微积分复习及解题技巧

《微积分》复习及解题技巧
第一章 函数
一、据定义用代入法求函数值： 典型例题：《综合练习》第二大题之2
二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）
对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据： ①分式函数：分母≠0 ②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0
④反正（余）弦函数式：自变量 ≤1
在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。

典型例题：《综合练习》第二大题之1
补充：求y=x
x 212-+的定义域。

（答案：2
12<≤
-x ）
三、判断函数的奇偶性：
典型例题：《综合练习》第一大题之3、4
第二章 极限与连续
求极限主要根据： 1、常见的极限：
2、利用连续函数：
初等函数在其定义域上都连续。

例：
3、求极限
的思路：
可考虑以下9种可能：
①0
0型不定式（用罗彼塔法则） ②
2
0C =0 ③∞
0=0
④01
C =∞ ⑤21C C ⑥∞
1C =0
⑦
0∞=∞ ⑧2C ∞=∞ ⑨∞
∞
型不定
式（用罗彼塔法则）
1sin lim 0
=→x x
x e x x
x =⎪⎭⎫
⎝
⎛+∞→11lim )0(01
lim >=∞→αα
x
x )
()(0
lim 0
x
f x f x x =→11
lim 1
=→x x 1)
()
(lim =→x g x f x α⎪⎩
⎪⎨⎧∞
≠=→)0(0
)(11lim 常数C C x f x α⎪⎩
⎪⎨⎧∞
≠=→)0(0)(22lim 常数C C x g x α
特别注意：对于f （x ）、g （x ）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P70下总结的“规律”。

以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！
典型例题：《综合练习》第二大题之3、4；第三大题之1、3、5、7、8
补充1：若1)
1(sin 2
21
lim =++-→b ax x x x ，则a= －2 ，b= 1 . 补充2：21
221211111lim lim e x x x x x
x x x
x =⎪
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-•-∞→∞→
补充3：
2
1121121121121...513131121)12)(12(1...751531311lim lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=
⎪⎭⎫
⎝⎛+--++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⨯+⨯+⨯∞→∞→∞→n n n n n n n n 补充4：
1ln lim 1
-→x x x 1
11
lim 1
=→x x （此题用了“罗彼塔法则”）
型0
第三章 导数和微分
一、根据导数定义验证函数可导性的问题： 典型例题：《综合练习》第一大题之12 二、求给定函数的导数或微分： 求导主要方法复习：
1、求导的基本公式：教材P123
2、求导的四则运算法则：教材P110—111
3、复合函数求导法则（最重要的求导依据）
4、隐函数求导法（包括对数函数求导法） 6、求高阶导数（最高为二阶） 7、求微分：dy=y / dx 即可
典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9 补充：设y=22)(1arctgx x ++，求dy. 解：∵2222
1211122112
1
x arctgx
x
x x arctgx x x y +++=+⋅
+⋅+⋅=' ∴dy=)121(
2
2
x
arctgx x x dx y ++
+=⋅'dx
第四章中值定理，导数的应用
一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题：
典型例题：《综合练习》第一大题之16、19
二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程：
典型例题：《综合练习》第二大题之5
二、函数的单调性（增减性）及极值问题：
典型例题：《综合练习》第一大题之18，第二大题之6，第六大题之2
第五章 不定积分 第六章 定积分
Ⅰ理论内容复习： 1、原函数：)()(x f x F ='
则称F （x ）为f （x ）的一个原函数。

2、不定积分：
⑴概念：f （x ）的所有的原函数称f （x ）的不定积分。

⎰+=C x F dx x f )()(
注意以下几个基本事实：
())()(x f dx x f ='⎰ ⎰+='C x f dx x f )()(
⎰=dx x f dx x f d )()(
⎰+=C x f x df )()(
⑵性质：⎰⎰≠=⋅)0()()(a dx x f a dx x f a 注意 []⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ⑶基本的积分公式：教材P206 3、定积分： ⑴定义 ⑵几何意义
⑶性质：教材P234—235性质1—3 ⑷求定积分方法：牛顿—莱布尼兹公式 Ⅱ习题复习：
一、关于积分的概念题：
典型例题：《综合练习》第一大题之22、24、25、第二大题之11、14
二、求不定积分或定积分： 可供选用的方法有——
⑴直接积分法：直接使用积分基本公式
⑵换元积分法：包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法 ⑶分部积分法
典型例题：《综合练习》第五大题之2、3、5、6 关于“换元积分法”的补充题一：
⎰⎰++=++=+C x x d x x dx 12ln 21
)12(1212112 关于“换元积分法”的补充题二：⎰-3
x xdx
解：设x －3=t 2，即3-x =t ， 则dx=2tdt.
∴⎰
-3
x xdx
=⎰⋅+dt t t t 2)3(2=C t t +++⋅+612121
2 =C t t ++63
23=C x x +-+-36)3(3
23
关于“换元积分法”的补充题三：
⎰+8
031x
dx
解：设x=t 3
，即
t =3
x ，则dx=3t 2dt.
当x=0时，t=0； 当x=8时，t=2. 所以
⎰+8
031x dx =0
21ln )1(21313)1(313202
202⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=+t t dt t t t dt t =3ln3
（此题为定积分的第二类换元积分法，注意“换元必换限”，即变量x 换成变量t 后，其上、下限也从0、8变为0、2） 关于“分部积分法”的补充题一：
⎰⎰⎰
+-=-==C e x dx e xe xde dx xe x
x x x x )1( 关于“分部积分法”的补充题二：
C x arctgx dx x
x xarctgx arctgxdx ++-=+⋅
-=⎰⎰2
2
1ln 2111 关于“分部积分法”的补充题三：
⎰
e
xdx x 1
ln
=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰⎰121211ln 21ln 1ln 21ln 21221212212e x e xdx e x x x d x e x x xdx e
e e =)1(41)2121(211212122222+=+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-e e e e x e （此题为定积分的分部积分法）
三、定积分的应用（求曲线围成的平面图形面积）： 典型例题：《综合练习》第六大题之4
注意：此题若加多一条直线y=3x ，即求三线所围平面图形的面积，则解法为——（草图略）
S=⎰⎰-+-3
12
1
0)3()3(dx x x dx x x =⎰⎰-+3
121
0)3(2dx x x dx x
=13312301212322⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+3123273192
31
=3
13
（平方单位）
使用指南——本复习参考资料应当与人手一册的《综合练习题》配套使用并服从于《综合练习题》。

另外，请注意如下几点：
①本复习参考资料中的蓝色字体的“补
充”题是以往年级的部分应试复习题，对今年
9月份考试的同志来说，仅仅作为参考补充。

②《综合练习题》是我们复习重点中的重点，请
对照答案将所有
．．题目
．．完整地做一遍（使题目与答案相结合而不要相分离，以便需要时加快查
找的速度和准确度）。

③请将上述做好的
．．．《综合练习题》随身携带，经常复习、记忆，为应试作好准备；
④考试时请注意审题，碰到实在不会做的大题，
如果你发现只是《综合练习题》上的题目改变
了数字，那么请将你能够知道的、原来那个题
目的解法步骤完整地写出来，也能获得该题一
部分的分数。

对于填空、选择这样的小题，尽
你所能去做，不要留下空白！。