分式方程的增根与无解详解(最新整理)

12 x
解方程：
10
32 x
34
24x 23
16x 19
4x 3 8x 9 8x 7 4x 5
分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
解：由原方程得： 3 1 4 2 3 2 4 1
4x 3
8x 9
8x 7
4x 5
即22 2 2 8x 9 8x 6 8x 10 8x 7
分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是： x 0或x 1， 化简
原方程为： 2x 2 (m 1) (x 1)2 ， 把 x 0或x 1 代入解得 m 1或 2 ，故选择 D。
练习题
1 解方程 2 4x 3 ． x 2 x2 4 x 2
4
2 解方程 x 1 3 x 2 ． x2 2x
于是
1
1
，
(8x 9)(8x 6) (8x 10)(8x 7)
所以(8x 9)(8x 6) (8x 10)(8x 7)
解得：x 1
经检验：x 1是原方程的根。
例 13、若解分式方程
2x
m1
x
1
产生增根，则
m
的值是（
）
x1 x x x
A. 1或 2
B. 1或2
C. 1或2
D. 1或 2
x-2 (x-3)=m
整理得：
x=6-m
∵原方程有解，故 6-m 不是增根。
∴6-m≠3 即 m≠3
∵x＞0
∴m＜6
由此可得答案为 m 的取值范围是 m＜6 且 m≠3。 一、分式方程有增根，求参数值
2
x2 4xa 例 7 a 为何值时，关于 x 的方程 x 3 =0 有增根？
解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得 x2-4x+a=0（※） 因为分式方程有增根，增根为 x=3，把 x=3 代入（※）得，9-12+a=0 a=3
6
m
若方程
- =1 有增根，则它的增根是（ ）
(x 1)(x 1) x 1
A、0 B、1
C、-1
D、1 或-1
分析：使方程的最简公分母 (x+1)(x-1)=0 则 x=-1 或 x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零,还必须
是所化整式方程的根。
原方程易化成整式方程：
6-m(x+1)=x2-1
解：去分母后化为 x－1＝3－x＋2（2＋x）．
整理得 0x＝8．
因为此方程无解，所以原分式方程无解．
例
3（2007
湖北荆门）若方程
x x
3 2
=
m 2
x
无解，则
m=——————．
x3 m
解：原方程可化为
=－
．
x2 x2
方程两边都乘以 x－2，得 x－3=－m．
解这个方程，得 x=3－m．
因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即 x=2，
当m 1时，x 10 m1
如果方程产生增根，那么x 2 4 0，即x 2或x 2 （1）若x 2，则 10 2 m 4
m1 （2）若x 2，则 10 2 m 6
m1 （3）综上所述，当m 4或6时，原方程产生增根
说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根
例 12、
原方程为： 2x 2 (m 1) (x 1)2 ， 把 x 0或x 1 代入解得 m 1或 2 ，故选择 D。
例 11.
m
为何值时，关于 x 的方程
x
2 2
mx x 4
x
3 2
会产生增根？
解：方程两边都乘以 x 2 4 ，得 2x 4 mx 3x 6
3
整理，得 (m 1)x 10
把 x＝2 或－2 代入方程②中，解得，a＝－4 或 6．
若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：
当 a 为何值时，关于 x 的方程
2 x2
ax x2 4
百度文库
3 x
2
①无解？
此时还要考虑转化后的整式方程（a－1）x＝－10 本身无解的情况，解法如下：
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得 2（x＋2）＋ax＝3（x－2）
整理得：
m(x+1)=7-x2
当 x= -1 时,此时 m 无解；
当 x=1 时,解得 m=3。
由此可得答案为 B。
x
m
例 6：关于 x 的方程
-2=
有一个正数解，求 m 的取值范围。
x3 x3
分析：把 m 看成常数求解，由方程的解是正数，确定 m 的取值范围，但不能忽略产生增根时 m 的值。
原方程易化为整式方程：
x2 4xa 所以 a=3 时， x 3 =0 有增根。
1
m
2m2
例 8 m 为何值时，关于 x 的方程 x 1 + x 2 = x 2 3x 2 有增根。
解：原方程两边同乘以（x-1）（x-2）去分母整理，得 （1+m）x=3m+4（※）
3 因为分式方程有增根，据性质（2）知：增根为 x=1 或 x=2。把 x=1 代入（※），解得 m=- 2 ；把 x=2 代
3（2007
湖北荆门）若方程
x x
3 2
=
m 2x
无解，则
m=——————．
4 当 a 为何值时，关于 x 的方程
2 x2
ax x2 4
3 x
2
会产生增根？
5 当 a 为何值时，关于 x 的方程
2 x2
ax x2 4
3 x
2
无解？
5
所以 2=3－m，解得 m=1．
故当 m=1 时，原方程无解．
例 4 当 a 为何值时，关于 x 的方程
2 x2
ax x2 4
3 x2
①会产生增根？
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得 2（x＋2）＋ax＝3（x－2）
整理得（a－1）x＝－10
②
若原分式方程有增根，则 x＝2 或－2 是方程②的根．
分式方程的增根与无解讲解
例 1 解方程 2 4x 3 ．
①
x 2 x2 4 x 2
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得 2（x+2）-4x=3（x-2）．②
解这个方程，得 x=2．
经检验：当 x=2 时，原方程无意义，所以 x=２是原方程的增根．
所以原方程无解．
例 2 解方程 x 1 3 x 2 ． x2 2x
入（※）得 m=-2
3 所以 m=- 2 或-2 时，原分式方程有增根
k
2
点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程 x 1 +1= ( x 1)( x 2) 有增根，可求得 k=-
2
8
3 ，但分式方程这时有一实根 x= 3 。
二、分式方程是无实数解，求参数值
x2 m 例 9 若关于 x 的方程 x 5 = x 5 +2 无实数，求 m 的值。
整理得（a－1）x＝－10
②
1
若原方程无解，则有两种情形： （1）当 a－1＝0（即 a＝1）时，方程②为 0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。 （2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为 x＝2 或－2，把 x＝2 或－2 代入方程②中，求出 a＝－4 或 6． 综上所述，a＝1 或 a＝一４或 a＝6 时，原分式方程无解． 例 5：（2005 扬州中考题）
解：去分母，得 x-2=m+2x-10，x=-m+8
因为原方程无解，所以 x=-m+8 为原方程的增根。
又由于原方程的增根为 x=5，所以-m+8=5
所以 m=3
例 10．若解分式方程
2x
m1
x
1
产生增根，则
m
的值是（
）
x1 x x x
A. 1或 2
B. 1或2
C. 1或2
D. 1或 2
分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是： x 0或x 1， 化简