⅰ)先分别求出这3组的人数,再利用分层抽样的方法即可得出答案;(Ⅱ)从5名志愿者中抽取2名志愿者有10种情况,其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中有7种情况,再利用古典概型的概率计算公式即可得出.熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键.17.在△ABC中,a,b,c分别是角A、C的对边,m=(b,2a-c),n=(cos B,cos C)且m∥n.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)设f(x)=cosωx+sin(ωx+)(ω>0),且f(x)的最小正周期为π,求f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.【答案】解:(Ⅰ)∵m∥n,∴bcos C=(2a-c)cos B,∴bcos C+ccos B=2acos B.由正弦定理可得,sin B cos C+sin C cos B=2sin A cos B.∴sin(B+C)=2sin A cos B.又∵B+C=π-A,∴sin A=2sin A cos B,∴cos B=.∵B∈(0,π),∴B=.(Ⅱ)f(x)=cosωx+sin(ωx+)=cosωx+sin(ωx+)=sinωx+cosωx=sin(ωx+)又∵f(x)的最小正周期为π,∴=π.∴ω=2.∴f(x)=sin(2x+).当x∈[0,]时,2x+,.∴sin(2x+)∈[-,1].∴当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值.当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值.【解析】(1)根据m∥n,可得到bcos C=(2a-c)cos B,再利用正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B=2sin A cos B.结合三角形内角和及三角函数诱导公式即可求出B的值.(2)首先将函数f(x)化简为f(x)=sin(ωx+),最小正周期为π,则ω=2.从而得到f(x)=sin(2x+),利用三角函数的性质即可求出最值.本题考查向量数量积,三角函数求值等知识的综合应用,属于中档题.18.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PB,PD与平面ABCD所成角的正切值依次是1和,AP=2,E,F依次是PB,PC的中点.(Ⅰ)求证:PB⊥平面AEFD;(Ⅱ)求直线EC与平面PAD所成角的正弦值.【答案】解:(I)∵PA⊥平面ABCD,直线AB是PB在平面ABCD内的射影∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角,得R t△PAB中,tan∠PBA==1,可得AB=AP=2同理,∠PDA是PD与平面ABCD所成的角,得R t△PAD中,tan∠PDA==,可得AD=2AP=4∵PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴AD⊥PA∵矩形ABCD中,AD⊥AB,且AD∩AP=A,∴AD⊥平面PAB∵PB⊂平面PAB,∴AD⊥PB又∵R t△PAB中,AB=AP,且E为PB中点,∴PB⊥AE∵AD、AE是平面AEFD内的相交直线,∴PB⊥平面AEFD;…(6分)(II)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,由(I)知AD=4、AB=2,则各点坐标分别是A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),P(0,0,2),∴E(1,0,1),F(1,2,1),=(1,4,-1),又∵AB⊥平面PAD,∴平面PAD的一个法向量为==(2,0,0),设直线EC与平面PAD所成的角为α,则sinα===,∴直线EC与平面PAD所成角的正弦值为.…(13分)【解析】(I)由PA⊥平面ABCD,得AD⊥PA,结合AD⊥AB,得AD⊥平面PAB,从而AD⊥PB,最后根据△PAB中,中线AE⊥PB且AE、AD是平面AEFD内的相交直线,证出PB⊥平面AEFD;(II)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,结合(I)求出的数据,得到A、B、C、D、E、F、P各点坐标,从而得到=(1,4,-1)和平面PAD 的一个法向量=(2,0,0),利用空间两个向量的夹角公式算出与夹角的余弦之值,即为EC与平面PAD所成角的正弦值.本题在四棱锥中,证明了线面垂直并求直线与平面所成角的正弦之值,着重考查了用空间向量求直线与平面的夹角和直线与平面垂直的判定与性质等知识,属于中档题.19.已知函数f(x)=-x3+mx在(0,1)上是增函数.(Ⅰ)实数m的取值集合为A,当m取值集合A中的最小值时,定义数列{a n}:满足a1=3,且a n>0,a n+1=′(n∈N*),求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)根据(Ⅰ)结论,若b2=(n∈N*),数列{b n}的前n项和为S n,求证:S n <.【答案】(Ⅰ)解:∵f(x)=-x3+mx在(0,1)上是增函数,∴f′(x)=-3x2+m≥0在(0,1)上恒成立,即m≥3x2,解得m≥3,∴实数m的取值集合A={m|m≥3},∴m=3,∴f′(x)=-3x2+3,∵′,a n>0∴=3a n,∴,∴数列{a n}是以3为首项和公比的等比数列,故.(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得b n==,∴,①=,②高中数学试卷第11页,共14页①-②,得:==,∴S n=,∵n∈N*,∴>,∴S n<.【解析】(Ⅰ)由已知条件推导出f′(x)=-3x2+3,由此推导出数列{a n}是以3为首项和公比的等比数列,从而得到.(Ⅱ)由(Ⅰ)得b n==,由此利用错位相减法能证明S n<.本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意错位相减法的合理运用.20.已知命题“若点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2上一点,则过点M的圆的切线方程为x0x+y0y=r2”.(Ⅰ)根据上述命题类比:“若点M(x0,y0)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,则过点M的切线方程为______ ”(写出直线的方程,不必证明).(Ⅱ)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且经过点(1,).(i)求椭圆C的方程;(ii)过F1的直线l交椭圆C于A、B两点,过点A、B分别作椭圆的两条切线,求其交点的轨迹方程.【答案】解:(Ⅰ).(3分)(Ⅱ)(ⅰ)∵椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点F1(-1,0),∴设椭圆C:,∵椭圆经过点(1,),∴,整理,得4a4-17a2+4=0,解得a2=4,或a2=,∴椭圆方程为:.(7分)高中数学试卷第12页,共14页(ⅱ)当直线l的斜率存在时,设为k,直线l的方程为y=k(x+1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则椭圆在点A处的切线方程为:,①椭圆在点B的切线方程为:,②联立方程①②得:x===-4,即此时交点的轨迹方程:x=-4.(11分)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,此时A(-1,),B(-1,-),经过AB两点的切线交点为(-4,0).综上所述,切线的交点的轨迹方程为:x=-4.(13分)【解析】(Ⅰ)仿照圆的切线方程进行类比,能求出过椭圆上一点的切线方程.(Ⅱ)(ⅰ)设椭圆C:,把点(1,)代入,能求出椭圆方程.(ⅱ)分别求出椭圆在点A、B处的切线方程,联立方程组能求出交点的轨迹方程.本题考查切线方程的求法,考查椭圆方程的求法,考查交点的轨迹方程的求法,解题时要认真审题,注意计算能力、推理论证能力的培养.21.已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x∈(0,+∞)时,f (x)=ax+2lnx(a∈R).(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)是否存在负实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x)的最小值是4?如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由;(Ⅲ)对x∈D,如果函数F(x)的图象在函数G(x)的图象的下方(没有公共点),则称函数F(x)在D上被函数G(x)覆盖,若函数f(x)在区间x∈(1,+∞)上被函数g(x)=x3覆盖,求实数a的取值范围.(注:e是自然对数的底数,[ln(-x)]′=)【答案】解:(Ⅰ)当x∈(-∞,0)时,则-x>0,由已知f(-x)=-ax+2ln(-x)=-f(x)∴f(x)=ax-2ln(-x),∴f(x)=,>,<(Ⅱ)假设存在a<0满足题意,∵f(x)=ax-2ln(-x),x∈[-e,0),∴f′(x)=,x∈[-e,0),令′,高中数学试卷第13页,共14页当>即a<时,f(x)在,上单调递减,,上单调递增,∴,解得a=-2e,当≤-e即<时,f(x)在[-e,0]上单调递增,∴f(x)min=f(-e)=4,解得<,矛盾,总之,存在a满足题意.(Ⅲ)由题意,x3>ax+2lnx对x∈(1,+∞)恒成立,即<对x∈(1,+∞)恒成立,设h(x)=,x∈(1,+∞),则′,设Φ(x)=2x3+2lnx-2,x∈(1,+∞),则Φ′(x)=>即Φ(x)在x∈(1,+∞)上单调递增∴Φ(x)>Φ(1)=0则h′(x)>0即h(x)=在x∈(1,+∞)上单调递增,∴h(x)>h(1)=1若a<h(x)对x∈(1,+∞)恒成立,则a≤1即可所以实数a的取值范围为(-∞,1]【解析】(Ⅰ)设设x<0,则-x>0,代入已知可求f(-x),结合奇函数f(x)=-f(-x),可求(II)由(I)中函数的解析式,我们可以求出函数的导函数的解析式,分类讨论后可得当>时,;当≤-e时f(x)min=f(-e),列出方程求出参数a的值.(Ⅲ)由题意要证函数F(x)在区间x∈(1,+∞)上被函数g(x)=x3覆盖等价于需证x3>ax+2lnx对x∈(1,+∞)恒成立,利用导数求出函数的单调性,求出a的范围.第一问利用函数的奇偶性进行求解,比较常见,第三问是一道证明题,定义了一个新定义覆盖的概念,将这个问题转化为函数的恒成立的问题,就会比较简单;高中数学试卷第14页,共14页。

数学_2014年江西省高考数学模拟试卷(文科)(含答案)

数学_2014年江西省高考数学模拟试卷(文科)(含答案)

2014年江西省高考数学模拟试卷(文科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 集合A ={x|−2<x <2},B ={x|−1≤x +2<3},那么A ∪B =( )A {x|−2<x <3}B {x|−3≤x <2}C {x|−3≤x <1}D {x|−2<x ≤1} 2. 复数(1+2i)2(其中i 为虚数单位)的虚部为( ) A 4i B −4i C 4 D −43. 函数y =√x +2⋅lg(2−x)的定义域为( ) A (−2, 0) B (0, 2) C (−2, 2) D [−2, 2)4. “α是第二象限角”是“sinαtanα<0”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分C 充分条件D 既不充分也不必要5. 设e 1→,e 2→为单位向量,其中a→=2e 1→+e 2→,b→=e 2→,且a →在b →上的投影为2,则e 1→与e 2→的夹角为( )A π6B π4C π3D π26. 如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是( )A 12+πB 16+πC 12+2πD 16+2π7. 已知定义域在R 上的函数f(x)图象关于直线x =−2对称且当x ≥−2时,f(x)=3x −4,若函数f(x)在区间(k −1, k)上有零点,则符合条件的k 的值是( ) A −8 B −7 C −6 D −58. 阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的S 的值为( )A 64B 66C 98D 2589. 如图,正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点E 在线段BB 1和线段B 1A 1上移动,∠EAB =θ,θ∈(0, π2).过直线AE ,AD 的平面ADFE 将正方体分成两部分,记棱BC 所在部分的体积为V(θ),则函数V =V(θ),θ∈(0, π2)的大致图象是( )A B C D10. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),F 1,F 2为左右焦点,点P(2, √3)在椭圆C 上,△F 1PF 2的重心为G ,内心为I ,且有IG →=λF 1F 2→(λ为实数),则椭圆方程为( ) Ax 28+y 26=1 Bx 216+y 24=1 Cx 29+5y 227=1 Dx 210+y 25=1二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分25分)11. 命题:“存在正实数x ,y ,使5x +5y =5x+y 成立”的否定形式为________.12. 若不等式组{x +y −1≤0,x −y +1≥0,y ≥0表示的平面区域内的点都不在圆x 2+(y −12)2=r 2(r >0)外,则r 的最小值为________.13. 定义|abcd |=ad −bc ,则|2468|+|10121416|+...+|2010201220142016|=________.14. 已知0<a ≤π2,设函数f(x)=2x −12x +1−cos(x +π2)+1(x ∈[−a, a]的最大值为P ,最小值为Q ,则P +Q 的值为________.15. 已知x ∈R ,则不等式|x +3|−|2x −1|<4的解集为________.三、解答题:本大题共6小题,满分75分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

数学_2014年山西省高考数学模拟试卷(文科)(含答案)

数学_2014年山西省高考数学模拟试卷(文科)(含答案)

2014年山西省高考数学模拟试卷(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={x|y =−x 2},B ={y|y =x 2},则A ∩B =( ) A R B (−∞, 0) C [0, +∞) D {(0, 0)}2. 现有60人,将其编号为01,02,03,…,60,若用系统抽样法从中抽取6人参加某项活动,则抽到的编号可能是( )A 01,02,04,08,16,32B 03,18,23,38,43,58C 07,17,27,37,47,57D 09,15,21,27,33,393. 设角α的终边与单位圆相交于点P(35, −45),则sinα−cosα的值是( )A −75B −15C 15D 754. 圆C 过坐标原点,在两坐标轴上截得的线段长相等,且与直线x +y =4相切,则圆C 的方程不可能是( )A (x +1)2+(y +1)2=18B (x −2)2+(y +2)2=8C (x −1)2+(y −1)2=2D (x +2)2+(y −2)2=85. 若实数x ,y 满足约束条件{y ≥0x −y ≥02x −y −2≤0,则z =x +2y 的取值范围是( )A [0, 1]B [1, 6]C [0, 6]D [2, 6]6. 设向量OA →=a →,OB →=b →不共线,且|a →+b →|=1,|a →−b →|=3,则△OAB 的形状是( ) A 等边三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 钝角三角形7. 已知a ∈R ,设p:a 2+3a +2≤0;q :关于x 的方程x 2+2x +log 2a =0有实数根.则p 是q 的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 8. 执行如图所示的程序框图,输出的S 值是( )A −√32 B √32C 0D √3 9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A2√33 B 4√33C 2√3D 4√3 10. 已知F 1,F 2分别是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点,点P 在C 的右支上,|PF 1|,|PF 2|,|F 1F 2|成等差数列,且∠PF 1F 2=120∘,则该双曲线的离心率是( ) A 32 B √3 C 2 D 311. 已知函数f(x)=x 2+mx +n(m, n ∈R)的值域为[0, +∞),若关于x 的不等式f(x)<a −1的解集为(m −3, m +2),则实数a 的值是( ) A 214 B 254 C 6 D 29412. 定义在R 上的函数f(x)的图象既关于点(1, 1)对称,又关于点(3, 2)对称,则f(0)+f(2)+f(4)+...+f(14)=( ) A 16 B 24 C 32 D 48二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.(第13-21题为必考题,每道试题学生都必须作答,第22题-24题为选考题,考生根据要求作答.) 13. 若a +i =b+i i,其中i 为虚数单位,a ,b 为实数,则a +b =________.14. 已知三棱锥P −ABC 中,PA ⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,AB =AC =2,且三棱锥外接球的表面积为36π,则PA =________.15. 关于函数f(x)=e |x|x 2+1(x ∈R)有下列命题: ①函数y =f(x)的图象关于y 轴对称,②在区间(0, +∞)上,函数y =f(x)是减函数, ③函数f(x)的最小值是e 12,④在区间(−∞, −1)上,函数f(x)是增函数, 其中真命题的序号是________.16. 已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和,且a n+12−a n+1+2=a n 2,S 29=a 292,则a 1=________.三、解答题:街答应泄出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且b 2=ac ,sinB =√2sinA . (1)求cosB .(2)若△ABC 的面积为√7,求BC 边上中线的长.18. 如图,在Rt△A′BC中,A′B=BC=2,D,E分别是A′B,A′C的中点,将△A′DE沿线段DE折起到△ADE,使平面ADE⊥平面DBCE.(1)若P,Q分别为AB,EC的中点,证明PQ // 平面AED.(2)若M为DE的中点,求三棱锥E−PMC的体积.19. 抛掷一枚质地不均匀的骰子,出现向上点数为1,2,3,4,5,6的概率依次记为p1,p2,p3,p4,p5,p6,经统计发现,数列{p n}恰好构成等差数列,且p4是p1的3倍.(1)求数列{p n}的通项公式.(2)甲、乙两人用这枚骰子玩游戏,并规定:掷一次骰子后,若向上点数为奇数,则甲获胜,否则已获胜,请问这样的规则对甲、乙二人是否公平?请说明理由;(3)甲、乙、丙三人用这枚骰子玩游戏,根据掷一次后向上的点数决定胜出者,并制定了公平的游戏方案,试在下面的表格中列举出两种可能的方案(不必证明).+y2=1右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆E相交于A,B两点,直线y=x+ 20. 过椭圆E:x22n与椭圆E交于C,D两点,与线段AB相交于点P(与点A和B不重合).(1)若AB平分CD,求CD所在直线方程.(2)四边形ABCD的面积是否有最大值,如果有,求出其最大面积,如果没有,请说明理由.21. 已知函数f(x)=x+alnx−1,a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)≥lnx对于任意x∈[1, +∞)恒成立,求a的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,注意:只能做选定的题目,如果多做,则按所做的第一道题目记分.【选修4-1:几何证明选讲】22. 如图,AB为⊙O的直径,点D是⊙O上的一点,点C是弧AD̂的中点,弦CE⊥AB于F.GD是⊙O的切线,且与EC的延长线相交于点G,连接AD,交CE于点P.(1)证明:△ACD∽△APC;(2)若GD=√2+1,GC=1,求PE的长.【选修4-4:坐标系与参数方程】23. 已知曲线C1的参数方程为{x=√2cosθy=√2sinθ(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ=0(ρ≥0, 0≤θ<2π)(1)求曲线C1与C2交点的极坐标;(2)设曲线C1与C2的交点为A,B,线段AB上两点C,D,且|AC|=|BD|=√22,P为曲线C1上的点,求|PC|+|PD|的最大值.【选修4-5:不等式选讲】24. 已知函数f(x)=|x−a|+2x,a∈R.(1)当a=2时,解不等式f(x)≥4x+2的解集;(2)若存在x使f(x)≤−|x+2|+2x+1成立,求a的取值范围.2014年山西省高考数学模拟试卷(文科)答案1. C2. C3. A4. A5. C6. D7. D8. B9. B10. A11. D12. C13. 014. 2√715. ①④16. 817. 解:(1)在△ABC中,由正弦定理化简sinB=√2sinA,化简得:b=√2a,代入b 2=ac ,得:c =2a , ∴ cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 24a 2=34;(2)由(1)得:cosB =34, ∴ sinB =√1−cos 2B =√74, ∵ S △ABC =12acsinB =12⋅a ⋅2a ⋅√74=√7,解得:a =2, ∴ c =4,如图,取BC 中点D ,则BD =1,在△ABD 中,由余弦定理得:AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BDcosB =16+1−6=11, 则AD =√11. 18. 解:(1)证明:如图取BD 中点N ,连接PN ,NQ , 显然PN ,NQ 分别是△ABD ,梯形BCED 的中位线, 于是PN // AD ,NQ // DE ,PN ⊄平面ADE , ∴ PN // 平面ADE ,NQ // 平面ADE , 又PN ∩NQ =N ,因此平面PNQ // 平面ADE , ∴ PQ // 平面AED .(2)易知DE // BC ,故∠ADE =∠A′DE =∠A′BC =90∘,即AD ⊥DE , 又因为平面ADE ⊥平面DBCE ,AD ⊂平面ADE , 所以AD ⊥平面DBCE又PN // AD ,故PN 即为三棱锥P −MEC 的高, 由题意,易求得PN =12AD =12,BD =1,ME =12, 于是V E−PMC =V P−EMC =13×PN ×12×ME ×BD =124.19. 解:(1)设数列{p n }的公差为d ,由p 4是p 1的3倍及概率的性质,有{P 1+3d =3P 16P 1+6×52d =1,解得P 1=116,d =124, 故P n =2n+148,1≤n ≤6,n ∈N ∗(2)不公平,甲获胜的概率P 甲=p 1+p 2+p 3=3+7+1148=716, 甲获胜的概率PP 乙=p 4+p 5+p 6=5+9+1348=916,二者概率不同,所以不公平. (3)(共6种可能,答出任意2种即可) ⑥ 3,4 2,5 1,620. 解:(1)设C(x 1, y 1),D(x 2, y 2), 由题意知直线AB 的方程为x =1, ∵ AB 平分CD ,∴ P 为CD 的中点,∴ P(x 1+x 22,y 1+y 22),∵ P 在直线AB 上,∴ x 1+x 2=2,联立{x 22+y 2=1y =x +n ,得3x 2+4nx +2n 2−2=0,∴ x 1+x 2=−4n 3=2,解得n =−32,∴ CD 所在的直线方程为y =x −32.(2)如图,∵ 椭圆E:x 22+y 2=1右焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆E 相交于A ,B 两点, 直线y =x +n 与椭圆E 交于C ,D 两点, 与线段AB 相交于点P , ∴ A(1, −√22),B(1, √22),P(1, 1+n),∵ P 在AB 上,∴ −√22<1+n <√22, 解得−1−√22<n <−1+√22,四边形ACBD的面积S=12⋅|AB|⋅|x2−x1|=√22√(x1+x2)2−4x1x2,由(1)知x1+x2=−4n3,x1x2=2n2−23,代入上式,整理得S=23√3−n2,(−1−√22<n<−1+√22),∵ 在区间(−1−√22, −1+√22)上,S关于n单调递增,∴ 四边形ABCD的面积S没有最大值.21. 解:(1)由f(x)=x+alnx−1,x>0,得f′(x)=1+ax =x+ax,当a≥0时,f′(x)>0,f(x)在(0, +∞)上单调递增,当a<0时,若x>−a,则f′(x)>0,f(x)在(−a, +∞)上单调递增,若0<x<−a,则f′(x)<0,f(x)在(0, −a)上单调递减.综上所述,当a≥0时,f(x)的单调递增区间为(0, +∞);当a<0时,f(x)的单调递增区间为(−a, +∞),单调递减区间为(0, −a).(2)令g(x)=f(x)−lnx=x+(a−1)lnx−1,x∈[1, +∞),则g′(x)=x+a−1x.由g′(x)=0得x=1−a,当a≥0时,即1−a≤1时,g′(x)≥0,g(x)在[1, +∞)上单调递增,∴ g(x)min=g(1)=0,因此,当a≥0时,g(x)≥0,f(x)≥lnx对于任意x∈[1, +∞)恒成立.当a<0时,即1−a>1时,若1<x<1−a,则g′(x)<0,g(x)在(1, 1−a)上单调递减,所以g(x)<g(1)=0,不满足g(x)≥0,x∈[1, +∞),即不满足f(x)≥lnx对于任意x∈[1, +∞)恒成立.综上所述,a的取值范围是[0, +∞).22. (1)证明:∵ AB为⊙O的直径,CE⊥AB,∴ AĈ=AÊ∵ 点C是弧AD的中点,∴ AĈ=CD̂=AÊ,∴ ∠ACE=∠ADC,∴ ∠CAP为公共角,∴ △ACD∽△APC;(2)解:连接DE,∵ GD 是⊙O 的切线, ∴ ∠GDX =∠CED , ∵ AĈ=CD ̂=AE ̂, ∴ ∠GED =∠ADE =∠CDA , ∴ ∠GPD =∠GDP , ∴ GP =GD =√2+1, ∵ GD 2=GC ⋅GE ,∴ GE =3+2√2,∴ PE =GE −GP =2+√2.23. 解:(1)由{x =√2cosθy =√2sinθ,得x 2+y 2=2.由ρcosθ−ρsinθ=0,得x −y =0.联立{y =xx 2+y 2=2,解得:x =±1.∴ 曲线C 1与C 2交点的坐标为(1, 1),(−1, −1). ∵ ρ≥0,0≤θ<2π,∴ 曲线C 1与C 2交点的极坐标为(√2,π4),(√2,5π4);(2)由(1)知,A(1, 1),B(−1, −1). 设C(m, m),D(n, n),由C ,D 在线段AB 上,且|AC|=|BD|=√22,得: C(12,12),D(−12,−12).∴ |PC|+|PD|=√(√2cosθ−12)2+(√2sinθ−12)2+√(√2cosθ+12)2+(√2sinθ+12)2 =√52−2sin(θ+π4)+√52+2sin(θ+π4).∴ (|PC|+|PD|)2=(√52−2sin(θ+π4)+√52+2sin(θ+π2))2≤2(52−2sin(θ+π4)+52+2sin(θ+π2))=10. ∴ |PC|+|PD|≤√10.当且仅当θ=34π或74π时取到“=”号.24. 解:(1)当a =2时,|x −2|+2x ≥4x +2,即|x −2|≥2x +2,∴ {x −2≥0x −2≥2x +2或{x −2<02−x ≥2x +2,∴ {x ≥2x ≤−4或{x <2x ≤0,∴ x ≤0,即不等式的解集为{x|x ≤0}...5分(2)若存在x 使f(x)≤−|x +2|+2x +1 成立,即存在x 使|x −a|+|x +2|≤1 成立, ∵ |x −a|+|x +2|≥|x +2−x +a|=|a +2|,∴ |a+2|≤1,∴ −3≤a≤−1...10分。

2014年普通高等学校全国统一招生考试模拟卷(4)理科数学(浙江)

2014年普通高等学校全国统一招生考试模拟卷(4)理科数学(浙江)

2014年普通高等学校全国统一招生考试模拟卷(四)理科数学(浙江)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回.第Ⅰ卷(选择题 共50分)注意事项:1.答题前,考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目.2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.cos(-1 530°)的值是 A .0 B .22 C .-22 D .-322.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷三次,设X 为正面向上的次数,则X 小于3的概率A .14B .12C .18D .783.右图是函数f(x)=x 2+ax +b 的部分图象,则函数g(x)=lnx +f ′(x)的零点所在的区间是A .(14,12) B .(1,2) C .(12,1) D .(2,3)4.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,且S 1=1,S 19=95,计算a 19的值为 A .4 B .9 C .15 D .165.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ln|x| (x <0)x -1-1 (x>0),计算f(f(2))的值为A .2B .-ln2C .-2D .-0.69 6.(3x -1)6的展开式中x 2的系数为A .15B .135C .120D .240 7.右边的程序框图中,若输出的S 值是16,那么在程序框图中,判断框内应填写的条件是A .i >5?B .i >6?C .i <5?D .i <6?8.四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥底面ABCD ,PA =AB =1,AD =3,点F 是PB 的中点,点E 在边BC 上移动.设m =||CE|-|EB||,若PE ⊥AF ,则m 的取值范围是A .{3}B .{1,3,0}C .[0,3]D .R 9.如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x -y +2≥0x -2y +1≤0x +y -2≤0,点Q 在曲线y +x 2+1=0上,那么|PQ|的最小值为A . 2B .2C .118 2D .2340 510.定义集合A ={a ,b ,c ,d}上的二元运算ζ如表所示,如果有一 个元素e ∈A ,对于任意的x ∈A ,都有eζx =xζe =x ,则称e 为A 关 于运算ζ的幺元.判断A 关于运算ζ的幺元是A .aB .bC .cD .d第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项:1.答题前,考生先在答题纸上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共6页,请用直径0.5毫米黑色签字笔在答题纸上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效.二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)11.已知a 1<a 2<a 3<0,则使得(a i x -2)2<4(i =1,2,3)都成立的x 的取值范围是________. 12.设e 1,e 2是不共线向量,e 1-2e 2与ke 1+e 2共线,则实数k 的值为________.13.如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图,已知每块长方体木块的体积为M(M>0),此几何体体积为________.14.将函数y =tan(ωx +π3)(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度后,与函数y =tan(ωx +π6)的图象重合,则ω的最小值为________.15.当x>1时,函数y =-x -1x -1的最大值为________.16.某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为a ,b ,则椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率e>32的概率是________.17.若对于定义在R 上的函数f(x),其函数图象是连续不断的,且存在常数λ(λ∈R),使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 成立,则称f(x)是λ 伴随函数.下列关于λ 伴随函数的叙述中不正确的是________.①f(x)=0是常数函数中唯一一个λ 伴随函数;②f(x)=x 2是一个λ 伴随函数;③12 伴随函数至少有一个零点.三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(本小题满分14分)某车间为了制作某个零件,需从一块扇形的钢板余料(如图1)中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板ABCD ,其中顶点B 、C 在半径ON 上,顶点A 在半径OM 上,顶点D 在NM 上,∠MON =π6,ON =OM =1.设∠DON =θ,矩形ABCD 的面积为S.(1)用含θ的式子表示DC 、OB 的长; (2)试将S 表示为θ的函数,并求S 的最大值.19.(本小题满分14分)已知复数z =x +yi(x 、y ∈R).(1)设集合P ={-1,-2,0},Q ={0,1,3},从集合P 中随机取一个数作为x ,从Q 中随机取一个数作为y ,记ξ=⎩⎪⎨⎪⎧1 z 为纯虚数0 z 为一般虚数-1 z 为实数,求ξ的分布列及数学期望;(2)若复平面上点M(x ,y)的x 、y 值均为[0,3]上的一个随机整数,第一次取x ,第二次取y ,求点M(x ,y)落在|z|≤2所表示图形内的概率.20.(本小题满分14分)如图,已知PO ⊥平面ABCD ,点O 在AB 上,EA ∥PO ,四边形ABCD 是直角梯形,AB ∥DC ,且BC ⊥AB ,BC =CD =BO =PO ,EA =AO =12CD.(1)求证:PE ⊥平面PBC ; (2)求二面角C -PB -D 的余弦值;(3)在线段PE 上是否存在一点M ,使DM ∥平面PBC ,若存在,求出点M ;若不存在,说明理由.21.(本小题满分15分)已知在平面直角坐标系中点A(-2,0),点B(2,0),动点C 满足AC →⊥BC →,点C 在x 轴上的射影为D ,点P 为线段CD 中点.(1)求动点P 的轨迹l 的方程;(2)若(1)中曲线l 与y 轴正半轴交于E 点,问曲线l 上是否存在一点M ,使得|ME|=433?若存在,求M 点坐标;若不存在,请说明理由.22.(本小题满分15分)函数f(x)=ln(1+x)-x +ax 2.(1)若a =1,求f(x)的单调区间及极值;(2)若当x ≥0时,总有f(x)≥0,求a 的取值范围;参考答案及其详细解析1.A 解析:cos(-1 530°)=cos(1 530°)=cos(720°+720°+90°)=0,因此选A 项. 2.D 解析:X<3的概率P =1-P(X =3)=1-123=78,选D 项.3.C 解析:由f(x)的图象知使f ′(x)=0的x ∈(12,1),在同一个坐标系中作出y =lnx 及y =-f ′(x)的图象,可得交点横坐标x ∈(12,1),选C 项.4.B 解析:a 1=S 1=1,S 19=a 1+a 192×19=95⇒a 1+a 192=5⇒a 19=10-1=9,选B 项. 5.B 解析:f(2)=-12,f(f(2))=-ln2,选B 项.6.B 解析:(3x -1)6=(-1+3x)6⇒T 3=C 26(-1)4·(3x)2=135x 2.选B 项. 7.D 解析:根据题中程序框图,可以分析该框图应该是求S =1+∑i =1ki =1+k (k +1)2的值,而1+k (k +1)2=16,因此可以得到k =5,也就是说i 的最大值为5,因此当i =6时便要退出循环,核对四个选项,只有D 项符合要求,因此答案选择D 项.8.C 解析:建立如图所示空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(0,1,0),F(0,12,12),D(3,0,0),设BE =x(0≤x ≤3),则E(x,1,0),PE →·AF →=(x,1,-1)·(0,12,12)=0,∴PE ⊥AF.所以m 的取值范围是[0, 3 ],选C 项.9.D 解析:由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界,只要计算点Q 到直线x -2y +1=0的最小距离d.平移直线x -2y +1=0到与抛物线y =-x 2-1相切的位置,设方程为x -2y +b =0,联立,令Δ=0得b =-158,则d =|-158-1|5=23540.10.A 解析:根据题目中幺元的定义结合图表,若e =a 时,满足题目要求,因此答案选A 项.(只要看行和列都与原行原列相同就行了,容易得到答案A 项) 11.答案:(4a i,0)解析:(a i x -2)2<4⇒a 2i x 2-4a i x +4<4⇒x(a 2i x -4a i )<0⇒4a i<x<0,又a 1<a 2<a 3<0,所以使得(a i x -2)2<4(i =1,2,3)都成立的x 取值范围是:4a 1<x<0.12.答案:-12解析:由题意e 1-2e 2=λ(ke 1+e 2)=kλe 1+λe 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧kλ=1λ=-2∴k =-12.13.答案:4M解析:由三视图知,此几何体由4块木块组成.因此体积为4M. 14.答案:5解析:y =tan(ωx +π3)的图象向左平移π6后,得到y =tan[ω·(x +π6)+π3]=tan(ωx +ωπ6+π3)的图象.所以ωπ6+π3=kπ+π6,k ∈Z ,所以ω=6k -1,得到其最小值为5.15.答案:-3解析:x>1时,x -1>0.y =-(x +1x -1)=-(x -1+1x -1+1)≤-3.当且仅当x -1=1x -1,即x =2时,等号成立. 16.答案:16解析:e =1-b 2a 2>32⇒b a <12⇒a>2b ,符合a>2b 的情况有:当b =1时,有a =3,4,5,6四种情况;当b =2时,有a =5,6两种情况.总共有6种情况.故概率为636=16.17.答案:①②解析:①错误,设f(x)=C 是一个λ 伴随函数,则(1+λ)C =0,显然,当λ=-1时,C 可以取遍实数集,因此f(x)=0不是唯一一个常值λ 伴随函数;②错误,用反证法,假设f(x)=x 2是一个λ 伴随函数,则(x +λ)2+λx 2=0,即(1+λ)x 2+2λx +a 2=0对任意实数x 成立.所以λ+1=2λ=a 2=0.而此式无解.所以f(x)=x 2不是一个λ-伴随函数;③正确,若f(x)是12 伴随函数,则f(x +12)+12f(x)=0(x ∈R).令x =0得f(12)=-12f(0),若f(0)=0,则f(x)有零解,若f(0)≠0,则f(12)与f(0)异号,f(x)在(0,12)上有零点.故③正确.18.解:(1)因为OD =1,四边形ABCD 是矩形,所以在Rt △DOC 中,DC =OD·sinθ=sinθ. ----------------------------2分 所以AB =DC =sinθ.在Rt △AOB 中,OB =ABtan π6=3sinθ.------------------------------------5分(2)在Rt △DOC 中,OC =OD·cosθ=cosθ.所以BC =OC -OB =cosθ-3sinθ.--------------------------------------7分所以S =DC·BC =sinθ(cosθ-3sinθ) =sinθcosθ-3sin 2θ =12sin2θ-32(1-cos2θ) =12sin2θ+32cos2θ-32=sin(2θ+π3)-32(0<θ<π6),-------------------------------------------10分当2θ=π6即θ=π12时,S 最大为1-32.-------------------------------14分19.解:(1)当x =0时,z 的可能结果为0,i,3i ;---------------------------------1分当x =-1时,z 的可能取值为-1,-1+i ,-1+3i ;--------------------2分 当x =-2时,z 的可能取值为-2,-2+i ,-2+3i ;--------------------3分 ξ的可能取值为-1,0,1,P(ξ=0)=49,P(ξ=-1)=39=13,P(ξ=1)=29,----------------------------------5分因此ξ的分布列为:-----------7分因此Eξ=-1×13+0×49+1×29=-19. ---------------------------------------9分(2)∵x ,y ∈Z 且x ∈[0,3]∴x 、y ∈{0,1,2,3}共能得A 24个点M 其中坐标满足x 2+y 2≤4的有5个(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)----------------------------------------------13分 所求概率为5A 24=512.-----------------------------------------------------------------------14分 20.解:(1)连结DO ,BO ∥CD 且BO =CD ,则四边形BODC 是平行四边形,故BC ∥OD ,又BC ⊥AB ,则BO ⊥OD ,因为PO ⊥平面ABCD ,可知OD 、OB 、OP 两两互相垂直,分别以OD 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.----------------------------2分设AO =1,则B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0),E(0,-1,1),P(0,0,2),则PE →=(0,-1,-1),PB →=(0,2,-2),BC →=(2,0,0).则PE →·PB →=0,PE →·BC →=0,故PE ⊥PB ,PE ⊥BC ,又PB ∩BC =B ,∴PE ⊥平面PBC.------------------------------------------------------------------------4分(2)由(1)可知,平面PBC 的一个法向量n 1=PE →=(0,-1,-1),设面PBD 的一个法向量为n 2=(x ,y ,z),PB →=(0,2,-2),BD →=(2,-2,0),由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PB →=0n 2·BD →=0,得⎩⎪⎨⎪⎧2y -2z =02x -2y =0,取n 2=(1,1,1),则cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=-22·3=-63, 故二面角C -PB -D 的余弦值为63.----------------------------------------------------8分 (3)存在满足条件的点M.9分由(1)可知,向量 PE →是平面PBC 的一个法向量,若在线段PE 上存在一点M ,使DM∥平面PBC ,设PM →=λPE →,则DM →=DP →+PM →=(-2,0,2)+λ(0,-1,-1)=(-2,-λ,2-λ),由DM →·PE →=0,得:λ-(2-λ)=0,∴λ=1,即M 点与线段PE 的端点E 重合.--------------------------------------------------------14分 21.解:(1)设动点P(x ,y),又CD ⊥x 轴, ∴D(x,0),又P 为CD 中点,∴点C(x,2y).AC →=(x +2,2y),BC →=(x -2,2y).又AC →⊥BC →,∴AC →·BC →=0, 即(x +2)(x -2)+(2y)2=0,即x 2+4y 2=44分所以x 2+4y 2=4就是动点P 的曲线方程.-----------------------------------------------6分 (2)令x =0得y =±1,∴E(0,1). 假设存在满足题设条件的点为M(x ,y), 则|ME|=x 2+(y -1)2=433,即x 2+(y -1)2=163.-----------------------------------9分 又x 2+4y 2=4 ① 消去x 2得9y 2+6y +1=0,∴y =-13,---------------------12分代入①得x =±423,------------------------------------------------------------------------14分故存在点M(±423,-13),使得|ME|=433.--------------------------------------------15分22.解:(1)若a =1,f(x)=ln(1+x)-x +x 2,x>-1, f ′(x)=11+x -1+2x =x (2x +1)1+x .令f ′(x)=0,得x 1=0,x 2=-12,f ′(x)>0,得-1<x<-12或x>0,f ′(x)<0,得-12<x<0,所以,f(x)的单调递增区间为(-1,-12)和(0,+∞);f(x)的单调递减区间为(-12,0),f(x)在x =-12取得极大值点f(-12)=ln 12+12+14=-ln2+34,f(x)在x =0取得极小值点f(0)=0. ------------------------------------------------4分 (2)当x =0时,f(0)=0对a ∈R 恒成立; 当x>0时,设g(x)=ln(1+x)-x ,则g ′(x)=11+x -1<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,因此g(x)<g(0)=0,所以当a ≤0时f(x)=ln(1+x)-x +ax 2<0,因此a>0. (i)当a =12时,f(x)=ln(1+x)-x +12x 2,f ′(x)=11+x -1+x =x 21+x>0,因此f(x)在(0,+∞)上单调递增,因此f(x)>f(0)=0.-----------------------------------------------------------------------8分 (ii)当a>12时,f(x)=ln(1+x)-x +ax 2>ln(1+x)-x +12x 2>0.------------------10分(iii)当0<a<12时,f(12a -1)=-ln(2a)-12×(2a )+2a2,构造函数h(x)=-lnx -12x +x2,0<x<1,则h ′(x)=-1x +12x 2+12=(x -1)22x 2>0,所以h(x)在0<x<1上单调递增,有h(x)<h(1)=0,故h(2a)=f(12a -1)<0,因此0<a<12舍去,--------------------------------------14分综上,满足条件的a 的取值范围是[12,+∞).---------------------------------------15分。

2014年山东省高考模拟数学(四)(文科)

2014年山东省高考模拟数学(四)(文科)

2014年山东省高考模拟数学(四)(文科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x2=n,n∈A},则A∩B=()A.{1,4}B.{﹣1,1}C.{1,2}D.∅解:根据x2=n,n∈A,求出x的值,确定B,∵集合A={1,2,3,4},B={x|x2=n,n∈A},∴x=±1,±,±,±2,即B={﹣1,﹣1,,﹣,﹣,,﹣2,2},则A∩B={1,2}.答案:C2.(5分)复数z=i(﹣2﹣i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:化简可得复数z=i(﹣2﹣i)=﹣2i﹣i2=1﹣2i,故复数在复平面内所对应的点的坐标为(1,﹣2)在第四象限,答案:D.3.(5分)已知命题:p:“∀x∈[1,2],x2﹣a≥0”,命题q:“∃x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”,若命题“¬p且q”是真命题,则实数a的取值范围是()A.a≤﹣1或a=1B.a≤﹣1或1≤a≤2C.a≥1D.a>1解析:因为命题“¬p且q”是真命题,因此¬p且q,均为真命题,命题p:“∀x∈[1,2],x2﹣a≥0”,为真命题,则a≤1,所以¬p为真命题时,a>1;命题q:“∃x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”,为真命题,则△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,所以a≤﹣2或a≥1,所以a>1,答案:D.4.(5分)“(2x﹣1)x=0”是“x=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:若(2x﹣1)x=0 则x=0或1x=x=0.2,不一定推出x=若x=0,则(2x﹣1)x=0,即x=0推出(2x﹣1)x=0所以“(2x﹣1)x=0”是“x=0”的必要不充分条件.答案:B5.(5分)若曲线C1:x2+y2﹣2x=0与曲线C2:y(y﹣mx﹣m)=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是()A.(﹣,)B.(﹣,0)∪(0,)C.[﹣,]D.(﹣∞,﹣)∪(,+∞)解析:可知曲线C1表示一个圆,曲线C2表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0,曲线C1:x2+y2﹣2x=0化为标准方程得:(x﹣1)2+y2=1,所以圆心坐标为(1,0),半径r=1;曲线C2:y(y﹣mx﹣m)=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0,由直线y﹣mx﹣m=0可知:此直线过定点(﹣1,0),在平面直角坐标系中画出图象如图所示:当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时,圆心到直线的距离d==r=1,化简得:m2=,解得m=±,而m=0时,直线方程为y=0,即为x轴,不合题意,则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时,m∈(﹣,0)∪(0,).答案:B6.(5分)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于()A.B.1C.D.解析:因为正方体的棱长为1,俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,说明侧视图是底面对角线为边,正方体的高为一条边的矩形,几何体放置如图:那么正视图的图形与侧视图的图形相同,所以正视图的面积为:.答案:D.7.(5分)将函数f(x)=2sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍,所得图象关于直线x=对称,则φ的最小正值为()A.B.C.D.解析:根据三角函数图象的变换规律.将函数的图象向右平移ϕ个单位所得图象的解析式=,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍所得图象的解析式f(x)=因为所得图象关于直线对称,所以当时函数取得最值,所以=kπ+,k∈Z整理得出ϕ=,k∈Z当k=0时,ϕ取得最小正值为.答案:B.8.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=﹣f(x),当0≤x≤1时,,则使的x的值是()A.2n(n∈Z)B.2n﹣1(n∈Z)C.4n+1(n∈Z)D.4n﹣1(n∈Z)解析:因为f(x)是奇函数且f(x+2)=﹣f(x),那么f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期T=4.因为当0≤x≤1时,f(x)=x,又f(x)是奇函数,所以当﹣1≤x≤0时,f(x)=x;令x=﹣解得:x=﹣1而函数f(x)是以4为周期的周期函数,所以方程f(x)=﹣的x的值是:x=4k﹣1,k∈Z.答案:D.9.(5分)设函数f(x)=e x+x﹣2,g(x)=lnx+x2﹣3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则()A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<0解析:判断函数的单调性,利用二分法.由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数,因此函数f(x)=e x+x﹣2在R上单调递增,分别作出y=e x,y=2﹣x的图象,∵f(0)=1+0﹣2<0,f(1)=e﹣1>0,f(a)=0,∴0<a<1.同理g(x)=lnx+x2﹣3在R+上单调递增,g(1)=ln1+1﹣3=﹣2<0,g()=,g(b)=0,∴.∴g(a)=lna+a2﹣3<g(1)=ln1+1﹣3=﹣2<0,f(b)=e b+b﹣2>f(1)=e+1﹣2=e﹣1>0.∴g(a)<0<f(b).答案:A.10.(5分)已知函数,且函数y=f(x)﹣x恰有3个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.(0,+∞)B.[﹣1,0)C.[﹣1,+∞)D.[﹣2,+∞)解析:当x≥0时,f(x)=f(x﹣1),所以此时周期是1,当x∈[﹣1,0)时,y=﹣x2﹣2x+a=﹣(x+1)2+1+a,图象为开口向下的抛物线,对称轴x=﹣1,顶点(﹣1,1+a),(1)如果a<﹣1,函数y=f(x)﹣x至多有2个不同的零点;(2)如果a=﹣1,则y有一个零点在区间(﹣1,0),有一个零点在(﹣∞,﹣1),一个零点是原点;(3)如果a>﹣1,则有一个零点在(﹣∞,﹣1),y右边有两个零点,综上可得:实数a的取值范围是[﹣1,+∞)答案:C.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)观察等式:,,根据以上规律,写出第四个等式为:.解析:类比推理观察前面两个等式可得:出第四个等式为:++++=,答案:++++=.12.(5分)在△ABC中,,,则AB边的长度为.解析:将向量用,表示,即==+||=﹣1+||=2,因此||=3.答案:3.13.(5分)各项均为正数的等比数列{a n}满足a1a7=4,a6=8,若函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10的导数为f′(x),则f′()= .解析:等比数列{a n},由已知,所以,解得,所以. 所以f′(x)=…+,因为=n×2n﹣3×21﹣n=,所以===.答案:.14.(5分)设m≥2,点P(x,y)为所表示的平面区域内任意一点,M(0,﹣5),O坐标原点,f(m)为的最小值,则f(m)的最大值为.解:易知=﹣5y,设z==﹣5y,作出不等式组对应的平面区域如图:即当y取得最大值时,z取得最小值,则由,解得,∴f(m)=﹣5×,∵m≥2,∴当m=2时,f(m)取得最大值f(2)=﹣,答案:15.(5分)给出下列四个命题:①命题“∀x∈R,cosx>0”的否定是“∃x∈R,cosx≤0”;②若0<a<1,则函数f(x)=x2+a x﹣3只有一个零点;③函数y=sin(2x﹣)的一个单调增区间是[﹣,];④对于任意实数x,有f(﹣x)=f(x),且当x>0时,f′(x)>0,则当x<0时,f′(x)<0.⑤若m∈(0,1],则函数y=m+的最小值为2;其中真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).解析:①命题“∀x∈R,cosx>0”的否定是“∃x∈R,cosx≤0”,正确;②当0<a<1时,y=a x为减函数,y=3﹣x2为开口向下的二次函数,两曲线有两个交点,函数f(x)=x2+a x﹣3有两个零点,故②错误;③由﹣≤2x﹣≤得:﹣≤x≤,即函数y=sin(2x﹣)的一个单调增区间是[﹣,],即③正确;④∵f(﹣x)=f(x),故y=f(x)为偶函数,又当x>0时,f′(x)>0,∴y=f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,由偶函数在对称区间上单调性相反知,y=f(x)在区间(﹣∞,0)上单调递减,即当x<0时,f′(x)<0,故④正确;⑤∵y=m+,∴y′=1﹣,∴当m∈(0,1]时,y′<0,即函数y=m+在区间(0,1]上单调递减,∴当x=1时,y min=1+3=4,故⑤错误;综上所述,真命题的序号是①③④.答案:①③④.三、解答题本大题共6小题,共75分.16.(12分)已知函数.(1)求的值;(2)若,求.解析:(1)将x=直接代入函数解析式求值.(2)利用同角三角函数的基本关系求出sinθ的值,利用两角和与差公式求值.答案:(1)(2)∵,,∴.17.(12分)某校研究性学习小组,为了分析2012年某小国的宏观经济形势,查阅了有关材料,得到2011年和2012年1﹣5月该国CPI同比(即当年某月与前一年同月比)的增长数据(见下表),但2012年3,4,5三个月的数据(分别记为x,y,z)没有查到,有的同学清楚记得2012年1﹣5月的CPI数据成等差数列.(Ⅰ)求x,y,z的值;(Ⅱ)求2012年1﹣5月该国CPI数据的方差;(Ⅲ)一般认为,某月CPI达到或超过3个百分点就已经通货膨胀,而达到或超过5个百分点则严重通货膨胀.现随机的从下表2011年的五个月和2012年的五个月的数据中各抽取一个数据,求相同月份2011年通货膨胀,并且2012年严重通货膨胀的概率.附表:2011年和2012年1﹣5月CPI数据(单位:百分点注:1个百分点=1%)解析:(Ⅰ)因为呈现的等差数列,由图得该数列的公差为0.1,可求x、y、z的值;(Ⅱ)求出2012年1-5月的平均数,再利用方差公式求方差.(Ⅲ)用(m,n)表示随机地从2011年的五个月和2012年的五个月的数据中各抽取一个数据的基本事件,列举抽取数据的情况,分析可得事件“相同月份2011年通货膨胀,并且2012年严重通货膨胀”包含的基本事件的数目,由古典概型公式,计算可得答案.答案:(Ⅰ)依题意得4.9,5.0,x,y,z成等差数列,所以公差d=5.0﹣4.9=0.1,故x=5.0+0.1=5.1,y=x+0.1=5.2,z=y+0.1=5.3;(Ⅱ)由(Ⅰ)知2012年1~5月该国CPI的数据为:4.9,5.0,5.1,5.2,5.3,∴,∴=0.02;(Ⅲ)根据题意,用m表示2011年的数据,n表示2012年的数据,则(m,n)表示随机地从2011年的五个月和2012年的五个月的数据中各抽取一个数据的基本事件,则所有基本事件有:(2.7,4.9),(2.7,5.0),(2.7,5.1),(2.7,5.2),(2.7,5.3),(2.4,4.9),(2.4,5.0),(2.4,5.1),(2.4,5.2),(2.4,5.3),(2.8,4.9),(2.8,5.0),(2.8,5.1),(2.8,5.2),(2.8,5.3),(3.1,4.9),(3.1,5.0),(3.1,5.1),(3.1,5.2),(3.1,5.3),(2.9,4.9),(2.9,5.0),(2.9,5.1),(2.9,5.2),(2.9,5.3);共25个基本事件;其中满足相同月份2011年通货膨胀,并且2012年严重通货膨胀的基本事件有(3.1,5.0),(3.1,5.1),(3.1,5.2),(3.1,5.3),有4个基本事件;∴P==0.16,即相同月份2011年通货膨胀,并且2012年严重通货膨胀的概率为0.16.18.(12分)如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF,其中BC=.(1)证明:DE∥平面BCF;(2)证明:CF⊥平面ABF;(3)当AD=时,求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG.分析:(1)利用线面平行的判定定理,易知DE∥BC,可证DE∥平面BCF.(2)可证得AF⊥CF ,利用勾股定理和已知数据CF⊥BF,利用线面垂直的判定定理可证CF ⊥平面ABF.(3)利用等积法,运算求得结果.答案:(1)在等边三角形ABC中,AD=AE,∴,在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立,∴DE∥BC.又∵DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,∴DE∥平面BCF.(2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AF⊥BC,即AF⊥CF ①,且. ∵在三棱锥A﹣BCF中,,∴BC2=BF2+CF2,∴CF⊥BF②.又∵BF∩AF=F,∴CF⊥平面ABF.(3)由(1)可知GE∥CF,结合(2)可得GE⊥平面DFG.∴=.19.(12分)已知等比数列{a n}的前n项和﹣a,数列{b n}(b n>0)的首项为b 1=a,且其前n项和S n满足S n+S n﹣1=1+2(n≥2,n∈N*)(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(Ⅱ)若数列的前n项和为P n.解析:(1)数列{a n}成等比数列,可得=,解得a=1,设数列{a n}的公比为q,则.由b n>0,得,数列构成一个首项为1,公差为1的等差数列,由此能求出数列{a n}和{b n}的通项公式.(2)=,利用裂项相消求和法能求出数列的前n项和为P n.答案:(1)根据已知条件知:=,有数列{a n}成等比数列,得,即=,解得a=1,设数列{a n}的公比为q,则,所以…(3分),其中n≥2,n∈N*,又b n>0,得,数列构成一个首项为1,公差为1的等差数列,所以,所以,当n≥2,n∈N*时,b1=1也适合这个公式,所以b n=2n﹣1(n∈N*)(6分)(2)由(1)知=,则P n==.…(12分)20.(13分)已知函数f(x)=mx﹣,g(x)=2lnx(1)当m=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当m=1时,证明方程f(x)=g(x)有且仅有一个实数根;(3)若x∈(1,e]时,不等式f(x)﹣g(x)<2恒成立,求实数m的取值范围.解析:(1)当m=2时,确定f(x),求导确定斜率,利用点斜式求出切线方程.(2)当m=1时,构造h(x)=f(x)-g(x),求出h'(x),判断在定义域上的单调性,判定的符号,根据根的存在性定理可得结论;(3)即恒成立,即m(x2﹣1)<2x+2xlnx恒成立,利用分离变量法,研究右侧的最值,讨论m的取值范围.答案:(1)m=2时,,,切点坐标为(1,0),∴切线方程为y=4x﹣4…(2分)(2)m=1时,令,,∴h(x)在(0,+∞)上为增函数.…(4分)又,∴y=h(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点∴在(0,+∞)内f(x)=g(x)有且仅有一个实数根…(6分)(或说明h(1)=0也可以)(3)恒成立,即m(x2﹣1)<2x+2xlnx恒成立,又x2﹣1>0,则当x∈(1,e]时,恒成立,令,只需m小于G(x)的最小值,,∵1<x≤e,∴lnx>0,∴当x∈(1,e]时G'(x)<0,∴G(x)在(1,e]上单调递减,∴G(x)在(1,e]的最小值为,则m的取值范围是. …(12分)21.(14分)椭圆C:=1(a>b>0)的离心率,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m﹣k为定值.解析:(1)根据离心率及a+b=3,结合条件a2=b2+c2列式求出a,b,确定椭圆方程.(2)需要求出P,M,N的坐标,利用两点求斜率m,代入整理出2m-k是定值.答案:(1)因为,所以,即a2=4b2,a=2b.又a+b=3,得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为;(2)因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为.联立,得(4k2+1)x2﹣16k2x+16k2﹣4=0.所以,.则.所以P().又直线AD的方程为.联立,解得M().由三点D(0,1),P(),N(x,0)共线,得,所以N().所以MN的斜率为=. 则.所以2m﹣k为定值.。

数学_2014年河南省普通高中高考数学模拟试卷(理科)(含答案)

数学_2014年河南省普通高中高考数学模拟试卷(理科)(含答案)

2014年河南省普通高中高考数学模拟试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 函数f(x)=2√1−x+lg(3x +1)的定义域是( )A (−13, +∞) B (−13, 1) C (−13, 13) D (−∞, −13) 2. 复数z =2i1−i ,则其共轭复数z ¯=( )A −1−iB −1+iC 1−iD 1+i3. 抛物线y =4x 2的焦点到准线的距离是( ) A 2 B 4 C 18D 144. 一个几何体的三视图如图所示,其俯视图为正三角形,则这个几何体的体积为( )A 12√3B 36√3C 27√3D 6 5. (√x +2x 2)n展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( )A 180B 90C 45D 3606. 设有算法如图所示,如果输入A =144,B =39,则输出的结果是( )A 144B 3C 0D 127. 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的一个可能的值是( ) A 52 B 12 C 2 D 32 8. 已知直线l 和双曲线x 29−y 24=1相交于A 、B 两点,线段AB 的中点为M (与坐标原点O 不重合),设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0),直线OM 的斜率为k 2,则k 1k 2=( ) A 23 B −23 C −49 D 499. 已知命题p:∃x ∈R ,lnx +x −2=0,命题q:∀x ∈R ,2x ≥x 2,则下列命题中为真命题的是( )A p ∧qB ¬p ∧qC p ∧¬qD ¬p ∧¬q 10. 对于下列命题:①在△ABC 中,若cos2A =cos2B ,则△ABC 为等腰三角形;②△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =2,b =5,A =π6,则△ABC 有两组解; ③设a =sin2014π3,b =cos2014π3,c =tan2014π3,则a <b <c ;④将函数y =2sin(3x +π6)的图象向左平移π6个单位,得到函数y =2cos(3x +π6)的图象. 其中正确命题的个数是( ) A 0 B 1 C 2 D 311. 四面体ABCD 中,已知AB =CD =√29,AC =BD =√34,AD =BC =√37,则四面体ABCD 的外接球的表面积为( ) A 25π B 45π C 50π D 100π12. 设f(x)={3−x ,x ≤0f(x −1),x >0 若f(x)=x +a 有且仅有三个解,则实数a 的取值范围是( )A [1, 2]B (−∞, 2)C [1, +∞)D (−∞, 1)二.填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13. 计算定积分:∫(π20x +sinx)dx =________.14. 已知实数x ,y 满足x 2+y 2−6x −8y +23<0(x >3),则z =x −y 的取值范围是________.15. 已知P 为三角形ABC 内部任一点(不包括边界),且满足(PB →−PA →)⋅ (PB →+PA →−2PC →)=0,则△ABC 的形状一定为________.16. 已知对应任意的自然数n ,抛物线y =(n 2+n)x 2−(2n +1)x +1与x 轴相交于A ,B 两点,则|A 1B 1|+|A 2B 2|+|A 3B 3|+...+|A 2014B 2014|=________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. 在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足cos 2A −cos 2B =cos(π6−A)cos(π6+A).(1)求角B 的值;(2)若b =1,且b <a ,求a +c 的取值范围.18. 某次围棋比赛的决赛阶段实行三番棋决定冠军归属(即三局两胜制,和棋判无效,加赛直至分出胜负).打入决赛的两名选手甲、乙平时进行过多次对弈,有记录的30局结果如下表:请根据表中的信息(用样本频率估计概率),回答下列问题:(I)如果比赛第一局由掷一枚硬币的方式决定谁先,试求第一局甲获胜的概率;(II)若第一局乙先,此后每局负者先,①求甲以二比一获胜的概率;②该次比赛设冠军奖金为40万元,亚军奖金为10万元,如果冠军“零封”对手(即2:0夺冠)则另加5万元.求甲队员参加此次决赛获得奖金数X的分布列和数学期望.19. 如图,四面体ABCD中,平面ABC⊥平面BCD,AC=AB,CB=DB.CD,∠DCB=120∘.点E在BD上,且DE=13(1)求证:AB⊥CE;(2)若AC=CE,求二面角A−CD−B的余弦值.20. 已知点F是椭圆C的右焦点,A,B是椭圆短轴的两个端点,且△ABF是正三角形,(Ⅰ)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)直线l与以AB为直径的圆O相切,并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2√3,求椭圆C的标准方程.ax3(a∈R),f(x)=g′(x)+(a−1)x21. 已知函数g(x)=xlnx−x−16(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;−(2)对于函数F(x)定义域内的两个自变量的值x1,x2(x1<x2),若F(x1)−F(x2)x1−x2F′(x1+x2)=0,则我们把有序数对(x1, x2)叫做函数F(x)的“零点对”.试问,函数f(x)是否2存在这样的“零点对”?如果存在,请你求出其中一个;如果不存在,请说明理由.四、请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清楚题号.选修4-1:【几何证明选讲】22. 如图,在⊙O的直径AB的延长线上任取一点C,过点C引直线与⊙O交于点D、E,在⊙O上再取一点F,使AÊ=AF̂.(1)求证:E、D、G、O四点共圆;(2)如果CB=OB,试求CB的值.CG【选修4-4;坐标系与参数方程】23. 在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴的正半轴为极轴)中,曲线C 的方程为sinθ=ρ2−2ρ.(1)判断直线l 与曲线C 公共点的个数,并说明理由; (2)当α=π4时,求直线l 与曲线C 公共点的坐标.【选修4-5:不等式选讲】 24. 已知函数f(x)=|32−x|.(1)求不等式f(x)≤52的解集;(2)如果存在x ∈[−2, 4],使不等式f(x)+f(x +2)≥m 成立,求实数m 的取值范围.2014年河南省普通高中高考数学模拟试卷(理科)答案1. B2. A3. C4. B5. A6. B7. D8. D9. C 10. D 11. C 12. B 13. π28+1 14. (−1−√2, 1) 15. 等腰三角形 16. 2014201517. 解:(1)由已知可得cos 2A −cos 2B =cos(π6−A)cos(π6+A).=(√32cosA +12sinA)(√32cosA −12sinA)=34cos 2A −14sin 2A ∴ cos 2B =cos 2A −34cos 2A +14sin 2A =14, ∴ cosB =12,B =π3;(2)由正弦定理可得asinA =csinC =bsinB =2√33, ∴ a =2√33sinA ,c =2√33sinC , ∴ a +c =2√33(sinA +sinC)=2√33[sinA +sin(2π3−A)]=2√33[sinA +√32cosA +12sinA]=2sin(A +π6),∵ B =π3,C =2π3−A <π2,∴ π6<A <π2,∴ π3<A +π6<2π3,∴ √32<sin(A +π6)≤1, ∴ √3<2sin(A +π6)≤2∴ a +c 的取值范围为(√3, 2]18. 解:(I)根据题中表格信息知:若甲先,则甲获作画的概率是23,乙获胜的概率是13, 若乙先,则甲获胜的概率是35,乙获胜的概率是25,∴ 第一局甲获胜的概率是p 1=12×23+12×35=1930.(II )①甲以二比一获胜,即甲胜第一、三局或甲胜第二、三局, 概率是P 2=35×25×23+25×23×35=825.②由题意知,X 的所有可能取值为10,40,45, P(X =40)=825, P(X =45)=35×35=925, P(X =10)=1−825−925=825,∴ X 的分布列为:EX =10×825+40×825+45×925=1615=32.2(万元).∴ 甲队员参加此次决赛获得奖金数的数学期望是32.2万元. 19. (1)证明:△DCB 中,CB =CD ,∠DCB =120∘,∴ ∠CDB =30∘,设DE =a ,∵ DE =13DB .∴ BD =3a ,解得CD =√3a ,在△CDE 中,由余弦定理,得:CE =√3a 2+a 2−2√3a 2⋅cos30∘=a , ∴ ∠DCE =30∘,∴ ∠BCE =90∘,∴ EC ⊥BC , ∵ 平面ABC ⊥平面BCD ,交线为BC ,∴ EC ⊥平面ABC ,∴ EC ⊥AB .(2)解:取BC 中点O ,BE 中点F ,连结OA ,OF , ∵ AC =AB ,∴ AO ⊥BC ,∵ 平面ABC ⊥平面BCD ,交线为BC , ∴ AO ⊥平面BCD ,∵ O 是BC 中点,F 是BE 中点,∴ OF // EC ,由①知,EC ⊥BC ,∴ OF ⊥BC , 以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系o −xyz , 设DE =2,得A(0, 0, 1),B(0, √3, 0), C(0, −√3, 0),D(3, −2√3, 0),∴ AC →=(0,−√3,−1),CD →=(3,−√3,0), 设平面ACD 的法向量n 1→=(1, √3, −3), 又平面BCD 的法向量n 2→=(0, 0, 1), ∴ cos <n 1→,n 2→>=−3√13=−3√1313, ∴ 二面角A −CD −B 的余弦值为3√1313. 20. (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),焦距为2c , ∵ △ABF 是正三角形,∴ a =2b ,b =12a , 又∵ a 2=b 2+c 2,∴ c =√32a , ∴ 椭圆的离心率e =ca =√32. (2)由(Ⅰ)知a =2b ,∴ 椭圆方程为x 2+4y 2=4b 2,设直线l 与椭圆C 的交点为M(x 1, y 1),N(x 2, y 2),若直线l 与x 轴垂直,则弦长|MN|=√3b ,当直线l 不垂直于x 轴时,设其方程为y =kx +m ,与x 2+4y 2=4b 2联立,整理,得:(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−b 2)=0,(∗) 则x 1,x 2是方程(∗)的两个根,∴ {x 1+x 2=−8km1+4k 2x 1x 2=4(m 2−b 2)1+4k2, ∴ |MN|2=(√1+k 2|x 1−x 2|)2=(1+k 2)[(−8km 1+4k2)2−4⋅4(m 2−b 2)1+4k 2]=16(1+k 2)(1+4k 2)2(b 2−m 2+4k 2b 2),① ∵ 直线l 与圆O 相切,∴ b =√1+k 2,解得m 2=b 2(1+k 2), 代入①得|MN|2=16b 2⋅3k 2(1+k 2)(1+4k 2)2≤16⋅(3k 2+1+k 22)2(1+4k 2)2⋅b 2=4b 2,当且仅当3k 2=1+k 2,k =±√22时,等号成立. ∴ 此时|MN|max =2b ,于是弦长|MN|的最大值为2b =2√3,∴ b =√3,a =2√3, ∴ 椭圆C 的方程为x 212+y 23=1.21. 解:(1)由已知得,f(x)=lnx −12ax 2+(a −1)x =lnx −x 2+x , ∴ f′(x)=1x −2x +1=1−2x 2+xx=−(x−1)(2x+1)x,令f′(x)>0,解得−12<x <1,函数的定义域为(0, +∞), ∴ 函数f(x)的单调递增区间是(0, 1).(2)∵ f(x)=lnx −12ax 2+(a −1)x ,∴ f′(x)=1x −ax +(a −1), ∴ f′(x 1+x 22)=1x 1+x 22−a(x 1+x 22)+(a −1),令M =f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2−f′(x 1+x 22)=[lnx 1−12ax 12+(a −1)x 1]−[lnx 2−12ax 22+(a −1)x 2]x 1−x 2−[1x 1+x 22−a(x 1+x 22)+(a−1)] =lnx 1−lnx 2x 1−x 2−2x1+x 2,由M =0,得lnx 1−lnx 2x 1−x 2=2x1+x 2,即ln x 2x 1=2(x 2−x 1)x 2+x 1=2(x 2x 1−1)x 2x 1+1,设x2x 1=t(t >1),上式化为:lnt =2(t−1)t+1=2−4t+1,即lnt +4t+1=2,令ℎ(t)=lnt +4t+1−2,ℎ′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2,∵ t >1,显然ℎ′(t)>0, ∴ ℎ(t)在(1, +∞)上递增,∵ ℎ(1)=0,显然ℎ(t)>0恒成立,∴ 在(1, +∞)内部存在t ,使得ℎ(t)=0成立,即不存在这样的x 1,x 2,使M =0, ∴ 函数f(x)不存在这样的“零点对”.22. (1)证明:∵ ∠EDF 的度数等于EAF̂的度数的一半,而AE ̂=AF ̂, ∴ ∠EDF 的度数等于AÊ的度数. ∵ ∠AOF 的度数等于AÊ的度数, ∴ ∠EDF =∠AOE , ∵ ∠COE 与∠AOE 互补, ∴ ∠COE 与∠EDF 互补, ∴ E 、D 、G 、O 四点共圆;(2)解:由(1)知E 、D 、G 、O 四点共圆, ∴ CE ⋅CD =CO ⋅CG , ∵ CE ⋅CD =CA ⋅CB , ∴ CA ⋅CB =CO ⋅CG , ∵ CB =OB , ∴CB CG=CO CA=23.23. 解:(1)直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数),消去参数t 可得(x −1)sinα−ycosα=0过定点A(1, 0);曲线C 的方程为sinθ=ρ2−2ρ的直角坐标方程为x 2+(y −1)2=5,圆心坐标为C(0, 1),半径为r =√5, ∴ A 在圆C 内,∴ 直线l 与曲线C 有两个不同的公共点;(2)当α=π4时,直线l 的普通方程为x −y −1=0代入x 2+(y −1)2=5,得2x 2−4x −1=0, ∴ x =1±√62, ∴ 直线l 与曲线C 公共点的坐标为(1−√62, −√62),(1+√62, √62). 24. 解:(1)不等式f(x)≤52,即|x −32|≤52,即−52≤x −32≤52,求得−1≤x ≤4, 故不等式的解集为[−1, 4].(2)令g(x)=f(x)+f(x +2)=|x −32|+|x +12|={1−2x,x ≤−122,−12<x ≤322x −1,x >32.由题意可得g(x)在[−2, 4]上的最大值大于或等于m . 当x ∈[−2, −12]时,g(x)为减函数,故g(x)≤g(−2)=5.4]时,g(x)的最大值为g(4)=7,故g(x)在∈[−2, 4]上的最大值为7,由题意可当x∈[−12得m≤7,即m的范围是(−∞, 7].。

数学_2014年浙江省高考数学四模试卷(提优卷)(理科)(含答案)

数学_2014年浙江省高考数学四模试卷(提优卷)(理科)(含答案)

2014年浙江省高考数学四模试卷(提优卷)(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合P ={3, 4, 5, 6},Q ={5, 7},下列结论成立的是( ) A Q ⊆P B P ∪Q =P C P ∩Q =Q D P ∩Q ={5}2. 已知i 是虚数单位,若复数z 满足(z −i)(3−i)=10,则|z|=( ) A √5 B √6 C √10 D √133. “α=π4+2kπ(k ∈Z)”是“cos2α=0”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不是充分条件也不是必要条件4. 已知两条直线a ,b ,两个平面α,β.给出下面四个命题: ①a // b ,a // α⇒b // α; ②a ⊂α,b ⊥β,α // β⇒a ⊥b ; ③a ⊥α,a // b ,b // β⇒α // β; ④α // β,a // b ,a ⊥α⇒b ⊥β. 其中正确的命题序号为( )A ①②B ②③C ①④D ②④5. 如果执行如图的程序框图,若输出的s =55,则k =( )A 8B 9C 10D 9或106. 设F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点.若双曲线上存在点M ,使∠F 1MF 2=60∘,且|MF 1|=2|MF 2|,则双曲线离心率为( )A √2B √3C 2D √57. 现有3位男生和3位女生排成一行,若要求任何两位男生和任何两位女生均不能相邻,且男生甲和女生乙必须相邻,则这样的排法总数是( ) A 20 B 40 C 60 D 808. △ABC 中,A ,B 为锐角,a ,b ,c 为其三边长,如果asinA +bsinB =c ,则∠C 的大小为( )A 30∘B 45∘C 60∘D 90∘9. 已知正三角形ABC 的顶点A(√3, 1),B(3√3, 1),顶点C 在第一象限,若点M(x, y)在△ABC 的内部或边界,则z =OA →⋅OM →取最大值时,3x 2+y 2有( ) A 定值52 B 定值82 C 最小值52 D 最小值5010. 定义函数f(x)={4−8|x −32|,1≤x ≤2,12f (x 2),x >2,则函数g(x)=xf(x)−6在区间[1, 2n ](n ∈N ∗)内的所有零点的和为( ) A n B 2n C 34(2n −1) D 32(2n −1)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分. 11. (x √x)8展开式中x 5的系数为________. 12. 已知某三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球的半径为________.13. 已知向量a →,b →满足|2a →+3b →|=1,则a →⋅b →最大值为________.14. 设点A ,B 分别在直线3x −y +5=0和3x −y −13=0上运动,线段AB 的中点M 恒在圆x 2+y 2=8内,则点M 的横坐标的取值范围为________.15. 已知f(x)=sinx +acosx ,且f(π3)=0,则当x ∈[−π, 0)时,f(x)的单调递减区间是________.16. 设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ,A 为抛物线上一点,AK ⊥l ,K 为垂足,如果直线KF 的斜率为−1,则△AKF 的面积为________.17. 已知f(x)是二次函数,关于x 的方程mf 2(x)+nf(x)+p =0(m ,n ,p 都是实数)有四个不同的实数根,且它们从小到大的顺序为:x 1<x 2<x 3<x 4,则x 1−x 2−x 3+x 4的值为________.三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 设数列{a n }的前n 项的和为S n .已知a 1=6,a n+1=3S n +5n ,n ∈N ∗. (1)设b n =S n −5n ,求数列{b n }的通项公式;(2)数列{b n }中是否存在不同的三项,它们构成等差数列?若存在,请求出所有满足条件的三项;若不存在,请说明理由.19. 在某次娱乐游戏中,主持人拿出甲、乙两个口袋,这两个口袋中各装有大小、形状完全相同,但颜色不同的10个小球,其中甲口袋中装有8个红球,2个白球,乙口袋中装有9个黄球,1个黑球.现进行摸球游戏,主持人宣布游戏规则:从甲口袋中摸一个球,如果摸出的是红球,记4分,如果摸出的是白球,则记−1分;从乙口袋中摸一个球,如果摸出的是黄球,记6分,如果摸出的是黑球,则记−2分.(1)如果每次从甲口袋中摸出一个球,记下颜色后再放回,求连续从甲口袋中摸出4个球所得总分(4次得分的总和)不少于10分的概率;(2)设X(单位:分)为分别从甲、乙口袋中各摸一个球所可获得的总分,求X的数学期望.20. 在四棱锥P−ABCD中,AD // BC,∠ABC=∠APB=90∘,点M是线段AB上的一点,且PM⊥CD,AB=BC=2PB=2AD=4BM.(1)证明:面PAB⊥面ABCD;(2)求平面PAB与平面PCD的二面角的正弦值.21. 已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为单位圆C2:x2+y2=1的直径,且椭圆的离心率为√63.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆短轴的上顶点B1作直线分别与单位圆C2和椭圆C1交于A,B两点(A,B两点均在y轴的右侧),设B2为椭圆的短轴的下顶点,求∠AB2B的最大值.22. 已知函数f(x)=x3−3x2+bx+c在x=1处的切线是y=(3a−3)x−3a+4.(1)试用a表示b和c;(2)求函数f(x)≥−32在[1, 3]上恒成立,求实数a的取值范围.2014年浙江省高考数学四模试卷(提优卷)(理科)答案1. D2. D3. A4. D5. B6. B7. B8. D9. C10. D11. 2812. 113. 12414. [25, 2]15. [−π, −π6]16. 217. 018. 解:因为a n+1=S n+1−S n,且a n+1=3S n+5n,所以S n+1=4S n+5n,…把S n=b n+5n代入得b n+1=4b n,…所以数列{b n}是首项为b1=S1−5=1,公比为4的等比数列,所以b n=4n−1.…(2)假设数列{b n}中存在任意三项a i,a j,a k成等差数列.…不妨设i>j>k≥1,由于数列{b n}单调递增,所以2a j=a i+a k,所以2⋅4j−1=4i−1+ 4k−1,…因此2⋅4i−k=4j−k+1,此时左边为偶数,右边为奇数,不可能成立,…所以数列{b n}中不存在不同的三项,它们构成等差数列.…19. 解:(1)设连续从甲口袋中摸出的4个球中,红球有x个,则白球有4−x个,由题设可得4x−(4−x)≥10,解得x≥145,…由x∈N,得x=3或x=4,所以所求的概率为P=C43×0.83×0.2+0.84=0.8192.…(2)由题意知X可能取值分别为X=10,5,2,−3,…且由每次摸球的独立性,可得:P(X=10)=0.8×0.9=0.72,P(X=5)=0.2×0.9= 0.18,P(X=2)=0.8×0.1=0.08,P(X=−3)=0.2×0.1=0.02,…由此得X的数学期望为:EX=10×0.72+5×0.18+2×0.08+(−3)×0.02=8.2.…20. (1)证明:∵ AB=2PB=4BM,∴ PM⊥AB,又∵ PM⊥CD,且AB∩CD,∴ PM⊥面ABCD.∵ PM⊂面PAB,∴ 面PAB⊥面ABCD;(2)解:由(1)知:面ABCD⊥面PAB,延长BA与CD交于一点H,作AN⊥PH,连接ND,则∠AND就是平面PAB与平面PCD的二面角的平面角,令AB=BC=2PB=2AD=4BM=4t,∵ADBC =AHBH,解得AH=4t.又AM =3t ,PM =√3t ,PH =2√13t ,△HNA ∼△HMP , ∴AN PM=AH PH,∴ AN =2√3913t ,DN =8√1313, ∴ sin∠AND =√134, ∴ 平面PAB 与平面PCD 的二面角的正弦值是√134. 21. 解:(1)由题意知b =1,又e =ca =√a 2−1a=√63,解得a 2=3,所以椭圆的方程为x 23+y 2=1.…(2)由(1)得B 1(0, 1),B 2(0, −1),设过椭圆的短轴的上顶点B 1的直线的方程为y =kx +1,由于B 1B 2为圆的直径,所以直线B 2A 的斜率k 1=−1k .把y =kx +1代入C 1得B(−6k1+3k 2,1−3k 21+3k 2), 由题意易知k <0,且直线B 2B 的斜率为k 2=1−3k 21+3k 2+1−6k 1+3k 2=−13k,所以k 1,k 2>0,且k 1=3k 2,…又在△B 2AB 是直角三角形,所以∠AB 2B 必为锐角. 因为B 2A →与B 2B →的方向向量分别为(1, k 1),(1, k 2),所以B 2A →⋅B 2B →=(1,k 1)⋅(1,k 2)=1+3k 22,又B 2A →⋅B 2B →=√1+k 12⋅√1+k 22cos∠AB 2B ,从而cos∠AB 2B =1+3k 22⋅…=√1−4k 221+10k 22+9k 24=√1−41k 22+9k 22+10≥√32, 当且仅当k 2=√33时,cos∠AB 2B 取得最小值√32, 由∠AB 2B 为锐角得∠AB 2B 的最大值为π6.…22. 解:(1)∵ 为f ′(x)=3x 2−6x +b ,∴ f ′(1)=−3+b =3a −3,f(1)=b +c −2=1, 即有b =3a ,c =−3a +3.(2)由(1)可知f(x)=x 3−3x 2+3ax −3a +3, x 3−3x 2+3ax −3a +3≥−32, 3ax −3a ≥−x 3+3x 2−92,3a(x −1)≥−x 3+3x 2−92,当x =1时,成立,a ∈R , 当x ≠1时,3a ≥−x 3+3x 2−92x−1,令t =x −1,3a ≥−t 3+3t−52t=−t 2+3−52t令g(t)=−t 2+3−52t ,(0<t ≤2), ∴ 以g′(t)=−2t +52t 2=−2t 3+52t 2,g′(t)>0⇒t <(54)13,g′(t)<0⇒t >(54)13,g(t)max =g((54)13)=3−3(54)23,3a ≥3−3(54)23, 故a ≥1−(54)23。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.能画出y =sin x ,y =cos x ,y =tan x 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫-π2,π2内的单调性. 【热点题型】题型一 三角函数的定义域、值域【例1】 (1)函数y =1tan x -1的定义域为____________.(2)函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6-π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A .2- 3 B .0 C .-1 D .-1-3解析 (1)要使函数有意义,必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x -1≠0,x ≠π2+kπ,k ∈Z ,即⎩⎨⎧x ≠π4+kπ,k ∈Z ,x ≠π2+kπ,k ∈Z.故函数的定义域为{x|x≠π4+kπ且x≠π2+kπ,k ∈Z}. (2)∵0≤x≤9,∴-π3≤π6x -π3≤7π6, ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,1.∴y ∈[]-3,2,∴ymax +ymin =2- 3. 答案 (1){x|x≠π4+kπ且x≠π2+kπ,k ∈Z} (2)A 【提分秘籍】(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型:①形如y =asin x +bcos x +c 的三角函数化为y =Asin(ωx +φ)+k 的形式,再求最值(值域);②形如y =asin2x +bsin x +c 的三角函数,可先设sin x =t ,化为关于t 的二次函数求值域(最值);③形如y =asin xcos x +b(sin x±cos x)+c 的三角函数,可先设t =sinx±cos x ,化为关于t 的二次函数求值域(最值).【举一反三】(1)函数y =sin x -cos x 的定义域为________. (2)函数y =sin x -cos x +sin xcos x 的值域为________.解析 (1)法一 要使函数有意义,必须使sinx -co s x≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y =sin x 和y =cos x 的图象,如图所示.在[0,2π]内,满足sin x =cos x 的x 为π4,5π4,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k ∈Z . 法二 利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).∴定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k ∈Z .法三 sin x -cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4≥0,将x -π4视为一个整体,由正弦函数y =sin x 的图象和性质可知2kπ≤x -π4≤π+2kπ,k ∈Z ,解得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k ∈Z.所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k ∈Z . (2)设t =sin x -cos x ,则t2=sin2x +cos2x - 2sin xcos x ,sin xcos x =1-t22,且-2≤t≤ 2.∴y =-t22+t +12=-12(t -1)2+1.当t =1时,ymax =1;当t =-2时,ymin =-12- 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤-12-2,1. 答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k ∈Z(2)⎣⎡⎦⎤-12-2,1 题型二三角函数的奇偶性、周期性、对称性【例2】 (1)已知ω>0,0<φ<π,直线x =π4和x =5π4是函数f(x)=sin(ωx +φ)的图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )A.π4B.π3C.π2D.3π4(2)函数y =2cos2⎝⎛⎭⎫x -π4-1是( )A .最小正周期为π的奇函数B .最小正周期为π的偶函数C .最小正周期为π2的奇函数 D .最小正周期为π2的偶函数【提分秘籍】(1)求f(x)=Asin(ωx +φ)(ω≠0)的对称轴,只需令ωx +φ=π2+kπ(k ∈Z),求x ;求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx +φ=kπ(k ∈Z)即可.(2)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y =Asin(ωx +φ)或y =Acos( ωx +φ)的形式,则最小正周期为T =2π|ω|;奇偶性的判断关键是解析式是否为y =Asin ωx 或y =Acos ωx +b 的形式.【举一反三】(1)如果函数y =3cos(2x +φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3,0中心对称,那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2(2)(·杭州模拟)若函数f(x)=sin x +φ3(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3题型三 三角函数的单调性【例3】 (1)已知f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4,x ∈[0,π],则f(x)的单调递增区间为________.(2)已知ω>0,函数f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π4在⎝⎛⎭⎫π2,π上单调递减,则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12,54 B.⎣⎡⎦⎤12,34C.⎝⎛⎦⎤0,12 D .(0,2] 解析 (1)由-π2+2kπ≤x +π4≤π2+2kπ,k ∈Z , 得-3π4+2kπ≤x≤π4+2kπ,k ∈Z.又x ∈[0,π],所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0,π4.(2)由π2<x <π得π2ω+π4<ωx +π4<πω+π4,由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω+π4,πω+π4⊆⎣⎡⎦⎤π2,3π2,∴⎩⎨⎧π2ω+π4≥π2,πω+π4≤3π2,∴12≤ω≤54,故选A.答案 (1)⎣⎡⎦⎤0,π4 (2)A【提分秘籍】(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成y =Asin(ωx +φ)形式,再求y =Asin(ωx +φ)的单调区间,只需把ωx +φ看作一个整体代入y =sin x 的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解,另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【举一反三】(1)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0,π3上单调递增,在区间⎣⎡⎦⎤π3,π2上单调递减,则ω等于( )A.23B.32 C .2 D .3(2)函数f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫-2x +π3的单调减区间为______.(2)由已知函数为y =-sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3,欲求函数的单调减区间,只需求y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3的单调增区间. 由2kπ-π2≤2x -π3≤2kπ+π2,k ∈Z , 得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k ∈Z.故所给函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤kπ-π12,kπ+5π12(k ∈Z). 答案 (1)B (2)⎣⎡⎦⎤kπ-π12,kπ+5π12(k ∈Z)【高考风向标】【高考浙江,文11】函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是,最小值是.【答案】32,2π- 【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+ 23sin(2)242x π=-+,所以22T ππ==;min 32()22f x =-. 【高考陕西,文14】如图,某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y =3sin(6πx +Φ)+k ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为____________.【答案】8【解析】由图像得,当sin()16x π+Φ=-时min 2y =,求得5k =,当sin()16x π+Φ=时,max 3158y =⨯+=,故答案为8.【高考湖南,文15】已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中,距离最短的两个交点的距离为3ω =_____.【答案】2πω=【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为12211154242k k k k Z ππππωω+++-∈((,),((,),,, 距离最短的两个交点一定在同一个周期内,()2222152322442πππωω∴=-+--∴=()(),. 【高考天津,文14】已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为.【答案】π【高考福建,文21】已知函数()2103cos 10cos 222x x x f x =+. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度,再向下平移a (0a >)个单位长度后得到函数()g x 的图象,且函数()g x 的最大值为2.(ⅰ)求函数()g x 的解析式;(ⅱ)证明:存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得()00g x >. 【答案】(Ⅰ)2π;(Ⅱ)(ⅰ)()10sin 8g x x =-;(ⅱ)详见解析. 【解析】(I )因为()2103cos 10cos 222x x x f x =+ 535cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.所以函数()f x 的最小正周期2πT =. (II )(i )将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象,再向下平移a (0a >)个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象.又已知函数()g x 的最大值为2,所以1052a +-=,解得13a =.所以()10sin 8g x x =-.【高考重庆,文18】已知函数f(x)=1232cos x . (Ⅰ)求f (x )的最小周期和最小值,(Ⅱ)将函数f (x )的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g (x )的图像.当x ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,求g(x)的值域. 【答案】(Ⅰ)()f x 的最小正周期为,最小值为2+3,(Ⅱ)1323,]. 【解析】 (1) 2113()sin 23cos sin 2(1cos 2)22f x x xx x 1333sin 2cos 2sin(2)232x x x, 因此()f x 的最小正周期为,最小值为2+32. (2)由条件可知:3g()sin()32x x.当[,]2x时,有2[,]363x , 从而sin()3x的值域为1[,1]2, 那么3sin()32x的值域为1323[,]22. 故g()x 在区间[,]2上的值域是1323,].(·安徽卷) 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且b =3,c =1,△ABC 的面积为2.求cos A 与a 的值.【解析】 由三角形面积公式,得 12×3×1·sin A =2,故sin A =2 23. 因为sin2A +cos2A =1, 所以cos A =±1-sin2A =±1-89=±13.①当cos A =13时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A =32+12-2×1×3×13=8, 所以a =2 2.②当cos A =-13时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A =32+12-2×1×3×⎝⎛⎭⎫-13=12,所以a =2 3.(·福建卷) 将函数y =sin x 的图像向左平移π2个单位,得到函数y =f(x)的图像,则下列说法正确的是( )A .y =f(x)是奇函数B .y =f(x)的周期为πC .y =f(x)的图像关于直线x =π2对称 D .y =f(x)的图像关于点⎝⎛⎭⎫-π2,0对称 【答案】D【解析】将函数y =sin x 的图像向左平移π2个单位后,得到函数y =f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫x +π2的图像,即f(x)=cos x .由余弦函数的图像与性质知,f(x)是偶函数,其最小正周期为2π,且图像关于直线x =kπ(k ∈Z)对称,关于点⎝⎛⎭⎫π2+kπ,0(k ∈Z)对称,故选D.图1-2(·江苏卷) 已知函数y =cos x 与y =sin(2x +φ)(0≤φ<π),它们的图像有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是________.【答案】π6(·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y =cos|2x|,②y =|cos x|,③y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6,④y =tan ⎝⎛⎭⎫2x -π4中,最小正周期为π的所有函数为( )A .①②③B .①③④C .②④D .①③ 【答案】A【解析】函数y =cos|2x|=cos 2x ,其最小正周期为π,①正确;将函数y =cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变,位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方,即可得到y =|cos x|的图像,所以其最小天正周期也为π,②正确;函数y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6的最小正周期为π,③正确;函数y =tan ⎝⎛⎭⎫2x -π4的最小正周期为π2,④不正确.(·江苏卷) 函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4的最小正周期为________. 【答案】π 【解析】周期为T =2π2=π.(·辽宁卷) 设向量a =(3sin x ,sin x),b =(cos x ,sin x),x ∈0,π2. (1)若|a|=|b|,求x 的值;(2)设函数f(x)=a·b ,求f(x)的最大值.(·山东卷) 函数y =xcos x +sin x 的图像大致为( )图1-3 【答案】D【解析】∵f(-x)=-xcos(-x)+sin(-x)=-(xcos x +sin x )=-f(x),∴y =xcos x +sin x 为奇函数,图像关于原点对称,排除选项B ,当x =π2,y =1>0,x =π,y =-π<0,故选D.(·新课标全国卷Ⅰ] 设当x =θ时,函数f(x)=sin x -2cos x 取得最大值,则cos θ=________. 【答案】-2 55【解析】f(x)=sin x -2cos x = 5⎝⎛⎭⎪⎫15sin x -25cos x ,令cos α=15,sin α=25, 则f(x)=5sin(x -α).当θ-α=2kπ+π2, 即θ=2kπ+π2+α(上述k 为整数)时,f(x)取得最大值,此时 cos θ=-sin α=-2 55. 【高考押题】1.函数f(x)=tan ⎝⎛⎭⎫2x -π3的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤kπ2-π12,kπ2+5π12(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎫kπ2-π12,kπ2+5π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤kπ-π12,kπ+5π12(k ∈Z) D.⎝⎛⎭⎫kπ+π6,kπ+2π3(k ∈Z)2.在函数①y =cos|2x|,②y =|cos x|,③y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6,④y =tan ⎝⎛⎭⎫2x -π4中,最小正周期为π的所有函数为( )A .①②③B .①③④C .②④D .①③解析 ①y =cos|2x|=cos 2x ,最小正周期为π; ②由图象知y =|cos x|的最小正周期为π; ③y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6的最小正周期T =2π2=π;④y =tan ⎝⎛⎭⎫2x -π4的最小正周期T =π2,因此选A.答案 A3.已知函数f(x)=cos23x -12,则f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ( ) A.2π3B.π3C.π6D.π12解析 因为f(x)=1+cos 6x 2-12=12cos 6x ,所以最小正周期T =2π6=π3,相邻两条对称轴之间的距离为T2=π6,故选C.答案 C4.已知函数f(x)=sin(x +θ)+3cos(x +θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤-π2,π2是偶函数,则θ的值为 ( )A .0B.π6C.π4D.π3解析 据已知可得f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎫x +θ+π3,若函数为偶函数,则必有θ+π3=kπ+π2(k ∈Z),又由于θ∈⎣⎡⎦⎤-π2,π2,故有θ+π3=π2,解得θ=π6,经代入检验符合题意.答案 B5.关于函数y =tan ⎝⎛⎭⎫2x -π3,下列说法正确的是( )A .是奇函数B .在区间⎝⎛⎭⎫0,π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6,0为其图象的一个对称中心 D .最小正周期为π6.函数y =cos ⎝⎛⎭⎫π4-2x 的单调减区间为________.解析 由y =cos ⎝⎛⎭⎫π4-2x =cos ⎝⎛⎭⎫2x -π4得2kπ≤2x -π4≤2kπ+π(k ∈Z), 故kπ+π8≤x≤kπ+5π8(k ∈Z).所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤kπ+π8,kπ+5π8(k ∈Z).答案 ⎣⎡⎦⎤kπ+π8,kπ+5π8(k ∈Z)7.函数y =lg(sin x)+cos x -12的定义域为________.解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0,cos x -12≥0, 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0,cos x ≥12,解得⎩⎪⎨⎪⎧2kπ<x <π+2kπ(k ∈Z ),-π3+2kπ≤x≤π3+2kπ(k ∈Z ), ∴2kπ<x≤π3+2kπ(k ∈Z),∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2kπ<x ≤π3+2kπ,(k ∈Z ).答案 ⎝⎛⎦⎤2kπ,π3+2kπ(k ∈Z)8.函数y =sin2x +sin x -1的值域为________. 解析y =sin2x +sin x -1,令t =sin x ,t ∈[-1,1],则有y =t2+t -1=⎝⎛⎭⎫t +122-54,画出函数图象如图所示,从图象可以看出,当t =-12及t =1时,函数取最值,代入y =t2+t -1,可得y ∈⎣⎡⎦⎤-54,1. 答案 ⎣⎡⎦⎤-54,1 9.已知函数f(x)=6cos4x +5sin2x -4cos 2x ,求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域. 解 由cos 2x≠0得2x≠kπ+π2,k ∈Z , 解得x≠kπ2+π4,k ∈Z ,所以f(x)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ∈R ,且x ≠kπ2+π4,k ∈Z .因为f(x)的定义域关于原点对称, 且f(-x)=6cos4(-x )+5sin2(-x )-4cos (-2x )=6cos4x +5sin2x -4cos 2x=f(x). 所以f(x)是偶函数, 当x≠kπ2+π4,k ∈Z 时,f(x)=6cos4x +5sin2x -4cos 2x =6cos4x +5-5cos2x -42cos2x -1 =(2cos2x -1)(3cos2x -1)2cos2x -1=3cos2x -1.所以f(x)的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|-1≤y <12,或12<y≤2.10.已知函数f(x)=cos x·sin ⎝⎛⎭⎫x +π3-3cos2x +34,x ∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值和最小值.高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.综合考查函数的性质;2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题;3.考查函数的最值. 【重点知识梳理】1.几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x)=ax +b (a 、b 为常数,a≠0) 反比例函数模型f(x)=kx +b (k ,b 为常数且k ≠0) 二次函数模型f(x)=ax2+bx +c(a ,b ,c 为常数,a≠0)指数函数模型f(x)=bax +c(a ,b ,c 为常数,b≠0,a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)=blogax +c(a ,b ,c 为常数,b≠0,a>0且a≠1) 幂函数模型f(x)=axn +b (a ,b 为常数,a≠0)(2)三种函数模型的性质函数性质 y =ax(a>1) y =logax(a>1)y =xn(n>0)在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增单调递增增长速度越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax2.(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:[难点正本 疑点清源]1.要注意实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 2.解决实际应用问题的一般步骤(1)审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的数量关系,把握其中的数学本质. (2)建模:由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将实际问题转化为数学问题. (3)解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题. (4)还原:回到题目本身,检验结果的实际意义,给出结论. 【高频考点突破】 考点一 二次函数模型例1、某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y =x25-48x +8 000,已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本;(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?【探究提高】二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给定区间的关系:若对称轴在给定的区间内,可在对称轴处取最值,在离对称轴较远的端点处取另一最值;若对称轴不在给定的区间内,最值都在区间的端点处取得.【变式探究】某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2 (0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 () A.100台 B.120台 C.150台 D.180台【答案】C考点二指数函数模型例2、诺贝尔奖发放方式为每年一发,把奖金总额平均分成6份,奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息作基金总额,以便保证奖金数逐年增加.假设基金平均年利率为r=6.24%.资料显示:1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19 800万美元.设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推).(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由.(参考数据:1.031 29=1.32)【探究提高】此类增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长率,x 为时间)和幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数,x为增长率,n为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解.【变式探究】已知某物体的温度θ(单位:摄氏度)随时间t(单位:分钟)的变化规律:θ=m·2t+21-t(t≥0,并且m>0).(1)如果m=2,求经过多少时间,物体的温度为5摄氏度;(2)若物体的温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围.考点三分段函数模型例3、为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,国家将给予补偿.(1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?【探究提高】本题的难点是函数模型是一个分段函数,由于月处理量在不同范围内,处理的成本对应的函数解析式也不同,故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值,然后将这些区间内的最值进行比较确定最值.【变式探究】根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧cx ,x<A ,cA ,x≥A(A ,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是( )A .75,25B .75,16C .60,25D .60,16 【答案】D【真题感悟】【高考上海,文21】(本小题14分)本题共2小题,第1小题6分,第2小题8分.如图,C B A ,,三地有直道相通,5=AB 千米,3=AC 千米,4=BC 千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地,经过t 小时,他们之间的距离为)(t f (单位:千米).甲的路线是AB ,速度为5千米/小时,乙的路线是ACB ,速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地.(1)求1t 与)(1t f 的值;(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11≤≤t t 时,求)(t f 的表达式,并判断)(t f 在]1,[1t 上得最大值是否超过3?说明理由.【答案】(1)h 83,8413千米;(2)超过了3千米.【高考四川,文8】某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系kx be=为自然对数的底数,,k b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃y e+=( 2.718...的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是( )(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时【答案】C(·北京卷)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),图1-2记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()图1-2A.3.50分钟 B.3.75分钟C.4.00分钟 D.4.25分钟【答案】B(·陕西卷)如图1-2所示,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )图1-2A .y =12x3-12x 2-x B .y =12x3+12x2-3x C .y =14x3-x D .y =14x3+12x2-2x 【答案】A【押题专练】1.有一批材料可以围成200 m 长的围墙,现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图),且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形,则围成的矩形场地的最大面积为 ( )A .1 000 m2B .2 000 m2C .2 500 m2D .3 000 m2 【答案】C2.里氏震级M 的计算公式:M =lg A -lg A0,其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.( )A .6 1 000B .4 1 000C .6 10 000D .4 10 000 【答案】C3.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租20元,B 种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图,当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差( )A .10元B .20元C .30元 D.403元 【答案】A4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x ∈N*)为二次函数关系(如右图所示),则每辆客车营运多少年时,其营运的平均利润最大 ( )A .3B .4C .5D .6 【答案】C5.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得最大利润为 () A.45.606万元 B.45.6万元C.45.56万元 D.45.51万元【答案】B6.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x、y应为 ()A.x=15,y=12 B.x=12,y=15C.x=14,y=10 D.x=10,y=14【答案】A7.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是()【答案】A8.如图,书的一页的面积为600 cm2,设计要求书面上方空出2 cm的边,下、左、右方都空出1 cm的边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的长、宽应分别为____________.【答案】30 cm、20 cm9.某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了________ km.【答案】910.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k=________,经过5小时,1个病毒能繁殖为________个.【答案】2ln 2 1 02411.某商人购货,进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润,则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为______________.【答案】y =a4x (x ∈N*)12.某医院为了提高服务质量,对挂号处的排队人数进行了调查,发现:当还未开始挂号时,有N 个人已经在排队等候挂号;开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M 人.假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人,当开放一个窗口时,40分钟后恰好不会出现排队现象;若同时开放两个窗口时,则15分钟后恰好不会出现排队现象.根据以上信息,若要求8分钟后不出现排队现象,则需要同时开放的窗口至少应有________个.【答案】413.某种出口产品的关税税率为t ,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p =2(1-kt)(x -b)2,其中k ,b 均为常数.当关税税率t =75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.(1)试确定k ,b 的值;(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x 近似满足关系式:q =2-x ,当p =q 时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.14.如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b (a>b).在AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x,当x为何值时,四边形EFGH的面积最大?求出这个最大面积.15.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时)高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一.基础题组1.(重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1)若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直,那么a 的值等于( )A .1B .13-C .23-D .2- 2.(文昌中学高三模拟考试、文、15)圆心在直线x -2y =0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为23,则圆C 的标准方程为________________.3.(重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15)在平面直角坐标系xOy 中,以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.4.(重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16)若实数c b a ,,成等差数列,点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ,点)3,0(N ,则线段MN 长度的最小值是.二.能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点(1,2)处的切线为l ,则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是( )A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14)已知圆的方程为()2214x y +-=。

相关文档
最新文档