投资组合选择方法3
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1.投资组合分散原理
投资组合方差的分解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
nn
n
nn
2 x
xTVx
xi x j ij
xi2
2 i
xi x j ij
i1 j1
i 1
i1 j1
i j
n
投资组合的非系统风险，
xi2
2 i
它是由各个资产自身的各
i 1
种不确定因素产生的风险，
如企业的决策管理,技术水
平等,与其它的资产无关
第1页/共36页
证明了投资可行集是凸集。
第13页/共36页
超期望收益:
设 c 为一常数，称 Eri c 为资产 i 关 于常数 c 的超期望收益 ，称
Er1 c
R
C
Er2
c
Ern
c
为关于常数c 的超期望收益向量.
第14页/共36页
设 x 是可行的投资组合，称
xT R C xT R c
为投资组合 x 关于常数 c 的超期望收益 .
命题4.1 设 c 为一常数，如果 z 是下述方程组的解
Vz R C
那么将z 标准化之后得到的向 量 x 一定位于投资可行集的封
套上，反之亦然 .
x x1, x2 ,, xn T
xi zi / D, D eT z
z n
i1 i
第15页/共36页
E(r)
C G
有效边缘
x
xT (R C)
把投资可行集封套中相同风险水平 下使期望收益最大的投资组合称为 有效的投资组合(efficient portfolio)，所有有效投资组合对 应的期望收益率和收益率的标准差 构成的集合称为投资组合有效集， 也称为投资组合有效边缘 (efficient frontier)。
第7页/共36页
投资组合可行集、可行集
E(r)
封套、有效边缘的关系
有效边缘
G
可行投资集
封套
第8页/共36页
设协方差矩阵正定,则可以求得上述
模型的最优解为
x* V 1e V 1R
c b a b
a eTV 1e, b RTV 1e, c RTV 1R
ac b2 0
称为有效投资组合
第9页/共36页
对有效投资组合
可行投资 集
确定封套上的投资组合
第16页/共36页
证明: 过期望收益坐标轴上点 c 做与投资可行集 相切的切线，切点 x 必然位于可行集封套上
（见图).显然，这样得到的可行集封套上的投资
组合x 必然使下述比值达到最大或者最小。
xT R C xT R C
X
xTVx
根据最优性原理，上述函数的最优 解必定满足下述方程组
第2页/共36页
当 n 时有
lim
n
1 1 nn
n
2 i
i1
0
当资产组合中包含的资产数目比较多时， 组合的风险几乎完全由不同资产之间的 协方差的均值来确定，而受单个资产方 差的影响变动很小。或者说，当资产数 目很多时，资产组合的风险主要取决于 系统风险，非系统风险对组合的风险影 响很小.
xTVxR C xT R CVx
xTVx xTVx
0
第17页/共36页
化简上式可得
R C xT R CVx
xTVx
0
xTVx
由上式可得
R
C
xT
R C
xTVx Vx
0
令 xT R C
x T Vx
z x
Vz R C
z V 1 R C 因V正定
第18页/共36页
z x eT x 1
xG
1 V 1e a
G
b a
2 G
1 a
第11页/共36页
3. M-V有效投资组合的基本性质
要确定和计算投资组合有效边缘,首先要了解 有效投资组合的基本性质.
定义4.3: 如果任意选取集合 S
中的两个元素 x, y 和任意实
数 0, 1，都有
z x 1 y S
则称集合 S 是凸集。
第12页/共36页
第4页/共36页
(1)在指定的收益水平下使风险最小的投
资组合
min
2 x
x T Vx
s.t. RT x
eT x 1
投资者的期望收益目标,由其效用 函数确定,
允许卖空(因无变量的非负约束),
第5页/共36页
可行的投资组合: 满足 eT x 1
投资可行集＝ Erx , x x为可行的投资组合
这是在风险—收益坐标平面内的一个集合
给定期望收益率 , 求解上述模型得
一个投资组合x, 计算相应的风险值, 它
是
的函数,记为
2 x
(
)
则
(
,
2 x
(
))
在风险---收益坐标平面内是一个点.
令 在一个适当的区间内连续变动,这
个点在风险---收益坐标平面内形成一 条曲线, 称为投资可行集的封套。
第6页/共36页
nn
xi x j ij
i1 j1 i j
投资组合的系统风险，它是由整个 市场的环境以及不同资产之间的相 互影响产生的,与单个资产无关.
令 xi 1 n
2 x
1 1 nn
n
2 i
i1
1 n
i
j
1 n
n
ij
j 1
第二项系统风险为所有协方差的平均 值，
第一项非系统风险为所有方差的均值 的1/n倍。
x
*
计算其相应的风险
2 () (a 2 2b c) /
在( )坐标平面内这是一个双曲线方程,该 双曲线右支所包含的部分为投资可行集，双 曲线的右支为可行集封套，双曲线的右上半 支为投资组合的有效边缘（即投资组合有效 集）。
第10页/共36页
双曲线右支的顶点G 对应的投资组合称为
全局最小方差投资组合,它是投资组合有 效边缘的起点.
通过分散投资可以化解投资的非系统风险，但系 统风险不能通过分散化的策略化解.
第3页/共36页
2.投资组合选择模型
对已经选定的可供投资的风险资产,如何确 定合适的投资策略,即对不同风险资产的 投资比例.
(1)风险最小,收益最大的投资组合(理想型, 但现实中不存在);
(2)根据个人对风险的厌恶程度和对收益的 期望值,在风险和期望收益两者之间作适 当的权衡,即根据个人对风险和期望收益 的效用函数确定最优的投资组合方案.由 此形成的模型称为投资组合选择模型.
引理4.1 风险资产构成的所有可行的投资集
合是凸集。
证明: 验证投资可行集满足凸集的定义,设 x
和 y 是两个可行的投资组合,
n
xi 1
i 1
n
yi 1
i 1
考虑投资组合 z x 1 y
0, 1
n
n
n
zi xi 1 yi 1 1
i 1
i 1
i 1
z 也是一个可行的投资组合，从而
zz x
zj
xi
zi zj
zi
第19页/共36页
命题4.1指出了怎样确定一个可行集封套上的
投资组合，即给定一个常数 c ，解方程组
投资组合方差的分解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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n
nn
2 x
xTVx
xi x j ij
xi2
2 i
xi x j ij
i1 j1
i 1
i1 j1
i j
n
投资组合的非系统风险，
xi2
2 i
它是由各个资产自身的各
i 1
种不确定因素产生的风险，
如企业的决策管理,技术水
平等,与其它的资产无关
第1页/共36页
证明了投资可行集是凸集。
第13页/共36页
超期望收益:
设 c 为一常数，称 Eri c 为资产 i 关 于常数 c 的超期望收益 ，称
Er1 c
R
C
Er2
c
Ern
c
为关于常数c 的超期望收益向量.
第14页/共36页
设 x 是可行的投资组合，称
xT R C xT R c
为投资组合 x 关于常数 c 的超期望收益 .
命题4.1 设 c 为一常数，如果 z 是下述方程组的解
Vz R C
那么将z 标准化之后得到的向 量 x 一定位于投资可行集的封
套上，反之亦然 .
x x1, x2 ,, xn T
xi zi / D, D eT z
z n
i1 i
第15页/共36页
E(r)
C G
有效边缘
x
xT (R C)
把投资可行集封套中相同风险水平 下使期望收益最大的投资组合称为 有效的投资组合(efficient portfolio)，所有有效投资组合对 应的期望收益率和收益率的标准差 构成的集合称为投资组合有效集， 也称为投资组合有效边缘 (efficient frontier)。
第7页/共36页
投资组合可行集、可行集
E(r)
封套、有效边缘的关系
有效边缘
G
可行投资集
封套
第8页/共36页
设协方差矩阵正定,则可以求得上述
模型的最优解为
x* V 1e V 1R
c b a b
a eTV 1e, b RTV 1e, c RTV 1R
ac b2 0
称为有效投资组合
第9页/共36页
对有效投资组合
可行投资 集
确定封套上的投资组合
第16页/共36页
证明: 过期望收益坐标轴上点 c 做与投资可行集 相切的切线，切点 x 必然位于可行集封套上
（见图).显然，这样得到的可行集封套上的投资
组合x 必然使下述比值达到最大或者最小。
xT R C xT R C
X
xTVx
根据最优性原理，上述函数的最优 解必定满足下述方程组
第2页/共36页
当 n 时有
lim
n
1 1 nn
n
2 i
i1
0
当资产组合中包含的资产数目比较多时， 组合的风险几乎完全由不同资产之间的 协方差的均值来确定，而受单个资产方 差的影响变动很小。或者说，当资产数 目很多时，资产组合的风险主要取决于 系统风险，非系统风险对组合的风险影 响很小.
xTVxR C xT R CVx
xTVx xTVx
0
第17页/共36页
化简上式可得
R C xT R CVx
xTVx
0
xTVx
由上式可得
R
C
xT
R C
xTVx Vx
0
令 xT R C
x T Vx
z x
Vz R C
z V 1 R C 因V正定
第18页/共36页
z x eT x 1
xG
1 V 1e a
G
b a
2 G
1 a
第11页/共36页
3. M-V有效投资组合的基本性质
要确定和计算投资组合有效边缘,首先要了解 有效投资组合的基本性质.
定义4.3: 如果任意选取集合 S
中的两个元素 x, y 和任意实
数 0, 1，都有
z x 1 y S
则称集合 S 是凸集。
第12页/共36页
第4页/共36页
(1)在指定的收益水平下使风险最小的投
资组合
min
2 x
x T Vx
s.t. RT x
eT x 1
投资者的期望收益目标,由其效用 函数确定,
允许卖空(因无变量的非负约束),
第5页/共36页
可行的投资组合: 满足 eT x 1
投资可行集＝ Erx , x x为可行的投资组合
这是在风险—收益坐标平面内的一个集合
给定期望收益率 , 求解上述模型得
一个投资组合x, 计算相应的风险值, 它
是
的函数,记为
2 x
(
)
则
(
,
2 x
(
))
在风险---收益坐标平面内是一个点.
令 在一个适当的区间内连续变动,这
个点在风险---收益坐标平面内形成一 条曲线, 称为投资可行集的封套。
第6页/共36页
nn
xi x j ij
i1 j1 i j
投资组合的系统风险，它是由整个 市场的环境以及不同资产之间的相 互影响产生的,与单个资产无关.
令 xi 1 n
2 x
1 1 nn
n
2 i
i1
1 n
i
j
1 n
n
ij
j 1
第二项系统风险为所有协方差的平均 值，
第一项非系统风险为所有方差的均值 的1/n倍。
x
*
计算其相应的风险
2 () (a 2 2b c) /
在( )坐标平面内这是一个双曲线方程,该 双曲线右支所包含的部分为投资可行集，双 曲线的右支为可行集封套，双曲线的右上半 支为投资组合的有效边缘（即投资组合有效 集）。
第10页/共36页
双曲线右支的顶点G 对应的投资组合称为
全局最小方差投资组合,它是投资组合有 效边缘的起点.
通过分散投资可以化解投资的非系统风险，但系 统风险不能通过分散化的策略化解.
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2.投资组合选择模型
对已经选定的可供投资的风险资产,如何确 定合适的投资策略,即对不同风险资产的 投资比例.
(1)风险最小,收益最大的投资组合(理想型, 但现实中不存在);
(2)根据个人对风险的厌恶程度和对收益的 期望值,在风险和期望收益两者之间作适 当的权衡,即根据个人对风险和期望收益 的效用函数确定最优的投资组合方案.由 此形成的模型称为投资组合选择模型.
引理4.1 风险资产构成的所有可行的投资集
合是凸集。
证明: 验证投资可行集满足凸集的定义,设 x
和 y 是两个可行的投资组合,
n
xi 1
i 1
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yi 1
i 1
考虑投资组合 z x 1 y
0, 1
n
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zi xi 1 yi 1 1
i 1
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i 1
z 也是一个可行的投资组合，从而
zz x
zj
xi
zi zj
zi
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命题4.1指出了怎样确定一个可行集封套上的
投资组合，即给定一个常数 c ，解方程组