数学基本活动经验 (1)

数学基本活动获得的基本过程，水平层次和重要表征 由《任意角的三角函数》概念学习中获得的“利用单位圆研究三角函数问题”为具体案例

秭归一中

(1)经验萌发阶段

问题1：在初中学过的三角函数定义OP MP =αsin ， OP

OM =αcos （如图1）,若将OP

的长,1取为r 自然得到,cos ,sin a b ==αα表达式无分母，非

常简约。

问题1教科书由相似三角形引入，使OP=1过渡很自然，并

没有一开始令OP=r=1，找α终边和单位圆的交点来定义三角函数，使知识推进水到渠成（如图2）。

主要表征：①将比值定义改为一个字母来定义，起到了简

化运算作用。②OP=1,P 点轨迹是什么，自然想到单位圆，萌发

出用“单位圆来定义三角函数”的经验。

(2)经验明晰阶段

定义a b ==ααcos ,sin 学生只感到无分母比较简约，借助单

位圆，设α是任意一个角，角终边与单位圆交于),,(y x P 则

,tan ,cos ,sin x

y x y ===ααα（如图3）定义三角函数由实数到实数的函数，以集合为载体，三角函数定义由静止上升为运动。

问题2：（书P12，例1）求3

5π的正弦、余弦和正切值（如图4） 由“利用单位圆研究三角函数问题”基本活动经验知：找出

35πα=终边和单位圆交点)2

3,21(P -，由三角函数定义不难得出2

335sin -==y π，2135cos ==x π，335tan -==x y π，由一

个具体例子，让学生体会到利用单位圆定义三角函数简洁之美。

主要表征：①利用单位圆定义x

y x y ===αααtan ,cos ,sin 。②由于α用弧度表示，三角函数是由实数到实数的一个映射。③α运动导致三角函数也运动起来。

(3)经验概括阶段

“利用单位圆研究三角函数问题”，通过问题1、问题2感知：①三角函数定义简洁且有一定几何意义②为讲解三角函数线,cos ,sin OM MP y ===αα进而通过分析有向线段变化得，ααcos ,sin ==y y 定义域，值域、单调性、最值、同期性奠定坚实的理论基础③x

y ==αtan 再次体验当α为第二、三象限时，为什么要画其反向延长线，并作,OA AT ⊥其目的是利用单位圆为1=OA 简化运算，让学生反复领悟单位圆定义三角

函数“一次又一次”好处。

问题3：（P12例2）已知角α终边过点),4,3(--P 求角α正

弦、余弦，正切值。（如图5）

分析：由“利用单位圆研究三角函数问题”数学基本活动经

验得)4,3(

0--P 不在单位圆上，由相似三角形求出单位圆上点

)5

4,53(--P 从而求出角α三角函数值

问题4：求x x y cos 2sin 1++=

的值域（如图6） 分析：将)

2(cos )1(sin cos 2sin 1----=++=x x x x y 自然想到其几何意义是点)sin ,(co s

x x 与)1,2(--两点形成直线斜率，由,1sin cos 22=+x x 自然想到点)sin ,(co s x x 在单位圆上运动，从而转化线直线和圆相切，利用r d =求出最大值和最小值

主要表征：①能在多样化情境中将求三角函数转化到单位圆上求解。②能在具体问题中，发现某些点在单位圆上运动。③能体会利用单位圆研究三角函数问题由数到形所带来的形象直观。

(4)经验重构阶段

问题5：

),2,2(,1--=B

最大值和最小值（如图7）

,1=联想A 在单位圆上运动，从而用几何法得A ，O ，

B

1=，想到A

在单位圆上运动是解题关键。

问题6：设z 是一个复数，且,1=z 求61-++z z 的最小值（如

图8）

分析：令),(R b a bi a z ∈+=，自然想到z 在单位圆上运动，所

求问题即在单位圆上找一点P ，使它到)0,6(),1,0(b A -的距离之和最

小，即点P 是直线AB 与单位圆交点时，满足3722=+=OB OA AB 为最小。

问题4、问题5、问题6各题的情境差异很大，但仔细解构归纳出共同数学本质：它们都在单位圆上运动，从而使问题迎刃而解。

主要表征：①能在不同情境、不同知识点中感受“单位圆”存在并熟练利用单位圆解题。②看到复数1=z ，

，1=若,122=+b a )sin ,(cos αα，这些差异较大的表示方法，能发现它们的共性：都在单位圆上运动，使该数学基本活动经验不断外显，不断强化。③由此及彼，举一反三把“利用单位圆研究三角函数问题”扩大到向量、复数、圆、直线斜率等相关研究知识中。

结束语：本文是对《任意角的三角函数》“利用单位圆研究三角函数问题”数学基本活动经验浅显探讨，不同数学水平的人如何想到单位圆？看到哪些知识点能联想到单位圆？如何有效唤醒这个数学基本活动经验并不断强化？还有待于进一步研究。

参考文献

高振球 单位圆在高一数学中应用 中数研 2006（2）

数学必修④ 人教社

数学必修④教师用书 人教社

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