综合评价模型——动态加权综合评价方法
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2005年中国大学生数学建模竞赛的A题：“长江水质的评 价和预测”问题的第一部份给出了17个观测站（城市）的最 近28个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的最 主要的四项指标：溶解氧（DO）、高锰酸盐指数（CODMn ）、氨氮(NH3-N) 和PH值，要求综合这四种污染指标的28 个月的检测数据对17个城市的水质情况做出综合评价。
在对17个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指 标值不同类别水的“质的差异”和同类别水的“量的差异 ”,在此简称为“质差”和“量差”。因此，这是一个较复 杂的多因素多属性的综合评价问题。
动态加权综合评价问题的一般提法：
现设有n 个被评价对象（或系统），分别记为 S1, S2,L , Sn (n 1) ，每
2.2 动态加权函数的设定
（1） 分段变幂函数
如果某项评价指标xi 对于综合评价效果的影响大约是
随着类别 pk (k 1, 2,L , K ) 的增加而按正幂次增加，同时
在某一类中随着指标值的增加按相应的一个幂函数增加，
则对指标xi 可以设定分段
幂函数为变权函数。即
1
wi (x) xk ,
x
[ak(i
)
,
b(i) k
]
，
(k 1, 2,L , K )
其中1 i m 。
2.2 动态加权函数的设定
（2）偏大型正态分布函数
如 果 某 项 指 标xi 对 于 综 合 评 价 效 果 的 影 响 大 约 是 随 着 类 别
pk (k 1, 2,L , K ) 的增加，先是缓慢增加，中间有一个快速增长的过程，
(i 1, 2,L
, m; k
1, 2,L
,
K
)
，即当属性 xi
[ak(i )
,
b(i) k
)
时，则
属性 xi 属于第k 类pk (1 k K ) 。也就是对于每一个属性而言，既有不
同类别的差异，同类别的又有不同量值的差异。对于这种既有“质差”，
又有“量差”的问题，如果用通常的定常权综合评价法做综合评价显然是
排序方案。
五、长江水质的综合评价模型
随后平缓增加趋于最大，相应的图形呈正态分布曲线（左侧）形状。那么，
此时对指标xi 的变权函数可以设定为偏大型正态分布函数。即
wi
(
x)
0 1
,
e
xi i
2
,
当 x i时, 当 x i时,
其中参数i 可取[a1(i) , b1(i) ) 中的某
定值，在此不妨取i (b1(i) a1(i) ) / 2 ，
根据标准化后的各评价指标值，不妨仍用xi 表示，以及相应的动态
权函数 wi (x)(i 1, 2,L , m) ，建立综合评价模型来对 n 个被评价对象做
出综合评价。在此，取综合评价模型为各评价指标的动态加权和，即
m
X wi (xi ) xi 。 i1
以此作为问题的综合评价指标函数，如果每个被评价对象的 m
个系统都有m 属性（或评价指标），分别记为x1, x2 ,L , xm (m 1) ，对于
每一个属性xi 都可以分为K 个等级，记为 p1, p2 ,L , pK (K 1) 。而对
于 每 一 个 等 级 pk
都
包
含
一
个
区
间
范
围
，
记
为
[ ak( i )
,
b(i) k
)
，且
a(i) k
b(i) k
不合理的，然而合理有效的方法是动态加权综合评价方法。
四、动态加权综合评价方法
2. 动态加权综合评价的一般方法
根据这个问题的实际背景和综合评价的一般原则， 解决问题的主要过程分三步完成： •将各评价指标作标准化处理； •根据各属性的特性构造动态加权函数； •构建问题的综合评价模型，并做出评价。
实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型 的、中间型，或区间型的四种情况，也有时各有不同 的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理， 即对三种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准 化指标。
四、动态加权综合评价方法
1. 动态加权综合评价问题的提法
根据国标（GB 3838—2002）的规定，关于地表水的水 质可分为Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类、Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类共六个类 别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间）， 只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所 以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且同一类别的水 在污染物的含量上也有一定的差别。
wi
(x)
2
1
x
a (i ) 1
b(i) K
a(i) 1
2
, a1(i)
x
c,
2
x bK(i)
b(i) K
a(i) 1
2
,c
x
bK(i) ,
其中参数
c
1 2
( a1( i )
b(i) K
), 且wi
(c)
0.5
。
(1 i m)
Байду номын сангаас
2. 动态加权综合评价的一般方法
2.3 综合评价模型的构建
四、动态加权综合评价方法
2. 动态加权综合评价的一般方法
2.2 动态加权函数的设定
考虑到评价指标的“质差”与“量差”的关系， 在确定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标 之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。
根据实际问题具体取什么样的动态加权函数，主 要是从实际问题出发分析确定。
对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以取 不同的权函数。
个属性
都有 N 组样本观测值{xij}(i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , N ) ，代入上式计算，
则每一个被评价对象都有 N 个综合评价指标值 X k ( j) (k 1, 2,L , n; j 1, 2,L , N) 。由此按其大小排序，可以给出 n 个被评价对象的 N 个
综合评价方法及其应用
四、动态加权综合评价方法
1. 动态加权综合评价问题的提法
在以上综合加权评价方法中，关于权值wj ( j 1, 2,L , m)
都是属于定常权，即权值均为常数。虽然这种方法简单易行， 对某些较简单的实际问题也是可行的，但是主观性强、科学性 差，有些时候不能很好地为决策提供有效的依据。
i 由 wi (aK(i) ) 0.9(1 i m) 确定。
2.2 动态加权函数的设定
（3）S 型分布函数
如果 某项指标xi 对 于综合评价 效果的影 响大约是随着 类别
pk (k 1, 2,L , K ) 的增加而增加的过程，呈一条“S”曲线，那么，
此时对指标xi 的变权函数可以设定为 S 型分布函数。即
在对17个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指 标值不同类别水的“质的差异”和同类别水的“量的差异 ”,在此简称为“质差”和“量差”。因此，这是一个较复 杂的多因素多属性的综合评价问题。
动态加权综合评价问题的一般提法：
现设有n 个被评价对象（或系统），分别记为 S1, S2,L , Sn (n 1) ，每
2.2 动态加权函数的设定
（1） 分段变幂函数
如果某项评价指标xi 对于综合评价效果的影响大约是
随着类别 pk (k 1, 2,L , K ) 的增加而按正幂次增加，同时
在某一类中随着指标值的增加按相应的一个幂函数增加，
则对指标xi 可以设定分段
幂函数为变权函数。即
1
wi (x) xk ,
x
[ak(i
)
,
b(i) k
]
，
(k 1, 2,L , K )
其中1 i m 。
2.2 动态加权函数的设定
（2）偏大型正态分布函数
如 果 某 项 指 标xi 对 于 综 合 评 价 效 果 的 影 响 大 约 是 随 着 类 别
pk (k 1, 2,L , K ) 的增加，先是缓慢增加，中间有一个快速增长的过程，
(i 1, 2,L
, m; k
1, 2,L
,
K
)
，即当属性 xi
[ak(i )
,
b(i) k
)
时，则
属性 xi 属于第k 类pk (1 k K ) 。也就是对于每一个属性而言，既有不
同类别的差异，同类别的又有不同量值的差异。对于这种既有“质差”，
又有“量差”的问题，如果用通常的定常权综合评价法做综合评价显然是
排序方案。
五、长江水质的综合评价模型
随后平缓增加趋于最大，相应的图形呈正态分布曲线（左侧）形状。那么，
此时对指标xi 的变权函数可以设定为偏大型正态分布函数。即
wi
(
x)
0 1
,
e
xi i
2
,
当 x i时, 当 x i时,
其中参数i 可取[a1(i) , b1(i) ) 中的某
定值，在此不妨取i (b1(i) a1(i) ) / 2 ，
根据标准化后的各评价指标值，不妨仍用xi 表示，以及相应的动态
权函数 wi (x)(i 1, 2,L , m) ，建立综合评价模型来对 n 个被评价对象做
出综合评价。在此，取综合评价模型为各评价指标的动态加权和，即
m
X wi (xi ) xi 。 i1
以此作为问题的综合评价指标函数，如果每个被评价对象的 m
个系统都有m 属性（或评价指标），分别记为x1, x2 ,L , xm (m 1) ，对于
每一个属性xi 都可以分为K 个等级，记为 p1, p2 ,L , pK (K 1) 。而对
于 每 一 个 等 级 pk
都
包
含
一
个
区
间
范
围
，
记
为
[ ak( i )
,
b(i) k
)
，且
a(i) k
b(i) k
不合理的，然而合理有效的方法是动态加权综合评价方法。
四、动态加权综合评价方法
2. 动态加权综合评价的一般方法
根据这个问题的实际背景和综合评价的一般原则， 解决问题的主要过程分三步完成： •将各评价指标作标准化处理； •根据各属性的特性构造动态加权函数； •构建问题的综合评价模型，并做出评价。
实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型 的、中间型，或区间型的四种情况，也有时各有不同 的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理， 即对三种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准 化指标。
四、动态加权综合评价方法
1. 动态加权综合评价问题的提法
根据国标（GB 3838—2002）的规定，关于地表水的水 质可分为Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类、Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类共六个类 别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间）， 只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所 以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且同一类别的水 在污染物的含量上也有一定的差别。
wi
(x)
2
1
x
a (i ) 1
b(i) K
a(i) 1
2
, a1(i)
x
c,
2
x bK(i)
b(i) K
a(i) 1
2
,c
x
bK(i) ,
其中参数
c
1 2
( a1( i )
b(i) K
), 且wi
(c)
0.5
。
(1 i m)
Байду номын сангаас
2. 动态加权综合评价的一般方法
2.3 综合评价模型的构建
四、动态加权综合评价方法
2. 动态加权综合评价的一般方法
2.2 动态加权函数的设定
考虑到评价指标的“质差”与“量差”的关系， 在确定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标 之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。
根据实际问题具体取什么样的动态加权函数，主 要是从实际问题出发分析确定。
对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以取 不同的权函数。
个属性
都有 N 组样本观测值{xij}(i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , N ) ，代入上式计算，
则每一个被评价对象都有 N 个综合评价指标值 X k ( j) (k 1, 2,L , n; j 1, 2,L , N) 。由此按其大小排序，可以给出 n 个被评价对象的 N 个
综合评价方法及其应用
四、动态加权综合评价方法
1. 动态加权综合评价问题的提法
在以上综合加权评价方法中，关于权值wj ( j 1, 2,L , m)
都是属于定常权，即权值均为常数。虽然这种方法简单易行， 对某些较简单的实际问题也是可行的，但是主观性强、科学性 差，有些时候不能很好地为决策提供有效的依据。
i 由 wi (aK(i) ) 0.9(1 i m) 确定。
2.2 动态加权函数的设定
（3）S 型分布函数
如果 某项指标xi 对 于综合评价 效果的影 响大约是随着 类别
pk (k 1, 2,L , K ) 的增加而增加的过程，呈一条“S”曲线，那么，
此时对指标xi 的变权函数可以设定为 S 型分布函数。即