半角的正弦余弦正切公式

半角的正弦、余弦和正切

学习目标：

1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程；

2. 掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式.

学习重点： 掌握半角的正弦、余弦、正切公式的结构特点，灵活用公式． 学习难点：半角与倍角公式之间的内在联系及运用公式时正负号的选取． 知识链接：

1. 复习二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α= ；

cos2α= = = ；

tan 2α= .

一、预习案：

问题1：若7cos 25α=

，且α为锐角，则sin 2

α

= ， cos

2

α

= ，tan

2

α

= .

1︒在α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α即得2sin 2α=

2︒在1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α即得2cos 2

α= 3︒以上结果相除得2tan 2

α

=

半角公式：sin

2

α

= （1）

cos

2

α

= （2）

tan

2

α

= = = （3）

问题2：半角公式的特点及使用公式时应该注意什么问题？

问题3：你能根据上面的公式解答下列问题吗？

1、求值：（1）sin15 （2）cos15 （3）tan 8

π

二、学习案：

例1：已知sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ

2

的值．

跟踪训练：已知sin φcos φ＝60169，且π4＜φ＜π

2，求sin φ，cos φ的值．

例2：化简：

1. (1＋sin α＋cos α)⎝ ⎛⎭

⎪⎫sin α

2－cos α22＋2cos α

(180°＜α＜360°)

2.cot tan

1tan tan .2

22α

ααα⎛⎫⎛

⎫

-+⋅ ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭

跟踪训练： 化简：1cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin αααα

αααα

+---+--+-

例3：求证：2sin 4x ＋34sin 22x ＋5cos 4x －1

2(cos4x ＋cos2x )＝2(1＋cos 2x )．

练习：证明

2(1)1sin 2cos ()42παα+=- 2(2)1sin 2sin ()

42πα

α-=-

三、巩固案：

1．cos

2

π8－1

2

的值为( ) A ．1 B.12 C.2

2

D.

24

2．下列各式与tan α相等的是( )

A.

B. sin 1cos αα+

C. sin 1cos 2αα-

D. 1cos 2sin 2αα

-

3．已知180°＜α＜270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan 2α

的值为( )

A ．3

B ．2

C ．－2

D ．－3

4．已知tan

2

α

＝3，则cos α为( )

A.45 B ．－45 C.415 D ．－3

5

5．已知cos α＝45，且3

2π<α<2π，则tan 2

α等于( )

A ．－13 B.13 C ．－13或1

3

D ．－3

四、课后作业：

1．求下列函数的精确值.

（1）sin 22.5= （2）cos67.5=

（3）13cos 12π= （4）5cot 8

π

= 2．已知3sin 5θ=，且322ππθ<<，则cos 2

θ

= （ ）

C. D. 3．已知等腰三角形顶角的余弦值为

7

25

，则底角的余弦值为 .

4．设(),2αππ∈等于 .

5．已知1

cos 22

α=-

，并且4590α<<，求sin α,cos α,tan α的值.

6．求下列函数的周期： (1)2

cos 2

x y = (2)2

2sin y x =

7．求22cos cos sin y x x x x =--的值域、单调性、周期性并判断其奇偶性.

8.求函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值．

9.已知02

π

α<<，5tan

cot

2

2

2α

α

+=

，求sin 3πα⎛

⎫- ⎪⎝

⎭的值.

10.已知3sin ,sin 20,5θθ=<求tan 2

θ

的值.

参考答案

知识链接：

2.解：2

237cos 12sin 122525α

α⎛⎫

=-=-⋅=

⎪⎝⎭

一、预习案：

问题1：35 45 3

4

半角公式：sin

2

α

= （1）

cos

2

α

= （2）

tan

2

α

==sin 1cos αα+=1cos sin α

α

- （3）

问题2：

特点：1︒左式中的角是右式中的角的一半. 2︒公式的“本质”是用α角的余弦表示2

α

角的正弦、余弦、正切。 3︒根号前均有“±” ，它由角“

2

α

”所在象限来确定的，如果没有给定角的范围，“±”应保留.

注意：公式（3）成立的条件,

,.2

2

k k z α

π

π≠+

∈

公式（1）、（2）、（3）叫做半角公式，实际是二倍角公式的推论 .用于三角函数的求值、化简和证明 .

问题3：1. （1）

4（2）4

（31 二、学习案：

例1：cos

2

θ

= tan 22

θ= 跟踪训练：12sin 13ϕ=

5

cos 13

ϕ=