现代控制理论复习
现代控制理论复习要点
现代控制理论复习要点第二章控制系统的状态空间描述小结一、建模：状态空间描述（现代控制：内部描述）1、对象：① 线性时不变系统；② 离散时间系统；③ 时变系统；④ 非线性系统。
2、模型形式（状态空间表达式）：① 一阶微分方程组（一阶差分方程组）；② 向量-矩阵形式；③ 系统方框图；④ 状态变量图。
3.方法（途径）：①（已知）系统机理→（求）状态空间表达式；②（已知）输入输出描述（经典控制：外部描述）→实现问题（求）状态空间表达式（现代控制：内部描述）a 、（已知）方块图→（求）状态空间表达式；方块图→无零点惯性环节有零点惯性环节二阶振荡环节状态变量图→将积分器的输出作为状态变量状态空间描述b 、（已知）传递函数阵/高阶微分方程（脉冲传递函数阵/高阶差分方程）→（求）状态空间表达式))a b 无零点实现：能控标准型、能观标准型直接分解法：能控标准型、能观标准型最小实现有零点实现串联分解法(串联实现)并联分解法（并联实现或约旦标准型实现）：无重极点;有重极点二、状态变量的线性变换1、系统状态空间表达式的非唯一性2、系统的不变性① 特征值不变性/特征多项式系数（特征方程）不变性；② 传递函数矩阵不变性；③ 系统的能控性与能观性不变性。
3、状态空间表达式→约旦标准型三、状态空间表达式（现代控制：内部描述）→传递函数阵（经典控制：外部描述）1. 已知()()()()()()()()()()x t A t x t B t u t y t C t x t D t u t =+= ＋，求传递函数1()()()adj s s G s s s --+-=-+=-C I A B D I AC I A BD I A四、组合系统1．（已知）若干子系统的并联、串联、输出反馈联结→（求）状态空间描述或传递函数阵第三章状态方程的解小结一、求状态方程的解1、对象：线性系统① 连续时间系统：定常（齐次、非齐次）、时变（齐次、非齐次）② 离散时间系统：定常（齐次、非齐次）、时变（齐次、非齐次）2、解的形式如线性时变连续时间系统非齐次（对象）状态方程的解为：000()(,)()(,)()()t t x t t t x t t B u d ττττ=Φ+Φ?3、求解的关键求解状态方程的关键是求出状态转移矩阵0(,)t t Φ（重点和难点）；① 掌握状态转移矩阵的1）定义；2)基本性质；3)如何求；② 注意状态转移矩阵与矩阵指数的区别与相同点；③ 线性定常（时不变）连续时间系统状态转移矩阵（矩阵指数）的求法。
现代控制理论总复习
2 1 2 1 3 1
1 0 0
0 3 2 0 1 0
1 3 0
0 0 1
第二章
一、基本概念 1）线性定常连续系统非齐次状态方程的解分为 零输入的状态转移和零状态的状态转移；系统的输 出响应由零输入响应和零状态响应两部分组成。
3. 可逆性
(t, t0 ) (t0 , t )
1
例 已知系统状态方程,试确定该系统在输入作用分别为单位脉 冲函数、单位阶跃输入及单位斜坡函数时的状态响应。
能观标准Ⅱ型
a0 x1 c0 a1 x2 c1 a2 x3 c2 u an 1 xn cn 1 x1 x 2 1 bn u xn 1 xn
p21 1 p2 p22 0 p23 0
3 p3 Ap3
p31 4 p 1 32 p33 1
1 0 1
2 p31 2 p32 3 p33
2 s 2 11s 6 W ( s) 3 s 8s 2 17 s 10
2）能观标准Ⅱ型
x1 0 x2 0 x3 10 y 6 11 1 0 17 x1 2 x2 x3 0 x1 0 1 x2 0 u 8 x3 1
能控标准Ⅰ型
x1 0 0 10 x1 6 x2 1 0 17 x2 11 u x3 0 1 8 x3 2 x1 y 0 0 1 x2 x3
现代控制理论 复习第一章
约旦形实现：A中有约旦块
D(s) (s 1 )k (s 2 )...( s n )
n c1k ci c11 c12 N ( s) W ( s) ... k k 1 D(s) ( s i ) ( s i ) ( s i ) i k 1 ( s i )
1 1 1 0 x1 0 x x 1 u x 0 1 0 2 2 3 0 0 3 1 x x3 x1 y [2 1 0.5] x 2 x3
线性定常系统
状态方程 输出方程
例1-1可写成
1 0 x k x 2 m 1 x 0 b 1 1 u x2 m m
Ax bu x y Cx du
x y 1 0 1 x2
令
x1 y x2 y ... xn y ( n 1)
1 x2 x 2 x3 x .... n 1 xn x n an 1 xn an 2 xn 1 ... a1 x2 a0 x1 b0u x
1 0 1 0 0 x1 0 x x 0 x 0 0 1 0 2 2 u xn 1 0 0 0 1 xn 1 0 1 n a0 a1 a2 an 1 x xn y (b0 0 0 0) x
对角形实现：A为对角形
D(s) (s 1 )(s 2 )...( s n ) ci N ( s) n W ( s) D( s) i 1 ( s i )
《现代控制理论》复习提纲()
现代控制理论复习提纲第一章：绪论（1）现代控制理论的根本内容包括：系统辨识、线性系统理论、最优控制、自适应控制、最优滤波（2）现代控制理论与经典控制理论的区别第二章：控制系统的状态空间描述1.状态空间的根本概念；系统、系统变量的组成、外部描述和内部描述、状态变量、状态向量、状态空间、状态方程、状态空间表达式、输出方程2.状态变量图概念、绘制步骤；3.由系统微分方程建立状态空间表达式的建立；第三章：线性控制系统的动态分析1.状态转移矩阵的性质及其计算方法〔1〕状态转移矩阵的根本定义；〔2〕几个特殊的矩阵指数；〔3〕状态转移矩阵的根本性质〔以课本上的5个为主〕；〔4〕状态转移矩阵的计算方法掌握：方法一：定义法方法二：拉普拉斯变换法例题2-2第四章：线性系统的能控性和能观测性（1）状态能控性的概念状态能控、系统能控、系统不完全能控、状态能达（2）线性定常连续系统的状态能控性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（3）状态能观测性的概念状态能观测、系统能观测、系统不能观测（4）线性定常连续系统的状态能观测性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（5）能控标准型和能观测标准型只有状态完全能控的系统才能变换成能控标准型，掌握能控标准I型和II型的只有状态完全能观测的系统才能变换成能控标准型，掌握能观测标准I型和II 型的计算方法第五章：控制系统的稳定性分析〔1〕平衡状态〔2〕李雅普诺夫稳定性定义：李雅普诺夫意义下的稳定概念、渐进稳定概念、大范围稳定概念、不稳定性概念（3）线性定常连续系统的稳定性分析例4-6第六章线性系统的综合（1）状态反应与输出反应（2）反应控制对能控性与观测性的影响复习题1. 、和统称为系统变量。
2. 系统的状态空间描述由和组成，又称为系统的动态方程。
3. 状态变量图是由、和构成的图形。
4. 计算1001A-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的矩阵指数Ate__________。
现代控制理论复习
现代控制理论复习（*为重点）第一章一、*线性定常连续系统如何建立状态空间表达式：状态方程，输出方程1.*实际系统，运动方程状态方程：状态变量的一阶导数构成的方程组输出方程：状态变量的个数与独立储能元件有关2.*模拟结构图，方框图状态变量从右往左设，每个积分器的输出为一个状态变量，输入为状态变量的导数。
3.*传递函数，微分方程（有无数种）典型的状态空间表达式（为了研究方便）：能控标准型（两种），能观标准型（两种），约旦标准型。
其中任意两种状态空间表达式都是状态变量线性变换的关系。
1）能控标准I型：A：友矩阵b：（0,0,1）c:（b0,b1,b2）d：（传递函数分子分母阶次相同时有）2）能观标准I型：A：b:（长除法）c：根据对偶原理写出：能控标准II型/能观标准II型3）约旦标准型模拟结构图并联形式无重根，有重根*如何变换成约旦阵(对角阵)？如何构成线性变换阵T？1.无重根1）代数余子式（参考）2）定义（特征值,特征矢量）：T=(p1,p2…)2.有重根广义特征矢量：T=（p1,p2…）*状态空间表达式求传递函数W(s)=公式二、*非线性系统线性化处理给平衡状态进行线性化处理三、线性定常离散系统：G(z) G H*求传递函数G(z)=四、时变系统，传递函数阵不考第二章*线性定常系统方程求解一、状态转移矩阵的性质二、*四种方法求状态转移矩阵：1．定义法（展开）：开放形式2．*拉式反变换3．*对角阵/对角化4．凯莱哈密顿定理三、离散系统定义，*z反变换*线性定常连续系统离散化直接离散，近似离散时变，非线性系统不考第三章判定系统的能控性：1.模拟结构图2.对角阵/约旦阵（A,B）3.*能控判定阵M4.*能控标准型5.部分传递函数(sI-A)^(-1)B无零极点对消判定系统的能观性1.模拟结构图2.对角阵/约旦阵（A,C）3.*能观判定阵N4.*能观标准型5.部分传递函数C(sI-A)^(-1)无零极点对消线性定常系统的对偶关系*能控能观分解1.能控判定阵的秩→判断有几个变量能控→使线性变换阵非奇异的(n-m)个列矢量2.能观判定阵的秩→同上3.如果一个状态空间表达式能控则能变换成能控标准型（*能控II 简单）4.如果一个状态空间表达式能观则能变换成能观标准型（*能观I 简单）*最小实现所有状态变量既能控又能观如何寻找？1.能控能观分解→能控能观2. （了解）传递函数→能控（观）标准型→按能观（控）性分解→找出能控能观第四章现代控制理论：平衡状态稳定性（平衡点可能不止一个）第一法（间接法）线性定常系统→看特征值→左半平面→稳定非线性系统线性化→看特征值→左半平面，右半平面，虚轴特征值和闭环极点在传递函数无零极点对消时是相同的第二法（直接法）李雅普诺夫稳定，渐进稳定，大范围渐进稳定，不稳定李雅普诺夫函数（能量函数）V判断初始状态要有能量（V>0）V通常取二次型形式比较简单渐进稳定：V>0，对V求导，求得后：1）V的导数小于02）V的导数小于等于0→判断在x不为0时，V的导数恒不为零3）判断是否大范围渐进稳定如何求平衡状态？x的导数=A*x=0 (不管b*x)李雅普诺夫方法在线性定常连续系统渐进稳定依据第五章三种反馈控制方式，相应性能，对能控能观的影响，改善系统性能极点任意配置：原系统完全能控→状态反馈任意极点配置输出反馈不能实现任意极点配置（特别是单输入输出）原系统完全能观→输出到x导数端反馈实现任意极点配置系统镇定（特征值均在左半平面）状态反馈：不能控子系统渐进稳定输出到x导数端反馈：不能观子系统渐进稳定输出反馈：解耦问题（能解耦标准形不考）*状态解耦，积分型解耦系统状态观测器状态重构状态观测器的输入？输出？能构建的条件：完全能观或不能观子系统渐进稳定如果完全能观：可以通过G调节x的估计值接近x的速度全维状态观测器：可实现极点配置降维状态观测器（不考）习题1.状态空间表达式求传递函数（或传递函数阵）零极点对消，说明该系统（不）能控（不）能观。
现代控制理论复习资料
一卷一、选择题：1.非奇异状态变换不改变系统的：A.极点B.控制矩阵C.系统矩阵D.输出矩阵 2.两个系统()()12,W s W s 并联后，系统的传递函数为： A.()()()()1121W s W s I W s -+ B.()()12W s W s C.()()21W s W s D.()()12W s W s ± 3.()0,t t Φ为线性时变系统的状态转移矩阵，则：A.()()00,t t t t Φ=Φ-B.()()()211020,,,t t t t t t ΦΦ=ΦC.()()()211020,,t t t t t t ΦΦ=Φ-D.()()()211021,,,t t t t t t ΦΦ=Φ 4.线性系统,x Ax Bu y Cx =+=的完全能观性：A.与u 有关B.与B 有关C.与B 和u 都无关D.与B 和u 都有关5.()()1W s C sI A b -=-，一个单输入单输出系统(),,A B C 完全能控能观的充分必要条件是：A.()()1W s C sI A b -=-的分子分母不能相消B.()W s 只有稳定的零极点相消C.()W s 只有不稳定的零极点相消D.与()W s 零极点相消没关系 6.若系统x Ax =是渐近稳定的，则： A.存在()0V x >使()0V x >B.不一定存在二次型Lyapunov 函数C.一定存在二次型Lyapunov 函数()V x 使()V x 正定，()V x 负定D.存在()0V x < 使 ()0V x <7.若传递函数()W s 的分母的根都在左半复平面，则： A.()W s 的所有实现都是稳定的系统 B.最小实现可能是稳定的也可能是不稳定的系统 C.()W s 的所有实现都是不稳定的系统 D.()W s 的实现不一定是稳定的系统 8.若使系统的闭环极点能任意配置，则：A.(),,A b c 完全能控B.(),,A b c 完全能观C.(),,A b c 反馈能镇定D.(),,A b c 必须同时能控能观 9.被控系统(),,A B C 的状态反馈：A.不改变极点B.不改变零点C.极点和零点都改变D.极点和零点都不改变 10.若()1111,,A B C ∑=与()2222,,A B C ∑=互为对偶的，则：A.若1∑能观，则2∑能观B.若1∑能控，则2∑能控C.1∑与2∑的特征根相同D.1∑与2∑的传递函数矩阵相同二、计算题 1.已知系统[]001110310130102x x uy x-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=- 判断系统是否是完全能控的，若不完全能控，将系统进行能控性结构分解，并判断这个系统是否可反馈镇定.2.已知系统[]10100111x x u y x⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=- ① 设计状态观测器使其极点为-3,-2.② 取反馈控制律为()[]12ˆcos 11ˆxu t x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，求整个闭环系统方程.三、证明题1.对线性时不变系统,n x Ax Bu x R =+∈，若1,,...n M b Ab A b -⎡⎤=⎣⎦且rankM n =试证明系统是完全能控的.2.试证明系统 31211221x x x x x x x ⎧=-+⎨=--⎩的平衡点()0,0是渐近稳定的.一卷答案一、选择题：1.A,2.D,3.B,4.C,5.A,6.C,7.D,8.A,9.B, 10.C.二．计算题 1. 解：1)2101113012M bAbA b -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，()23rank M =< 系统是不完全能控的。
现代控制理论基础总复习
第二章线性系统的数学描述数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种：第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述；第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述；第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。
910 2.1 线性系统的时域数学模型()(1)(2)121()()()()()n n n n n c t a c t a c t a c t a c t ---+++++()(1)(2)0121()()()()()m m m m m b r t b r t b r t b r t b r t ---=+++++ (2.1) 式中，()r t 和()c t 分别是系统的输入信号和输出信号，()()n c t 为()c t 对时间t 的n 阶导数；i a (1,2,)i n =和j b (0,1,)j m =是由系统的结构参数决定的系数。
2.2 传递函数11m n b s a s --++++++11 式中1011()m m m m M s b s b s b s b --=++++1011()nn n n N s a s a s a s a --=++++()M s 和()N s 分别称为传递函数()G s 的分子多项式和分母多项式。
2.5 线性系统的状态空间描述A Buy C du =+⎧⎨=+⎩x x x(2.3) 2.5.2 状态空间表达式与传递函数的关系1()()G s C sI A B D -=-+(2.4)12 2.5.3 状态空间表达式的建立情形一： 线性微分方程中不含输入的导数项，传递函数没有零点()(1)11n n n n y a y a y a y u --++++= (2.5)情形二 线性微分方程含有输入的导数(不超过3阶)，传递函数有零点 ()(1)()(1)11011n n n n n n n n y a y a y a y b u b u b u b u ----++++=++++ (2.6) 1011111()()n n n nn n n nb s b s b s b Y s U s s a s a s a ----++++=++++(2.7)13 Chp.9 状态空间系统响应、可控性与可观性9.1 线性定常系统的响应已知线性定常连续系统状态方程的一般形式为0()()(), (0)t A t B t =+=x x u x x(2.8) 状态变量的初始值为0x ，控制作用为()t u 。
现代控制理论课程复习要点
现代控制理论课程复习要点现代控制理论课程复习要点第一章1.已知系统的状态方程和输出方程（以线性方程组的形式给出），如何写出其向量-矩阵方程并画出状态变量图。
2. 已知系统的状态空间模型表达式，如何将其转换为对角线规范型。
（注意复习3*3矩阵的求逆、行列式计算的方法，切记）该类题目具体做法有两种：（1）方法一：求出该系统特征值，特征向量，利用特征向量构成非奇异转换矩阵P ，然后利用线性转换公式：11,,A P AP B P B C CP --=== 求出对应对角线规范型。
（2）方法二：求出该系统特征值，利用特征值，构成范德蒙德矩阵，并将该矩阵作为非奇异转换矩阵P ，然后利用线性转换公式：11,,A P AP B P B C CP --=== 求出对应对角线规范型。
第二章1. 已知系统状态转移矩阵()t Φ，如何求出该系统状态方程中的系统矩阵A 的值；该题的主要考点在于：()t Φ的一阶导数在t=0时的值为A ，即t 0()|A t ==Φ。
2.已知状态空间模型，如何求输入()u t 为单位阶跃函数时，该状态空间表达式的解；（利用非齐次状态空间模型的解公式求就可以了）3. 已知线性定常系统齐次状态方程，试利用特征值规范型方法求出状态转移矩阵()t Φ。
具体解法：（1）先求出该系统的特征值：s -0I A = ，特征值分别为123λλλ，， ;（2）根据特征值123λλλ，，求对应的特征向量123,,p p p ，并以此构成非奇异转换矩阵[]123=P p p p ；（3）根据特征值规范型的特性可知，特征值规范型系统的状态转移矩阵为12300(t)000tt t e e e λλλΦ=?? （4）最后将该状态转移矩阵转换回普通形式的状态转移矩阵1(t)P (t)P -Φ=Φ .第三章1. 已知线性定常系统的状态方程（该方程中含未定参数），试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定时，这些未定参数应满足的条件。
现代控制理论-复习
离散时间状态空间模型：源自掌握基本原理，离散模型的导出，经典例子。
离散时间状态空间模型的分析。
能控、能观性 能控、能观性的定义、实际意义、判别条件、例子。 能控标准型是能控的； 一般的能控系统可以等价变换为能控标准型； 系统的离散化不能保持能控性； 输出能控性、和状态能控性的关系。 能控能观性的对偶原理 基于传递函数的能控、能观性条件：零极点对消 倒立摆的例子
06
分析：运动分析、能控性、能观性、稳定性。
07
设计：稳定化控制器、极点配置、观测器、基于观测器
08
的输出反馈控制器、线性二次型最优控制器。
09
要求：概念、方法、意义
状态空间模型 通过分析其内在变化规律列出相应动态方程； 通过输入输出数据建立传递函数模型，进而给出其状态空间实现； 掌握处理传递函数的状态实现方法，从特殊到一般的方法，掌握一些特殊状态空间实现的形式：能控标准型、能观标准型、对角型，它们的意义。 状态空间模型的状态变量图； 由状态空间模型确定传递函数； 状态空间模型的性质 等价模型的概念（可以简化结构），状态空间实现的不惟一性，等价模型具有相同传递函数、相同极点、相同能控、能观性
稳定性
李雅普诺夫稳定性、渐近稳定性的概念、意义；
具体例子的解释；
李雅普诺夫稳定性理论的实质：能量的变化
存在一个能量函数，沿系统轨线，能量函数衰减。
以上分析数学上的准备：函数的定号性！
重点：线性系统的稳定性分析
李雅普诺夫方程
线性系统李雅普诺夫稳定性定理的描述、举例应用。
李雅普诺夫稳定性定理的几何意义。
系统性能的分析（李雅普诺夫稳定性部分）。
线性二次型最优控制器的描述：
闭环性能指标：
最优闭环系统特性：稳定性。
现代控制理论复习知识点
第二章复习要点
2、状态转移矩阵(续) -α系数的求法：特征值互异；特征值有重复 3、线性定常非齐次方程的解 (自由运动+受迫运动) x’=Ax+Bu x(t)=？ 4、离散时间系统状态方程的解 x(k+1) = G x(k) + H u(k) x(k)=? Gk难求，转化为： Gk=T Λk T-1 Z变换法：x(k)= Z-1[ (ZI-G)-1 ( Zx(0) + Hu(z) ) ]
第二章复习要点
1.线性定常齐次状态方程的解 (自由运动) X’=AX x(t)=Φ(t-t0) x(t0) =eA(t-t0)x(t0), tt0 Φ(t) =eAt：状态转移矩阵 2、状态转移矩阵 性质； 计算： 特殊的状态转移矩阵： A=Λ ？ A=J ？ 利用特殊的状态转移矩阵： eAt=Te ΛtT-1 ; eAt=Te Jt T-1 拉式变换：eAt = L-1 [(SI-A)-1] 凯莱哈密顿定理： eAt = α0I +α1A+… +αnAn-1
第三章复习要点
4、对偶 5、能控、能观性分解 能控性分解：不完全能控，A21=0，Rc=？ 能观性分解：不完全能观，A12=0，Ro=？ 能控能观性分解： 既不完全能控，也不完全能观； A=?，B=?, C=(C1, 0, C2, 0) 两阶段法：先能控分解，后能观分解，此方法不一定保证所有情况都能分解。
标准型及转化 (单输入单输出，系统能控，系统能控) 标准型： 能控标准I型 A (I在右上角)，B=(0, … 0, 1)T，C 能控标准II型 A (I在左下角), B=(1, 0, … 0)T ，C 能观标准I型 A (I在右上角) ，B，C=(1, 0, …, 0) 能观标准II型 A(I在左下角)，B，C= (0, …, 0 1) 直接写出传递函数： 能控I，能观II 转化 能控标准I型(I在右上角) ：Tc1 =? 能控标准II型(I在左下角)：Tc2 =M 能观标准I型(I在右上角) : To1-1 =N 能观标准II型(I在左下角): To2-1 =?
《现代控制理论》复习题
《现代控制理论》复习题一、填空题1动态系统的状态是一个可以确定该系统____________ 的信息集合。
这些信息对于确定系统_ 的行为是充分且必要的。
2 .以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交____________________________ 空间，称之为_________________ 。
3. _______ 定义：线性定常系统的状态方程为双t) Ax(t) Bu(t),给定系统一个初始状态x(t0)X o,如果在b t。
的有限时间区间［tit］内,存在容许控制u(t),使x(t i) 0,则称系统状态在t o时刻是________ 的;如果系统对任意一个初始状态都, 称系统是状态完全_________ 的。
x(t) Ax(t) Bu(t)4•系统的状态方程和输出方程联立，写为y(t)Cx(t) Du(t)，称为系统的__________________________ ,或称为系统动态方程，或称系统方程。
5•当系统用状态方程x Ax Bu表示时，系统的特征多项式为。
7 0 02(I)& 0 5 0 x0 u6.设有如下两个线性定常系统0 0 19则系统(1 ) , ( II )700 0 1(II ) &050 x 4 0 u00 1 7 5的能控性为，系统(1 ) ,系统(II ) < 7 •非线性系统x f(X)在平衡状态x e处一次近似的线性化方程为& Ax，若A的所有特征值______________________________ ，那么非线性系统& f(x)在平衡状态X e处是一致渐近稳定的。
8•状态反馈可以改善系统性能，但有时不便于检测。
解决这个问题的方法是：____________ 一个系统，用这个系统的状态来实现状态反馈。
9•线性定常系统齐次状态方程解x(t) to)x(t o)是在没有输入向量作用下，由系统初始状态X(t o) X。
现代控制理论复习
➢课程结构与内容
• 第2章 控制系统状态空间表达式的解
✓ 2.1 线性定常齐次状态方程的解 ✓ 2.2 矩阵指数函数—状态转移矩阵 ✓ 2.3 线性定常系统非齐次方程的解
eAt 的求法
(1)定义法: eAt I At 1 A2t2 1 A3t3
分离定理: 若被控系统（Ａ，Ｂ，Ｃ）可控可观测， 用状态观测器估值形成的状态反馈，其系统的极点配 置和观测器设计可以分别进行．
K阵的求法
（2）直接求状态反馈K:
①验证原系统的能控性。
②定义反馈增益矩阵K, 求闭环系统特征多项式。
K k1 k2
kn
f () I ( A BK ) n an1 n1 a1 a0
1.基本概念（状态、状态变量、状态空间表达式等） 2.模拟结构图 3.状态空间表达式的建立
方框图——状态空间表达式 物理系统——状态空间表达式 传递函数——状态空间表达式（实现）
4.状态变量的线性变换 将状态方程化为对角标准型 将状态方程化为约当标准型 线性变换后系统特征值、传递函数保持不变
5.由状态空间表达式求传递函数
p11
设实对称矩阵
P
p21
pn1
p12 p22
pn2
p1n
p2n
,
pnn
pij p ji
Δi (i 1,2,, n) 为其各阶顺序主子行列式：
pp
Δ1
p11
，
Δ2
11
p
12
p
21
22
，… ， Δn P
(1) 实对称矩阵P为正定的充要条件是P的各阶主
《现代控制理论》复习资料
《现代控制理论》复习资料《现代控制理论》复习资料题型一：已知系统传函，求①能控标准型、能观标准型②约旦标准型例题：P155 3-4、3-9解题步骤：1）根据传函→能控能观标准型传函：0122111012211)(a s a s a s a s s s s s W n n n n n n n n n +++++++++=--------- ββββ① 根据传函有无零极点对消判断是否能观能控② 写出能控标准Ⅰ型(以三阶为例)---=210100010a a a A=100b ][210βββ=c③ 写出能观标准Ⅱ型(以三阶为例)---=210100100a a a A =210βββb ]100[=c2）根据能控标准型→约旦标准型① 求λi ，Pi0||=-A I λ，求得λiλi 互异时，λiPi=APiλi 有重根时，λ1P 1-AP 1=0λ2P 2-AP 2=-P 1λ3P 3-AP 3=-P 2② 求T,T -1T=(P 1，P 2...P n )③ 求T -1AT,T -1B,CTBu T ATz T Z 11--?+=Du CTz y +=题型二：已知状态空间表达式，求①画模拟结构图②判断能控性、能观性③系统传函例题：P56 1-7解题步骤：1）状态空间表达式→模拟结构图P152）状态空间表达式→判断能控、能观性见题型四3）状态空间表达式→传函方法一：根据模拟结构图直接写出传函 (见P23 图)方法二：① 先求1)()(---A sI A sI 、② D b A sI C s W +-=-1)()(题型三：已知状态空间表达式，①求At e t =)(φ②u(t),求x(t)例题：P69 例2-8 P87 例2-6,2-4解题步骤：1)求)(t φ方法一：化为约旦标准型1-=T Te e At At① 求λi ，Pi② 求T,T -1③ 1-=T Te e At At方法二：拉氏反变换])[(11---=A sI L e At① 求1)()(---A sI A sI 、② ])[(11---=A sI L e At方法三：用凯莱-哈密顿定理① 求λi② 求αi (t)③ 两个特征值：I t A t e At )()(01αα+=三个特征值：I t A t A t e At )()()(012ααα++=2)求x(t)τττφφd Bu t x t t x t)()()0()()(0?-+=题型四：已知状态空间表达式(含参数)，判断能控性、能观性(三阶) 例题：P154 3-1解题步骤：方法一：化为约旦表达式A 的特征值互异部分，B 中各行不全为0，则能控；C 中各列不全为0，则能观；A 的特征值相同部分，B 中每个约旦块最后一行不全为0，则能控；C 中每个约旦块第一行不全为0 ，则能观。
现代控制理论复习
输入变量 输出变量 状态变量状态向量中变量的个数n 称为状态的维数，也称为系统的维数 状态变量的选取不唯一，但最小个数是一定的 系统状态空间描述：1、状态方程 2、输出方程SISO:du x c y u b x A xT +=+=MIMO:uD x C y u B x A x +=+=2-2 由 传递函数 建立系统的 状态空间表达式能控标准实现： 各积分器的输出组合成总输出（γ，β） 能观标准实现： 输入作用到各个积分器（β，γ） 约当实现对于n 阶系统，必含有n 个积分器，将积分器的输出作为状态变量能控标准实现I 型： 反馈作用到个积分器输入 能控标准实现II 型： 各积分器输出反馈到总输入能观标准实现1、2型与能控标准实现规律相同记忆图中α，β，γ的方向：α 与x 的方向始终相同 对于γ控↓ 观↑对于x,y ，I 异II 同（对于能控而言，能观刚好相反）能控1型： AC1, BC1，CC1T[]uy x y y y y u x xn n n +=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=--011110``````0``````0111``````010ααα能控2型：A 等于AC1转置B 、C 分别等于B 、C 倒过来能观1型与能控2型互为对偶关系： 二者的A 互为转置二者的B 、C 互换，但是要注意横向量和竖向量问题能观2型与能控1型互为对偶关系：（反映在框图中为综合点和引出点互换，积分器输入输出 互换，信号线方向取反）对角标准实现和约当标准实现是指：A 为对角矩阵或约当矩阵2-3 线性变换非奇异：可逆矩阵为非奇异，矩阵的秩≠0为非奇异线性非奇异变换，可逆变换通过线性非奇异变换，系数矩阵变成一样的，则两个系统是代数等价的特征多项式、特征方程、特征根、特针值、特征向量 其中非奇异变换只改变特征向量，变为x T1-，其余皆不改变N 个相异特征根有N 个特征向量，反之，不一定成立，重根现象用非奇异线性变换将系统化为能控能观标准型 没有看化为对角型：①充要条件：N 个线性独立的特征向量（特征根互异 OR A I -λ降秩数=特征根重数）T 是一个方阵化为约当型：给定条件： 矩阵降秩数 ≤ 特征根重数造成的后果：第一次解的时候解不出N 个特征向量，只能解出 （N —降秩数） 个接下来解的时候应该看每一个解出来的特征向量里的元素的个数，有几个 元素就一共可以解出多少个特征向量，如（1,2,3,0，0，0）则接下来可 以解出（0,1,1,0，0,0） （0,0,1,0,0,0），数字是随意编的，大概是这个 意思之后的地推公式（虽然不知道怎么来的，线代书上应该有，貌似有那么一点印象）：1,2,)(i i P P A I -=-λ凯莱·哈密顿定理自己试着背诵一下吧伴随矩阵：对每一个元素求行列式，然后转置最小多项式： 首项系数为1 的，阶次最小的多项式 特点： 1、阶次 ≤ N 2、存在且唯一 3、能整除)(s ϕ4、)(A sI adj - 所有元素的公因式d(s), ()()()s d s s m ϕϕ=5、()()()()md m d d ms s s s λλλϕ-•••--=21212-4 系统的传递函数矩阵根据p 维输入q 维输出，做拉普拉斯变换得：状态 伴随×B 伴随×B 输入 = （sI-A)-1 B = 秩 = φ（s ）输出 C × 伴随×B C × 伴随×B 输入 = C （sI-A)-1 B+D = 秩 +D = φ（s ） +D = G(s)其中要注意两个式子ij g 的表示方法严格真有理分式 分子的阶数 < 分母的阶数真有理分式 分子的阶数 ≤ 分母的阶数(书上介绍的情况是等于)多输入多输出系统传递矩阵特点：1、D=0时，才是 严格真有理分式 D=G(∞)2、系统稳定，特征根都有负的实部时， 静态增益矩阵 G （0）3、线性非奇异变换 不改变 输入输出 的传递函数矩阵4、()()()()()()()s Bs CP S B s CP s d A sI B A sI Cadj m ϕϕ==--det系统传递函数矩阵的递推算法：两个基本公式:1、特征多项式2、伴随矩阵的特征多项式写法通过二者的对比计算可以得出 第二个式子 中的 系数矩阵 的值将输入输出方程求出的传递函数矩阵列出： 把伴随矩阵化为多项式写法 求得系数 EE 的求法和规律：CBE CB a B CA a B CA E CBa B CA a B CA E n n n n n n n =+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=-------123121121101、系数永远是从a n-1 开始，第一个系数永远是12、变化的只有A 的幂次方，最开始的幂次方数和E 的下角标之和为n-13、最后一个永远是CB2-5 系统的连接 并联 串联反馈连接并联：1、两个个系统 输入、输出维度 分别相等2、()()()s G s G s G 21+=串联：1、系统1 的输出维度为系统2输入维度2、()()()s G s G s G 21=输出反馈连接：1、系统1 的输入和系统2 的输出维度相同 系统1 的输出和系统2 的输入维度相同2、()()()()s G s G s G s G 2111+=2-6 线性系统状态方程的解线性状态方程的解： 对于线性齐次微分方程：基解矩阵 状态转移矩阵 状态转移矩阵的性质：1、关于逆的性质()()10011,,t t t t φφ=-2、传递性3、状态转移矩阵的初始矩阵4、求导5、对偶系统矩阵()t A T-的状态转移矩阵为()[]10,-t t Tφ不懂对于线性非齐次微分方程： 设()()()t z t t t x 0,φ=注：此处加上z （t ），是因为想要保持住()0,t t φ，这里的()0,t t φ就是前面的()0,t t φ，具有前面的所有性质继而通过对x （t ）的导数的计算求出z （t ）的导数，接着通过积分求出 z （t ） ()()00t x t z 即为 最后得到状态变量x （t ）=零输入解 + 零状态解对于线性定常系统，状态转移矩阵 是时间差的函数()()00,t t t t -=φφ因而得到的状态变量方程又可以表示为： 自己背诵理解()0t t -φ的线性定常系统的性质：1、逆矩阵性质（注意： 以后此处的t 指的就是时间差）2、传递性()()()1212t t t t +=φφφ3、初始矩阵()()()()()It t t t ==-=-φφφφφ104、矩阵求导： 对自身求导，对它的逆求导5、状态转移矩阵()t φ和A 可交换6、对偶系统矩阵()t A T-的状态转移矩阵为()[]1-t Tφ 不懂矩阵指数函数定义：?=Ate有关时间的状态的表达式()()()()t Ax t xx e t x t t A ==- 0At e 的性质：1、幂和()ττ+=t A A Ate e e2、幂积At Ate e--=1)(3、AB=BA 时，矩阵幂和才成立即()t B A Bt Ate e e+=4、凯莱哈密顿定理的应用：当A 的特征根互异时，可求得转换后的系数。
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1．系统状态变量选择原则：标量相互独立、个数等于微分方程的阶数。
2．X点=Ax+Bu Y=Cx+Du；A系统矩阵B输入矩阵C 输出矩阵D直接转移矩阵G系数矩阵H输出反馈矩阵3．线性系统的状态模拟结构图的三个基本环节是：积分器、加法器、比例器。
4．线性系统状态方程的建立有哪四种方法：a 根据系统的机理建立b 由系统微分方程建立c 由方框图导出d 由传递函数导出。
5．I(t)的意义：状态转移矩阵；计算方法有：a直接计算法b拉氏反变换法c特征值法d化e At为A的有限项法。
6．线性定常系统X点=Ax+Bu的能控性意义是：给定一个初始状态，X(t0)在t> t0的有限区间[t0 ，t1]内，能找到控制u(t1)=0，使X(t1)=0则称系统状态在t0时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全能控的，其能控阵Qc=[B AB A2BA3B A(N-1)B] Rank(Qc)=n7．若线性定常系统的A为对角标准型，系统状态完全能控的判据是：B波阵中不包括元素全为零的行；若线性定常系统的A为约当标准型系统状态完全能控的判据是：B波阵中对应于每个约当块Ji(i=1，2，3…k)最后一行元素不全为零。
8．线性定常连续系统E(A，B，C，D)输出完全能控的充要条件是：输出能控性矩阵Rank [CB CABCA2B CA3B CA(N-1)B D]=m，m为系统输出矢量的维数。
9，线性定常系统E(A，B，C)状态能观测的意义：如果在[t0t1]内，通过观测Y(t),能唯一确定系统的初始状态X(t0)，则称系统在Xo是能观测的，若系统对任意的初始状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的。
判断系统完全能观测的充要条件是：Rank(Qo)= Rank [C CA CA2CA3B CA(N-1)]T=n。
10，SISO线性定常系统E(A，B，C)，若其传递函数中没有零极点相消现象那么系统一定是既能控又能观测的；若有零极点相消现象那么系统视状态量的选择不同，它有可能是不能控的、不能观测的、亦或是不能控又不能观测的。
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D.—个非零初值条件的系统.一定不能用零初始条件系统替代说明问题。
47.下面关于状态变量及其选取说法错误的是（）。
A.状态变最的选取一定要有物理意义才可以。B.状态变量一定要相互独立。
C.状态变量组成的欠量足以表征系统。D.状态变量选取时要求不冗余。
30.卜面关于线性时不变系统的系统矩阵说法错i吴的是（）。
A.由系统矩阵可以得到系统的运动模态。
B.系统矩阵的形式决定着系统的稳定性质。
C.具有相同特征值的系统矩阵.鲁棒稳定性是一样的。
D.系统矩阵不同，系统特征值可能相同。
31.下面关于离散系统状态空间描述方程的解说法错误的是（）o
A・递推迭代法适用于所有定常、时变和非线性情况.但并不一定能得到解析解。
A.凡是输入和状态关系满足叠加性的系统就是线性系统。
B.非线性方程一定表示非线性系统。
C.系统中含有非线性元件的系统一定是非线性系统。
D.［人I为初始条件与冲激输入的效果是完全等效，所以将Z = （A,B,CD）在任何帖况卜部看成线性系统。
25.线性定常系统的状态转移矩阵亡如的性质错误的是（D ）o
、°0-3,
数为（C）・
A.1B.2C.3D・ 4
41.已知4-2・丫+4“,』=4兀/20,若输入信号是sin（4/+刃2）,则该系统的输出信号频率是（B ）Hz°
A.2/ttB・ 4//r C. 1/2-7 D・2n
a
42.己知线性时不变系统的系统矩阵为A经变换x = 7x后，变成云=0
几何重数为（）。
选择题
1.下面关于建模和模型说法错误的是（C）0
现代控制理论复习
G ( s ) = G1 ( s )[ I + G2 ( s )G1 ( s )]−1 或 = [ I + G1 ( s )G2 ( s )]−1 G1 ( s )
2 0 1 1 1 2 9 8
[ 第二章总结] 1 .线性定常齐次状态方程的解 2 .矩阵指数函数 e At 3 .状态转移矩阵 Φ ( t − t0 ) Φ ( t , t ) 0 4 .线性定常非齐次状态方程的解 5 .线性时变系统状态方程的解 1 、线性定常系统运动分析 1 ）齐次状态方程的解：
2 0 1 1 1 2 9 2 2
4 、李氏第二法判稳 李氏第二法判稳思路：寻找李氏函数 李氏第二法判稳思路 李氏第二法稳定性定理
G11 G12 G G Y(s) G(s) = = C(sI − A)−1 B + D = 21 22 M M U(s) Gm1 Gm2 L G1r L G2r L M L Gmr
G( s ) 的每个元素的含义：
Yi ( s ) 表示第i 个输出中，由第j 个输入变量所引 Gij ( s ) = 个输入变量间的传递关系 U j ( s ) 起的输出和第j
e At
2 0 1 1 1 2 9
e λ1t = P 0
0 −1 O P e λnt
1 0
约当标准型法：当A 的特征值为 λ1（n 重根）
λ1t e = Q M 0 0 te λ1t L O O L 1 t n−1e λ1t ( n − 1)! −1 O M Q O te λ1t 0 e λ1t
x ( t ) = Φ ( t − t0 ) x ( t0 )
2 ）非齐次状态方程的解：
x( t ) = Φ ( t ) x( 0) + ∫ Φ ( t − τ ) Bu(τ )dτ
现代控制理论总复习
显然其秩为2。而系统的状态变量维数n=3,所以 状态不完全能控。
[推论]若A为约旦型(对角线规范形视为其特例)，则系 统能控的充要条件是 （1）B中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元 素全为零。
（2）B中与每个约旦块最后一行相对应的各行，没有 一行的元素全为零。
例 判断下列系统的能控性
2 0 1 (1)、A , B 0 0 1
解 (1) 首先求出矩阵指数函数eAt,其计算过程为
sI A s 2 3s 2 ( s 1)( s 2) ( sI A)1 s 3 1 adj( sI A) 1 sI A ( s 1)( s 2) 2 s 1 1 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 1 2 2 2 s 1 s 2 s 1 s 2
xx
)
系统的状态空间描述 2
具体要求 1 熟练掌握根据以下给定形式，建立状态空间 表达式 结构图、传递函数、微分方程
特别注意: 1 分子分母的阶次相等时: 2 多输入多 2 s2 s2
由模拟图写状态方程
d u 3 2
47
下列的系统是完全能观测的吗
1 0 (1) x x, y 0 1x 0 2
2 1 0 0 2 1 x, y1 0 1 3 x ( 2) x y 0 1 4 0 0 2 2
(1)
36
（1）解
e At
e 2 t 0 0
0 e 2 t 0
0 0 e 2t
（2）解
e 2t At e 0 0 0 e 3t 0 0 3t te e3t
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（*为重点）
第一章
一、*线性定常连续系统
如何建立状态空间表达式：状态方程，输出方程
1.*实际系统，运动方程
状态方程：状态变量的一阶导数构成的方程组
输出方程：
状态变量的个数与独立储能元件有关
2.*模拟结构图，方框图
状态变量从右往左设，每个积分器的输出为一个状态变量，输入为状态变量的导数。
3.*传递函数，微分方程（有无数种）
典型的状态空间表达式（为了研究方便）：能控标准型（两种），能观标准型（两种），约旦标准型。
其中任意两种状态空间表达式都是状态变量线性变换的关系。
1）能控标准I型：A：友矩阵b：（0,0,1）c:（b0,b1,b2）d：（传递函数分子分母阶次相同时有）
2）能观标准I型：A：b:（长除法）c：
根据对偶原理写出：能控标准II型/能观标准II型
3）约旦标准型
模拟结构图并联形式
无重根，有重根
*如何变换成约旦阵(对角阵)？如何构成线性变换阵T？
1.无重根
1）代数余子式（参考）
2）定义（特征值,特征矢量）：T=(p1,p2…)
2.有重根
广义特征矢量：T=（p1,p2…）
*状态空间表达式求传递函数W(s)=公式
二、*非线性系统 线性化处理
给平衡状态进行线性化处理
三、线性定常离散系统：G(z) G H
*求传递函数G(z)=
四、时变系统，传递函数阵不考
第二章
*线性定常系统方程求解
一、状态转移矩阵的性质
二、*四种方法求状态转移矩阵：
1．定义法（展开）：开放形式
2．*拉式反变换
3．*对角阵/对角化
4．凯莱哈密顿定理
三、离散系统
定义，*z反变换
*线性定常连续系统离散化
直接离散，近似离散
时变，非线性系统不考
第三章
判定系统的能控性：
1.模拟结构图
2.对角阵/约旦阵（A,B）
3.*能控判定阵M
4.*能控标准型
5.部分传递函数(sI-A)^(-1)B无零极点对消
判定系统的能观性
1.模拟结构图
2.对角阵/约旦阵（A,C）
3.*能观判定阵N
4.*能观标准型
5.部分传递函数C(sI-A)^(-1)无零极点对消
线性定常系统的对偶关系
*能控能观分解
1.能控判定阵的秩→判断有几个变量能控→使线性变换阵非奇异的(n-m)个列矢量
2.能观判定阵的秩→同上
3.如果一个状态空间表达式能控则能变换成能控标准型（*能控II简单）
4.如果一个状态空间表达式能观则能变换成能观标准型（*能观I简单）
*最小实现
所有状态变量既能控又能观
如何寻找？
1.能控能观分解→能控能观
2. （了解）传递函数→能控（观）标准型→按能观（控）性分解→找出能控能观第四章
现代控制理论：平衡状态稳定性（平衡点可能不止一个）
第一法（间接法）
线性定常系统→看特征值→左半平面→稳定
非线性系统线性化→看特征值→左半平面，右半平面，虚轴
特征值和闭环极点在传递函数无零极点对消时是相同的
第二法（直接法）
李雅普诺夫稳定，渐进稳定，大范围渐进稳定，不稳定
李雅普诺夫函数（能量函数）V判断
初始状态要有能量（V>0）
V通常取二次型形式比较简单
渐进稳定：
V>0，对V求导，求得后：
1）V的导数小于0
2）V的导数小于等于0→判断在x不为0时，V的导数恒不为零
3）判断是否大范围渐进稳定
如何求平衡状态？
x的导数=A*x=0 (不管b*x)
李雅普诺夫方法在线性定常连续系统渐进稳定依据
第五章
三种反馈控制方式，相应性能，对能控能观的影响，改善系统性能
极点任意配置：
原系统完全能控→状态反馈任意极点配置
输出反馈不能实现任意极点配置（特别是单输入输出）
原系统完全能观→输出到x导数端反馈实现任意极点配置
系统镇定（特征值均在左半平面）
状态反馈：不能控子系统渐进稳定
输出到x导数端反馈：不能观子系统渐进稳定
输出反馈：
解耦问题（能解耦标准形不考）
*状态解耦，积分型解耦系统
状态观测器
状态重构
状态观测器的输入？输出？
能构建的条件：完全能观或不能观子系统渐进稳定
如果完全能观：可以通过G调节x的估计值接近x的速度
全维状态观测器：可实现极点配置
降维状态观测器（不考）
习题
1.状态空间表达式求传递函数（或传递函数阵）零极点对消，说明该系统（不）能控（不）
能观。
（对）
2.线性定常系统在平衡点渐进稳定，则它一定大范围渐进稳定。
（对）
3.能控性表示输入和状态变量之间的关系，能观性表示输出和状态变量之间的关系。
（对）
4.只要系统完全状态能控，就一定可以通过状态反馈是系统镇定。
（对）
5.状态观测器存在的条件是状态完全能观或不能观子系统渐进稳定。
（对）
6.状态观测器存在的条件是状态完全能观。
（错）
7.两个对偶系统，如果一个系统是状态完全能观的，则另一个系统状态完全能控。
（对）
8.只要系统完全能观，则可以通过输出到x导数端的反馈实现任意极点配置。
（对）
9.只要不能观子系统渐进稳定，则可以通过输出到x导数端的反馈实现系统镇定。
（对）
10.只有系统能量函数是正定的，能量函数的导数是负定的，则系统在该平衡状态才是渐进
稳定。
（错）
11.输出反馈不改变状态的能控能观性，因此只要状态能控能观，则可以通过输出反馈实现
任意极点配置。
（错）
12.状态反馈不改变状态能控性，却不保证状态能观性，状态反馈改变系统的极点，若出现
零极点对消，就会使系统状态的能观性得以改变。
（对）
13.从传递函数求状态空间表达式并非唯一，通常把没有零极点对消的传递函数的实现称之
为最小实现，只有最小实现才是唯一的。
（错）
14.只有最小实现状态变量的维数是唯一的。
（对）
15.状态变量时足以完全表征系统运动状态最小个数的一组变量，各个变量相互独立，其个
数等于微分方程的阶数，等于系统独立储能元件的个数。
（对）
16.同一系统经非奇异变换特征值保持不变，特征多项式系数为系统不变量。
（对）
17.由状态转移矩阵的性质
18.对于线性定常系统在平衡状态渐进稳定的条件是系统矩阵的所有特征值具有非正实部。
（错）
19.前馈补偿解耦不增加系统的维数，状态反馈系统会增加系统的维数。
（错）
二、1.离散系统：状态空间表达式<->传递函数。
2.线性系统离散化。
3.非线性系统平衡状态的稳定性。
（9分—13分）
4.状态反馈配置极点。
5．构造二维状态观测器，使观测器的极点（-4，-6），求状态空间表达式并画模拟结构图。