平面向量线性运算教案

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平面向量的线性运算(一)

课题：平面向量的线性运算（一）一、教学目标：（1）掌握向量加、减法的运算法则，并理解其几何意义；（2）会用平行四边形法则和三角形法则作两个向量的和向量、差向量，培养数形结合的能力；（3）通过将向量运算与实数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。

二、教学重点、难点：（1）重点：向量加法的运算（三角形法则、平行四边形法则）、向量的减法运算及其几何意义。

（2）难点：对向量加法法则和减法的定义的理解，特别是向量减法的定义的理解。

三、教学方法：问题式教学、小组合作、自主探究．四、教学过程：（一）课题引入以前由于大陆和台湾没有直航，因此从上海到台北乘飞机要先从上海到香港，再从香港到台北，这两次位移的结果是什么呢？（二）新知探究阅读教材第80页并思考力F 对橡皮条产生的效果与力F 1 和 F 2共同作用产生的效果相同吗？合力F 与F 1 ,F 2 有怎样的关系呢？改变力F 1 和 F 2的大小和方向，重复以上的实验，你能发现F 与F 1 ,F 2之间的关系吗？ 1. 向量的加法：【问题1】向量加法的运算法则：【问题2】三角形法则和平行四边形法则的几何意义:台北上海香港【问题3】用三角形法则和平行四边形法则作图求和向量时应注意什么？【问题4】类比实数的加法交换律和结合律，思考对于任意向量 a ，b 的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探究？【问题5】若a 与b共线，如何作出 + a b ？2. 向量的减法：【问题1】相反向量的定义：【问题2】向量减法的定义及运算法则：【问题3】向量减法的几何意义：【问题4】若a 与b共线，如何作出 - a b ？【问题5】 ||a 、 ||b 、 +||a b 、 -||a b 之间有何联系？【问题6】向量减法的三角形法则与向量加法的三角形法则有何异同？（三）典型例题O Aaaab b b例1．已知向量、，求作向量+. ba解:1.三角形法则（首尾相接，首指向尾为和）如图，在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=。

平面向量的线性运算教案

平面向量的线性运算教案一、引言平面向量是数学中重要的概念之一，具有广泛的应用领域。

本教案旨在通过线性运算的教学来帮助学生深入理解平面向量的概念和运算法则。

二、知识点梳理1. 平面向量的定义和表示方法2. 平面向量的加法和减法运算3. 数乘运算及其性质4. 平面向量的数量积及其性质5. 平面向量的分解与合成三、教学步骤1. 概念讲解(1) 平面向量的定义和表示方法平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。

常用的表示方法有坐标表示和向量符号表示。

2. 加法和减法运算(1) 加法运算- 向量的加法满足交换律和结合律。

- 加法运算可以通过平行四边形法则进行计算。

(2) 减法运算- 向量的减法可以转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。

- 通过平行四边形法则可以将减法运算转化为加法运算。

3. 数乘运算及其性质(1) 数乘运算- 数乘运算指的是将一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量。

- 数乘运算可以改变向量的大小和方向。

(2) 数乘运算的性质- 数乘的加法法则：(k1 + k2)a = k1a + k2a- 数乘的数乘法则：(k1k2)a = k1(k2a)4. 数量积及其性质(1) 数量积的定义- 数量积，也称点积或内积，是两个向量的乘积，结果是一个实数。

- 数量积的计算方法为两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值。

(2) 数量积的性质- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)- 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c5. 分解与合成(1) 向量的分解- 分解是将一个向量表示为多个已知向量的线性组合。

- 可以使用平行四边形法则或三角函数来进行向量的分解。

(2) 向量的合成- 合成是根据给定向量和它们的系数，通过线性组合得到一个新的向量。

四、案例演练1. 解决实际问题(1) 给定向量A(-3, 4)和向量B(2, 5)，求A + B和2A - B的结果。

山东乐陵一中2015高三上数学教案：平面向量的线性运算

【学习目标】: 1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念、向量的几何表示.2. 掌握向量加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.3. 了解向量线性运算的性质及其几何意义．【学习重点】:理解平面向量的概念，掌握向量加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.【难点】向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义.【自主学习】：1．向量的有关概念(1)向量：具有____和____的量叫做向量，表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度(或模)．(2)相等向量：长度_____且方向______的向量．(3)共线(平行)向量，如果向量的基线____________，则称这些向量共线或平行．(4)零向量：_________的向量，记作0，零向量的方向不确定，规定零向量与任意向量平行．(5)向量a 的单位向量：给定一个非零向量a ，_____________________叫做向量a 的单位向量，若a 的单位向量记作a 0，则有____________(6)相反向量：____________________的向量叫做a 的相反向量记作－a .2．向量的加法与减法(1)加法法则：服从三角形法则，平行四边形法则，多边形法则．运算性质：a ＋b ＝b ＋a ； (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．(2)向量的减法①如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以___________为始点，_______________为终点的向量． ②一个向量等于它的终点相对于点O 的位置向量减去它的始点相对于点O 的位置向量，或简记为“_______________”．3．实数与向量的积(1)实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，规定：①长度：|λa |＝|λ||a |；②方向：当λ>0，a ≠0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0，a ≠0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0.(2)运算律：设λ、μ∈R ，则：①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③λ(a ＋b )＝λa ＋λb .4．平行向量基本定理如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .【自我检测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量( )(2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ( )(3)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R)的充要条件( )(4)若O 是△ABC 的重心，则OA →＋OB →＋OC →＝0( )2．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |3.设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.【合作探究】【例1】给出下列四个命题，其中假命题的个数为( )①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②若AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形；③若a 与b 同向，且|a |＞|b |，则a ＞b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．A ．1B ．2C ．3D ．4【变式训练1】给出下列四个命题，其中假命题的个数为( )①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③设a 0是单位向量，若a ∥a 0，且|a |＝1，则a ＝a 0； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．【变式训练】如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，AF →＝3e 1－ke 2，且A 、C 、F 三点共线，则k ＝__.知识总结方法总结【达标检测】1.设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μ c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μ c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μ c .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．(2012·辽宁高考)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b3．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a 、b ，均有：|a |－|b |＜|a |＋|b |；②对任意两向量a 、b ，a －b 与b －a 是相反向量；③在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →＝0；④在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0.A ．①②③B ．②④C ．②③④D ．②③4．设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋pb ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________．5 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于________．6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC . 若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．7．设点M 是线段BC 的中点，A 在直线BC 外，BC 2→＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.8．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，求实数λ的值．。

高中数学_平面向量的线性运算教学设计学情分析教材分析课后反思

平面向量的线性运算课型：习题课教学目标：1、知识目标：（1）理解并掌握平面向量的加法、减法运算法则及其几何意义（2）使学生掌握平面向量共线定理并能熟练应用。

2、能力目标：（1）了解平面向量的加法、减法运算法则等方面的应用。

（2）进行化归思想、整体思想的渗透，培养学生的发散思维和逆向思维能力。

3、德育目标：通过采取小组合作学习，引导学生共同讨论，共同协作，使学生体会到合作精神的重要性，同时学会尊重他人。

教学重点：掌握平面向量线性运算并能熟练应用。

教学难点：掌握平面向量共线定理并能熟练应用教学方法：讲练结合教具：多媒体教学过程：一、组织教学二、温故知新（1）向量的有关概念（2）向量的线性运算（3）共线向量定理向量()0a a ≠r r r与b r 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得_______.三、小试牛刀1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) （1）零向量与任意向量平行.（）( 2 )若//,//a b b c r r r r,则//a c r r ( )( 3 )向量AB u u u r与向量CD uuu r 是共线向量，则,,,A B C D 四点在一条直线上.( )( 4 )当两个非零向量 ,a b r r 共线时,一定有b a λ=r r,反之成立( )( 5 )在ABC ∆中,D 是BC 中点,则()12AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r.( )2.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若,a b r r都是单位向量,则a b =r r ;③向量BA u u u r 与AB u u u r相等.则所有正确命题的序号是( )A. ①B. ③C. ①③D.①②3.设向量,a b r r不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，则实数λ＝____________.4.已知平行四边形ABCD 的对角线AC u u u r 和BD u u u r相交于O ，且,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，则= ;= ;(用,a b r r表示四、典例解析考点一平面向量的线性运算［例1］（1）在ABC ∆中，Q P ，分别是BC AB ，的三等分点，且BC BQ AB AP 3131==，，若=a r ，=b r，则=( )A.1133a b +r rB.1133a b -+r rC.1133a b -r rD. 1133a b --r r（2）在ABC ∆中，点M ，N 满足2,AM MC BN NC ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r ，若MN x AB y AC =+u u u u r u u u r u u u r则x = ；y = .规律方法 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. 跟踪训练：【训练1】(1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点, 点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点,那么等于（）A. 1123AB AD -u u u r u u u rB. 1142AB AD +u u ur u u u rOA BD CC.1132AB DA +u u u r u u u rD. 1223AB AD -u u ur u u u r (2) 在ABC ∆中，2,3AB BC == ,60ABC ∠=o,AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r则λμ+ 等于 ( )A. 1B.12 C. 13 D.23考点二共线向量定理及其应用［例2］设两个非零向量a r 和b r不共线（1）若(),28,3AB a b BC a b CD a b =+=+=-u u u r r r u u u r r r u u u r r r,求证：,,A B D 三点共线；（2）试确定实数k ，使ka b +r r 与a kb +r r共线.规律方法(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量,a b r r 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使 120a b λλ+=r r r成立.【训练2】（1）已知向量3,53,33AB a b BC a b CD a b =+=+=-+u u u r r r u u u r r r u u u r r r，则（）A. 三点共线B. 三点共线C. 三点共线D. 三点共线（2）已知,,A B C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线 l 上，则使等式20x OA xOB BC ++=u u u r u u u r u u u r r成立的实数x 的取值集合为（）A. {}0B. φC. {}1-D.{}0,1-考点三向量线性运算的综合应用［例3］（1）O 是平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[),0,AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆ 的（）C B A ,,D B A ,,D C A ,,D C B,,A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心（2）设O 为ABC ∆内部的一点，且30OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r则AOC ∆的面积与BOD ∆ 的面积之比为规律方法（1）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等；（2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的中垂线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。

平面向量的线性运算

平面向量的线性运算【学习目标】1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量. 2．能结合图形进行向量的计算．3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算． 4．理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算． 5．掌握向量共线的条件．【要点梳理】要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1.向量加法的概念及三角形法则已知向量,a b r r ，在平面内任取一点A ，作,AB a BC b ==u u u r r u u u r r，再作向量AC u u u r ，则向量AC u u u r 叫做a r 与b r 的和，记作a b +r r ，即a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r．如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2．向量加法的平行四边形法则已知两个不共线向量,a b r r ，作,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ，则,,A B D 三点不共线，以,AB AD u u u r u u u r为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线AC a b =+u u u r r r．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a r ，我们规定00a a a +=+=r r r r r．要点诠释：两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点. 要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律 1.向量求和的多边形法则的概念已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．112231n n n A A A A A A A A -=++⋅⋅⋅+u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r特别地，当1A 与n A 重合，即一个图形为封闭图形时，有1223110n n n A A A A A A A A -++⋅⋅⋅++=u u u u r u u u u r u u u u u u r u u u u r r2．向量加法的运算律（1）交换律：a b b a +=+r r r r ；（2）结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r要点三：向量的三角形不等式由向量的三角形法则，可以得到(1)当,a b r r 不共线时，||||||a b a b +<+r r u u r r ；(2)当,a b r r 同向且共线时，,,a b a b +r r r r 同向，则||||||a b a b +=+r r u u r r ；(3) 当,a b r r 反向且共线时，若||||a b >u u r r ，则a b a +r r r 与同向，||||||a b a b +=-r r u u r r ；若||||a b <u u r r，则a b b +r r r 与同向，||||||a b b a +=-r r u u r r ．要点四：向量的减法 1．向量的减法（1）如果b x a +=r r r ，则向量x r 叫做a r 与b r 的差，记作a b -r r，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．相反向量：与向量a r 方向相反且等长的向量叫做a r的相反向量．（2）向量a r 加上b r 的相反向量，叫做a r 与b r 的差，即()a b a b -=+-r r r r．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．要点诠释：（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．（2）对于相反向量有()0a a +-=r r r ；若a r ，b r 互为相反向量，则,0a b a b =-+=r r r r r．（3）两个向量的差仍是一个向量． 2．向量减法的作图方法（1）已知向量a r ，b r ，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，则BA a b =-u u u r r r =OA OB -u u u r u u u r ,即向量BA u u u r等于终点向量（OA u u u r ）减去起点向量（OB uuu r）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出a b -r r ．作,,OA a OB b AC b ===-u u u r r u u u r r u u u r r，则()OC a b =+-u u u r r r，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．要点五：数乘向量 1.向量数乘的定义实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：a λr(1)||||||a a λλ=r r；(2)①当0>λ时，a ρλ的方向与a ρ的方向相同；②当0<λ时.a ρλ的方向与a ρ的方向相反；③当0=λ时，0ρρ=a λ.2．向量数乘的几何意义由实数与向量积的定义知，实数与向量的积a ρλ的几何意义是：a ρλ可以由a r同向或反向伸缩得到．当||1λ>时，表示向量a r的有向线段在原方向（0λ>）或反方向（0λ<）上伸长为原来的||λ倍得到a ρλ；当0||1λ<<时，表示向量a r的有向线段在原方向（0λ>）或反方向（0λ<）上缩短为原来的||λ倍得到a ρλ；当1λ=时，a ρλ=a r ；当1λ=-时，a ρλ=-a r ，与a r互为相反向量；当0λ=时，a ρλ=0r ．实数与向量的积得几何意义也是求作向量a ρλ的作法．3.向量数乘的运算律设λμ、为实数结合律：()()a a λμλμ=r r；分配律：a a a ρρρμλμλ+=+)(，b a b a ρρρρλλλ+=+)(要点六：向量共线的条件 1．向量共线的条件（1）当向量0a =r r 时，a r 与任一向量b r共线．（2）当向量0a ≠r r 时，对于向量b r ．如果有一个实数λ，使b a λ=r r，那么由实数与向量的积的定义知br 与a r共线．反之，已知向量b r 与a r （0a ≠r r ）共线且向量b r 的长度是向量a r 的长度的λ倍，即||||b a λ=r r，那么当br 与a r 同向时，b a λ=r r ；当b r 与a r 反向时，b a λ=-r r．2．向量共线的判定定理a ρ是一个非零向量，若存在一个实数λ，使b a λ=r r ，则向量b r 与非零向量a ρ共线．3．向量共线的性质定理若向量b r 与非零向量a ρ共线，则存在一个实数λ，使b a λ=r r ．要点诠释：（1）两个向量定理中向量a ρ均为非零向量，即两定理均不包括0r 与0r 共线的情况；（2）0a ≠r r 是必要条件，否则0a =r r ，0b ≠r r时，虽然b r 与a r 共线但不存在λ使b a λ=r r ；（3）有且只有一个实数λ，使b a λ=r r．（4）//(0)a b a b b λ⇔=≠r r r r r r是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 【典型例题】类型一：向量的加法运算例1．如图所示，已知三个向量r a 、b r 、r c ，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量r a +b r +rc ．【解析】利用三角形法则作r a +b r +r c ，如图1所示，作=u u u r r OA a ，以A 为起点，作=u u u r rAB b ，再以B 为起点，作=u u u r r BC c ，则=+=++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r OC OB BC OA AB BC a b c ．利用平行四边形法则作r a +b r +r c ，如图2所示，作=u u u r r OA a ，=u u u r r OB b ，=u u u r r OC c ，以OA u u u r、OB uuu r 为邻边作平行四边形OADB ，则=+u u u r r r OD a b ，再以OD u u u r 、OC u u u r为邻边作平行四边形ODEC ，则=+=++u u u r u u u r u u u r r r r OE OD OC a b c ．【总结升华】题中，要求作三个向量的和，首先求作两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后求这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．举一反三：【变式1】已知任意四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，求证：EF EF AB DC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r．【证明】如图所示，在四边形CDEF 中，0EF FC CD DE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r，所以EF FC CD DE CF DC ED =---=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．在四边形ABFE 中，0EF FB BA AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r ，所以EF BF AB EA =++u u u r u u u r u u u r u u u r．所以()()()EF EF CF DC ED BF AB EA CF BF ED EA AB DC +=+++++=+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．因为E 、F 分别是AD 、BC 的中点，所以0ED EA +=u u u r u u u r r ，0CF BF +=u u u r u u u r r ．所以EF EF AB DC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r．【总结升华】本题主要应用了封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量的知识．类型二：向量的减法运算例2．（1）在平面内任画两个非零向量r a 、b r ，求作r a －b r；（2）如图，已知不共线的两个非零向量r a 、b r ，求作向量r a ―b r ，b r ―r a ．【解析】（1）①当r a 、b r 共线时，若r a 、b r 同向，如下图甲．任取一点A ，作=u u u r r AB a ，=-u u u r rBC b ，则=-u u u r r r AC a b ．若r a 、b r 反向，如上图乙．任取一点，作=u u u r r AB a ，=-u u u r r BC b ，则()=-=+-u u u r r r r r AC a b a b ．②当r a 、b r 不共线时，如下图（左）．在平面内任取一点O ，作=u u u r r OA a ，=u u u r r OB b ，则． ()=+=+-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r BA BO OA OA OB OA OB a b ．（2）作=u u u r r OA a ，=u u u r r OB b ，则=-u u u r r r BA a b ，=-u u u r r rAB b a ，如图（右）．【总结升华】（1）题中，需要根据不同的情况分别求解．紧扣向量减法的定义是解决问题的关键．（2）题中，求两个向量的加法、减法要注意三角形法则和平行四形法测的应用，求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则两向量的差就是连接两向量的终点，且指向被减向量的终点．举一反三：【变式1】O 为正六边形ABCDEF 的中心，设OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r ，则DE u u u r等于（）．（Ａ）a b +r r （Ｂ）a b -r r （Ｃ）b a -r r （Ｄ）a b --r r【答案】Ｂ【高清课堂：向量的线性运算 395568 例2】【变式2】化简 ()()AC DB AB DC +-+u u u r u u u r u u u r u u u r【解析】原式=()()0AC AB DB DC BC CB -+-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r．类型三：与向量的模有关的问题例3．（1）已知r a 、b r 、r c 的模分别为1、2、3，求|r a +b r +rc |的最大值；（2）如图所示，已知矩形ABCD 中，||43AD =u u u r，设=u u u r r AB a ，=u u u r r BC b ，=u u u r r BD c ，试求|r a +b r +r c |的大小．【思路点拨】（1）利用向量的三角形不等式求解；（2）构造平行四边形求向量模的长度．【解析】（1）∵|r a +b r +r c |≤|r a |+|b r |+|r c |=1+2+3=6， ∴|r a +b r +rc |的最大值为6．（2）过点D 作AC 的平行线，交BC 的延长线于E ，如图所示． ∵DE ∥AC ，AD ∥BE ，∴四边形ADEC 为平行四边形，∴DE AC =u u u r u u u r ，CE AD =u u u r u u u r ，于是2++=++=+=+==+=r r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r uu u r u u u r a b c AB BC BD AC BD DE BD BE AD AD AD ， ∴||2||83++==r r r u u u ra b c AD ．【总结升华】求若干个向量的和的模（或最值）问题通常按下列方法进行：寻找或构造平行四边形——借助已知长度的向量表示待求模的向量来求模（或利用向量的和的模的性质）．举一反三：【变式1】已知非零向量r a ，b r 满足||71=+r a ，||71=-rb ，且|r a －b r |=4，求|r a +b r |的值．【解析】如图，=u u u r r OA a ，=u u u r r OB b ，则||=-u u u r r rBA a b ．以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ，则||||=+u u u r r rOC a b ．由于222(71)(71)4++-=．故222||||||OA OB BA +=u u u r u u u r u u u r ，所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形，从而OA ⊥OB ，所以Y OACB 是矩形．根据矩形的对角线相等有||||4OC BA ==u u u r u u u r，即|r a +b r |=4．类型四：向量的数乘运算例4．（2016 安徽合肥月考）计算下列各式：（1）3(2)2(43)a b a b ---r r r r ；（2）113(43)(3)322a b a b b +--+rr r r r ；（3）2(34)3(23)a b c a b c -+-+-r r r r r r．【答案】（1）23a b -+r r ；（2）136a b -+rr ；（3）1111b c -+r r ．【解析】（1）3(2)2(43)638623a b a b a b a b a b ---=--+=-+r r r r r r r r r r；（2）11343131(43)(3)332232226a b a b b a b a b b a b +--+=+-++=-+r r r r r r r r r r rr ；（3）2(34)3(23)6826391111a b c a b c a b c a b c b c -+-+-=-+--+=-+r r r r r r r r r r r r r r．【总结升华】数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数，λ＞0时，λr a 与ra 同向；λ＜0时，λr a 与r a 反向；λ=0时，λr a =0；故λr a 与ra 一定共线．应用实数与向量的积的运算律时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解．举一反三：【变式1】计算：（1）6(3r a ―2r b )+9(―2r a +rb )；（2）127137(32)236276⎡⎤⎡⎤⎛⎫+---++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦rr r r r r r a b a b a b a ；（3）6(r a ―r b +r c )―4(r a ―2r b +r c )―2(―2r a +r c )．【解析】（1）原式=18r a ―12r b ―18r a +9r b =―3rb ．（2）127137(32)236276⎡⎤⎡⎤⎛⎫+---++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦rr r r r r r a b a b a b a12711332236227⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r rr r r r r a a b b a a b 17732367⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r a b a b 717106262a b a b =+--=r r r r r ．（3）原式=6r a ―6r b +6r c ―4r a +8r b ―4r c +4r a ―2rc =(6r a ―4r a +4r a )+(8r b ―6r b )+(6r c ―4r c ―2r c ) =6r a +2r b ．例5.（2015春山西运城期中）在边长为1的正△ABC 中，2BC BD =u u u r u u u r ，3AC EC =u u u r u u u r，AD 与BE 相交于点F ．（1）求AD BE ⋅u u u r u u u r的值；（2）若AF FD λ=u u u r u u u r，求实数λ的值．【思路点拨】（1）通过题意可得AD ⊥BC ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，利用23AE AC =u u u r u u u r，代入计算即可；（2）通过计算可得22(1)2(1)BF BA AF AB AC λλλλ+=+=-+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ，记BF BE μ=u u u r u u u r ，通过计算可得2()3BF AB AE AB AC μμμ=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，根据平面向量的基本定量计算即得结论．【解析】（1）由题意，D 为BC 的中点，而△ABC 为正三角形，∴AD ⊥BC ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，又3AC EC =u u u r u u u r ，则1()()2AD BE AB AC AE AB ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r12()()23a b b a =+⋅-r r r r 22111326b a a b =--⋅r r r r 14=-；（2）根据题意：1BF BA AF AB AD λλ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur()2(1)AB AB AC λλ=-+++u u u r u u u r u u u r 22(1)2(1)AB AC λλλλ+=-+++u u u r u u u r 记BF BE μ=u u u r u u u r ，则2()3BF AB AE AB AC μμμ=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，根据平面向量的基本定理可得：22(1)22(1)3λμλλμλ+⎧-=-⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩解得：λ=4．【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.举一反三：【高清课堂：向量的线性运算 395568 例6】【变式1】如图，已知ABC ∆三边中点为D E F 、、，求证：0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r r.【解析】AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r =3()2AG BG CG ++u u u r u u u r u u u r=3()2GA GB CG ⎡⎤-++⎣⎦u u u r u u u r u u u r =322GF CG ⎡⎤-+⎣⎦u u u r u u u r =302⋅r =0r【变式2】如图，四边形OADB 是以向量=u u u r r OA a ，=u u u r rOB b 为邻边的平行四边形，又13=u u u u r u u u r BM BC ，13=u u u r u u u rCN CD ，试用向量r a 、r b 表示OM u u u u r ，ON u u u r ，MN u u u u r ．【解析】 ∵1111()()3666===-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r rBM BC BA OA OB a b ，∴11156666=+=+-=+u u u u r u u u r u u u u r r r r r r OM OB BM b a b a b ，∵1136CN CD OD ==u u u r u u u r u u u r ，∴11222()()26333=+=+==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ON OC CN OD OD OD OA OB a b ，21511()36626=-=+--=-u u u u r u u u r u u u u r r r r r r r MN ON OM a b a b a b ．类型五：共线向量与三点共线问题例6.设两非零向量1e u r 和2e u u r不共线，(1)如果121212,28,3(),AB e e BC e e CD e e =+=+=-u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u r求证D B A ,,三点共线.(2)试确定实数k ，使12ke e +u r u u r 和12e ke +u r u u r共线.【思路点拨】要证明D B A ,,三点共线，须证存在λ使12()BD e e λ=+u u u r u r u u r 即可.而若12ke e +u r u u r 和12e ke +u r u u r共线，则一定存在λ，使1212()ke e e ke λ+=+u r u u r u r u u r.【解析】(1)证明 12121212,283()5()5,AB e e BD BC CD e e e e e e AB =+=+=++-=+=u u u r u r u u r u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u r u u u rQ,AB BD ∴u u u r u u u r共线，又有公共点B ， ∴D B A ,,三点共线.(2)解 ∵12ke e +u r u u r 和12e ke +u r u u r共线，∴存在λ，使1212()ke e e ke λ+=+u r u u r u r u u r，则12()(1),k e k e λλ-=-u r u u r 由于1e u r 和2e u u r不共线，只能有⎩⎨⎧=-=-010k k λλ 则1k =±.【总结升华】本题充分地运用了向量共线的充要条件，即,a b r r共线⇔存在λ使b a λ=r r (正用与逆用)举一反三：【变式1】（2015秋安徽滁州月考）（1）设两个非零向量1e u r ，2e u u r 不共线，如果1223AB e e =+u u u r u r u u r，12623BC e e =+u u u r u r u u r ，1248CD e e =-u u u r u r u u r，求证：A ，B ，D 三点共线．（2）设1e u r ，2e u u r 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+u u u r u r u u r ，123CB e e =+u u u r u r u u r ，122CD e e =-u u u r u r u u r，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．【答案】（1）略；（2）－8【解析】（1）证明：∵121210155(23)5BD BC CD e e e e AB =+=+=+=u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u u u r ，∴BD u u u r 与AB u u u r共线，又它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线；（2）121212(2)(3)4BD CD CB e e e e e e =-=--+=-u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u r ，∵A 、B 、D 三点共线，∴AB u u u r 与BD u u u r 共线，则AB BD λ=u u u r u u u r ，即12122(4)e ke e e λ+=-u r u u r u r u u r，所以24k λλ=⎧⎨=-⎩，解得k =－8．类型六：向量的综合应用例7．已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内一点，若0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r，证明O 是△ABC的重心．【思路点拨】要证明O 是△ABC 的重心，即证O 是△ABC 各边中线的交点，可联系重心的性质证之．【证明】 ∵0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r，∴()OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r，即OB OC +u u u r u u u r 是与OA u u u r 方向相反且长度相等的向量．如图所示，以OB 、OC 为相邻两边作Y OBDC ，则OD OB OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴OD OA =-u u u r u u u r ．在Y OBDC 中，设BC 与OD 相交于E ，则BE EC =u u u r u u u r ，OE ED =u u u r u u u r， ∴AE 是△ABC 的BC 边上的中线，且||2||OA OE =u u u r u u u r．根据平面几何知识，知O 是△ABC 的重心．【总结升华】若AB CD λ=u u u r u u u r且直线AB 与直线CD 不重合，则AB ∥CD ．若AB CD =u u u r u u u r且直线AB 与直线CD 不重合，则以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形．举一反三：【变式1】如图，已知任意平面四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：1()2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ．证明：取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求，如图．∵E 是AD 的中点，∴12AE AD =u u u r u u u r ． ∵F 是BC 的中点，∴1()2AF AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，又∵AC AD DC =+u u u r u u u r u u u r ，∴1()2AF AB AD DC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 11()22AB DC AD =++u u u r u u u r u u u r ． ∴1111()()2222EF AF AE AB DC AD AD AB DC =-=++-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．【总结升华】掌握向量的线性运算是关键，利用封闭图形的依次各向量之和为零向量进行变形而得到．例8． 2009年8月份，南方遭遇暴雨袭击，在某小镇的一次营救中，小汽艇在静水中的速度是12 km / h ，水流的速度是6 km / h ．如果小汽艇向着垂直河岸的方向行驶，则小汽艇在河水中的实际运动速度是多大？方向怎样？此时，必须到河正对岸去营救一人，要使小汽艇沿垂直方向到达对岸，船头方向该怎样？【解析】如图（1）所示，AB u u u r 为汽艇在静水中的速度，AD u u u r 为水流速度，由平行四边形法则可知，小汽艇在实际速度为AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，在Rt △ADC 中，||6AD =u u u r ，||||12DC AB ==u u u r u u u r ，||6513.4AC =≈，∠CAD ≈63°43′．即小汽艇在河水中的速度大小约为13.4 km / h ，方向与水流速度的夹角约为63°43′．如图（2）所示，欲使小汽艇垂直河岸方向到达对岸码头，设小汽艇实际速度为AC u u u r ，则AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ．在Rt △ABC 中，||12AB =u u u r ，||6BC =u u u r ，从而∠BAC=30°，∠BAE=60°，即小汽艇应沿与河岸成60°角的方向逆水行驶，才能沿垂直河岸方向到达对岸．【总结升华】用向量加法解决简单的实际问题其步骤为：先用向量表示相关物理量（如速度等），再进行向量运算，然后归结到实际问题去解决．举一反三：【变式1】在湘江的某渡口处，江水以12.5 km / h 的速度向北流去，渡船的速度是25 km / h ，现渡船要垂直地渡过湘江，问：其航向应该怎样确定？【解析】设AB u u u r 表示水流速度，AD u u u r 表示船的速度，AC u u u r 表示渡船实际垂直过江的速度，现以AB 为一边，以AC 为对角线作Y ABCD ，则AD 就是船的速度（如图）．在Rt △ACD 中，∠ACD=90°，||||12.5DC AB ==u u u r u u u r ，||25AD =u u u r ，所以∠CAD=30°．故其航向应该调整为东偏南30°．。

平面向量的概念及线性运算(基础)-教案

学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第07讲---平面向量的概念及线性运算授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解向量、向量的相等、共线向量等概念；②掌握向量、向量的相等、共线向量等概念；③熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1一、平面向量的概念：1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．2、向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．知识梳理aAB图7－2、平行四边形法则：如图7－4所示，这说明，在平行四边形ABCD aa起点相同的两个向量a、b，其差a－b仍然是一个向量，的终点，终点是被减向量a的终点．()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４　．考点一：平面向量的基本概念例1、给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中错误的命题有________．(填序号)【解析】两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．故答案为①②③⑥；例2、在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点．（1）找出与向量DA 相等的向量；（2）找出向量DC 的负向量；（3）找出与向量AB 平行的向量．【解析】要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解：由平行四边形的性质，得（1）CB =DA ；（2）BA =DC -,CD DC =-；（3）BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ．考点二：平面向量的线性表示例1、一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．典例分析ADCB图7－5O【解析】如图7－10所示，AB 表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC =+=22125+=13．又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723CAD '∠≈︒．即船的实际航行速度大小是13km/h ，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约6723'︒．例2、用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小．【解析】利用平行四边形法则，可以得到1212cos F F F k +==θ，所以 12cos k F =θ．例3、已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．【解析】如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即BA = a －b ．例4、在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．求出向量AC 与【解析】因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别BD .AC ＝a ＋b ,BD ＝b −a ，BbOaAba（1）（2）图7－14ABD CF 1F 2kθ 图7－11图7－16因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以 1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，OD ＝12BD ＝12（b −a ）＝−12a +12b ．例5、平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.【解析】BA →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD→＝23OD →＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝12a －16b . 考点三：共线向量例1、设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【解析】(1) 证明：∵ AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴ BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴ AB →，BD →共线．又它们有公共点B ，∴ A 、B 、D 三点共线． (2) 解：∵ k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴ 存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a 、b 是两不共线的非零向量， ∴ k －λ＝λk －1＝0. ∴ k 2－1＝0.∴ k ＝±1.例2、已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时λ、μ满足的条件为________．【解析】由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB →＝tAC →，所以λa ＋b ＝t(a ＋μb )＝t a＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.考点四：向量共线的应用例1、如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．【解析】如图所示，设M 是AC 的中点，则OA →＋OC →＝2OM →. 又OA →＋OC →＝－2OB →， ∴ OM →＝－OB →，即O 是BM 的中点， ∴ S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 例2、如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．【解析】∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋CN →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1．在下列判断中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤D ．①③⑤【解析】由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D. 2．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( )A ．BC →B ．AB →C ．AC →D ．AM →【解析】原式＝AB →＋BC →＋MB →＋BO →＋OM →＝AC →＋0＝AC →；故选C 。

高中数学第二章平面向量 2.2 平面向量的线性运算教学案数学教学案

2.2 平面向量的线性运算第1课时向量加法运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P80～P83的内容，回答下列问题．(1)观察教材P80图2.2－1，思考：某对象从A点经B点到C 点，两次位移的结果是什么？与从A点直接到C点的位移有什么关系？提示：从A点经B点到C点，两次位移的结果是位移，与从A点直接到C点的位移相等．(2)观察教材P80“探究”的内容，思考：①力F对橡皮条产生的效果，与力F1与F2共同产生的效果相同吗？提示：产生的效果相同．②力F与力F1、F2有怎样的关系？提示：力F是F1与F2的合力．力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．(3)数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的什么运算？提示：F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可看作向量的加法．2．归纳总结，核心必记(1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)向量加法的运算法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝_.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a．平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线_就是a与b的和．我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.①交换律：a＋b＝b＋a；②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．[问题思考](1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？提示：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加．两个向量相加应满足三角形法则或平行四边形法则．(2)当两非零向量a，b共线时，向量加法的平行四边形法则还能用吗？三角形法则呢？提示：平行四边形法则不能用，但三角形法则可用．(3)式子＝0正确吗？[课前反思](1)向量加法的定义：；(2)求向量和的三角形法则：；(3)求向量和的平行四边形法则：；(4)向量加法的交换律：；(5)向量加法的结合律：．[思考1] 求作两个向量和的方法有哪些？提示：三角形法则和平行四边形法则．[思考2] 三角形法则和平行四边形法则的适用条件有什么不同？名师指津：(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示， (平行四边形法则)，(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同.讲一讲1．(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a＋b；(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.[尝试解答] (1)如图ⓐ所示，设＝a，∵a与b有公共点A，故过A点作＝b，连接即为a＋b.(2)如图ⓑ，设＝a，过O点作＝b，则以OA、OB为邻边作▱OACB，连接OC，则＝a＋b.应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．练一练1．如图，已知a、b、c，求作向量a＋b＋c.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示．作＝a＋b＋c.[思考] 向量加法有哪些运算律？名师指津：向量加法的交换律：a＋b＝b＋a；向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．讲一讲2．化简下列各式：解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.练一练2．如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB 的中点，化简下列三式：讲一讲3．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[尝试解答] 如图所示，设分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.则飞机飞行的路程指的是；两次飞行的位移的和指的是依题意，有＝800＋800＝1 600 (km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东80°.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤练一练3．轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．解：如图所示，设分别是轮船的两次位移，则表示最终位移，且＝＋.∠CAD＝60°，即此时轮船位于A港东偏北60°，且距离A港40 3 km处．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用．2．要掌握向量加法的三个问题(1)求作向量的和，见讲1；(2)向量加法运算，见讲2；(3)向量加法的应用，见讲3.3．求作向量时应注意以下两点(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”．课下能力提升(十四)[学业水平达标练]题组1 求作向量的和1．如图，已知两个不共线的非零向量a，b，求作a＋b.解：在平面内任取一点O，2．已知两非零向量a，b(如图所示)求作a＋b.解：如图所示：在平面内任取一点O，作题组2 向量加法运算4．下列等式错误的是( )A．a＋0＝0＋a＝aA．2 5 B．45C．12 D．66．根据图示填空．解析：由三角形法则知7．已知正方形ABCD 的边长为1，＝a ，＝c ，＝b ，则|a ＋b ＋c |为________．解析：|a ＋b ＋c |＝＝＝2 2.答案：22 8．如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，根据图示计算：解：(1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以题组3 向量加法的应用 9．若a 等于“向东走8 km ”，b 等于“向北走8 km ”则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________．解析：如图所示，设＝a ，＝b ，则＝a ＋b ，且△ABC 为等腰直角三角形，则||＝8 2 km ，∠BAC ＝45°.答案：8 2 km 北偏东45°10．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s ，现在有风，风使雨滴以433m/s 的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．解：如图，用表示雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度．以，为邻边作平行四边形OACB ，就是雨滴下落的实际速度．在Rt △OAC 中，||＝4，||＝433，∴∠AOC ＝30°. 故雨滴着地时的速度大小是833m/s ，方向与垂直方向成30°角向东.[能力提升综合练]1．设a ＝，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( )①a∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |.A ．①②B ．①③C ．①③⑤D ．③④⑤解析：选C a ＝＝0，∴①③⑤是正确的．2．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是( )解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，3．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则＝( )4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足，则下列结论中正确的是( )A ．P 在△ABC 的内部B ．P 在△ABC 的边AB 上C ．P 在AB 边所在的直线上D ．P P 在△ABC 的外部解析：选D ，根据平行四边形法则，如图，则点P 在△ABC 外．答案：6．若P 为△ABC 的外心，且，则∠ACB ＝________．解析：∵，则四边形APBC 是平行四边形．又P 为△ABC 的外心，因此∠ACB ＝120°.答案：120°7．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O 且||＝＝0，cos ∠DAB ＝12.求又cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)， ∴∠ DAB ＝60°，∴△ABD 为正三角形．8．已知船在静水中的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解：作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt△ACD中，＝|v水|＝10 m/min，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．故船行进的方向是与水流的方向成120°的角．第2课时向量减法运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P85～P86的内容，回答下列问题．(1)一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？提示：一个数x的相反数是－x.一个向量a有相反向量，记为－a.(2)任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？提示：a＋(－a)＝0.(3)根据前一节所学的内容，你能作出向量a与b的差a－b 吗？提示：可以，先作－b，再按向量加法的平形四边形法则或三角形法则作出a＋(－b)即可．2．归纳总结，核心必记(1)相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a．①规定：零向量的相反向量仍是零向量；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．(2)向量的减法①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．②几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则_＝a －b，如图所示，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．[问题思考](1)若两个非零向量a与b互为相反向量，则a与b应具备什么条件？提示：①长度相等；②方向相反．(2)相反向量与相反数一样吗？提示：不一样．相反数是两个数符号相反，绝对值相等，相反向量是指两个向量方向相反，模相等．(3)若a－b＝c－d，则a＋d＝b＋c成立吗？提示：成立．移项法则对向量的运算是成立的．[课前反思](1)相反向量的定义：；(2)向量减法的定义：；(3)向量减法的几何意义：．讲一讲(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和；②起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．练一练1．化简下列各式：[思考1] 已知两个非零向量a，b，如何作a－b?名师指津：求作两向量的差可以转化为两个向量的和，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量．[思考2] a－b的几何意义是什么？名师指津：a－b的几何意义是：当向量a，b的始点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量．讲一讲2．(1)四边形ABCD中，若( )A．a－b＋c B．b－(a＋c)C．a＋b＋c D．b－a＋c(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[尝试解答] (1)＝a＋c－b.(2)法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.答案：(1)A求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．练一练2．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：(1)b＋c－a；(2)a－b－c.如图所示．(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图，作▱OBEC，连接OE，连接AE，则＝a－(b＋c)＝a－b－c.讲一讲3．如图，解答下列各题：利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)三点注意①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系；②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；③注意在封闭图形中利用多边形法则．练一练—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用已知向量表示未知向量，难点是利用已知向量表示未知向量．2．要掌握向量减法的三个问题(1)向量的减法运算，见讲1；(2)向量减法及其几何意义，见讲2；(3)利用已知向量表示未知向量，见讲3.3．掌握用已知向量表示某向量的基本步骤第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．课下能力提升(十五)[学业水平达标练]题组1 向量的减法运算1．已知非零向量a与b同向，则a－b( )A．必定与a同向B．必定与b同向C．必定与a是平行向量D．与b不可能是平行向量解析：选C 若|a|＞|b|，则a－b与a同向，若|a|＜|b|，则a－b与－b同向，若|a|＝|b|，则a－b＝0，方向任意，且与任意向量共线．故A，B，D皆错，故选C.3．给出下面四个式子，其中结果为0的是( )A．①② B．①③C．①③④ D．②③题组2 向量减法及其几何意义4．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )解析：选B 由减法法则知B正确．A．[3，8] B．(3，8)C．[3，13] D．(3，13)6．如图，在正六边形ABCDEF中，＝( )7．已知菱形ABCD边长都是2，求向量的模．题组3 利用已知向量表示未知向量8．如图，向量，则向量可以表示为( ) A．a＋b－c B．a－b＋cC．b－a＋c D．b－a－c解析：选C ＝b－a＋c.故选C.9．已知一点O到▱ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于( )A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．a－b－c解析：选B 如图，点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有＝a－b＋c.10．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．解析：＝b－c.答案：b－c11．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量[能力提升综合练]1．有下列不等式或等式：①|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|；②|a|－|b|＝|a＋b|＝|a|＋|b|；③|a|－|b|＝|a＋b|<|a|＋|b|；④|a|－|b|<|a＋b|＝|a|＋|b|.其中，一定不成立的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选A ①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0，或b ＝0，a≠0时成立；③当a与b共线，方向相反，且|a|≥|b|时成立；④当a与b共线，且方向相同时成立．2．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( ) A．8 B．4 C．2 D．14．平面上有三点A，B，C，设若m，n 的长度恰好相等，则有( )A．A，B，C三点必在同一直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形解析：选C 由|m|＝|n|，知A，B，C为一矩形的三顶点，且△ABC中∠B为直角．答案：6．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|b i|＝2|a i|，且a i顺时针旋转30°后与b i同向，其中i＝1，2，3，则b1－b2＋b3＝________．解析：将a i顺时针旋转30°后得a i′，则a1′－a2′＋a3′＝0.又∵b i与a i′同向，且|b i|＝2|a i|，∴b1－b2＋b3＝0.答案：07．设O是△ABC内一点，且，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，又四边形ODHC为平行四边形，8．已知O为四边形ABCD所在平面外一点，且向量、满足等式.作图并观察四边形ABCD的形状，并证明．解：通过作图(如图)可以发现四边形ABCD为平行四边形．证明如下：∵，∴，∴，∴AB綊DC，∴四边形ABCD为平行四边形．第3课时向量数乘运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 87～P 90的内容，回答下列问题．(1)已知非零向量a ，根据向量的加法，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你认为它们与a 有什么关系？提示：a ＋a ＋a ＝3a 的长度是a 长度的3倍，且方向相同；(－a )＋(－a )＋(－a )＝－3a 的长度是a 长度的3倍，且方向相反．(2)λa 与a (λ≠0，a ≠0)的方向、长度之间有什么关系？提示：当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＜0时，λa 与a 方向相反，且λa 的长度是a 长度的|λ|倍．(3)若a ＝λb ，则a 与b 共线吗？提示：共线．2．归纳总结，核心必记(1)向量数乘运算一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反Ｗ. 特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0．(2)向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb．特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．(3)共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.(4)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．[问题思考](1)向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？提示：不可以，向量与实数不能进行加减运算，如λ＋a，λ－2b无法运算．(2)数乘向量与实数的乘积等同吗？提示：不等同．数乘向量的结果仍然是一个向量，既有大小又有方向．实数相乘运算的结果是一个实数，只有大小没有方向．(3)λ＝0时，λa＝0；a＝0时，λa＝0，这两种说法正确吗？提示：不正确，λa＝0中的“0”应写为“0”．[课前反思](1)向量数乘的概念：；(2)向量数乘的运算律：；(3)共线向量定理：；(4)向量的线性运算：．[思考] 向量的线性运算与代数多项式的运算有什么类似之处？名师指津：向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．讲一讲1．化简下列各式：(1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋2b ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .[尝试解答] (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．练一练1．设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )．解：原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j . 讲一讲2.已知在▱ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点．若，试用e 1，e 2表示[尝试解答] ∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴MN 綊12BD . 用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示，其实质是向量线性运算的反复应用．练一练2.如图所示，四边形OADB 是以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示 [思考1] 如何证明向量a 与b 共线？名师指津：要证向量a 与b 共线，只需证明存在实数λ，使得b ＝λa (a ≠0)即可．[思考2] 如何证明A ，B ，C 三点在同一条直线上？名师指津：讲一讲3．(1)已知e 1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若求x＋y的值．∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．(2)由于A，B，P三点共线，所以向量在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量，则共线，又有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．练一练3．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N 三点共线．证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点，∴M，A，N三点共线．—————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————1．本节课的重点是向量的数乘运算及共线向量定理，难点是共线向量定理的应用．2．掌握与向量数乘运算有关的三个问题(1)向量的线性运算，见讲1；(2)用已知向量表示未知向量，见讲2；(3)共线向量定理及应用，见讲3.3．本节课的易错点当A、B、C、D四点共线时，共线；反之不一定成立．4．要掌握用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法．(2)方程法．当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．5．注意以下结论的运用(1)以AB，AD为邻边作▱ABCD，且则对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b.课下能力提升(十六)[学业水平达标练]题组1 向量的线性运算1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于( ) A ．2a －b B ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B 原式＝16(2a ＋8b )－13(4a －2b )＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ＝2b －a .2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n .A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④解析：选B ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．题组2 用已知向量表示未知向量A ．r ＝－12p ＋32q B ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12q D ．r ＝－q ＋2p＝－12p ＋32q .4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且则t 的值为( )A.13B.23C.12D.535．如图所示，在▱ABCD 中，＝a ，＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则＝________．(用a ，b 表示)＝12b －14(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a )．答案：14(b －a ) 6．如图所示，已知▱ABCD 的边BC 、CD 的中点分别为K 、L，且＝e 1，＝e 2，试用e 1，e 2表示⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2. ②－2×②＋①得12x －2x ＝e 1－2e 2，解得x ＝23(2e 2－e 1)，即＝23(2e 2－e 1)＝43e 2－23e 1，同理得y ＝23(－2e 1＋e 2)，即＝－43e 1＋23e 2.题组3 共线向量定理的应用7．对于向量a ，b 有下列表示：①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2； ④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中，向量a ，b 一定共线的有( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④解析：选A 对于①，a ＝－b ；对于②，a ＝－12b ；对于③，a ＝4b ；对于④，若a ＝λb (λ≠0)，则e 1＋e 2＝λ(2e 1－2e 2)，即(1－2λ)e 1＋(1＋2λ)e 2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故④中a 与b 不共线．8．已知向量a ，b ，且＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：选A＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2，所以A ，B ，D 三点共线．9．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，而a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个共线向量，则实数k ＝________．解析：由题设知k 22＝1－52k 3，所以3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13. 答案：－2或1310．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，＝a ，＝b .(1)用a ，b 分别表示向量(2)求证：B ，E ，F 三点共线．[能力提升综合练]2．已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a ，b 共线的是( )①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0；③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④已知梯形ABCD ，其中A ．①②B ．①③C ．②D ．③④解析：选A 由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故①可以；λa －μb ＝0，λa ＝μb ，故②可以；x ＝y ＝0，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故③不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．解析：选B 如图，在△ABC 中，以BM ，CM 为邻边作平行四边形MBDC ，依据平行四边形法则可得两向量有公共点M ，则A ，M ，D 三点共线，设BC ∩MD ＝E ，结合MD 是平行四边形MBDC 的对角线可知，AE 是△ABC 的中线，同理可证BM ，CM 也在△ABC 的中线上，即M 是△ABC 的重心．以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABFC ，依据向量加法的平行四边形法则可得4．如图所示，两射线OA 与OB 交于O ，则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)( )A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．③④到λx ＋(1－x )λ＝λ＞1；注意到1＋2＝3＞1，34＋13＞34＋14＝1，12＋13＝56＜1，34＋15＝1920＜1，故选A. 答案：236．已知两个不共线向量e 1，e 2，且＝e 1＋λe 2，＝3e 1＋4e 2，＝2e 1－7e 2，若A ，B ，D 三点共线，则λ的值为________．又＝e 1＋λe 2，且A ，B ，D 三点共线，所以存在实数μ，即e 1＋λe 2＝μ(5e 1－3e 2)，又e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧5μ＝1，－3μ＝λ，则λ＝－35. 答案：－357．如图，已知在平行四边形ABCD 中，AH ＝HD ，BF ＝MC ＝14BC ，设＝a ，＝b ，试用a ，b 分别表示解：∵ABCD 是平行四边形，BF ＝MC ＝14BC ， ∴FM ＝BC －BF －MC ＝12BC . ∴FM ＝12BC ＝12AD ＝AH . ∴FM 綊AH .∴四边形AHMF 也是平行四边形．8．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点， (λ∈R ，λ≠0且λ≠1)．(1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．。

平面向量的线性运算教学设计

平面向量的线性运算【教学目标】1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两向量共线的含义．【教学重点】1．了解向量的实际背景；2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；3．理解向量的几何表示．【教学难点】1．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；2．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两向量共线的含义．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．【高考动向】1．本节课是高考考查的重点和热点；2．考查的题型多为选择题、填空题；向量与三角函数、解析几何交汇命题时，则出现在解答题中，难度一般不大，属中低档题．【教学过程】一、近三年平面向量真题展示（5.3复习资料P82，略）二、知识讲解1. 平面向量的两种表示：①向量的几何表示：常用表示；②向量的字母表示：（1）印刷体；（2）手写体．2. 平面向量的概念：⃗⃗⃗⃗⃗ 的也就是向量的长度（或模）．①向量的长度（模）：向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ |或|a⃗|．记作：|AB②两个特殊向量：（1）零向量：长度（模）为的向量，记作：0⃗；（2）单位向量：长度（模）为个单位的向量；（3）平行向量（又叫共线向量）：方向或的非零向量，记作：a⃗//b⃗ //c⃗；（4）相等向量：长度且方向的向量，记作：a⃗=b⃗ =c⃗．规定：0⃗与任一向量平行．3. 【露他一小手儿】例1. 下列说法中：① 相等向量一定是平行向量； ② 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是单位向量，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 也是单位向量； ③ 向量的模是一个非负实数； ④ 共线向量一定在同一直线上．其中正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 变1. 下列结论中，正确的是（） A ．若a ⃗ =b ⃗ ，则a ⃗ ，b ⃗ 的长度相等，且方向相同或相反B ．若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >CD ⃗⃗⃗⃗⃗C ．若a ⃗ =b ⃗ ，则a ⃗ //b ⃗D ．由于零向量的方向不定，故零向量不能与任一向量平行变2. 下列说法正确的是（）A ．若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a ⃗ //c ⃗B ．向量a⃗ 与b ⃗ 平行，则a ⃗ 与b ⃗ 的方向相同或相反 C ．向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度与向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等 D ．若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 变3. 下列说法正确的是（） A ．平行向量不一定是共线向量B ．两个有共同终点的向量，一定是共线向量C ．共线向量都相等D ．模为0的向量与任意一个向量平行 4.向量的两个法则 ①向量加法三角形法则口诀：尾首相连，由起点指向终点.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =②向量加法平行四边形法则口诀：起点相同，对角为和.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ③向量减法三角形法则口诀：共起点，连终点，方向指向被减向量.OA⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A5.重要结论在∆ABC 中，若D 为BC 边的终点，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 6. 【露他一小手儿】例2.（2018全国卷Ⅰ）在∆ABC 中，AD 为中线，E 为AD 的中点，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A ．34AB ⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗ C ．14AB ⃗⃗⃗⃗ −34AC ⃗⃗⃗⃗ D ．14AB ⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗ 变1. 在∆ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A ．23b ⃗ +13c B ．53b ⃗ −23c C ．23b ⃗ −13c D ．13b ⃗ +23c 7.向量共线定理向量a ⃗ （a ⃗ ≠0⃗ ）与b ⃗ 共线，当且仅当有唯一实数λ，使．即a ⃗ 与b ⃗ 共线⇔ （a ⃗ ≠0⃗ ）．8. 【露他一小手儿】例3.设a ⃗ 与b ⃗ 是两个不共线，且a ⃗ +λb ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 共线，则λ= ．变1. 设e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线向量，且3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 与m e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ 共线，则m = ． 9. 平面向量基本定理如果e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内任一向量a⃗ ，有且只有一对实数λ1，λ2使．其中，不共线的两个向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 叫做一组．10. 【露他一小手儿】例4.已知向量e 1⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，e 2⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，λ∈R ，a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ ，若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则下列关系一定成立的是( )A ．e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗B ．e 2⃗⃗⃗ =0⃗C ．λ=0D ．e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗ 或λ=0变1.已知向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 不共线，实数x ，y 满足（2x −3 y ）e 1⃗⃗⃗ +(3x −4y )e 2⃗⃗⃗ =6e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ ，则x = ，y= ．ＡＢＣＤＡＢＣＤ。

平面向量的概念及线性运算教案

【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ⇔=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．图7－2向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10aABAB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个AB与MN，方向相同，模相等；平HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．的模相等并且方向相同时，称向量b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．AB = MN ，GH = －TK ． ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点DA 相等的向量； DC 的负向量；）找出与向量AB 平行的向量要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．CB =DA ；BA =DC -,CD DC =-； BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ．强化练习如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写EF 相等的向量；AD 共线的向量OC 相等的向量；）OC 的负向量；OC 共线的向量．巡视指导A D E FAB DAC 叫做AB 与位BC 的和AC =AB +BC ．AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量＋b ，即b =AB ＋BC =AC （求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方三角形法则．可以看到：依照三角形法则进行向量abaAD=BC，AB＋AD=AB＋BC=AC这说明，在平行四边形AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：总结归纳AB表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=12又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723'≈︒1．即船的实际航行速度大小是流方向)的夹角约6723'︒．过程行为行为意图间图7-12 讲解说明思考求解62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c =_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考66*动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即总结归纳（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图=OA，b OB，则OA OB OA OB OA BO BO OA BA-=+-+=+=．()=-=BA（7．OA OB观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减的终点，终点是被减向量a的终点．OA=a，OB=b，连接BA为所求的差向量，即BA= a－b ．【想一想】当a与b共线时，如何画出 b ．*运用知识-=_______________AB AD过程行为行为意图间（2）BC BA -=______________，（3）OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳72 *创设情境兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考74 *动脑思考探索新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3）若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4）一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对总结归纳思考归纳带领学生分析a a aaOAB C过程行为行为意图间于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ，　；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４　．【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．仔细分析讲解关键词语理解记忆理解记忆引导启发学生得出结论78 *巩固知识典型例题例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .解 AC＋b ,BD ＝b −a ，＝a 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，强调含义说明思考求解领会注意观察学生是否理解知识点图7－16OD＝12BD＝12（a＋12b和−12a+12AO、OD可以用向量λa＋μb叫做a, b的一个．如果l ＝λa＋μb向量的加法、减法、数乘运算都叫做OA，使OA＝12（向量、向量的模、向量相等是如何定义的？向量的大小叫做向量的AB的模依次记作AB．a与向量的模相等并且方向相同时，称向量相等，记作*归纳小结本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？过程AB＋BC＋CD；（OB＋BC＋CA．活动探究读书部分：教材书面作业：教材习题7．A组（必做）；7．1 B 【教师教学后记】。

平面向量的线性运算教案

平面向量的线性运算教案教案标题：平面向量的线性运算教学目标：1. 理解平面向量的基本概念和性质。

2. 掌握平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数乘和点乘。

3. 能够应用线性运算解决平面向量相关的问题。

教学重点：1. 平面向量的线性运算的定义和性质。

2. 向量的加法、减法、数乘和点乘的运算规则。

3. 运用线性运算解决平面向量的问题。

教学难点：1. 点乘的概念和应用。

2. 运用线性运算解决复杂的平面向量问题。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、平面向量的示意图、习题集。

2. 学生准备：纸笔、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平面向量的概念和基本性质，与学生进行互动讨论，激发学生的学习兴趣。

2. 回顾向量的表示方法和坐标表示，确保学生对向量的基本概念有清晰的理解。

二、讲解平面向量的线性运算（15分钟）1. 向量的加法和减法：介绍向量的加法和减法的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。

2. 向量的数乘：介绍向量的数乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。

3. 向量的点乘：介绍向量的点乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。

三、练习与讨论（20分钟）1. 给出一些简单的练习题，让学生进行个别或小组练习。

2. 针对学生的问题和困惑进行解答和讲解，引导学生理解和掌握平面向量的线性运算。

四、拓展应用（15分钟）1. 给出一些实际问题，引导学生运用平面向量的线性运算解决问题。

2. 分组讨论和展示解题过程和结果，促进学生的思维发散和创新。

五、归纳总结（5分钟）1. 对平面向量的线性运算进行总结和归纳，强化学生对知识点的理解和记忆。

2. 指导学生将所学知识进行整理和梳理，形成学习笔记或思维导图。

六、作业布置（5分钟）1. 布置适量的练习题，巩固学生对平面向量的线性运算的掌握。

2. 鼓励学生自主学习，拓展相关知识，提高问题解决能力。

教学反思：在教学过程中，要注重理论与实践的结合，通过示意图和实际问题的引导，帮助学生理解和应用平面向量的线性运算。

《4.1第一节平面向量的概念及其线性运算》教案

③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( A．0 B．1 C．2 D．3
)
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【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若
a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3.
23 / 27
证明：任取一点 O， KL ＝ OL － OK . ∵K、L 为 MN、PQ 的中点． 1 1 ∴ OK ＝2( OM ＋ ON )， OL ＝2( OP ＋ OQ )．又∵M，N，P，Q 分别为 AB，CD，BC，DE 中点， 1 1 ∴ OM ＝2( OA ＋ OB )， ON ＝2( OC ＋ OD )， 1 1 OP ＝2( OB ＋ OC )， OQ ＝2( OD ＋ OE )． 1 ∴ KL ＝ OL － OK ＝2[－( OM ＋ ON )＋( OP ＋ OQ )] 1 ＝ [－( OA ＋ OB ＋ OC ＋ OD )＋( OB ＋ OC ＋ OD ＋ OE )] 4 1 1 ＝4(－ OA ＋ OE )＝4 AE .
复习预习 1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为________________________________． 2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？所谓有向线段就是________________________，三角函数线都是_____________．
8 / 27
【例题 2】【题干】如图，在△OAB 中，延长 BA 到 C，使 AC＝BA，在 OB 上取点 D，使 DB＝ OB.设 OA ＝a，

平面向量的基本概念及线性运算教案

【教学建议】
一.易忽视零向量这一特殊向量
二.准确理解向量的基本概念是解决类题目的关键.1.相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性.共线向量平行向量和相等向量均与向量的起点无关.
三.“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度.
四.进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解.
对于B，由题意得，又，所以共线，从而得到A、B、D三点共线，故B正确．
对于C，由题意得，又，所以不共线，故A、C、D三点不共线，所以C不正确．
对于D，由题意得不共线，所以B、C、D三点不共线．
故选B．
3.设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
巧用系数判共线
＝λ ＋μ (λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1；反之，也成立．
【题干】给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等.则所有正确命题的序号是()
A.①B.③C.①③D.①②
【题干】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ等于()
A.1B. C. D.
【答案】B
【解析】∵E＋＝λ ＋μ ，
∴λ＋μ＝＋＝ .
【题干】设平面向量不共线，若＝＋5 ，＝－2 ＋8 ，＝3( )，则
平面向量的基本概念及线性运算
适用学科

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。

2.掌握平面向量的线性运算方法。

3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。

二、教学重点平面向量的线性运算。

三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。

四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。

五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。

六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。

2.新课讲解（1）向量加法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。

如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。

向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。

平面向量的概念及线性运算(优秀导学案)

§5.1平面向量的概念及线性运算考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；λ(μa)＝(λμ)a；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12(OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB→＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．( √ ) (2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .( × )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ ) 教材改编题1．(多选)下列命题中，正确的是( ) A ．若a 与b 都是单位向量，则a ＝b B ．直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量C ．若用有向线段表示的向量AM →与AN →不相等，则点M 与N 不重合 D ．海拔、温度、角度都不是向量答案 CD解析 A 错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B 错误，由于只有方向，没有大小，故x 轴、y 轴不是向量；C 正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．2．下列各式化简结果正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC →B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM →C.AB →＋BC →－AC →＝0D.AB →－AD →－DC →＝BC → 答案 B3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案－13解析由题意知存在k ∈R ，使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.题型一向量的基本概念例1 (1)(多选)给出下列命题，不正确的有( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形 C ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥bD ．已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线答案 ACD解析 A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B 正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；C 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；D 错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． (2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →答案 D 教师备选(多选)下列命题为真命题的是( )A ．若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 平行B ．若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |eC ．两个非零向量a ，b ，若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且反向D ．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件答案 ACD思维升华平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)a|a |是与a 同方向的单位向量．跟踪训练1 (1)(多选)下列命题正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 答案 BCD解析 A 项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误； B 项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；C 项，因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 是反向共线时才成立，故C 正确；D 项，由向量相等的定义知D 正确．(2)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，则a ∥b ，即充分性成立；若a ∥b ，则a ＝－b 不一定成立，即必要性不成立，即“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．题型二平面向量的线性运算命题点1 向量加、减法的几何意义例2 (2022·济南模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2 023，则|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最大值是________，最小值是________．答案 2 023 0解析当单位向量e 1，e 2，…，e 2 023方向相同时， |e 1＋e 2＋…＋e 2 023|取得最大值，|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2 023|＝2 023；当单位向量e 1，e 2，…，e 2 023首尾相连时， e 1＋e 2＋…＋e 2 023＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最小值为0. 命题点2 向量的线性运算例3 (多选)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ，E 是BC 边上一点，且BC →＝3EC →，F 是AE 的中点，则下列关系式正确的是( )A.BC →＝－12AB →＋AD →B.AF →＝13AB →＋13AD →C.BF →＝－13AB →＋23AD →D.CF →＝－16AB →－23AD →答案 ABD解析因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB →＋AD →，所以选项A 正确；因为AF →＝12AE →＝12(AB →＋BE →)＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →，而BC →＝－12AB →＋AD →，代入可得AF →＝13AB →＋13AD →，所以选项B 正确；因为BF →＝AF →－AB →，而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得BF →＝－23AB →＋13AD →，所以选项C 不正确；因为CF →＝CD →＋DA →＋AF →＝－12AB →－AD →＋AF →，而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得CF →＝－16AB →－23AD →，所以选项D 正确．命题点3 根据向量线性运算求参数例4 (2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD 满足AD →＝14BC →，平面内点E 满足BE →＝3CE →，CD与AE 交于点M ，若BM →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y 等于( ) A.52 B ．－52C.43 D ．－43答案 C解析如图所示，易知BC ＝4AD ， CE ＝2AD ， BM →＝AM →－AB → ＝13AE →－AB → ＝13(AB →＋BE →)－AB → ＝13(AB →＋6AD →)－AB → ＝－23AB →＋2AD →，∴x ＋y ＝43.教师备选1．(2022·太原模拟)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若点O 满足AO →＝2OD →，则OC →等于( ) A.－13AB →＋23AC →B.23AB →－13AC →C.13AB →－23AC →D.－23AB →＋13AC →答案 A解析如图所示，∵D 为BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∵AO →＝2OD →，∴AO →＝23AD →＝13AB →＋13AC →，∴OC →＝AC →－AO →＝AC →－⎝⎛⎭⎫13AB →＋13AC → ＝－13AB →＋23AC →.2．(2022·长春调研)在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN →＝13AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ等于( )A.13B.12 C ．－12D ．－13答案 A解析由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →)＝13AB →＋13×32BC →＝13AB →＋12(AC →－AB →) ＝－16AB →＋12AC →，又AN →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13.思维升华平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练2 (1)点G 为△ABC 的重心，设BG →＝a ，GC →＝b ，则AB →等于( ) A ．b －2a B.32a －12b C.32a ＋12b D ．2a ＋b答案 A解析如图所示，由题意可知 12AB →＋BG →＝12GC →，故AB →＝GC →－2BG →＝b －2a .(2)(2022·大连模拟)在△ABC 中，AD →＝2DB →，AE →＝2EC →，P 为线段DE 上的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( ) A ．1 B.23 C.32 D ．2答案 B解析如图所示，由题意知， AE →＝23AC →，AD →＝23AB →，设DP →＝xDE →，所以AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋xDE → ＝AD →＋x (AE →－AD →) ＝xAE →＋(1－x )AD → ＝23xAC →＋23(1－x )AB →，所以μ＝23x ，λ＝23(1－x )，所以λ＋μ＝23x ＋23(1－x )＝23.题型三共线定理及其应用例5 设两向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ， CD →＝3(a －b )．∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. 教师备选1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，且满足P A →＋PB →＋PC →＝2AB →，若S △ABC ＝6，则△P AB 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8答案 A解析 ∵P A →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2(PB →－P A →)， ∴3P A →＝PB →－PC →＝CB →， ∴P A →∥CB →，且两向量方向相同，∴S △ABC S △P AB ＝BC AP ＝|CB →||P A →|＝3，又S △ABC ＝6，∴S △P AB ＝63＝2.2．设两个非零向量a 与b 不共线，若a 与b 的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，则实数t 的值为________．答案 12解析 ∵a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，且a 与b 的起点相同，∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝⎛⎭⎫23a －13b ，又a ，b 为两个不共线的非零向量，∴⎩⎨⎧ 1＝23λ，t ＝13λ，解得⎩⎨⎧λ＝32，t ＝12.思维升华利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练3 (1)若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k 等于( ) A ．－1 B ．1 C.32 D ．2答案 B解析由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，故存在实数λ，使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.(2)如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案 B解析因为线段CO 与线段AB 交于点D ，所以O ，C ，D 三点共线，所以OC →与OD →共线，设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，可得OD →＝λm OA →＋μm OB →，因为A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm ＝1，可得λ＋μ＝m >1，所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．课时精练1．(多选)下列选项中的式子，结果为零向量的是( ) A.AB →＋BC →＋CA → B.AB →＋MB →＋BO →＋OM → C.OA →＋OB →＋BO →＋CO → D.AB →－AC →＋BD →－CD → 答案 AD解析利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量． 2．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B 解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b|b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a |a |，b |b |是相等向量或相反向量，所以“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件． 3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ＋b ＝a C ．a ＋b ＝b D ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案 B解析由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b 成立，所以A 正确；由a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；由|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |，所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．4．(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ使得a ＝λb B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b | 答案 D解析若a ∥b ，且b ＝0，则可有无数个实数λ使得a ＝λb ，故A 错误；若a ∥b ，b ∥c (b ≠0)，则a ∥c ，若b ＝0，则a ，c 不一定平行，故B 错误；若a·b ＝0，也可以为a ⊥b ，故C 错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知， |a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |成立，故D 正确．5．在平行四边形ABCD 中，AC →与BD →交于点O ，E 是线段OD 的中点．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AE →等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 答案 C解析如图所示，∵AC →＝a ，BD →＝b ， ∴AD →＝AO →＋OD → ＝12a ＋12b ， ∴AE →＝AD →－ED →＝12a ＋12b －14b ＝12a ＋14b .6．下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反D ．向量的模是一个正实数答案 A解析 A 项，AB →与BA →的长度相等，方向相反，正确；B 项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C 项，向量a 与b 平行时，若a 或b 为零向量，不满足条件，故错误；D 项，向量的模是一个非负实数，故错误.7.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF →＝xAB →＋34AD →，则x 等于( )A.34B.23C.12D.14答案 C解析连接AE (图略)，因为F 为DE 的中点，所以AF →＝12(AD →＋AE →)，而AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，所以AF →＝12(AD →＋AE →)＝12⎝⎛⎭⎫AD →＋AB →＋12AD → ＝12AB →＋34AD →，又AF →＝xAB →＋34AD →，所以x ＝12.8．(多选)已知4AB →－3AD →＝AC →，则下列结论正确的是( ) A ．A ，B ，C ，D 四点共线 B ．C ，B ，D 三点共线 C ．|AC →|＝|DB →| D ．|BC →|＝3|DB →|答案 BD解析因为4AB →－3AD →＝AC →，所以3AB →－3AD →＝AC →－AB →，所以3DB →＝BC →，因为DB →，BC →有公共端点B ，所以C ，B ，D 三点共线，且|BC →|＝3|DB →|，所以B ，D 正确，A 错误；由4AB →－3AD →＝AC →，得AC →＝3AB →－3AD →＋AB →＝3DB →＋AB →，所以|AC →|≠|DB →|，所以C 错误．9．(2022·太原模拟)已知不共线向量a ，b ，AB →＝t a －b (t ∈R )，AC →＝2a ＋3b ，若A ，B ，C 三点共线，则实数t ＝__________. 答案－23解析因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB →＝kAC →，所以t a －b ＝k (2a ＋3b )＝2k a ＋3k b ，即(t －2k )a ＝(3k ＋1)b .因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －2k ＝0，3k ＋1＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－13，t ＝－23.10．已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若AD →＝λAB →，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________. 答案 3解析如图，设F 为BC 的中点，则AG →＝23AF →＝13(AB →＋AC →)，又AB →＝1λAD →，AC →＝1μAE →，∴AG →＝13λAD →＋13μAE →，又G ，D ，E 三点共线， ∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3. 11．若正六边形ABCDEF 的边长为2，中心为O ，则|EB →＋OD →＋CA →|＝________. 答案 2 3解析正六边形ABCDEF 中，EB →＋OD →＋CA →＝EO →＋DC →＋OD →＋CA →＝ED →＋DA →＝EA →，在△AEF 中，∠AFE ＝120°，AF ＝EF ＝2， ∴|EA →|＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝23，即|EB →＋OD →＋CA →|＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝________. 答案 53解析 AC →＝λ⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →＋μ(AD →－AB →) ＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μAD →，又因为AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.13．(多选)点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0，则△ABC 不可能是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 AD解析因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0，所以|CB →|－|(PB →－P A →)＋(PC →－P A →)|＝0，即|CB →|＝|AB →＋AC →|，所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|，等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．14．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则λ＝________，AD 的长为________．答案 343 3解析 ∵B ，D ，C 三点共线， ∴14＋λ＝1，解得λ＝34. 如图，过D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，∵在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ， ∴四边形AMDN 是菱形，∵AB ＝4，∴AN ＝AM ＝3， ∴AD ＝3 3.15．(2022·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为( ) A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3答案 B解析设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →. 由AB →＋PB →＋PC →＝0，得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点，又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形．又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4，且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°，则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.16．若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC ∶S △ABC ＝________. 答案 1∶6解析若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，设OA ′——→＝2OA →，OC ′——→＝3OC →，可得O 为△A ′BC ′的重心，如图，设S △AOB ＝x ，S △BOC ＝y ，S △AOC ＝z ，则S △A ′OB ＝2x ，S △BOC ′＝3y ，S △A ′OC ′＝6z ，由2x ＝3y ＝6z ，可得S △AOC ∶S △ABC ＝z ∶(x ＋y ＋z )＝1∶6.。

2022年《高三数学第一节平面向量的概念及其线性运算》优秀教案

第一节平面向量的概念及其线性运算教学目标知识与技能：1.掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义；2.掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线.过程与方法: 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念; 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.情感态度与价值观：培养学生认识客观事物的数学本质的能力及渗透类比的数学方法.[备考方向要明了]1．向量的有关概念23.向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.[例1] 给出以下命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②假设A，B，C，D是不共线的四点，那么＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③假设a与b同向，且|a|>|b|，那么a>b；④λ，μ为实数，假设λa＝μb，那么a与b共线．其中假命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4[自主解答] ①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．②正确．∵＝，∴||＝||且∥.又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，假设四边形ABCD 是平行四边形，那么AB 綊DC 且与方向相同，因此＝.③不正确．两向量不能比拟大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． [答案] C[冲关锦囊]涉及平面向量有关概念的命题的真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否认也是行之有效的方法．[巧练模拟]1．给出以下命题：①向量与向量的长度相等，方向相反； ②＋＝0；③a 与b 平行，那么a 与b 的方向相同或相反； ④两个相等向量的起点相同，那么其终点必相同； ⑤与是共线向量，那么A ，B ，C ，D 四点共线．其中假命题的个数是( B ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选B ①正确；②中＋＝0，而不等于0，故②错误；③中a 或b 为零向量时满足a 与b 平行，但不能说a 与b 方向相同或相反，因为零向量的方向是任意的，故③错误；④正确；⑤中当与是共线向量时，与所在直线可能平行、可能重合，故⑤错误．因此假命题的个数为3.[例2] (1)(2021A ．0 B ． C ． D ．(2)如图，在△ABC 中，＝13，P 是BN 上的一点，假设＝m ＋211，那么实数m 的值为________．[自主解答] (1)如图，在正六边形ABCDEF 中，＝，＝，那么＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝. (2)由＝13，得＝14. ＝＋＝＋n＝＋n(－)＝(1－n) ＋14n＝m＋211，由14n＝211，得m＝1－n＝3 11 .[答案] (1)D (2)311[冲关锦囊]1．进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用向量表示出来．2．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用，运用上述法那么可简化运算．[例3] (1)(2021·南昌模拟)向量a，b不共线，c＝k a＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( ) A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向(2)假设A，P，B三点共线，且＝m＋n (m，n∈R)，那么m＋n＝________.[自主解答] (1)∵c∥d，∴c＝λd.即k a＋b＝λ(a－b)．∴k＝λ＝－1.∴c＝－d，即c与d反向．(2)∵A，P，B三点共线∴存在λ∈R使＝λ.那么＝＋λ(－)＝(1－λ) ＋λ，∴m＋n＝1－λ＋λ＝1[答案] (1)D (2)1[冲关锦囊]1．向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，求解时要注意待定系数法和方程思想的运用．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．[巧练模拟]2．设两个非零向量a与b不共线．(1)假设＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．解：(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴，共线．又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵k a＋b与a＋k b共线，∴存在实数λ，使k a＋b＝λ(a＋k b)，即k a＋b＝λa＋λk b.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.板书设计：教学反思：。

高三数学《平面向量的概念及线性运算》教案

课题第1讲平面向量的概念及线性运算（一）教学目标知识与技能1.了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2. 理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．过程与方法情感态度价值观教学重点与难点教学过程集体备课个性设计（手写补充）一、考纲要求：1．了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2．理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．二、知识梳理：1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与 a 的方向相反；当λ＝0时，λ a ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μ_a ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ．三、双基练习：1.教材习题改编下列结论正确的是( )A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若a ，b 是两个单位向量，则a ＝bC ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若AB ＝AC ，则AB →＝AC →2.如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →＋12AB →C ．BC →－12BA →D ．.BC →＋12BA →3．(2017·东北三省四市联考)在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形4．已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．5. 已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．四、[典例]考点一平面向量的有关概念例1给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 变式训练1给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④若λa ＝μb (λ，μ为实数)，则a 与b 共线．其中错误命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考点二平面向量的线性运算例1．(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →。

2014年人教A版必修四教案 2.2平面向量的线性运算

2.2 平面向量的线性运算[教学目标]一、知识与能力：1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量；2．能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行计算；3．掌握向量减法的概念，能准确做出两个向量的差向量，理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算。

4．理解实数与向量的积和它的几何意义；5．理解实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；6．理解一个向量与非零向量共线的充要条件；会表示与非零向量共线的向量，能判断两个向量是否共线二、过程与方法：1．经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；2．体会数形结合的数学思想方法.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．[教学重点]向量加法、减法定义的理解；实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件．[教学难点]向量加法、减法的意义；向量共线的充要条件．[教学时数]2课时。

[教学过程]第一课时一、新课导入1．物理学中，两次位移,OA AB的结果与位移OB是相同的。

2．物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得？3．引入：两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节将研究向量的加法。

二、向量的加法1．已知向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b 的和，记作a+b，即a+b=AB BC AC+=求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求作两个向量的方法叫做三角形法则，简记“首尾相连，首是首，尾是尾”。

以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OABC，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a例1 已知向量a,b，用两种方法求作向量a+b。

作法一：在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b.作法二：在平面内任取一点O，做OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作OBCA，则OC=a+b。

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