相似三角形的应用举例
相似三角形的应用例析
相似三角形的应用例析相似三角形是平面几何中的重要的内容之一，其应用十分广泛．举例说明如下．1、测量底部不能到达的建筑物的高例1 如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH＝5米．如果小明的身高为1．7米，求路灯杆AB的高度(精确到0．1米)．2、测量池塘宽例2如图，有一池塘要测量两端AB的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长至D，使AC并延长至D，使15CD CA=，连接BC并延长至E，使15CE CB=，连接ED，如果量出25mDE=，那池塘宽多少A BCE D3、利用影长测量建筑物的高度例3高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，求该建筑物的高度．4、测量电线杆的高例4如图，一人拿着一支刻有厘米刻度的小尺，站在距电线杆约30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60cm，求电线杆的高．5、测量台阶例5 汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1. 75m．他量得客厅高 AB= 2. 8m，楼梯洞口宽AF=2m．阁楼阳台宽EF = 3m．请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小于 20c m，每个台阶宽要大于20c m，问汪老师应该将楼梯建儿个台阶为什么参考答案例1：【分析】根据题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD//AB，可证得：△ABE∽△CDE，∴BD DE DE AB CD += ①同理：BDGD HG HG AB FG ++= ② 又CD ＝FG ＝1．7m ，由①、②可得：BD GD HG HG BD DE DE ++=+ 即BDBD +=+10533，解之得：BD ＝7．5m ， 将BD ＝7．5代入①得：AB=5．95m≈6m．答：路灯杆AB 的高度约为6m ．【点评】 本题通过多次平行线，利用相似三角形解决．把实际问题转化为相似问题，建立数学模型，做到学以致用．例2：【分析】这个问题的实质是△ECD∽△BCA，利用两个三角形相似求池塘宽DE AB CD AC AB DE ===155，.解： CD CA CE CB ==1515，∴==CD CA CE CB 15 又∵∠ECD＝∠BCA ∴△ECD∽△BCA∴==DE AB CD AC 15∴==⨯=AB DE m 5525125()．【点评】 通过测量池塘宽，能够综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识．例3：【分析】 画出上述示意图，即可发现：△ABC ∽△A ′B ′C ′ 所以B A AB //＝C B BC //， 于是得，BC =B A AB//×B /C /=16（m ）． 即该建筑物的高度是16m ．例4：【分析】 本题所叙述的内容可以画出如图那样的几何图形，即DF=60cm=，GF=12cm=，CE=30m ，求BC ．由于△ADF∽△AEC，AC AF EC DF =，又△AGF∽△ABC，∴ BC GF AC AF =，∴ BC GF EC DF =，从而可以求出BC 的长．解： ∵AE⊥EC，DF∥EC，∴∠ADF=∠AEC，∠DAF=∠EAC，∴△ADF∽△AEC．∴AC AF EC DF =．又GF⊥EC，BC⊥EC，∴GF∥BC，∠AFG=∠ACB，∠AGF=∠ABC，∴△AGF∽△ABC，∴BC GF AC AF =，∴BC GF EC DF =．又∵ DF=60cm=，GF=12cm=，EC=30m ，∴ BC=6m．即电线杆的高为6m ．【点评】 “测量电线杆的高”问题本身就是利用数学问题去处理实际问题，还有许多实际问题都可以用数学问题来解决，运用相似三角形相似的相关知识解决在生活中的一些实际问题；必须要正确地理解知识的内涵，比如手臂向前伸直与地面平行，刻度平行于电线杆，由此构造“相似三角形对应成比例的线段”．在应用过程中，要时时围绕三角形相似这一宗旨．例5：【分析】 （1）根据题意有AF∥BC，∴∠ACB=∠GAF，又∠ABC=∠AFG=90º， ∴△ABC∽△GFA．∴FGAB AF BC =得BC=(m)，CD=2+=(m)． (2)设楼梯应建n 个台阶，则＞，＜，解得14＜n ＜16，∴楼梯应建15个台阶．。
相似三角形的应用举例
相似三角形的应用举例相似三角形是指在形状相似的两个三角形中，对应的角度相等，而对应的边长成比例关系。
这一性质使得相似三角形在实际生活中有着广泛的应用。
本文将举例介绍相似三角形在地理测量、影视制作和建筑设计等领域的具体应用。
一、地理测量中的相似三角形应用地理测量中常常使用相似三角形原理来测量高处物体的高度以及难以直接测量的距离。
以测量一座建筑物的高度为例，通过在平面上选择两个不同位置，测量出与地平线夹角相同的两个点，再利用三角形相似原理计算出建筑物的高度。
这样的测量方法可以避免测量过程中的误差和测量的困难，提高测量的准确性和效率。
二、影视制作中的相似三角形应用在影视制作中，相似三角形的应用尤为重要。
例如，在电影中要制作一个逼真的远景特写，如果直接拍摄远处的景象，可能会因为远离拍摄现场而导致细节无法清晰展现。
为了解决这个问题，可以利用相似三角形的原理，在近距离拍摄一个类似的模型或者画面，然后通过电脑生成与实景相似的远景效果。
这种利用相似三角形的方法可以在节约成本的同时，制作出逼真的远景特写效果。
三、建筑设计中的相似三角形应用相似三角形在建筑设计中有着广泛的应用，特别是在设计高层建筑时更是如此。
以设计一座摩天大楼为例，建筑师需要保证高楼的结构坚固稳定，同时也要满足美学上的要求。
在设计过程中，利用相似三角形的原理可以根据大楼的比例尺度，在小模型上进行实际尺寸的计算和预测。
这种预测方法不仅可以方便地展示设计方案，还可以在施工前发现和修正设计中的不足之处，提高整体设计质量。
通过上述几个具体例子，我们可以看到相似三角形在地理测量、影视制作和建筑设计中的重要应用。
相似三角形原理的运用，使得我们能够更加准确地进行测量、制作出逼真的特效和设计出稳固美观的建筑物。
这一应用不仅提高了工作效率，还为我们提供了更多实际问题的解决方案。
因此，相似三角形的学习与应用在我们的生活中具有重要的意义。
相似三角形的应用举例
太阳的平行光
三点一线
光的反射
一下子掌握了三种利用相似三角形测量物体高 度的办法，所有的人都觉得好有成就感，觉得数学 原来这么有趣，并且这么有用！看来以后真的要学 好数学啊！
他们刚准备一起回教室，这时太阳也出 来了，象是要给这群聪明的同学一张鼓励 的笑脸！可是……
爱动脑筋的苏菲想了一会 儿，马上掏出随身携带的镜 子说：“我有办法了！”
B 反射角等于 入射角 F D C
E
A
你知道可以怎样来测量吗？
探究2 苏菲用下面的方法来测 量学校旗杆AB的高度：如图，在 水平地面点E处放一面平面镜，镜 子与旗杆底部的距离AE=20米．当 D 她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚 好能从镜子中看到旗杆的顶端B． 已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米 C E ，则旗杆AB的高度为多少米 。
九年级
下册
27.2.3 相似三角形应用举例
复旧引新
胡夫金字塔是埃及现存规模 最大的金字塔，被喻为“世界古 代七大奇观之一”．塔的 4 个斜 面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约 230 米．据考证，为建成胡夫金字塔，一共花了 20 年时 间，每年用工10 万人． 在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天， 希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就 请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下 是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是 怎样测量金字塔高度的吗？
E
聪明的你还能利 用太阳光形成的 影子测出旗杆的 高度吗？
归纳小结
本堂课学到了什么？我还有什么疑惑？
当堂检测
《我的笔记本》17页
解： ACD=FED=90，ADC=ADC， ADC FDE， AC DC AC 20 = ，即 = FE DE 0.25 0.5 解得AC=10 CB=DG=1.5， AB=AC+CB=10+1.5=11.5 （米） 所以旗杆AB的高度为11.5米。
相似三角形的运用
相似三角形的运用
相似三角形是指两个三角形对应角相等，对应边成比例的三角形。
相似三角形的运用在几何学中有广泛的应用，以下是其中的几个例子：
1. 三角形相似的性质：如果两个三角形相似，则它们的对应边成比例。
即如果三角形ABC和DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
2. 相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。
这个性质可以用来证明三角形的相似性，也可以用来求解三角形中的各种量，如角度、边长、面积等。
3. 相似三角形的应用：相似三角形的应用非常广泛。
例如，在建筑设计中，相似三角形的性质可以用来确定建筑物的比例关系；在地图制图中，相似三角形的性质可以用来确定地图上不同地区的比例关系；在物理学中，相似三角形的性质可以用来解决力学问题，如斜面滑动、抛体运动等。
总之，相似三角形是几何学中非常重要的概念，它不仅可以用来证明三角形的相似性，还可以用来解决各种实际问题，是几何学中的重要工具之一。
相似三角形在现实生活中的应用场景
相似三角形在现实生活中的应用场景
相似三角形的判定在现实生活中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
1.建筑和工程领域：在建筑设计和工程计算中，相似三角形的判定被用于解
决各种实际问题。
例如，工程师会利用相似三角形原理来计算建筑物的缩放比例，以确定建筑物的外观和尺寸是否符合设计要求。
此外，在桥梁、道路和水利工程的设计和建设中，工程师也需要用到相似三角形的概念来测量斜坡的斜率和角度等参数。
2.地图和导航领域：在地图和导航中，利用相似三角形的原理可以精确地测
量距离和角度。
例如，在地图上测量两点之间的距离时，可以利用相似三角形来计算实际距离。
此外，在导航中，飞行员和船员也需要用到相似三角形的概念来测量飞行或航行的角度和距离，以确保安全飞行或航行。
3.科学实验和观测：在科学实验和观测中，相似三角形的判定也被广泛用于
各种测量和计算。
例如，物理实验中常常需要测量物体的速度、加速度等物理量，这时可以利用相似三角形来测量或计算所需参数。
此外，在天文观测中，天文学家也会用到相似三角形的原理来测量天体的位置和距离。
4.日常生活中的应用：在日常生活中，我们也会遇到一些与相似三角形相关
的应用场景。
例如，摄影时需要调整相机的角度和高度，这时可以利用相似三角形的原理来计算所需的参数。
另外，在测量物体的尺寸或角度时，我们也可以利用相似三角形的概念来进行粗略的估算。
总之，相似三角形的判定在现实生活中有广泛的应用，涉及到建筑、工程、科学实验、导航、摄影等领域。
通过掌握相似三角形的原理和应用技巧，我们可以更好地解决各种实际问题，提高生活和工作的效率和质量。
相似三角形应用举例
相似三角形应用举例在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
通过利用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，下面就让我们一起来看看一些具体的例子。
一、测量物体的高度假设我们想要测量一棵大树的高度，但又无法直接测量。
这时候，相似三角形就派上用场了。
我们可以在同一时刻，在大树旁边立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。
因为在同一时刻，太阳光线的角度是相同的，所以杆子和它的影子以及大树和它的影子分别构成了两个相似三角形。
假设杆子的高度为h1，杆子影子的长度为 s1，大树影子的长度为 s2，大树的高度为 h2。
根据相似三角形的性质，我们可以得到：h1 ／ s1 ＝ h2 ／ s2通过已知的 h1、s1 和 s2，就可以计算出大树的高度 h2。
例如，杆子高度为2 米，影子长度为15 米，大树影子长度为9 米。
那么：2 ／ 15 ＝ h2 ／ 915h2 ＝ 2 × 915h2 ＝ 18h2 ＝ 12 米所以，这棵大树的高度约为 12 米。
二、计算河的宽度当我们面对一条河流，想要知道它的宽度，但又无法直接跨越测量时，相似三角形同样能帮助我们解决问题。
我们可以在河的一侧选择一个点A，然后在河的对岸选择一个点B，使得 A、B 两点与河岸基本在同一直线上。
接着，在河的这一侧，沿着河岸选定一个点 C，使得 AC 垂直于河岸，并测量出 AC 的长度。
然后，我们再沿着 AC 的方向向前走一段距离，到达点 D，使得点 D、A、B 三点在同一直线上，并且测量出 CD 的长度。
由于三角形 ABC 和三角形 ADC 有一个共同的角∠A，并且∠ACB＝∠ACD ＝ 90°，所以这两个三角形相似。
假设河宽为AB ＝x，AC ＝a，CD ＝b。
根据相似三角形的性质，我们有：AC ／ AB ＝ CD ／ AC即 a ／ x ＝ b ／ a通过已知的 a 和 b，就可以计算出河的宽度 x。
相似三角形的应用举例
相似三角形应用举例
5．某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的竹杆竖直 放置时的影长为1.5m，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近 一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上.他测得落在 地面上的影长为21m，留在墙上的影高为2m.你能帮助他求出旗杆的 高度吗？ 6．一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔5m有一棵树，在河 的对岸每隔50m有一根电线杆，在这岸离开岸边25m处看对岸，看到
分析：AB l , CD l
AB∥CD，△AFH∽△CFK.
，解得FH=8.
FH 8 1.6 6.4 FH AH ，即 FH 5 12 1.6 10.4 FK CK
相似三角形应用举例
【例1】雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m远一块小积水处，
他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m，该生的眼部
相似三角形应用举例
【例3】阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图 2所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗 口底边离地面的高BC.
图2 【解析】由同一时刻的光线互相平行可得，AE∥BD,所以 △AEC∽△BDC,可得 DC BC ，结合图形及已知条件可求出BC 的长. 【答案】BC=4m.
相似三角形应用举例
问题1 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似 三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线 构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如下图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m， 求金字塔的高度BO.
分析：（1）利用太阳光线是平行的，得到AB∥ED，又有OB、EF都垂 直于地面； （2）证明△ABO∽△DEA； （3）利用相似比，求BO.
相似三角形在物理学上的应用
相似三角形在物理学上的应用相似三角形在实际中的应用非常广泛，尤其与物理学的联系非常紧密．下面举例说明相似三角形在物理学上的实际应用．【例1】如图所示，慢慢将电线杆竖起，如果所用力F的方向始终竖直向上，则电线杆竖起过程中所用力的大小将．A．变大B．变小C．不变D．无法判断解析：由物理知识可知，电线杆竖起的过程，实质上相当于以O为支点，以F 为动力，以电线杆重力G为阻力的杠杆运动．在电线杆竖起的过程中，动力臂OA，阻力臂OB是逐渐变化的．∵AA′∥BB′，∴△OBB′∽△OAA′∴＝而是定值，即也是定值．由杠杆平衡条件F·OA＝G·OB，得F＝G·因此，动力F 大小不变．故选C答案：C【例2】小华做小孔成像实验．如图，问蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时，蜡烛焰AB是像A′B′的一半长，已知蜡烛与成像板间的距离为l解：由相似三角形可知△ABO∽△A′B′O，△AEO∽△A′FO∴＝，＝∴＝＝∴＝，＝∴OE＝EF＝l故小孔纸板应放在距蜡烛l处．1．如图，△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分即S1＝S2＝S3，且DE∥FG ∥BC，BC＝，FG－DE等于．A．－1 B．－C．－D．2－解析：由相似三角形的性质，得DE∶FG∶BC＝1∶∶设DE＝，FG＝，BC＝，则＝∴＝∴DE＝，FG＝2∴FG－DE＝2－答案：D2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，且AC＝CD＝1，又E，D为CB的三等分点．1问图中是否存在相似三角形，若存在，找出并证明相似的三角形；若不存在，试说明理由；2比较∠ADC与∠AEC＋∠B的大小，试说明理由．解：1存在△ADE∽△BDA证明：∵AC＝CD＝DE＝EB＝1，又∠C＝90°，∴AD＝则＝＝，＝∴＝而∠ADE＝∠BDA，∴△ADE∽△BDA2由1知△ADE∽△BDA，∴∠DAE＝∠B又∵∠ADC＝∠AEC＋∠DAE，∴∠ADC＝∠AEC＋∠B。
相似三角形的应用
相似三角形的应用相似三角形是指两个或更多个三角形的对应角相等，对应边成比例。
在数学和几何学中，相似三角形具有广泛的应用，本文将探讨相似三角形在实际问题中的应用和意义。
一、地理测量地理测量是相似三角形应用的典型领域。
在实际测量过程中，我们经常会遇到难以直接测量的地理距离或高度。
通过使用相似三角形的原理，我们可以利用已知的尺寸测量未知的尺寸。
举例来说，当我们想要测量一座高山的高度时，可以在水平地面上测量该高山的基座与观测点的距离，并同时测量观测点与该高山的顶点的夹角。
然后，我们可以构造一个与已知角度相等且具有比例关系的三角形，如此，我们就可以通过比例计算出高山的真实高度。
二、建筑设计相似三角形在建筑设计中也扮演着重要的角色。
当建筑师设计建筑物的平面图时，通常需要考虑到各种限制条件，如建筑物所在地的面积、材料的成本和现有建筑的布局。
相似三角形的应用可以帮助建筑师在平面图中精确计算出各个部分的尺寸。
举例来说，当建筑师需要设计一个大厦的外墙高度时，可以先测量周围已有建筑物的高度，然后利用相似三角形的原理创建一个比例，从而计算出大厦外墙的高度。
三、影视制作在影视制作领域，相似三角形的应用同样不可或缺。
特效动画、绿幕合成和特殊镜头的制作都需要准确的测量和计算。
相似三角形可以帮助摄影师和特效团队准确地计算出场景中各个元素的尺寸和位置关系。
举例来说，当制作一个动画场景时，摄影师可以首先测量实际场景中各个元素的尺寸和位置，然后通过相似三角形的原理将这些尺寸和位置比例应用到动画场景中，从而创造出逼真且准确的效果。
四、遥感技术遥感技术利用卫星或飞机上的传感器来获取地球表面的信息，然后通过相似三角形的应用来测量地球表面的高度、距离和坐标。
相似三角形在遥感图像处理中扮演着重要的角色，可以帮助科学家和地理学家研究地球表面的变化和特征。
举例来说，当科学家想要测量一片森林的总面积时，可以先使用遥感图像获取该森林的部分面积，并且可以测量出图像上的距离。
相似三角形的应用于实际问题求解
相似三角形的应用于实际问题求解相似三角形是几何学中一个重要的概念，广泛应用于实际问题的求解中。
在实际应用中，我们经常会遇到一些无法直接测量或计算的物理量，但通过相似三角形的应用，我们可以利用已知的信息来求解未知量。
本文将以几个实际问题为例，介绍相似三角形的应用方法。
问题一：高楼的高度难以直接测量，如何利用相似三角形求解？解决问题一的方法是利用日晷的阴影来推算高楼的高度。
首先，在一个特定的时间，测量日晷的阴影长度与高楼的阴影长度。
假设日晷的高度为h₁，阴影长度为s₁；高楼的高度为h₂，阴影长度为s₂。
由于日晷和高楼处于相似三角形中，可以建立以下比例关系：h₁/s₁ = h₂/s₂通过已知的日晷高度和阴影长度，可以求解出高楼的高度。
问题二：无法直接测量的河宽，如何利用相似三角形求解？解决问题二的方法是利用两个位置的观测角度来推算河宽。
假设我们站在一岸的A点，观测到对岸的B点在岸边的角度为θ₁；然后我们移动到岸边的C点，观测到对岸的B点在岸边的角度为θ₂。
假设岸边的距离为d，河宽为w。
由于三角形ABC和三角形ABD相似，可以建立以下比例关系：w/d = tan(θ₁)w/(d + AC) = tan(θ₂)通过已知的观测角度和岸边距离，可以求解出河宽。
问题三：测量不便的高山高度，如何利用相似三角形求解？解决问题三的方法是利用水平线和山顶的观测角度来推算高山的高度。
假设我们站在水平线上的A点，观测山顶的角度为θ₁；然后我们移动到水平线上的B点，观测山顶的角度为θ₂。
假设两个观测点之间的距离为d，山顶的高度为h。
由于三角形ABC和三角形ABD相似，可以建立以下比例关系：h/d = tan(θ₁)h/(d + AB) = tan(θ₂)通过已知的观测角度和观测点之间的距离，可以求解出高山的高度。
通过以上实际问题的求解，我们可以看出相似三角形的应用是十分灵活的。
它不仅能够用于测量高度、宽度等无法直接测量的物理量，还可以应用于地理测量、地质勘查、建筑设计等领域。
相似三角形应用举例
相似三角形应用举例在我们的日常生活中，相似三角形的应用那可真是无处不在。
就说我前段时间装修房子的事儿吧，这其中就藏着相似三角形的大用处呢！当时我想要在客厅的墙上挂一幅画，但是我又不知道挂多高才合适。
这时候，我突然想到了相似三角形。
我站在离墙一定距离的地方，先量出自己的身高，还有我站立时眼睛到地面的距离，然后我再测量出我站的位置到墙的距离，以及我看墙顶和画顶的仰角。
通过这些数据，利用相似三角形的原理，我就算出了画应该挂多高，才能让我在客厅里看起来最舒服。
相似三角形在建筑领域的应用那可太广泛啦！比如说，建筑师在设计高楼大厦的时候，他们需要考虑到大楼的结构稳定性和外观美观性。
这时候，相似三角形就派上用场了。
通过构建相似三角形的模型，建筑师可以精确地计算出大楼各个部分的比例和尺寸。
想象一下，如果没有相似三角形的知识，那大楼可能会变得歪歪扭扭，甚至有倒塌的危险！在测绘工作中，相似三角形也是不可或缺的好帮手。
测绘人员在测量山峰的高度、河流的宽度时，往往没办法直接去测量。
但他们可以通过在山脚下或者河岸边选择合适的地点，测量出一些角度和距离，然后利用相似三角形的原理，算出山峰的高度和河流的宽度。
我曾经见过测绘人员工作，他们专注的神情，手中精密的仪器，还有那密密麻麻记录的数据，都是为了能准确地运用相似三角形，得出精确的测量结果。
再说说摄影吧，大家都喜欢拍照，想要拍出好看的照片，也得懂点相似三角形的知识。
比如，当我们想要拍摄一个建筑物，为了让它在照片中看起来更加雄伟壮观，我们可以调整拍摄的角度和距离，利用相似三角形的原理，让建筑物在照片中的比例更加完美。
有时候，为了拍到一张满意的照片，我们可能要蹲在地上，或者爬到高处，不断地尝试，就为了找到那个最合适的拍摄点，这可真是不容易啊！还有啊，在服装设计中，相似三角形也能发挥作用。
设计师在设计服装的版型时，需要考虑到不同身材的比例。
通过运用相似三角形的原理，他们可以调整服装的尺寸和形状，让衣服穿在不同的人身上都能合身得体。
相似三角形应用举例
（3题图） （4题图） 期末复习——相似三角形应用举例一、知识回顾是高度为3．如下图阳光从教室的窗户射入室内，窗框AB 在地面上的影长DE ＝1.8m ，窗户下檐距地面的距离BC ＝1m ，EC ＝1.2m ，那么窗户高AB 为的黄丽同学BC 的影长BA 为1.1m ，与此同时，测得教学楼DE 的影长DF 为12.1m ，则教学楼DE 的高度为 ．(精确到0.1m)5．如下图，有点光源S 在平面镜上面，若在P 点看到点光源的反射光线，并测得AB ＝10m ，BC ＝20cm ，PC ⊥AC ，且PC ＝24cm ，则点光源S 到平面镜的距离即SA 的长度为______cm ．二、典型例题例一：如下图，为了测量一棵树AB 的高度，测量者在D 点立一高CD ＝2m 的标杆，现测量者从E 处能够看到杆顶C 与树顶A 在同一条直线上，假如测得BD ＝20m ，FD ＝4m ，EF ＝1.8m ，求树AB 的高度。
例二、如图，某测量工作人员与标杆顶端F 、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED 。
例三：一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.8m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，（5题图）有一局部影子在墙上，如下图，他先测得留在墙上的影高为1.2m ，又测得地面局部的影长为5m ，请算一下这棵树的高是多少?三、 巩固练习1、在阳光下，身高1.68m 的小强在地面上的影长为2m ，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为18m ．则旗杆的高度为 (精确到0.1m)．2、如图，在河两岸分别有A 、B 两村，现测得A 、B 、D 在一条直线上，A 、C 、E 在一条直线上，BC//DE ，DE=90米，BC=70米，BD=20米。
则A 、B 两村间的距离为 。
3、为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下列图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B ）8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB ）的高度约为_____ ___米（精确到0.1米）。
《相似三角形应用举例》 知识清单
《相似三角形应用举例》知识清单一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值称为相似比。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。
3、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
四、相似三角形的应用举例（一）测量高度1、测量旗杆高度例如，在旗杆旁边立一根已知长度的标杆，测量出标杆的影长和旗杆的影长。
由于在同一时刻，太阳光线是平行的，所以标杆和旗杆与地面形成的夹角相等，那么标杆和旗杆与其各自影长所构成的两个直角三角形相似。
设旗杆高度为 h，标杆长度为 a，标杆影长为 b，旗杆影长为 c，则有：a/b ＝ h/c，通过这个比例关系可以求出旗杆的高度 h。
2、测量建筑物高度在距离建筑物一定距离的地方，放置一个已知高度的物体（如测量杆），然后分别测量出物体的影长和建筑物的影长，利用相似三角形的性质计算出建筑物的高度。
（二）测量距离1、测量河流宽度可以在河对岸选定一个目标点，然后在河的这一边选定两个点，使这两个点和对岸的目标点构成一个三角形。
再在这一边另选一个点，测量出这个点到刚才选定的两个点的距离以及这个点与对岸目标点所形成的夹角。
通过这些数据，可以利用相似三角形计算出河流的宽度。
2、测量不能直接到达的两点之间的距离比如，要测量 A、B 两点之间的距离，但 A、B 两点之间有障碍物不能直接测量。
可以在 A、B 两点之外找一个能同时看到 A、B 两点的点 C，测量出 AC、BC 的长度以及∠ACB 的度数。
根据三角形的余弦定理，可以求出 AB 的长度。
（三）在航海中的应用1、确定船只的位置通过观测两个已知位置的灯塔与船只所形成的角度，结合灯塔之间的距离以及相似三角形的知识，可以确定船只的位置。
相似三角形应用举例
【思路点拨】 由两角对应相等可得△BAE∽△CDE,利用对应边成比例可得两岸间的大 致距离.
1.如图所示是小孔成像原理的示意图,根据图中所标的尺寸,蜡烛AB在暗盒中所成像CD
的高度是 1 cm
.
2.如图,测得BD=90 m,CB=120 m,CE=20 m,则AB=
m.
60
3.如图所示,一条河的两岸有一段是平行的,两岸岸边各有一排树,每排树相邻两棵的间 隔都是10 m,在这岸离开岸边16 m处看对岸,看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵 树的树干遮住,这岸的两棵树之间有1棵树,但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树,求这 段河的河宽是多少?
4.如图所示,测得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求河宽.
类型二:影长求高度 例2 如图,在宽为24米的马路两侧有两盏电灯A,C;当小明站在N处时,由灯C照射小明影 子长正好为NB,由灯A照射小明的影子长为NE,如果NB=6米,NE=2米,那么马路两侧的两盏 路灯的高度是否相同?
【方法技巧】 利用影长测量物体的高度.①测量原理:测量不能到达顶部的物体的高度, 通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影 长的比相等”的原理解决.②测量方法:在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来 ,再计算出被测量物的长度.
数学相似三角形应用举例
数学相似三角形应用举例相似三角形是指具有相似形状但不一定相等大小的三角形。
数学中，在相似三角形之间存在着各种有意义的关系，这些关系在实际中有广泛的应用。
下面我将为大家举例说明相似三角形的应用。
首先，相似三角形在地图比例尺的确定中起到了重要的作用。
地图上的距离是实际距离的缩放版本，而这个缩放比例就是通过相似三角形来确定的。
我们可以通过测量地图上两个地点的距离，然后测量这两个地点的实际距离，通过相似三角形的比例关系，就可以计算出地图的比例尺，从而准确地测量其他地点的距离。
其次，相似三角形在工程测量中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们常常需要测量高楼大厦的高度。
然而，直接测量高楼大厦的高度是非常困难的，而且也不安全。
这时，我们可以利用相似三角形的原理。
我们可以在地面上选择一个安全的位置，测量出到高楼大厦的距离和自己的高度，然后再测量出到高楼大厦顶部的夹角。
通过相似三角形的比例关系，可以计算出高楼大厦的高度。
此外，相似三角形还可以用于计算塔尖的高度。
在船舶导航中，我们需要确定灯塔的高度，以便进行航行计划。
然而，由于灯塔通常会建在陡峭的悬崖上，直接测量灯塔的高度非常困难。
这时，我们可以借助相似三角形的原理。
我们可以在海面上选择一个远离灯塔的位置，测量出到灯塔的距离和自己的水平高度，然后再测量出到灯塔塔尖的仰角。
通过相似三角形的比例关系，可以计算出灯塔的高度。
最后，相似三角形还在数学教育中有着重要的应用。
通过相似三角形，我们可以对学生进行数学思维的培养和训练。
让学生通过实际问题的解决，去发现数学中的规律和关系，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
总之，相似三角形在地图比例尺确定、工程测量、船舶导航和数学教育中都有广泛的应用。
通过相似三角形的原理，我们可以准确地测量距离、确定高度，并培养学生的数学思维能力。
相似三角形不仅是数学的重要概念，也是实际问题解决的有力工具。
通过深入理解相似三角形的应用，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题，为我们的生活和工作带来便利。
(实例版)相似三角形的实际案例分析
(实例版)相似三角形的实际案例分析
概述
本文将分析一个实际案例，以展示相似三角形在实际生活中的
应用。
案例背景
假设有一座高达800米的山峰，其山顶到山脚的距离为5千米。
一名山地运动员希望从山顶直线下降到山脚，但他希望选择一条符
合相似三角形原理的路径，以确保安全且最短的下降距离。
原理分析
假设该运动员选择的下降路径与山脚到山顶的直线的夹角为θ度，我们需要找到一个比例因子k，使得相似三角形的边长比例和
角度相同。
根据相似三角形的原理，我们可以得到以下关系式：k = 800 / 5 = 160
因此，该运动员选择下降路径时，每下降1千米，他需要向下
移动160米。
案例分析
基于上述原理，该运动员可选择以下路径：从山顶向下移动1
千米，然后向下移动160米，再向下移动1千米，再向下移动160米，如此重复，直到到达山脚。
通过使用相似三角形的原理，该运动员可以在保持安全的同时，以最短的距离下降到山脚。
如果没有使用相似三角形原理，他可能
需要根据山坡的陡度选择更长的路径。
结论
该案例展示了相似三角形在实际生活中的应用。
通过理解并应
用相似三角形的原理，我们可以在问题求解中找到最优解决方案。
在处理与比例和角度相关的问题时，相似三角形是一个强大且实用
的工具。
相似三角形应用举例
相似三角形应用举例利用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度，宽度以及视线遮挡问题。
例1：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。
如图27．2-8，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO练习：1、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？2.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高多少m。
3、小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米．已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为几米．OBDC A ┏┛OBA(F)ED例2、为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S 共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS 垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.练习、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为多少米．例3．已知左右并排的两棵大树高分别是AB=8cm,CD=12cm,两树的根部的距离BD=5m,一个身高1.6m的人沿着正对这两棵数的一条水平直路从左到右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点Ｃ．S TPQ R ba练习、1、如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度。
相似三角形的性质及应用
相似三角形的应用例1.如图，小华家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路计为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离．（精确到1m）例2.如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m．请帮助小明求出旗杆的高度．例3. 如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12 m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1．6 m，两个路灯的高度都是9．6 m，且AP=QB．(1)求两个路灯之间的距离．(2)当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少?例4. 有一块三角形铁片ABC，BC=12 cm．高AH=8 cm，按图(1)、(2)两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些．请你通过计算判断(1)、(2)两种设计方案哪个更好．例5. 如图，已知直角三角形的铁片ABC的两直角边BC、AC的长分别为3cm和4cm，分别采用a、b两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大问哪一种剪法好？为什么？相似三角形的性质及应用回作1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=1：2，则S△ADE：S△ABC=_____，S△ADE：S四边形BCED=___________2．若两个相似多边形的面积之比为1：4．（1）对应边上的中线之比为__________（2）周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是_________．（3）面积之和为40，则这两个相似多边形的面积分别是_________．3.在△ABC中，AB=12 cm，BC=18 cm，CA=24 cm．另一个与它相似的△A′B′C′的周长为81 cm，那么△A′B′C′的最短边长为________cm．4．(2009·宜宾)如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2 m时，A端的人可以将B端的人跷高1．5 m．那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高_________m．5．(2009·南宁)如图是三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子．现测得OA=20 cm，OA′=50 cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长之比是_________．6．(2009·太原)甲、乙两盏路灯底部间的距离是30 m，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5 m处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1．5 m，那么路灯甲的高为________m．7．如图，电影胶片上每一个图片的规格为3．5 c m×3．5cm，放映屏幕的规格为2 m×2 m，若放映机的光源S距胶片20 cm，那么光源S距屏幕________m时，放映的图像刚好布满整个屏幕．8.如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1 m，距他不远处的一棵树的影长为5 m，已知小明的身高为1．5 m，则这棵树的高是__________m．9．如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=20 m，则AB=_________m．10．如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2．7 m宽的亮区，已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8．7 m，窗口高AB=1．8 m，则窗口底边离地面的距离BC=______m．11．如图，圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影．已知桌面的直径为1．2 m，桌面距离地面1 m．若灯泡距离地面3 m，则地面上阴影部分的面积为___________12.如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度h应为______________m13．如图，路灯的高为8 m，身高1．6 m的小明从距离灯的底部(点O)20 m的点A处，沿AO所在的直线行走14 m到点B时，人影的长度( ) A．增大1．5 m B．减小1．5 m C．增大3．5 m D．减小3．5 m14．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1 m，继续往前走3 m到达E处时，测得影子EF的长为2 m，已知王华的身高是1．5 m，求路灯AB的高度。
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27.2.2相似三角形应用举例
教学目标:
1．进一步巩固相似三角形的知识．
2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题）等的一些实际问题．
3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
重点、难点
1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．
2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．
一、知识链接
1、判断两三角形相似有哪些方法?
2、相似三角形有什么性质？
二、.探索新知
1、问题1：学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？
2、在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例
练习：（1.）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为( )
A.7.5米
B.8米
C.14.7米
D.15.75米
（2.）在某一刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的高为60 米,那么高楼的影长是多少米?
3.
世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
3、例题讲解
例3：
据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．（思考如何测出OA的长？）
分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．
解：
4、课堂练习
在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米? （在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．）
问题：估算河的宽度，你有什么好办法吗？
5、例4
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P ，在近岸取点Q 和S ，使点P 、Q 、S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R ．如果测得QS = 45 m ，ST = 90 m ，QR = 60 m ，求河的宽度PQ ．
分析：设河宽PQ 长为x m ，由于此种
测量方法构造了三角形中的平行截线，故可 得到相似三角形，因此有ST QR PS PQ =， 即90
6045x x =+．再解x 的方程可求出河宽．
解：
6、课堂练习
如图，测得BD=120 m ，DC=60 m ，EC=50 m ，求河宽AB 。
7、结合此题写出测量河宽的方案。
三、回顾与反思．
(1) 谈谈本节课你有哪些收获．
四、当堂检测
• 1 如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为多少？
2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE =30m,那
E
3、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米．
4、如图，已知零件的外径a为25cm ，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=7cm，求厚度x。
F
E D
C
B
A
L'L
F'F
B
H
A B
C
D
5 、如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在 AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
N M Q P
E D C B A。