线面垂直的判定定理的证明过程
如何证明线面垂直的判定定理
如何证明线面垂直的判定定理在几何学中，线面垂直的判定定理是一条重要的定理，它用于判断一条直线和一个平面是否垂直。
本文将介绍如何证明线面垂直的判定定理，并详细解释其原理和应用。
我们来看一下线面垂直的定义：如果一条直线与一个平面相交，且这条直线上存在一点到该平面上的所有点的距离都相等，那么这条直线与该平面垂直。
为了证明线面垂直的判定定理，我们需要引入一些几何学中的基本概念和定理。
我们需要了解点、直线和平面的定义。
在几何学中，点是没有长度、宽度和高度的，它只有位置。
直线是由无数个点组成的，它没有宽度和高度，只有长度。
平面是由无数个点和直线组成的，它没有厚度，只有长度和宽度。
我们需要了解距离的定义。
在几何学中，距离是两个点之间的长度。
对于一条直线和一个平面，我们可以根据点到直线或点到平面的距离来判断是否垂直。
接下来，我们来证明线面垂直的判定定理。
假设有一条直线l和一个平面P，我们需要证明l与P垂直。
我们任取直线l上的一点A和平面P上的一点B。
然后，我们在平面P上任取一个点C，使得AC与直线l重合。
根据线面垂直的定义，我们需要证明AB与平面P上的所有点的距离都相等。
为了证明这一点，我们可以假设AB与平面P上的另一点D的距离不相等，即AD ≠ BD。
根据三角不等式，我们知道AD + DB > AB。
但根据直线l上的点到平面P上的点的距离相等的条件，AD = BD，所以AD + DB = 2AD = AB。
由于AD ≠ BD，所以AD + DB ≠ AB，与三角不等式矛盾。
因此，假设不成立，即AB与平面P上的所有点的距离都相等。
我们可以得出结论：一条直线与一个平面垂直的条件是，这条直线上存在一点到该平面上的所有点的距离都相等。
线面垂直的判定定理在几何学中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们经常需要判断墙面与地面是否垂直，以确保建筑物的结构稳定。
在机械制造中，我们需要判断轴与底座是否垂直，以确保设备的正常运转。
线面垂直判定定理
通过观察，我们容易发现，当且 仅当AD⊥BC，AD所在直线与桌面 所在平面垂直，而翻折之后垂直 关系不变，即AD⊥CD， AD⊥B[1]D
因此我们可以猜想： 若一条直线与平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ？这个结论是否正确
平面内两个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂 直
线面垂直判定定理：
“空间问题转化为平面问题” “线面垂直转化为线线垂直” “无限转化为有限”等化归的数学思想．
线面垂直的定义：
• 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α.直 线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，直 线与平面垂直时，它们唯一的公共点O叫做垂足。
如何证明一条直线和一个平面垂直
• 方法一：利用定义证明；
• 有没有更好的方法？
探究：
过△ABC的顶点A翻折三角形纸片得到折痕AD， 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 （1）折痕AD是否与桌面垂直 （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直
线面垂直判定定理证明几何法
线面垂直判定定理证明几何法线面垂直判定定理是几何学中的重要定理之一。
通过这个定理，我们可以判定一条线段与一个平面是否垂直，从而在解决几何问题时提供了一个有效的方法。
接下来，我将为大家详细介绍线面垂直判定定理的证明过程。
首先，让我们来了解一下线段与平面的垂直关系是什么意思。
当一条线段与一个平面相交，并且线段上的任意一点到平面的距离都垂直于平面时，我们就说这条线段与平面垂直。
这种垂直关系在现实生活中也有很多应用，比如我们常见的直角墙角或者立柱与地面的垂直关系。
现在，让我们开始证明线面垂直判定定理。
假设有一条线段AB与平面P相交，我们需要证明线段AB与平面P垂直。
首先，我们来假设线段AB与平面P不垂直，也即线段AB与平面P 的某一点C处的线段AB与平面P不垂直。
根据平面几何性质，我们可以得知线段AB所在的直线与平面P相交于一点D。
这样，我们就得到了两个不同的直线AB和AD，其中点A是共有的。
接下来，我们利用线面垂直的定义，即线段上的任意一点到平面的距离都垂直于平面。
以线段AB上的另一点E为例，根据垂直关系可知AE与平面P垂直。
那么根据几何性质，直线AE与直线AB在点A处相交，与前面所假设的情况矛盾。
根据这种矛盾，我们可以推知假设的线段AB与平面P的某一点C 处的线段AB与平面P不垂直是错误的。
因此，原假设不成立，即可以得出结论：线段AB与平面P垂直。
根据上述证明过程，我们得到了线面垂直判定定理的证明结果。
这个定理的证明过程简明直观，通过逻辑推理和几何性质的应用，我们可以清晰地理解线段与平面的垂直关系。
线面垂直判定定理在解决几何问题时具有重要的指导意义。
通过这个定理，我们可以根据线段与平面的相交关系，判断它们之间是否垂直。
这为我们解决一些与线段与平面垂直关系相关的问题提供了方向。
总之，线面垂直判定定理的证明过程简单明了，通过逻辑推理和几何性质的应用，我们可以清晰地理解线段与平面的垂直关系。
这个定理具有重要的指导意义，可用于解决与线段与平面垂直关系相关的几何问题。
线面垂直的判定定理及其证明
线面垂直的判定定理及其证明
点线面垂直的判定定理是指：给定任意一点O和一平面Π，从这点出发经过
某一条线段与Π相交于点A和B，若OA、OB都平行于Π，则该线段垂直于Π。
这一定理在几何中用来判别点线面是否垂直，其证明方法较为复杂。
根据公理，可以假定OOA和OOB（由点O到点A和点B的线段）共面，此时在γ上有OC=OA，当另外两角α、β平行时，且α+β=Π/2，即Π=2α=2β，则γ垂直于Π。
即
可证明点线面垂直的判定定理是正确的。
点线面垂直的判定定理在数学、物理和机械等诸多学科中均有应用，其特殊性
决定了其不可忽视的重要地位。
例如，在数学中，可以使用这一定理验证连续抛物线是否符合点到点垂直的规律；在机械上，可以使用此定理来判断两条铰链线是否处于正确的垂直位置。
通过以上实例可以看出，点线面垂直的判定定理有着极为广泛的应用，合理
的证明助力于理解和掌握它的实用价值，因此，理解和掌握这种定理对于深入研究相关学科至关重要。
线面垂直判定定理解析稿
线面垂直判定定理解析稿简介本文档旨在解析线面垂直判定定理，介绍其概念、原理和应用。
线面垂直判定定理是几何学中的基本定理之一，它描述了直线和平面之间的垂直关系。
通过理解和应用该定理，我们可以在几何问题中判断直线和平面是否垂直，从而解决相应的几何问题。
定理表述线面垂直判定定理表述如下：定理：如果一条直线与一个平面垂直，则它在该平面上的任意一条垂线也垂直于该平面。
如果一条直线与一个平面垂直，则它在该平面上的任意一条垂线也垂直于该平面。
定理证明定理的证明可以通过反证法进行。
假设直线与平面垂直，但存在一条直线在该平面上的垂线不垂直于该平面。
根据垂直的定义，直线与平面垂直时，它在该平面上的任意一条垂线都应该垂直于该平面。
因此，我们得出矛盾，假设不成立。
所以，定理得证。
定理应用线面垂直判定定理在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些应用示例：1. 判断直线与平面的垂直关系通过使用线面垂直判定定理，我们可以判断一条直线与给定平面是否垂直。
这对于解决几何问题中的垂直关系非常有用。
2. 求解垂直平面的交点当我们已知一条直线与一个垂直平面相交时，我们可以使用线面垂直判定定理来确定交点的位置。
这有助于我们确定几何图形的具体位置。
3. 证明几何性质线面垂直判定定理可以用于证明其他几何性质。
通过将垂直关系引入证明过程，我们可以得出更多的结论和性质。
结论线面垂直判定定理是几何学中的重要定理，它描述了直线和平面之间的垂直关系。
通过理解和应用该定理，我们可以解决与直线和平面垂直关系相关的几何问题，并得出更多的几何性质和结论。
在实际应用中，我们可以利用该定理进行判断、求解和证明，从而解决复杂的几何问题。
证明线面垂直过程详解
证明线面垂直过程详解证明线面垂直过程∵PA⊥平面α，直线L∈平面α∴PA⊥L========================①∵PB⊥平面β，直线L∈平面β∴PB⊥L========================②综合①②得：直线L⊥平面PAB(垂直于平面两条相交直线的直线垂直于这个平面)∴L⊥AB(垂直于平面的直线垂直于平面内的任一直线)线面垂直的判定定理证明，我一直觉得证明过程太过复杂。
前年曾经这样证明，今天写在这里。
m和n为平面中两条相交直线，通过平移或者说原本就在，使得l经过m、n的交点O，我们只需证明l垂直与平面中的任意一条直线g 即可!在m、n上分别以O点为中点截取AC、BD，则得到平行四边形ABCD。
此时不难由三角形全等的知识得到l⊥g。
答案补充证明：已知直线L1 L22相交于O点且都与直线L垂直，L3是L1 L2所在平面内任意1条不与L1 L2重合或平行的直线(重合或平行直接可得它与L1平行) 在L3上取E、F令OE=OF，分别过E、F作ED、FB交L2于D、B (令OD=OB)则�SOED ≌�S OFB (SAS) 延长DE、BF分别交L1于A、C 则�SOEA≌�SOFC(ASA)(注意角AEO与角CFO的补角相等所以它们相等)。
所以OA=OC，所以�SOAD≌�SOBC(SAS)所以AD=CB 因为L3垂直于L1 L2所以MA=MC，MD=MB 所以�SMAD≌�SMCD(SSS)所以角MAE= 角MCF 所以�SMAE≌�SMCF(SAS) 所以ME=MF，所以�SMOE≌�SMOF(SSS)，所以角MOE=角MOF 又因为角MOE与角MOF互补，所以角MOE=角MOF=90度，即L⊥L31利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂
线面垂直 面面垂直
直
定义
性质
问题2 , a , a ,判断a与位置关系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已知平面，，直线a,且 , AB,
a //, a AB,试判断直线a与平面的位置关系。
α
Aa
β
a⊥β
符号语言：
ab
a ,b a / /b
α
线面垂垂直的性质
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
知识探究：
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AD⊥平面SBC
∵BC 平面SBC
A
C
∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴SA⊥BC
“从已知想性质，从求证
∵SA∩AD=A，
想判定”这是证明几何问
∴BC⊥平面SAB
题的基本思维方法．
∵AB 平面ABC ∴AB⊥BC
课堂小结
1、证题原则：注从已意知想辅性助质，线从求的证作想判用定
B
例3 , a , a ,判断a与位置关系
证明：设 l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
b
bl
l
b 又a
线面垂直
a // b 性质
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理是指两个射线有一定的关系即垂直面是垂直的，其中一个起点在另一个终点上。
简单来说就是两线垂直于一个面，则这两条线的垂直的面也是垂直的。
由线面垂直面面垂直的判定定理可以得出线面垂直面面垂直的性质定理，这是建立在线面垂直面面的判断定理的基础之上的定理。
线面垂直面面垂直的性质定理：若两个射线分别与两个平面成垂直，则它们两个平面所成的平面也是垂直的。
该定理也可以用图形来表示，如下图所示：
从图中可以看出，射线AB和CD都是垂直于两个平面m、n，其中AB与m，CD与n成垂直。
而平面m和n又组成一个新平面mn，根据线面垂直面面垂直的性质定理可以知道AB与mn也是垂直的，同样CD也与mn是垂直的。
线面垂直面面垂直的定理主要应用在几何中，它可以用来证明两个平面的面积计算方法是正确的，也可以用来证明两个球面的夹角是垂直的。
同时，它同样可以应用在工程技术中，例如对于地面上的建筑物，我们可以用它来判断其是否与地面垂直。
由此可以看出，线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理对于各类几何计算和工程技术应用具有十分重要的意义。
它能有效地帮助人们判断两面之间是否是垂直的关系，从而实现各种几何计算和工程技术应用。
面面垂直的判定与性质课件
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
直线平面垂直判定定理向量法证明
直线平面垂直判定定理向量法证明直线平面垂直判定定理是解决几何问题中常用的一个定理，它判断了一条直线和一个平面是否垂直。
本文将使用向量法来证明这个定理。
我们需要了解一些基本概念和性质。
1. 向量的定义和性质向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
两个向量可以相加、相减，并且可以与实数相乘。
向量的长度称为模，方向由箭头指示。
2. 内积的定义和性质两个向量u和v的内积定义为：u·v = |u||v|cosθ，其中θ是两个向量之间的夹角。
内积满足交换律：u·v = v·u，并且对于任意实数k，有(ku)·v = u·(kv) = k(u·v)。
3. 垂直的定义和性质两个向量u和v垂直（或正交）当且仅当它们的内积为零：u·v = 0。
如果两个非零向量垂直，则它们互为对方在另一个方向上的单位向量。
4. 平行线与平面一条直线与一个平面垂直当且仅当该线上任意一点到该平面上任意一点的向量与该直线的方向向量垂直。
根据以上基本概念和性质，我们可以证明直线平面垂直判定定理。
证明如下：【第一部分：平行线与平面的垂直性质】假设有一条直线L和一个平面P，我们需要证明L与P垂直的条件。
1. 设L上有一点A，P上有一点B，并且从A到B的向量为u。
2. 设L的方向向量为v。
3. 设P上任意一点C，并且从A到C的向量为w。
根据定义，我们知道u·v = 0。
现在我们需要证明u·w = 0。
由于P是一个平面，所以AC在该平面上。
w是该平面上任意一点到A的向量。
根据定义，我们知道v与w垂直。
根据内积的性质（交换律），我们可以得到：(u + v)·w = u·w + v·w = 0由于v与w垂直，所以v·w = 0。
(u + v)·w = u·w + 0 = u·w = 0u与w也是垂直的。
线面垂直 面面垂直的性质与判定定理
A
又⊥β，∩β=AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AD⊥平面SBC
符号语言：
ab
a ,b a//b
α
线面垂直关 系
线线平行关 系
平面与平面垂直的性质
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
知识探究：
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，
a/ / ,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
α
Aa
β
a⊥β
B
例3 ,a ,a ,判 断 a 与 位 置 关 系
证明：设 I l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
I b b
l
l
b
α 发展条件
转化结论
CB
D β
E 证明：在平面β内过D作直线
A
DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角 的平面
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
证明线面垂直的三种途径
证明线面垂直问题是高考数学试题中的常见题型之一，主要考查同学们的空间想象能力和数学运算能力.对于简单的证明线面垂直问题，通常可直接运用直线与平面垂直的定义进行证明，对于一些较为复杂的证明线面垂直问题，利用定义法无法证明结论，此时需利用转化思想，把线面垂直问题转化为线线垂直问题、面面垂直问题、空间向量问题来求解.下面重点探讨一下如何证明线面垂直.一、利用线面垂直的判定定理进行证明线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与此平面垂直.运用线面垂直的判定定理，需通过证明线线垂直来推出线面垂直.而证明线线垂直的常用手段有：（1）利用等腰三角形的三线合一性质（或等腰梯形上下底的中点连线与上下底垂直）；（2）利用菱形的对角线互相垂直；（3）利用勾股定理；（4）利用圆的性质：圆的直径所对的圆周角是直角.例1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M为棱AC的中点，AB=BC，AC=2，AA1=2.求证：BM⊥平面ACC1A1.证明：∵点M为棱AC的中点，AB=BC，∴BM⊥AC，∵AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，∴AA1⊥BM，∵AA1⋂AC=A，AA1⊂平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，∴BM⊥平面ACC1A1.要证BM⊥平面ACC1A1，需要在平面ACC1A1内找到两条与BM垂直的相交直线，即AC与AA1.再利用线面垂直的判定定理加以证明.在证明BM⊥AC时，需要用到等腰三角形的三线合一性质，而证明AA1⊥BM 时，需用到直棱柱的侧棱与底面垂直的性质.例2.如图1，六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AA1//BB1//CC1//DD1，且BB1⊥平面ABCD，AA1=CC1， AE=λ AA1， CF=λ CC1()0＜λ≤1，平面BEF 与平面ABCD的交线为l.求证：直线l⊥平面B1BDD1.证明：如图1所示，连接AC、BD，∵AA1=CC1，AA1//CC1， AE=λ AA1， CF=λ CC1(0＜λ≤1)，∴ AE= CF，∴AE=CF，AE//CF，∴四边形AEFC为平行四边形，∴AC//EF，∵EF⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，∴AC//平面BEF，∵平面BEF⋂平面ABCD=l，AC⊂平面ABCD，∴AC//l，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，∵BD⋂BB1=B，BD⊂平面B1BDD1，BB1⊂平面B1BDD1，∴AC⊥平面B1BDD1，∵AC//l，∴l⊥平面B1BDD1.要证明l⊥平面B1BDD1，需先根据菱形的对角线互相垂直的性质证明AC⊥BD，以及线面垂直的性质证明AC⊥BB1，从而根据线面垂直的判定定理证明AC⊥平面B1BDD1；最后根据平行线的性质证明结论.例3.如图2，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，BC⊥CD，侧面PAB为等边三角形，AB=BC=4，CD=PD=2，求证：PD⊥平面PAB.证明：如图2所示，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，∵AB//CD，BC⊥CD，∴四边形BEDC为矩形，在RtΔAED中，DE=BC=4，AE=2，∴AD=AE2+DE2=25，∵ΔPAB为等边三角形，∴PA=PB=AB=4，∵在ΔPAD中，PD=2，∴PA2+PD2=20=AD2，∴PD⊥PA，在RtΔBCD中，BC=4，CD=2，∴BD=BC2+CD2=25，∴在ΔPBD中，PB2+PD2=20=BD2，∴PD⊥PB，而PA⋂PB=P，PA⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，∴PD⊥平面PAB.我们利用勾股定理、等边三角形的性质、矩形的性质，在平面PAB中找到与PD垂直的两条相交直线PA、PB，证明PD⊥PA、PD⊥PB，便可根据线面垂直的判定定理证明PD⊥平面PAB.图2解题宝典图1 36二、利用面面垂直的性质定理进行证明面面垂直的性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.在解题时，往往要先根据面面垂直的定义证明两个平面互相垂直；然后确定两个平面的交线，运用面面垂直的性质定理证明线面垂直.例4.如图3，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB//CD，CD⊥AD，AD=CD=2，AB=3，E，H分别是棱AD，PB的中点，求证：BC⊥平面PCE.证明：如图3所示，在棱AB上取点F，使得AF=2BF=2，连接CF，BE，∵AB//CD，CD⊥AD，AD=CD=2=AF，∴四边形AFCD是正方形，∴∠BAE=∠CDE=∠CFB=90°，且CF=AD=2，∵E是棱AD的中点，∴AE=DE=1，∵AB=3，∴BC=CF2+BF2=5，CE=CD2+DE2=5，BE=AE2+AB2=10，∴BE2=BC2+CE2，∴BC⊥CE，∵PA=PD，E是棱AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⋂平面ABCD=AD，∴PE⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PE⊥BC，∵PE⊂平面PCE，CE⊂平面PCE，PE⋂CE=E，∴BC⊥平面PCE．先结合图形确定平面PAD与平面ABCD的交线，根据等腰三角形三项合一的性质证明PE⊥AD，进而证明PE⊥平面ABCD，便可根据面面垂直的性质定理证明PE⊥BC；然后由勾股定理和正方形的性质可证明BC⊥CE，即可根据线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PCE.三、利用空间向量法进行证明当几何体中出现（或可以构造）两两互相垂直的三条线时，可以考虑建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，通过空间向量运算，来证明直线的方向向量与平面的法向量平行，即可证明直线与平面垂直.例5.如图4，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点.若PA=2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由.解：存在.理由如下：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.因为ABCD为正方形，所以CD⊥DA.PA⋂DA=A，PA⊂平面ADP，DA⊂平面ADP，所以CD⊥平面ADP.以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，如图4所示.则D()0,0,0，A()0,2,0，B()0,2,2，C()0,0,2，P(2,2,0)，则DB=()0,2,2，而E为PA中点，所以E()1,2,0，DE=()1,2,0，设PF=λPC()0≤λ≤1，而PC=()-2,-2,2，则PF=()-2λ,-2λ,2λ，所以F()2-2λ,2-2λ,2λ，得AF=()2-2λ,-2λ,2λ，设平面BDE的法向量为n =()x,y,z，则ìíîn ∙DB=2y+2z=0，n ∙DE=x+2y=0，取y=1，则{x=-2，z=-1，得n =()-2,1,-1，当AF⊥平面BDE时，AF//n ，则2-2λ-2=-2λ，解得λ=13，所以Fæèöø23，23，23，故PF=.首先根据线面垂直的性质定理、正方形的性质及线面垂直的判定定理证明CD⊥平面ADP，即可确定两两互相垂直的三条线，据此建立空间直角坐标系；然后求出所需的各点的坐标、直线的方向向量AF、平面BDE的法向量n ；再根据AF//n ，计算出λ的值，最终求出PF的长度.在证明线面垂直时，通常要用到线面垂直的判定定理来寻找垂直关系，即便是采用空间向量法，也需要根据线面垂直的判定定理证明几何体中存在两两互相垂直的三条线，才能建立空间直角坐标系.同学们在解题受阻时，要学会灵活运用转化思想，将问题进行合理的转化，以拓宽解题的思路.本文系黑龙江省教育科学“十四五”规划教研专项重点课题《信息技术环境下的高中数学直观想象核心素养的培养研究》（课题编号：JYB1422308）研究成果.（作者单位：黑龙江省大庆铁人中学）图3F图4解题宝典37。
线面垂直的判定定理的证明方法
线面垂直的判定定理的证明方法线面垂直是三维空间中一个非常重要的概念，不仅在数学中有广泛的应用，而且在工程学和物理学中也有着非常大的作用。
本文将介绍线面垂直的判定定理的证明方法。
一、定义我们先来明确什么是“线面垂直”。
设线段AB的起点为A，终点为B，面平行于向量n，如图所示：若向量AB与向量n垂直，则称线段AB与平面垂直。
二、判定定理现在我们可以给出线面垂直的判定定理：定理：线段AB与平面N垂直的充分必要条件是向量AB与法向量n垂直。
即，AB⊥N⟺AB⊥n三、证明方法下面，我们将给出上述定理的证明方法。
对于任意一点M在平面N上，根据向量的定义，我们可以得到→NM=A→+x*n→其中，A是向量N平面上的任意一点到M的向量，x是实数。
由于向量A在平面N上，所以A⋅n=0所以，x*n⋅n=0因此，x=（-A*n）/ (n*n)，其中“A”点表示向量A的模长。
所以，→NM=A→+[-A*n]/(n*n)*n→由于向量AB=→BM-→BN，所以→AB=→BM-→BN=→NM-→NB因此，→AB=[A→+[-A*n]/(n*n)*n→]-B→= [A→-B→]+[-A*n]/(n*n)*n→由于向量AB与n垂直，我们可以得到→AB⋅n=([A→-B→]+[-A*n]/(n*n)*n→)⋅n=A→⋅n-B→⋅n-[-A*n]/(n*n)*n→⋅n=A→⋅n-B→⋅n-[-A*n]由于A点在平面N上，所以A→⋅n=0因此，→AB⋅n=-B→⋅n-[-A*n]也就是说，→AB⊥n⟺-B→⋅n-[-A*n]=0⟺B→⋅n=[-A*n]B→⋅n 是向量B在n上的投影，[-A*n]是向量A的负向量在n上的投影。
因此，当且仅当向量AB与n垂直时，向量B在n上的投影等于向量A 的负向量在n上的投影，即B→⋅n=[-A*n]。
综上所述，向量AB垂直于平面N的充分必要条件是向量AB垂直于平面N的法向量n，即AB⊥N⟺AB⊥n。
四、总结本文介绍了线面垂直的判定定理及其证明方法。
线面垂直的判定定理(公开课)课件
习题
01
02
03
04
B. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的两条相交直
线都垂直，则线面垂直。
C. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的无数条直线
都垂直，则线面垂直。
D. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的两条平行直
线都垂直，则线面垂直。
填空题：若直线a与平面β内 的两条直线分别平行和垂直，
情况二
如果一条直线与平面内的 两条平行直线都垂直，那 么这条直线与这个平面垂 直。
情况三
如果一条直线与平面内的 无数条直线都垂直，那么 这条直线与这个平面垂直 。
线面垂直在几何问题中的应用
应用一
在几何问题中，线面垂直可以用来证明某些几何图形的性质，例如三角形的高线、矩形的对角线等。
应用二
线面垂直可以用来解决一些几何问题，例如求点到平面的距离、求两平面之间的夹角等。
本节课的难点解析
如何理解线面垂直的概念及其几何意 义
运用判定定理解决复杂问题的策略和 方法
判定定理证明中的逻辑推理和数学表 达
下节课预告
线面平行的判定定理及其应用 平行线的性质和判定方法总结
几何问题中线面平行与垂直的综合应用
THANK YOU
判定定理的证明实例
实例一
假设有一个正方体，我们知道它的一个顶点A所在的直线a与顶点B、C所在的平 面β都垂直，那么我们可以应用线面垂直的判定定理证明直线a与平面β垂直。
实例二
假设有一个长方体，我们知道它的一个顶点A所在的直线a与顶点B、C、D所在的 平面β都垂直，那么我们同样可以应用线面垂直的判定定理证明直线a与平面β垂 直。
线面垂直的判定定理(公开课)课件
【素材】第一章第五节 证明线面垂直的四种方法
证明线面垂直的四种方法直线与平面垂直是空间元素中最重要的关系之一，是建立空间概念的主要支柱，而直线与平面垂直的证明也常有以下四种方法，下面分类举例解析，供参考。
一、运用直线与平面垂直的判定定理若一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面。
例1 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求证AB1⊥平面A1BD。
证明：由题意知，四边行ABB1A1是正方形，则AB1⊥A1B；取BC中点E，连AE，EB ，则AE⊥BC，在正三棱柱中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，故AE⊥面BB1C1C，又BD⊂面BB1C1C，所以AE⊥BD，在正方形BB1C1C中又D为CC1中点，易证△BC D≌△BB1E，得∠EB1B=∠DBC，而∠DBC+∠DBB1=90°，则∠EB1B+∠DBB1=90°，故EB⊥BD，又AE∩EB=E，∴BD⊥平面AEB1，∴BD⊥AB1，又A1B∩BD=B，故AB1⊥平面A1BD。
点评：在本题的证明中，多次证明了直线与平面垂直，其中直线与平面垂直的判定定理是常用判定方法，必须深刻理解这个定理的内涵与实质。
二、运用直线与平面垂直的第二判定定理若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。
例2 已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，求证：l⊥γ。
证明：如图，要证l⊥γ，则由线面垂直第二判定定理知，只需证l平行于γ的一条垂线即可。
设α∩γ=c，β∩γ=d，在α内任取一点A，作AQ⊥c于Q，则AQ⊥γ。
同理，在β内任取一点B，作BR⊥d于R，则BR⊥γ，且AQ∥BR。
又AQ⊄β，BR⊂β，故AQ∥β，由α∩β=l，得AQ∥l，而AQ⊥γ，故l⊥γ。
点评：此证法可能不是此题的最简证法，但说明了一个道理，每一条路都可能是成功之路，只是对问题的理解角度不同罢了。
三、运用课本中的已证命题：如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
第8.4讲 线面垂直的判定定理(艺考生专用)
★谨以此案赠送给有梦想的学子第8.4讲 线面垂直的判定定理◆知识精要1.线面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理⑴判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.⑵判定定理二：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.⑶判定定理三：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.⑷判定定理四：两个相交平面都和第三个平面垂直，则交线垂直于第三个平面.◆现在就考考你，不要介意呀！1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题： ①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥//； ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥；③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ； ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M .其中正确的命题是 ( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.下列命题中正确的是 ( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面.B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面.C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线.D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面.3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有 ( )A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行5.如果直线l，m与平面α,β,γ满足：l=β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有 ( )A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若1=BC，2=AC，1=PC，则P到AB的距离为 ( )A.1B.2C.552D.553第3题图7.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.38.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是 ( )A.α与β必相交且交线m∥d或m 与d重合B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合C.α与β必相交且交线m与d一定不平行D.α与β不一定相交9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题①若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题．．．的序号是 ( )A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④10.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.其中正确的命题是 ( )A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②3.线面垂直的证明方法例1如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.例2如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝15，PD＝3.求证：BD⊥平面PAD.◆我们用向量法来证明线面垂直，你会发现，这个方法真是太简单了，好好享受证明的快感吧.例3如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.考考你，试试身手吧.1．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D -AF -E的余弦值．图1-42．[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1OB1D的余弦值．3．[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A -BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE ＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B -AD -E的大小．3.线面垂直的性质定理线面垂直的性质定理一：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线；线面垂直的性质定理二：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 线面垂直的性质定理三：如果两条平行线中一条垂直于一个平面，那么另一条也平行这个平面.说明：线面垂直的最大应用就是来证明线线垂直.显摆一下，我是看好你呀！1. 判断下列命题是否正确，并说明理由.⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；（ ） ⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；（ ） ⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；（ ） ⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（ ） ⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（ ） ⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行. （ ） 2. 下列四个命题中错误的是（ ）.A.,a b a αα⊥⊥⇒∥bB.,a a α⊥∥b b α⇒⊥C.,a b α⊥∥,a b α⇒⊥D.,a a b b α⊥⊥⇒∥α3. 平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等，则正确的结论是（ ）. A.平面ABC 必平行于α B.平面ABC 必垂直于αC.平面ABC 必与α相交D.存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内 4. 已知平面α和平面β相交,a 是α内一条直线，则有（ ）.A.在β内必存在与a 平行的直线B.在β内必存在与a 垂直的直线C.在β内不存在与a 平行的直线D.在β内不一定存在与a 垂直的直线 5. 直线a α⊥，直线b β⊥，且α∥β，则a ___b .6. 设直线,a b 分别在正方体''''ABCD A B C D -中两个不同的平面内，欲使//a b ，,a b 应满足________________________.(至少写出2个不同答案)7.如图12-5，在三棱锥中，PA PB=，AB BC⊥，若M是PC的中点，试确定AB 上点N的位置，使得MN AB⊥.图12-58. 如图所示，已知点S是平面ABC外一点，ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC .9.已知，如图矩形ABCD，过A作SA⊥面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F。
线面垂直的判定定理的证明过程
线面垂直的判定定理的证明过程嘿，咱今天就来讲讲线面垂直的判定定理的证明过程哈！这可是个很有意思的事儿呢。
想象一下，有一条直线，直直地站在那儿，就像个坚定的卫士。
然后呢，有一个平面，平平坦坦地铺开，就像一张大大的地毯。
现在我们要证明这条直线和这个平面是垂直的，这就好比要证明这个卫士是站直了站在地毯上的，而不是歪歪斜斜的。
那怎么证明呢？我们得找到一些关键的条件呀。
就好像你要证明一个人很厉害，你得找到他厉害的地方，比如他能举起很重的东西，或者跑得特别快之类的。
首先呢，我们知道如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那它就和这个平面垂直啦。
这就好像一个人能打败两个很厉害的对手，而且这两个对手还是一伙的，那这个人肯定也很牛呀！那怎么证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线呢？我们可以从定义出发呀。
直线和直线垂直，不就是它们的夹角是直角嘛。
那我们就去看看这条直线和平面内那两条相交直线的夹角是不是直角。
如果是，那不就证明出来啦。
比如说，我们在平面上画两条相交的线，然后让那条要证明垂直的直线和它们相交。
这时候我们就可以用各种方法去测量呀，去计算呀，看看是不是直角。
这过程就好像你在解一道难题，得一步一步来，不能着急。
每一步都要走得稳稳当当的，不然就容易出错哦。
然后呢，我们还可以利用一些已经知道的定理和性质来帮忙。
就像你在走路的时候，有根拐杖可以帮你走得更稳一样。
你看啊，数学里有那么多定理和性质，它们都是我们的好帮手呀。
我们可以把它们都用上，让证明过程变得更容易理解，更简单。
哎呀，这证明线面垂直的判定定理的过程，真的是很有趣呢！就像一场奇妙的冒险，我们在数学的世界里探索，寻找答案，找到真理。
总之呢，线面垂直的判定定理的证明过程虽然可能有点复杂，但是只要我们用心去理解，去思考，就一定能搞明白的啦！别害怕困难，加油哦！相信你一定可以的！。
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线面垂直的判定定理的证明过程
证明：已知直线L1 L22相交于O点且都与直线L垂直，L3是L1 L2所在平面内任意1条不与L1 L2重合或平行的直线（重合或平行直接可得它与L1平行）
不妨假设L3过O点（可以通过平移得到），在L3上取E、F令OE=OF，分别过E、F作ED、FB交L2于D、B （令OD=OB）则⊿OED ≌⊿ OFB （SAS）
延长DE、BF分别交L1于A、C 则⊿OEA≌⊿OFC（ASA）（注意角AEO与角CFO的补角相等所以它们相等）。
所以OA=OC，所以⊿OAD≌⊿OBC（SAS）所以AD=CB
因为L3垂直于L1 L2所以MA=MC，MD=MB （M为L 上的任意点）所以⊿MAD≌⊿MCD（SSS）所以角MAE= 角MCF 所以
⊿MAE≌⊿MCF（SAS）
所以ME=MF，所以⊿MOE≌⊿MOF（SSS），所以角MOE=角MOF 又因为角MOE与角MOF互补，所以角MOE=角MOF=90度，即L⊥L3。