湖南省长沙市雅礼中学2021届高三月考数学试卷(三)

D.
6
6
4
4
5.两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视 为不同情形)共有( )
A. 30种
B. 20 种
C.15种
D.10种
6.设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 0 ， S14 = S ，则满足 Sn 0 的最大自然数 n 的值为( ) 9
炎德·英才大联考雅礼中学 2021 届高三月考试卷(三)
数学
时量 120 分钟 满分 150 分.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1.已知集合 A = 2,3, 4，集合 B = m, m + 2，若 A B = 2，则 m = )(
A. 23
B. 22
C.13
D.12
x2 y2 7.已知 A 是双曲线C : a2 − b2
=
(
)的右顶点，过左焦点 F 与 轴平行的直线交双曲线于 P ，Q 两
1 a,b 0
Fra Baidu bibliotek
y
点，若△APQ 是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )
()
A. 1, 2
()
B. 1, 3
()
C. 1,2
i
，且
，现 发
现两个数据点 (1.2,2.2) 和 (4.8,7.8)误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则( )
A.变量 x 与 y 具有正相关关系
B.去除后的回归方程为 yˆ = 1.2x + 1.4
C.去除后 y 的估计值增加速度变快
D.去除后相应于样本点 (2,3.75)的残差为0.05
11.已知三棱锥 P − ABC 中，O 为 AB
PO ⊥ 平面 ABC APB = 90 PA = PB = 2 ，则下列
中点，
，
，
说法中正确的是( )
A.若 O 为 △ABC 的外心，则 PC = 2
B.若 △ABC 为等边三角形，则 AP ⊥ BC
C.当
ACB
=
90
时，
PC
与平面
PAB所成角的范围为
0.6185 0.090 ， 0.6186 0.056， 0.6187 0.034)
A. 28m B. 29.2 m C.30.8m D.32.5m 4.已知平面向量a ， b 满足a = (1,−1) ， b = 1， a + 2b = 2 ，则 a 与 b 的夹角为( )
5
3
A.
B.
C.
A. 0
B.1
C. 2
D. 4
1 + ai
2.已知i 是虚数单位，复数
为纯虚数，则实数 a 为( )
2−i
A. 2
B. −2
C. − 1
1
D.
2
2
5 −1 5 −1
5 −1
3.古希腊时期，人们把宽与长之比为
2
2
0.618 的矩形称为黄金矩形，把这个比值 2
称
为黄金分割比例.下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形
(2)若 PC = BC ，求二面角 A − BP − D 的正弦值.
19.(本小题满分 12 分)已知an 为等差数列，a1 ，a2 ，a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1 ，
cosB
b
(1)求 sinC 的值；
sin A
(2)若 cosB = 1 ， b = 2 ，求△ABC 的面积. 4
18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥 P − ABCD 中，△ABD 是边长为 2 的正三角形，PC ⊥ 底面 ABCD，
AB ⊥ BP ， BC = 2
3
.
3
(1)求证： PA ⊥ BD ；
0, 4
D.当 PC = 4 时， M 为平面 PBC 内动点，若OM // 平面 PAC ，则 M
PBC
在三角形
内的轨迹长度
为2
12.关于函数 f (x) = 2 + ln x ，下列说法正确的是( )
x
A. x = 2 是 ( ) 的极大值点
fx
B.函数 y f x x
1
= ( ) − 有且只有 个零点
，
△ABC 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形 ， E ， F 分 别 是 PA ， AB 的 中 点 ，
CEF =90 ，则球O 的体积为________.
四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)在△ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .已知cos A − 2cosC = 2c − a .
8.已知实数 a ， b 满足 ab 0 ，则 a − a 的最大值为( ) a + b a + 2b
D. (2,+)
A. 3 + 2 2
B. 2 + 2
C. 2 − 2
D.3 − 2 2
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.
C.存在正整数 k ，使得 f (x) kx 恒成立
D.对任意两个正实数 x1 ， x2 ，且 x1
x2
，若 f
(x1 ) =
f
( x2
)
，则
x1
+
x
2
4
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.若函数 f (x)
=a
x
(
a
0
，且
a
1)的图象经过点
P
2,
1
(− ) =
2 f 1
9.已知函数
f
()
x
1 =
2
sin2x+
3
+
1
，则以下说法中正确的是(
2
)
A. ( ) 的最小正周期为
fx
B. ( )
fx
7 12, 12上单调递减
在
5 C. ,
1 是
(
) 的一个对称中心
6 2 f x
D.当
x
0,
6时， f
()
x
2+ 3 4
的最大值为
10.已知由样本数据点集合(xi, y ) i = 1,2, , n，求得的回归直线方程为 yˆ = 1.5x + 0.5 x = 3
，则
________.
14.sin 50(1 + 3 tan10) = ________.
15. O 为坐标原点， F 为抛物线 C : y2 = 4x 的焦点， P C
为 上一点，若
PF = 4 ，则△POF 的面积为________.
16.已知三棱锥 P − ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA = PB = PC
ABCD ， EBCF ， FGHC ， FGJI ， LGJK ， MNJK 均为
黄金矩形，若 M 与 K 间的距离超过1.7m， C 与 F 间的距离
小于12m，则该古建筑中 A 与 B 间的距离可能是( )(参考
数据： 0.6182 0.382 ， 0.6183 0.236 ， 0.6184 0.146 ，