重庆市两江中学2015届高三9月月考数学理试题 Word版含解析
重庆高三高中数学月考试卷带答案解析
重庆高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．2.函数的导数是（）A．B．C．D．3.（）A．2B．6C．10D．84.二项式的展开式的二项式系数和为（）A．1B．-1C．D．05.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，落地时朝上的点数之和为6的概率为（）A．B．C．D．6.函数在实数集上单调递增的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．7.是集合到集合的一个函数，其中，，，，则为单调递增函数的个数是（）A．B．C．D．8.一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的内接正方体的表面积为（）A．B．C．D．9.函数在实数集上连续可导，且在上恒成立，则以下不等式一定成立的是（）A．B．C．D．10.某转播商转播一场排球比赛，比赛采取五局三胜制，即一方先获得三局胜利比赛就结束，已知比赛双方实力相当，且每局比赛胜负都是相互独立的，若每局比赛转播商可以获得20万元的收益，则转播商获利不低于80万元的概率是（）A．B．C．D．11.已知椭圆的两个焦点是，是直线与椭圆的一个公共点，当取得最小值时椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12.已知函数的极大值是函数的极小值的倍，并且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.某种树苗成活的概率都为，现种植了1000棵该树苗，且每棵树苗成活与否相互无影响，记未成活的棵数记为，则的方差为__________．2.设变量满足条件，则目标函数的最小值为__________．3.半径分别为5,6的两个圆相交于两点，，且两个圆所在平面相互垂直，则它们的圆心距为__________．4.四位同学参加知识竞赛，每位同学须从甲乙两道题目中任选一道题目作答，答对甲可得60分，答错甲得-60分，答对乙得180分，答错乙得-180分，结果是这四位同学的总得分为0分，那么不同的得分情况共计有__________种．三、解答题1.函数在处的切线为．（1）求切线的方程；（2）若曲线在点处的切线与垂直，求实数的取值．2.如图所示，平面，底面为菱形，，，交于，点是的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．3.甲、乙、丙三人每人有一张游泳比赛的门票，已知每张票可以观看指定的三场比赛中的任一场（三场比赛时间不冲突），甲乙二人约定他们会观看同一场比赛并且他俩观看每场比赛的可能性相同，又已知丙观看每一场比赛的可能性也相同，且甲乙的选择与丙的选择互不影响．（1）求三人观看同一场比赛的概率；（2）记观看第一场比赛的人数是，求的分布列和期望．4.已知椭圆：的离心率，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）如图，过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线交椭圆分别于，且满足，，求面积的最大值．5.已知函数．（1）若在处取得极值，求的值；（2）若，函数，且在上的最小值为2，求实数的值．重庆高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于轴正半轴，由，可得：，即焦点坐标为 .本题选择B选项.2.函数的导数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由复合函数求导法则可知： .本题选择C选项.点睛：本题考查复合函数求的求导法则，设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝f′(u)·v′(x)．复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.3.（）A．2B．6C．10D．8【答案】B【解析】解：由微积分基本定理可知： .本题选择B选项.4.二项式的展开式的二项式系数和为（）A．1B．-1C．D．0【答案】C【解析】解：由二项式系数和的性质可知，展开式的二项式系数和为 .本题选择C选项.5.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，落地时朝上的点数之和为6的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由题意可知，概率空间元素的个数为，满足题意的点数为：，共种可能，由古典概型的计算公式可知，落地时朝上的点数之和为的概率为 .本题选择A选项.6.函数在实数集上单调递增的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：由题意可知：，由题意可知，导函数大于等于零恒成立，即判别式，解得：，结合选项可知，函数在实数集上单调递增的一个充分不必要条件是.本题选择D选项.7.是集合到集合的一个函数，其中，，，，则为单调递增函数的个数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：从集合中选取个元素，不妨设所取的元素为：，则据此所构造的函数为：，据此可得，满足题意的函数的个数是 .本题选择D选项.8.一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的内接正方体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由三视图可知，该几何体是如图所示的底面边长为，高为的正三棱柱，设分别为两底面的中心，点为的中点，则点即为外接球的球心，设外接球的半径为，由几何关系可知：，设该球的内接正方体的棱长为，结合几何关系可知：，正方体的表面积为： .本题选择B选项.点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.9.函数在实数集上连续可导，且在上恒成立，则以下不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：令，则，据此可知：单调递减，，，结合所给选项，只有A选项符合题意.本题选择A选项.10.某转播商转播一场排球比赛，比赛采取五局三胜制，即一方先获得三局胜利比赛就结束，已知比赛双方实力相当，且每局比赛胜负都是相互独立的，若每局比赛转播商可以获得20万元的收益，则转播商获利不低于80万元的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：当比赛中的一方连续三次取得胜利，则转播商获利低于80万元，转播商获利不低于80万元的概率是 .本题选择A选项.11.已知椭圆的两个焦点是，是直线与椭圆的一个公共点，当取得最小值时椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：联立直线与椭圆的方程整理可得：，满足题意时：，当时，椭圆的离心率取得最小值 .本题选择D选项.12.已知函数的极大值是函数的极小值的倍，并且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由题意可知：，据此可得函数的极大值为，函数的极小值为，即：，在区间上：不等式等价于：，很明显，当时：，结合可得：；当时：，结合可得：；综上可得实数的取值范围是.本题选择D选项.点睛：利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题的关键是进行转化，把所求问题转化为求函数的最小值、最大值问题．若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．二、填空题1.某种树苗成活的概率都为，现种植了1000棵该树苗，且每棵树苗成活与否相互无影响，记未成活的棵数记为，则的方差为__________．【答案】【解析】解：由题意可知，该分布列为二项分布，由方差公式可知该分布的方差为：.2.设变量满足条件，则目标函数的最小值为__________．【答案】【解析】解：绘制可行域如图所示，观察可知，在点处，目标函数取得最小值 .点睛：本题考查线性规划中的最值问题，审题思路如下：确定问题属于线性规划问题⇒读题，列出线性约束条件及目标函数⇒画出可行域⇒把目标函数变形，平移，确定最小值经过的点⇒解两直线的交点⇒点代入目标函数可得．3.半径分别为5,6的两个圆相交于两点，，且两个圆所在平面相互垂直，则它们的圆心距为__________．【答案】【解析】解：设两圆的圆心分别为，的中点为，由题意可知：，则： .4.四位同学参加知识竞赛，每位同学须从甲乙两道题目中任选一道题目作答，答对甲可得60分，答错甲得-60分，答对乙得180分，答错乙得-180分，结果是这四位同学的总得分为0分，那么不同的得分情况共计有__________种．【答案】【解析】解：利用分类加法计数原理：当四位同学都选择甲题目或者乙题目的时候，各有种记分情况；当三人选择甲题目，一人选择乙题目，或者三人选择乙题目，一人选择甲题目时，各有种记分情况；当两人选择甲题目，两人选择乙题目时，有种记分情况；综上可得，不同的得分情况共计有种.三、解答题1.函数在处的切线为．（1）求切线的方程；（2）若曲线在点处的切线与垂直，求实数的取值．【答案】（1）; （2）.【解析】(1)利用导函数求得切线的斜率，然后写出切线方程即可；(2)由导函数与切线之间的关系结合两直线垂直时斜率之积为求解实数的值即可.试题解析：（1）根据条件，切点为，斜率为，所以的方程为，（2）根据条件，又图象上任意一点处的切线与垂直，则有，所以的值为．点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题包括：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．2.如图所示，平面，底面为菱形，，，交于，点是的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】(1)利用直线与平面垂直的判断定理证得线线垂直即可证得线面垂直.(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的结论求解二面角的余弦值即可.试题解析：（1）∵是菱形，∴，又∵平面，平面，∴，而，∴平面．（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，方向如图所示，根据条件有点，由（1）可知平面，所以可取为平面的法向量，，现设平面的法向量为，则有，令，则，设平面与平面所成的锐二面角大小为，则．3.甲、乙、丙三人每人有一张游泳比赛的门票，已知每张票可以观看指定的三场比赛中的任一场（三场比赛时间不冲突），甲乙二人约定他们会观看同一场比赛并且他俩观看每场比赛的可能性相同，又已知丙观看每一场比赛的可能性也相同，且甲乙的选择与丙的选择互不影响．（1）求三人观看同一场比赛的概率；（2）记观看第一场比赛的人数是，求的分布列和期望．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】(1)利用事件的独立性结合题意求解概率即可.(2)在(1)的基础上进一步进行计算，所有的取值为，写出分布列，求解数学期望即可.试题解析：（1）记事件“三人观看同一场比赛”，根据条件，由独立性可得，．（2）根据条件可得分布列如下：．4.已知椭圆：的离心率，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）如图，过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线交椭圆分别于，且满足，，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）时，的面积取得最大值.【解析】(1)利用题意列出的方程组，求得的值即可求得椭圆的方程；(2)设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理求得的值，则，最后利用均值不等式求解三角形面积的最大值即可.试题解析：（1）根据条件有，解得，所以椭圆．（2）根据，可知，分别为的中点，且直线斜率均存在且不为0，现设点，直线的方程为，不妨设，联立椭圆有，根据韦达定理得：，，，，同理可得，所以面积，现令，那么，所以当，时，的面积取得最大值．5.已知函数．（1）若在处取得极值，求的值；（2）若，函数，且在上的最小值为2，求实数的值．【答案】（1）的值为；（2）.【解析】（1），又在处取得极值，则，此时，显然满足条件，所以的值为．（2）由条件，又在上的最小值为2，所以有，即又，当时，可知在上递增，无最小值，不合题意，故这样的必须满足，此时，函数的增区间为，减区间为，整理得（*）若，则，且，无解若，则，将（*）变形为．即，设则上式即为，构造，则等价于，故在上单调递减又，故等价于，与之对应的综上，．。
【解析】重庆市两江中学2015届高三上学期9月月考数学试卷(文科)Word版含解析
重庆市两江中学2015届高三上学期9月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填填写在答题卷上）1．设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|2x＜2}，则M∩∁R N等于( )A． B．（﹣1，0）C．第4次循环：n4此时n=4不满足条件，跳出循环，输出S=14故选C．点评：本题为程序框图题，考查对循环结构的理解和认识，按照循环结构运算后得出结果．属于基础题6．函数的零点所在的大致区间是( )A．（3，4）B．（2，e）C．（1，2）D．（0，1）考点：函数的零点．专题：计算题．分析：根据所给的几个区间看出不在定义域中的区间去掉，把所给的区间的两个端点的函数值求出，若一个区间对应的函数值符合相反，得到结果．解答：解：∵在（0，+∞）单调递增∵f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，∴f（1）f（2）＜0∴函数的零点在（1，2）之间，故选：C．点评：本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是求出区间的两个端点的函数值，进行比较，本题是一个基础题．7．某同学根据自己的样本数据研究变量x，y之间的关系，求得，y对x的线性回归方程为．请你根据已知数据估计当x=7时的值为( )A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8考点：回归分析的初步应用．专题：计算题；概率与统计．分析：由样本数据可得，=8，=2，代入可求这组样本数据的回归直线方程，即可估计当x=7时的值．解答：解：∵，∴=8，=2，代入，可得：b=0.3，∴当x=7时=0.3×7﹣0.4=1.7故选：C．点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．8．函数f（x）=1+log2x与g（x）=21﹣x在同一直角坐标系下的图象大致是( ) A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1解析式，分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象之间的关系，（即如何变换得到），分析其经过的特殊点，即可用排除法得到答案．解答：解：∵f（x）=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上移1而得，∴其图象必过点（1，1）．故排除A、B，又∵g（x）=21﹣x=2﹣（x﹣1）的图象是由y=2﹣x的图象右移1而得故其图象也必过（1，1）点，及（0，2）点，故排除D故选C点评：本题主要考查对数函数和指数函数图象的平移问题，属于容易题．9．对于任意x∈，则x满足不等式x2﹣3x﹣4＜0的概率为( )A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：求出不等式对应的解，利用几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解：由x2﹣3x﹣4＜0得﹣1＜x＜4，∵x∈，∴不等式的解为1＜x＜4，∴由几何概型的概率公式得满足不等式x2﹣3x﹣4＜0的概率P=，故选：A．点评：本题主要考查几何概型的概率计算，利用不等式求出不等式的解，结合长度之比是解决本题的关键．10．定义在R上的函数f（x）为偶函数且关于x=4对称，当x∈时，f（x）=x+2，则f（0）+f（1）+…+f（9）=( )A．0 B．1 C．2 D．3考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据f（x）为偶函数且关于x=4对称得到函数是8的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）4为偶函数且关于x=4对称，∴f（4+x）=f（4﹣x）=f（x﹣4），即f（8+x）=f（x），∴函数的周期是8．∵当x∈时，f（x）=x+2，∴f（0）=2，f（﹣1）=1，f（﹣2）=0，f（﹣3）=﹣1，f（﹣4）=﹣2，∴f（0）=2，f（1）=1，f（2）=0，f（3）=﹣1，f（4）=﹣2，f（5）=f（﹣3）=﹣1，f（6）=f（﹣2）=0，f（7）=f（﹣1）=1，f（8）=f（0）=2，f（9）=f（1）=1，∴f（0）+f（1）+…+f（9）=2+1=3，故选：D．点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性求出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查了函数性质的应用．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案写在相应位置上）11．对数函数y=log2（x+2013）+2014的恒过定点为（﹣2012，2014）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：令对数的真数等于零，求得x、y的值，可得函数y=log2（x+2013）+2014所过定点的坐标．解答：解：令x+2013=1，求得x=﹣2012，y=2014，故函数y=log2（x+2013）所过定点是（﹣2012，2014），故答案为：（﹣2012，2014）．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．12．已知，且，则=．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的数量积运算和性质即可得出．解答：解：∵，∴=4+2m=0，解得m=﹣2．∴，=．∴===．故答案为：．点评：本题考查了向量的数量积运算和性质、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．13．已知α为钝角，且，则sin2α=﹣．考点：同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：利用诱导公式化简已知等式的左边，求出sinα的值，再由α为钝角，得到cosα的值小于0，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，将所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简后，把sinα与cosα的值代入即可求出值．解答：解：∵cos（+α）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，又α为钝角，∴cosα=﹣=﹣，则sin2α=2sinαcosα=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．14．已知函数f（x﹣2）=，则f（1）=19．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：令x=3，f（3﹣2）=f（1），通过函数的解析式直接求解即可．解答：解：函数f（x﹣2）=，则f（1）=f（3﹣2）=1+2×32=19．故答案为：19．点评：本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．15．已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2﹣4）＜2，则实数x的取值范围（﹣，﹣2）∪（2，）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：解法一：不等式即ln（x2﹣4）+＜2，令t=x2﹣4＞0，不等式即lnt+2t＜2 ①．令h（t）=lnt+2t，由函数h（t）的单调性可得x2﹣4＜1，从而求得x的范围．解法二：根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上式增函数，f（1）=2，由不等式可得x2﹣4＜1，从而求得x的范围．解答：解：解法一：∵函数f（x）=lnx+2x，∴f（x2﹣4）=ln（x2﹣4）+，∴不等式即ln（x2﹣4）+＜2．令t=x2﹣4＞0，不等式即lnt+2t＜2 ①．令h（t）=lnt+2t，显然函数h（t）在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=2，∴由不等式①可得t＜1，即x2﹣4＜1，即x2＜5．由解得﹣＜x＜﹣2，或2＜x＜，故答案为：（﹣，﹣2）∪（2，）．解法二：由于函数f（x）=lnx+2x，∴f（1）=2，再根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上式增函数，∴由f（x2﹣4）＜2可得x2﹣4＜1，求得﹣＜x＜﹣2，或2＜x＜，故答案为：（﹣，﹣2）∪（2，）．点评：本题主要考查函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．三、解答题20090306（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．设函数f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称轴．（Ⅱ）函数的单调增区间及最大值．考点：二倍角的正弦；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin（2x+）+，易得周期和对称性；（Ⅱ）由2kπ﹣≤x+≤2kπ+解不等式可得单调区间和最值．解答：解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx=•2sinxcosx+cos2x=sin2x+•=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+∴f（x）的最小正周期T==π，由2x+=kπ+可得x=+，k∈Z，∴对称轴为x=+，k∈Z（Ⅱ）由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，∴函数的单调增区间为，k∈Z函数最大值为：1+点评：本题考查三角函数公式的应用，涉及三角函数的单调性和对称性，属基础题．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量=，=，=﹣1，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=2，b=2，求c的值．考点：数量积的坐标表达式；二倍角的余弦；正弦定理．专题：计算题．分析：（I）利用向量的数量积公式化简，利用二倍角的余弦公式求出要求的式子的值；（II）先根据（I）求出角A，然后利用三角形中的正弦定理求出角B，最后利用三角形的内角和为180°求出角C，从而求出c的值．解答：解：（Ⅰ）∵=，=，=﹣1，∴2cos2﹣2sin2=﹣1．∴cosA=﹣．（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=﹣，且0＜A＜π，∴．∵a=，b=2，由正弦定理得，即，∴sinB=．∵0＜B＜π，B＜A，∴．∴．∴c=b=2．点评：本题考查向量的数量积公式、考查三角形的正弦定理、考查三角形的内角和为180°、考查利用三角函数的单调性求三角函数值的范围，属于中档题18．某学校进行体检，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取50人进行统计（已知这50人身材均介于155cm到195cm之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组，并按此分组绘制如下图所示的频率分布直方图，其中，第六组和第七组还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率；（2）若从身高属于第一组和第六组的所有男生中随机抽取两名男生，求两人身高差距不超过5cm的概率P．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）先求得第六组的频率，利用频率分布直方图求得各个小矩形的面积即频率，根据各组数据的频率之和为1，求第七组的频率；（2）第六组的人数为4人，第一组的人数为50×5×0.008=2人，计算从6人中任意抽取2人的抽法种数，和两人身高差距不超过5cm的抽法种数，根据古典概型概率公式计算．解答：解：（1）第六组的频率为=0.08，第七组的频率为1﹣0.08﹣5×（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）=0.06；（2）第六组的人数为4人，第一组的人数为50×5×0.008=2人，从这6人中任意抽取2人，共有=15种抽法；两人身高差距不超过5cm即随机抽取的2名男生在同一组，∴两人身高差距不超过5cm的有+=7种抽法；∴两人身高差距不超过5cm的概率为．点评：本题考查了频率分布直方图及古典概型的概率计算，解题的关键是读懂频率分布直方图．19．在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a n代入b n=log3a n，得到数列{b n}的通项公式，由此得到数列{b n}是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案．解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由a2=3，a5=81，得，解得．∴；（Ⅱ）∵，b n=log3a n，∴．则数列{b n}的首项为b1=0，由b n﹣b n﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），可知数列{b n}是以1为公差的等差数列．∴．点评：本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题．20．设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．解答：解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．∴6﹣16a=8a﹣6，∴a=．（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．21．已知函数f（x）=ax3+3x2﹣6ax﹣11，g（x）=3x2+6x+12，和直线m：y=kx+9．又f′（﹣1）=0．（1）求a的值；（2）是否存在k的值，使直线m既是曲线y=f（x）的切线，又是y=g（x）的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．（3）如果对于所有x≥﹣2的x，都有f（x）≤kx+9≤g（x）成立，求k的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：（1）第一小问较简单，只要求出函数f（x）的导数即可解决；（2）先观察条件可得直线m恒过点（0，9），再利用待定系数法求出切线的方程即可；（3）对于题目中：“f（x）≤kx+9≤g（x）成立”不等式问题，通过分离参数，转化成恒成立问题解决．解答：解：（1）f′（x）=3ax2+6x﹣6a，因为f′（﹣1）=0所以a=﹣2.2；（2）因为直线m恒过点（0，9）．先求直线m是y=f（x）的切线．设切点为（x0，3x02+6x0+12），∵g′（x0）=6x0+6．∴切线方程为y﹣（3x02+6x0+12）=（6x0+6）（x﹣x0），将点（0，9）代入得x0=±1．当x0=﹣1时，切线方程为y=9，当x0=1时，切线方程为y=12x+9．由f′（x）=0得﹣6x2+6x+12=0，即有x=﹣1，x=2当x=﹣1时，y=f（x）的切线y=﹣18，当x=2时，y=f（x）的切线方程为y=9∴y=9是公切线，又由f′（x）=12得﹣6x2+6x+12=12∴x=0或x=1，当x=0时y=f（x）的切线为y=12x﹣11，当x=1时y=f（x）的切线为y=12x﹣10，∴y=12x+9，不是公切线，综上所述k=0时y=9是两曲线的公切线；（3）．（1）kx+9≤g（x）得kx≤3x2+6x+3，当x=0，不等式恒成立，k∈R．当﹣2≤x＜0时，不等式为，而≤﹣3•2+6=0∴k≥0当x＞0时，不等式为，∵∴k≤12∴当x≥﹣2时，kx+9≤g（x）恒成立，则0≤k≤12；（2）由f（x）≤kx+9得kx+9≥﹣2x3+3x2+12x﹣11当x=0时，9≥﹣11恒成立，k∈R，当﹣2≤x＜0时有设=，当﹣2≤x＜0时为增函数，也为增函数∴h（x）≥h（﹣2）=8∴要使f（x）≤kx+9在﹣2≤x＜0上恒成立，则k≤8由上述过程只要考虑0≤k≤8，则当x＞0时f′（x）=﹣6x2+16x+12=﹣6（x+1）（x﹣2）∴在x∈（0，2]时f′（x）＞0，在（2，+∞）时∴f（x）在x=2时有极大值即f（x）在（0，+∞）上的最大值，又f（2）=9，即f（x）≤9而当x＞0，k≥0时，∴f（x）≤kx+9一定成立，综上所述0≤k≤8．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，同时还考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力，综合性特别强，对学生能力要求高，有压轴题分量．。
2015年-高考试卷及答案解析-数学-理科-重庆(精校版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆理）一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}1,2,3A =, {}2,3B =，则（ ）A.A B =B.A B =∅IC.A B ⊄D.B A ⊄ 2.在等差数列{}n a 中，若24a =，42a =，则6a =（ ） A.-1 B.0 C.1 D.6 3.重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（ ）A.19B.20C.21.5D.23 4.“1x >”是“()1220x log +<”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.13π+B.23π+C.123π+D.223π+ 6.若非零向量,a b r r 满足223a b =r r ，且()()32a b a b -⊥+r r r r ，则a r 与b r的夹角为（ ） A.4π B.2π C.34π D.π 7.执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）（缺图） A.34s ≤B.56s ≤C.1112s ≤D.1524s ≤ 8.已知直线():10l x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（ ）A.2B.42C.6D.2109.若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A.1B.2C.3D.410.设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线交于点.D 若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）A.()()1,00,1-UB.()(),11,-∞-+∞UC.()()2,00,2-UD.()(),22,-∞-+∞U二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
中学2015届高 三上学期9月月考数学试卷(文科)(解析版)
重庆市南开中学2015届高三上学期9月月考数学试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M={1，2，3}，N={x|log2x＞1），则M∩N=（）A．{3} B．{2，3} C．{1，3} D．{1，2，3} 2．（5分）已知等比数列{a n}满足：a3•a7=，则cosa5=（）A．B．C．±D．±3．（5分）已知sin（+a）=，则cos2a的值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题5．（5分）若x＞0，y＞0且2x=，则的最小值为（）A．3B．2C．2D．3+26．（5分）函数f（x）=4lnx﹣x2的大致图象是（）A．B．C．D．7．（5分）若f（x）是奇函数，且x0是函数y=f（x）﹣e x的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（﹣x）e x﹣1 B．y=f（x）e﹣x+1 C．y=f（x）e x+1 D．y=f（x）e x﹣1 8．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA=（）A．B．C．D．9．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y的最大值是（）A．6B．0C．2D．210．（5分）在△ABC中，E，F分别在边AB，AC上，D为BC的中点，满足===2，•=0，则cos A=（）A．0B．C．D．二．填空题：本大题共5小题，每小5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知=b﹣2i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=．12．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=8﹣a6，则S9=．13．（5分）已知为单位向量，=（3，4），|﹣2|=3，则•=．14．（5分）设m，n，p∈R，且m+n=2﹣p，m2+n2=12﹣p2，则p的最大值和最小值的差为．15．（5分）函数f（x）=，若a，b，c，d是互不相等的实数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+d的取值范围为．三．解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）等差数列{a n}足：a2+a4=6，a6=S3，其中S n为数列{a n}前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）若k∈N*，且a k，a3k，S2k成等比数列，求k值．17．（13分）某中学2014-2015学年高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．（Ⅰ）求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差S12、S22，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？（Ⅱ）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．18．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．19．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）•cosωx+cos2ωx﹣（ω＞0）图象上的一个最高点为A，其相邻的一个最低点为B，且|AB|=．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b+c=2，A=，求f（a）的值域．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n=2a n（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{a n}满足b n=a n•log2（a n+1）（n∈N*），其前n项和为T n，试求满足T n+＞2015的最小正整数n．21．（12分）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3．（Ⅰ）若（a，b）是f（x）的一个“P数对”，且f（2）=6，f（4）=9，求常数a，b的值；（Ⅱ）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（n∈N*）；（Ⅲ）若（﹣2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k﹣|2x﹣3|，求k的值及f（x）在区间[1，2n）（n∈N*）上的最大值与最小值．重庆市南开中学2015届高三上学期9月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M={1，2，3}，N={x|log2x＞1），则M∩N=（）A．{3} B．{2，3} C．{1，3} D．{1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．解答：解：由N中不等式变形得：log2x＞1=log22，即x＞2，∴N={x|x＞2}，∵M={1，2，3}，∴M∩N={3}．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知等比数列{a n}满足：a3•a7=，则cosa5=（）A．B．C．±D．±考点：等比数列的通项公式；三角函数的化简求值．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用等比数列的性质结合已知求得．则答案可求．解答：解：在等比数列{a n}中，由a3•a7=，得，∴．∴cosa5=．故选：C．点评：本题考查了等比数列的性质，考查了三角函数的值，是基础题．3．（5分）已知sin（+a）=，则cos2a的值为（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式知sin（+a）=cosα=，根据二倍角的余弦公式从而有cos2α=2cos2α﹣1=﹣1=﹣．解答：解：sin（+a）=cosα=，cos2α=2cos2α﹣1=﹣1=﹣．故选：D．点评：本题主要考察二倍角的余弦公式和诱导公式的综合运用，属于中档题．4．（5分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题考点：全称命题；复合命题的真假．专题：常规题型．分析：先判断出命题p与q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论．解答：解：由于x=10时，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，￢q是真命题，进而得到命题p∧（￢q）是真命题，命题p∨（￢q）是真命题．故答案为C．点评：本题考查复合命题的真假，属于基础题．5．（5分）若x＞0，y＞0且2x=，则的最小值为（）A．3B．2C．2D．3+2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：x＞0，y＞0且2x=，2x=21﹣2y，x+2y=1．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞0，y＞0且2x=，∴2x=21﹣2y，可得x=1﹣2y，即x+2y=1．=（x+2y）=3++=3+2，当且仅当x=y=﹣1取等号．故选：D．点评：本题考查了指数函数的单调性、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．6．（5分）函数f（x）=4lnx﹣x2的大致图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先求导，从而可求得函数f（x）=4lnx﹣x2的单调区间与极值，问题即可解决．解答：解：∵f（x）=4lnx﹣x2，其定义域为（0，+∞）∴f′（x）=﹣2x=由f′（x）＞0得，0＜x＜；f′（x）＜0得，x＞；∴f（x）=4lnx﹣x2，在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；∴x=时，f（x）取到极大值．又f（）=2（ln2﹣1）＜0，∴函数f（x）=4lnx﹣x2的图象在x轴下方，可排除A，C，D．故选：B．点评：本题考查函数的图象，是以考查函数的图象为载体考查导数及其应用，注重考查学生分析转化解决问题的能力，属于基础题．7．（5分）若f（x）是奇函数，且x0是函数y=f（x）﹣e x的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（﹣x）e x﹣1 B．y=f（x）e﹣x+1 C．y=f（x）e x+1 D．y=f（x）e x﹣1考点：函数的零点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据f（x）是奇函数可得f（﹣x）=﹣f（x），因为x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，代入得到一个等式，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断．解答：解：f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，∴f（x0）﹣=0，∴f（x0）=，把﹣x0分别代入下面四个选项，A、y=f（x0）﹣1=﹣﹣1=0，故A正确；B、y=f（x0）+1=（）2+1≠0，故B错误；C、y=e﹣x0f（﹣x0）+1=﹣e﹣x0f（x0）+1=﹣e﹣x0+1=﹣1+1=0，故C正确；D、y=f（﹣x0）﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故D错误；故选：A．点评：此题主要考查函数的零点问题以及奇函数的性质，此题是一道中档题，需要一一验证．8．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA=（）A．B．C．D．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理求得a=2c，b=c．再由余弦定理可得cosA=的值．解答：解：在△ABC中，∵b﹣c=a，2sinB=3sinC，利用正弦定理可得2b=3c，求得a=2c，b=c．再由余弦定理可得cosA===﹣，故选：A．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．9．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y的最大值是（）A．6B．0C．2D．2考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．（5分）在△ABC中，E，F分别在边AB，AC上，D为BC的中点，满足===2，•=0，则cos A=（）A．0B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据共线向量基本定理及已知的边的关系即可用向量表示：，，根据，及即可求出cosA．解答：解：如图，根据已知条件得：==；==；∴==0；把带入上式并整理得：cosA=．故选：D．点评：考查共线向量基本定理，向量的加法运算，向量的减法运算，向量的数量积的运算及运算公式．二．填空题：本大题共5小题，每小5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知=b﹣2i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=5．考点：复数相等的充要条件．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：先化简等式左边，再由复数相等的条件建立方程求出a，b的值，即可得出．解答：解：=b﹣2i，∴a=2，b=3，∴a+b=2+3=5．故答案为5．点评：复数相等即实部与实部相等，虚部与虚部相等，由此关系建立方程求参数的值是复数题中求参数常用的理论依据．12．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=8﹣a6，则S9=36．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知求得a5，代入S9=9a5得答案．解答：解：在等差数列{a n}中，由a4=8﹣a6，得a4+a6=8，即2a5=8，a5=4．则S9=9a5=9×4=36．故答案为：36．点评：本题考查了等差数列的前n项和，项数为奇数的等差数列的前n项和等于中间项乘以项数，是基础题．13．（5分）已知为单位向量，=（3，4），|﹣2|=3，则•=23．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的平方等于其模的平方，将|﹣2|=3平方，得到•的等式解之．解答：解：∵为单位向量，=（3，4），∴||=1，||=5，∴|﹣2|2=2+42﹣4•=9，∴•==23；故答案为：23．点评：本题考查了向量的模的平方等于向量的平方以及向量的数量积的求法．14．（5分）设m，n，p∈R，且m+n=2﹣p，m2+n2=12﹣p2，则p的最大值和最小值的差为．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件求出mn的值，构造一元二次方程，利用判别式与方程根的对应关系即可得到结论．解答：解：∵m+n=2﹣p，m2+n2=12﹣p2，∴（m+n）2﹣（m2+n2）=4﹣4p+p2﹣12+p2=2p2﹣4p﹣8，∴mn=p2﹣2p﹣4，∴m、n是方程x2﹣（2﹣p）x+p2﹣2p﹣4=0的两根，∵m，n∈R，∴△=（2﹣p）2﹣4（+p2﹣2p﹣4）=4﹣4p+p2﹣4p2+8p+16=﹣3p2+4p+20≥0，即3p2﹣4p﹣20≤0．∴﹣2≤p≤，∴p的最大值和最小值差为﹣（﹣2）=，故答案为：点评：本题主要考查一元二次方程与判别式△之间的关系，根据条件构造一元二次方程是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．15．（5分）函数f（x）=，若a，b，c，d是互不相等的实数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+d的取值范围为（4，2017）．考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：作出函数f（x）的图象，令直线y=t与f（x）的图象交于四个点，其横坐标由左到右依次为a，b，c，d，则由图象可得，b+c=2，log2015（d﹣1）=（）a﹣1=t，由于0＜t ＜1，即可求得a，d的范围，从而得到a+b+c+d的范围．解答：解：作出函数f（x）的图象，令直线y=t与f（x）的图象交于四个点，其横坐标由左到右依次为a，b，c，d则由图象可得，b+c=2，log2015（d﹣1）=（）a﹣1=t，由于0＜t＜1，则得到﹣1＜a＜0，2＜d＜2016，则2＜a+d＜2015，即有4＜a+b+c+d＜2017，故答案为：（4，2017）．点评：本题考查分段函数及运用，考查数形结合的思想方法和运用，注意通过图象观察，考查运算能力，属于中档题．三．解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）等差数列{a n}足：a2+a4=6，a6=S3，其中S n为数列{a n}前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）若k∈N*，且a k，a3k，S2k成等比数列，求k值．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，则数列{a n}通项公式可求；（Ⅱ）求出S2k，结合a k，a3k，S2k成等比数列列式求k值．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2+a4=6，a6=S3，得，解得．∴a n=1+1×（n﹣1）=n；（Ⅱ），由a k，a3k，S2k成等比数列，得9k2=k（2k2+k），解得k=4．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．17．（13分）某中学2014-2015学年高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．（Ⅰ）求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差S12、S22，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？（Ⅱ）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知求出x=5，y=6．从而求出乙班学生的平均数为83，分别求出S12和S22，根据甲、乙两班的平均数相等，甲班的方差小，得到应该选派甲班的学生参加决赛．（Ⅱ）成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，由此能求出随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率．解答：解：（Ⅰ）由题意知，解得x=5，y=6．乙班学生的平均数==83，S12=[（74﹣83）2+（82﹣83）2+（84﹣83）2+（85﹣83）2+（90﹣83）2]=35.2，S22=[（73﹣83）2+（75﹣83）2+（86﹣83）2+（90﹣83）2+（91﹣83）2]=73.2，∵甲、乙两班的平均数相等，甲班的方差小，∴应该选派甲班的学生参加决赛．（Ⅱ）成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率：P=1﹣=0.7．点评：本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．18．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．解答：解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1﹣．（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f′（x）=1﹣（x＞0），因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由f′（x）=1﹣=，x＞0知：①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题．19．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）•cosωx+cos2ωx﹣（ω＞0）图象上的一个最高点为A，其相邻的一个最低点为B，且|AB|=．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b+c=2，A=，求f（a）的值域．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）先对函数f（x）进行化简，然后研究最高点与相邻最低点的坐标关系，根据条件，得出参数ω的值；（Ⅱ）利用余弦定理，得到边a的取值范围，再结合正弦函数的图象，研究f（a）的值域．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（ωx﹣）•cosωx+cos2ωx﹣=（sinωxcos﹣cosωxsin）•cosωx+cos2ωx﹣=sinωxcosωx+cos2ωx﹣=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+）∴y=f（x）的周期为．∴，，．∵|AB|=，∴，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=sin（πx+），∴f（a）=sin（πx+）．∵△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc．∵b+c=2，∴∴1≤a＜2．∴≤πa+＜．∴﹣1≤sin（πa+）＜．∴﹣≤sin（πa+）＜．∴f（a）的值域为[﹣，）．点评：本题考查了两角和与差的三角函数公式、两点间距离公式、三角函数的图象、周期、值域，本题容量适中，运算量大，属于中档题．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n=2a n（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{a n}满足b n=a n•log2（a n+1）（n∈N*），其前n项和为T n，试求满足T n+＞2015的最小正整数n．考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知得a n=2a n﹣1+1，从而a n+1=2（a n﹣1+1）（n≥2，n∈N*），由此能证明数列{a n+1}为等比数列，从而a n=2n﹣1．（Ⅱ）因为b n=a n•log2（a n+1）=（2n﹣1）n=n•2n﹣n，由此利用错位相减法能求出T n=（n﹣1）•2n+1+2﹣．由T n+＞2015，得（n﹣1）•2n+1＞2013，由此能求出满足不等式T n+＞2015的最小正整数n的值．解答：（Ⅰ）证明：因为S n+n=2a n，所以S n﹣1=2a n﹣1﹣（n﹣1）（n≥2，n∈N*）．两式相减，得a n=2a n﹣1+1．所以a n+1=2（a n﹣1+1）（n≥2，n∈N*），所以数列{a n+1}为等比数列．因为S n+n=2a n，令n=1得a1=1．a1+1=2，所以a n+1=2n，所以a n=2n﹣1．（Ⅱ）解：因为b n=a n•log2（a n+1）=（2n﹣1）n=n•2n﹣n，所以T n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n﹣（1+2+3+…+n），①2T n=22+2•23+3•24+…+n•2n+1﹣2（1+2+3+…+n），②①﹣②，得﹣T n=2+22+24+…+2n﹣n•2n+1+（1+2+3+…+n）=﹣n•2n+1+=2n+1﹣2﹣n•2n+1+，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2﹣．∵T n+＞2015，∴（n﹣1）•2n+1＞2013，n=7时，（n﹣1）•2n+1=6×256=1536，n=8时，（n﹣1）•2n+1=7×512=3584，∴满足不等式T n+＞2015的最小正整数n的值是7．点评：本题考查等比数列的证明和数列的通项公式的求法，考查满足不等式的最小正整数的求法，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用．21．（12分）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3．（Ⅰ）若（a，b）是f（x）的一个“P数对”，且f（2）=6，f（4）=9，求常数a，b的值；（Ⅱ）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（n∈N*）；（Ⅲ）若（﹣2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k﹣|2x﹣3|，求k的值及f（x）在区间[1，2n）（n∈N*）上的最大值与最小值．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用f（2）=6，f（4）=9，建立方程组，即可求常数a，b的值；（Ⅱ）由已知，f（2x）=f（x）+1恒成立，整理f（2x）﹣f（x）=1，令x=2k，则f（2k+1）﹣f（2k）=1，{f（2k）}是等差数列，利用通项公式求解（Ⅲ）令x=1，则f（1）=k﹣1=3，解得k=4，当x∈[1，2）时f（x）=4﹣|2x﹣3|，得出f（x）在[1，2）上的取值范围是[3，4]．利用由已知，f（2x）=﹣2f（x）恒成立⊕，将[1，2n）分解成[2k﹣1，2k），（k∈N*）的并集，通过⊕式求出f（x）在各段[2k﹣1，2k）上的取值范围，各段上最大值、最小值即为所求的最大值，最小值．解答：解：（Ⅰ）由题意知，即，解得：；…3分（Ⅱ）由题意知f（2x）=f（x）+1恒成立，令x=2k（k∈N*），可得f（2k+1）=f（2k）+1，∴{f（2k）}是公差为1的等差数列，故f（2n）=f+n，又f=3，故f（2n）=n+3．…8分（Ⅲ）当x∈[1，2）时，f（x）=k﹣|2x﹣3|，令x=1，可得f（1）=k﹣1=3，解得k=4，…10分所以，x∈[1，2）时，f（x）=4﹣|2x﹣3|，故f（x）在[1，2）上的取值范围是[3，4]．又（﹣2，0）是f（x）的一个“P数对”，故f（2x）=﹣2f（x）恒成立，当x∈[2k﹣1，2k）（k∈N*）时，，=…=，…9分故k为奇数时，f（x）在[2k﹣1，2k）上的取值范围是[3×2k﹣1，2k+1]；当k为偶数时，f（x）在[2k﹣1，2k）上的取值范围是[﹣2k+1，﹣3×2k﹣1]．…11分所以当n=1时，f（x）在[1，2n）上的最大值为4，最小值为3；当n为不小于3的奇数时，f（x）在[1，2n）上的最大值为2n+1，最小值为﹣2n；当n为不小于2的偶数时，f（x）在[1，2n）上的最大值为2n，最小值为﹣2n+1．…13分．点评：本题考查利用新定义分析问题、解决问题的能力．考查转化计算，分类讨论、构造能力及推理论证能力，思维量大，属于难题．欢迎下载，资料仅供参考!!!。
2015年高考重庆市理科数学真题含答案解析(超完美版)
2015年高考重庆市理科数学真题一选择题1．已知集合A={}1,2,3,B={}2,3，则（ ） A ．A B =B ．A ⋂B=∅C ．ABD ．BA2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．63．重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（ ）A ．19B ．20C ．21.5D ．234．“x>1”是“12log （x+2）<0”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13π+ B ．23π+C ．123π+D ．223π+6．若非零向量a ，b 满足|a|=3|b|，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（ ） A ．4π B ．2πC ．34πD ．π7．执行如图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤15248．已知直线l ：x+ay-1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴. 过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ） A ．2B ．C ．6D ．9．若tan α=2tan5π，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于a 范围是（ ） A ．（-1,0）（0,1） B ．（-∞，-1）（1，+∞） C．（0）（0 D ．（-∞，）+∞）二、填空题11．设复数a+bi （a ，b ∈R a+bi ）（a-bi ）=________.12．53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).13．在ABC 中，B=120o ，，A 的角平分线,则AC=_______.14．如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.15．已知直线l 的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______. 16．若函数f （x ）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=_______.17．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
重庆南开中学2015届高三数学9月月考试题理(含解析)
重庆南开中学高2015级高三9月月考数学试题（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量)2,1(-=→x a ，)1,2(=→b ，且→→⊥b a ，则=x （ ） A ．21-B ．1-C ．5D ．0【答案】D考点：向量垂直的条件． 2.函数234y x x =--+的定义域为（ ）A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]- 【答案】C 【解析】 试题分析：由1114104310430122<<-⇒⎩⎨⎧<<-->⇒⎩⎨⎧<-+->⇒⎩⎨⎧>+-->+x x x x x x x x x ，故选C ． 考点：函数的定义域．3.已知命题“p ⌝或q ⌝”是假命题，则下列命题：①p 或q ；②p 且q ；③p ⌝或q ；④p ⌝且q ；其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】试题分析：由命题“p ⌝或q ⌝”是假命题，知p ⌝，q ⌝两个均为假命题，从而p 、q 均是真命题，故知①p 或q ；②p 且q ；③p ⌝或q 均为真命，故选C ． 考点：命题真假的判断．4.函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B考点：函数的零点．5.已知243.03.0,3log ,4log -===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c << 【答案】A 【解析】 试题分析：由于19.013.0,14log 3log 1log 0,01log 4log 24443.03.0>===<=<==<=-c b a ，故知c b a <<，所以选Ａ．考点：比较大小．6. ∆ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若15,10,60===a b A ，则cos =B （ ）A ．6 B ．6- C ．223 D ．223- 【答案】A考点：正弦定理．7.函数)80(1102)(2≤≤+++=x x x x x f 的值域为（ ）A ．]61,81[B ．]10,8[C ．]61,101[ D ．]10,6[ 【答案】D 【解析】试题分析：由于)80(,19)1(19)1()(2≤≤+++=+++=x x x x x x f ，令]9,1[1∈=+t x ，则有2229919t t t y t t y -=-='⇒+=，知y 在[]3,1上是减函数，在[]9,3上是增函数，所以10,6max min ==y y ，故知函数的值域为]10,6[，故选Ｄ．考点：函数的值域．8.已知⎩⎨⎧>+-≤-=02602)(2x x x x xx f ，则关于x 的不等式2(3)(2)-<f x f x 的解集为（ ） A ．)3,3(--B ．)1,3(-C ．),32()32,(+∞+--∞D ．),32()1,3(+∞+-【答案】D考点：１．分段函数；２．解不等式．9.已知21,x x 是关于x 的一元二次方程20++=ax bx c 的两根，若121<<x x ，则 2221212()++x x x x 的取值范围是（ ）A ．(5,)+∞B ．(1,)+∞C ．1(,)2+∞ D ．),41(+∞【答案】C 【解析】考点：１．一元二次不等式的根与系数的关系；２．基本不等式的性质及其变形应用．10.已知函数()3ln (1)=≥f x x x ，若将其图像绕原点逆时针旋转(0,)2πθ∈角后，所得图像仍是某函数的图像，则当角θ取最大值0θ时，0tan θ=（ ） A.3 B.3 C.3 D.3【答案】Ｃ 【解析】考点：１．函数的定义；２．函数的导数．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题纸上）11.已知集合}1)1(log |{21->-=x x A ，}2|{x y y B ==，则=B A C R )(___ __．【答案】),3[]1,0(+∞ 【解析】试题分析：由1)1(log 21->-x 得到31210<<⇒<-<x x ，即Ａ＝（１，３），从而),3[]1,(+∞-∞= A C R ，而Ｂ＝（０，＋∞），所以=B A C R )(),3[]1,0(+∞ ．考点：集合的运算．12.设:21(0)+<>p x m m ，0121:>--x x q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 ． 【答案】(0,2]考点：充分条件和必要条件的应用 13.已知函数123()1234+++=+++++++x x x x f x x x x x ，则55(3)(3)22-++-=f f ___． 【答案】8 【解析】试题分析：由于123()1234+++=+++++++x x x x f x x x x x )41312111(4+++++++-=x x x x ，从而)231211211231(4)25(++++-+--=+-x x x x x f=+-++-+--+---=--)231211211231(4)25(x x x x x f )231211211231(4++++-+-+x x x x所以8)25()25(=--++-x f x f ，从而令3=x ，得8)325()325(=--++-f f ，故答案为：8． 考点：函数值的求法．考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分． 14.如图，圆O 的直径AB 与弦CD 交于点P ，7, 5, 15CP PD AP ，则=∠DCB ______． OPDCBA【答案】45考点：与圆有关的比例线段．15.已知直线1:=+ny mx l 与曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ϕϕsin 21cos 21:y x C （ϕ为参数）无公共点，则过点),(n m 的直线与曲线θθρ222sin 9cos 436+=的公共点的个数为 .【答案】2考点：１．圆的参数方程；２．根的存在性及根的个数判断；３．简单曲线的极坐标方程．16.已知函数)0(1)(>-++=a a x x x f ，若不等式6)(≥x f 的解集为(,2][4,)-∞-+∞, 则a 的值为__________． 【答案】3 【解析】试题分析：函数f （x ）=|x+1|+|x-a |表示数轴上的x 对应点到-1和a 对应点的距离之和，由于不等式6)(≥x f 的解集为(,2][4,)-∞-+∞,所以数轴上的-2、4对应点到-1和a 对应点的距离之和正好等于6，故有⎩⎨⎧=-++=--++-64146212a a ，即31452=⇒⎩⎨⎧=-=+a a a ，故答案为：３． 考点：绝对值不等式的解法．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题13分）已知函数)(x f 对任意R x ∈满足0)()(=-+x f x f ，)1()1(+=-x f x f ，若当[0,1)∈x 时，b a x f x +=)(（0>a 且1≠a ），且21)23(=f ．（1）求实数b a ,的值；（2）求函数)()()(2x f x f x g +=的值域． 【答案】（1）1,41-==b a ；（2）]1621,41[-考点：１．函数的奇偶性；２．函数的周期性． 18.（本小题13分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上的点． （1）求证：平面⊥PAC 平面PBC ；（2）若1,1,2===PA AC AB ，求二面角A PB C --的余弦值．【答案】（1）祥见解析；（2）46． 【解析】考点：１．平面与平面垂直的判定；２．二面角的平面角及其求法． 19.（本小题13分）在数列{}n a 中，122,511-+==-n n n a a a （*,2N n n ∈≥）． （1）求23,a a 的值；（2）是否存在常数λ，使得数列}2{nn a λ+是一个等差数列？若存在，求λ的值及}{n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）132=a ，333=a ；（2）12)1(,1+⋅+=-=nn n a λ．【解析】试题分析：（1）直接把n=２，3，代入a n =2a n -1+2n-1（n ∈N *，n ≥2），再注意a １=５，即可求出数列的前三项；考点：１．数列递推关系式的应用；２．等差关系的确定． 20.（本小题12分）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为Q ，过Q 点的直线l 交抛物 线于,A B 两点．（1）若直线l 的斜率为22，求证：0=⋅； （2）设直线,FA FB 的斜率分别为21,k k ，求21k k +的值． 【答案】（1）祥见解析；（2）０． 【解析】试题分析：（1）由点斜式写出直线l 的方程，和抛物线方程联立后化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系求出A ，B 两点的横坐标的和与积，写出向量FB FA ,的坐标，展开数量积后代入根与系数关系得答案； （2）设直线l 的方程为l ：x ＝ky −2p，和抛物线方程联立后化为关于y 的一元二次方程，写出根与系数关系，由两点式求出斜率后作和化简，代入根与系数关系即可得到答案． 试题解析：（1）)2(22:p x y l += 与抛物线方程联立得04322=+-p px x 设),(),,(2211y x B y x A083)(423)2)(2(221212121=++-=+--=⋅p x x p x x y y p x p x FB FA ； （2）设直线2:p ky x l -= 与抛物线联立得0222=+-p pky y 0))((22))(()(2222122121212211221121=--⋅-=--+-=-+-=-+-=+p ky p ky pk p kp p ky p ky y y p y ky p ky y p ky y p x y p x y k k ． 考点：１．直线与圆锥曲线的关系；２．抛物线的简单几何性质．21.（本小题12分）已知函数x bx ax x f ln )(2-+=，R b a ∈,．（1）若0<a 且2=-b a ，试讨论()f x 的单调性；（2）若对[2,1]∀∈--b ，总(1,)∃∈x e 使得()0<f x 成立，求实数a 的取值范围． 考点：１．二次函数的性质；２．利用导数研究函数的单调性．22.（本小题12分）已知函数()f x 满足对任意实数,x y 都有()()()1+=++f x y f x f y 成立，且当0>x 时， ()1>-f x ,(1)0=f .（1）求(5)f 的值；（2）判断()f x 在R 上的单调性，并证明；（3）若对于任意给定的正实数ε，总能找到一个正实数σ，使得当0||σ-<x x 时，0|()()|ε-<f x f x ，则称函数()f x 在0=x x 处连续。
重庆市两江中学2015届高三9月月考数学理试题 Word版含答案
重庆两江中学2015届高三月考数学试题卷（理科）2014-9-26本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合2{|1},{|1},M x x N x ax N M ====⊂集合若，a 的值是 （ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．0，1或-12．下列命题错误的是（ ）A 、命题“若x 2－3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x 2－3x+2≠0” B 、若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题 C 、命题p ：存在0x ∈R ，使的x 02+x 0+1<0，则⌝p ：任意x ∈R ，都有x 2+x+1≥0D 、“x<1”是“x 2－3x+2>0”的充分不必要条件3．已知集合{}R x x y y x A ∈==,),(2，{}R x x y y x B ∈==,),(，则集合A ⋂B 的子集个数是（ ） A 、4B 、1C 、2D 、无穷多个4．若⎩⎨⎧≥<+=),6( log ),6)(3()(2x x x x f x f 则)1(-f 的值为（ ）A ．3B ． 4C ．1D ．2 5．函数x xa y x=(01)a <<的图象的大致形状是（ ）6.实数23.0=a ，3.0log 2=b ，3.0)2(=c 的大小关系正确的是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．b<a<cD ．b<c<a7．右图是函数f(x)=x 2+ax+b 的部分图象，则函数g(x)=lnx+f ′(x)的零点所在的区间是（ ） A 、（41，21） B 、（2，3） C 、（1，2）D 、（21，1） 8．设函数f(x)=ln(2－x)(x －1)的定义域是A ，函数g(x)=lg(12--xxa )的定义域为B ，若A ⊆B ，则正数a 的取值范围是（ ） A.a>5B.a≥5C.a≥3D.a>39．y ＝f (x )的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图)，则f (x )<f (－x )＋2x 的解集为( )A ．{x |－22<x <0或22<x ≤1} B ．{x |－1≤x <－22或22<x ≤1}C ．{x |－1≤x <－22或0<x <22} D ．{x |－22x <22且x ≠0} 10．已知)3()2(x f x f -=+ ，)2()7(x f x f -=+，且)(x f 在)4,0(∈x 时，11ln )(--=x x f ，则)(x f 在)50,0(∈x 上零点的个数为（ ）A.37B. 38C.39D.40二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．若()24)1(2ln )(2+--=x a x x f 在(]4,∞-上是减函数，求a 的范围 。
重庆十一中2015届高三 上学期9月月考数学试卷(理科)(解析版)
重庆十一中2015届高三上学期9月月考数学试卷（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合A={x|x+1＜0}，B={x|3﹣x＞0}，那么集合A∩B（）A．{x|x＜﹣1} B．{x|x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．∅2．（5分）复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1=BC，P为C1D1上一点，则异面直线PB与B1C 所成角的大小（）A．是45°B．是60°C．是90°D．随P点的移动而变化4．（5分）已知函数f（x）=2x﹣1﹣x，则f（x）的零点的个数为（）A．0B．1C．2D．35．（5分）有一次青年志愿者联欢会上，到会的女青年比男青年多12人，从这些青年中随机挑选一人表演节目，若选到男青年的概率为，则参加联欢会的青年共有（）A．120人B．144人C．240人D．360人6．（5分）已知是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．[2，+∞）7．（5分）下列命题错误的是（）A．若命题P：∃x0∈R，x02﹣x0+1≥0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＜0B．若命题p∨q为真，则p∧q为真C．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同D．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为=+x中，若=2，=1，=3，则=18．（5分）以抛物线y2=20x的焦点为圆心，并与直线y=﹣x相切的圆的标准方程是（）A．（x﹣4）2+y2=25 B．（x﹣5）2+y2=16 C．（x﹣4）2+y2=7 D．（x﹣5）2+y2=9 9．（5分）在△ABC中，∠C=90°，P为三角形内一点且S△PAB=S△PBC=S△PCA，则=（）A．2B．C．2D．510．（5分）某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”；黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2006段，黄“电子狗”爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是（）A．0B．1C．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）由1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有个．12．（5分）已知f（x）是定义在实数集R上的函数，且满足f（x+2）=﹣，f（1）=﹣，则f=．13．（5分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC中，E、F、G、H分别是PA、AC、BC、PB 中点，则四边形EFGH的面积取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=，且程序框如图所示，若输入x的值为7时，输出y的值为a，则f[f（a）]=．15．（5分）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，当+的最小值为m时，则y=sin（mx+）的图象向右平移后的表达式为．三．解答题：本大题共6小题，共75分.16．（13分）已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行．（1）求常数a、b的值；（2）求函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．17．（13分）某校2015届高三年段共有1000名学生，将其按专业发展取向分成普理、普文、艺体三类，如图是这三类的人数比例示意图．为开展某项调查，采用分层抽样的方法从这1000名学生中抽取一个容量为10的样本．（Ⅰ）试求出样本中各个不同专业取向的人数；（Ⅱ）在样本中随机抽取3人，并用ξ表示这3人中专业取向为艺体的人数．试求随机变量ξ的数学期望和方差．18．（13分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=0，A1C1∩B1D1=O1，E是O1A的中点．（1）求二面角O1﹣BC﹣D的大小；（2）求点E到平面O1BC的距离．19．（12分）已知函数f（x）=2sin•cos﹣2cos2+（ω＞0），其图象与直线y=2的相邻两个公共点之间的距离为2π．（Ⅰ）若x∈[0，π]，试求出函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）△ABC的三个内角A，B，C及其所对的边a，b，c满足条件：f（A）=0，a=2，且b，a，c成等比数列．试求在方向上的抽影n的值．20．（12分）设等比数列{a n}的首项a1=256，前n项和为S n，且S n，S n+2，S n+1成等差数列．（1）求{a n}的公比q；（2）用πn表示{a n}的前n项之积，即πn=a1•a2…a n，求πn的最大值与最小值．21．（12分）如图，已知椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），双曲线=1的两条渐近线为l1，l2．过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于点P，设l与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A，B．（Ⅰ）若l1与l2的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的最大值．重庆十一中2015届高三上学期9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合A={x|x+1＜0}，B={x|3﹣x＞0}，那么集合A∩B（）A．{x|x＜﹣1} B．{x|x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．∅考点：交集及其运算．专题：集合．分析：首先，确定集合A和集合B，然后，确定A∩B={x|x＜﹣1}，从而得到结果．解答：解：由集合A得：A={x|x＜﹣1}，由集合B得：B={x|x＜3}，∴A∩B={x|x＜﹣1}．故选：A点评：本题重点考查了集合之间的关系，属于基础题．解题关键是准确化简集合A和集合B．2．（5分）复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，即可得到复数在复平面内对应的点所在象限．解答：解：复数z===3﹣i，复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点（3，﹣1）．在第四象限．故选：D．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数对应的点的几何意义，基本知识的考查．3．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1=BC，P为C1D1上一点，则异面直线PB与B1C 所成角的大小（）A．是45°B．是60°C．是90°D．随P点的移动而变化考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：画出图形，利用长方体的性质，三垂线定理推出BP⊥B1C，得到选项．解答：解：∵D1C1⊥面BCC1B1，∴BC1为BP在面BCC1B1内的射影，又BC1=B1C，∴BC1⊥B1C，∴BP⊥B1C．异面直线PB与B1C所成角的大小90°．故选C．点评：本题主要考查长方体的性质和求异面直线所成角的求法，三垂线定理的应用，考查空间想象能力，计算能力．4．（5分）已知函数f（x）=2x﹣1﹣x，则f（x）的零点的个数为（）A．0B．1C．2D．3考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：将求函数f（x）的零点问题转化成求两个函数的交点问题，画出草图，问题容易解出．解答：解：令g（x）=2x﹣1，h（x）=，如图示：由图象得：函数g（x）和函数h（x）有一个交点，即函数f（x）有一个零点，故选：B．点评：本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合思想，是一道基础题．5．（5分）有一次青年志愿者联欢会上，到会的女青年比男青年多12人，从这些青年中随机挑选一人表演节目，若选到男青年的概率为，则参加联欢会的青年共有（）A．120人B．144人C．240人D．360人考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义求出男青年的人数，即可得到结论．解答：解：设男青年为x人，则，解得x=54，则2x+12=120，故选：A．点评：本题主要考查分层抽样的应用，利用条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．6．（5分）已知是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．[2，+∞）考点：对数函数的单调区间．专题：函数的性质及应用．分析：本题必须保证：①使log a（2﹣ax）有意义，即a＞0且a≠1，2﹣ax＞0．②使log a （2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=log a u，u=2﹣ax，其中u=2﹣ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=log a（2﹣ax）定义域的子集．解答：解：∵f（x）=log a（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数，∴f（0）＞f（1），即log a2＞log a（2﹣a）．∴，∴1＜a＜2．故答案为：B．点评：本题综合了多个知识点，需要概念清楚，推理正确．（1）复合函数的单调性；（2）函数定义域，对数真数大于零，底数大于0，不等于1．本题难度不大，属于基础题．7．（5分）下列命题错误的是（）A．若命题P：∃x0∈R，x02﹣x0+1≥0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＜0B．若命题p∨q为真，则p∧q为真C．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同D．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为=+x中，若=2，=1，=3，则=1考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据存在性命题的否定方法，可判断A；根据复合命题真假判断的真值表，可判断B；计算出数据的平均数、众数、中位数，可判断C；根据回归直线必要样本数据中心点，可判断D．解答：解：若命题P：∃x0∈R，x02﹣x0+1≥0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＜0，故A正确；若命题p∨q为真，则命题p，q中存在真命题，但可能一真一假，此时p∧q为假，故B错误；数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数均为3，故C正确；回归直线必要样本数据中心点，当=2，=1，=3，则=1，故D正确；故选：B点评：本题以命题的真假判断与应用为载体考查了存在性命题的否定方法，复合命题真假判断的真值表，平均数、众数、中位数的计算，回归直线的性质等知识点，难度不大，属于基础题．8．（5分）以抛物线y2=20x的焦点为圆心，并与直线y=﹣x相切的圆的标准方程是（）A．（x﹣4）2+y2=25 B．（x﹣5）2+y2=16 C．（x﹣4）2+y2=7 D．（x﹣5）2+y2=9考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：根据抛物线的方程求出焦点坐标，即为所求圆的圆心，再根据圆与直线y=﹣x相切，可得所求圆的半径为r，从而求得圆的方程．解答：解：抛物线y2=20x的焦点为（5，0），即为所求圆的圆心，再根据圆与直线y=﹣x相切，可得所求圆的半径为r==3，故所求的圆的标准方程为（x﹣5）2+y2=9，故选：D．点评：本题主要考查求圆的标准方程、点到直线的距离公式的应用，属于基础题．9．（5分）在△ABC中，∠C=90°，P为三角形内一点且S△PAB=S△PBC=S△PCA，则=（）A．2B．C．2D．5考点：三角形的面积公式．专题：综合题；解三角形．分析：确定P是Rt△ABC的重心，利用三角形中线公式，可得PA2+PB2=5PC2，从而可得结论．解答：解：已知△ABC是直角三角形，AB为斜边，记AB=c，BC=a，CA=b，则有c2=a2+b2．∵S△PAB=S△PBC=S△PCA，∴P是Rt△ABC的重心．设m c，m a，mb分别表示Rt△ABC的对应边AB，BC，CA上的中线，则有PC=，PA=，PB=．而三角形中线公式为4（mc）2=2a2+2b2﹣c2=c2，4（ma）2=2b2+2c2﹣a2，4（mb）2=2c2+2a2﹣b2．∴4（ma）2+4（mb）2=5c2，∴4（ma）2+4（mb）2=20（mc）2，∴PA2+PB2=5PC2，∴=5，故选：D．点评：本题考查三角形面积的计算，考查三角形中线公式，考查学生的计算能力，属于中档题．10．（5分）某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”；黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2006段，黄“电子狗”爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是（）A．0B．1C．D．考点：异面直线的判定；棱柱的结构特征．专题：规律型．分析：先根据题意得到黑“电子狗”与黄“电子狗”经过几段后又回到起点得到周期，再计算黑“电子狗”爬完2006段后实质是到达哪个点以及计算黄“电子狗”爬完2007段后实质是到达哪个点，最后计算出它们的距离即可．解答：解：由题意，黑“电子狗”爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，同理，黄“电子狗”也是过6段后又回到起点．所以黑“电子狗”爬完2006段后实质是到达第二段的终点D1，黄“电子狗”爬完2007段后到达第三段的终点C1．此时的距离为|C1D1|=1．故选B．点评：本题考查空间想象能力、异面直线的定义等相关知识，属于创新题．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）由1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有36个．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：首先分析“得到的三位数中各位数字之和为偶数”可得，只有一种情况3个数中2个奇数、1个偶数，由排列组合公式可得其情况数目．解答：解：根据题意，若得到的三位数中各位数字之和为偶数，则取出的三个数字中2个奇数、1个偶数，则有C32•C21•A33=36种情况；故答案为36点评：本题考查计数原理的运用，解题的关键在于对“得到的三位数中各位数字之和为偶数”的分析，从中得到可能的情况．12．（5分）已知f（x）是定义在实数集R上的函数，且满足f（x+2）=﹣，f（1）=﹣，则f=8．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得f（x+4）=﹣=f（x），从而f=f（503×4+3）=f（3）=f（1+2）=﹣=﹣=8．解答：解：∵f（x+2）=﹣，f（1）=﹣，∴f（x+4）=﹣=f（x），∴f=f（503×4+3）=f（3）=f（1+2）=﹣=﹣=8．故答案为：8．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．13．（5分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC中，E、F、G、H分别是PA、AC、BC、PB 中点，则四边形EFGH的面积取值范围是（，+∞）．考点：棱锥的结构特征．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中正三棱锥P﹣ABC的底面边长为2，E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点，我们可判断出四边形EFGH为一个矩形，一边长为1，另一边长大于底面的外接圆的半径的一半，进而得到答案．解答：解：∵棱锥P﹣ABC为底面边长为2的正三棱锥，∴AB⊥PC，又∵E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点，∴EH=FG=AB=1，EF=HG=PC，则四边形EFGH为一个矩形，又∵PC＞，∴EF＞，∴四边形EFGH的面积为S（x）＞，故四边形EFGH的面积取值范围是：（，+∞），故答案为：（，+∞）．点评：本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中根据正三棱锥的结构特征，判断出AB⊥PC这，进而得到四边形EFGH为一个矩形是解答本题的关键．14．（5分）已知函数f（x）=，且程序框如图所示，若输入x的值为7时，输出y的值为a，则f[f（a）]=．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由框图框图，判定x的值是否满足判断框，执行是还是否，求出输出的a的值，代入函数解析式求出值．解答：解：当x=7不满足判断框得到x=4；不满足判断框得x=1；不满足判断框得x=﹣2此时满足判断框得出y=，即a=∴f[f（a）]=f[f（）]=f（﹣2）=故答案为：点评：解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．15．（5分）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，当+的最小值为m时，则y=sin（mx+）的图象向右平移后的表达式为y=sin2x．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；简单线性规划．专题：三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．分析：首先根据线性规划问题和基本不等式求出函数的最值，再利用正弦型函数的图象变换问题，求出结果．解答：解：设x、y的线性约束条件解得A（1，1）目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2即：a+b=2所以：则：则y=sin（2x+）的图象向右平移后的表达式为：y=sin2x故答案为：y=sin2x点评：本题考查的知识要点：线性规划问题，基本不等式的应用，正弦型函数的图象变换问题，属于基础题型．三．解答题：本大题共6小题，共75分.16．（13分）已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行．（1）求常数a、b的值；（2）求函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：（1）由题目条件知，点P（1，0）为切点，且函数在改点处的导数值为切线的斜率，从而建立关于a，b的方程，可求得a，b的值；（2）由（1）确定了函数及其导数的解析式，解不等式f'（x）＞0与f'（x）＜0，可求出函数的单调区间，讨论t与区间（0，2]的位置关系，根据函数的单调性分别求出函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．解答：解：（1）f'（x）=3x2+2ax，因为函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行，所以f'（1）=3+2a=﹣3，∴a=﹣3．又f（1）=a+b+1=0∴b=2．综上：a=﹣3，b=2（2）由（1）知，f（x）=x3﹣3x2+2，f'（x）=3x2﹣6x．令f'（x）＞0得：x＜0或x＞2，f'（x）＜0得：0＜x＜2∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．又f（0）=2，f（3）=2∴当0＜t≤2时，f（x）的最大值为f（0）=2，最小值为f（t）=t3﹣3t2+2；当2＜t≤3时，f（x）的最大值为f（0）=2，最小值为f（2）=﹣2；当t＞3时，f（x）的最大值为f（t）=t3﹣3t2+2，最小值为f（2）=﹣2点评：本题主要考查了利用导数研究函数的最大值，最小值，同时考查了导数的几何意义，以及学生灵活转化题目条件的能力，属于中档题．17．（13分）某校2015届高三年段共有1000名学生，将其按专业发展取向分成普理、普文、艺体三类，如图是这三类的人数比例示意图．为开展某项调查，采用分层抽样的方法从这1000名学生中抽取一个容量为10的样本．（Ⅰ）试求出样本中各个不同专业取向的人数；（Ⅱ）在样本中随机抽取3人，并用ξ表示这3人中专业取向为艺体的人数．试求随机变量ξ的数学期望和方差．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意，先求出该校学生普理生、普文生、艺体生的人数比例，再求10人的样本中普理生、普文生、艺体生的人数．（Ⅱ）由题意ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的数学期望和方差．解答：解：（Ⅰ）由题意，得该校学生普理生、普文生、艺体生的人数比例为2：2：1，∴10人的样本中普理生、普文生、艺体生的人数分别为4人，4人，2人．（Ⅱ）由题意ξ=0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列：ξ0 1 2P∴Eξ=，Dξ=+=．点评：本题考查概率、统计的基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以应用意识，是中档题．18．（13分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=0，A1C1∩B1D1=O1，E是O1A的中点．（1）求二面角O1﹣BC﹣D的大小；（2）求点E到平面O1BC的距离．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算．专题：综合题；数形结合；数形结合法．分析：本题一个求二面角与点到面距离的题，（1）求二面角的方法有二，一是用立体几何法，作出它的平面角，求之，二是利用向量求二面角，需要建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，利用数量积公式求出二面角的余弦，再求角．（2）求点到面的距离也有二种方法，一种是几何法，作出点到面的垂线段，用解三角形的方法求之．二是用向量法，找出平面上一点与此点相连的线段所对应的向量，求出其在平面法向量上的投影的绝对值即可得到点到面的距离．解答：证明：（I）过O作OF⊥BC于F，连接O1F，∵OO1⊥面AC，∴BC⊥O1F，∴∠O1FO是二面角O1﹣BC﹣D的平面角，…（3分）∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=．在Rt△O1OF在，tan∠O1FO=，∴∠O1FO=60°即二面角O1﹣BC﹣D为60°…（6分）解：（II）在△O1AC中，OE是△O1AC的中位线，∴OE∥O1C∴OE∥O1BC，∵BC⊥面O1OF，∴面O1BC⊥面O1OF，交线O1F．过O作OH⊥O1F于H，则OH是点O到面O1BC的距离，…（9分）点E到面O1BC的距离等于OH，∴OH=．∴点E到面O1BC的距离等于．…（12分）解：法二：（I）在正方体中，有OO1⊥平面AC，∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，建立如图所示的空间直角坐标系（如图）∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，∴OA=2，OB=2则A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），O1（0，0，3）∴设平面O1BC的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥，∴，则z=2，x=﹣，y=3，∴=（﹣，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）∴cos＜，＞=，设O1﹣BC﹣D的平面角为α，∴cosα=，∴α=60°．故二面角O1﹣BC﹣D为60°．（II）设点E到平面O1BC的距离为d，∵E是O1A的中点，∴=（﹣，0，），则d=∴点E到面O1BC的距离等于．点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，点到平面的距离，其中建立空间坐标系，然后将空间直线与平面、平面与平面位置关系转化为向量之间的关系，是解答本题的关键．本题运算量较大，解题时要严谨，用向量解决立体几何问题是近几年2015届高考的热点，本题中的类型近几年出现的频率较高19．（12分）已知函数f（x）=2sin•cos﹣2cos2+（ω＞0），其图象与直线y=2的相邻两个公共点之间的距离为2π．（Ⅰ）若x∈[0，π]，试求出函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）△ABC的三个内角A，B，C及其所对的边a，b，c满足条件：f（A）=0，a=2，且b，a，c成等比数列．试求在方向上的抽影n的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先，根据二倍角公式，化简函数解析式，然后，根据周期公式，确定解析式，最后，结合三角函数的单调性进行求解；（Ⅱ）首先，根据f（A）=0，得到A=，结合余弦定理求解b=c，最后，求解结果．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin•cos﹣2cos2+=sinωx﹣cosωx=2sin（ωx﹣），∴f（x）=2sin（ωx﹣），∵图象与直线y=2的相邻两个公共点之间的距离为2π．∴T==2π，∴ω=1，∴f（x）=2sin（x﹣），∵x∈[0，π]，∴（x﹣）∈[﹣，]∵（x﹣）∈[，，∴x∈[，π]，∴函数f（x）的单调递减区间[，π]．（Ⅱ）根据（Ⅰ），得f（A）=2sin（A﹣）=0，∵A∈（0，π），∴A=，∵b，a，c成等比数列．∴a2=bc，∵a2=b2+c2﹣2bccos，∴b=c，∴B=C=，∴△ABC为等边三角形，∴n=||cosC=1．点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式、二倍角公式、解三角形和平面向量等知识，考查比较综合，属于中档题．20．（12分）设等比数列{a n}的首项a1=256，前n项和为S n，且S n，S n+2，S n+1成等差数列．（1）求{a n}的公比q；（2）用πn表示{a n}的前n项之积，即πn=a1•a2…a n，求πn的最大值与最小值．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）解法一：根据等差中项的性质得2S n+2=S n+S n+1，把S n+1=S n+a n+1，S n+2=S n+1+a n+2=S n+a n+1+a n+2代入化简，即可求出公比q的值；解法二：根据等比数列的前n项和公式，对q分类后分别代入2S n+2=S n+S n+1，化简求出q 的值；（2）由（1）和等比数列的通项公式求出a n，代入πn利用指数的运算性质化简后，判断并求出πn的最大值与最小值．解答：解：（1）解法一：因为S n，S n+2，S n+1成等差数列，所以2S n+2=S n+S n+1，把S n+1=S n+a n+1，S n+2=S n+1+a n+2=S n+a n+1+a n+2代入得，2（S n+a n+1+a n+2）=S n+（S n+a n+1），化简得，a n+2=a n+1，所以等比数列{a n}的公比q=；…（6分）解法二：由已知2S n+2=S n+S n+1，当q=1时，S n+2=（n+2）a1，S n+1=（n+1）a1，S n=na1，则2（n+2）a1=（n+1）a1+na1，解得a1=0与数列{a n}为等比数列矛盾；…（2分）当q≠1时，则=+，化简得：2q n+2=q n+q n+1，因为q n≠0，所以2q2=1+q，解得q=…（6分）（2）由（1）得，q=，且a1=256=28，则a n==，所以πn=a1•a2…a n=（﹣1）﹣1+0+1+…（n﹣1）•=•=，则Π8=Π9＞0、Π7=Π10＜0，所以Πn的最大值是，最小值是．…（12分）点评：本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式，等差中项的性质，以及指数的运算性质，考查化简计算能力，属于中档题．21．（12分）如图，已知椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），双曲线=1的两条渐近线为l1，l2．过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于点P，设l与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A，B．（Ⅰ）若l1与l2的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知得∠POF=30°，从而a=．由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）直线l的方程为y=，直线l2的方程为y=，联立直线l与l2的方程，解得点P（），由此入手结合已知条件能求出的最大值．解答：解：（Ⅰ）因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为y=．因为两渐近线的夹角为60°且，所以∠POF=30°．所以．所以a=．因为c=2，所以a2+b2=4，所以a=，b=1．所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）因为l⊥l1，所以直线l的方程为y=，其中c=．…（5分）直线l2的方程为y=，联立直线l与l2的方程，解得点P（）．…（6分）设=λ，则=．…（7分）因为点F（c，0），设点A（x0，y0），则有（x0﹣c，y0）=λ（，）．解得，y0=．…（8分）因为点A（x0，y0）在椭圆上，所以+=1．即（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2．等式两边同除以a4，得（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2，e∈（0，1），所以=﹣（2﹣e2+）+3≤=3﹣2=（）2．…（10分）所以当2﹣e2=，即e=时，λ取得最大值．故的最大值为．…（12分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两线段比值的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．欢迎下载，资料仅供参考!!!。
重庆市两江中学2015届高三上学期9月月考数学文试题(Word版)
重庆市两江中学2015届高三上学期9月月考数学文试题本卷共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（客观题 共50 分）一、选择题 (本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填填写在答题卷上)1.设集合}032|{2<--=x x x M ,{}22<=xx N ，则)(N C M R ⋂等于（ ） A ．[]1,1- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．[)3,1 2.已知，则“是的等比中项”为“是的等差中项”的( )A ．充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3．已知复数,321ii z -+=i是虚数单位，则复数的虚部是 ( ) A ．107 B ．101 C ．i 101 D ．i 1074. 函数)2(log 12-=x y 的定义域为 （ ）A.(2,3)(3,)+∞ B.(2,)+∞C.(,2)-∞D.(2,4)(4,)+∞5. 右面的程序框图输出S 的值为（ ）A ．2 B.6 C ．14 D.30 6.函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ）A ．（3，4）B ．（2，e ）C ．（1，2）D ．（0，1）7.某同学根据自己的样本数据研究变量y x ,之间的关系，求得20,80101101==∑∑==i i i i y x ，y 对x 的线性回归方程为4.0ˆˆ-=x by .请你根据已知数据估计当7=x 时y ˆ的值为（ ） A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.88.函数x x f 2log 1)(+=与x x g -=12)(在同一直角坐标系下的图像大致是( ）9．对于任意[1,5]x ∈，则x 满足不等式2340x x --<的概率为（ ） A.43 B. 51 C. 53 D. 54 10．定义在R 上的函数()f x 为偶函数且关于4x =对称，当[]4,0x ∈-时，()2f x x =+，则=+⋅⋅⋅+++)9()2()1()0(f f f f （ ）A 、0B 、1C 、2D 、3第Ⅱ卷（主观题 共100 分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分,把答案写在相应位置上）11.对数函数2014)2013(log 2++=x y 的恒过定点为 。
中学2015届高三数学9月考试试题
2014-2015学年度第一学期明德衡民中学9月份考试试题高三数学（文）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生将自己的班 级、姓名、准考证号填写在答题卡相应位置.2．答题时，用签字笔把答案写在答题卡对应位置，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答卷交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.(1)若集合{}24A x x =>，B *=N ，则(A R)B = ( )(A){}21012--，，，， (B){}012，， (C){}12，(D){}1 (2)若sin 0α<，且tan 0α>，则α是 ( ) (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角(D)第四象限角(3)函数)1ln(x x y -=的定义域为 ( )(A)(01)， (B)[01)， (C)(01]， (D)[01]， (4)在下列区间中，函数21()log f x x x=-的零点所在的区间是 ( ) (A)01)(， (B)12)(， (C)24)(， (D)(4)+∞， (5)若点)9(，a 在函数3xy =的图象上，则sin6a π的值为 ( )(A)12(B)2(D)1(6)下列函数中，既是偶函数又在(0)-∞，上单调递减的是 ( )(A)y x =- (B)2y x =- (C)y x = (D)y x x = (7)已知3e a =，πe b =，π3c =，则a b c ，，的大小关系为 ( ) (A)a b c << (B)c a b << (C)b a c << (D)a c b <<(8)已知函数20()20xx a x f x x -⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，若[(1)]1f f -=，则=a ( )(A)14 (B)12(C)1 (D)2 (9)已知函数(x ya c a c =-，为常数，其中0a >且1)a ≠的图象如下图所示，则下列结论成立的是( )(A)11a c >>， (B)1a >，01<c < (C)01<a <，1c > (D)01<a <，01<c <(10)已知)('x f 是函数)(x f 的导数，则“)(x f 在)(b a ，上为减函数”是“0)('<x f 在 )(b a ，内恒成立”的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(11)命题“200010x x ax ∃∈-+=R ，”是假命题，则实数a 的取值范围是 ( )(A)[22]-， (B)[2+)(2]∞-∞-，， (C)(22)-， (D)(2+)(2)∞-∞-，，(12)已知函数1()3(0x f x aa -=+>，且1)a ≠的图象经过一个定点M ，且点M 在直线10mx ny +-=()00m n >>，上，则14m n+的最小值是 ( ) (A)12(B)13 (C)24(D)25第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答；第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求作答.高三文科数学试卷111第页(共页)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中横线上.(13)已知角α的终边经过点(34)-，，则cos α=_______． (14)若曲线ln y x x =上点P 处的切线垂直于直线20x y +=，则点P 的坐标是_______． (15)已知函数)(x f 是偶函数，且当0x <时，有x x x f 2sin 3cos )(+=，则当0>x 时， ()f x = .(16)若函数()f x 满足3()()2f x f x +=-.当[03]x ∈，时，2()21f x x =+，则(2014)f =_______． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)求函数2()(2)f x x x =-的单调区间．(18)(本小题满分12分) 已知函数1()ln 1f x x x=+-，求()f x 在21[e ]e ，上的最大值和最小值．(19)(本小题满分12分)已知函数()1(0)f x ax bx b a 2=++-≠． (I)当1a =，2b =-时，求函数()f x 的零点；(II)若对任意b ∈R ，函数()f x 恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围．(20)(本小题满分12分)设32()1f x x ax bx =+++的导数'()f x 满足'(1)2f a =，'(2)f b =-，其中常数a b ∈R ，．高三文科数学试卷211第页(共页)(I)求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； (II)设()'()e xg x f x -=，求函数()g x 的极值．(21)(本小题满分12分) 已知函数()e exxf x -=-（x ∈R ），其中e 为自然对数的底数．(I)判断函数()f x 的奇偶性与单调性；(II)是否存在实数t ，使不等式22()()0f x t f x t -+-≥对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号. (22)(本小题满分10分) 若函数21()e 2x f x x ax =--在R 上为增函数，求实数a 的取值范围．(23)(本小题满分10分)若sin cos θθ+= （I ）θθcos 1sin 1+； （II ）θtan ．高三文科数学试卷311第页(共页)(24)(本小题满分10分)若关于x 的不等式1x x t +-<的解集为空集，记t 取值的集合为T . （I ）求集合T ；（II ）若a b T ∈，，求证：1ab a b ++≥.2014-2015学年度第一学期明德衡民中学高三9月份考试数学（文科）答卷时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中横线上.高三文科数学试卷411第页(共页)（13） （14） （15） （16）三、解答题：本大题共8小题，其中第(17)～(21)题各12分，第(22～(24)题 各10 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）( 本小题满分12分)（18）（本小题满分12分）高三文科数学试卷511第页(共页)（19）（本小题满分12分）（20）（本小题满分12分）高三文科数学试卷611第页(共页)（21）（本小题满分12分）请考生在第（22)、（23)、(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号. （本小题满分10分）高三文科数学试卷711第页(共页)2014-2015学年度第一学期明德衡民中学高三9月份考试数学（文科）答案时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中横高三文科数学试卷811第页(共页)线上. （13）35（14）(e e)， （15） cos3sin 2x x - （16）3 三、解答题：本大题共8小题，其中第（17）～（21）题各12分，第（22）～（24） 题各10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）( 本小题满分12分)解： 32()44f x x x x =-+，则2'()384(32)(2)f x x x x x =-+=--. …………4分 当2x >或23x <时，'()0f x >，()f x 为增函数，得增区间为(2)+∞，和2()3-∞，； …………………………8分当223x <<时，'()0f x <，()f x 为减函数，得减区间为2(2)3，. 综上，()f x 的单调递增区间为(2)+∞，和2()3-∞，，单调递减区间为2(2)3，.……12分 （18）（本小题满分12分）解： 由()f x 得22111'()(0)x f x x x x x-=-=>. ………………………2分 当21e x <≤时，'()0f x >，()f x 为增函数， ……………………4分 当11ex <≤时，'()0f x <，()f x 为减函数， ……………………6分 ∴()f x 在1x =处有极小值1(1)ln1101f =+-=. ……………………8分又11()lne 1e 21ee f =+-=-<，222211(e )ln e 111e e f =+-=+>， ……10分 ∴()f x 在21[e ]e ，上的最大值为211e+，最小值为0. …………12分 （19）（本小题满分12分）证明： （I ） 当1a =，2b =-时，2()23f x x x =--. ……………………2分令()0f x =，即2230x x --=，解得3x =，或1x =-，从而()f x 的零点为3和1-. ………………………………………6分（II ）由题意知，关于x 的方程有两个不等实根，所以214(b 1)0b a ∆=-->，即对任意的高三文科数学试卷911第页(共页)b ∈R ，有2440b ab a -+>. …………………………9分设函数2()44g x x ax a =-+，则()g x 的图象恒在x 轴上方，从而在方程()0g x =中，有20∆<，即2(4)440a a --⨯<，得01a <<. ………………………12分（20）（本小题满分12分）解： （I ）由()f x 得2'()32f x x ax b =++， …………………………2分由'(1)2'(2)f a f b =⎧⎨=-⎩，得322124a b a a b b ++=⎧⎨++=-⎩，，解得323.a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， …………………4分 从而323()312f x x x x =--+，2'()333f x x x =--，则5(1)2f =-，即切点为5(1)2，，由切线的斜率'(1)3k f ==-，知切线方程为53(1)2y x +=--，即6210x y +-=. ……6分 （II ）由题意知2333()ex x x g x --=，则3(3)'()e x x x g x --=. ……………………8分 当03x <≤时，'()0g x >，()g x 为增函数，当3x >或0x <时，'()0g x <，()g x 为减函数， ……………………10分∴()g x 有极大值315(3)e g =，有极小值(0)3g =-. …………………12分 （21）（本小题满分12分）解： (I) 由()f x 得()e e (e e )()x x x x f x f x ---=-=--=-，即()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数. …………………………………………………………3分又由()f x 得1'()e e x xf x =+，当x ∈R 时，'()0f x >，∴()f x 在R 上为增函数， …………………………6分(II)设存在符合题意的实数t ，使22()()0f x t f x t -+-≥对一切x ∈R 都成立，由(I) 知()f x 为奇函数，∴()()f x t f t x -=--，∴22()()f x t f t x --≥. ………8分又()f x 在R 上为增函数，∴22x t t x --≥，即220x x t t +--≥对x ∈R 恒成立，…………………………10分∴2214()0t t ∆=++≤即2(21)0t +≤，得12t =-. 故存在12t =-使22()()0f x t f x t -+-≥对一切x ∈R 都成立. ……………12分 请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）解： (I) 由()f x 得'()e x f x x a =--.∵()f x 在R 上为增函数，∴x ∈R 时，'()0f x ≥，即e 0x x a --≥，得e xa x -≤对x ∈R 恒成立. …………………4分 令()e x g x x =-，则只需min [()]a g x ≤. ……………5分由()g x 得'()e 1xg x =-.当0x >时，'()0g x >，()g x 为增函数；当0x <时，'()0g x <，()g x 为减函数. ∴()g x 有最小值(0)1g =，得1a ≤. ………………………………9分当1a =时，'()e 1x f x x =--.由()e (0)1x g x x g =-=≥知，当且仅当0x =时，'()0f x =，∴1a =符合题意，∴实数a 的取值范围是1a ≤. …………………10分（23）（本小题满分10分）解：由sin cos θθ+=2(sin cos )2θθ+=，即22sin cos 2sin cos 2θθθθ++=. 又22sin cos 1θθ+=，∴1sin cos 2θθ=. …………………3分(I)11sin cos sin cos sin cos θθθθθθ++==- ……………………5分 （II）由sin cos 1sin cos 2θθθθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得sin cos 2θθ==-， ……………8分 ∴sin 1cos θθ=. ……………………………………………………10分 （24）（本小题满分10分）解： (I)∵关于x 的不等式1x x t +-<的解集为空集，且1(1)1x x x x +---=≥，……………………2分∴ 1t ≤，即得{}1T t t =≤. ……………………5分 （II ）∵a b T ∈，，∴11a b ≤，≤， ……………………6分 ∴1()(1)(1)0ab a b a b b +-+=---≥， ……………………9分 ∴1ab a b ++≥，即证. ……………………10分欢迎下载，资料仅供参考!!!高三文科数学试卷1111第页(共页)。
【解析】重庆市万州区纯阳中学2015届高三上学期9月质检数学(理)试卷Word版含解析
重庆市万州区纯阳中学2015届高三上学期9月质检数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知角α的终边上有一点P（﹣5，12），则cosα的值是( )A．B．C．﹣D．﹣考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：通过已知条件求出OP，直接利用三角函数的定义，求出cosα的值即可．解答：解：∵角α的终边上有一点P（﹣5，12），∴OP==13，由三角函数的定义，可知，cosα=．故选：C．点评：本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义的应用，考查计算能力．2．函数f（x）=2x﹣1﹣x2的零点的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）=2x﹣1﹣x2=0得2x﹣1=x2，即2x=2x2，设函数y=2x和y=2x2，分别作出两个函数对应的图象，利用数形结合即可得到两个图象的交点．解答：解：由f（x）=2x﹣1﹣x2=0得2x﹣1=x2，即2x=2x2，设函数y=2x和y=2x2，分别作出两个函数对应的图象如图：由图象可知，两个图象的交点个数为3个，即函数f（x）=2x﹣1﹣x2的零点的个数为3个．故选：C．点评：本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合是解决本题的关键．3．已知sin（﹣x）=，则sin2x的值为( )A．B．C．D．±考点：二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：利用sin2x==即可得出．解答：解：sin2x====．故选：A．点评：本题考查了诱导公式、倍角公式，属于基础题．4．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是( )A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题．分析：函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．解答：解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选B．点评：本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．5．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：作图题．分析：由题意可判函数为偶函数，可排除C，再由f（0）=0，可排除B、D，进而可得答案．解答：解：由题意可知函数的定义域为R，∵f（﹣x）=ln（x2+1）=f（x），∴函数为偶函数，故可排除C，由f（0）=ln1=0，可排除B、D故选A点评：本题考查函数的图象，涉及函数的奇偶性和函数值，属基础题．6．已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为( )A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：由y=ln（x+a），得，由直线y=x﹣1与曲线y=ln（x+a）相切，得，所以切点是（1﹣a，0），由此能求出实数a．解答：解：∵y=ln（x+a），∴，∵直线y=x﹣1与曲线y=ln（x+a）相切，∴切线斜率是1，则y'=1，∴，x=1﹣a，y=ln1=0，所以切点是（1﹣a，0），∵切点（1﹣a，0）在切线y=x+1上，所以0=1﹣a+1，解得a=2．故选B．点评：本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．7．（e x+2x）dx等于( )A．1 B．e﹣1 C．e D．e2+1考点：定积分．专题：计算题．分析：求出被积函数的原函数，将积分的上限代入减去将下限代入求出差．解答：解：（e x+2x）dx=（e x+x2）|01=e+1﹣1=e故选C．点评：本题考查利用微积分基本定理求定积分值．8．设p：0＜x＜1，q：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，若p是q的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A．[﹣1，0]B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0]∪[1+∞，）D．（﹣∞，﹣1）∪（0+∞，）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：解一元二次不等式，化简命题q，根据p是q的充分不必要条件得到a≤0，且2+a≥1，求出实数a的取值范围．解答：解：命题q：：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，即a≤x≤2+a．由题意得，命题p成立时，命题q一定成立，但当命题q成立时，命题p不一定成立．∴a≤0，且2+a≥1，解得﹣1≤a≤0，故选A．点评：本题考查绝对值不等式的解法，充分条件、必要条件的定义，判断a≤0，且2+a≥1是解题的难点．9．已知f（x）=x4﹣x3+2x2+a在x=x1处取得极值2，则dt=( )A．π+ B．πC．π+ D．+或π+考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，确定函数取得极值的x，建立条件关系求出a，利用积分的几何意义即可求出结论．解答：解：函数的导数为f′（x）=x3﹣4x2+4x=x（x2﹣4x+4）=x（x﹣2）2，则当f′（x）＞0，得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，即当x=0时函数取得极小值，也是唯一的极值，∵f（x）在x=x1处取得极值2，∴x1=0，即f（0）=2，则f（0）=a=2，则dt=，设y=，则t2+y2=4，（0＜t＜1），则积分的几何意义为阴影部分的面积，则A（1，），则∠xOA=，∠yOA=，则阴影部分的面积S==，故选：C点评：本题主要考查导数的应用，以及积分的几何意义，根据导数求出函数的极值，确定a 的值是解决本题的关键．10．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x0，y0），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x0）=0．若函数f（x）=x3﹣3x2，则可求出f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）的值为( )A．4029 B．﹣4029 C．8058 D．﹣8058考点：导数的运算；函数恒成立问题．专题：导数的概念及应用．分析：由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，﹣2）对称，即f（x）+f（2﹣x）=﹣4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2014对﹣4和一个f（1）=﹣2，可得答案．解答：解：①由题意f（x）=x3﹣3x2，则f′（x）=3x2﹣6x，f″（x）=6x﹣6，由f″（x0）=0得6x0﹣6=1解得x0=1，而f（1）=﹣2，故函数f（x）=x3﹣3x2关于点（1，﹣2）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=﹣4，∴f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）=﹣4×2014+（﹣2）=﹣8058．故选：D．点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应的位置上．11．sin+cos+tan（﹣）=0．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：利用三角函数的诱导公式sin=sin（4π+）=sin，cos=cos（8π+）=cos，tan（﹣）=﹣tan （6π+）=﹣tan，然后根据特殊角的三角函数值求出结果．解答：解：sin+cos+tan（﹣）=sin+cos﹣tan=+﹣1=0故答案为0．点评：本题考查了三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式可以提高做题效率，属于基础题．12．若直线ax+by﹣1=0（a＞0，b＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心，则+的最小值为3+2．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由正弦函数的性质可求y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心，代入直线方程可求a+b=1，而+=（）（a+b），展开利用基本不等式可求最小值解答：解，由正弦函数的性质可知，曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心为（1，1）∴a+b=1则+=（）（a+b）=3+=3+2最小值为故答案为：3+2点评：本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题13．若f（x）是R上的增函数，且f（﹣1）=﹣4，f（2）=2，设P={x|f（x+t）＜2}，Q={x|f （x）＜﹣4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是（3，+∞）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；元素与集合关系的判断．分析：本题考查的充要条件的定义，根据题设条件及“谁大谁必要，谁小谁充分”，可得P⊊M，然后再根据集合包含运算关系，判断出参数满足的不等式，即可求出实数t的取值范围．解答：解：又∵f（x）是R上的增函数，且f（﹣1）=﹣4，f（2）=2，∴Q={x|f（x）＜﹣4}={x|x＜﹣1}，P={x|f（x+t）＜2}={x|x+t＜2}={x|x＜2﹣t}，∵“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件∴P⊊M，则2﹣t＜﹣1则t＞3故答案为：（3，+∞）点评：本题考查充要条件，解题的关键是理解充分不必要条件的含义，将其正确转化为两个集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力14．由两曲线y=sinx（x∈[0，2π]）和y=cosx（x∈[0，2π]）所围成的封闭图形的面积为2．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出图象的交点坐标，根据定积分的几何意义，所求面积为S=（cosx﹣sinx）dx+（sinx ﹣cosx）dx+（cosx﹣sinx）dx，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．解答：解：由y=sinx（x∈[0，2π]）和y=cosx（x∈[0，2π]），可得交点坐标为（，），（，），∴由两曲线y=sinx（x∈[0，2π]）和y=cosx（x∈[0，2π]）所围成的封闭图形的面积为S=（cosx﹣sinx）dx+（sinx﹣cosx）dx+（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）﹣（sinx+cosx）+（sinx+cosx）=2．故答案为：2．点评：本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．15．已知符号函数sgn=则函数f（x）=sgn（ln x）﹣ln2x的零点个数为2．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：将函数f（x）=sgn（ln x）﹣ln2x的零点可化为方程sgn（ln x）﹣ln2x=0的根，从而求出方程的根，得到零点个数．解答：解：函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点可化为方程sgn（lnx）﹣ln2x=0的根；又∵sgn=，则或或；解得，x=e或x=1．故答案为：2．点评：本题考查了函数的零点与方程的根之间的关系，同时考查了转化的思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知cosβ=，sin（α+β）=，α∈（0，），β∈（，π）．（Ⅰ）求cos2β的值；（Ⅱ）求sinα的值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由二倍角的余弦公式，cos2β=2cos2β﹣1，根据已知即可求值．（Ⅱ）sinα=sin[（α+β）﹣β]=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ，只要求出sinβ，cos（α+β）的值，根据已知代入即可求出其值．解答：解：（Ⅰ）由条件：cosβ=，β∈（，π）得cos2β=2cos2β﹣1=﹣；（Ⅱ）因为cosβ=，β∈（，π），所以sinβ=，因为，α∈（0，），β∈（，π），所以α+β∉（，），又sin（α+β）=，所以cos（α+β）=﹣，所以sinα=sin[（α+β）﹣β]=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=．点评：本题主要考察了二倍角的余弦公式、两角和与差的正弦公式等的综合运用，属于中档题．17．设函数f（x）=x3+ax2﹣9x﹣1（a＜0）．若曲线y=f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）函数f（x）的单调区间．考点：导数的运算；利用导数研究函数的单调性；两条直线平行的判定．专题：计算题．分析：（1）先求出导函数的最小值，最小值与直线12x+y=6的斜率相等建立等式关系，求出a的值即可；（2）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，解得的区间就是所求．解答：解：（Ⅰ）因f（x）=x3+ax2﹣9x﹣1所以f'（x）=3x2+2ax﹣9=．即当x=时，f'（x）取得最小值．因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为﹣12，所以．解得a=±3，由题设a＜0，所以a=﹣3．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=﹣3，因此f（x）=x3﹣3x2﹣9x﹣1，f'（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x﹣3）（x+1），令f'（x）=0，解得：x1=﹣1，x2=3．当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上为增函数；当x∈（﹣1，3）时，f'（x）＜0，故f（x）在（﹣1，3）上为减函数；当x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上为增函数．由此可见，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）；单调递减区间为（﹣1，3）．点评：本小题主要考查导数的几何意义，及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式的解法等基础知识，属于基础题．18．某市某社区拟选拔一批综合素质较强的群众，参加社区的义务服务工作．假定符合参加选拔条件的每个选手还需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手进入第四轮才被淘率的概率；（2）该选手在选拔过程中回答过的问题的总个数记为X，求随机变量X的分布列与数学期望．（注：本小题结果可用分数表示）考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为A i（i=1，2，3，4），则，，，，由此能求出该选手进入第四轮才被淘率的概率．（2）X的可能值为1、2、3、4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列与数学期望．解答：解：（1）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为A i（i=1，2，3，4），则，，，．∴该选手进入第四轮才被淘率的概率：=．（2）X的可能值为1、2、3、4，，，=，．∴X的分布列为：X 1 2 3 4P∴．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型．19．已知函数f（x）=alnx+（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）在[1，+∞）上的最小值；（2）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的导函数f′（x），由导函数f′（x）＞0，得出f（x）的单调性；（2）若f（x）存在单调递减区间，则不等式f′（x）＜0有正数根，对a分a=0、a＜0、a＞0进行讨论，转化成一次函数或二次函数，写出等价条件，求出a的范围．解答：解：（1）当a=1时，，定义域为（0，+∞）∴，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，f min（x）=f（1）=1（2）=∵f（x）存在单调递减区间∴f′（x）＜0有正数解，即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解，①当a=0时，明显成立②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向上的抛物线，即ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根，因为x1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根⇔，解得，综上得．点评：本题考查利用导数求单调区间，由单调性求参数范围，运用等价转化、分类讨论思想，属于中档题．20．已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g （x）＜1+e﹣2．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=，x∈（0，+∞），由y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，得f′（1）=0，从而求出k=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），求出h（x）的导数，从而得f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（Ⅲ）因g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），得1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2，设m（x）=e x﹣（x+1），得m（x）＞m（0）=0，进而1﹣x﹣xlnx≤1+e ﹣2＜（1+e﹣2），问题得以证明．解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=，x∈（0，+∞），且y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，∴f′（1）=0，∴k=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，h（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，又e x＞0，∴x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′x）＜0，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；证明：（Ⅲ）∵g（x）=（x2+x）f′（x），∴g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），∴∀x＞0，g（x）＜1+e﹣2⇔1﹣x﹣xlnx＜（1+e﹣2），由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），∴h′（x）=﹣（lnx﹣lne﹣2），x∈（0，+∞），∴x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，h（x）递增，x∈（e﹣2，+∞）时，h（x）＜0，h（x）递减，∴h（x）max=h（e﹣2）=1+e﹣2，∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2，设m（x）=e x﹣（x+1），∴m′（x）=e x﹣1=e x﹣e0，∴x∈（0，+∞）时，m′（x）＞0，m（x）递增，∴m（x）＞m（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，m（x）＞0，即＞1，∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜（1+e﹣2），∴∀x＞0，g（x）＜1+e﹣2．点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，切线的方程，是一道综合题．21．已知函数f（x）=（a+）lnx+﹣x（a＞1）（1）讨论函数f（x）在（0，1）上的单调性；（2）a当≥3时，曲线y=f（x）上总存在相异两点，P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））使得y=f（x）曲线在P、Q处的切线互相平行，求证：x1+x2＞．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数f（x）的导数f′（x），根据f′（x）判定f（x）在（0，1）上的单调性；（2）根据题意，当a≥3时，切线平行，即导数相等，得f′（x1）=f′（x2），化简关于a的目标函数，证出成立．解答：解：（1）∵函数f（x）=（a+）lnx+﹣x（a＞1），定义域为（0+∞），∴f′（x）=﹣﹣1==﹣，令f′（x）=0，解得x=a或x=；∵a＞1，∴0＜＜1，∴当0＜x＜时，f′（x）＜0；当＜x＜1时，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增．（2）由题意得，当a≥3时，f′（x1）=f′（x2），（其中x1，x2＞0且x1≠x2），即﹣﹣1=﹣﹣1，∴=，即a+=；∵x1，x2＞0且x1≠x2，∴，即，整理得；令，∴g（a）在[3，+∞）上单调递减，∴g（a）在[3，+∞）上的最大值为，∴．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的单调性求函数的最值问题，利用导数求曲线的斜率问题，是难题．。
高三数学9月月考试题 理 (2)
2014-2015学年度铜梁一中高三年级9月月考数学卷（理）一、选择题（每小题5分，共50分）1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x R x x =∈-+≤，则()R C A B ⋂（ ） A ． 1[0,]2 B ． [1,0]- C ．1[,1]2 D ．(,1][0,)-∞-⋃+∞2．复数12ii+-在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．曲线34x x y -=在点（－1，－3）处的切线方程是A ．47+=x yB ．27+=x yC ．4-=x yD ．2-=x y 4．下列判断错误．．的是( ) A.“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件B.“3210x x --≤对x R ∈恒成立”的否定是“存在0x R ∈使得320010x x -->”C.若“p q Λ”为假命题,则,p q 均为假命题D.若随机变量ξ服从二项分布:ξ～1(4,)4B ,则1E ξ= 5．123()x x-展开式中的常数项为（ ） A 1320- B 1320 C 220- D 2206．如果把个位数是1,且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有( ) (A)9个 (B)3个 (C)12个 (D)6个7．俊、杰兄弟俩分别在P 、Q 两篮球队效力，P 队、Q 队分别有14和15名球员，且每个队员在各自队中被安排首发上场的机会是均等的，则P 、Q 两队交战时，俊、杰兄弟俩同为首发上场交战的概率是（首发上场各队五名队员）（ ） A ．2101 B ．425 C ．4225D ．418．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( ) A ．(7,5) B ．(5,7) C ．(2,10) D ．(10,1) 9．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足()f x '＞f （x ），则 （ ） A ．f （2）＜2e f （0） B ．f （2）≤2e f （0） C ．f （2）＝2e f （0） D ．f （2）＞2e f （0）10．已知函数21)(3)(23++++=x n m mx x x f 的两个极值点分别为21,x x ，且()+∞∈∈,1),1,0(21x x ，点),(n m P 表示的平面区域为D ，若函数log (4)a y x =+（1a >）的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ） A.(]3,1 B.)3,1( C.),3(+∞ D.[)3,+∞二、填空题（每小题5分，共25分）11．“1x >”是“2x >”的 条件 12．已知函数()sin 2'()3f x x xf π=+，则'()3f π= .13．实数x 满足,sin 1log 3θ+=x 则91-+-x x 的值 ． 14．已知AC 为⊙O 的直径，AC OB ⊥,弦BN 交AC 于点M ，若3=OC ，OM=1,则MN 的长为 ．15．在极坐标系(),ρθ中，过点2,4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程为_______________.三、解答题（16、17、18每小题13分，19、20、21每小题12分，共75分）16．已知函数bx ax x x f ++=23)(在23x =-与1x =处都取得极值． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[-2，2]的最大值与最小值．17．袋中共有10个大小相同的编号为1,2,3的球，其中1号球有1个，2号球有m 个，3号球有n 个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是13． (1)求m ，n 的值；(2)从袋中任意摸出2个球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列．18.为喜迎马年新春佳节，某商场在正月初六进行抽奖促销活动，当日在该店消费满500元的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有 “马”“上”“有”“钱”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“钱”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“马”“上”“有”三个字的球为三等奖． （1）求分别获得一、二、三等奖的概率； （2）设摸球次数为X,求X 的分布列和数学期望．19．已知()()()()nn nx a x a x a a x 11112210-++-+-+=+ （*,2N n n ∈≥），（1）当5=n 时，求54321a a a a a ++++的值； （2）设n n n n b b b T a b +++==- 3232,2，试用数学归纳法证明：当2≥n 时，()()311-+=n n n T n 。
2015年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析
2015年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•重庆）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A．A=B B．A∩B=∅C．A B D．B A2．（5分）（2015•重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0C．1D．63．（5分）（2015•重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．D．234．（5分）（2015•重庆）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）（2015•重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π7．（5分）（2015•重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤8．（5分）（2015•重庆）已知直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴．过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2B．C．6D．9．（5分）（2015•重庆）若tanα=2tan，则=（）A．1B．2C．3D．410．（5分）（2015•重庆）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF 的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C 分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC 的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A （﹣1，0）∪（0，1）B（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C（﹣，0）∪（0，）D（﹣∞，﹣）∪（，+∞）二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．（5分）（2015•重庆）设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）=．12．（5分）（2015•重庆）的展开式中x8的系数是（用数字作答）．13．（5分）（2015•重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．（5分）（2015•重庆）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=．15．（5分）（2015•重庆）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为．16．（2015•重庆）若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（2015•重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．18．（13分）（2015•重庆）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在上的单调性．19．（13分）（2015•重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．（12分）（2015•重庆）设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．21．（12分）（2015•重庆）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．22．（12分）（2015•重庆）在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+λa n+1+μa n2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．答案：1、解：集合A={1，2，3}，B={2，3}，可得A≠B，A∩B={2，3}，B A，所以D正确．故选：D．2、解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，解得a6=0．故选：B．3、解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B4、解：由“（x+2）＜0”得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，故“x＞1”是“（x+2）＜0”的充分不必要条件，故选：B．5、、解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=．故选：A ． 7、解：模拟执行程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8， 因此S=（此时k=6）， 因此可填：S．故选：C ．8、解：圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0，即（x ﹣2）2+（y ﹣1）2 =4，表示以C （2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l ：x+ay ﹣1=0经过圆C 的圆心（2，1），故有2+a ﹣1=0，∴a=﹣1，点A （﹣4，﹣1）． 由于AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6，故选：C ．9、解：tan α=2tan，则=====、解：∵（﹣）⊥（3+2）， ∴（﹣）•（3+2）=0， 即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos ＜，＞===，即＜，＞=，故选：A========3．故答案为：3．10、解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AC得，∴c﹣x=，∵D到直线BC的距离小于a+，∴c﹣x=＜a+，∴＜c2﹣a2=b2，∴0＜＜1，∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．故选：A．11、解：因为复数a+bi（a，b∈R）的模为，所以a2+b2==3，则（a+bi）（a﹣bi）=a2+b2=3；故答案为：3．12、解：由于的展开式的通项公式为T r+1=••，令15﹣=8，求得r=2，故开式中x8的系数是•=，故答案为：．14、解：设CE=2x ，ED=x ，则∵过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ， ∴由切割线定理可得PA 2=PC •PD ，即36=3×（3+3x ）， ∵x=3，由相交弦定理可得9BE=CE •ED ，即9BE=6×3， ∴BE=2．故答案为：2．15、解：直线l 的参数方程为（t 为参数），它的直角坐标方程为：x ﹣y+2=0；曲线C 的极坐标方程为，可得它的直角坐标方程为：x 2﹣y 2=4，x ＜0． 由，可得x=﹣2，y=0，交点坐标为（﹣2，0），它的极坐标为（2，π）． 故答案为：（2，π）．16、解：∵函数f （x ）=|x+1|+2|x ﹣a|，故当a ＜﹣1时，f （x ）=，根据它的最小值为f （a ）=﹣3a+2a ﹣1=5，求得a=﹣6．当a=﹣1时，f （x ）=3|x+1|，它的最小值为0，不满足条件．当a ≥﹣1时，f （x ）=，根据它的最小值为f （a ）=a+1=5，求得a=4． 综上可得，a=﹣6 或a=4， 故答案为：﹣6或4． 17、解：（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，3、解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC 是等腰三角形， AC=2=．故答案为：．则由古典概型的概率公式有P（A）==．（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=个．18解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）=sin2x ﹣sin2x﹣=sin（2x﹣）﹣，故函数的周期为=π，最大值为1﹣．（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，]时，f（x）为增函数；当≤2x﹣≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．19、（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，∴DE⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．20、解：（I）f′（x）==，∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．当a=0时，f（x）=，f′（x）=，∴f（1）=，f′（1）=，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，化为：3x﹣ey=0；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．当x＜x1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；当x1＜x＜x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；当x＞x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得a≥﹣．因此a的取值范围为：．解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，u′（x）=＜0，∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，∴a≥u（3）=﹣．因此a的取值范围为：．21、解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=2++2﹣=4，故a=2，设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c=|F1F2|==2，即c=，从而b==1，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，有|QF1|=4a﹣2|PF1|，又由PQ⊥PF1，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=|PF1|=4a﹣2|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（﹣1）a，由PF2⊥PF1，知2c=|F1F2|=，因此e=====．22、（Ⅰ）解：由λ=0，μ=﹣2，有（n∈N+）．若存在某个n0∈N+，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得a1=0，此与a1=3矛盾，∴对任意n∈N+，a n≠0．从而a n+1=2a n（n∈N+），即{a n}是一个公比q=2的等比数列．故．（Ⅱ）证明：由，数列{a n}的递推关系式变为，变形为：（n∈N）．由上式及a1=3＞0，归纳可得3=a1＞a2＞...＞a n＞a n+1＞ 0∵=，∴对n=1，2，…，k0求和得：=＞．====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====另一方面，由上已证的不等式知，，得=2+．综上，2+＜＜2+．源-于-网-络-收-集。
高三数学9月月考试题 理 (2)
2014-2015学年度铜梁一中高三年级9月月考数学卷（理）一、选择题（每小题5分，共50分）1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x R x x =∈-+≤，则()R C A B ⋂（ ） A ． 1[0,]2 B ． [1,0]- C ．1[,1]2 D ．(,1][0,)-∞-⋃+∞2．复数12ii+-在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．曲线34x x y -=在点（－1，－3）处的切线方程是A ．47+=x yB ．27+=x yC ．4-=x yD ．2-=x y 4．下列判断错误．．的是( ) A.“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件B.“3210x x --≤对x R ∈恒成立”的否定是“存在0x R ∈使得320010x x -->”C.若“p q Λ”为假命题,则,p q 均为假命题D.若随机变量ξ服从二项分布:ξ～1(4,)4B ,则1E ξ= 5．123()x x-展开式中的常数项为（ ） A 1320- B 1320 C 220- D 2206．如果把个位数是1,且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有( ) (A)9个 (B)3个 (C)12个 (D)6个7．俊、杰兄弟俩分别在P 、Q 两篮球队效力，P 队、Q 队分别有14和15名球员，且每个队员在各自队中被安排首发上场的机会是均等的，则P 、Q 两队交战时，俊、杰兄弟俩同为首发上场交战的概率是（首发上场各队五名队员）（ ） A ．2101 B ．425 C ．4225D ．418．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( ) A ．(7,5) B ．(5,7) C ．(2,10) D ．(10,1) 9．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足()f x '＞f （x ），则 （ ） A ．f （2）＜2e f （0） B ．f （2）≤2e f （0） C ．f （2）＝2e f （0） D ．f （2）＞2e f （0）10．已知函数21)(3)(23++++=x n m mx x x f 的两个极值点分别为21,x x ，且()+∞∈∈,1),1,0(21x x ，点),(n m P 表示的平面区域为D ，若函数log (4)a y x =+（1a >）的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ） A.(]3,1 B.)3,1( C.),3(+∞ D.[)3,+∞二、填空题（每小题5分，共25分）11．“1x >”是“2x >”的 条件 12．已知函数()sin 2'()3f x x xf π=+，则'()3f π= .13．实数x 满足,sin 1log 3θ+=x 则91-+-x x 的值 ． 14．已知AC 为⊙O 的直径，AC OB ⊥,弦BN 交AC 于点M ，若3=OC ，OM=1,则MN的长为 ．15．在极坐标系(),ρθ中，过点2,4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程为_______________.三、解答题（16、17、18每小题13分，19、20、21每小题12分，共75分） 16．已知函数bx ax x x f ++=23)(在23x =-与1x =处都取得极值． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[-2，2]的最大值与最小值．17．袋中共有10个大小相同的编号为1,2,3的球，其中1号球有1个，2号球有m 个，3号球有n 个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是13． (1)求m ，n 的值；(2)从袋中任意摸出2个球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列．18.为喜迎马年新春佳节，某商场在正月初六进行抽奖促销活动，当日在该店消费满500元的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有 “马”“上”“有”“钱”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“钱”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“马”“上”“有”三个字的球为三等奖． （1）求分别获得一、二、三等奖的概率；（2）设摸球次数为X,求X 的分布列和数学期望．19．已知()()()()nn nx a x a x a a x 11112210-++-+-+=+ （*,2N n n ∈≥），（1）当5=n 时，求54321a a a a a ++++的值； （2）设n n n n b b b T a b +++==- 3232,2，试用数学归纳法证明：当2≥n 时， ()()311-+=n n n T n 。
高三9月月考(数学)试题含答案
高三9月月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．已知集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}，B ＝{x |x ≤3}，则∁R A ∩B ＝( )A ．(－∞，1)B ．(2，3)C ．(2，3]D ．(－∞，1]∪[2，3]2.（5分）2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足z －2i ＝11－i ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为( )A.132B.262C.102 D.523.（5分）3．已知x 、y 取值如下表：x 0 1 4 5 6 8 y1.3m5.66.17.49.3 从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋1.45，则m ＝( ) A ．1.5 B ．1.55 C ．1.8 D ．3.54.（5分）4已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，－π2<α<π2，则sin 2α的值等于( )A.1225 B ．－1225 C ．－2425 D .24255.（5分） 5．已知互不重合的直线a ，b ，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是( )A ．若a ∥α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥bB ．若α⊥β，a ⊥α，b ⊥β则a ⊥bC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β 6.（5分）6．“a ≤－2”是“函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7.（5分）7．已知O 为△ABC 内一点，且AO →＝12(OB →＋OC →)，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A.14B.13C.12D.238.（5分）8．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为－2，则①中应填( )A ．n <98?B ．n <99?C ．n <100?D ．n <101?9.（5分）9．已知点F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在点P 与点F 2关于直线y ＝bax 对称，则该双曲线的离心率为( )A.2B.52 C ．2 D.5 10.（5分）10．若实数x 、y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2y x ＋2y的最大值为( ) A ．2－2 B ．2＋2 C ．4－22 D ．4＋22 11.（5分）11．曲线y ＝ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A.4－ln 25 B.4＋ln 25 C.4－ln 25D.4＋ln 2512.（5分）12．已知三棱锥P ABC 的棱AP 、AB 、AC 两两垂直，且长度都为3，以顶点P 为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A ．3π B.3π2 C.4π3 D.5π6 二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，若S 3＝a 2＋4a 1，T 5＝243，则a 1的值为____________．14.（5分）14．已知点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，抛物线y 2＝8x 上任意一点P 到直线l ：x ＝－2的距离为d ，则d ＋|PQ |的最小值等于________． 15.（5分）15．“克拉茨猜想”又称“3n ＋1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为________． 16.（5分）16．已知偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，若关于x 的方程f (x )＝|log a |x ||(a >0，a ≠1)在[－2，3]上有5个根，则a 的取值范围是________．三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ，cos 2A －cos 2B ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，且m ∥n .(1)求角B 的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，且A ＝π4，外接圆半径R ＝2，求△ABC 的周长． 18.（12分）18.(本小题满分12分)甲、乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛．双方约定：①比赛采取五场三胜制(先赢三场的队伍获得胜利，比赛结束)；②双方各派出三名队员，前三场每位队员各比赛一场．已知甲俱乐部派出队员A 1、A 2、A 3，其中A 3只参加第三场比赛，另外两名队员A 1、A 2比赛场次未定；乙俱乐部派出队员B 1、B 2、B 3，其中B 1参加第一场与第五场比赛，B 2参加第二场与第四场比赛，B 3只参加第三场比赛．根据以往的比赛情况，甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如下表：(1)12得取胜的概率最大？(2)若A 1参加第一场与第四场比赛，A 2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．19.（12分）19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面四边形ABCD 内接于圆O ，AC 是圆O 的一条直径，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AC ＝2，E 是PC 的中点，∠DAC ＝∠AOB .(1)求证：BE ∥平面P AD ；(2)若二面角P CD A 的正切值为2，求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 20.（12分）20．(本小题满分12分)已知圆E ：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝94经过椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线．直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且MN →＝λOA →(λ≠0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程．21．21.（12分）(本小题满分12分)已知椭圆C 1：x 26＋y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点F 2也为抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点，过点F 2的直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点． (1)若点P (8，0)满足|P A |＝|PB |，求直线l 的方程；(2)T 为直线x ＝－3上任意一点，过点F 1作TF 1的垂线交椭圆C 1于M ，N 两点，求|TF 1||MN |的最小值．22.（12分）已知函数f (x )＝ax －12x 2－b ln(x ＋1)(a >0)，g (x )＝e x －x －1，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处有公共的切线．(1)若x ＝0为函数f (x )的极大值点，求f (x )的单调区间(用a 表示)； (2)若∀x ≥0，g (x )≥f (x )＋12x 2，求a 的取值范围．答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．解析：选D.由集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}＝{x |1＜x ＜2}，则∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥2}，又B ＝{x |x ≤3}，所以∁R A ∩B ＝(－∞，1]∪[2，3]．2.（5分）2．解析：选B.由z －2i ＝11－i ，得z ＝2i ＋11－i ＝2i ＋1＋i （1－i ）（1＋i ）＝12＋52i ，所以复数z 在复平面内的点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，到原点的距离为14＋254＝262.故选B.3.（5分）3．解析：选 C.由题意知x －＝0＋1＋4＋5＋6＋86＝4，y －＝1.3＋m ＋5.6＋6.1＋7.4＋9.36＝29.7＋m6，将⎝⎛⎭⎪⎫4，29.7＋m 6代入y ^＝0.95x ＋1.45中，得29.7＋m 6＝0.95×4＋1.45，解得m ＝1.8. 4.（5分）4．解析：选C.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，所以sin α＝－35，又－π2<α<π2，所以cos α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425，5.（5分）5．解析：选D. A 中，由线面平行的判定和性质得满足条件的直线a ，b 平行，故正确．B 中，满足条件的直线a ，b 垂直，故正确．C 中，由面面垂直的性质可得，交线a 与α垂直，故正确．D 中，直线a 与β可能平行，也可能在β内，故不正确．综上D 不正确．答案D. 6.（5分）解析：选A.结合图象可知函数f (x )＝|x －a |在[a ，＋∞)上单调递增，易知当a ≤－2时，函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增，但反之不一定成立，故选A.7.（5分）7．解析：选B.设线段BC 的中点为M ，则OB →＋OC →＝2OM →，因为2AO →＝OB →＋OC →，所以AO →＝OM →，则AO →＝12AM →＝14(AB →＋AC →)＝14(AB →＋1t AD →)＝14AB →＋14t AD →，由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.故选B.8.（5分）8．解析：选B.由题意知，该程序框图的功能是计算S ＝lg 12＋lg 23＋…＋lgnn ＋1＝－lg(n ＋1)，当n ＝98时，S ＝－lg 99>－2；当n ＝99时，S ＝－lg 100＝－2，跳出循环，故①中应填n <99?故选B.9.（5分）解析：选D.如图所示，点P 与点F 2关于直线y ＝ba x 对称，所以|OP |＝|OF 2|＝|OF 1|＝c ，所以PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝ba ，又|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝2b ，|PF 1|＝2a ，又因为点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，即2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，故e ＝ca＝ 5.10.（5分）10．解析：选C. x x ＋y ＋2yx ＋2y ＝x （x ＋2y ）＋2y （x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋2y ）＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x ≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当x y ＝2y x ，即x 2＝2y 2时取等号． 11.（5分）11．解析：选D.因为直线2x －y ＋3＝0的斜率为2，所以令y ′＝1x ＝2，解得x ＝12，把x ＝12代入曲线方程得y ＝－ln 2，即曲线在点⎝⎛⎭⎫12，－ln 2处的切线斜率为2，⎝⎛⎭⎫12，－ln 2到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|1＋ln 2＋3|22＋（－1）2＝4＋ln 25，故曲线y ＝ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是4＋ln 25.12.（5分）12．解析：选B.如图所示，Rt △P AC ，Rt △P AB 为等腰直角三角形，且AP ＝AB ＝AC ＝ 3.以顶点P 为球心，以2为半径作一个球与Rt △P AC 的PC ，AC 分别交于点M ，N ，得cos ∠APN ＝32，所以∠APN ＝π6，所以∠NPM ＝π12，所以MN ︵＝π12×2＝π6，同理GH ︵＝π6，HN ︵＝π2×1＝π2，又GM ︵是以顶点P 为圆心，以2为半径的圆的周长的16，所以GM ︵＝2π×26＝2π3， 所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段孤长之和等于π6＋π6＋π2＋2π3＝9π6＝3π2.故选B.二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）解析：由已知，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋4a 1，则a 3＝3a 1，所以q 2＝3.又T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝243，所以a 3＝a 1q 2＝3，a 1＝1.故答案为1.14.（5分）解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，故直线l ：x ＝－2为抛物线的准线，由抛物线的定义可知，d ＝|PF |.圆C 的方程可变形为(x ＋1)2＋(y －4)2＝4，圆心为C (－1，4)，半径r ＝2.如图所示，d ＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |.显然，|PF |＋|PQ |≥|FQ |(当且仅当F ，P ，Q 三点共线，且点P 在点F ，Q 之间时取等号)．而|FQ |为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离，显然当Q 处在Q ′的位置，P 处在P ′的位置时，|FQ |取得最小值，且最小值为|CF |－r ＝（－1－2）2＋（4－0）2－2＝ 5－2＝3.答案：315.（5分）15．解析：如果正整数m 按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算后得到的一定是2；经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1；经过2次运算后得到的是16；经过1次运算后得到的是5或32；所以开始时的数为10或64.所以正整数m 的值为10或64.故答案为1,8,10或64.16.（5分）解析：由f (x －1)＝f (x ＋1)得函数f (x )的最小正周期T ＝2，根据函数的奇偶性、周期性画出函数f (x )在[－2，3]上的图象，然后再画函数g (x )＝|log a |x ||的图象，如图所示，使它们有5个交点即可，当a >1时，只要保证log a 3≤1即可，解得a ≥3，当0<a <1时，只要保证－log a 3≤1即可，即log a 3≥－1，解得0<a ≤13， 综上a ∈⎝⎛⎦⎤0，13∪[)3，＋∞.三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．解：(1)由m ∥n ，得cos 2A －cos 2B ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，即2sin 2B －2sin 2A ＝2⎝⎛⎭⎫34cos 2A －14sin 2A ，化简得sin B ＝32，故B ＝π3或2π3.(2) 易知B ＝π3，则由A ＝π4，得C ＝π－(A ＋B )＝5π12.由正弦定理a sin A ＝bsin B ＝csin C ＝2R ， 得a ＝4sin π4＝22，b ＝4sin π3＝23，c ＝4sin 5π12＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝4×⎝⎛⎭⎪⎫22×32＋12×22＝6＋2， 所以△ABC 的周长为6＋23＋3 2.18.（12分）18.解：(1)设A 1、A 2分别参加第一场、第二场，则P 1＝56×23×23＝1027，设A 2、A 1分别参加第一场、第二场，则P 2＝34×23×23＝13，所以P 1>P 2， 所以甲俱乐部安排A 1参加第一场，A 2参加第二场，则甲俱乐部以3∶0取胜的概率最大．(2)比赛场数X 的所有可能取值为3、4、5， P (X ＝3)＝56×23×23＋16×13×13＝718，P (X ＝4)＝56C 12×23×13×23＋16×⎝⎛⎭⎫233＋16C 12×13×23×13＋56×⎝⎛⎭⎫133＝1954，P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝727， 所以X 的分布列为X 3 4 5 P7181954727所以E (X )＝3×718＋4×1954＋5×727＝20954.19.（12分）19．解：(1)证明：因为∠DAC ＝∠AOB ，所以AD ∥OB .因为E 为PC 的中点，O 为圆心，连接OE ，所以OE ∥P A ，又OB ∩OE ＝O ，P A ∩AD ＝A ，所以平面P AD ∥平面EOB ， 因为BE ⊂平面EOB ，所以BE ∥平面P AD .(2)因为四边形ABCD 内接于圆O 且AC 为直径，所以AD ⊥CD ，又P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，所以CD ⊥PD ，所以∠PDA 是二面角P CD A 的平面角，因为tan ∠PDA ＝2，P A ＝2，所以AD ＝1， 如图，以D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，过点D 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系D xyz .P A ＝AC ＝2，AD ＝1，延长BO 交CD 于点F ，因为BO ∥AD ，所以BF ⊥CD ，又因为BF ＝BO ＋OF ，所以BF ＝1＋12＝32，又CD ＝3，所以DF ＝32，所以P (1，0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0， C (0，3，0)，设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，因为⎩⎪⎨⎪⎧n ·CP →＝0，n ·DC →＝0.所以⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·（1，－3，2）＝0，（x ，y ，z ）·（0，3，0）＝0，即⎩⎨⎧x －3y ＋2z ＝0，3y ＝0.令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0.所以n ＝(－2，0，1)是平面PCD 的一个法向量，又PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，－2，所以|cos 〈PB →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·n |PB →||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋0－25×5＝35， 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为35.20.（12分）20．解：(1)因为F 1，E ，A 三点共线，所以F 1A 为圆E 的直径，所以AF 2⊥F 1F 2.由x 2＋⎝⎛⎭⎫0－122＝94，得x ＝±2，所以c ＝2，|AF 2|2＝|AF 1|2－|F 1F 2|2＝9－8＝1，2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，所以a ＝2.因为a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题知，点A 的坐标为(2，1)，因为MN →＝λOA →(λ≠0)，所以直线的斜率为22， 故设直线l 的方程为y ＝22x ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x ＋m x 24＋y22＝1得，x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2－2，Δ＝2m 2－4m 2＋8>0，所以－2<m <2.又|MN |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12－3m 2，点A 到直线l的距离d ＝6|m |3， 所以S △AMN ＝12 |MN |·d ＝1212－3m 2×63 |m |＝22（4－m 2）m 2≤22×4－m 2＋m 22＝2，当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝±2时等号成立，此时直线l 的方程为y ＝22x ± 2. 21.（12分）21．解：(1)由抛物线C 2：y 2＝8x 得F 2(2，0)，当直线l 的斜率不存在，即l ：x ＝2时，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k （x －2）得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k .设AB 的中点为G ，则G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k2，4k ，因为|P A |＝|PB |，所以PG ⊥l ，k PG ·k ＝－1，所以4k －02k 2＋4k 2－8·k ＝－1， 解得k ＝±2，则y ＝±2(x －2)，所以直线l 的方程为y ＝±2(x －2)或x ＝2.(2)因为F 2(2，0)，所以F 1(－2，0)，b 2＝6－4＝2，所以椭圆C 1：x 26＋y 22＝1.设点T 的坐标为(－3，m )，则直线TF 1的斜率kTF 1＝m －0－3＋2＝－m ，当m ≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝1m ， 直线MN 的方程是x ＝my －2，当m ＝0时，直线MN 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式，所以直线MN 的方程是x ＝my －2.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1x ＝my －2，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，所以y 3＋y 4＝4m m 2＋3，y 3y 4＝－2m 2＋3 .|TF 1|＝m 2＋1，|MN |＝（x 3－x 4）2＋（y 3－y 4）2 ＝（m 2＋1）[（y 3＋y 4）2－4y 3y 4]＝24（m 2＋1）m 2＋3 .所以|TF 1||MN |＝124×（m 2＋3）2m 2＋1＝124⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥33，当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF 1||MN |取得最小值33.22.（12分）22.解：(1)由题意知，f (x )的定义域为x ∈(－1，＋∞)，且f ′(x )＝a －x －b x ＋1，g ′(x )＝e x －1， 因为曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处有公共的切线，故f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝b ，所以f (x )＝ax －12 x 2－a ln(x ＋1)，f ′(x )＝a －x －a x ＋1＝－x 2＋（a －1）x x ＋1＝－x [x －（a －1）]x ＋1， 当a ＝1时，f ′(x )≤0，函数f (x )在定义域上是减函数，故不满足题意；当a ≠1时，因为x ＝0为函数f (x )的极大值点，故由y ＝－x 2＋(a －1)x 的图象可知a －1<0，由f ′(x )<0得x ∈(－1，a －1)∪(0，＋∞)，由f ′(x )>0得x ∈(a －1，0)，所以函数f (x )的单调递增区间为(a －1，0)，单调递减区间为(－1，a －1)，(0，＋∞)．(2)因为g ′(x )＝e x －1，且当－1<x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0，故当x ＝0时，g (x )取得最小值0，所以g (x )≥0，即e x ≥x ＋1，从而x ≥ln(x ＋1)．设F (x )＝g (x )－f (x )－12x 2＝e x ＋a ln(x＋1)－(a ＋1)x －1，则F ′(x )＝e x ＋a x ＋1－(a ＋1)， ①当a ＝1时，因为x ≥0，所以F ′(x )≥x ＋1＋a x ＋1－(a ＋1)＝x ＋1＋1x ＋1－2≥0，所以F (x )在[0，＋∞)上单调递增，从而F (x )≥F (0)＝0，即e x ＋ln(x ＋1)－2x －1≥0，所以g (x )≥f (x )＋12x 2.②当0<a <1时，由①知e x ＋ln(x ＋1)－2x －1≥0，所以g (x )＝e x －x －1≥x －ln(x ＋1)≥a [x －ln(x ＋1)]，故F (x )≥0，即g (x )≥f (x )＋12x 2.③当a >1时，令h (x )＝e x ＋a x ＋1－(a ＋1)，则h ′(x )＝e x －a （x ＋1）2. 显然h ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，又h ′(0)＝1－a <0，h ′(a －1)＝e a －1－1>0，所以h ′(x )在(0，a －1)上存在唯一零点x 0，当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )<0，所以h (x )在(0，x 0)上单调递减，从而h (x )<h (0)＝0，即F ′(x )<0，所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，从而当x ∈(0，x 0)时，F (x )<F (0)＝0，即g (x )<f (x )＋12x 2，不符合题意．综上，实数a 的取值范围为(0，1]．。
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重庆市两江中学2015高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2=1}，集合N={x|ax=1}，若N⊂M，a的值是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0，1或﹣1考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：化简M，再根据N⊂M，分情况对参数的取值进行讨论，求出参数的取值集合．解答：解：∵M={x|x2=1}={1，﹣1}，N={x|ax=1}，N⊂M，∴当N是空集时，有a=0显然成立；当N={1}时，有a=1，符合题意；当N={﹣1}时，有a=﹣1，符合题意；故满足条件的a的取值集合为{1，﹣1，0}故选：D．点评：本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是根据包含关系的定义对集合M 的情况进行正确分类，本题求解中有一易错点，就是忘记讨论N是空集的情况，分类讨论时一定注意不要漏掉情况．2．下列命题错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C．对命题P：存在x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：任意x∈R，均有x2+x+1≥0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件考点：特称命题；命题的否定．专题：计算题．分析：利用命题与逆否命题的关系判断A的正误；复合命题的真假判断B的正误；命题的否定判断C的正误；充分必要条件判断D的正误．解答：解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，满足命题与逆否命题的关系；若p∧q为假命题，则p，q均为假命题，由复合命题的真假判断可知p∧q中，p、q一假即假；对命题P：存在x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：任意x∈R，均有x2+x+1≥0；满足特称命题与全称命题的否定关系，正确；“x＞2”可以说明“x2﹣3x+2＞0”，反之不成立，所以是充分不必要条件正确；故选B．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题，充要条件的应用，基本知识的灵活运用．3．已知集合A={（x，y）|y=x2，x∈R}，B={（x，y）|y=x，x∈R}，则集合A∩B中的元素个数为（）A．0个B．1个C．2个D．无穷多个考点：二次函数的图象．专题：计算题．分析：联立两个集合中的方程，再解方程得到方程的解即得到两个集合交集的元素，进而得到答案．解答：解：由题意可得联立方程可得：y=x2并且y=x，解得：x=0，y=0或者x=1，y=1，所以A∩B={（x，y）|x=0，y=0或者x=1，y=1}，所以集合A∩B中的元素个数为2．故选C．点评：解决两个集合的基本运算，关键是准确的对集合进行化简或者联立方程组解方程组．4．若，则f（﹣1）的值为（）A．1 B．2C．3D．4考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．专题：计算题；分类法．分析：根据题意，﹣1∈（﹣∞，6），代入f（x）=f（x+3），求得f（﹣1）=f（2）=f（5）=f （8），8＞6，由此f（﹣1）的值求出．解答：解：当x＜6时，f（x）=f（x+3），则f（﹣1）=f（2）=f（5）=f（8）当x≥6时，f（x）=log2x，所以，f（﹣1）=f（8）=log28=3故选C．点评：本题考查分段函数求值，对于分段函数求值问题关键是找准不同范围的自变量对应着不同的函数解析式．代入相应的解析式求值，5．函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）．．．．考点：指数函数的图像与性质．专题：图表型；数形结合．分析：先根据x与零的关系对解析式进行化简，并用分段函数表示，根据a的范围和指数函数的图形选出答案．解答：解：因，且0＜a＜1，故选D．点评：本题考查函数的图象，函数是高中数学的主干知识，是高考的重点和热点，在高考中占整个试卷的左右．复习时，要立足课本，务实基础（特别是函数的图象与性质等）．6．实数的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a考点：对数值大小的比较．专题：计算题．分析：根据指数函数的特殊点（0，1）与对数函数的特殊点（1，0）即可作出判断．解答：解：∵0＜＜0.30=1，0.3＜1=0，＞=1．∴b＜a＜c故选C．点评：本题主要考查指数函数与对数函数的特殊点，但需具备函数的思想才能把形如这样的实数转化为它们的特殊点解决．7．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；压轴题．分析：由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．解答：解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．点评：本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．8．设函数f（x）=ln（x﹣1）（2﹣x）的定义域是A，函数的定义域是B，若A⊆B，则正数a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．D．考点：函数的定义域及其求法；集合的包含关系判断及应用．专题：常规题型．分析：先求出集合A来，再由函数g（x）定义域B且A⊆B，得到函数g（x）集合A上恒成立上求解．解答：解：∵（x﹣1）（2﹣x）＞0∴1＜x＜2∴A=（1，2）∵函数的定义域是B且A⊆B∴∴可转化为a x＞2x+1，x∈（1，2）恒成立∴易知y=在（1，2）上单调递减，所以y＜lg3所以lga≥lg3所以a≥3故选B点评：本题主要通过定义域问题来考查不等式恒成立问题，在解决时一般要经过多步转化，进而求函数的最值来解决．9．函数y=f（x）的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式f（x）＜f（﹣x）+2x的解集为（）A．B．C．D．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：根据图象得知是奇函数，据此将“不等式f（x）＜f（﹣x）+2x”转化为“f（x）＜x”，再令y=f（x），y=x，利用图象求解．解答：解：如图所示：函数是奇函数∴不等式f（x）＜f（﹣x）+2x可转化为：f（x）＜x，令y=f（x），y=x如图所示：故选A．点评：本题主要考查利用函数图象的相对位置关系来解不等式，关键是转化为特定的基本函数，能画其图象．10．已知定义在R上的函数f（x），满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣3）=f（x），当x∈（0，）时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5C．7D．9考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0，先求出当x∈（0，）时的零点个数，然后利用周期性和奇偶性判断f（x）在区间[0，6]上的零点个数即可．解答：解：∵f（﹣x）=﹣f（x），∴函数为奇函数，∴在[0，6]上必有f（0）=0．当x∈（0，）时，由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0得x2﹣x+1=1，即x2﹣x=0．解得x=1．∵f（x﹣3）=f（x），∴函数是周期为3的奇函数，∴f（0）=f（3）=f（6）=0，此时有3个零点0，3，6．又f（1）=f（4）=f（﹣1）=f（2）=f（5）=0，此时有1，2，4，5四个零点．当x=时，f（）=f（﹣3）=f（﹣）=﹣f（），∴f（）=0，即f（）=f（+3）=f（）=0，此时有两个零点，．∴共有9个零点．故选D．点评：本题主要考查函数零点的判断，利用函数的周期性和奇偶性，分别判断零点个数即可，综合性较强．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．若f（x）=ln（x2﹣2（1﹣a）x+24）在（﹣∞，4]上是减函数，求a的范围（﹣4，﹣3]．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，函数f（x）在（﹣∞，4]上是减函数，须考虑两个方面：一是结合二次函数x2﹣2（1﹣a）x+24的单调性；二是对数的真数要是正数．解答：解：函数f（x）在（﹣∞，4]上是减函数，所以应有，解得﹣4＜a≤﹣3，∴实数a的取值范围是（﹣4，﹣3]．故答案：（﹣4，﹣3]．点评：本题结合对数函数的单调性，考查复合函数的单调性的求解，还考查了二次函数在区间上单调，但不要忽略了函数的定义域，属于基础题．12．已知函数f（x）的定义域为[3，4]，则f（log2x+2）的定义域为[2，4]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据复合函数定义域之间的关系即可得到结论．解答：解：∵函数y=f（x）的定义域为[3，4]，∴由3≤log2x+2≤4得1≤log2x≤2，即2≤x≤4故函数的定义域为[2，4]，故答案为：[2，4]点评：本题主要考查函数的定义域的求解，根据复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键．13．函数g（x）的图象与f（x）=3x+1﹣2关于点（1，2）对称，则g（x）的解析式为g （x）=﹣3﹣x+3+6．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，图象对称实质是点对称，即若点A（x，y）在函数g（x）的图象上，则点B （2﹣x，4﹣y）在f（x）=3x+1﹣2的图象上，从而求解．解答：解：设点A（x，y）在函数g（x）的图象上，则由题意可知，点B（2﹣x，4﹣y）在f（x）=3x+1﹣2的图象上，则4﹣y=32﹣x+1﹣2=3﹣x+3﹣2，则y=﹣3﹣x+3+6，故答案为：g（x）=﹣3﹣x+3+6．点评：本题考查了函数解析式的求法，用到了图象的对称，属于基础题．14．已知f（x）=，则f（2011）=．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数的性质求解．解答：解：∵f（x）=，∴f（2011）=f（1005）﹣f（﹣1）=f（0）﹣=1﹣=．故答案为：．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15．定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，下面关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于直线x=2对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（4）=f（0）．其中正确的判断的序号是①④．考点：函数的周期性；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：运用函数的性质的定义式判断求解，多次运用数学式子恒等变形．解答：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），即：f（x）是周期函数，周期为2，f（4）=f（0），∵f（x+1）=f（﹣x+1）=﹣f（x），f（x+1）=f（﹣x+1），∴对称轴为x=1，∵在[﹣1，0]上是增函数，∴f（x）在[0，1]减函数，在[1，2]上是增函数，故答案为：①④点评：本题综合考查了抽象函数的性质，函数性质的式子的综合变形能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）（1）已知R为全集，A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|﹣2＜x≤3}，求（C R A）∩B；（2）设集合A={a2，a+2，﹣3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}，若A∩B={﹣3}，求A∪B．考点：交、并、补集的混合运算；并集及其运算．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）先求出C R A，再求出（C R A）∩B；（2）确定出﹣3∈B，分类求出a，并检验，与集合中元素的互异性相符合．解答：解：（1）C R A={x|x＜﹣1或x≥3}，B={x|﹣2＜x≤3}，∴（C R A）∩B={x|﹣2＜x＜﹣1或x=3}；（2）由已知得﹣3∈B∴若a﹣3=﹣3 则a=0，此时A={0，2，﹣3} B={﹣3，﹣1，1}，A∪B={﹣3，﹣1，0，1，2}，若2a﹣1=﹣3，a=﹣1，此时A中a2=a+2=1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去．又a2+1≥1≠﹣3，综上所述A∪B={﹣3，﹣1，0，1，2}点评：本题考查集合的基本运算，借助于数轴增加直观．遇到含参数问题，必须进行检验．17．（13分）定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x），已知当x∈[﹣1，0]时的解析式（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．考点：奇函数；函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：（1）由函数f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，其图象经过坐标原点，则根据x∈[﹣1，0]时的解析式，构造关于a的方程，再结合奇函数的性质，求出函数f（x）在[0，1]上的解析式．（2）根据（1）中函数的解析式，我们用换元法可将函数的解析式，转化为一个二次函数的形式，我们分析出函数的单调性，进而求出f（x）在[0，1]上的最大值．解答：解：（1）∵函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，又∵∴=1﹣a=0解得a=1即当x∈[﹣1，0]时的解析式当x∈[0，1]时，﹣x∈[﹣1，0]∴=4x﹣2x=﹣f（x）∴f（x）=2x﹣4x（x∈[0，1]）（2）由（1）得当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣4x令t=2x（t∈[1，2]）则2x﹣4x=t﹣t2，令y=t﹣t2（t∈[1，2]）则易得当t=1时，y有最大值0f（x）在[0，1]上的最大值为0点评：本题的知识点是奇函数，函数的最值及其几何意义，其中根据定义在[﹣1，1]上的奇函数，其图象经过坐标原点，从而构造方程法度出参数a的值，进而求出函数的解析式，是解答本题的关键．18．（13分）已知函数f（x）=lg[（a2﹣1）x2+（a+1）x+1]，设命题p：“f（x）的定义域为R”；命题q：“f（x）的值域是R”．（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；（2）若命题p为假，命题q为真时，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：（1）命题p为真，即f（x）的定义域为R，即（a2﹣1）x2+（a+1）x+1＞0的解集为R，所以讨论a2﹣1=0，和a2﹣1≠0．a2﹣1=0时，容易得到a=﹣1时满足不等式解集为R，当a2﹣1≠0时，要使不等式的解集为R，则，解该不等式并合并a=﹣1，便可得到a的取值范围；（2）先求命题q为真时a的取值范围，要使f（x）的值域为R，则可设函数y=（a2﹣1）x2+（a+1）x+1的值域为B，则有（0，+∞）⊆B，对于a2﹣1=0的情况，容易判断a=﹣1满足（0，+∞）⊆B，而a2﹣1≠0时，需满足，求出该不等式的解合并a=﹣1即得a的取值范围．解答：解：（1）f（x）的定义域为R，则（a2﹣1）x2+（a+1）x+1＞0的解集为R；∴若a2﹣1=0，a=±1，a=1时2x+1＞0，该不等式的解集不为R，即a≠1；a=﹣1时，1＞0，该不等式解集为R；若a2﹣1≠0，则，解得a＜﹣1，或a＞；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪；（2）若f（x）的值域是R，则设y=（a2﹣1）x2+（a+1）x+1的值域为B，则（0，+∞）⊆B；若a2﹣1=0，a=±1，a=1时，y=2x+1，该函数的值域为R，满足（0，+∞）⊆R，a=﹣1时，y=1显然不满足（0，+∞）⊆B，即a≠﹣1；若a2﹣1≠0，即a≠±1，要使（0，+∞）⊆B，则，解得；∴；∴实数a的取值范围是：．点评：考查一元二次不等式的解和判别式△的关系，二次函数值域的情况和判别式的关系，以及子集的概念．19．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间．考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣2处取得极值，所以f′（﹣2）=0，又因为函数与直线在点（1，0 ）处相切，所以f′（1）=﹣3，代入求得两个关于a与b的二元一次方程，求出解集得到a和b，又因为函数过点（1，0），代入求出c的值即可．（2）由（1）求出的值可得导函数的解析式，分别令其大于、小于0可求增、减区间．解答：解：（1）∵f′（x）=3x2+2ax+b，∴f′（﹣2）=3×（﹣2）2+2a×（﹣2）+b=0∴12﹣4a+b=0 ①又f′（1）=3+2a+b=﹣3 ②，由①②解得a=1，b=﹣8又f（x）过点（1，0），∴13+a×12+b×1+c=0，∴c=6所以f（x）的解析式为：f（x）=x3+x2﹣8x+6（2）由（1）知：f（x）=x3+x2﹣8x+6，所以f′（x）=3x2+2x﹣8令3x2+2x﹣8＜0解得，令3x2+2x﹣8＞0解得x＜﹣2，或故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（，+∞），f（x）的单调递减区间为（﹣2，）点评：考本题查学生利用导数研究函数极值的能力，及会求二元一次方程组解集和一元二次不等式解集的能力，属中档题．20．（12分）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣2x的解集为（1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．考点：函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义；一元二次不等式的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x）＞﹣2x变形为f（x）+2x ＞0因为它的解集为（1，3），则可设f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3）且a＜0，解出f（x）；又因为方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用根的判别式解出a的值得出f（x）即可；（Ⅱ）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式当x=时，最大值为=．和a＜0联立组成不等式组，求出解集即可．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3），且a＜0．因而f（x）=a（x﹣1）（x﹣3）﹣2x=ax2﹣（2+4a）x+3a．①由方程f（x）+6a=0得ax2﹣（2+4a）x+9a=0．②因为方程②有两个相等的根，所以△=[﹣（2+4a）]2﹣4a•9a=0，即5a2﹣4a﹣1=0．解得a=1或a=﹣．由于a＜0，a=﹣，舍去，故a=1．将a=﹣代入①得f（x）的解析式．（Ⅱ）由及a＜0，可得f（x）的最大值为．就由解得a＜﹣2﹣或﹣2+＜a＜0．故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是．点评：考查学生函数与方程的综合运用能力．21．（12分）设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；（2）当x＞1时，f（x）＜0；（3）f（3）=﹣1，（Ⅰ）求f（1）、的值；（Ⅱ）如果不等式f（x）+f（2﹣x）＜2成立，求x的取值范围．（Ⅲ）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2﹣x）＜2有解，求正数k的取值范围．考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；综合题；新定义；转化思想．分析：（I）对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，x=y=3，即可求得f（1）、的值；且当x＞1时，f（x）＜0，根据函数单调性的定义讨论函数的单调性．（II）f（x）+f（2﹣x）=f[x（2﹣x）]，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，解不等式即可求得结果．（III）把f（kx）+f（2﹣x）根据条件转化为f[kx（2﹣x）]，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式有解，分离参数转化我求函数的最值问题．解答：解：（I）令x=y=1易得f（1）=0．而f（9）=f（3）+f（3）=﹣1﹣1=﹣2 且，得．（II）设0＜x1＜x2＜+∞，由条件（1）可得，因，由（2）知，所以f（x2）＜f（x1），即f（x）在R+上是递减的函数．由条件（1）及（I）的结果得：其中0＜x＜2，由函数f（x）在R+上的递减性，可得：，由此解得x的范围是．（III）同上理，不等式f（kx）+f（2﹣x）＜2可化为且0＜x＜2，得，此不等式有解，等价于，在0＜x＜2的范围内，易知x（2﹣x）max=1，故即为所求范围．点评：考查利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题，对于解决抽象函数的一般采用赋值法，求某些点的函数值和证明不等式等，体现了转化的思想，（Ⅲ）不等式f（kx）+f（2﹣x）＜2有解，采取分离参数的方法，转化为函数的最值问题，加大了试题的难度，属中档题．。