§4.7 周期信号的傅里叶变换

■
2 T 2
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n n 强度Fn Sa( ) Sa( ) , n = 0 ,±1，±2，… T 2 T T F [ fT (t )]
（ ) T

2π
O

2

(1)一系列冲激序列， 当ω nΩ时有冲激 (2)包络线形状：抽样函数 2π （3)第一个零点坐标：
F j
π
0
O
π
0
sin 0 t jπ 0 jπ 0 sin 0 t 频谱图:
F j

2
0
π
0 o
π
0

0



2
o
▲
■
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二、一般周期信号的傅里叶变换
§4.7
周期信号的傅里叶变换
周期信号：f(t)←→傅里叶级数Fn 离散谱 非周期信号：f(t)←→傅里叶变换F(jω) 连续谱 周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶级数的关系？
周期 f t 统一的分析方法：傅里叶变换 非周期 • 正、余弦的傅里叶变换 • 一般周期信号的傅里叶变换 • 傅里叶系数与傅里叶变换
t
T
o
T
t
比较(1)(2)
(1)
w玏n f 0 (t ) « fT (t )
1 Fn = ò T
T 2 T T 2 2 T T 2
ò
f 0 (t )e-
j wt
dt
f (t )e-
j nW t
dt
1 Fn F0 j n T (2)
▲ ■ 第 8页
1 cos 0 t 2π 0 2π 0 π 0 π 0 2
同理
sin 0 t jπ 0 jπ 0
▲ ■ 第 2页
频谱图
cos 0 t π ( 0 ) ( 0 ) cos 0 t 频谱图:
n= - ?
]=
n - ?
] = 2p
n - ?
?
Fnd(w - nW ) = FT ( jw)
说明：(1)周期信号f T(t)的傅氏变换由冲激序列
组成，冲激函数仅存在于谐波频率处；
(2)谱线的幅度不是有限值，因为FT(jω)代表频谱密度。
例1 例2
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频域分析例1
例1：δ T(t)←→? T 解： 1
■
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一．正、余弦的傅里叶变换 1 cos t 源自文库e e 2
0 j 0 t j 0 t
1 j 0 t sin 0 t e e j 0 t 2j


已知 由频移特性得
1←→2πδ(ω) e j ω0 t ←→ 2πδ(ω–ω0 ) e –j ω0 t ←→ 2πδ(ω+ω0 )
Fn = Tò
2 T 2
fT (t )e
- jnW t
1 dt = T
δT(t)←→
2p T
邋 d(w n= - ?
ゥ
nW )= W
n - ?
d(w - nW )= W dW(w)
■
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周期信号傅氏变换例2
例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。 解：周期信号f(t)也可看作 一时限非周期信号f0(t)的周 … 期拓展。即 -4
1 f(t) … -1 0 1 4 t
f(t) = T(t)* f0(t)
F(jω) = ΩΩ(ω) F0(jω)

F0 ( jn) ( n)
n

本题 f0(t) = g2(t)←→ 2Sa( )
n n F(jω) 2Sa(n) ( n) Sa( ) ( ) 2 2 n n
fT (t ) = fT (t ) =
n= - ? ゥ
å
¥
Fn e jnW t
1 Fn = ò T
T 2 T 2
fT (t ) en - ?
jnW t
dt
jnW t F e 邋 n n= - ?
ゥ jnW t
FT ( jw) = 2p
Fn F [e
jnW t
Fnd(w - nW )
?
证明：
F [ fT (t )] = F [ 邋 Fn e
( 4) 其最大强度在 n 0处，为 。 T
▲
■
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三、傅里叶系数与傅里叶变换关系
推导：一个周期单脉冲f0(t)的傅氏变换F0(jω)与周期信号 fT(t)的傅氏系数Fn的关系：
f 0 t
fT t
设 f0 t F0 j
F0 ( j w) =
T 2
o
T 2