阻尼振动受迫振动和共振
高考物理专题复习：阻尼振动、受迫振动与共振
高考物理专题复习：阻尼振动、受迫振动与共振一、单项选择题（共8小题）1．下列振动中属于受迫振动的是（）A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的摆动B．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动C．打点计时器接通电源后，振针的振动D．弹簧振子在竖直方向上上下振动2．如图所示，一根绷紧的水平绳上挂五个摆，其中A、E摆长均为l，先让A摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来，则下列说法正确的是（）A．B、C、D三摆振动周期跟A摆不同B．其他各摆振动的振幅大小不完全相同，E摆的振幅最大C．其他各摆振动的振幅大小相同D．B、C、D三摆振动的振幅大小不同，D摆的振幅最大3．如图所示为单摆做阻尼振动的位移x随时间t变化的图像，t1、t2时刻的位移大小均为2cm，t3时刻的位移大于2cm。
关于摆球在t1、t2和t3时刻的速度、重力势能、动能、机械能的分析，下列说法正确的是（）A．摆球在t1时刻的机械能等于t2时刻的机械能B．摆球在t1时刻的动能等于t2时刻的动能C．摆球在t1时刻的重力势能等于t2时刻的重力势能D．摆球在t3时刻的速度大于t2时刻的速度4．如图所示是用来测量各种发动机转速的转速计原理图。
在同一铁支架MN上焊有固有频率依次为100Hz、90Hz、80Hz、70Hz的四个钢片a、b、c、d，将M 端与正在转动的电动机接触，发现b钢片振幅很大，其余钢片振幅很小。
则（）A．钢片a的振动频率约为100HzB．钢片b的振动频率约为90HzC．钢片c的振动频率约为80HzD．电动机的转速约为90r/min5．如图所示，在张紧的绳上挂五个相同的小球，已知轻绳长远大于小球半径，A、D两球的绳长相等，B、E两球的绳长相等，使A球小角度在竖直平面内摆动，其余各球在A球的驱动下逐步振动起来，不计空气阻力。
下列说法正确的是（）A．稳定时B球的振幅最大B．稳定时C球的振幅最大C．稳定时D球的振幅最大D．稳定时E球的振幅最大6．下列下列说法中不正确的是（）A．受到阻力作用的振动不一定是阻尼振动B．阻尼振动振幅逐渐减小，机械能逐渐减小C．受迫振动的振幅越来越大D．受迫振动稳定后的频率与振动系统的固有频率无关7．共振筛示意图如图所示，共振筛振动的固有频率为5Hz，为使共振筛发生共振，使其工作效率达到最高，则偏心轮的转速为（）A．5r/s B．10r/s C．0.2r/s D．300r/s8．如图甲所示，曲轴上悬挂一弹簧振子。
物理 第6章 振动2(阻尼与受迫振动及振动合成)
（3）共振的危害与利用
危害：军队过桥的情况、火车速度的限制，……
利用：超声清洗、音箱设计、振荡电路、核磁共 振……
塔科马海峡桥的倒塌
11
§6.6 同一直线上同频率简谐运动的合成 1. 分振动: x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 ) 2. 合振动: x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 )
故所求的合振动表达式为
4 x 5 cos( 2t ) 5
cm
21
（2）当 3 1 2k
(k 0,1,2,) 时
即x1与x3相位相同时，合振动的振幅最大， 由于 1 故
3 2k
(k 0,1,2,)
当 3 1 (2k 1)
(k 0,1,2,) 时
即x1与x3相位相反时，合振动的振幅最小， 由于 1 故 3 (2k 1) 即
(k 0,1,2,)
3 2k
(k 0,1,2,)
22
§6.7 同一直线上不同频率简谐运动的合成 x1 A1 cosω1 t 1. 分振动: x2 A2 cosω2t A2 A 2. 合振动: x x1 x2 当 (ω2 ω1 ) t 2kπ 3
时间常量与品质因数： 在欠阻尼情况下， 振幅
振动能量E： E
A A0e
t
E0 e
2 t
( E A2 )
时间常量
1 2
（振动系统的能量减 小到起始能量的1/e时 所经过的时间）
（时间常量内振动 次数的2倍）
稳定受迫振动的运动方程65受迫振动共振驱动力的角频率受迫振动的振幅由系统的固有频率w阻尼系数以及驱动力幅h决定对一定的振动系统改变驱动力的频率w当驱动力频率为某一值时振幅会达到极大值特点
阻尼振动、受迫振动和共振
v F γ
O x
v v F = −kx
x
dx 动力学方程 m 2 = −kx − γ dt dt k γ 2 令 ω0 = ,2β = m m 2 dx dx 2 + 2β + ω0 x = 0 dt 2 dt
ω0
d2 x
：无阻尼时振子的固有频率
β ：阻尼因子
方程解： 方程解：
x = Ae
−β t
f0 dA d 求极值： 求极值： = =0 dω dω ω2 −ω2 2 + 4β 2ω2 0
(
)
共振频率： 共振频率： 共振振幅： 共振振幅：
2 ωr = ω0 − 2β 2
ω0为固有频率
Ar =
f0
2 2β ω0 − β 2
结论： 阻尼系数 β 越 小，共振角频率ωr 越接近于系统的固 有频率 ω0 ，同时 共振振幅A 也越大。 共振振幅 r也越大。
cos( ω − β
2 0
2
t +ϕ
)
x = Ae
−β t
cos(ωt +ϕ)
2π
A
2
x
周期： 周期： T =
ω −β
2 0
O
t
2 β 2 < ω0
角频率： 角频率： ω =
ω −β
2 0
2
A
x = Ae
讨论： 讨论：
−β t
cos ω − β t +ϕ
2 0 2
(
)
2 β 2 < ω2 阻尼较小时（ ），振动为减幅振动 振动为减幅振动， 1. 阻尼较小时（β 2 < ω0 ），振动为减幅振动，振幅
阻尼振动与阻尼受迫振动.
2
dx dt
02 x
Байду номын сангаас
h cost
则上述方程的解为：
x(t) A0e t cos t 0 阻尼振动（暂态解） B cos t 受迫振动（定态解）
3. 稳定状态的振动表达式
x
受迫振动系统达到稳定时 应做与驱动力频率相同的谐振 动。其表达式为：
x Acos(t )
t
用旋矢法可求出上式的A和
讨论
求极限： dA 0
d
（1）位移共振(振幅取极值)
0
0
0
0
共振频率 : 共振振幅 :
r
Ar
02
h
2 02
2
2
2
共振相位 :
arctan
02 2 2
（振幅共振曲线）
10
第17章 振 动
（2）速度共振 (速度振幅A取极值)
vm
h ( 2 02 )2 4 2 2
共振频率 : 0
6
第17章 振 动
x Acos(t )
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
h cost
x Acos(t )
d2x dt 2
A 2
cos(t
dx
dt π)
A
cos(t
π) 2
A 2 cos(t π) 2 A cos(t π )
2
02 A cos(t ) h cost
7
第17章 振 动
台北101大厦定楼神球
18
第17章 振 动
上海环球金融中心风阻尼器
19
第17章 振 动
阻尼越小，越接近谐振动，阻尼越大，“周期”越长。 2) 过阻尼运动
17.3 阻尼振动与阻尼受迫振动
2
2 特征方程： 特征方程： λ 2 + 2 βλ + ω0 = 0
x(t ) = A0 e
−β t
cos (ω t + ϕ0 )
2
7 第17章 振 动
π Aω cos(ω t + ϕ + π ) + 2 β Aω cos(ω t + ϕ + ) 2 + ω 02 A cos(ω t + ϕ ) = h cos ω t
2
当ϕ = 0
2 h2 = (2β Aω )2 + (ω0 A − ω 2 A)2
A ω
2
2 β Aω
2 0
β = γ / 2m ω02 = k / m
3. 振动表达式和振动曲线 如果能振动起来（欠阻尼情况） 如果能振动起来（欠阻尼情况） 上述方程的解是什么形式呢？ 上述方程的解是什么形式呢？
2 第17章 振 动
d x dx 2 + 2β + ω0 x = 0 2 特征根为： 特征根为： λ = − β ± β 2 − ω0 dt 2 dt
2
2
ω共振 = ω − 2β
2 0
2
的情况下， 在弱阻尼即β << ω 0的情况下， 弱阻尼即
当ω = ω 0 时，
系统的振动速度和振幅都达到最大值 — 共振 共振现象 •普遍 普遍 •有利有弊 有利有弊 •160年前 拿破仑入侵西班牙 桥塌 年前 •几十年后 圣彼德堡卡坦卡河 几十年后 •1940年 美国 桥 大风 流速 年
物理-阻尼振动 受迫振动和共振
大学物理阻尼、受迫、共振、机械波
§3-5 频谱分析（不讲）§3-6阻尼振动 受迫振动 共振（了解）一、阻尼振动简谐振动是一种理想情况，实际上阻尼是不可消除的。
机械能将会损耗，其振幅不断衰减。
这种振幅随时间不断衰减的振动叫阻尼振动。
设阻力与物体的速度成正比r dxf v dt γγ=-=-dxF kx dtγ=--合22d x d xk x m d t d tγ--= 220d x d x kx d t m d t mγ++= 令2mγβ=，20k mω= （β——阻尼系数） 220220d x dx x dt dtβω++= 特征方程为22020λβλω++=1,2λβ=-弱阻尼即 0βω 时1,2i λββω=-±=-± ()00cos t x A e t βωϕ-=+其中ω=Ox特征：振幅随时间指数衰减，圆频率比固有圆频率小，周期比固有周期长。
二、受迫振动对弱阻尼的系统施加持续的周期性外力作用 （称为策动力）⇒ 受迫振动 0c o s F F p t = 0c o s dxF kx F pt dtγ=--+合 202c o s d x d xk x F p t m d t d tγ--+= 202c o s F d x d x k x p t d t m d t m mγ++=令2mγβ=，20k m ω=， 00F f m= 220022cos d x dx x f pt dt dtβω++= 该非齐次方程的解为()()00cos cos t x A e t A pt βωϕϕ-=+++ 衰减项 稳定相经过足够长的时间后，稳定解为 ()c o s x A p t ϕ=+稳定受迫振动得频率等于策动力的频率。
2A =受迫振动的振幅与系统的初始条件无关！三、共振2A =当阻尼和策动力幅值不变时，受迫振动的振幅是策动力圆频率 p 的函数，它有一个极大值 —— 共振 由0dAdp= 可得r p =A第4章机械波波动：振动在空间的传播过程叫做波动。
阻尼振动与受迫振动教案
三、共振的危害与应用
1、共振的危害与防止
例1、（图片说明）１８世纪中叶，法国昂热市附近一座长102m的桥，因一队骑兵在桥上经过。他们在指挥官的口令下迈着整齐的步伐过桥，引起桥梁共振，桥梁突然断裂，造成２２６名官兵和行人丧生。此后，各国都规定大队人马过桥，要便步通过。
例3、（图片说明）微波炉：微波炉加热食品时,炉内有很强的交变电磁场,它使得食物分子中的带电微粒做受迫振动.由于分子间的相互作用,振动的能量最终成为食物分子热运动的动能,提高了食物的温度。
四、思考
对于一个振动系统，如果其位移做的是一个无阻尼简谐振动，则其速度的运动也是简谐振动。
在受迫振动中，位移也在做一个类似于简谐振动的周期性振动
3、知道共振的应用和防止的实例。
教学重点
1、什么是阻尼振动以及阻尼振动的特点。
2、什么是受迫振动，什么是共振及共振产生的条件。
教学难点
1、简谐振动、阻尼振动及受迫振动的区别。
2、共振发生的条件。
教学方法
1、多媒体课件与黑板板书相结合。
2、图片举例，了解共振的应用和防止；
3、实际演示，了解阻尼振动的特点及共振现象。
振动方程
振动特点
特征量
无阻尼简谐振动
等幅振动
机械能守恒
初始条件
系统自身性质
阻尼振动
减幅振动
能量不断衰减
初始条件
阻尼因子
系统自身性质
受迫振动
等幅振动，
需要外界不断补充能量
与策动力的幅值、
频率及阻尼因子有关
1、在张紧的水平绳上挂7个单摆，先让D摆振动起来，其余各摆也随之振动，已知A、D、G三摆的摆长相同，则下列判断正确的是
阻尼振动、受迫振动和共振典型例题精析
阻尼振动、受迫振动和共振·典型例题精析[例题1] 圆滑斜面上物块A被平行斜面的轻质弹簧拉住静止于O点，如图9－38所示，现将A沿斜面拉到B点无初速开释，物体在BC范围内做简谐运动，则以下说法正确的选项是[ ]．OB越长，振动能量越大B．在振动过程中，物体A机械能守恒C．A在C点时，由物体与弹簧组成的系统势能最大，在O点时局能最小D．A在C点时，由物体与弹簧组成的系统势能最大，在B点势能最小[思路点拨]由弹簧、物体A组成的系统在简谐运动中机械能守恒，且动能、重力势能、弹性势能不停互相转变，在均衡地点O处动能最大，在最大位移处势能最大，在振动中，振动能量决定于振幅的大小．[解题过程]做简谐运动的能量跟振幅相关，振幅越大机械能就越大，因此A正确；在简谐运动中，系统机械能守恒，但物体A的重力势能与动能总和不停变化，A的机械能不守恒，B错误；在简谐运动中，系统在最大位移处势能最大，在均衡地点动能最大，势能最小，因此C正确D错误．此题答案为A．C．[小结](1)此题波及知识点有简谐运动的能量及能量转变，简谐运动的能量与振幅关系．(2)此题的解题重点是理解简谐运动的对称性以及简谐运动的能量变换．[例题2]如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线(如图9－39所示)，则以下说法正确的选项是[]．若两次受迫振动分别在月球上和地球长进行，且摆长同样，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线B．若两次受迫振动是在地球上同一地址进行，则两次摆长之比，lⅠ∶lⅡ=25∶4C．图线Ⅱ假如在地面上达成的，则该摆摆长约为1mD．若摆长均为1m，则图线Ⅰ是在地面上达成的[思路点拨]受迫振动的频次与国有频次没关，但当驱动力的频次与物体固有频次相等时，受迫振动的振幅最大，因此，能够依据物体做受迫振动的共振曲线判断出物体的固有频次．[解题过程]图线中振幅最大处对应频次应与做受迫振动单摆的固有频次相等，从图线上能够看出，两摆固有频次fⅠHz，fⅡHz．当两摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，依据公式f=图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，因此A正确；若在地球上同一地址正确，D错误．此题答案为A．B．C．[小结](1)此题波及知识点：共振、共振曲线、驱动力频次、固有频率、单摆周期(频次)公式．(2)此题解题重点：理解共振曲线物理意义，知道当驱动力频次等于固有频次时物体振幅最大，知道影响固有频次的要素，掌握单摆的周期(频次)公式，知道月球、地球表面重力加快度的大小关系．。
5-5阻尼振动 受迫振动 共振
两项都衰减，都不是周 期振动（如单摆放在粘 滞的油筒中摆到平衡位 置须很长时间）。
不能往复运动。
o
7
t
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
第五章 机械振动
3.临界阻尼振动
0
2 ( 2 0 )t
由通解
x c1e
c2e
2 ( 2 0 )t
2 02 0
乐器、收音机…… 共振现象的危害:马达底座共振……
16
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
第五章 机械振动
小号发出的声波足以使酒杯破碎
17
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
第五章 机械振动
共振现象的危害
1940 年华盛顿的塔科 曼悬索大桥建成
同年7月的一场大风引 起桥的共振使桥摧毁
本节 18 结束
通解 三
x c1e
2 ( 2 0 )t
c2e
2 ( 2 0 )t
三种阻尼振动
1.欠阻尼振动—阻尼很小
0
2 0 2
2
2 0
为虚数，令
通解
xe
t
(c1e
it
c2e
it
)
3
i 1
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
第五章 机械振动
一 阻尼振动
简谐振动是无阻尼的自由振动，无能量损失，振 幅不变。
阻尼：消耗振动系统能量的原因。
在流体中运动的物体受到的阻力称为粘滞力。 当物体低速运动时，阻力
f r v
：阻力系数
弹簧、单摆振动过程，受到的空气阻力与速度成正 比且反向。 当物体高速运动时，阻力
阻尼振动 受迫振动 共振
阻尼振动
受迫振动
共振
一、无阻尼振动（等幅振动） 所有的简谐振动都是无阻尼振动.
二、阻尼振动（减幅振动）
dx 阻力: f dt
dx F合 F弹力 f kx dt
d x dx m 2 kx dt dt
上页 下页
2
d 2 x dx k x0 2 dt m dt m
阻尼振动中欠阻尼情况下的解
A
h 2 2 2 4 2 2 0
1 2
2 arctan 2 2 0
上页 下页
四、共振 1、共振：受迫振动的振幅达到最大值的现象叫共振.
2 2 2、条件： r 0 2
弱阻尼情况下:
0
k 令 m
2 0
2
2
m
——阻尼振动的微分方程
d x dx 2 2 0 x 0 2 dt dt
1、 0
阻尼作用较小——欠阻尼
t
x A0e
cos( t )
上页 下页
x
A
O
t
A
上页
下页
2、 0
阻尼作用较大——过阻尼
2 ( 2 0 )t
x C1e
3、 0
C2 eBiblioteka 2 ( 2 0 )t
——临界阻尼
t
x C1 C2t e
x
x
o
t
o
上页
t
下页
x
A
O
t
A
上页
下页
三、受迫振动 驱动力:
2
F驱动力 F0 cos t
5-3受迫振动和共振
一、自由振动和阻尼振动
如果振动系统在振动过程中只受回复力，不受摩 擦力和其它阻力的作用，则振动系统的机械能守恒， 系统将永远振动下去。这样的振动叫做自由振动。 弹簧振子和单摆的振动，实际上都要受到阻力 的作用，只是阻力很小时，在不太长的时间内，才 可以近似地看作是自由振动。物体做自由振动时， 其振幅不随时间变化，它是等幅振动。
教学内容
阻尼振动：在阻力作用下造成振幅逐渐减小的振动。
教学内容
二、受迫振动
振动系统在周期性外力作用下的 振动，叫做受迫振动。这个周期性的 外力叫策动力。 如图所示，当匀速转动
把手时，就可通过曲轴使弹
簧振子受到策动力的作用， 物体就做受迫振动，策动力 的频率就等于把手的转速。
教学内容
实验表明，无论策动力频率如何变化，在达到 稳定的振动状态后，物体做受迫振动的频率的频率 等于驱动力的频率，而与其固有频率无关
解：设火车的速度为v 时，车厢的振动最强烈。根据 共振的条件，火车通过每段铁轨的时间必须等 于车厢的固有周期，所以
l 12.6 v 21(m / s ) T 0.6 答：火车的速度达到 21m / s 时，车厢振动最强烈。
教学内容
选择进入下一节：
5-1 5-2 简谐振动 单摆的振动
5-3
教学内容
教学内容
共振的危害
1940年美国华盛顿的Tocama悬索桥建成，1940 年7 月1日 因共振而坍塌。
教学内容
小号发出的波足以把玻璃杯振碎
教学内容
〔例题〕火车在行驶中，每经过接轨处就要受到一 次策动力的作用，使车厢在减震弹簧上振动起来， 已知车厢的振动周期为 0.6 s ，每段铁轨长12.6m ，问 火车在什么速度时，车厢振动最强烈？ 已知： T 0.6s, l 12.6m 求： v
阻尼振动和受迫振动的动力学
阻尼振动和受迫振动的动力学振动是物体在围绕平衡位置上下运动的一种现象。
当物体受到外力的作用时，它可能出现阻尼振动或受迫振动。
本文将分别讨论这两种振动的动力学特征。
1. 阻尼振动阻尼振动指的是物体在受到阻尼力的影响下进行振动。
阻尼力是由于摩擦或阻力而产生的一种力。
一般而言，阻尼力与物体的运动速度成正比。
在阻尼振动中，振幅会逐渐减小，直到最终趋于零。
这是因为阻尼力的作用导致了振动能量的损失。
阻尼振动的动力学方程可以表示为：m * d^2x/dt^2 + c * dx/dt + k * x = 0其中，m为物体的质量，x为物体的位移，t为时间，c为阻尼系数，k为弹簧的劲度系数。
这是一个二阶常微分方程，可以通过求解得出振动的解析解。
2. 受迫振动受迫振动是指物体在受到外力周期性作用下进行振动。
外力的周期性作用可能是恒定的或变化的。
受迫振动的一个典型例子是在谐振子中。
谐振子是一个具有弹簧和质量的系统，当受到周期性驱动力时，谐振子会在特定的驱动频率下展现出共振现象。
共振是指外力频率与谐振子固有频率相同或接近时的现象。
受迫振动的动力学方程可以表示为：m * d^2x/dt^2 + c * dx/d t + k * x = F0 * sin(ω * t)其中，F0为驱动力的振幅，ω为驱动力的角频率。
通过求解这个方程，可以得到受迫振动的解，包括相位和幅频特征。
3. 动力学特征比较阻尼振动和受迫振动在动力学特征上有一些区别。
首先，阻尼振动的振幅会随时间逐渐减小，直到最终停止。
而受迫振动在存在共振现象时，振幅可能会增大甚至无限增大。
其次，阻尼振动的频率与振幅无关，而受迫振动的频率会对振幅产生明显的影响。
当驱动力的频率接近谐振子的固有频率时，振幅会显著增加。
最后，阻尼振动和受迫振动在相位上也略有不同。
在阻尼振动中，振动的相位随着时间的推移而发生改变。
而在受迫振动中，振动的相位与驱动力的相位存在一定的差距。
综上所述，阻尼振动和受迫振动都是振动的一种形式，但它们在动力学特征上有一些差别。
阻尼振动与受迫振动
阻尼振动与受迫振动●阻尼振动●受迫振动●共振1．阻尼振动实例a. 阻尼弹簧振子，阻力γγ其中。
实例b. RLC谐振电路或写作其中。
分析：引入阻尼将引起能量的减小，计算能量改变率，β（等于阻尼做功的功率）。
如果很小，基本上还是简谐振动，但由于能量消耗，振幅会逐渐减小，解的形式近似为：能量，β一个周期内能量的消耗率：其中称为品质因数(quality factor)，简称值(Q factor)。
从数量级上讲，Q值就是把储存的能量衰减完，振子中能够振荡的次数。
（注：RLC谐振电路，）精确解：(a)弱阻尼()其中。
与近似分析的结果相比，只是频率有所减小。
(b)过阻尼()其中。
无振荡，呈指数衰减。
注意是的减函数，衰减速度随增大反而减慢。
(c)临界阻尼()，无振荡，但衰减最快。
2．受迫振动实例a. 驱动弹簧振子γ实例b. RLC串联电路非齐次线性方程解的一般形式：其中是原方程的一个解（称为特解），是齐次方程的任意解。
写成复数形式，令满足方程则满足方程令，其中所以可取称为稳态解，而把称为暂态解。
3．共振为简单起见，只讨论速度共振。
的振幅为性质：(1)驱动频率与固有频率相等（）时，时速度振幅（或平均动能）最大，出现共振。
(2)共振时，速度与驱动力同相位，驱动一直做正功。
(3)驱动频率与固有频率相差越大，振幅（动能）越小，形成一个共振峰。
(4)Q值越大，共振峰越高，同时也越窄（对驱动频率的选择性越高）。
共振的应用：乐器、无线电接收、调Q激光、核磁共振与电子自旋共振等。
共振有时会造成破坏，需要避免。
阻尼振动、受迫振动与共振
T 2π 2π
02 2
上式表明，由于阻尼的存在，阻尼振动的周期比无阻尼振动 的周期长，即振动变慢了。阻尼越大，阻尼振动的周期越长。
阻力很大，即β＞ω0时，在未完成一次振动前，振动系统的 能量已全部耗尽，此时，振动系统将通过非周期运动的方式回到 平衡位置，这种阻尼振动称为过阻尼振动，如下图所示b曲线
在振动研究中，常把辐射阻尼当作某种等效的摩擦阻尼来
处理。因此，下面我们在讨论时仅考虑摩擦阻尼。实验证明，
介质对运动物体的阻力与物体的运动速度有关，在物体速度不
太大时，阻力Fr的大小与速度v的大小成正比，方向与速度v的
方向相反，即
Fr
v
dx dt
对弹簧振子，在弹力F＝－kx和阻力Fr的作用下，根据牛 顿第二定律可得阻尼振动的动力学方程为：
x Acos（ pt ）
稳定状态受迫振动的振幅A和初相φ可由下式确定：
f
A
（02
2）2
p
4
2 2 p
tan
2p
02
2 p
需要注意的是，稳定状态的受迫振动虽然也是简谐振动，
但它与无阻尼振动有着本质的区别：受迫振动的角频率不是振 动系统的固有频率，而是驱动力的频率；受迫振动的振幅和初 相不是决定于振动系统的初始条件，而是决定于振动系统本身
在阻尼振动中，能量损失的原因通常有以下两种：一种是 由于介质对振动物体的摩擦阻力作用，使振动物体的能量转变 为热能，称为摩擦阻尼；另一种是由于振动物体引起临近质点 的振动，使系统的能量向四周辐射出去，转变为波动的能量， 称为辐射阻尼。例如，音叉振动时，不仅因为摩擦而消耗能量 ，同时也因辐射声波而损失能量。
大学物理 阻尼振动 受迫振动 共振
华盛顿的Tocama 悬索桥大风引起桥的共振录像
2010年05月22日 各国电视报道
• 俄罗斯媒体近日公布一段录像：本月19号晚，154米长的伏尔加格勒过 河大桥桥面突然呈浪型翻滚，数十辆正在桥上行驶的车辆有惊无险，警 方迅速封闭了桥上和水上交通。
• 俄罗斯著名桥梁专家表示，大桥共振现象可能因风波动和负载所形成共 振而发生。当天伏尔加格勒是多云，强风，
如果物体作非周期运动称过阻尼(曲线b）；
如果振动物体将刚好能平滑地回到平衡位置称临界 阻尼（曲线c）。
x
b
oc
t
a
二 、受迫振动 振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动。
三、共振
当驱动频率正好等于系统的固有频率时，系统 的振动速度和振幅都达到最大值的现象称 共振。
共振频率
vm
小阻尼
阻尼 0
精密机床的工作台的设计；桥梁的设计与建造;就要尽量使得 振动频率远离固有频率。
由于共振小号发出的波振动足以把玻璃杯振碎
历史上的大桥共振事件
18世纪中叶，法国里昂市102米大桥上，胜利的队伍迈着 整齐的步伐通过大桥时，桥梁突然断裂，造成二百多人丧生 。
1940年华盛顿的Tocama 悬索桥建成,同年7月的一场大风引 起桥的共振而坍塌。
大阻尼
o
0
共振演示实验
3
6
1
5
2
4
单摆1作垂直于纸面的简谐运 动时，单摆5将作相同周期的简 谐运动，其它单摆基本不动.
共振现象的利用：
共振现象在日常生活和现代科学技术中由广泛的应用。如
乐器的共鸣箱、收音机的调谐、核磁共振仪。设计使得振动
频率接近固有频率。
共振现象的危害：
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t
临界阻尼
2
02
称之为临界阻尼情况。它是振动系统 刚刚不能作准周期振动，而很快回到
平衡位置的情况，应用在天平调衡中。
是从有周期性因子
2 0
2
到无周期性的临界点。
二、受迫振动
设强迫力 F cos pt
阻尼力： Cv
m
d2x dt 2
Cv
kx＋F
cos
pt
令
02
k ;
m
2m；f
F m
A
f
(02
2 p
)2
4
2 2 p
tg 0
2 p
02
2 p
三、共振
1、共振的概念
当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的位移振幅
出现最大值的现象，叫做位移共振，简称共振。
2、共振角频率和共振振幅
求振幅对频率的极值
A
p
＝
共振角频率
共振振幅
02
f
2 p
2
4
2
2 p
＝0
r 02 2 2
Ar 2
点看在共振时，这能量转变为共振质点的能量，也叫共 振吸收。
3、共振的危害及其应用 •危害
•应用
•钢琴、小提琴等乐器利用共振来提高音响效果； •收音机利用电磁共振进行选台；
•核内的核磁共振被用来进行物质结构的研究和 医疗诊断等。
•防止
•改变系统的固有频率或外力的频率； •破坏外力的周期性； •增大系统的阻尼； •对精密仪器使用减振台。
d2x dt 2
2
dx dt
02x
f
c o s pt
当 2 02 时，其解为：
x(t) A0et cos( 02 2t ) Acos(pt )
经过足够长的时间，称为定态解：
x(t ) Acos( pt )
该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；
稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：
3、讨论
x(t)
•情况1：欠阻尼 2 02
t
x(t) Aet co s(t )
02 2
欠阻尼
阻力使周期增大 这种情况称为欠阻尼
由初始条件决定A和初相位 0 ,设
t 0, x (0) x0 , v t0 v0
即有： x0 Acos v0 A sin A cos
A
x02
(v0
f
02 2
当阻尼无限小时
0
共振发生在固有频率处，称为尖锐共振。
r 0,
Ar
受迫振动相位落后于强迫力相位 2，即振动速度 与强迫力同相位，即外力始终对系统作正功，对 速度的增大有最大的效率。这正是振动振幅急剧 增大的原因。
但是，随着振幅的增大，阻力的功率也不断增大，最后 与强迫力的功率相抵，从而使振幅保持恒定。从能量观
2
x0 )2
tg0
v0 x0(
C e 2 02 )t
(
2
2 02 )t
x(t)
积分常数由初始条件来
决定，这种情况称为过 阻尼。
t
无振动发生
过阻尼
情况3：临界阻尼
2 02
x(t)
x(t) (C1 C2t)e t
积分常数由初始条件 决定的