求双曲线离心率取值范围涉附到解析几何
双曲线离心率常见题型
一、求双曲线的离心率及其范围。
例1:已知21,F F 分别是双曲线122
22=-b
y a x 的左右焦点，过1F 垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若2ABF ∆是直角三角形，求双曲线的离心率。
答案：21+
=e 变式：
1、若2ABF ∆是等边三角形，求双曲线的离心率。
答案：3=e
2、若2ABF ∆是锐角三角形，求双曲线的离心率。
答案：)21,1(+
∈e 3、若2ABF ∆是钝角三角形，求双曲线的离心率。
答案：),21(+∞+∈e
例2:已知21,F F 分别是双曲线12222=-b
y a x 的左右焦点，过2F 且倾斜角的为 60的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围。
答案：),2[+∞∈e
例3:过双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点2F 作垂直于渐近线的的直线与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率的取值范围。
答案：),2(+∞∈e
二、直线1-=kx y 与双曲线42
2=-y x 没有公共点，求k 的取值范围 2
5,25>-<k k 或 变式1、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 有两个公共点，求k 的取值范围
)2
5,1()1,1()1,25(⋃-⋃-- 变式2、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 只有一个公共点，求k 的取值范围1,2
5±±=k k 或 变式3、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的左支有两个公共点，求k 的取值范围 )1,25(--。
离心率的求值或取值范围问题
离心率的求值或取值范围问题【方法技巧】方法1 定义法解题模板：第一步 根据题目条件求出,a c 的值 第二步 代入公式ce a=，求出离心率e . 方法2 方程法解题模板：第一步 设出相关未知量；第二步 根据题目条件列出关于,,a b c 的方程； 第三步 化简，求解方程，得到离心率.方法3 借助平面几何图形中的不等关系解题模板：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，第二步 将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式， 第三步 解不等式，确定离心率的范围.方法4 借助题目中给出的不等信息解题模板：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，∆的范围等；第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.方法5 借助函数的值域求解范围解题模板：第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；第二步 通过确定函数的定义域；第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【应用举例】【例题1】若椭圆经过原点，且焦点分别为12(0,1),(0,3)F F ，则其离心率为（ ）A ．34 B ．23 C ．12 D ．14【答案】C 【解析】试题分析：根据椭圆定义，原点到两焦距之和为2a=1＋2，焦距为2c=2，所以离心率为12. 考点：椭圆的定义. 【难度】较易【例题2】点P （-3，1,过点P 且方向为a =（2，-5）的光线经直线y=－2反射后通过椭圆的左焦点，则此椭圆离心率为（ ）【答案】A 【解析】试题分析：因为给定点P （-3，1根据光线的方向为a =（2，-5）y=-2与入射光线的斜率互为相反数可知焦点的坐标为（1，0），因此可知 A 考点：本试题考查了椭圆性质的知识点。
点评：解决该试题的关键是利用椭圆的反射原理得到直线斜率的特点，结合平面反射光线与入射光线的斜率互为相反数，得到c 的值，同时得到a,b,c 的关系式，进而得到结论，属于基础题。
椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题
椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解问题【重点知识温馨提示】1.e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)，e＝ca＝1＋b2a2(e>1)2.确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式，3.【典例解析】例1.(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )A. 5 B．2 C. 3 D. 2例2.【2016高考新课标3文数】已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34例3 (2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1例4.(2014·江西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． 【跟踪练习】1. (2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．2. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项， 则椭圆的离心率是( ) A.33 B.22 C.14 D.123.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则椭圆的离心率的取值范围为______．4.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3 C ．2D. 55.(2015·山东)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．6.(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 27、（2016年山东高考）已知双曲线E ：22x a–22y b =1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______．8（2015年高考）过双曲线C ：22221x y a a-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .9、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是（）(A)(B)(C) (D) 10、（东营市、潍坊市2016届高三高三三模）已知1F 、2F 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距长为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为A 、B ，若1ABF ∆为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A 1B 1-C D11、（济宁市2016届高三上学期期末）已知抛物线2y =-的焦点到双曲线()222210,0x y a b a b -=>>A.3B.3C.D.3912、（莱芜市2016届高三上学期期末）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点是(),0F c -，离心率为e ，过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆222x y c y +=在轴右侧交于点P ，若P 在抛物线22y cx =上，则2e =A.5B.51+ C.51-D.213，（烟台市2016届高三上学期期末）设点F 是抛物线()2:20x py p τ=>的焦点，1F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，若线段1FF 的中点P 恰为抛物线τ与双曲线C 的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C 的离心率e 的值为 A.322B.334C.98D.3241,4、（青岛市2016高三3月模拟）已知点12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足21212,120PF F F F F P =∠=，则双曲线的离心率为_________.15、（日照市2016高三3月模拟）已知抛物线28y x =的准线与双曲线222116x y a -=相交于A,B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为 A.3B.2C.6D.316. (2015·重庆)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．答案部分：例1【解析】 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝2，选D.例2【答案】A例3如图，设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32， 故选A.例4.直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )．∴kBF 1＝－b 2a －0c －(－c )＝－b 2a 2c ＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c )．令x ＝0，则y ＝－b 22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac .由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac ＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0，∴e ＝－2±4－4×3×(－3)23＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.【跟踪练习】1，答案 方法一 设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝bcx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点， ∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc ，|OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bca，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2a .由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2a ＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22.方法二 设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标⎝⎛⎭⎫x 0＋c 2，y 02，k FQ＝y0x 0－c ，依题意⎩⎨⎧y 02＝b c ·x 0＋c 2，y 0x 0－c ·bc ＝－1，解得⎩⎨⎧x 0＝c (2c 2－a 2)a 2，y 0＝2bc2a 2，又因为(x 0，y 0)在椭圆上，所以c 2(2c 2－a 2)2a 6＋4c 4a 4＝1，令e ＝c a ，则4e 6＋e 2＝1，∴离心率e ＝22. 2解析 在双曲线中m 2＋n 2＝c 2，又2n 2＝2m 2＋c 2，解得m ＝c2，又c 2＝am ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12.3依题意及正弦定理，得|PF 2||PF 1|＝a c (注意到P 不与F 1，F 2共线)， 即|PF 2|2a －|PF 2|＝a c ， ∴2a |PF 2|－1＝c a ，∴2a |PF 2|＝c a ＋1>2a a ＋c，即e ＋1>21＋e ，∴(e ＋1)2>2.又0<e <1，因此2－1<e <1.4解析 (1) 如图，∵FB →＝2F A →，∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴ba＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(ba )2＝4，∴e ＝2. 答案 C5.把x ＝2a 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±3b .不妨取P (2a ，－3b )．又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c,0)， ∴kF 2P ＝3b c －2a .由题意，得3b c －2a ＝ba.∴(2＋3)a ＝c .∴双曲线C 的离心率为e ＝ca ＝2＋ 3.6. e 1＝1＋b 2a2，e 2＝1＋(b ＋m )2(a ＋m )2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋m a ＋m (m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m ，即e 1<e 2.故选B.7、【答案】2 【解析】试题分析：依题意，不妨设6,4AB AD ==作出图像如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a == 8、【答案】23+考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程. 9、【答案】B【解析】双曲线的渐近线为y ＝±bax ，易求得渐近线与直线x －3y ＋m ＝0的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a －3b ，－bm a －3b .设AB 的中点为D .由|P A |＝|PB |知AB 与DP 垂直，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2m （a ＋3b ）（a －3b ），－3b 2m （a ＋3b ）（a －3b ），k DP＝－3，解得a 2＝4b 2，故该双曲线的离心率是52.10B,11.B 12.D 13 D 14. 15.A16.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，连接F 1Q ，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得 |QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2 ＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ， 进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ，高中数学 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a 1＋λ＋1＋λ2， 故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ22＝4c 2. 两边除以4a 2，得4(1＋λ＋1＋λ2)2＋(λ＋1＋λ2－1)2(1＋λ＋1＋λ2)2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋(t －2)2t 2＝8⎝⎛⎭⎫1t －142＋12. 由34≤λ＜43，并注意到t ＝1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13. 进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.。
解析几何中求参数取值范围的方法(精)
解析几何中求参数取值范围的方法近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。
学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。
那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x 1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF•FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ<ARCTAN4< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 ( )A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<A<2< p>分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )二、利用判别式构造不等式在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是 ( )A [-12 ,12 ]B [-2,2]C [-1,1]D [-4,4]分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)由得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C)例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<K<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)<0;若P在曲线外，则f(x0,y0)>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
高中数学常见题型解法归纳-离心率取值范围的常见求法
高中数学常见题型解法归纳-离心率取值范围的常见求法
高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法
【知识要点】
1、求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点，也是一个难点.
2、椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率,对于这三种圆锥曲线的离心率的范围要清楚，自己求出的离心率的范围必须和这个范围求交集.
3、求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：（1）利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系；（2）直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式；（3）利用函数的思想分析解答.
【方法讲评】
先求出曲线的变量或
如果椭圆上存在点，使【例1】设椭圆的左右焦点分别为，
,
，求离心率的取值范围.
从而，且
所以
【点评】（1）本题主要椭圆中的满足建立了关于离心率的不等式.(2)求离心率的取值范围，注意圆锥曲线离心率法范围，椭圆的离心率，双曲线的离心率，求出离心率的取值范围后，必须和它本身的范围求交集，以免扩大范围，出现错解.
【反馈检测1】双曲线在右支上存在与右焦点、左准线长等距离的点，求离心率的取值范围.
的不等关系，再转化为离心率的不等式，解不等式
【例2】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是．
【点评】本题就是直接根据“直线与双曲线的右支有且只有一个交点”得到关于的不等式，再转化成关于的二次不等式，解二次不等式即得离心率的取值范围.
【反馈检测2】过双曲线的右焦点作实轴所在直线的垂线，交双曲线于，两点，设双曲线的左顶点为，若点在以为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率的取值范围为( ) A． B． C． D．。
离心率公式双曲线
离心率公式双曲线The eccentricity formula for a hyperbola is a fundamental concept in mathematics that plays a crucial role in understanding the shape and properties of hyperbolas. It defines the amount by which a hyperbola deviates from being circular and is a key parameter that can be used to describe the geometry of the hyperbola.双曲线的离心率可以通过以下公式来计算：e = √(a^2 + b^2)/a，其中a 和b分别是双曲线的两个轴的长度。
离心率是一个0到1之间的值，当离心率接近于0时，双曲线形状接近于椭圆；当离心率接近于1时，双曲线形状变得非常扁平，曲线变得非常陡峭。
这个公式是双曲线性质的重要指标，可以帮助我们更好地理解双曲线的形状和特性。
Understanding the eccentricity formula for hyperbolas also has practical applications in various fields such as physics, engineering, and astronomy. For example, in physics, the eccentricity of an orbit can determine the shape and behavior of planetary trajectories. In engineering, the eccentricity of structures like bridges or arches can affect their stability and load-bearing capacity. In astronomy, theeccentricity of comets' orbits can indicate how elongated their paths are around the sun.双曲线的离心率公式还可以在教育领域得到应用，通过教授学生如何计算和理解离心率，可以帮助他们更好地掌握几何学的概念，提高数学素养。
如何求双曲线的离心率
双曲线离心率的取值范围
双曲线离心率的取值范围双曲线离心率是描述双曲线形状的一个重要指标，它是双曲线焦点距离与直轴长度的比值。
双曲线的离心率存在一定的取值范围，本文将介绍双曲线离心率的定义、性质以及其取值范围。
一、双曲线离心率的定义双曲线离心率（eccentricity）是指双曲线上离于中心最远的点到中心的距离与中心到双曲线直轴的距离的比值。
具体来说，如果设双曲线的两个焦点分别为F1和F2，直轴长度为2a，离心率为e，那么离心率的计算公式如下：e = sqrt((a^2 + b^2)/a^2)其中，b^2 = c^2 - a^2，c就是双曲线的半轴。
双曲线两段的出现是因为其它8中情况没法支持完整的曲线图案出现（9种为）二、双曲线离心率的性质1. 双曲线离心率大于1。
2. 双曲线的离心率越大，曲线的形状越扁平，离心率越小，曲线的形状越细长。
3. 双曲线的离心率与另一重要指标——双曲率（率曲率）有关系。
具体来说，当双曲线在同一点上的双曲率相等时，双曲线的离心率也相等；反之，当双曲线在同一点上的离心率相等时，双曲线的双曲率也相等。
三、双曲线离心率的取值范围由于双曲线离心率的定义中，分母a代表直轴长度，最小为正实数，因此双曲线离心率e的取值范围为e > 1，也就是说，双曲线的离心率永远大于1。
这一点也可以从双曲线的定义出发解释：双曲线定义为到两个焦点距离之差等于常数的点集，而这意味着离心率应该大于1。
当离心率等于1时，曲线就变成了双曲线的一种特殊情形——抛物线。
双曲线离心率的取值范围在实际应用中有着广泛的用途，比如在几何光学中，双曲线作为反射面的一种理想曲线，其离心率就决定了光线的折射角、反射角及成像质量等关键参数。
在物理学中，双曲线也被广泛应用于描述电场和磁场的分布等问题。
综上所述，双曲线离心率作为双曲线形状的重要指标，其取值范围是大于1的正实数。
对于双曲线形状的描述和应用，离心率的数值是多么关键和重要。
求解曲线的离心率的值或范围问题(解析版)
专题5.1 求解曲线的离心率的值或范围问题一．方法综述离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①根据题意求出,,a b c 的值，再由离心率的定义椭圆2222222e ===1()c a b b a a a--、 双曲线2222222e ===1()c a b b a a a++直接求解； ②由题意列出含有,,a b c 的方程(或不等式)，借助于椭圆222b a c ＝－、双曲线222b c a ＝－消去b ， 构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解； ④根据圆锥曲线的统一定义求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标0a x a -≤≤等． 二．解题策略类型一 直接求出c a ,或求出a 与b 的比值，以求解e【例1】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，已知()21210AF F F AF +⋅=，1143AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B ．2 C D ．13【来源】河北省秦皇岛市2021届高三二模数学试题 【答案】A【解析】设122F F c =，因为()()()2221212122122120AF F F AF AF F F AF F F AF F F +⋅=+⋅-=-=， 所以2122AF F F c ==，所以122AF a c =-，因为1143AF F B =，所以13()2BF a c =-，所以2322a cBF =+， 设1AF 中点为H ，则2F H AB ⊥，AH a c =-，5()2BH a c =-，222222||||F A AH F B BH -=-代入数据并整理得：2271250c ac a -+=，等式两边同除以2a 得：271250e e -+=，解得：57e =或1e =(舍). 故选：A.【方法点睛】求椭圆离心率或其范围的方法：（1）根据题意求出,,a b c 的值，再由离心率的定义22222221()c a b b e a a a-===-直接求解． （2）由题意列出含有,,a b c 的方程(或不等式)，借助于222b a c ＝－消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标0a x a -≤≤等． 【举一反三】1.（2020兰州模拟）平面直角坐标系xOy 中，双曲线：的两条渐近线与抛物线C ：交于O ，A ，B 三点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 A ．B ．C ．2D ．【答案】B【解析】联立渐近线与抛物线方程得，，抛物线焦点为，由三角形垂心的性质，得，即，所以，所以，所以，所以的离心率为．故选：B ．2．已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且倾斜角为6π的直线l 与双曲线的左､右支分别交于点A ，B ，且22AF BF =，则该双曲线的离心率为（ ） A 2B 3C ．22D ．23【来源】江西省九江市2021届高三高考数学（理）二模试题 【答案】A【解析】过2F 作2F N AB ⊥于点N ，设22AF BF m ==， 因为直线l 的倾斜角为6π，所以在直角三角形12F F N 中，2NF c =，13NF c ， 由双曲线的定义可得122BF BF a -=，所以12BF a m =+，同理可得12AF m a =-，所以114AB BFAF a =-=，即2AN a =，所以132AF c a =-，因此3m c =，在直角三角形2ANF 中，22222AF NF AN =+，所以()22234ca c =+，所以2c a =，则2ce a==. 故选：A.类型二 构造a c ，的齐次式，解出e【例2】在平面直角坐标系xOy 中，点1F ，2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左，右焦点，过点1F 且与直线l ：by x a=-垂直的直线交C 的右支于点M ，设直线l 上一点N (N 在第二象限)满足12F N F N ⊥，且()120F N F M MN +⋅=，则双曲线C 的离心率的值为（ ） A 5B 3C 21D ．2【来源】江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试数学试题 【答案】A【解析】由题意可知，设直线1F M 的方程为()a y x c b =+，则设()00,a M x x c b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，,b N t t a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为()1,0F c -，()2,0F c ，且12F N F N ⊥，所以12,,0b b F N F N t c t t c t a a ⎛⎫⎛⎫⋅=+---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即22t c -20b t a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得t a =-，所以(),N a b -，所以()1,F N c a b =-，()200,a F M x c x c b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()00,a MN a x b x c b ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，则()()()120000,,0a a F N F M MN x a x c b a x b x c b b ⎛⎫⎛⎫+⋅=-++⋅---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()222200a a x b x c b ⎡⎤-+-+=⎢⎥⎣⎦，解得220b a x c -=，所以222,b a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为点M 在双曲线上，所以代入双曲线方程可得，()222222241baaa c c--=，即22241e e e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得25e =，e = A【举一反三】1.（2020·重庆八中高三）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，点A 、F 分别为其右顶点和右焦点12(0,),(0,)B b B b -，若，则该双曲线的离心率为A．1 BCD1【答案】C【解析】依题意()(),0,,0A a F c ，故1221,B F B A b bk k b ac c a-⋅=⋅=-=，22c a ac -=，两边除以2a 得210e e --=，解得e =2．（2020·广东南海中学高考模拟）是P 为双曲线上)0,(1:2222>=-b a by a x C 的点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且PF 2⊥F 1F 2，PF 1与y 轴交于Q 点，O 为坐标原点，若四边形OF 2PQ 有内切圆，则C 的离心率为_____． 【答案】2【解析】设2OF c =，可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c P 2,，则四边形2OF PQ 的内切圆的圆心为,22c c ⎛⎫⎪⎝⎭， 半径为1,2cPF 的方程为2220b x acy b c -+=，圆心到直线1PF 的距离等于2c ，2c =，化简得222320c ac a --=，22320,2e e e --=∴=，答案为2.3．（2020·黑龙江大庆中学高三（理））过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为______．【答案】()()1,222,⋃++∞【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 1（﹣c ，0），令x=﹣c ，可得y=±221ca-=±2b a ，可得A （﹣c ，2b a ），B （﹣c ，﹣2b a ）， 设D （0，b ），可得AD =（c ，b ﹣2b a ），AB =（0，﹣22b a），DB =（﹣c ，﹣b ﹣2b a ），由△ABD 为钝角三角形，可能∠DAB 为钝角，可得AD AB ⋅＜0，即为0﹣22b a•（b ﹣2b a ）＜0，化为a＞b ，即有a 2＞b 2=c 2﹣a 2，可得c 2＜2a 2，即e=ca＜2，又e ＞1，可得1＜e ＜2，可得△ADB 中，∠ADB 为钝角，可得AD AB ⋅＜0，即为c 2﹣（2b a +b ）（2b a﹣b ）＜0，化为c 4﹣4a 2c 2+2a 4＞0，由e=ca，可得e 4﹣4e 2+2＞0，又e ＞1，可得e ＞22+． 综上可得，e 的范围为（1，2）∪（22+．+∞）． 类型三 寻找特殊图形中的不等关系或解三角形【例3】如图，已知双曲线()222210x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（ ）A ．53 B ．54 C ．43D ．32【来源】湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考（七）数学试题 【答案】A【解析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ， 设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b -=>>联立，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-， 设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的等面积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⨯++=⨯⋅，化简可得2442c m n a c a+=--，①由双曲线的定义可得2m n a -=，②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n acθ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan ba θ=，22sin cos 1θθ+=，可得sinbc θ==，可得222c a n a-=，③ 由①②③化简可得223250c ac a --=，即为(35)()0c a c a -+=，可得35c a =，则53c e a ==． 故选：C ． 【举一反三】1．（2020·辽宁实验中学高三期末（理））设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ）A B C ．52D ．5【答案】B【解析】若1:3:4AF AB =，则可设13,4AF m AB m ==，因为2F 是AB 的一个四等分点；若214BF AB =,则22,3BF m AF m ==,但此时12330AF AF m m -=-=，再由双曲线的定义，得122AF AF a -=，得到0a =，这与0a >矛盾；若214AF AB =,则22,3AF m BF m ==，由双曲线的定义，得12112122532{{AF AF m a BF a m a BF BF BF m a -====-=-=⇒，则此时满足22211AF AB BF +=,所以1ABF ∆ 是直角三角形，且190BAF ∠=︒ , 所以由勾股定理，得2222221212(3)(2)AF AF F F a a c +=⇒+=，得e =,故选B. 2．已知圆()()222:0M x m y m m ++=>在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的内部，点A 为C 上一动点.过A 作圆M 的一条切线，交C 于另一点B ，切点为D ，当D 为AB 的中点时，直线MD的斜率为-，则C 的离心率为（ ） A ．12B．2CD【来源】2021年全国高中名校名师原创预测卷 理科数学 全国卷Ⅰ（第七模拟） 【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则0122x x x =+，0122y y y =+.将A ，B 的坐标分别代入C 的方程，得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减，得()()222212122211x x y y a b-=--， 所以()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+=--+，即()()21202120y y y b x x x a -=--.当D 为AB的中点时，MD k =-，则1AB MDk k =-=，故1212y y x x -=-. 如图，设E 为C 的左顶点，连接OD ，则2DME DOM ∠=∠，所以tan tan 2DME DOM ∠=∠22tan 1tan DOMDOM∠==-∠，整理得2tan 0DOM DOM ∠+∠=，解得tan DOM ∠=或tan DOM ∠=，则00tan 2ODy k DOM x =-∠=-=，所以2242b a ⎛⨯-=- ⎝⎭，所以2214b a =，故C 的离心率13142e =-=. 故选：C.3．（2020·湖北高三期末）已知双曲线C ：2222x y 1(a b 0)a b-=>>右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF FB ⊥，设ABF θ∠=，且ππθ,124⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则双曲线C 离心率的取值范围是______． 【答案】()2,∞+【解析】设双曲线的左焦点为，连接，，AF FB ⊥，可得四边形为矩形，设AF m =，BF n =，即有，且222m n 4c +=，n m 2a -=，m tan θn=， 22222222222c 4c m n 11e 2mn 2a 4a m 2mn n 11m n m n n m+=====-+--++1211tan θtan θ=-+， 由ππθ,124⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得()t tan θ23,1=∈， 则()1t 2,4t+∈，可得21,112t t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，即有2110,12t t⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭+，则()12,211tan θtan θ∞∈+-+，即有)e 2,∞∈+．故答案为：)2,∞+．类型四 利用平面几何性质或圆锥曲线性质【例4】（2020·四川高三期末（理））已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点N ，直线MB 与y 轴交于点H ，若2ON OH =（O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ） A ．3 B ．2C ．32D ．43【答案】A【解析】∵NAO MAF ∽， ∴ON OA aMF AF c a==-，又∵BOH BFM ∽， ∴OH BO aFMBFa c==+，而2ON OH =， ∴2a ac a c a=-+， ∴3c a =， ∴离心率3ce a==，故选：A ．【例5】已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线右支上且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ．若15F A b =，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．()1,2B ．32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,3D ．3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】如图所示：1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，延长2F A 交1PF 于点Q ，PA 是12F PF ∠的角平分线，2PQ PF ∴=，又点P 在双曲线上，122PF PF a ∴-=，112PF PQ QF a -==，又O 是的12F F 中点，A 是2F Q 的中点，OA ∴是12F F Q △的中位线，122QF a OA ∴==，即OA a =，在1F OA △中，OA a =，15F A b =，1OF c =， 由三角形两边之和大于第三边得：5a c b +>， 两边平方得：()225a c b +>， 即()222225a c ac c a++>-，两边同除以2a 并化简得：2230e e --<，解得：312e -<<， 又1e >，312e ∴<<， 在1F OA △中，由余弦定理可知，22222111112cos 2AF FO AO AF AF FO O +-∠==⋅ 在12F AF中，22211221112cos 2AF F F AF AF AF F F O +-==∠⋅，222=又222b c a =-，解得：222273AF a c =-，又22OAF π∠>，2222OA AF OC ∴+<,即222273a a c c +-<，∴e >综上所述：32e ⎫∈⎪⎭. 故选：B. 【方法点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 【举一反三】1．（2020·四川高三期末）双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F P 、是E 左支上一点，且112PF F F =，直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为__________．【答案】53【解析】设直线1PF 与圆222x y a +=相切于点M ，则1,OM a OM PF =⊥ ，取1PF 的中点N ,连接2NF ，由于112PF FF 2c ==,则211,NF PF NP NF ⊥= ， 由2||22NF OM a ==，则2NP b =，即有1||4PF b =，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，即422b c a -=，即2b c a =+，224()b c a =+,即2224()()c a c a -=+，4()c a c a -=+，即35c a =，则53e =.2．（2020·山东高考模拟）过双曲线2222x y a b-=1（a ＞b ＞0）右焦点F 的直线交两渐近线于A ，B 两点，∠OAB ＝90°，O 为坐标原点，且△OAB 内切圆半径为3a，则双曲线的离心率为 . 【答案】52【解析】因为0a b >>，所以双曲线的渐近线如图所示，设内切圆圆心为M ，则M 在AOB ∠平分线Ox 上，过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得FA b =，又OF c =，所以OA a =，13NA MN a ==，所以23NO a =，所以1tan 2MN b AOF a NO =∠==，得52e =.. 3．（2020·湖北高三期末（理））已知F 1,F 2是双曲线2222C :1(00)x y a b a b -=>>，的左右焦点，若直线3y x =与双曲线C 交于P,Q 两点，且四边形F 1PF 2Q 是矩形，则双曲线的离心率为【答案】31+ 【解析】由题意，矩形的对角线长相等，把3y x =代入22221(00)x y a b a b-=>>，，可得22222222333a b a b x y b a b a=±=±⋅--， ，∴222224 3a b c b a=-， ∴4a 2b 2=（b 2-3a 2）c 2， ∴4a 2（c 2-a 2）=（c 2-4a 2）c 2， ∴e 4-8e 2+4=0，∵e ＞1，∴242331e e =+∴=+，． 故选：B ． 4.（2020永州模拟）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，为上一点，且轴，过点的直线与直线交于，若直线与线段交于点，且，则椭圆的离心率为_____．【答案】【解析】由题意，作出图像如下：因为是椭圆的左焦点，所以，又轴，所以，因为分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，直线与线段交于点，且，所以，，由题意易得，，所以，，因此，整理得,所以离心率为.【指点迷津】1.对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于或的等式，再进一步求出离心率.2.常构建等式的方法有：（1）利用圆锥曲线定义（2）利用几何关系（3）利用点在曲线上.3. 本题由题意作出图形，先由是椭圆的左焦点，得到的坐标，求出的长度，根据，表示出的长度，再由，表示出的长度，列出等式，求解即可得出结果.三．强化训练1．（2020吉林长春市实验中学高三）如图，F1，F2分别是双曲线22221x ya b-=(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为()A ．3B ．2C ．31－D ．31+【答案】D【解析】连接1AF ，依题意知：213AF AF =，12122c F F AF ＝＝，所以2112(31)a AF AF AF =-=- 11231(31)AF ce a AF ===+-. 2.（2020安徽铜陵模拟）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第二象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】PF 2⊥PQ 且|PF 2|＝|PQ |，可得△PQF 2为等腰直角三角形， 设|PF 2|＝t ，则|QF 2|＝ ，由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a ﹣t ，则t ＝2（2﹣）a ，在直角三角形PF 1F 2中，可得t 2+（2a ﹣t ）2＝4c 2， 4（6﹣4）a 2+（12﹣8）a 2＝4c 2，化为c 2＝（9﹣6）a 2， 可得e ＝＝．故选A.3.（2020银川一模）椭圆的左右焦点为，，若在椭圆上存在一点，使得的内心I 与重心满足，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】设，又，，则的重心.因为∥所以内心I 的纵坐标为.即内切圆半径为.由三角形面积，，及椭圆定义得，解得，故选D.4．（2020·甘肃兰州一中高三）已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是( )A ．13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【答案】D【解析】如图所示：设椭圆与双曲线的焦距为122F F c =,1PF t =,由题意可得122,2t c a t c a +=-=122,2t a c t a c ∴=-=+ ，1222a c a c ∴-=+ ，即12a a c -= 12111e e ∴-=，即2121e e e =+2222122222211111e e e e e e e e e ∴-=-==++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由21e >可知2101e <<，令21(0,1)x e =∈，2(0,2)y x x ∴=+∈，所以2112e e ->，故选D.5.（2020泰安高三一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M ，若．则该双曲线的离心率为A ． 2B ．3C ．D ．【答案】 D 【解析】根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，因为，在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，，即，，因为圆的半径为，是圆的半径，所以，因为，，，，所以，三角形是直角三角形，因为，所以，，即点纵坐标为，将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，，将点坐标带入双曲线中可得，化简得，，，，故选 D.6.（2020兰州一模）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得，直线的方程为，所以，直线的方程为，所以，故．由可得，整理得 ，显然函数在上单调递增，所以，即．故选A ．7．（2020·河北高三月考）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线分别交1l 及2l 于P ，Q 两点，若满足11122OP OF OQ =+，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2D 5【答案】C【解析】∵22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，∴F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 双曲线的两条渐近线方程为y b a =-x ，y ba=x ， ∵过F 1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P ，Q ． ∵11122OP OF OQ =+， ∴点P 是线段F 1Q 的中点，且PF 1⊥OP ，∴过F 1的直线PQ 的斜率k PQ ab =， ∴过F 1的直线PQ 的方程为：y ab=（x +c ），解方程组()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得P （2a c -，abc ），∴|PF 1|＝|PQ |＝b ，|PO |＝a ，|OF 1|＝|OF 2|＝|OQ |＝c ，|QF 2|＝2a ， ∵tan ∠QOF 2b a =，∴cos ∠QOF 2ac=，由余弦定理，得cos ∠QOF 2222242c c a c +-==1222a ac c-=， 即e 2﹣e ﹣2＝0，解得e ＝2，或e ＝﹣1（舍） 故选C ．9．（2020·湖南长郡中学高考模拟（理））如图所示，直线l 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线，1F ，2F 是双曲线C 的左、右焦点，1F 关于直线l 的对称点为1F '，且1F '是以2F 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D ．3【答案】C【解析】设焦点()1,0F c -关于渐近线:bl y x a=的对称点为()1',F m n ，则22222n b m c b a m a c n a ab n m c b c -⎧-⎧=⋅=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=-⎪⎪+⎩⎩，又点()1',F m n 在圆()222x c y c -+=上，222222b a ab c c c c ⎛⎫-⎛⎫∴-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22244,2a c e e ⇒=⇒=∴=，故选C. 10．（2020·四川棠湖中学高考模拟（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ，抛物线()220=>y px p 与双曲线C 有相同的焦点．设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且12sin PF F ∠=,则双曲线C 的离心率为（ ） AB或3C ．2D ．2或3【答案】D【解析】不妨设P 在第一象限且()00,P x y ，则1,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 过P 作直线2px =-（抛物线的准线）的垂线，垂足为E ， 则112F PE PF F ∠=∠，故112sin sin F PE PF F ∠=∠=因1F PE ∆为直角三角形，故可设,2p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0P x 且25PE PF k ==，17PF k =所以02052242p x k k px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得043p k x k =⎧⎨=⎩或062p k x k =⎧⎨=⎩， 若043p k x k =⎧⎨=⎩，则124F F k =， 22752k e k k ==-； 若062p k x k =⎧⎨=⎩，则126F F k =，33752ke k k ==-； 综上，选D.11．已知椭圆C ：2222x y a b+=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 和B ，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点.设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当2393(ln ||ln ||)32a m nb mn mn ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ） A．3B ．45C．2D ．15【来源】安徽省池州市2021届高三下学期4月普通高中教学质量统一监测文科数学试题 【答案】A【解析】A (-a ，0)，B (a ，0)，设()00,P x y ，则()222202b a x y a -=，而0000,y y m n x a x a==+-，则2202220y b mn x a a==--，又2393(ln ||ln ||)32a m nb mn mn ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭22222339ln 3a bb bb a a a ⎛⎫ ⎪=-++ ⎪ ⎪--⎪⎝⎭322339ln 3a a a b b b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令1at b =>，则322()339ln 3f t t t t t =-+-， 所以()232(3)232639()t t t t t f t t t-+-+-==', 故min ()(3)f t f =，即3a b =，从而3e ==. 故选：A.12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x a =上，且满足1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈.若125430HP HF HF →++=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【来源】四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第三次联考理科数学试题 【答案】C【解析】由1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈，则点H 在12F PF ∠的角平分线上， 由点H 在直线x a =上，则H 是12PF F △的内心，由125430HP HF HF →++=，由奔驰定理（已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·PA ＋S △PAC ·PB ＋S △PAB ·PC ＝0.）知，1212::5:4:3HF F HF P HF P S S S =△△△,即1212111||:||:||5:4:3222F F r PF r PF r ⋅⋅⋅=则1212::5:4:3F F PF PF =，设125F F λ=，14PF λ=，23PF λ=， 则125252F F c c λλ==⇒=，1222PF PF a a λλ-==⇒=，则5ce a ==.故选：C13．已知P 为双曲线22221x y a b -=(0a >，0b >)左支上一点，1F ，2F 为其左右焦点，若221PF PF 的最小值为11a ，则双曲线的离心率为（ ） ABCD ．92【来源】河南省名校联盟2020-2021学年高三下学期4月联考（二） 数学（文科）试题 【答案】B 【解析】设2PF m =，1PF n =，则由双曲线的定义得：2m n a -=，∴()22221244PF a n a n a PF nn+==++，[),n c a ∈-+∞．记()244a n a n f n =++，[),n c a ∈-+∞，()2241a f n n '=-，令()22410f n a n ='-=，得2n a =．（1）当2c a a -≤时，[),2n c a a ∈-，()22410a f n n '=-<，()y f n =单调递减；()2,n a ∈+∞，()22410a f n n'=->，()y f n =单调递增，∴()()min 28f n f a a ==，不合题意，舍去；（2）当2c a a ->时，()22410a f n n'=->恒成立，∴()()n2mi 43a c y n f c c a a a=++=--， ∴24311a c a a c a ++=-，∴229120c ac a -+=，解得c a =⎝⎭或c a =⎝⎭．∵92c a ⎛=⎝⎭不满足2c a a ->，应舍去.∴92c a ⎛+= ⎝⎭，离心率92e +=故选：B ．14．设点1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点.点A ，B 分别在双曲线C 的左，右支上，若21225AB F A AF AB AF ==⋅，，且22AF BF <，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．135D ．177【来源】河南省六市2021届高三第二次联考（二模）数学（文科）试题 【答案】B 【解析】15AB F A =，∴1,,F A B 共线，且15AB F A =，2222222222()AF AB AF AF F B AF AF F B AF =⋅=+⋅=+⋅，∴220F B AF ⋅=，则22F B AF ⊥，故有22222AF BF AB +=，设1F A m =，则5AB m =，16BF m =，由双曲线的定义可得222222226225AF m a m BF aAF BF m ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎩∴222(2)(62)25m a m a m ++-=，整理得()(32)0m a m a --=，解得：m a =或23m a =，若23m a =，则283AF a =，22BF a =，不满足22AF BF <，舍去；若m a =，2234AF a BF a =<=，符合题意，则16BF a =，5AB a =，此时22cos 5||445a BF A a BF AB ∠===，在12F BF 中，22212121222cos F F BF BF BF BF ABF =+-⋅∠，即2224361664542c a a a a =+-⨯⨯⨯，得到222175c e a ==，即22175c a =， ∴5c e a ==． 故选：B ．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A ，F ，过点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为B ，若AQ AB AQ FB ⋅=⋅，且3BQ FQ =，则C 的离心率为( ) A ．2B 51C 25+D ．25+【来源】全国卷地区（老高考）2021届高三下学期4月冲刺联考理科数学试题 【答案】C【解析】由已知得(),0A a ，设(),0F c ，由AQ AB AQ FB ⋅=⋅，得()0AQ AB BF AQ AF ⋅+=⋅=， 所以l x ⊥轴，即:l x a =， 不妨设点Q 在第一象限，则(),Q a b .设()00,B x y ，由3BQ FQ =，得2BF FQ =，()()00,2,c x y a c b ∴--=-，00322x c a y b =-⎧∴⎨=-⎩，即()32,2B c a b --，点()00,B x y 在双曲线上，()()22223221c a b ab--∴-=，整理得229120c ac a --=，291210e e ∴--=， 解得25e +=，或25e -=(负值舍去).故选C. 故选：C16．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点和上顶点分别为点()(),0F c b c >和点A ，直线:65280l x y --=交椭圆于,P Q 两点，若F 恰好为APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题设()()()()1122,0,0,,,,,F c A b P x y Q x y ，则线段PQ 的中点为()00,B x y ， 由三角形重心的性质知2AF FB =，即()00,2,()c b x c y -=-，解得：003,22c b x y ==- 即3,22c b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入直线:65280l x y --=，得592802b c +-=①. 又B 为线段PQ 的中点，则12123,x x c y y b +=+=-，又,P Q 为椭圆上两点，2222112222221,1x y x y a b a b∴+=+=，以上两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，所以221212221212365PQy y x x b b c k x x a y y a b -+==-⋅=-⨯=-+-，化简得225a bc =② 由①②及222a b c =+，解得：42a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即离心率e =. 故选：C.17．已知双曲线1C ：()222210,0x y a b a b -=>>，若存在斜率为1的直线与1C 的左､右两支分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点在圆2C ：()22425x y +-=上，则1C 的离心率的最小值为（ ） ABC ．2D【答案】B【解析】设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2211221x y a b -=①，2222221x y a b-=②①-②得 22221212220x x y ya b---=化简得2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=-+， 因为直线斜率为1，所以212212y y b x x a +=+， 设00(,)M x y 为,P Q 中点，则2020y b x a = ③，其中1202x x x +=，1202y y y +=， 因为M 在圆上，则()2200425x y +-=④ ③代入④可得244004416()405a y b b y b -+=+，方程有解可得84416164()540b a b b ∆=-+⋅≥，即444544b a b ≥+，解得2222c a a-≥,即223c a ≥，所以e ≥ B 18．已知双曲线2222:1x y C a b-=，(0,0)a b >>过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A 、B 两点A 、B 两点分别在一、四象限，若12AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ） AB ．2CD【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题 【答案】A【解析】由题意知：双曲线的右焦点(),0F c ，渐近线方程为b y x a=±， 即0bx ay ±=， 如下图所示:由点到直线距离公式可知：22bc FA b b a==+，又222c a b =+，OA a ∴=，12AF BF=， 即2BF b =， 设AOF α∠=，由双曲线对称性可知2AOB α∠=， 而tan baα=，3tan 2AB b OA a α==， 由正切二倍角公式可知：222222tan 2tan 21ta 1n bb ab a a b a ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯===--， 即2232b ab a a b =-， 化简可得：223a b ，即2213b a =， 由双曲线离心率公式可知：22123113c b e a a ==+=+=. 故选：A.19．（2020·江苏高三月考（理））如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若，则该椭圆的离心率是 .【答案】【解析】依题意可得，,,OA a OF c OB b ===因为90BAO BFO BAO ABO ∠+∠==∠+∠，所以BFO ABO ∠=∠ 所以Rt AOB Rt BOF ∆~∆ 所以OB OF OAOB=，即b ca b=，故222b ac a c ==- 解得，15c -±=因为0c a <<，所以15c -+=，则15c e a -+==20．（2020·山东高考模拟）已知椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F 、，P 为椭圆上的一点2PF 与椭圆交于Q 。
高中数学：求双曲线离心率的取值范围
高中数学：求双曲线离心率的取值范围求双曲线离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，下面举例说明。
一、利用双曲线性质例1、设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。
解析：由题设得：。
由双曲线第二定义得：，由焦半径公式得：，则，即，解得。
小结：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点在双曲线的左支上则；若点在双曲线的右支上则。
二、利用平面几何性质例2、设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，，求双曲线离心率的取值范围。
解析：由双曲线第一定义得：，与已知联立解得：，由三角形性质得：解得：。
小结：求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。
三、利用数形结合例3、（同例2）解析：由例2可知：，点P在双曲线右支上由图1可知：，，即，两式相加得：，解得：。
四、利用均值不等式例4、已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，求双曲线离心率的取值范围。
解析：，由均值定理知：当且仅当时取得最小值，又所以，则。
五、利用已知参数的范围例5、已知梯形ABCD中，，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围。
解析：如图2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设其中是梯形的高，由定比分点公式得，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得，，两式整理得，从而建立函数关系式，由已知得，，解得。
六、利用直线与双曲线的位置关系例6、已知双曲线与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
解析：把双曲线方程和直线方程联立消去得：时，直线与双曲线有两个不同的交点则，，即且，所以，即且。
七、利用点与双曲线的位置关系例7、已知双曲线上存在P、Q两点关于直线对称，求双曲线离心率的取值范围。
【高考数学】圆锥曲线中求参数范围的六种方法
【高考数学】圆锥曲线中求参数范围的六种方法解析几何中求参数范围或与参数有关的问题，往往是高考的热点之一。
本文总结出六种求解这类问题的思考途径与策略。
一、利用题设条件中的不等关系若题设条件中有不等关系，可直接利用该条件求参数的范围。
例1.双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（－1，0）到直线l的距离之和，求双曲线的离心率e的取值范围。
解析：直线l的方程为，即由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线l的距离同理得到点（－1，0）到直线l的距离由，即于是得即解得由于，所以e的取值范围是[，]。
二、应用判别式建立不等式关系若题设中给出直线（或曲线）与曲线有公共点或无公共点时，可以把直线方程（或曲线方程）与曲线方程联立起来，消去某一个未知数，得到含另一个未知数的一元二次方程，就能利用判别式建立所含参数的不等式。
例2.设，两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线。
当直线l的斜率为2时，求直线l在y轴上截距的取值范围。
解析：设直线l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为过点A、B的直线方程可写为由，消y得①即是方程①的两个不同的解，得，且设AB的中点N的坐标为（），则，。
由，于是。
即得直线l 在y 轴上截距的取值范围为。
点评：该题含有两个参数b ，m ，先由直线AB 与抛物线有两个不同的交点，应用判别式求出参数m 的范围，再由题意找出两个参数b ，m 之间的关系式，最后求出参数b 的取值范围。
例3已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()0,31-F ，一条渐近线的方程是025=-y x ． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若以()0≠k k 为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求k 的取值范围． 解：（Ⅰ）设双曲线C 的方程为22221x y a b-=（0,0a b >>）．由题设得22952a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2245a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为22145x y -=． （Ⅱ）解：设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．点11(,)M x y ，22(,)N x y 的坐标满足方程组22145y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得222(54)84200k x kmx m ----=． 此方程有两个一等实根，于是2504k -≠，且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得22540m k +->． ③由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00(,)x y 满足12024254x x km x k +==-，002554my kx m k =+=-．从而线段MN 的垂直平分线方程为22514()5454m kmy x k k k-=----． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29(,0)54km k -，29(0,)54mk -．由题设可得2219981||||254542km m k k ⋅=--．整理得222(54)||k m k -=，0k ≠． 将上式代入③式得222(54)540||k k k -+->，整理得22(45)(4||5)0k k k --->，0k ≠． 解得50||k <<或5||4k >． 所以k 的取值范围是5555,)(,0)(0,)(,)44(∞-+--∞U U U ． 三、根据曲线的范围建立不等关系由椭圆的简单几何性质知，椭圆上任一点的横、纵坐标是有界的，通过有界性就可能找到变量间的不等关系。
求双曲线离心率的取值范围
求双曲线离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。
【例1】设点P 在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P2到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。
【例2】求下列双曲线的离心率：
(1) 双曲线的渐近线方程为y =±2
3x ； (2) 过焦点且垂直于实轴的弦的两个端点与另一焦点的连线所成的角为90度。
【例3】（2000年全国高考题）已知梯形ABCD 中，，点E 分有向线段所成的比为，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当
时，求双曲线离心
率的取值范围。
【解】建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设
其中是梯形的高，由定比分点公式得
，把C 、E 两点坐标分别代入双曲线方程得，
，两式整理得，从而建立
函数关系式，由已知得，，解得。
【例4】设点P 在到点M(-1,0)、N( 1,0)点距离之差的绝对值为2m 的双曲线上且P 到x 轴、y 轴的距离之比为2，求离心率的取值范围。
【例5】双曲线2
2
22b y a x =1（a ﹥1,b ﹥0）的焦距为2c,直线l 过点（a,0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离和s ≥c 54，求e 的取值范围。
双曲线的离心率取值范围
双曲线的离心率取值范围
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双曲线的离心率sec(e)是一个数学特性，它表示的是椭圆的形状，也是一种简单的椭圆。
它代表椭圆的大小和形状。
离心率主要用于几
何图形，如椭圆和圆，并用于在数学上描述这类图形。
其取值范围为0到无穷大。
双曲线的离心率是椭圆局部的离心率。
对于双曲线，离心率代表
两个轴线之比，表示双曲线偏离椭圆形状的程度，也可以以参数形式
描述双曲线的形状。
根据测量结果，双曲线的离心率范围可以通过两
个轴心连线的比例来解释，它的取值范围通常在0到无穷大之间。
当双曲线的离心率大于1时，其实椭圆形状就变成了双曲线，双
曲线形状经常出现在地球上，因为在自然界中有很多形状非常像双曲线。
另外，当离心率小于1时，将出现比较"大"的椭圆类形状，椭圆
的尺寸是双曲线的几倍。
此外，双曲线的离心率也可以衡量双曲线偏
离椭圆形状的程度，这对于定义双曲线的类型有重要的意义。
总的来看，双曲线的离心率的取值范围是从0到无穷大，用于描
述圆形或椭圆形的数学特性，而取值范围也有助于识别双曲线的形状。
也就是说，一个离心率越大，椭圆形状就越像双曲线，反之亦然，当
离心率小于1时，椭圆就会变得更大。
至此，我们可以得出结论，双
曲线的离心率的取值范围在0到无穷大之间。
10双曲线离心率的值及其取值范围
双曲线离心率的值及其取值范围【题1】我们把离心率为e＝5＋12的双曲线22221x ya b-=(a>0，b>0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线x22＝1是黄金双曲线；②若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；③如图，若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；④如图，若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确的是()A．①②B．①③C．②③D．①②③D 解析：①e＝1＋5＋12＝5＋32＝5＋12，双曲线是黄金双曲线．②由b2＝ac，可得c2－a2＝ac，两边同除以a2，即e2－e－1＝0，从而e＝5＋12，双曲线是黄金双曲线．③|F1B1|2＝b2＋c2，|A2B1|2＝b2＋a2，|F1A2|2＝(a＋c)2，注意到∠F1B1A2＝90°，所以b2＋c2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即b2＝ac，由②可知双曲线为黄金双曲线．【题2】双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为()A. 6B. 3C. 2D.3 35.B【题3】 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2D ．32.B【题4】 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上， 一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则它的离心率为( )． A. 5 B.52C. 3 D ．2 解析 由题意知，这条渐近线的斜率为12，即a b ＝12，而e ＝ca ＝1＋（ba）2＝1＋22＝5，故选A.答案 A【题5】 曲线x 210－m ＋y 26－m ＝1(m ＜6)与曲线x 25－m ＋y 29－m ＝1(5＜m ＜9)的( )A ．焦距相等B ．离心率相等C ．焦点相同D ．以上都不正确 解析：由x 210－m ＋y 26－m ＝1(m ＜6)知该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，由x 25－m ＋y 29－m ＝1(5＜m ＜9)知该方程表示焦点在y 轴上的双曲线．答案：D【题6】 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( )A.53B.43C.54D.32解析：双曲线焦点在x 轴，由渐近线方程可得 b a ＝43，可得e ＝c a ＝32＋423＝53. 答案：A【题7】 设△ABC是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为( )A.1＋22B.1＋32 C ．1＋ 2D ．1＋ 3【解析】 由题意2c ＝|BC |，所以|AC |＝2×2c ×sin 60°＝23c ，由双曲线的定义，有2a ＝|AC |－|BC |＝23c －2c ⇒a ＝(3－1)c ，∴e ＝c a ＝13－1＝1＋32. 【答案】 B【题8】 双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( ) A.3 B.62 C.63 D.33[答案] B[解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵△MF 1F 2为等腰三角形，∠F 1MF 2＝120°， ∴∠MF 1F 2＝30°，∴tan30°＝b c ＝33，b 2c 2＝13，c 2－a 2c 2＝1－(a c )2＝13，(c a )2＝32，∴e ＝62. 【题9】 已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．1<e <5－2 B ．1<e <2 C ．1<e <3D ．1<e <2＋ 5[答案] D[解析] 由已知Δ＝b 2－4ac <0， ∴c 2－a 2－4ac <0.∴(c a )2－4(ca )－1<0，即e 2－4e －1<0. ∴2－5<e <2＋ 5. 又e >1，故1<e <2＋ 5.【题10】 如图，椭圆C 1，C 2与双曲线C 3，C 4的离心率分别是e 1，e 2，e 3与e 4，则e 1，e 2，e 3，e 4的大小关系是( )A ．e 2<e 1<e 3<e 4B ．e 2<e 1<e 4<e 3C ．e 1<e 2<e 3<e 4D ．e 1<e 2<e 4<e 3[答案] A[解析] 椭圆离心率越大越扁，双曲线离心率越大，开口越广阔．【题11】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( ) A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)[答案] B[解析] 由双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|＝4a ，∵|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，∴6a ≥2c ，ca≤3，故离心率的范围是(1,3]，选B.【题12】 已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有( )A.1e 21＋1e 22＝4 B ．e 21＋e 22＝4 C.1e 21＋1e 22＝2D ．e 21＋e 22＝2[答案] C[解析] 设椭圆长半轴长为a ，双曲线实半轴长为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ①||PF 1|－|PF 2||＝2m ②①2＋②2得：2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝4a 2＋4m 2， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2代入上式得4c 2＝2a 2＋2m 2， 两边同除以2c 2得2＝1e 21＋1e 22，故选C.【题13】 已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2的值( ) A ．大于0且小于1B ．大于1C ．小于0D ．等于0[答案] C[解析] ∵lg e 1＋lg e 2＝lg a 2－b 2a ＋lg a 2＋b 2a ＝lg a 4－b 4a 2<lg a 2a 2＝0，∴lg e 1＋lg e 2<0.【题14】 双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2D.32解析 依题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ， ∴a ＝b ，∴c 2＝2a 2，∴c 2a 2＝2，∴e ＝ 2. 答案 C【题15】 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析 记e 1＝a 2＋b 2a，e 2＝m 2－b 2m，又e 1·e 2＝1，∴ a 2＋b 2·m 2－b 2am ＝1，化简得b 2(m 2－a 2－b 2)＝0，∵b 2>0，∴m 2－a 2－b 2＝0，即m 2＝a 2＋b 2， ∴以a 、b 、m 为边长的三角形一定是直角三角形． 答案 B【题16】 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52 解析 依题可设渐近线的方程为y ＝－ba x ， 代入点(4，－2)，得a ＝2b .∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝5b 24b 2＝54，又∵e >1，∴e ＝52.答案 D【题17】 过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若AB ＝12BC ，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 5D.10解析：右顶点为A (a,0)，则直线方程为x ＋y －a ＝0，可求得直线与两渐近线的交点坐标B (a 2a ＋b ，ab a ＋b )，C (a 2a －b ，－ab a －b )，则BC ＝(2a 2b a 2－b 2，－2a 2ba 2－b 2)，AB ＝(－ab a ＋b ，ab a ＋b ).又2AB ＝BC ，∴2a ＝b ，∴e ＝ 5. 答案：C【题18】 已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点.若△ABF 2为直角三角形，则双曲线的离心率为( )A ．1＋ 2B ．1±2 C. 2D.2±1解析：∵△ABF 2是直角三角形， ∴∠AF 2F 1＝45°， |AF 1|＝|F 1F 2|，b 2a ＝2c .∴b 2＝2ac ，∴c 2－a 2＝2ac ， ∴e 2－2e －1＝0.解得e ＝1±2.又e >1， ∴e ＝1＋ 2. 答案：A【题19】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正△MF 1F 2.若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为( )A ．1＋ 3B ．4＋2 3C ．23－2D ．23＋2解析：如图，设N 为MF 2的中点，N 在双曲线上，∴|NF 1|－|NF 2|＝2a . 又|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c ， ∴3c －c ＝2a ， ∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1. 答案：A【题20】 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上， 一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则它的离心率为( )．A. 5B.52C. 3 D ．2 解析 由题意知，这条渐近线的斜率为12，即a b ＝12，而e ＝ca ＝1＋（ba）2＝1＋22＝5，故选A.答案 A。
双曲线的离心率的取值范围
双曲线的离心率的取值范围一、引言双曲线是数学中的一种重要的曲线，其形状独特，具有许多特殊的性质。
在双曲线的研究中，离心率是一个非常重要的参数，它可以描述双曲线形态的“扁平程度”。
本文将详细介绍双曲线离心率的定义、计算方法和取值范围。
二、双曲线离心率的定义在直角坐标系中，设有两个定点F1(x1,y1)和F2(x2,y2)，且距离为2c(c>0)，则以这两个定点为焦点、距离差为2a(a>c>0)的所有点P(x,y)构成的图形称为双曲线。
其中，a/c称为双曲线的离心率。
三、双曲线离心率的计算方法对于标准形式下的双曲线：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其焦点坐标分别为F1(ae,0)和F2(-ae,0)，其中e为离心率，则有：c=ae。
由此可得：$e=\frac{c}{a}$。
因此，我们只需要知道双曲线长轴和短轴长度即可计算出其离心率。
四、双曲线离心率的取值范围对于双曲线而言，其离心率的取值范围为(1,∞)。
其中，当离心率e=1时，双曲线退化为一条抛物线；当e>1时，双曲线呈现出“扁平”的形态，长轴与短轴之比越大，离心率越大；当e趋近于无穷大时，双曲线的形态趋近于两条平行直线。
五、双曲线离心率的应用在实际应用中，双曲线广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
例如，在天文学中，万有引力可以被描述为一条双曲线；在经济学中，货币汇率的变化也可以被描述为一条双曲线。
此外，在工程学中，许多结构设计都涉及到双曲线形状的物体。
六、总结本文详细介绍了双曲线离心率的定义、计算方法和取值范围，并且阐述了其在实际应用中的重要性。
对于数学爱好者和从事相关领域工作的人士而言，深入研究和掌握双曲线的离心率是非常有必要的。
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求双曲线离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，下面举例说明。
一、利用双曲线性质
例1设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。
2 设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，，求双曲线离心率的取值范围。
3（同例2）2可知：P在双曲线右支上由图1可知：，，即，两式相加得：，解得：。
4 已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，求双曲线离心率的取值范围。
5（2000年全国高考题）已知梯形ABCD中，，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B 为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围。
2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设其中是梯形的高，由定比分点公式得，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得，，两式整理得
，从而建立函数关系式，由已知
得，，解得。
6已知双曲线与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
7已知双曲线
上存在P、Q两点关于直线对称，求双曲线离心率的取值范
围。
PQ中点为M，由点差法求得，当点M在双曲线内部时
，整理得：无解；当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：，即，则，所以。
8 已知过双曲线左焦点的直线交双曲线于P、Q两点，且（为原点），求双曲线离心率的取值范围。
OP⊥OQ得，即：，解得：，因为，所以，则
，所以。
解析：
点评：
二、利用平面几何性质
例
解析：
，由三角形性质得：解得：。
点评：
三、利用数形结合
例
解析：
，点
四、利用均值不等式
例
解析：，
五、利用已知参数的范围
例
解析：
六、利用直线与双曲线的位置关系
例
解析：
七、利用点与双曲线的位置关系
例
解析：
八、利用非负数性质
例
解析：
，由
求双曲线离心率的取值范围时要根据题情，因题制宜挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线离心率的取值范围
设，过左焦点的直线方程：，代入双曲线方程得：
，由韦达定理得：，设
，弦把双曲线方程和直线方程联立消去得：
时，直线与双曲线有两个不同的交点则，
，即且，所以，即且。
如图由均值定理知：当且仅当时取得最小值，又
所以，则。
由例求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。
由双曲线第一定义得：，与已知联立解得：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点在双曲线
的左支上则；若点在双曲线的右支上则。
由题设得：。
由双曲线第二定义得：，由焦半径公式得：，则，即，解得。