第一章 机械优化设计的基本问题
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机械优化设计 优化设计中的几个问题
2 1 2 2 T
144 4 x1 4 4 x 2
令 x1 12x1
11
x2 2x2
机械优化设计
1 f x x x x1 x2 x1 3
2 1 2 2
x2
T
可将Hession矩阵的主对角线元素全部化为1.
1 x1* x1 *， 12 1 x2 * x2 * 2
③ 提高运行的稳定性； 的准确性。 原则：不能改变约束的性质。
6
④ 提高运行解
机械优化设计
1. 设计变量应取相同的数量级 设计变量常存在量级差异: 模数:1-10毫米; 齿轮齿数:12-100多;杆长:几百—几 千毫米. 这在一维方法中选取初始进退距产生了困难. 改进办法: 将设计变量全部无量纲化和规格化. （1）用初始点的各分量进行标度
gu ( X ) 0
ku gu ( X ) 0
0 [ ]
ku 为正整数
（2）将约束条件规格化 例1 例2
[ ] g ( X ) 1
g ( X ) 0,1
a xi a xi b(b 0) 1 b b
xi a g2 ( X ) 0 b b
( 0) ˆ x xi xi ,i 1,2,...,n i
（2） 通过设计变量的变化范围进行标度 当有 xid xi xig ,i 1, 2,..., n xi xid ˆi g , 作变换 x n d i 1, 2,..., xi xi
ˆ i 的值在(0--1)变化. 这样可使 x 其反变换公式为
可自动满足.
10
机械优化设计
4. 目标函数的尺度变换 对于二次函数, 若Hession矩阵的主对角线元素的大 小很悬殊, 则其等值线是一族扁平的椭圆. 利用梯度法和 共轭方向法求解时有困难—稍有计算误差,搜索方向便有 较大的偏离. 办法:通过变换,使Hession矩阵的主对角线元素变 为相同值.
144 4 x1 4 4 x 2
令 x1 12x1
11
x2 2x2
机械优化设计
1 f x x x x1 x2 x1 3
2 1 2 2
x2
T
可将Hession矩阵的主对角线元素全部化为1.
1 x1* x1 *， 12 1 x2 * x2 * 2
③ 提高运行的稳定性； 的准确性。 原则：不能改变约束的性质。
6
④ 提高运行解
机械优化设计
1. 设计变量应取相同的数量级 设计变量常存在量级差异: 模数:1-10毫米; 齿轮齿数:12-100多;杆长:几百—几 千毫米. 这在一维方法中选取初始进退距产生了困难. 改进办法: 将设计变量全部无量纲化和规格化. （1）用初始点的各分量进行标度
gu ( X ) 0
ku gu ( X ) 0
0 [ ]
ku 为正整数
（2）将约束条件规格化 例1 例2
[ ] g ( X ) 1
g ( X ) 0,1
a xi a xi b(b 0) 1 b b
xi a g2 ( X ) 0 b b
( 0) ˆ x xi xi ,i 1,2,...,n i
（2） 通过设计变量的变化范围进行标度 当有 xid xi xig ,i 1, 2,..., n xi xid ˆi g , 作变换 x n d i 1, 2,..., xi xi
ˆ i 的值在(0--1)变化. 这样可使 x 其反变换公式为
可自动满足.
10
机械优化设计
4. 目标函数的尺度变换 对于二次函数, 若Hession矩阵的主对角线元素的大 小很悬殊, 则其等值线是一族扁平的椭圆. 利用梯度法和 共轭方向法求解时有困难—稍有计算误差,搜索方向便有 较大的偏离. 办法:通过变换,使Hession矩阵的主对角线元素变 为相同值.
《机械优化设计》-课程教学大纲
《机械优化设计》-课程教学大纲第一篇：《机械优化设计》-课程教学大纲《机械优化设计》－课程教学大纲修订—、课程名称机械优化设计Mechanical Optimize Design二、学分、学时2学分，32学时三、预修课程高等数学、理论力学、数值分析、机械学、计算机科学等。
四、适用学科领域机械设计及理论、森林工程、交通工程和控制理论与控制工程等。
五、课程主要内容、重点难点及学时分配（一）教学基本要求：通过实用机械优化设计的教学要使专业学生了解优化设计的基本思想，优化设计在机械中的作用及其发展概况。
初步掌握建立数学模型的方法，熟练掌握优化方法。
并具备一定的将机械工程问题转化为最优化问题并求解的应用能力。
（二）培养能力与素质：本门课程的教学目的和任务是：通过实用机械优化设计的教学使学生掌握问题转化成最优化问题的方法。
并且利用最优化的方法编制计算机程序，用计算机自动寻找最佳的设计方案。
机械优化设计是一种现代设计方法。
在有条件的情况下，应在课余时间指导学生上机操作，提高学生独立工作的能力，掌握实例用于解决工程实际问题。
（三）主要内容和重点、难点本门课程的主要内容包括：机械优化设计的基本术语和数学模型，优化设计的基本概念和理论；无约束最优化方法，约束优化设计的直接法，约束优化设计人间接解法。
第一章机械优化设计的基本术语和数学模型通过列举一些实际的优化设计问题，对机械优化设计的数学模型及用到的基本述评作一简要叙述。
对主要名词术语进行定义和作必要的解释。
使学生了解模型的形式和分类初步掌握数学模型建立的方法，了解设计的一般过程用其几何解释。
1．1几个机械优化设计问题的示例 1．2机械优化设计的基本术语1．3优化设计的数学模型及其分类 1．4优化设计方法1．5优化设计的一般过程及其几何解释第二章优化设计的某些概念和理论在讲述机械优化设计方法之前,首先讲述目标函数、约束函数的基本性质。
目标函数达到约束最控制的条件及迭代法求解的一般原理和收敛条件等。
机械优化设计方法第一章
2、现代设计法 现代设计法是一个科学的、理性的、动态的和计算机化 的过程。 （1）动向预测 （2）信号分析 （3）科学类比 （4）系统分析 （5）逻辑分析 （6）相似分析 （7）模拟分析 （8）优化设计 （9）有限元分析 （10）动态分析 （11）可靠性分析
3 最优化问题
最优化技术是一门较新的学科分支。它是上世纪五十年代初在 电子计算机广泛应用的推动下才得到迅速发展，并成为一门直到目 前仍然十分活跃的新兴学科。最优化所研究的问题是在众多的可行 方案中怎样选择最合理的一种以达到最优目标。
配料
石灰石 谷物 大豆粉
钙
0.380 0.001 0.002
蛋白质
0.00 0.09 0.50
纤维
0.00 0.02 0.08
成本（元/ kg） 0.0164
0.0463
0.1250
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1，x2，x3是生产100kg混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的 量（kg）。
例5 如图所示，有一块边长为6m的正方形铝板，四角 截去相等的边长为x的方块并折转，造一个无盖的箱子， 问如何截法(x取何值)才能获得最大容积的箱子?
请注意优化设计目标：箱子容积最大。 这个简单的最优化问题可把箱子的容积V表成变量参数 x的函数，V=x(6-2x)2，令其一阶导数为零(即dV/dx=0)，求 得极大点x=1、函数极 大值Vmax=16，从而获 得四角截去边长1m的 正方形使折转的箱子 容积最大(16m3）最优 方案。
圆杆截面图
2L
桁杆示意图
解：桁杆的截面积为 ： S dB 桁杆的总重量为： W 2dB L2 h 2
2 2 p p L h 负载2p在每个杆上的分力为： p 1 cos h
机械优化设计总复习
x* (2,0)
F(x*) 0
约束方程所围成的可行域是D。
x2 g3(x)=0 g2(x)=0
2
1
-1 0
g1(x)=0
，
D A x*=[0.58, 1.34]T
1
2
3
4
g4(x)=0 x1
f(x)=3.8
m in
F (x)
x12
x
2 2
4 x1
4
s.t. g1 ( x ) x1 x2 2 0
j 1 ,2 , ,J
若 d 是 X (k) 点的一个可行下降方向，则应有
可行： [ g j( x k ) ] T d k 0(j 1 ,2 , ,J )
F
gxj (i x)jJ
j
0
gj xi
l
k
k1
( jJ)
hk xi
0
(i 1,2,
j 0 ( jJ)
,n)
28
同时具有等式和不等式约束的优化问题
29
K-T条件是多元函数取得约束极值的必 要条件,可以用来作为约束极值的判断条件， 又可以来直接求解较简单的约束优化问题。
7
（ 二）约束优化设计的最优解
约束优化设计的最优解为使
min f X s.t. gu X 0 ,u1,2, ,m
hv X 0 ,v 1,2, , pn
的 X* 、f (X*) 。
8
优化问题的几何解释
• 无约束优化问题就是在没有限
制的条件下，对设计变量求目 标函数的极小点。在设计空间 内，目标函数是以等值面的形 式反映出来的，则无约束优化 问题的极小点即为等值面的中 心。
第1章 机械优化设计的基本问题
(1)点距准则
X ( k ) X ( k 1)
X ( k 1) = X ( k ) + ( k ) S ( k )
2
xi(k ) xi( k 1)
i 1
n
x2
x (0)
(0) x (1) S
(2)函数下降量准则
F ( k ) F ( k 1) F ( k ) F ( k 1) (k ) F
X (1) = X (0) + (0) S ( 0) , F X (1) < F X (0) X (2) = X (1) + (1) S (1) , F X (2) < F X (1) ...... ...... ...... ......
x2
(0) X (1) S
T
数学模型的 另一种写法
10 x1 x2 min F X x1 x2 x x 1 2 X x1 x2 D R 2
T
D : g1 X x1 3 0 g2 X x2 0 g3 X 2 x 2 0 g 4 X x3 0 h X x1 x2 x3 5 0 h X x1 x2 x3 5 0
P 2H
2 2 N P L2 + H 2 L + H S S T d T 2 TH d T
x2
g1 ( X ) g2 ( X ) g3 ( X )
* X2
X x1 x2 D R 2 D : g1 ( X ) x1 x2 2 0 g2 ( X ) x12 x2 1 0 g3 ( X ) x1 0 g4 ( X ) x2 0
《机械优化设计》第一章 优化设计概述
f ( x) W1 f1 ( x) W2 f2 ( x) ... Wq f q ( x)
Wq：加权因子，是个非负系数。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
求设计变量 x [ x1 x2 xn ]T , xn ) min , l) 使目标函数f ( x) f ( x1 , x2 , 和g j ( x) 0( j 1, 2, , m)
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
FL F ( B 2 h ) 钢管所受的压力F1 h h 2 EI 压杆失稳的临界压力Fe 2 L 其中，I是钢管截面惯性矩 I
1 2 2
θ
θ
L
A 2 (T D 2 ) 4 8 A是钢管截面面积A ( R 2 r 2 ) TD (R4 r 4 ) r和R分别是钢管的内半径和外半径 D=r+R而T=R-r
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
优化设计的维数：设计变量的数目称为优化设计的维数，如 有n(n=1，2，…)个设计变量，则称为n维设计问题。
任意一个特定的向量都可以说是一个“设计”。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
设计空间：由n个设计向量为坐标所组成的实空间称作设计 空间。 一个“设计”，就是设计空间中的一个点，这个点可以看 成是设计变量向量的端点（始点是坐标原点），称这个点式 设计点。 设计空间的维数（设计的自由度）：设计变量愈多，则设计 的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度 亦愈大、求解亦愈复杂。 • 含有2—10个设计变量的为小型设计问题； • 10—50个为中型设计问题； • 50个以上的为大型设计问题。
机械优化设计1-2
d
的变化率
其定义应为： f d
x0
lim
d 0
f ( x10 x1, x20 x2 ) f ( x10, x20 ) d
称它为该函数沿此方向的方向导数。
方向导数是偏导数概念的推广，偏导数是方向导数的特例。
f d
x 0 lim
d 0
lim
d 0
f x 2 x1 4 4 f ( x0 ) 1 f 2 x2 2 2 x2
f ( x0 ) ( f 2 f 2 ) ( ) (4) 2 (2) 2 2 5 x1 x2
2 5 1 5
f ( x0 ) 1 4 p f ( x0 ) 2 5 2
在
x1 － x2 平面上画出函数等值线和
x0 (0,0) 点处的梯度
p 方向
方向。
p 最大的方向
，如图所示。从图中可以看出，在 x0
点处函数变化率
凸集、凸函数与凸规划
根据函数极小值条件所确定的极小点 附近的一切 在x
*处取得局部极小值，称
x 是指：函数在 x
*
x 均满足不等式 f ( x ) f ( x* ) 所以称函数 f ( x )
x
*
为局部极小点。
函数极值条件所确定的极小点只是反映函数在此 x* 附近的 局部性质。 优化问题一般是要求目标函数在某一区域内的最小点，也
就是要求全局极小点。
凸集、凸函数与凸规划
函数的局部极小点并不一定就是全局极小
点，只有函数具备某种性质时，二者才能
等同。
因此对局部极小和全局极小点之间的关系
应该作进一步的说明。
机械优化设计课件2
用如下二维问题来说明有约束优化问题的几何解释 可知该问题的最优点为目标函数等值线 与可行域边界 g2 ( x) 0 的切点
( x1* , x2* ) (1.34,0.58)
* * 最优值为: f ( x1 , x2 ) 3.8
该问题的目标函数及等值线
该问题的设计空间及可行域
有约束的二维优化问题极值点所处位置的不同情况:
等式约束
---要求设计点同时在n维设计空间l个约束曲面上
不等式约束
---要求设计点在设计空间约束曲面的一侧(包括曲面本身)
在设计空间中,满足所有约束条件的区域称为可行域。
在设计空间中,至少不满足一个约束条件的区域称为非可行域。 可行域可记为： D x g j ( x) 0 ( j 1, 2,
在优化过程中，通过设计变量的不断向F(X)值改善的方向自动调整，最 后求得F(X)值最好或最满意的X值。
在实际优化问题中，对目标函数有两种要求形式
目标函数极小化 目标函数极大化
等价
所以，今后优化问题的数学表达一律采用目标函数的极小化形式
目标函数在设计空间的图像描述
一般地，n维目标函数可以在n+1维空间中描述其图像。 为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面的方法。其数学表达式：
1、
2、
采用作图法进行人字架的优化设计
3、数值迭代法（数学规划法）：
xk
k 从一个初始设计 x 出发，按如下迭代公式：
x k 1 x k x k k 1 x 得到一个改进的设计 。
（ x k ——修改量）
k 在这类方法中，许多算法是沿着某个搜索方向 ，以适当步长 k 的方式 d k 实现对 x 的修改，以获得x k 的值。
机械优化设计讲义
机械优化设计讲义学院:专业:姓名:学号:第一讲绪论一、机械优化设计的基本概念1、什么是优化设计在机械产品设计过程中，根据问题的性质和给定的条件，在分析的基础上,综合各方面的要求因素，从全部可行的方案中,寻找出最优方案的方法和过程。
优化设计是利用高等数学中求极(最)值理论，以计算机为计算工具，用数值分析的方法,对机械产品设计问题求出最佳设计参数的工程方法。
“优化设计”对应的是“经验设计".2、优化设计的过程A、分析设计任务的对象，提出设计思想B、建立优化数学模型，包括选取设计变量，建立目标函数和约束方程C、选择优化方法(自编程序或选择商品程序），上机计算D、对计算结果进行分析F、当结果不甚合理时,修改数学模型，返回B。
3、优化设计的局限A、优化设计过程是人和机器合作完成的，“人”在其中起着巨大作用。
B、所谓“最优"是相对的，当设计思想、约束条件,甚至初始方案改变时，最优方案也要改变。
C、“最优方案"是否合理、可行，还是要用经验来判断。
二、一个优化设计实例内径D1。
变换成中径D和壁厚T；D= （D0+D1）/2T = (D0-D1)/2设材料已经选定，即材料的弹性模量E，许用应力【σ】,密度ρ等已确定.设计要求：1、强度要求:σ压＝P/（πDT) ≤【σ】2、稳定要求：σ压 ＝P/（πDT ） ≤ )(82222T D LE+π欧拉应力3、结构要求： D ≤ K 1T ≥ K 2 K 1,K 2为定值 T ≤ D/2 杆的重量： W = πDTLρ整个问题可以归结为： 设计一个压杆，在满足上述5个条件的前提下，使W 最小。
经验设计此问题,人工选取一对D 和T ，分别代入上述5个条件,都满足时即可。
是否重量最轻，材料最省，不予考虑,也不得而知。
用优化设计的语言表示上述问题：D,T （或者D 0、D 1)为设计变量，表示成： X ＝ (x1， x2)W 为目标函数，是设计变量的函数，表示成： W = F(x1, x2） = F(X) 5个条件叫做 约束方程，或者约束条件。
《机械优化设计》绪论、第一章
问题：是否每个设计约束中都必须包含 n个设计变量？m+p个约束呢？ 不等式约束能否表达成 gu(x)≥ 0 ？ p X为什么必须小于 n ?
例：有三个不等式约束
g1(x) = - x1 ≤0 g2(x) = - x2 ≤0 g3(x) = x12 + x22 - 1 ≤0
g 1 (x ) = 0
2
g 3 (x ) = 0
机械优化设计
绪
1、 优化 在规定的范围内（或 条件下），寻找给定函 数取得的最大值（或最 小值）的条件。
论
f f(x)
例如, 在右图中，求 得一维函数 f(x) 最小 f(x ) 值的条件为：若ｘ取 x*， 0 则 f(x) 取得最小值 f(x*)。
*
x*
x
绪
论
优化就是为了在完成某一任务时所作的努力最 少、付出最小，而使其收益最大、效果最好。 2 、 优化设计 优化设计是使某项设计在规定的各种设计限 制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指 标获得最优值。
§1-2
优化设计问题的数学模型
(k),
设计点: X(k)（x1(k), x2
…,x
n
(k)）：
是设计向量X(k)的端点，代表设计空间中的一个点，也代表第 k 个设计方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。 设计空间 Rn ：以x1, x2 , …,xn 为坐标轴，构成 n 维欧氏实空间 Rn。它包含了所有可能的设计点，即所有设计方案。 例：右图三维空间中 第1设计点：X(1) = [x1(1),x2(1),x3(1)]T 第2设计点：X(2) = [x1(2),x2(2),x3(2)]T 其中：X(2) = X(1) +ΔX(1) 增量：ΔX(1)=[Δx1(1),Δx2(1),Δx3(1)]T 即 x1(2) = x1(1) + Δx1(1) x2(2) = x2(1) + Δx2(1) x3(2) = x3(1) + Δx3(1)
《现代机械优化设计》第1章 概述
5)混合离散规划是二十世纪八十年代提出的,目前仍在发展 过程中.
* 最优化方法用于机械设计是从二十世纪六十年代开始的, 较早的成果主要反映在机构的优化设计方面,现已广泛用 于机械零部件设计和机械系统的优化设计。
机械优化设计的主要内容
一）优化设计概论 二）一维搜索方法 三）无约束优化方法 四）线性规划方法 五）约束优化方法 六）多目标优化方法 七）机械优化设计实例
x1
3. 步长:
(k)
4. 是否终止迭代。 --后三个问题是每次迭代都要解决的问题，
但中间两个是数学规划法的核心。
3.算法的收敛性和收敛准则
1)算法的收敛性
若由某迭代算法计算得到的近似解系列 X (k),k 0,1,2,.....
有极限 lim X (k) X *,这里X *为精确解,则称该迭代算法是 k
“所有的”可行方案中找出“最优的”设 计方案.
二.优化设计方法简介
1)古典方法: 微分法; 变分法. ---仅能解决简单的极值问题
2)现代方法: 数学规划方法 ---可求解包含等式约束和不等式约束 的复杂的优化问题.
有线性规划、非线性规划、几何规划、动态规划 和混合离散规划等。
三.最优化方法的发展概况
---是适于生产建设、计划管理、科学实验和战争的需要发展起来的。
1）二十世纪三十年代.前苏联 Канторович 根据生产组织和计划管理的需要提出线性规划问题. 在 第二次世界大战期间出于战争运输需要，提出线性规划 问题的解法；
2）二十世纪五十年代末. H.W.Kuhn & A.W.Tucker提出 非线性规划的基本定理,奠定了非线性规划的理论基础. 其求解方法在六十年代获得飞速发展;
3)二十世纪六十年代.美数学家 R.J.Duffin（卡内基工 学院的达芬教授）提出了几何规划, 可把高度非线性的 问题转化为具有线性约束的问题来求解, 使计算大为简 化; 4)动态规划由 数学家R.Bellman (University of Southern California)创立, 可解与时间有关的最优化问题;
* 最优化方法用于机械设计是从二十世纪六十年代开始的, 较早的成果主要反映在机构的优化设计方面,现已广泛用 于机械零部件设计和机械系统的优化设计。
机械优化设计的主要内容
一）优化设计概论 二）一维搜索方法 三）无约束优化方法 四）线性规划方法 五）约束优化方法 六）多目标优化方法 七）机械优化设计实例
x1
3. 步长:
(k)
4. 是否终止迭代。 --后三个问题是每次迭代都要解决的问题，
但中间两个是数学规划法的核心。
3.算法的收敛性和收敛准则
1)算法的收敛性
若由某迭代算法计算得到的近似解系列 X (k),k 0,1,2,.....
有极限 lim X (k) X *,这里X *为精确解,则称该迭代算法是 k
“所有的”可行方案中找出“最优的”设 计方案.
二.优化设计方法简介
1)古典方法: 微分法; 变分法. ---仅能解决简单的极值问题
2)现代方法: 数学规划方法 ---可求解包含等式约束和不等式约束 的复杂的优化问题.
有线性规划、非线性规划、几何规划、动态规划 和混合离散规划等。
三.最优化方法的发展概况
---是适于生产建设、计划管理、科学实验和战争的需要发展起来的。
1）二十世纪三十年代.前苏联 Канторович 根据生产组织和计划管理的需要提出线性规划问题. 在 第二次世界大战期间出于战争运输需要，提出线性规划 问题的解法；
2）二十世纪五十年代末. H.W.Kuhn & A.W.Tucker提出 非线性规划的基本定理,奠定了非线性规划的理论基础. 其求解方法在六十年代获得飞速发展;
3)二十世纪六十年代.美数学家 R.J.Duffin（卡内基工 学院的达芬教授）提出了几何规划, 可把高度非线性的 问题转化为具有线性约束的问题来求解, 使计算大为简 化; 4)动态规划由 数学家R.Bellman (University of Southern California)创立, 可解与时间有关的最优化问题;
机械优化设计第1章概述-PPT精品文档
50年代末数学规划方法被首次用于结构最优化，并成为优 化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世界 大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规 划是其主要内容。
最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是 6O年代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的 设计方法。
Evaluation only. eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.
第一章 优化设计的基本概念
§1-1 绪论
Evaluation only. §1-2 优化设计问题的示例 eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. §1-3 优化设计的数学模型
第三阶段 工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给 Evaluation only. 解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发 了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任 eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0 的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 直觉的方法得到了更多的应用。
机械优化设计
机械工程系 吴军 2009.8
Evaluation only. eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.
机械优化设计教案第一章
❖宽容分层序列法
宽容分层序列法可解决上述分层序列法中出现的问题。 该方法即对各目标函数的最优值放宽要求。即在求后一 个目标函数的最优值时，对其前一个目标函数不再严格 限制在最优解内，而是在前一目标函数最优值附近的某 一范围进行优化，因而避免了计算过程的中断。
23
就目前的研究来看，多目标优化问题较单目 标优化问题，在理论上和计算方法还很不完善， 也不够系统。故本课程仅就单目标优化问题的优 化方法加以介绍。
g2 ( X ) 0
g3 ( X ) x1 0 g4 ( X ) x2 0
g3 ( X ) 0 D
g1 (X ) 0
o
CB
A
x1
可行区域 g4 ( X ) 0 14
目标函数
目标函数或评价函数是优化变量（x1, x2, …, xn） 的数学函数。
如：例1-1中箱盒用量最省; 例1-2中建筑公司如何建造甲乙两种住房可 获得最大利润。
代表着n维优化空间Rn的一个点（即一个 方案）。
优化问题的最优方案或最优解可记作： X* = [ x1*, x2*, …, xn*]T
12
约束条件
即对优化变量的取值加以某些限制的条件。 根据有无பைடு நூலகம்束，优化问题可分为：
➢约束优化问题 ➢无约束优化问题。 约束条件的类型 ➢按约束形式分：
不等式约束 等式约束 ➢按约束函数的形式分： 显函数约束 隐函数约束
主要包括： ➢机械零部件的优化设计； ➢机构优化设计； ➢机构动力学优化设计； ➢工艺装备参数的优化设计等。
8
1.2 优化模型
优化模型的三要素：优化变量（在设计领域 称设计变量）、约束条件、目标函数。
优化变量
指在最优化问题中可进行调整和优选的独立参数。
宽容分层序列法可解决上述分层序列法中出现的问题。 该方法即对各目标函数的最优值放宽要求。即在求后一 个目标函数的最优值时，对其前一个目标函数不再严格 限制在最优解内，而是在前一目标函数最优值附近的某 一范围进行优化，因而避免了计算过程的中断。
23
就目前的研究来看，多目标优化问题较单目 标优化问题，在理论上和计算方法还很不完善， 也不够系统。故本课程仅就单目标优化问题的优 化方法加以介绍。
g2 ( X ) 0
g3 ( X ) x1 0 g4 ( X ) x2 0
g3 ( X ) 0 D
g1 (X ) 0
o
CB
A
x1
可行区域 g4 ( X ) 0 14
目标函数
目标函数或评价函数是优化变量（x1, x2, …, xn） 的数学函数。
如：例1-1中箱盒用量最省; 例1-2中建筑公司如何建造甲乙两种住房可 获得最大利润。
代表着n维优化空间Rn的一个点（即一个 方案）。
优化问题的最优方案或最优解可记作： X* = [ x1*, x2*, …, xn*]T
12
约束条件
即对优化变量的取值加以某些限制的条件。 根据有无பைடு நூலகம்束，优化问题可分为：
➢约束优化问题 ➢无约束优化问题。 约束条件的类型 ➢按约束形式分：
不等式约束 等式约束 ➢按约束函数的形式分： 显函数约束 隐函数约束
主要包括： ➢机械零部件的优化设计； ➢机构优化设计； ➢机构动力学优化设计； ➢工艺装备参数的优化设计等。
8
1.2 优化模型
优化模型的三要素：优化变量（在设计领域 称设计变量）、约束条件、目标函数。
优化变量
指在最优化问题中可进行调整和优选的独立参数。
第一章机械优化设计的基本问题new
产品单位价格为PB 万元。每生产一个单位A 产品需消耗煤aC 吨，
•所谓优化, • 是指在一定条件下力求获得最优结果的思想与观念。
优化设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一 项新技术。是根据最优化原理和方法，以人机配合方式或“自动 探索”方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现 有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。
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第一章机械优化设计的基本问题new
•节能
•曲柄均方根扭矩 最小
第一章机械优化设计的基本问题new
优化设计的优点
1.保证产品具有优良的性能 2.减轻自重或体积，降低产品成本 3.使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来， 使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设 计效率。
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第一章机械优化设计的基本问题new
•
（a）体积要求；Biblioteka •（b）长度要求；
•
•x2 •x1
•x
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3
第一章机械优化设计的基本问题new
•数学模型
•设计变量： •设计目标：
•约束条件：
•x2 •x1
•x
3
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第一章机械优化设计的基本问题new
•最大产值生产资源分配问题
•
某工厂生产A 和B 两种产品，A 产品单位价格为PA 万元， B
3. 本课程的任务
优化设计是一种现代设计方法，是很好的工具。
• 基础：（1）最优化数学理论
•
（2）现代计算技术
• 内容：（1）将工程实际问题数学化；
•
（建立优化设计数学模型）
•
（2）用最优化计算方法在计算机上求解
第2篇第1章(机械优化设计的基本问题)
T
目标函数 设计变量
x3
x1 x2
6
约束条件
g3 ( X ) = 2 − x2 ≥ 0 h( X ) = x1x2 x3 − 5 = 0
1.2.1 设计变量
设计方案由一组设计参数表示 设计方案由一组设计参数表示, 由一组设计参数表示 如一对斜齿轮:(m 如一对斜齿轮 n, z1, b, β ) 设计参数 设计常量 设计变量 独立变量 非独立变量
2
优化设计理论研究和应用实践的发展，使常 规设计发生了根本的变革，从经验、感性和 类比为主的常规设计方法过渡到科学、理性 和立足于计算分析为主的现代设计方法。 优化设计从1960年代发展起来，已广泛应用 于各个行业。
重量最轻，成本最低，生产率最高等
3
第一章 机械优化设计的基本问题
1.1 优化设计概述 (一)基本概念
最优解
( x1 − 2)
2
2 + x2 = ci
16 则在二维x1Ox2平面得到一组平面曲线族， 每条曲线上各点具有相同的目标函数值
1.2.5 优化问题的几何描述
约束优化问题
F( x)
可行域
x2
x1
17
x2
g1( X) g2 ( X) g3 ( X)
* 无约束最优点 X1 = [ 2 0] T
* X2
(0) X(2) S(1) (0) X α
S(k)
X (k +1)
X*
o
基本迭代公式: 基本迭代公式
X(k+1) = X(k) + α(k) S(k) , F ( X(k+1) ) < F ( X(k) )
步步下 降 步步逼 近
x1
X , X , X ,...... X , X
目标函数 设计变量
x3
x1 x2
6
约束条件
g3 ( X ) = 2 − x2 ≥ 0 h( X ) = x1x2 x3 − 5 = 0
1.2.1 设计变量
设计方案由一组设计参数表示 设计方案由一组设计参数表示, 由一组设计参数表示 如一对斜齿轮:(m 如一对斜齿轮 n, z1, b, β ) 设计参数 设计常量 设计变量 独立变量 非独立变量
2
优化设计理论研究和应用实践的发展，使常 规设计发生了根本的变革，从经验、感性和 类比为主的常规设计方法过渡到科学、理性 和立足于计算分析为主的现代设计方法。 优化设计从1960年代发展起来，已广泛应用 于各个行业。
重量最轻，成本最低，生产率最高等
3
第一章 机械优化设计的基本问题
1.1 优化设计概述 (一)基本概念
最优解
( x1 − 2)
2
2 + x2 = ci
16 则在二维x1Ox2平面得到一组平面曲线族， 每条曲线上各点具有相同的目标函数值
1.2.5 优化问题的几何描述
约束优化问题
F( x)
可行域
x2
x1
17
x2
g1( X) g2 ( X) g3 ( X)
* 无约束最优点 X1 = [ 2 0] T
* X2
(0) X(2) S(1) (0) X α
S(k)
X (k +1)
X*
o
基本迭代公式: 基本迭代公式
X(k+1) = X(k) + α(k) S(k) , F ( X(k+1) ) < F ( X(k) )
步步下 降 步步逼 近
x1
X , X , X ,...... X , X
第一章 机械优化设计的基本问题
x1 x3
26
机械优化设计
数学模型
设计变量： 设计目标： 约束条件：
x1 , x2 , x3
min S x1 x2 2( x2 x3 x1 x3 )
x1 5 x2 0 x3 0 x1 x2 x3 100
27
机械优化设计
例4
人字架结构优化设计
图1-2所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力 105 N。人字架的跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm, 2F=3× 105 Mpa，材料密度ρ=7.8 × 钢管材料的弹性模量E=2.1 × 103 kg / m3，许用压应力 y = 420MPa。求在钢管压应力 e 的条件下，人字 不超过许用压应力 y 和失稳临界应力 架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
28
机械优化设计
图1-2 人字架的受力
29
机械优化设计
人字架的优化设计问题归结为：
x D H
T
使结构质量
m x min
但应满足强度约束条件 稳定约束条件
x y
x e
30
机械优化设计
1 2 2
FL F ( B 2 h ) 钢管所受的压力 F1 h h
机械优化设计
求解
结果：x =[20,24] 程序： f=-[60 120]; A=[9 4;3 10;4 5]; b=[360;300;200]; xl=[0 0]; [x,f]=linprog(f,A,b,[ ],[ ],xl) 运行结果： Optimization terminated successfully. x = 20.0000 24.0000 f = -4.0800e+003
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表a，每小时生产零件利润量
零件种类 1 2 3
1 5 5 6
机器序号 2 6 4 7
3 4 5 2
4 3 4 8
表b，各机器生产零件速率
零件种类 1 2 3
1 8 7 4
机器序号 2 2 6 8
3 4 6 5
4 9 3 2
解：为获利润最大，需合理确定每台机器生产某种零件 若干，设xij表示第j台机器生产第i中零件的件数。 一个月内获总利润：
1.2.1 设计变量
机械优化设计是欲对某机械设计项目取得一个最优 方案。所谓一个设计方案一般是用一组参数来表示。 设计参数在优化设计中分成两种类型：设计常量和 设计变量。 设计常量：可以根据设计的具体悄况或成熟的经验 预先给定 。对设计结果影响不大的参数也常作为设计 常量处理:
设计变量：在设计过程中需优选的参数，把它作为优 化设计中的设计变量。即在设计过程中作为变量处理 以供选择、并最终必须确定的各项独立参数 ； 设计变量按取值是否连续分为连续变量和离散变量； 设计变量的数目称为优化问题的维数；一个设计方案 也常称为设计矢量，矢量端点称设计点；
试设计六杆机构尺寸参数l1、l2、l3、l4、l5及α。
以点A为坐标原点建立xAy直角坐标系 期望的LM直线轨迹用点M（xM，yM），L（ xL，yL ）写出， 即
令
则LM直线方程
ax+by+c=0
由于四杆机构尺寸的缩放不影响连杆E点的轨迹形状，只取 决于机构待求参数：l1、l2、l3、l5及 （l4=1），于是连杆 上Ei点的坐标 以下列函数表示：
且要满足以下约束条件： （1）数量需求限制
（2）工时需求限制
（3）非负条件
1.2 优化设计的数学模型
数学模型包括三个部分：一是需求解得一组参数，这组参数在设计中 作为变量来处理，称为设计变量；二是有一个明确的追求目标，这个 目标以设计变量的函数来体现，称为目标函数；三是有若干必须的限 制条件，设计变量的取值必须满足这些限制条件，称为设计约束
1.1.3连杆机构优化设计
由图所示六杆机构。它是铰链四杆机构ABCD和带有 滑块5的摆杆6由连杆BE连接而成的。原动件AB逆时针 转动使从动件6绕P点往复摆动。机架AD水平置放，F点 已选定。 要求： 当原动件AB转角φ0在180—300o范围内， 摆杆6处于LM位置不动， 即从动件摆杆产生间歇运动。
直径d （mm)
单价c （元） 10 12 14 16 18 20
0.052
0.091
0.142
0.174
0.228
0.251
由表中数据初步画C=f(d)曲线，由下图线形回归法求得 方程：
得：
C（元）
0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0 10 20 D（mm）
所受的限制为
(1)螺栓的强度限制
图1.3所示压力容器，内径Do=0.l2m，内部气体压强 P=l2.75X106 N/m2，置螺栓的中心圆直径D=0.2m, 要求选 择螺栓的直径d和数量n，使螺栓组的总成本最低。
解:首先螺栓要满足强度要求，所用螺栓数量要考虑密封 要求，又要兼顾装拆的扳手空间。 螺栓组的总成本： Cn=C · n; 式中，C为螺栓单价; n为螺栓个数。 单价c与螺栓材料，直径d，长度l及加工状况有关。本组 螺栓取35号钢，长度l=50mm的六角头半精制螺栓，单价 见下表
第一章 机械优化设计的基本问题
1.1 机械优化问题示例
1.1.1 工程结构优化设计
图1.1为由两根钢管组成的对称桁架。A处垂直载荷 P=300 000N，2L=152cm，空心钢管厚度T=0.25cm， 材料弹性模量E=2.16 X 107N/cm2， 屈服极限σs = 70 300N/cm2。 求：在满足强度条件和稳定性条伴下，使体积最小的 圆臂直径d和桁架高度H。
（2）传动角满足许用值条件
（3）其它限制条件
按给定轨迹设计四杆机构的问题可归结为 这样一个优化设计的问题: 求一组机构参数l1、l2、l3、l5，α ，在 满足曲柄，传动角条件及其它限制条件下， 当曲柄转角在某给定范围内，连杆上E点的 轨迹偏差平方和△达到最小。
1.1.4 生产管理优化
例题 某车间有四台机器，每台拟生产3种类型零件，每小 时个零件或利润间表a，生产不同零件的速率见表b，本月 对1，2，3种零件的需求量分别为700，500，400个；四 台机器可提供的工作时间分别为90，75，90，80h，如何 安排生产可获利最大？
设计变量的表示形式
设计点的集合称为设计空间。以n个独立变量为坐标轴 组成的n维向量空间是一个n维实空间，用Rn表示。工 程设计中的设计变量均为实数，且任意两矢量有某种 计算，则这样的空间又称为n维实欧氏空间。
I为圆管的 剖面惯性矩
要求在具有足够的抗压强度和稳定性的条件下，求总体积 最小的杆件尺寸参数H和d， 则表达抗压强度
⑵稳定性强度
问题的最优解为： 最优点： d=4.77cm ; H=51.31cm 最优点的体积为： W=686.73cm3
1· 1· 2 机械零件优化设计
单个螺栓的许用载荷为[F]，用回归分析法 得 取安全系数 则螺栓强度条件为：
带入已知 数据得：
（2）扳手空间条件
为保证装拆时有足够的扳手空间，螺栓的周向间距要 大于5d，则有条件 或 （3）密封条件 为保证容器密封，压力均匀且不漏气，据经验，螺栓 周向间距要小于10d，则约束函数 或
该问题属于二维约束问题
为提高设计精度，应使机构欲实现的轨迹点 到给定直线ML的垂直距离di最小， di为设计偏差，有 数学公式
为使机构连杆点E所实现的一段轨迹以最高的精度接近 期望的线段 ，所以要求在曲柄转角 围内，分点数i=1--n的n个点上的偏差平方和达到最小， 即
为保证连杆机构整周转，传动角满足许用值要求等，有 以下限制条件： （1）AB是曲柄的条件
解:为保证桁架可靠地工作，就必须要求杆件具有足够 的抗压强度和稳定性。 抗压强度: 杆件截面上产生的压应力不超过材料的屈服 极限;
杆内力: 其中
杆截面压应力：
抗压强度：
σ ≤ σs
稳定性 : 杆件截面上的压应力不超过压杆稳定的临界应力。
满足稳定性不发生屈曲破坏的条件为：
为压杆屈曲极限 按欧拉公式
零件种类 1 2 3
1 5 5 6
机器序号 2 6 4 7
3 4 5 2
4 3 4 8
表b，各机器生产零件速率
零件种类 1 2 3
1 8 7 4
机器序号 2 2 6 8
3 4 6 5
4 9 3 2
解：为获利润最大，需合理确定每台机器生产某种零件 若干，设xij表示第j台机器生产第i中零件的件数。 一个月内获总利润：
1.2.1 设计变量
机械优化设计是欲对某机械设计项目取得一个最优 方案。所谓一个设计方案一般是用一组参数来表示。 设计参数在优化设计中分成两种类型：设计常量和 设计变量。 设计常量：可以根据设计的具体悄况或成熟的经验 预先给定 。对设计结果影响不大的参数也常作为设计 常量处理:
设计变量：在设计过程中需优选的参数，把它作为优 化设计中的设计变量。即在设计过程中作为变量处理 以供选择、并最终必须确定的各项独立参数 ； 设计变量按取值是否连续分为连续变量和离散变量； 设计变量的数目称为优化问题的维数；一个设计方案 也常称为设计矢量，矢量端点称设计点；
试设计六杆机构尺寸参数l1、l2、l3、l4、l5及α。
以点A为坐标原点建立xAy直角坐标系 期望的LM直线轨迹用点M（xM，yM），L（ xL，yL ）写出， 即
令
则LM直线方程
ax+by+c=0
由于四杆机构尺寸的缩放不影响连杆E点的轨迹形状，只取 决于机构待求参数：l1、l2、l3、l5及 （l4=1），于是连杆 上Ei点的坐标 以下列函数表示：
且要满足以下约束条件： （1）数量需求限制
（2）工时需求限制
（3）非负条件
1.2 优化设计的数学模型
数学模型包括三个部分：一是需求解得一组参数，这组参数在设计中 作为变量来处理，称为设计变量；二是有一个明确的追求目标，这个 目标以设计变量的函数来体现，称为目标函数；三是有若干必须的限 制条件，设计变量的取值必须满足这些限制条件，称为设计约束
1.1.3连杆机构优化设计
由图所示六杆机构。它是铰链四杆机构ABCD和带有 滑块5的摆杆6由连杆BE连接而成的。原动件AB逆时针 转动使从动件6绕P点往复摆动。机架AD水平置放，F点 已选定。 要求： 当原动件AB转角φ0在180—300o范围内， 摆杆6处于LM位置不动， 即从动件摆杆产生间歇运动。
直径d （mm)
单价c （元） 10 12 14 16 18 20
0.052
0.091
0.142
0.174
0.228
0.251
由表中数据初步画C=f(d)曲线，由下图线形回归法求得 方程：
得：
C（元）
0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0 10 20 D（mm）
所受的限制为
(1)螺栓的强度限制
图1.3所示压力容器，内径Do=0.l2m，内部气体压强 P=l2.75X106 N/m2，置螺栓的中心圆直径D=0.2m, 要求选 择螺栓的直径d和数量n，使螺栓组的总成本最低。
解:首先螺栓要满足强度要求，所用螺栓数量要考虑密封 要求，又要兼顾装拆的扳手空间。 螺栓组的总成本： Cn=C · n; 式中，C为螺栓单价; n为螺栓个数。 单价c与螺栓材料，直径d，长度l及加工状况有关。本组 螺栓取35号钢，长度l=50mm的六角头半精制螺栓，单价 见下表
第一章 机械优化设计的基本问题
1.1 机械优化问题示例
1.1.1 工程结构优化设计
图1.1为由两根钢管组成的对称桁架。A处垂直载荷 P=300 000N，2L=152cm，空心钢管厚度T=0.25cm， 材料弹性模量E=2.16 X 107N/cm2， 屈服极限σs = 70 300N/cm2。 求：在满足强度条件和稳定性条伴下，使体积最小的 圆臂直径d和桁架高度H。
（2）传动角满足许用值条件
（3）其它限制条件
按给定轨迹设计四杆机构的问题可归结为 这样一个优化设计的问题: 求一组机构参数l1、l2、l3、l5，α ，在 满足曲柄，传动角条件及其它限制条件下， 当曲柄转角在某给定范围内，连杆上E点的 轨迹偏差平方和△达到最小。
1.1.4 生产管理优化
例题 某车间有四台机器，每台拟生产3种类型零件，每小 时个零件或利润间表a，生产不同零件的速率见表b，本月 对1，2，3种零件的需求量分别为700，500，400个；四 台机器可提供的工作时间分别为90，75，90，80h，如何 安排生产可获利最大？
设计变量的表示形式
设计点的集合称为设计空间。以n个独立变量为坐标轴 组成的n维向量空间是一个n维实空间，用Rn表示。工 程设计中的设计变量均为实数，且任意两矢量有某种 计算，则这样的空间又称为n维实欧氏空间。
I为圆管的 剖面惯性矩
要求在具有足够的抗压强度和稳定性的条件下，求总体积 最小的杆件尺寸参数H和d， 则表达抗压强度
⑵稳定性强度
问题的最优解为： 最优点： d=4.77cm ; H=51.31cm 最优点的体积为： W=686.73cm3
1· 1· 2 机械零件优化设计
单个螺栓的许用载荷为[F]，用回归分析法 得 取安全系数 则螺栓强度条件为：
带入已知 数据得：
（2）扳手空间条件
为保证装拆时有足够的扳手空间，螺栓的周向间距要 大于5d，则有条件 或 （3）密封条件 为保证容器密封，压力均匀且不漏气，据经验，螺栓 周向间距要小于10d，则约束函数 或
该问题属于二维约束问题
为提高设计精度，应使机构欲实现的轨迹点 到给定直线ML的垂直距离di最小， di为设计偏差，有 数学公式
为使机构连杆点E所实现的一段轨迹以最高的精度接近 期望的线段 ，所以要求在曲柄转角 围内，分点数i=1--n的n个点上的偏差平方和达到最小， 即
为保证连杆机构整周转，传动角满足许用值要求等，有 以下限制条件： （1）AB是曲柄的条件
解:为保证桁架可靠地工作，就必须要求杆件具有足够 的抗压强度和稳定性。 抗压强度: 杆件截面上产生的压应力不超过材料的屈服 极限;
杆内力: 其中
杆截面压应力：
抗压强度：
σ ≤ σs
稳定性 : 杆件截面上的压应力不超过压杆稳定的临界应力。
满足稳定性不发生屈曲破坏的条件为：
为压杆屈曲极限 按欧拉公式