矩阵理论知识点整理资料

三、矩阵的若方标准型及分解

λ-矩阵及其标准型定理1

λ-矩阵()λ

A可逆的充分必要条件是行列式()λ

A是非零常数

引理2 λ-矩阵()λ

A=()

()

n

m

ij⨯

λ

a的左上角元素()λ

11

a不为0，并且()λ

A中至少有一个元素不

能被它整除，那么一定可以找到一个与()λ

A等价的()()

()

n

m

ij⨯

=λ

λb

B使得()0

b

11

≠

λ且

()λ

11

b的次数小于()λ

11

a的次数。

引理3

任何非零的λ-矩阵()λ

A=()

()

n

m

ij⨯

λ

a等价于对角阵

()

()

()

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

...

.....

d

2

1

λ

λ

λ

r

d

d

()()()λ

λ

λ

r

2

1

d

,....

d,

d是首项系数为1的多项式，且

()()1

......

3,2,,1

,

/

d

1

-

=

+

r

i

d

i

i

λ

λ

引理4 等价的λ-矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子

推论5 λ-矩阵的施密斯标准型是唯一的由施密斯标准型可以得到行列式因子推论6 两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的行列式因子，或者相同的不变因子

推论7

λ-矩阵()λ

A可逆，当且仅当它可以表示为初等矩阵的乘积

推论8

两个()()λ

λ

λB

A

m与

矩阵

的-

⨯n等价当且仅当存在一个m阶的可逆λ-矩阵()λ

P和

一个n阶的λ-矩阵()λ

Q使得()()()()λ

λ

λ

λQ

A

P

=

B

推论9 两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩

定理10

设λ-矩阵()λA 等价于对角型λ-矩阵()()

()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=λλλλn h h .

.

.

..21h B ，若将()λB 的次数大于1的对角线元素分解为不同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同

的按照重复的次数计算）就是()λA 的全部初等因子。

行列式因子

不变因子

初等因子

初等因子被不变因子唯一确定但，只要λ-矩阵()λA 化为对角阵，再将次数大于等于1的对角线元素分解为不同的一次方幂的乘积，则

所有这些一次因式的方幂（相同的必须重复计算）就为()λA 的全部初等因子，即不必事先知道不变因子，可以直接求得初等因子。

矩阵的若当

标准型 定理1

两个n ⨯m 阶数字矩阵A 和B 相似，当且仅当它们的特征矩阵B -E A -E λλ与等价

N 阶数字矩阵的特征矩阵A -E λ的秩一定是n 因此它的不变因子有n 个，且乘积是A 的特征多项式 推论3 两个同阶矩阵相似，当且仅当它们有相同的行列式因子，或相同的不变因子，或相同的初等因子。

定理4

每个n 阶复矩阵A 都与一个若当标准型矩阵相似，这个若当标准型矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A 唯一确定的。 求解若当标准型及可逆矩阵Ｐ：根据数字矩阵写出特征矩阵，化为对角阵后，得出初等因子，

根据初等因子，写出若当标准型Ｊ，设Ｐ（Ｘ１Ｘ２Ｘ３），然后根据

J

X X X X X X A PJ AP J AP P 321321-1），，（），，（，即得到===得到

P （X1X2X3）方阵

矩阵的最小

多项式 定理1 矩阵A 的最小多项式整除A 的任何零化多项式，且最小多项式唯一。

N 阶数字矩阵可以相似对角化，当且仅当最小多项式无重根。

定理2

矩阵A 的最小多项式的根一定是A 的特征值，反之，矩阵Ａ的特征值一定是最小多项式的根。

求最小多项式：根据数字矩阵写出特征多项式()A E f -=λλ，

根据特征多项式得到最小多

项式的形式，然后根据

()()0E -A E -A E -A r 21=⋯⋯λλλ）

（确定最小多项式。

矩阵的若干

分解

分解QR

设Ａ为ｎ阶复矩阵，则存在酉矩阵Ｑ和上三角阵Ｒ使得Ａ＝ＱＲ

方法：根据数字矩阵()321A ααα=列出

321ααα，正交化单位化后，得到321εεε，即

()321Q εεε=根据A Q R QR A 1-==得得R 。

奇异值分解

设Ａ是n ⨯m 阶复矩阵，0d d d d r 321≥⋯⋯≥≥是Ａ的所有的非零奇异值，则存在ｍ阶酉矩阵Ｐ、ｎ阶酉矩阵Ｑ，使得[]0

D 0H AQ P =

其中，[

]

r d ...D 1

d =是对角阵，等式

[]

H

00D 0Q P A =是Ａ的奇异值分解

对于一个n ⨯m 阶复矩阵Ａ来说，ｎ阶方阵

A A H 是半正定的，及特征值是全部大于或者

等于０，这些特征值的平方根便是Ａ的奇异值。

求Ａ的奇异值分解：根据数字矩阵Ａ得到A A B H

=，根据特征矩阵得到特征值，

n 1r r 21λλλλλ⋯⋯⋯⋯+，并计算出每个特征值对应的特征向量，

()

[

]

）

（构造和然后根据）（正交化后，，2121H

21-110

2112r 2111r 21n 1r r 21n

1r r 21P P P P 1P 0P P D AQ P D Q ...)..,(...,..,=====

=⋯⋯=⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯++++λ

λεεεεεεεεεεαααααλλλλλQ Q Q Q n r n r 则[]H

D 0Q

P

A =