函数的单调性·典型例题精析

2．3．1 函数的单调性·例题解析

【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y ＝|x 2＋2x －3|

(2)y (3)y ＝

＝x x x x x 2221123

-----+||

解 (1)令f(x)＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4．

先作出f(x)的图像，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图像翻到x 轴就得到y ＝|x 2＋2x －3|的图像，如图2．3－1所示．

由图像易得：

递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞) 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]

(2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间． 解 当x －1≥0且x －1≠1时，得x ≥1且x ≠2，则函数y ＝－x ． 当x －1＜0且x －1≠－1时，得x ＜1且x ≠0时，则函数y ＝x －2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1) 减区间是[1，2)和(2，＋∞)

(3)解：由－x 2－2x ＋3≥0，得－3≤x ≤1．

令u ＝＝g(x)＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4．在x ∈[－3，－1]上是在x ∈[－1，1]

上是

．

而＝在≥上是增函数．y u 0u

∴函数y 的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．

【例2】函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范

围．

解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数．

当≠时，对称轴＝

，若＞时，由＞≤，得＜≤．

a 0x a 0a 0 3a 10a 131

212a a

a

--⎧⎨⎪

⎩⎪ 若a ＜0时，无解． ∴a 的取值范围是0≤a ≤1．

【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：

(1)f(6)与f(4)

(2)f(2)f(15)与

解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)

(2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15

时为减函数．

∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)

【例4】判断函数＝

≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax

x 21

-

解 任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2．

∵－＝

∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 10012121221a x x x x x x x x x x x x ()()

()()

()()()()122112221212

122112

2

2111111+---+---

当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数． 当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．

【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 证 取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．

∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 0

2112221212

121212221221212121222证法一

又∵x 1－x 2＜0，∴f(x 2)＜f(x 1) 故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．

证法二()x x x x (x x )x x x x 0x x 0x 0x 0x x x x x x 0121222122

221

2

2122112

12

1222∵＋＋＝＋＋，这里＋与不会同时为，否则若＋＝且＝，则＝这与＜矛盾，∴＋＋＞．

1234121

2

得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．

证法三()t x x x x x 4x 3x 00x 0x 0t x 03x 0t 0x x x x 0f(x )f(x )f(x)(22121212121

2

12221

2

22121221令＝＋＋，其判别式Δ＝－＝－≤，若Δ＝时，则＝，那么≠，∴＝＞，若Δ＝－＜，则＞，即＋＋＞，从而＜，∴在－∞，

＋∞上是减函数．)

【例6】讨论函数＝＋的单调性，并画出它的大致图像．f(x)x 1

x

解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x 1、x 2，且x 1＜x 2．

∵－＝－，又－＜，f(x )f(x )(x x )

x x x x 012121112x x 22

1

∴当0＜x 1＜x 2≤1或－1≤x 1＜x 2＜0时，有x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2) ∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．

当1≤x 1＜x 2或x 1＜x 2≤－1时，有x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．

根据上面讨论的单调区间的结果，又x ＞0时，f(x)min ＝f(1)＝2，当x ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致

画出＝＋的图像如图．－．y x 2321

x

说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小．