高阶滑模变结构控制

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8.4 二阶滑模控制
• (2) 二阶滑模是指，二阶滑动集
0 非空，且假设它是Filippov意 ss 义下的局部积分集，那么，满足式 s s 0的相关运动称为关于滑模
面 的二阶滑模。 考虑下列形式的单输入动态系统：
• • •
a (t , x) b(t , x)u , s s (t , x) x
s 0 u
s s 0, 0 u u
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8.4 二阶滑模控制
• • （5）相对阶 r = 1时 可以采用传统滑模（一阶滑模）控制的方法来解决的问题。然而，若采 用二阶滑模控制则可以抑制抖振，此时，将控制输入u 的导数u 被看作新 的控制变量。设计不连续的控制u 使得滑模变量s趋于零，并保持二阶滑 动模态，即 s = s= 0，而控制输入u 是通过对u 的积分得到的，故是连续的， 从而抑制了系统的抖振。
3
8.3 高阶滑模定义
• （1）滑动阶r 是指滑模变量s的连续全导数（包含零阶）在滑模面 s =0上 为 0 的数目。滑动阶刻画了系统被约束在滑模面 s = 0上的运动动态平滑 度。根据上述定义可知：传统滑模的滑动阶为 1，因为在滑模面上 s = 0， 而s’ 则是不连续的，因此传统滑模又被称为一阶滑模。 （2）关于滑模面 s (t , x ) = 0的 r 阶滑动集由下述等式描述
(t ) ，二阶滑模控制问题可以转化为下述非线性 令 y1 (t ) s (t ), y2 (t ) s
系统的有限时间镇定问题
1 (t ) y2 (t ) y 2 (t ) (t , x) (t , x)v(t ) y s (t , x) y1 (t )
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8.4 二阶滑模控制
• • （5）相对阶 r = 1时 滑模变量s的一阶导数为
s s (ae ( xe ) be ( xe )u ) Lae s Lbe su xe
•
s ae ( xe ) 称为s关于ae或沿ae的 Lie 导数。 其中 La s e xe
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8.4 二阶滑模控制
5
6
8.3 高阶滑模定义
• （5）在实现高阶滑模控制时，所面临的一个主要问题就是所需的信息增 加了。一般来说，滑模面 s = 0上的r 阶滑模控制器的设计，需要用到
, s, s s , , s ( r 1)
要s的信息）。 •
的信息（已知仅有二阶滑模 Super-Twisting 算法只需
8.5 常见的二阶滑模控制算法
带预定义收敛率算法
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21
8.6 任意阶滑模控制器
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23
24
定理
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•
简化为
(t ) s (t , x, u ) (t , x)u
2 2 s |u 0 (t , x, u ) L2 s L L su L L su L su ae be be ae ae be s (t , x) Lbe s 0 u
•Байду номын сангаас•
ss s s ( r 1) 0
上式构成了动态系统状态的 r 维约束条件。
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8.3 高阶滑模定义
• • （3）1996 年，Levant 和 Firdman 给出了高阶滑模的精确定义 r 阶滑动集 s s s s ( r 1) 0是非空，且假设它是 Filippov 意义 下局部积分集（也就是说，它由不连续动态系统的 Filippov 轨迹组成）， 那么，满足 s s s s ( r 1) 0 的相关运动称为关于滑模面 s (t , x ) = 0的“r 阶滑模”。 • （4）当且仅当系统轨迹位于状态空间中 s = 0和s’=0 的交界处时，系统具 有二阶滑模动态，如图所示。
•
控制输入u 看作影响漂移项φ 的未知扰动，控制输入的导数 作为需设计的 新控制量。
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8.4 二阶滑模控制
• • （6）相对阶 r = 2时 制输入u 不直接影响s的动态特性，但直接影响s的动态特性，即
s (t , x, u ) (t , x)u (t )
• • 其中
s (t , x) Lbe Lae s 0 u
式中， x R n 为系统状态量，
（14）
u Rn
为控制输入， a(t,x)和b(t,x) 为光
滑的未知向量场，令s(t,x)=0为所定义的滑模面，控制目标使系统的状态 在有限时间内收敛到滑模流形滑模流形 s (t , x)
(t , x) 0 s
上。
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8.4 二阶滑模控制
• （3）通过引入虚拟变量 记
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8.5 常见的二阶滑模控制算法
• • Super-Twisting 算法 算法的特点是：它仅仅需要滑模变量 s 的信息，不需要s’信息；它是一种 系统关于s的相对阶为 1 时，可以直接应用的二阶滑模算法，不需要引入 新的控制量。Super-Twisting 算法的相轨迹如图所示。
s
s o
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( r 1) s , s , s , , s 理论上，
的值可以通过有限时间收敛的精确鲁棒微分
器获取。
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8.4 二阶滑模控制
• （1）滑模控制在解决不确定高阶非线性动态系统时是一种非常有效的方 法, 表现在对系统不确定非线性-系统建模误差与外部干扰的强鲁棒性和算 法设计简单. 然而, 滑模控制存在的“抖振”现象。二阶滑模控制使得控 制量在时间上是本质连续的, 这样能有效地减小系统抖振, 又不以牺牲控 制器的鲁棒性为代价。
• • • 若考虑控制受限的情形，则需增加以下条件
r1 r2 U max
两式联立，可以求解出 r1和 r2的取值范围。
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8.5 常见的二阶滑模控制算法
• • Twisting 算法 该算法的特点是：在s-O-s’相平面上，系统轨迹围绕着原点旋转，如图所 示。同时，系统的轨迹能在有限时间内，经过无限次的环绕收敛到原点。 具体地说，就是系统的相轨迹与坐标轴相交的值的绝对值，随着旋转的 次数以等比数列形式减小。此控制律的设计需要知道s’的符号。。
2
8.2 高阶滑模控制
•
• • •
在传统滑模控制中，不连续的控制量显式地出现在滑模变量的一阶导数 中，即s’是不连续的。由于未建模动态和非理想的切换特性，传统滑模存 在抖振，它在实际应用中是有害的。 连续近似化方法（如引入边界层）能抑制抖振，然而失去了不变性这个 显著优点。 Levant 提出了高阶滑模的概念，高阶滑模保持了传统滑模的优点（如不 变性），抑制了抖振，消除了相对阶的限制和提高了控制精度。 滑动模态的不变性：系统一旦进入滑动模态，对满足匹配条件的不确定 性及干扰具有不变性。
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8.5 常见的二阶滑模控制算法
• • • • Twisting 算法 Twisting 算法是最早提出的二阶滑模控制算法，形式如下
) v r1 sgn( s ) r2 sgn( s
其有限时间收敛的充分条件是
（17）
(r1 r2 ) K m C (r1 r2 ) K M C , (r1 r2 ) K m C
意味着滑模变量 s 的关于控制输入u 的相对阶是 2。在这种情况下，控制 输出u 是不连续的。
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8.4 二阶滑模控制
• • （7）相对阶 r = 2时 相对阶为1和相对阶为2可以统一起来，看作是二阶不确定的仿射非线性 系统，当相对阶为1时，相关的控制信号是实际控制输入的导数 ，当相 对阶为2时，控制信号是实际的控制输入u 。 • • 二阶滑模控制问题可以转化为下述非线性系统的有限时间镇定问题。
s
s
o
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8.5 常见的二阶滑模控制算法
• • • • • • Super-Twisting 算法 Super-Twisting 算法形式如下
1 u s 2 sgn( s ) u1 u1 sgn( s )
其有限时间收敛的充分条件是
2 2 L2 s ( L L s L L s ) u L su C , 0 K m Lbe s K M ae be be ae ae be r1K r2 U max C C 2 M , 2 Km Km
xn 1 t
对系统（14）进行扩展，
ae (aT ,1)T , be (bT , 0)T ，则系统扩展为 e ae ( xe ) be ( xe )u, s s ( xe ) x
• • •
（4）依据相对阶的定义，对滑模变量s考虑以下两种不同情形： 相对阶 r = 1，即 相对阶 r = 2，即
• • （5）相对阶 r = 1时 滑模变量s的二阶导数为
s
( Lae s Lbe su ) xe
e
s (ae ( xe ) be ( xe )u ) u
e
2 2 L2 Lbe su s L L su L L su L su ae be be ae a b
高阶滑模变结构控制
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8.1 传统滑模控制缺点
• • •
（1）抖振问题：主要是由未建模的串联动态引起，同时切换装置的非理 想性也是一个重要原因； （2）相对阶的限制：传统滑模控制只有在系统关于滑模变量s 的相对阶 是 1时才能应用，也就是说，控制量u 必须显式出现在s中，这样就限制了 滑模面的设计。 （3）控制精度问题：在实际的、采样实现的传统滑模控制算法中，滑动 误差正比于采样时间τ ，也就是说，有限时间到达的传统滑模在具有零阶 保持器的离散控制下，系统的状态保持在滑动模态上的精度是采样时间 的一阶无穷小，即O(τ) ；