2.1已知半径为a的导体球面上分布着面电荷密度为的电荷,式中(精)

2．1已知半径为a 的导体球面上分布着面电荷密度为0cos s s ρρθ=的电荷，式中的0s ρ为常数。试求球面上的总电荷量。

解：球面上的总电荷量等于面电荷密度沿r=a 的球面上的积分。在球面上选择一个小的球环，面积为r ds ，对应的弧长为dl ad θ=，因此，

2sin 2sin r ds a dl a ad πθπθθ==。

2000

cos cos 2sin 0s s s s

s

q ds ds a d π

ρρθρθπθθ====⎰⎰⎰

2.14题，在下列条件下，对给定点求divE 的值：

（1）222[(2)(2)]/x y z xyz y x z xy x y V m =-+-+e e e E ，求点1(2,3,1)P -处divE 的值。

（2）22222[2sin sin 22sin ]/z z z z V m ρφρφρφρφ=++e e e E ， 求点2(2,110,1)P z ρφ==︒=-处divE 的值。 解：

（1）222(2)(2)()22 23(1)2210

div xyz y x z xy x y yz x

x y z

∂∂∂

=-+-+=-∂∂∂=⨯⨯--⨯=-E （2）222222222211[(2sin )](sin 2)(2sin ) 4sin 2cos 22sin 9.06

div z z z z

z z ρρφρφρφρρρφφφρφ

∂∂∂

=

++∂∂∂=++=E

2.15题，半径为a 的球中充满密度为ρ(r)的体电荷，已知电位移分布为：

254

2

(), (0)(

), ()r r r r Ar r a D a Aa r a r ⎧+<≤⎪

⎨+≥⎪⎩3r e D =e =e 其中A 为常数，试求电荷密度ρ(r)。

解：利用高斯定理的微分形式，即ρ∇D =得2

21()r r D r r

ρ∂=∇∂D = 在r ≤a 区域中：222

1[()]54r r Ar r Ar r r

ρ∂=∇+=+∂3

2D =

在r ≥a 区域中：54

222

1[(

)]0a Aa r r r r ρ∂+=∇=∂D = 2．20，在半径a ＝1mm 的非磁性材料圆柱形实心导体内，沿z 轴方向通过电流I ＝20A ，试求：（1）0.8mm ρ=处的B ；（2） 1.2mm ρ=处的B ；（3）圆柱内单位长度的总磁通。 解：

（1）圆柱形导体内的电流密度为

262232

20

/ 6.3710/(110)

z

z z I A m A m a ππ-===⨯⨯J e e e 利用安培环路定律得

202B J φπρμπρ=

30.801

3.2102

mm J T φ

φμρ-==⨯B e e （2）利用安培环路定律得

301.2 3.33102mm I

T φ

φμπρ

-==⨯B e e （3）圆柱内单位长度的总磁通为

2000

6110222 210a a d J d J Wb

ρμρρμ-Φ====⨯⎰⎰B S

2．22通过电流密度为J 的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面如图题2.22所示。试计算各部分的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。 解：

因空腔中电流密度为零，可视为同时存在J 和－J 的电流密度，这样，可将原来的电流分布视为如下两个电流分布的叠加：一个电流密度为J ，均匀分布在半径为b 的圆柱内；另一个电流密度为－J ，均匀分布在半径为a 的圆柱内。空间的场，便是它们共同产生的。

由安培环路定律

0c

d I μ=⎰

B l ，可得到电流密度为J 、均匀分

布在半径为b 的圆柱内的电流产生的磁场为：

00022203

1

2122 >b 2z b b b

b z

r z b b b

J r r I I r r Jb r r φμμμππμ⎧⨯⎪⎪==⨯=⎨⎪⨯⎪⎩e r B e e e e r

半径为a 、电流密度为－J 的圆柱的磁场为：

00022

203

1

2122 >a 2z a a a

a z r

z a a a J r r I I r r Jb r r φμμμππμ⎧-⨯⎪⎪=-=-⨯=⎨⎪-⨯⎪⎩

e r B e e e e r

其中，a b 、r r 分别是点a o 和b o 到场点P 的位置矢量。 将上面两式叠加，可得空间各区域的场：

圆柱外： 22

0331()2z b a b a J r r

μ=⨯-B e r r

圆柱内的空腔外：2

0311()2z b a a J r r

μ=⨯-B e r r

空腔内：001111()22z b a z J J r r c

μμ=⨯-=⨯c

B e r r e

可见，空腔内是均匀场。

2．24有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场

5cos z t mT ω=B e 之中，如图所示。滑片的位置由

0.35(1cos ) t m ω=-x 确定，轨道终端接有电阻0.2 R =Ω，

求电流i 。