平面向量线性运算教案

向量的加法；向量的减法；向量的数乘.

教学目标

通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能

熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 并能作出已知两向量的和向量。 通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。

教学重点 向量的加减法的运算。

〔 _____________ !

教学难点

教学过程

」、导入

高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题， 一般难度不

大，属于简单题

二、知识讲解

I 考）向量加量加三法形法则

在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。 运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点， 则由第 一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。 0位移的合成可以看 作向量加法三角形法则的物理模型。

知识点 向量的加减法的几何意义 。

【知识导图】

（2）平行四边形法则

以同一点0为起点的两个已知向量 A.B为邻边作平行四边形，则以0为起点的对角线0C就是a与b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

由于方向反转两次仍法法原来的方向，因此a和-:互为相反向量。

于是-（-a）=a。

我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.

____________ __ 一「 4 ■+ , 4 4

任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a （-a）二（-a）■ a =0。

TH 4 4 H ^4^4

所以，如果a,b是互为相反的向量，那么a二-b,b二-a,a • b =0。

考点3实数与向量的积的运算律

设■, ^为实数，那么

⑴，（七）=（」i）a；

（2）（I 丄）a 虫；」a ；

（3）（a b）八a ■ b.

■.斗、- ,4 _斗屮.4

特别地，我们有（- ’）a = ，a）二’（-a），，（a-b）二’a-'b。

■H 屮 4 .

向量共线的等价条件是：如果a（a = 0）与b共线，那么有且只有一个实数•，使

■I J

b —■ a。

二、例题精析

类型一平面向量的坐标表示

例题知边长为1的正方形ABCD 中, AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和

uuiv uuv

AB与AD的坐标.

【规范解答】由题知B、D分别是30 ° 120角的终边与单位圆的交点.

设B(x i, y”，D(X2, y2).

由三角函数的定义，得

3 1 3 1

x i= cos 30 =专，y i = sin 30=㊁，…B占,2 )■ X2= cos 120 角一2, y2= sin 120 =当，

二AB = (1,5), CA = (4, —1),

BC = (一5,—

••• 3 AB + 2cA = 3(1,5) + 2(4,—1)

=(3 + 8,15—2)

=(11,13).

BC —2 AB = (—5, —4) —2(1,5)

=(—5 —2,—4—10)

=(—7，—14).

(2) a+ b= (—1,2) + (3, —5) = (2, —3),

a—b= (—1,2)—(3 , —5) = (—4,7),

3a = 3( —1,2)= (—3,6),

【总结与反

思】

(1) 在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标

减去起点坐标得到该向量的坐标.

(2) 求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.

类型二平面向量坐标运算

例题1

(1)已知三点A(2, —1), B(3,4), C(—2,0)，则向量3 AB + 2CA = ,BC

2 AB

⑵已知向量a, b 的坐标分别是(一1,2), (3, - 5)，求a+ b, a—b,3a,2a+ 3b 的坐标.

【规范解

答】

(1) •/ A(2, —1), B(3,4), C(—

2,0),

4).

2a + 3b = 2(- 1,2) + 3(3, - 5) =(-2,4) + (9, - 15) =(7，- 11)•

在进行平面向量的坐标运算时， 应先将平面向量用坐标的形式表示出来， 再根据向量的

直角坐标运算法则进行计算

(直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相

应坐标的和与差，数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积

).

类型三由向量相等求坐标

例题1

(1)若 a = (- 1,2), b = (1, - 1), c = (3 , - 2)，且 c = p a + q b ，贝V p = ____________ , q

【规范解答】(1) v a = (- 1,2), b = (1,- 1), c = (3, - 2),

••• pa + qb = p(- 1,2) + q(1, - 1) = (- p + q,2p - q).

v c = pa + qb ,

-p

+ q = 3,解得 2p - q =- 2 ,

故所求p , q 的值分别为1,4.

(2)由 A(-2,4) , B(3 , - 1) , C(-3, - 4), 可得 CA = (- 2,4) - (-3, - 4) = (1,8),

CB = (3 , - 1) - (- 3, - 4) = (6,3), 所以 CM = 3 cA = 3(1,8) = (3,24), CN = 2 CB = 2(6,3) = (12,6).

设 M(X 1, y 1), N(x 2, y 2),

则 CM = (X 1 + 3, y r + 4) = (3,24), X 1= 0, y 1= 20;

CN = (X 2 + 3, y 2+ 4) = (12,6), X 2= 9 , y 2= 2 ,

所以 M(0,20) , N(9,2), MN = (9,2) -(0,20) = (9 , - 18).

【总结与反思】

(1)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相 等向量.

⑵已知A( - 2,4), B(3, - 1), C(-3, - 4)，且 CM =3 CA , ，求M ,

C|= 4.

CN =2 CB

及