排列组合常见题型及解答
排列组合经典题型及解法
排列组合是组合数学中的一个重要概念，涉及到对一组对象进行排列或组合的方式。
下面列举几个经典的排列组合题型及解法：
1. 排列问题：
-题型：从n个不同元素中选取m个元素，有多少种排列方式？
-解法：使用排列数的公式P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n 的阶乘。
2. 组合问题：
-题型：从n个不同元素中选取m个元素，有多少种组合方式？
-解法：使用组合数的公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘。
3. 重复排列问题：
-题型：从n个元素中选取m个元素进行排列，允许元素重复，有多少种排列方式？
-解法：使用重复排列数的公式P'(n, m) = n^m，其中^n表示n的m次方。
4. 重复组合问题：
-题型：从n个元素中选取m个元素进行组合，允许元素重复，有多少种组合方式？
-解法：使用重复组合数的公式C'(n, m) = C(n+m-1, m)，其中C(n, m)表示组合数。
5. 圆排列问题：
-题型：将n个不同的物体围成一个圆圈，有多少种不同的排列方式？
-解法：使用圆排列数的公式P(n) = (n-1)!。
以上是一些常见的排列组合题型及其解法。
在实际问题中，可能会出现更加复杂和变化的情况，需要根据具体问题进行分析和推导解法。
经典排列组合问题100题配超详细解析
1．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---等于A ．5569nn A --B ．1555n A -C ．1569n A -D ．1469n A -【答案】C【解析】根据排列数的定义可知，(55)(56)(69)n n n ---中最大的数为69-n,最小的数为55-n ，那么可知下标的值为69-n,共有69-n-（55-n ）+1=15个数，因此选择C2．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 38种 D. 108种 【答案】B 【解析】因为平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，那么特殊元素优先考虑，分步来完成可知所有的分配方案有36种，选B3．n ∈N *，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于（ ）A ．80100n A - B ．nn A --20100 C ．81100n A -D ．8120n A -【答案】C【解析】因为根据排列数公式可知n ∈N *，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于81100n A -，选C4．从0,4,6中选两个数字,从3.5.7中选两个数字,组成无重复数字的四位数.其中偶数的个数为 ( )A.56B. 96C. 36D.360 【答案】B【解析】因为首先确定末尾数为偶数，那么要分为两种情况来解，第一种，末尾是0，那么其余的有A 35=60，第二种情况是末尾是4，或者6，首位从4个人选一个，其余的再选2个排列即可 433⨯⨯，共有96种5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 （ ） A. 280种 B. 240种 C. 180种 D. 96种 【答案】B【解析】根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有46360A =种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作有3560A =种，乙从事翻译工作的有3560A =种，若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有360-60-60=240种．6．如图，在∠AOB 的两边上分别有A 1、A 2、A 3、A 4和B 1、B 2、B 3、B 4、B 5共9个点，连结线段A i B j （1≤i ≤4,1≤j ≤5），如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共有（ ）对“和睦线”.A ．60B ．62C ．72 D.124 【答案】A【解析】在∠AOB 的两边上分别取,(),i j A A i j <和,()p q B B p q <，可得四边形i j p qA AB B 中，恰有一对“和睦线”(i p AB 和)j q A B ，而在OA 上取两点有25C 种方法，在OB 上取两点有24C 种方法，共有10660⨯=对“和睦线”.7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．15 【答案】B【解析】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C 42=6（个）第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C 41=4个，第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C 40=1，由分类计数原理知与信息0110至多有两个对应位置数字相同的共有6+4+1=11个8．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 （ ）A ． 6种B ． 12种C ． 30种D ． 36种 【答案】C【解析】分有一门不相同和二门不相同两种情况，所以共有2112422430C C C C +=9．从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5，已知袋中红球有3个，则袋中共有球的个数为( )．A ．5个B ．8个C ．10个D ．15个 【答案】D【解析】由于从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5，并且袋中红球有3个，设袋中共有球的个数为n,则31,5n =所以15n =. 10．从编号为1,2,3,4的四个不同小球中取三个不同的小球放入编号为1,2,3的三个不同盒子，每个盒子放一球，则1号球不放1号盒子且3号球不放3号盒子的放法总数为A． 10 B． 12 C． 14 D． 16【答案】C【解析】解：由题意知元素的限制条件比较多，要分类解决，当选出的三个球是1、2、3或1、3、4时，以前一组为例，1号球在2号盒子里，2号和3号只有一种方法，1号球在3号盒子里，2号和3号各有两种结果，选1、2、3时共有3种结果，选1、3、4时也有3种结果，当选到1、2、4或2、3、4时，各有C21A22=4种结果，由分类和分步计数原理得到共有3+3+4+4=14种结果，故选C．11．．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（）A．34种B．48种C．96种 D．144种【答案】C【解析】解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果∵程序B和C实施时必须相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果.根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选C．12．由两个1、两个2、一个3、一个4这六个数字组成6位数，要求相同数字不能相邻，则这样的6位数有A. 12个B. 48个C. 84个D. 96个【答案】C【解析】解：因为先排雷1，2，3,4然后将其与的元素插入进去，则根据相同数字不能相邻的原则得到满足题意的6位数有84个。
排列组合专题各方法题型及其答案
排列组合题型总结一．直接法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例44名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种五．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共多少种六．平均分堆问题例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法七．染色问题例7 某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分，现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．561432八．递推法例八一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法九.几何问题1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种十．先选后排法例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有多少种十一．用转换法解排列组合问题例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．十二．转化命题法例 11.圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。
高中排列组合基础题 (含答案)
排列、组合问题基本题型及解法同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法.一、相邻问题“捆绑法”将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列. 例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？ 分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有33A ＝6种，然后再将甲、乙二人全排列有22A ＝2种，所以共有6×2＝12种排法. 二、不相邻问题“插空法”该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）.例2 7个同学并排站成一排，其中只有A 、B 是女同学，如果要求A 、B 不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？.分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是55A ＝120.再把A 、B 插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5个同学）有24A ＝2种方法.则共有5254A A ＝440种排法.三、定位问题“优先法”指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素.例3 6个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有 种.分析：优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有14A 种排法.然后将其余5个排在余下的5个位置上，有55A 种方法.则共1545A A ＝480种排法.还可以优先排两端（位置优先）. 四、同元问题“隔板法”例4 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？ 分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图： ×× × ××× ××××一种插法对应于一种分法，则共有39C ＝84种分法. 五、先分组后排列对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和.例5 由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）（A ）210个 （B ）300个 （C ）464个 （D ）600个分析：由题意知，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有55A 个、113433A A A 个、113333A A A 个、113233A A A 个、1333A A 个，合计300个，所以选B例6 用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?【解法1】考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有325555C C A 种，其中0居首位的有314544C C A 种，故符合条件的五位数共有325314555544C C A C C A ＝11040个.【解法2】按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的.①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有325545C C A 个；②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有14A 种排法，再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有31415444C C A A 种排法.综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有325545C C A ＋31415444C C A A ＝11040个. 例8 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位数字不是3的自然数？【解】设A ＝{满足题设条件，且百位数字是3的自然数}，B ＝{满足题设条件，且比20000大的自然数}，则原题即求()card U B A ，画韦恩图如图，阴影部分 即UBA ，从图中看出()()card card UBA B AB =-.又A BB ，由性质2，有()()()card card card .B A B B A B -=-()card B 即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字，且比20000大的自然数的个数，易知()1444card A A B =.()card A B 即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字、比20000大，且百位数字是3的自然数的个数，易知()1333card A A AB =，所以()14134433card A A A A UB A =-＝78.即可组成78个符合已知条件的自然数.典型例题例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A 个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ⋅⋅（个）．∴ 没有重复数字的四位偶数有2296179250428181439=+=⋅⋅+A A A A 个．例2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
排列组合经典题型及解析
排列组合经典题型及解析1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ） A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.`例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ） A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种， … 选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种，答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ） A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种 ]解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B. （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种 解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
排列组合常见题型及其解法
排列组合的常见题型及其解法一. 特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A 41种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A 55种站法，故站法共有：A A 4155⋅＝480（种）解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A 52种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A 44种，故站法共有：A A 5244480⋅=（种） 二. 相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。
例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ 解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A 66种，然后女生内部再进行排列，有A 33种，所以排法共有：A A 66334320⋅=（种） 三. 相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有A 44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A 53种，所以排法共有：A A 44531440⋅=（种） 四. 定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。
解题方法是：先将n 个元素进行全排列有A n n 种，m m n ()≤个元素的全排列有A m m种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，则有A A n nmm 种排列方法。
排列组合专题各方法题型及其答案
排列组合题型总结一．直接法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
二．例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？五．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共多少种?六．平均分堆问题例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？七．染色问题例7 某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分，现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．561432例八一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？九.几何问题1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种?十．先选后排法例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有十一．用转换法解排列组合问题例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．十二．转化命题法例 11.圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。
排列组合常见题型及解答
A．70B．140C．280D．840 答案 ：（ A ）
【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（ ）
（A）３０种 （B）９０种 （C）１８０种 （D）２７０种
【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.
【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
③若乙参加而甲不参加同理也有 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另两个城市有 种，共有 方法.所以共有不同的派遣方法总数为 种
【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有 种，再排：在四个盒中每次排3个有 种，故共有 种.
【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为 种，再用甲乙去插6个空位有 种，不同的排法数是
【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（数字作答）
【解析】：
【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
排列组合常见题型
一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数
排列组合常见题型及解题策略(详解)
排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复， 把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类 问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38B 、83C 、38AD 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的 结果。
所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432种， 其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A 种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 111789A A A =504【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
例析排列组合问题类型及解题常用方法
例析排列组合问题类型及解题常用方法排列组合问题一般可分为相异元素不许重复的排列组合问题，相异元素允许重复的排列组合问题和不尽相异元素的排列组合问题.对于复杂的排列组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本排列组合的题型对学好本节内容是很有必要的.一、相异元素不许重复的排列组合问题1. 若对元素无特殊要求，这类问题比较简单，直接运用排列数、组合数定义就可以解决，只需分清是组合问题还是排列问题即可.例1 有北京、上海、广州三个车站，需准备几种车票？有几种票价？解析车票与起点、终点顺序有关，故是排列问题；而票价与顺序无关，故是组合问题. 因此有[A23=6]种车票，有[C23=3]种票价.2. 相异元素有限制条件的排列问题，常用方法有：特殊元素优先法、相邻问题捆绑法、相邻问题插入法等.例2 6人站成一排，其中甲既不站在最左端也不站在最右端，有多少种不同的站法？解析因为甲不能站在左、右两端，故第一步考虑甲，除去两端位置甲有4种站法；第二步让其余的5人站在其他5个位置上，有[A55=120]种站法.故满足题目条件的站法共有[4×A55=480]种.例3 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？解析将3个女生看成一个元素，与5个男生进行排列，共有[A66=720]种排法；然后女生内部再进行排列，有[A33=6]种排法.故共有[A66A33=4320]种排法.点拨对于某些元素要求排在一起的问题，可用“捆绑法”将这些元素看作一个整体、看作一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素间内部再进行排列.例4 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解析先将其余4人排成一排，有[A44=24]种排法，再将甲、乙、丙3人插入其余4人之间和两端的5个缝隙中，有[A35=60]种排法，故共有[A44A35=1440]种排法.点拨对于某些元素要求间隔排列的问题一般运用插入法. 在插入时，要先排无限制条件的元素，再将不相邻的元素插入已排好元素位置间的缝隙中.例5 有9本不同的书，分成3堆.（1）每堆3本有多少种不同的分法；（2）一堆5本，其他两堆各2本，有多少种不同的分法；（3）若一堆4本，一堆3本，一堆2本有多少种不同的分法.解析（1）此分堆属于平均分组问题，并且不计每堆顺序，所以分堆方法共有[C39C36C33A33=560]种.（2）分堆中，有两堆是均匀的，故有[C59C24C22A22=378]种.（3）非均匀分堆，由于不知3堆中哪一堆4本，哪一堆3本，哪一堆2本，故有[C49C35C22]=1260种.点拨对于分组、分堆问题，要注意是“均匀分”还是“非均匀分”，均匀分组要除以分组数的全排列数（堆与堆之间没有顺序），而不均匀分组则不用除以分组数的全排列数.二、相异元素允许重复的排列组合问题不能直接用[Amn]解决，因元素可重复出现，往往需分步考虑，运用计数乘法原理来解决.例6 有3封信和4个邮筒，则将信投入邮筒的所有不同投法种数有（）A. [A34]B. [43]C.[34]D.[C34]解析 [Amn]，[Cmn]只能表示没有重复的排列组合问题，而本题中明显可以将多封信投入到一个邮筒中，是一个可重复问题，应考虑运用分步原理来做. 每封信都有4种可能的投法，故有[4×4×4=64]种不同的投法.答案 B例7 用5种不同的颜色给图中4个区域涂色，若每一区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，共有多少种涂色方法.[1][2][3][4]解析这是一道染色排列组合问题，很容易错误地认为就是[A45=120]，但仔细分析可知，1，3区域可以同色，故应分步考虑. 先涂区域2有5种方法，再涂区域4有4种方法，剩下三种颜色涂区域1，3各有3种方法，故共有[5×4×3×3=180]种涂法.点拨对于这类染色问题，一般采取分步或分类计数的方法进行解决.三、不尽相异的元素的排列组合问题这类排列组合问题，直接考虑很难解决，分类讨论又十分麻烦. 有些排列组合问题，从表面上看是不尽相异的元素排列组合，但若交换元素与位置关系，运用转化思想，变换角度来考虑，问题就可能转化为相异元素的排列组合问题.例8 有2个a，3个b，4个c，共9个字母排列成一排，有多少种排法？解析将9个字母看作元素，1～9位置作为位子，这是一个不尽相异元素的全排列.若转换角度，将1～9号位置作元素，字母作位置，那么问题就转化为一个相异元素不许重复的组合问题，故有[C29C37C44=1260]种不同的排法.例10 3面红旗、2面黄旗，全部都升上旗杆作信号，共能表示多少种不同的信号？解析由于同色旗间没有顺序，因此只用考虑红旗或黄旗中的一种在5个空处的位置即可，故有[C35=C25=10]种信号.例11 从5个班中选10人组成校篮球队，每班至少1人，有多少种选法？解析这是一道选人问题，只要把人选出来就可以了，不用考虑顺序，因此可以将10个人看成10个相同的小球，放入5个不同的盒子中，每个盒子至少1球，可先把10个球排成一排，再在其中9个间隙中选4个位置插入4块“挡板”，将总体分成5个部分对应着5个盒子，故有[C49=126]种选法，这种计数方法叫做隔板法，可专门用来解决同种元素的分配问题.以上是对一些常见排列组合问题的分类和小结，它们对应着不同的题型，在解题过程中需灵活多变，其实在解决大多数计数问题时，往往要交叉用到排列、组合，不能拘泥于某种分类，但必须要清楚排列和组合间的区别.。
与排列组合有关的常见题型及其解法
与与与与与与与与与与与与与与与与排列组合是数学中常见的一种概念，在计算机科学、统计学、概率论等领域也有广泛的应用。
常见的题型包括：
1.组合问题：求出从总共 n 个物品中选取 m
个物品的所有方案数。
解法：C(n,m)=n!/m!(n-m)!
2.排列问题：求出从总共 n 个物品中选取 m
个物品的所有排列数。
解法：A(n,m)=n!/(n-m)!
3.组合排列问题：求出从总共 n 个物品中选取 m
个物品，且有序排列的所有方案数。
解法：H(n,m)=n!/(n-
m)!m!
4.组合数反推：已知组合数 C(n,m)，求出 n 和 m
的值。
解法：通过枚举法进行求解。
5.组合问题中的变化：求出从总共 n 个物品中选取 m
个物品的所有方案数，其中有 k
个物品是必选的。
解法：C(n-k,m-k)
6.排列问题中的变化：求出从总共 n 个物品中选取 m
个物品的所有排列数，其中有 k
个物品是必选的。
解法：A(n-k,m-k)
7.带有限制条件的组合问题：求出从总共 n 个物品中。
排列组合问题经典题型解析含答案
排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种 B、240种 C、120种 D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到，乙不到，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
排列组合常见题型及解题策略(详解).docx
排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例 1】（ 1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法（2）有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）34（ 2）43（3）43【例 2】把 6 名实习生分配到7 个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7 种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案 .【例 3】 8 名同学争夺 3 项冠军，获得冠军的可能性有（）A、83 B 、38 C 、A83 D 、C83【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8 名学生看作8 家“店”， 3 项冠军看作 3 个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有 8 种可能，因此共有83种不同的结果。
所以选 A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 .【例 1】A, B,C , D , E五人并排站成一排，如果A, B 必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把 A, B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列，A4424 种【例 2】（2009 四川卷理） 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（） A. 360 B.188 C. 216 D.96【解析】：间接法 6 位同学站成一排， 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，C32 A 22A 42 A 22 =432 种，其中男生甲站两端的有 A 12C32A 22 A 32A 22 =144 ，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例 1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A55种，再用甲乙去插 6 个空位有A62种，不同的排法种数【解析】：除甲乙外，其余 5 个排列数是 A55 A623600 种【例 2】架上某有 6 本，新 3 本插去，要保持原有 6 本的序，有种不同的插法（具体数字作答）【解析】： A 17A18 A 91 =504【例 3】高三（一）班学要安排晚会的 4 各音目， 2 个舞蹈目和 1 个曲目的演出序，要求两个舞蹈目不排，不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数 A55 A62＝3600【例 4】某工程有 6 工程需要独完成，其中工程乙必在工程甲完成后才能行，工程丙必在工程乙完成后才能行，有工程丁必在工程丙完成后立即行。
排列组合常见题型及解答
一．可重复的摆列求幂法：重复摆列问题要划分两类元素：一类能够重复，另一类不可以重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，则经过“住店法”可顺利解题，在这种问题使用住店办理的策略中，重点是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【例 1】（ 1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学比赛，每人限报一科，有多少种不一样的报名方法（2）有 4 名学生参加抢夺数学、物理、化学比赛冠军，有多少种不一样的结果（3）将 3 封不一样的信投入 4 个不一样的邮筒，则有多少种不一样投法【分析】：（1）（ 2）（ 3）【例 2】把6名实习生疏派到7 个车间实习共有多少种不一样方法【分析】：达成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生疏派到车间有7 种不一样方案，第二步：将第二名实习生疏派到车间也有7 种不一样方案，挨次类推，由分步计数原理知共有种不一样方案 .【例 3】 8 名同学抢夺 3 项冠军，获取冠军的可能性有（）A、B、C、D、【分析】：冠军不可以重复，但同一个学生可获取多项冠军，把8 名学生看作8 家“店”， 3 项冠军看作 3 个“客”，他们都可能住进随意一家“店” ，每个“客”有 8 种可能，所以共有种不一样的结果。
所以选 A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，看作一个大元素参加摆列.【例 1】 A,B,C,D,E五人并排站成一排，假如A,B 一定相邻且 B 在 A 的右侧，那么不一样的排法种数有【分析】：把 A,B 视为一人，且 B 固定在 A 的右侧，则此题相当于 4 人的全摆列，种【例 2】（ 2009 四川卷理） 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两头， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不一样排法的种数是（）A. 360B. 188C. 216D. 96【分析】：间接法 6位同学站成一排， 3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，，此中男生甲站两头的有，切合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无地点要求的几个元素全摆列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两头.【例 1】七人并排站成一行，假如甲乙两个一定不相邻，那么不一样的排法种数是【分析】：除甲乙外，其余 5 个摆列数为种，再用甲乙去插 6 个空位有种，不一样的排法数是【例 2】书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的次序，有种不一样的插法（数字作答）【分析】：【例 3】高三（一）班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目， 2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不一样排法的种数是【分析】：不一样排法的种数为＝3600【例 4】某工程队有 6 项工程需要独自达成，此中工程乙一定在工程甲达成后才能进行，工程丙必须在工程乙达成后才能进行，有工程丁一定在工程丙达成后立刻进行。
排列组合的21种经典题型及解法
排列组合的21种经典题型及解法1.单选题：单选题要求考生从给定的选项中选出一个最佳答案。
解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案。
2.多选题：多选题要求考生从给定的选项中选出多个最佳答案。
解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案，并判断是否有多个最佳答案。
3.判断题：判断题要求考生根据题目的问题和给定的信息，判断给出的答案是正确还是错误。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，判断出正确答案。
4.填空题：填空题要求考生根据题目的问题和给定的信息，填入正确的答案。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，填入正确的答案。
5.问答题：问答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出详细的答案。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出详细的答案。
6.排序题：排序题要求考生根据题目的问题和给定的信息，按照要求的顺序进行排列。
解法：根据题目的问题和给定的佶息，仔细分析，排除干扰，按照要求的顺序进行排列。
7.计算题：计算题要求考生根据题目的问题和给定的信息，运用数学计算得出答案。
解法:根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，运用数学计算得出答案。
8.简答题：简答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出简短的答案。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出简短的答案。
9.完形填空：完形填空要求考生根据文章的内容，从文中空缺处填入正确的单词或词组。
解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，从文中空缺处填入正确的单词或词组。
10.阅读理解：阅读理解要求考生根据文章的内容，回答问题或做出判断。
解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，回答问题或做出判断。
11.词汇题：词汇题要求考生根据题目的问题和给定的单词，找出正确的答案。
解法：根据题目的问题和给定的单词，仔细分析，排除干扰，找出正确的答案。
12.语法题：语法题要求考生根据题目的问题和给定的句子，选择正确的语法形式。
排列组合问题经典题型解析含答案
排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，则不同的排法有（ ）,,,,A B C D E ,A B B A A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法有（ B A ,A B ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）A 、种B 、种C 、种D 、种4441284C C C 44412843C C C 4431283C C A 444128433C C C A 6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
(完整版)排列组合问题经典题型解析含答案
排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种 B、240种 C、120种 D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
排列组合总结(含答案)
1．（站队模型）4男3女站成一排：①女生相邻；5353A A ⋅②女生不相邻；4345A A ⋅③女生从高到低排；47A④甲不在排头，乙不在排尾；解析：当甲在排尾时有66A ；当甲不在排尾时有115555A A A ⋅⋅2．（组数模型）由0到9这10个数字组成没有重复数字的四位数： ①奇数；末位有112588A A A②偶数；解析：末位为0，有39A ；末位不为0，有112488A A A ⋅⋅③被5整除的数；解析：末位为0，有49A ；末位为5，有1288A A ⋅④比3257大的数； 解析：首位为4到9时有396A ；首位为3时281749A ⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩百位为到时有6十位为6到9时有4A 百位为2时十位为5时有2 ⑤被3整除的三位数．12333311123322111333332A A A C C C A C C C A ⎧⋅+⎪⎧⋅⋅⋅⎨⎪⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎩⎩都从一个集合中选时有含0时有各选一个时有不含0时有3．（分组分配问题）6个不同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：63②放入三个不同的盒子，每盒不空；解析：4363321363132226426222:A C C C A C C C ⎧⎪⋅⋅⋅⎨⎪=++⋅⋅⎩6＝4＋1＋1：有C 6=3+2+1:有有③分三组（堆），每组至少一个；解析：41162122321631222642336222:C C A C C C C C C A ⎧⋅⋅⎪⎪⎪⋅⋅⎨⎪⋅⋅⎪=++⎪⎩C 6＝4＋1＋1：有6=3+2+1:有有4．6个相同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：相当于分名额，盒子可空：插板法：28C ②放入三个不同的盒子，每盒不空；25C ③恰有一个空盒．解析：相当于两个盒子不空：1253C C ⋅5．6名同学报名三科竞赛：①每人限报一科；63②每科限报一人；366．（选派问题）5男3女：①选2人开会；28C②选正副班长，至少1女；2285A A - ③选4人开会，至多2男；解析：即至少2女，22313535C C C C ⋅+⋅④选4人跑4×100接力，至少2女．解析：()2231435354C C C C A ⋅+⋅⋅。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
排列组合常见题型一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、3 8A D、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
所以选A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把A,B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 360B. 188C. 216D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432，其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法数是52563600A A =【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（数字作答）【解析】： 111789A A A =504【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6项工程的不同排法种数是【解析】：依题，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有25A ＝20种不同排法。
【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为 种.【解析】：11191011A A A =990【例6】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？【解析】： 解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A 33，○*○*○*○，在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A 14种，所以每个人左右两边都空位的排法有3314A A =24种.解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A 34=24种.【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有几种？【解析】：先排好8辆车有A 88种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空车位置插入有C 19种方法，所以共有C 19A 88种方法.注：题中*表示元素，○表示空.四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）A. 36种B. 12种C. 18种D. 48种【解析】： 方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。
2333A 36A = 方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法24331212=A C C ；若小张、小赵都入选，则有选法122322=A A ，共有选法36种，选A.【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？【解析】： 老师在中间三个位置上选一个有13A 种，4名同学在其余4个位置上有44A 种方法；所以共有143472A A =【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？【解析】 法一：1656A 3600A = 法二： 25653600A A = 法三：3600666677=--A A A五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）A 、36种B 、120种C 、720种D 、1440种（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为（A ）510515A A （B ）3355510515A A A A （C ）1515A （D ）3355510515A A A A ÷（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共6 6720A=种，选C.（2）答案：C（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A种，其余5个元素任排5个位置上有55A种，故共有1254455760A A A=种排法.六．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.【例1】.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法种数【解析】：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A=种【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？【解析】：法一：39A法二：99661A A【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C 在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？【解析】：法一：36A法二：66331A A六．标号排位问题（不配对问题）把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.【例1】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种【解析】 ：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）A 10种B 20种C 30种D 60种 答案：B【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有( )（A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）23种【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a 、b 、c 、d 。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；第二步，假设甲取b ，则乙的取法可分两类：（1）乙取a ，则接下来丙、丁取法都是唯一的，（2）乙取c 或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理，一共有3129⨯+=()种分配方式。
故选（B ）【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( )（A ）60种 （B ）44种 （C ）36种 （D ）24种 答案：B七．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？分成1本、2本、3本三组；分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；分成每组都是2本的三个组；分给甲、乙、丙三人，每个人2本；分给5人每人至少1本。
【解析】 ：（1）332516C C C （2）33332516A C C C （3）33222426A C C C （4）222426C C C （5）2111115554321544C C C C C C A A【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（数字作答）．【解析】：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有21142122C C C A ⋅⋅;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有33A 所以满足条件得分配的方案有211342132236C C C A A ⋅⋅⋅= 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（A ）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有3113521322C C C A A ⨯＝60种，若是1,1,3，则有1223542322C C C A A ⨯＝90种，所以共有150种，选A【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）A ．70B ．140C ．280D ．840 答案 ：（ A ）【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（ ）（A ）３０种 （B ）９０种 （C ）１８０种 （D ）２７０种【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有12542215C C A ⋅=种方法，再将3组分到3个班，共有331590A ⋅=种分配方案。