求双曲线离心率取值范围涉附到解析几何

求双曲线离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，下面举例说明。

一、利用双曲线性质

例1设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。2 设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，，求双曲线离心率的取值范围。3（同例2）2可知：P在双曲线右支上由图1可知：，，即，两式相加得：，解得：。4 已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，求双曲线离心率的取值范围。5（2000年全国高考题）已知梯形ABCD中，，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B 为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围。2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设其中是梯形的高，由定比分点公式得，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得，，两式整理得

，从而建立函数关系式，由已知

得，，解得。6已知双曲线与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。7已知双曲线

上存在P、Q两点关于直线对称，求双曲线离心率的取值范

围。PQ中点为M，由点差法求得，当点M在双曲线内部时

，整理得：无解；当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：，即，则，所以。8 已知过双曲线左焦点的直线交双曲线于P、Q两点，且（为原点），求双曲线离心率的取值范围。OP⊥OQ得，即：，解得：，因为，所以，则

，所以。

解析：

点评：

二、利用平面几何性质

例

解析：

，由三角形性质得：解得：

。

点评：

三、利用数形结合

例

解析：

，点

四、利用均值不等式

例

解析：，

五、利用已知参数的范围

例

解析：

六、利用直线与双曲线的位置关系

例

解析：

七、利用点与双曲线的位置关系

例

解析：

八、利用非负数性质

例

解析：

，由

求双曲线离心率的取值范围时要根据题情，因题制宜挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线离心率的取值范围

设，过左焦点的直线方程：，代入双曲线方程得：

，由韦达定理得：，设

，弦把双曲线方程和直线方程联立消去得：

时，直线与双曲线有两个不同的交点则，

，即且，所以，即且。如图由均值定理知：当且仅当时取得最小值，又

所以，则。由例求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。由双曲线第一定义得：，与已知联立解得：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点在双曲线

的左支上则；若点在双曲线的右支上则。由题设得：。由双曲线第二定义得：，由焦半径公式得：，则，即，解得。