高考文科数学练习题基本不等式
高考文科数学 刷题小卷练24 基本不等式及简单的线性规划
刷题小卷练24 基本不等式及简单的线性规划小题基础练○24一、选择题 1．[2019·山东临汾一中月考]不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )答案：C 解析：由y ·(x ＋y －2)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y ·(x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项，故选C.2．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23 答案：B解析：∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(1－x )22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．3．[2019·长春质量监测(一)]已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( )A ．8B ．9C ．12D ．16 答案：B解析：由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx ，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.4．若直线mx ＋ny ＋2＝0(m >0，n >0)被圆(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1截得的弦长为2，则1m ＋3n 的最小值为( )A ．4B ．6C ．12D ．16 答案：B解析：由题意，圆心坐标为(－3，－1)，半径为1，直线被圆截得的弦长为2，所以直线过圆心，即－3m －n ＋2＝0,3m ＋n ＝2.所以1m ＋3n ＝12(3m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋3n ＝126＋n m ＋9m n ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2n m ×9m n ＝6，当且仅当n m ＝9m n 时取等号，因此1m ＋3n 的最小值为6，故选B.5．[2019·湖南永州模拟]已知三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c sin B ＋bsin C ＝2a ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 答案：C解析：∵c sin B ＋b sin C ＝2a ，由正弦定理可得，2sin A ＝sin C sin B ＋sin Bsin C ≥2sin C sin B ·sin B sin C ＝2，即sin A ≥1，∴sin A ＝1，当且仅当sin C sin B ＝sin B sin C ，即B＝C 时，等号成立，∴A ＝π2，b ＝c ，∴△ABC 是等腰直角三角形，故选C.6．[2019·开封模拟]已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y的最大值是( )A.132B.116 C ．32 D ．64 答案：C解析：解法一 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u ＝x －2y ，由图知，当直线u ＝x －2y 经过点A (1,3)时，u 取得最小值，即u min ＝1－2×3＝－5，此时z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 取得最大值，即z max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32，故选C.解法二 由题易知z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出顶点A ，B ，C 的坐标分别代入z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y，即可求得最大值．联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x －y ＋2＝0，解得A (1,3)，代入可得z ＝32；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y ＋2＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，代入可得z ＝116；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋2y ＋2＝0，解得C (－2,0)，代入可得z ＝4.通过比较可知，在点A (1,3)处，z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 取得最大值32，故选C.7．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，2x －3y －8≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y的最大值为12，最小值为0，则实数k ＝( )A ．2B ．1C ．－2D ．3 答案：D解析：作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝kx －y 可化为y ＝kx －z ，若k ≤0，则z 的最小值不可能为0，若k >0，当直线y ＝kx －z 过点(1,3)时，z 取最小值0，得k ＝3，此时直线y ＝kx －z 过点(4,0)时，z 取得最大值12，符合题意，故k ＝3.8．[2019·云南红河州统一检测]设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为2，则2a ＋3b 的最小值为( )A ．25B ．19C ．13D ．5 答案：A解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值2，即2a ＋3b ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a＋3b )＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ·a b ＝25，当且仅当a ＝b ＝15时等号成立，所以2a ＋3b 的最小值为25，故选A.二、非选择题9．已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案：1解析：因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.10．[2019·广东清远模拟]若x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．答案：16解析：因为x>0，y>0，且1x＋9y＝1，所以x＋y＝(x＋y)⎝⎛⎭⎪⎫1x＋9y＝10＋9xy ＋yx≥10＋29xy·yx＝16，当且仅当9x2＝y2，即y＝3x＝12时等号成立．故x＋y的最小值是16.11．[2018·全国卷Ⅰ]若x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x－2y－2≤0，x－y＋1≥0，y≤0，则z＝3x＋2y的最大值为________．答案：6解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z＝3x＋2y得y＝－32x＋z2.作直线l0：y＝－32x.平移直线l0，当直线y＝－32x＋z2过点(2,0)时，z取最大值，z max＝3×2＋2×0＝6.12．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．答案：216 000解析：由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2 100x＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．课时增分练○24一、选择题 1．[2019·河北卓越联盟联考]已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( )A ．(－7,24)B ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C ．(－24,7)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案：A 解析：由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以(a ＋7)(a －24)<0，所以－7<a <24.故选A.2．[2019·甘肃诊断]已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( )A.53B.83 C ．8 D ．24 答案：C解析：因为a ∥b ，故3(y －1)＝－2x ，整理得2x ＋3y ＝3，所以3x ＋2y ＝13(2x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋9y x ＋4x y ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x ·4x y ＝8，当且仅当x ＝34，y ＝12时等号成立，所以3x ＋2y 的最小值为8，故选C.3．若正数x ，y ，a 满足ax ＋y ＋6＝xy ，且xy 的最小值为18，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．9 答案：B解析：正数x ，y ，a 满足ax ＋y ＋6＝xy ，且ax ＋y ≥2axy ，当且仅当ax ＝y 时等号成立，所以xy ≥6＋2axy .令t ＝xy ，则t 2－2at －6≥0，由xy 的最小值为18得t ≥32，所以32为方程t 2－2at －6＝0的一个解，则18－62a －6＝0，得a ＝2.故选B.4．[2019·山东济宁模拟]已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为( )A ．16B ．9C ．5D ．4 答案：A解析：∵1a ，12，1b 成等差数列，∴1a ＋1b ＝1，∴a ＋9b ＝(a ＋9b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝10＋a b ＋9b a ≥10＋2a b ·9b a ＝16，当且仅当a b ＝9b a 且1a ＋1b ＝1即a ＝4，b ＝43时等号成立，故选A.5．已知a ，b 为正实数，函数y ＝2a e x＋b 的图象过点(0,1)，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．4D ．2 答案：A 解析：因为函数y ＝2a e x ＋b 的图象过点(0,1)，所以2a ＋b ＝1.又a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝2a ＋b a ＋2a ＋b b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2a 时取等号，所以1a ＋1b 的最小值是3＋2 2.6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤3，x ＋y ≤5，y ≥λ，若z ＝x ＋4y 的最大值与最小值之差为5，则实数λ的值为( )A ．3 B.73 C.32 D ．1 答案：A解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤3，x ＋y ≤5，y ≥λ所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (1,4)，B (λ－3，λ)．由z ＝x ＋4y ，得y ＝－14x ＋z4，作出直线y ＝－14x ，并平移，知当该直线经过点A 时，z 取得最大值，且最大值为1＋4×4＝17；当该直线经过点B 时，z 取得最小值，且最小值为λ－3＋4λ＝5λ－3.因为z ＝x ＋4y 的最大值与最小值之差为5，所以17－(5λ－3)＝20－5λ＝5，得λ＝3.故选A.7．[2019·太原模拟]已知点(x ，y )所在的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为( )A ．4 B.14 C.53 D.35 答案：D解析：因为目标函数z ＝ax ＋y ，所以y ＝－ax ＋z ，易知z 是直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距．分析知当直线y ＝－ax ＋z 的斜率与直线AC 的斜率相等时，目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数多个，此时－a ＝225－21－5＝－35，即a ＝35，故选D.8．[2019·湖北联考]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥7－3x ，x ＋3y ≤13，x ≤y ＋1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|2x －3y＋4|的最小值为( )A.128B.132C.148D.164 答案：D解析：由题意得，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，设m ＝2x －3y ＋4，在直线2x －3y ＋4＝0上方并满足约束条件的区域使得m的值为负数，在点A 处m 取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝7－3x ，x ＋3y ＝13，解得x ＝1，y＝4，此时m min ＝2×1－3×4＋4＝－6，则|m |max ＝6，在直线2x －3y ＋4＝0下方并满足约束条件的区域使得m 的值为正数，在点C 处m 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝7－3x ，x ＝y ＋1，解得x ＝2，y ＝1，即C (2,1)，此时m max ＝5，|m |max＝5，故|m |max ＝6，故z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|2x －3y ＋4|在点A (1,4)处取得最小值，最小值为z＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164，故选D.二、非选择题9．[2018·全国卷Ⅱ]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x＋y 的最大值为________．答案：9解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)， ∴ z max ＝5＋4＝9.10．[2019·郑州模拟]已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是________．答案：13 解析：区域D 如图中的阴影部分所示，直线y ＝kx ＋1经过定点C (0,1)，如果其把区域D 划分为面积相等的两个部分，则直线y ＝kx ＋1只要经过AB 的中点即可．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，3x －y －3＝0，解得A (1,0)． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －y －3＝0，解得B (2,3)． 所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，代入直线方程y ＝kx ＋1得，32＝32k ＋1，解得k ＝13.11．设函数f (x )＝x ＋a x ＋1，x ∈[0，＋∞)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当0<a <1时，求函数f (x )的最小值．解析：(1)当a ＝2时，f (x )＝x ＋2x ＋1＝x ＋1＋2x ＋1－1≥22－1，当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时取等号，所以f (x )min ＝22－1. (2)当0<a <1时，任取0≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－a (x 1＋1)(x 2＋1). 因为0<a <1，(x 1＋1)(x 2＋1)>1，所以1－a (x 1＋1)(x 2＋1)>0， 因为x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，故f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在[0，＋∞)上为增函数．所以f (x )min ＝f (0)＝a .。
2020届高三文理科数学一轮复习《基本不等式》专题汇编(学生版)
《基本不等式》专题一、相关知识点1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)； (2)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (4)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(5)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R)．(6)a 2＋b 22≥(a ＋b )24≥ab (a ，b ∈R)．(7)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)5．重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 题型一 基本不等式的判断1．若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( )A.|a ＋b |2≥|ab | B ．b a ＋ab ≥2 C.a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 D ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥23．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－4 34．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <Q题型二 利用基本不等式求最值类型一 直接法或配凑法利用基本不等式求最值1．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．2．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为4．已知x <0，则函数y ＝4x ＋x 的最大值是5．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为6．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．7．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为________．8．若x ，y 均为正数，则3x y ＋12yx ＋13的最小值是9．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．10．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．11．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为12．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为13．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.14．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是15．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是16．已知a >b >0，则2a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为17．已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1的最大值为________．类型二 常数代换法利用基本不等式求最值1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．2．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．3．已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y 的最小值为________．4．已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，则2m ＋12n 的最小值为5．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是6．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为7．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．8．已知a >0，b >0，函数f (x )＝a log 2x ＋b 的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则1a ＋2b 的最小值为________．9．已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为10．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是11．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．12．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为13．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是14．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．15．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．16．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．类型三 通过消元法利用基本(均值)不等式求最值1．若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________．2．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．3.设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________.4．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围1．若对于任意的x ＞0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为2．已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．3．若对x >0，y >0，x ＋2y ＝1，有2x ＋1y ≥m 恒成立，则m 的最大值是________．4．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为5．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为7．已知函数f (x )＝3x 2＋ax ＋26x ＋1，若存在x ∈N ＋使得f (x )≤2成立，则实数a 的取值范围为___题型三 基本不等式的综合问题类型一 基本不等式的实际应用问题1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)． (1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．类型二 基本不等式与函数的交汇问题1．已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－4)类型三 基本不等式与数列的交汇问题1．已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为2．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为3．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N ＋)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是______.类型四 基本不等式与解析几何的交汇问题1． 已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是2．当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为3．两圆x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0和x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0恰有一条公切线，若m ∈R ，n4m2＋1n2的最小值为∈R，且mn≠0，则。
等式与不等式 高考数学必刷真题分类大全-专题03
专题03等式与不等式考向一基本不等式的应用【母题来源】2022年新高考全国II 卷【母题题文】若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A.1x y +≤B.2x y +≥- C.222x y +≤ D.221x y +≥【答案】BC【试题解析】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设cos ,sin 22y x y θθ-==，所以cos ,x y θθθ=+=，因此2222511cos sin cos 12cos 2333x y θθθθ=θ-θ+=++++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当33,33x y ==-时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度有易有难，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件【得分要点】（1）对原不等式进行化简、变形；（2）符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解；（3）判断等号成立的条件；（4）利用“1”的合理变换是解题.考向二线性规划【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（）A.2-B.4C.8D.12【答案】C【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度较小，是历年高考的热点，考查学生的基本作图能力和运算能力．常见的命题角度有：（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值；【得分要点】1.正确画出可行域；2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值一、单选题1．（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22ac bc >B ．1ab>C ．22a b >D ．33a b >2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知圆()()22124x y +++=关于直线10ax by ++=（0a >，0b >）对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．9C ．4D ．83．（2022·四川达州·高一期末（理））已知实数x ，y 满足20,2,20x y x y +≥⎧⎪≥-⎨⎪++≤⎩，的最小值是（）A ．2B．CD ．4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知实数0,0x y >>满足x y xy +=，则4x y +的最小值为（）A ．8B ．9C ．7D ．105．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知正数m ，n 满足1m n +=，则1+m mn的最小值为（）A ．3B ．3+C．D ．3+6．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]2,0-B ．(]2,0-C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-⋃+∞7．（2022·湖南·高二阶段练习）已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，若()()55f f =--，则满足()301f x x -≥+的x 的取值范围是（）A ．(](),18,-∞-⋃+∞B ．(],8∞-C ．(](),21,-∞-⋃-+∞D ．(](],21,8-∞-⋃-8．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件是（）A ．1x >-且2x ≠B ．13x -<<C ．1x <D ．3x >二、填空题9．（2022·四川泸州·三模（理））已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．10．（2022·上海市川沙中学高二期末）若关于x 的不等式223252x x m m -++<-有解，则实数m 的取值范围___________.11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知实数20x y ≥>，0z >，则43223x y z xx y y z+++++的最小值为___________.12．（2020·云南德宏·高三期末（理））关于函数()()0bf x ax ab x=-≠有下列四个命题：①,a b R ∃∈，使()f x 关于y 轴对称．②,a b R ∀∈，都有()f x 关于原点对称．③,a b R ∃∈，使()f x 在⎛⎝上为减函数．④若0x <，,a b R ∃∈，使()f x 有最大值-其中真命题的序号是____________．三、解答题13．（2021·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）设p ：实数x 满足()224300x ax a a -+≤>，q ：实数x 满足302x x -<-(1)若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．14．（2022·江西抚州·高二期中（文））已知a ，b 都是正数．(1)若1+=-a b 4+≥ab ；(2)当a b ¹时，证明：>15．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数()22f x x ax =+-，()0f x >的解集为{1x x <-或}x b >．(1)求实数a 、b 的值；(2)若()0,x ∈+∞时，求函数()()4f x g x x+=的最小值．16．（2022·浙江舟山·高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元）.经计算若年产量x 千件低于100千件，则这x 千件产品成本21()1011002C x x x =++；若年产量x 千件不低于100千件时，则这x 千件产品成本4500()120540090C x x x =+--.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？一、单选题1．（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22ac bc >B ．1ab>C ．22a b >D ．33a b >【答案】D 【解析】【分析】可以利用特殊值进行排除，以及利用不等式的性质进行判断.【详解】当0c =时，22ac bc =，则A 错误；当0b <时，1ab<，则B 错误；当0a b >>时，22a b <，则C 错误；当0a b >>时，33a b >，当0a b >≥时，33330a b a b >≥⇒>，当0b a <≤时，()()3333330a b a b a b a b ≤-<-⇒-<-⇒--⇒，则D 正确.故选：D.2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知圆()()22124x y +++=关于直线10ax by ++=（0a >，0b >）对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．9C ．4D ．8【答案】B 【解析】【分析】由题可得()210,0a b a b +=>>，然后利用基本不等式即得.【详解】圆()()22124x y +++=的圆心为()1,2--，依题意，点()1,2--在直线10ax by ++=上，因此210a b --+=，即()210,0a b a b +=>>，∴()1212222225529b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时取“=”，所以12a b+的最小值为9.故选：B.3．（2022·四川达州·高一期末（理））已知实数x ，y 满足20,2,20x y x y +≥⎧⎪≥-⎨⎪++≤⎩()()2211x y -+-的最小值是（）A ．2B ．22C 10D ．32【答案】B 【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最小值.【详解】根据约束条件，画出可行域（如图），()()2211x y -+-可看成可行域内的点(),x y 与定点()11，的距离，由图可知：当过点()11，的直线与20x y ++=垂直时，距离最小，此时最小距离为：=222故选：B4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知实数0,0x y >>满足x y xy +=，则4x y +的最小值为（）A ．8B ．9C ．7D ．10【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代换求4x y +的最值，注意等号成立条件.【详解】由题设，111x y+=，所以11444(4)(5529y x y xx y x y x y x y x y+=++=++≥+⋅=，当且仅当33,2x y ==时等号成立，所以4x y +的最小值为9.故选：B5．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知正数m ，n 满足1m n +=，则1+m mn的最小值为（）A ．3B ．322+C ．32D ．323+【答案】B 【解析】【分析】化简1212()()3m m nm n mn n m n m+=++=++，再利用基本不等式得解.【详解】解：由题得12212()33+22m m m n m n m nm n mn mn mn n m n m++++===++=++≥（当且仅当21,22m n -=.故选：B6．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]2,0-B ．(]2,0-C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】讨论0a =和0a <两种情况，即可求解.【详解】当0a =时，不等式成立；当0a ≠时，不等式2220ax ax --<恒成立，等价于()()20,2420,a a a <⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩20a ∴-<<．综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ．7．（2022·湖南·高二阶段练习）已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，若()()55f f =--，则满足()301f x x -≥+的x 的取值范围是（）A ．(](),18,-∞-⋃+∞B ．(],8∞-C ．(](),21,-∞-⋃-+∞D ．(](],21,8-∞-⋃-【答案】D 【解析】【分析】先利用偶函数的性质得到()f x 在(],0-∞上单调递增，()()550f f =-=.把原不等式转化为()30,10,f x x ⎧-≥⎨+>⎩或()30,10,f x x ⎧-≤⎨+<⎩即可解得.【详解】因为偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在(],0-∞上单调递增，且()()55f f =--，又()()55f f =-，所以()()550f f =-=.由()301f x x -≥+，得()30,10,f x x ⎧-≥⎨+>⎩或()30,10,f x x ⎧-≤⎨+<⎩所以535,10,x x -≤-≤⎧⎨+>⎩或3535,10,x x x -≤--≥⎧⎨+<⎩或解得18-<≤x 或2x -≤.故x 的取值范围是(](],21,8-∞-⋃-.故选：D.8．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件是（）A ．1x >-且2x ≠B ．13x -<<C ．1x <D ．3x >【答案】D【解析】【分析】求解已知不等式，从集合的角度，以及充分性和必要性的定义，即可选择.【详解】因为()220x -≥，故不等式2(1)(2)0x x +->的解集为{1x x -且2}x ≠，故不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是{1x x -且2}x ≠的真子集，显然，满足题意的只有{}3x x .故选：D.二、填空题9．（2022·四川泸州·三模（理））已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．【答案】①④【解析】【分析】利用基本不等式可判断①和④，取特殊值x ＝0、y ＝2log 3可判断②，取特殊值y ＝12可判断③．【详解】对于①，∵20,20x y >>，∴由224x y +=得，42222222x y x y x y +=+≥⋅=即422x y +≥2x y +≤(当且仅当1x y ==时取等号)，故①一定成立；对于②，当20,log x y ==3时，224x y +=成立，但1xy ≥不成立，故②不一定成立；对于③，当12y =时，由224x y +=得242x =，则132********xy +-=+-=>，即23x y +>，故③不一定成立；④将224x y +=两边平方得144216x y x y ++++=，∴144162x y x y +++=-，由①可知：131********x y x y x y x y +++++≤⇒++≤⇒≤=⇒-≥-11621688x y ++⇒-≥-=，∴448x y +≥，当且仅当1x y ==时取等号，因此④一定成立﹒故答案为：①④﹒【点睛】本题①和④利用基本不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围.对于②和③，取特殊值验算即可快速求解﹒10．（2022·上海市川沙中学高二期末）若关于x 的不等式223252x x m m -++<-有解，则实数m 的取值范围___________.【答案】()(),24,-∞-+∞ 【解析】【分析】根据题意可得()2min 23252x x m m -++<-，根据+≥-a b a b 可得()min23258x x -++=，代入求解．【详解】根据题意可得()2min 23252x x m m-++<-∵()()232523258x x x x -++≥--+=∴228m m ->，即2280m m -->，则4m >或2m <-故答案为：()(),24,-∞-+∞ ．11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知实数20x y ≥>，0z >，则43223x y z xx y y z+++++的最小值为___________.【答案】1221【解析】【分析】依题意利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为20x y ≥>，0z >，所以43223x y z x x y y z +++++223223x y y z x x y y z +++=+++231223y z xx y y z +=++++23231112223223y z x y z xx y z x y z++≥++=+⋅=+++当"232,223,2223y z xx y x y z x y x y z +==⇒=+=+取等号“综上所述：43223x y z xx y y z+++++的最小值为12故答案为：1212．（2020·云南德宏·高三期末（理））关于函数()()0bf x ax ab x=-≠有下列四个命题：①,a b R ∃∈，使()f x 关于y 轴对称．②,a b R ∀∈，都有()f x 关于原点对称．③,a b R ∃∈，使()f x 在b a ⎛⎤⎝⎦上为减函数．④若0x <，,a b R ∃∈，使()f x 有最大值2ab -．其中真命题的序号是____________．【答案】②③④【解析】【分析】对①②，判断()f x 的奇偶性即可；对③④，根据对勾函数的性质判断即可；【详解】由题，因为()()bf x ax f x x-=-+=-，且0ab ≠，故()f x 为奇函数，①错②对；当0,0a b ><时，由对勾函数的性质，()b f x ax x =-在ba⎛ ⎝上为减函数，故③正确；又当0x <时，若0,0a b ><，则()f x 在b x a=2b b a ab a b a⎛=- ⎝-，故④正确；故答案为：②③④13．（2021·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）设p ：实数x 满足()224300x ax a a -+≤>，q ：实数x 满足302x x -<-(1)若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()2,3(2)[]1,2【解析】【分析】（1）根据二次不等式与分式不等式的求解方法求得命题p ，q 为真时实数x 的取值范围，再求交集即可；（2）先求得[],3A a a =，再根据p 是q 的必要不充分条件可得A B ⊇，再根据集合包含关系，根据区间端点列不等式求解即可(1)当1a =时，2430x x -+≤，解得13x ≤≤，即p 为真时，实数x 的取值范围为13x ≤≤．由302x x -<-，解得23x <<，即q 为真时，实数x 的取值范围为23x <<．若p q ∧为真，则1323x x ≤≤⎧⎨<<⎩，解得实数x 的取值范围为()2,3．(2)若p 是q 的必要不充分条件，则q p ⇒且p q ¿．设(){}A x p x =，(){}B x q x =，则A B ⊇，又()2,3B =．由22430x ax a -+≤，得()()30x a x a --≤，因为0a >，则[],3A a a =，有233a a ≤⎧⎨≤⎩，解得12a ≤≤因此a 的取值范围为[]1,2．14．（2022·江西抚州·高二期中（文））已知a ，b 都是正数．(1)若12+=-a b ab ，证明：4≥b a a b ab ；(2)当a b ¹时，证明：+>a a b b b a a b 【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）根据12+=-a b ab 1a b =，再结合b a a bab化简，利用基本不等式证明即可（2）根据证明的不等式逆推即可(1)证明：由12+=-a b ab ，得21a b+=1a b (11ab b a b a a b ab ab a b+==()2224b a b a a b a b a b ab==≥+⋅=，当且仅当14a b ==时“=”成立．所以4+≥b a b ab ．(2)要证+>+a a b b b a a b )()0--->a a b b a b ，即证)0->a b a b ，即证2)0a b a b >，因为20>+>a b a b ，所以上式成立，所以>a a b b b a a b 15．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数()22f x x ax =+-，()0f x >的解集为{1x x <-或}x b >．(1)求实数a 、b 的值；(2)若()0,x ∈+∞时，求函数()()4f x g x x+=的最小值．【答案】(1)1a =-，2b =(2)221【解析】【分析】（1）分析可知1-、b 是方程220x ax +-=的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得a 、b 的值；（2）求得()21g x x x=+-，利用基本不等式可求得()g x 在()0,∞+上的最小值.(1)解：因为关于x 的不等式220x ax +->的解集为{1x x <-或}x b >，所以，1-、b 是方程220x ax +-=的两个根，所以，12012a b --=⎧⎨-⋅=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩.(2)解：由题意知()()24221f x x x g x x xx x+-+===+-，因为0x >，由基本不等式可得()22121221g x x x x x=+-≥⋅=-，当且仅当2x x=时，即2x =故函数()g x 的最小值为221.16．（2022·浙江舟山·高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x 千件产品成本21()1011002C x x x =++；若年产量x 千件不低于100千件时，则这x 千件产品成本4500()120540090C x x x =+--.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩(2)当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元【解析】【分析】（1）年利润L 为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；（2）当0100x <<时，根据二次函数单调性求L 最大值；当100x ≥时，根据基本不等式求最大值，继而求出L 最大值.(1)当0100x <<时，2211100101100200090310022L x x x x x =----=-+-；当100x ≥时，45004500100120540020002034009090L x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪--⎝⎭.所以21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩(2)当0100x <<时，2211903100(90)95022L x x x =-+-=--+.当90x =时，L 取得最大值，且最大值为950.当100x ≥时，(45002252034002090160020225160010009090L x x x x ⎛⎫=--+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭当且仅当105x =时，等号成立.因为1000950>，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.。
不等式性质与基本不等式(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(学生版)
考向22 不等式性质与基本不等式1.（2022年甲卷理科第12题）12．已知3132a =，1cos 4b =，14sin 4c =，则 A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【解析】构造函数21()1cos 2h x x x =--，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()sin g x h x x x '==-+，()1cos 0g x x '=-+所以()(0)0g x g =，因此，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以1()(0)04h a b h =-<=，即a b <． 另一方面，114sintan 4411cos 44c b ==，显然0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >， 所以114sintan 44111cos 44c b ==>，即b c <．因此c b a >>． 2.（2022年甲卷文科第12题）12．已知910m =，1011m a =-，89m b =-，则 ( )A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >> 【答案】A【解析】由910m =，可得9log 10(11.5)m =∈ ,．根据a ，b 的形式构造函数()1m f x x x =-- (1x >)， 则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110mx m -=，由9log 10(11.5)m =∈ ,知0(0)x ∈ 1,． ()f x 在(1) +∞,上单调递增，所以(10)(8)f f >，即a b >，又因为9log 10(9)9100f =-=，所以0a b >>，答案选A ．3．（2022年新高考1卷第7题）设0.10.1e =a ，19b =，ln0.9c =-，则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】C【解析】令e =x a x ，1xb x=-，ln(1)c x =--， ① ln ln ln [ln ln(1)]-=+---a b x x x x ， ln(1),(0.0.1]y x x x =+-∈；1'1011x y x x-=-=<--， 所以0y ，所以ln ln 0-a b ，所以b a > ②e ln(1),(0,0.1]-=+-∈x a c x x x ，1(1)(1)e 1'e e 11+--=+-=--x xxx x y x x x， 令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2'()(12)e 0=-->x k x x x ， 所以()(0)0k x k >>，所以'0y >，所以0a c ->，所以a c >．4．（2022年新高考2卷第12题）对任意22,,1x y x y xy +-=，则A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤ D ．221x y +≥【答案】BC【解析】由221x y xy +-=得2212y x y ⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令cos sin cos 23sin ??23y x x y y θθθθθ⎧⎧-==+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎪⎩⎩故[]cos 2sin 2,26x y πθθθ⎛⎫+=+=+∈- ⎪⎝⎭，故A 错，B 对；2222cos sin 33x y θθθ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()14242 2cos 2sin 2,2,333333θθθϕ⎡⎤=-+=-+∈⎢⎥⎣⎦(其中tan 3ϕ=)， 故C 对，D 错.5. （2022年北京卷第11题）函数1()f x x =+_________．【答案】()(],00,1-∞⋃ 【解析】因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠， 故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃6.（2022年乙卷理科第14题）已知1x x =和2x x =分别是函数)10(2)(2≠>-=a a ex a x f x 且的极小值点和极大值点，若21x x <，则a 的取值范围是___________ 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0【解析】()()ex a a x f x-=ln 2'至少要有两个零点1x x =和2x x =，我们对其求导，()()e a a x f x 2ln 22''-=，（1）若1>a ，则()x f''在R 上单调递增，此时若()00''=x f ，则()x f '在()0,x ∞-上单调递减，在()+∞,0x 上单调递增，此时若有1x x =和2x x =分别是函数)10(2)(2≠>-=a a ex a x f x 且的极小值点和极大值点，则21x x >，不符合题意。
高中不等式例题(超全超经典)
一． 不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
高中数学：基本不等式(含答案)
高中数学：必修5 基本不等式一、基础知识1．重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )一般地，对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当______________时，等号成立．2．基本不等式如果a ＞0，b ＞0，那么2a bab +≤，当且仅当______________时，等号成立． 其中，2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 因此基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．基本不等式的证明（1）代数法：方法一 因为a ＞0，b ＞0，所以我们可以用a ，b 分别代替重要不等式中的a ，b ，得22()()2a b a b +≥⋅，当且仅当a b =时，等号成立．即2a bab +≥( a ＞0，b ＞0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 方法二 因为2222()()2()0a b ab a b ab a b +-=+-=-≥， 所以20a b ab +-≥，即2a b ab +≥，所以2a bab +≤． 方法三 要证2a bab +≥，只要证2a b ab +≥，即证20a b ab +-≥，即证2()0a b -≥，显然2()0a b -≥总是成立的，当且仅当a ＝b 时，等号成立．（2）几何法：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD ，BD ．易证Rt Rt ACD DCB △∽△，则CD 2＝CA ·CB ，即CD ＝______________．这个圆的半径为2a b +，显然它大于或等于CD ，即2a bab +≥，当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．2a bab +≤的几何意义：半径不小于半弦．4．重要不等式和均值不等式的常用变形公式及推广公式（1）2b a a b +≥(a ，b 同号)；2b aa b +≤-(a ，b 异号)． （2）12a a +≥(a ＞0)；12a a+≤-(a ＜0)． （3）114a b a b +≥+(a ＞0，b ＞0)；22a a b b≥-(a ＞0，b ＞0)．（4）222a b ab +≤，2()2a b ab +≤，4ab ≤a 2＋b 2＋2ab ，2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(,)a b ∈R ． （5）12212(,,,,2)nn n a a a a a a a n n n+++≥∈≥∈R N ,．（6）2121212111()()(,,,n n na a a n a a a a a a ++++++≥为正实数，且2)n n ≥∈N ,．5．均值不等式链若a ＞0，b ＞0，则2112a b a b+≤≤≤+，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中211a b +分别叫做a ，b 的调和平均数和平方平均数．6．最值定理已知x ＞0，y ＞0，则若x＋y 为定值s ，则当且仅当x ＝y 时，积xy 有最大值24s (简记：和定积最大)； 若xy 为定值t ，则当且仅当x ＝y 时，和x ＋y有最小值简记：积定和最小)．参考答案：重难易错点：一、利用基本不等式判断不等式是否成立要判断不等式是否成立，关键是把握其运用基本不等式时能否严格遵循“一正、二定、三相等”这三个条件．例1.（1）设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f )，q ＝()2a b f +，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是 A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q（2）给出下列不等式：①12x x +≥；②1||2x x+≥；③21(0)4x x x +>>；④1sin 2sin x x +≥；⑤若0＜a ＜1＜b ，则log a b ＋log b a ≤－2．其中正确的是______________． 【答案】（1）B ；（2）②⑤．【点析】基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等．一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换（利用基本不等式可将整式和根式相互转化），使其中的不等关系明晰即可解决问题．二、利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的一般思路：先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有其他条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．例2.（1）已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：222a b c a b c b c a++≥++；（2）已知a ＞b ，ab ＝2，求证：224a b a b+≥-．观察a－b，a2＋b2，可联想到通过加减2ab的方法配凑出(a－b)2，从而化为可使用基本不等式的形式，结合ab ＝2可使问题得到解决．三、利用基本不等式求最值（1例3.（1）已知f(x)＝x＋1x＋2(x＜0)，则f(x)有A．最大值为4B．最小值为4 C．最小值为0 D．最大值为0（2）已知0＜x＜4，则x(4－x)取得最大值时x的值为A．0 B．2 C．4 D．16（3）已知函数f(x)＝2x(x＞0)，若f(a＋b)＝16，则f(ab)的最大值为_______________；（4）已知a，b∈R，且ab＝8，则|a＋2b|的最小值是_______________．【答案】（1）D；（2）C；（3）16；（4）8．【点析】利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等，即①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备．（2使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、凑项、凑系数等．例4.（1）已知x＞0，则函数y＝231x xx++的最小值为_______________；（2）若x＞1，则函数y＝11xx+-的最小值为_______________；（3）若0＜x＜125，则函数y＝x(12－5x)的最大值为_______________．（31”的替换，或构造不等式求解．例5.（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则11a b+的最小值为_______________；（2）已知a＞0，b＞0，11a b+＝2，则a＋b的最小值为_______________；（3）若正实数x，y满足x＋y＋3＝xy，则xy的最小值是_______________；（4）已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值是_______________． 【答案】（1）4；（2）2；（3）9；（4）2．【点析】在构造不等式求最值时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用．例如，当a ＞0，b ＞0时，a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤222a b +；2a b+≥ab 逆用就是ab ≤2()2a b +等．还要注意“添项、拆项、凑系数”的技巧和等号成立的条件等．四、基本不等式在实际中的应用利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型2bax ab x+≥(a ＞0，b ＞0，x ＞0)上靠拢． 例6.如图，要规划一个矩形休闲广场，该休闲广场含有大小相等的左右两个矩形草坪（如图中阴影部分所示），且草坪所占面积为18 000 m 2，四周道路的宽度为10 m ，两个草坪之间的道路的宽度为5 m ．试问，怎样确定该矩形休闲广场的长与宽的尺寸（单位：m ），能使矩形休闲广场所占面积最小？【答案】当矩形休闲广场的长为140 m ，宽为175 m 时，可使休闲广场的面积最小．【点析】本题容易出现的思维误区：①未能理清草坪边长与休闲广场边长之间的关系；②求出目标函数后不会运用基本不等式求最值，缺乏必要的配凑、转化变形能力，从而无法利用基本不等式求最值，或者不会利用基本不等式等号成立的条件求变量的取值．五、忽略等号成立的条件导致错误例7、函数22()2f x x =+的最小值为_______________．【错解】2222223211()22222x x f x x x x x +++===++≥+++，所以函数()f x 的最小值为2．【错因分析】错解中使用基本不等式时，等号成立的条件为22122x x +=+，即22x +＝1，显然x 2≠－1，即等号无法取到，函数()f x 的最小值为2是不正确的． 【正解】()21222+++=x x x f ，令()()t t t g t x t 1,2,22+=≥+=.易知函数()tt t g 1+=在[)∞+，2上六、忽略等号成立的一致性导致错误例8、若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则11x y+的最小值为_______________．基本不等式：基础习题强化1．已知01x <<，则(1)x x -取最大值时x 的值为A B C D 2．若实数,a b 满足323a b +=，则84a b +的最小值是A ．B ．4C ．D ．3．若0,0,x y >>且22x y +=，则21x y+的最小值是A ．3BC ．3D ．924．若1a >，则211a a a -+-的最小值是A ．2B ．4C ．1D ．35．已知2212,202b m a a n b a -=+>=≠-（）（），则m ，n 之间的大小关系是 A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．不能确定6．己知,a b 均为正实数，且直线60ax by +-=与直线()3250b x y --+=互相垂直，则23a b +的最小值为 A ．12B ．13C ．24D ．257．已知0a >，0b >，11a b a b +=+，则12a b+的最小值为A ．4B ．C ．8D ．168．若正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围为________________． 9．已知,,a b c +∈R ，且3a b c ++=，则111a b c++的最小值是________________．10．若实数a ，b 满足12a b+=ab 的最小值为________________． 11．设230<<x ，则函数4(32)y x x =-的最大值为________________． 12．已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________________时，22log log (2)a b ⋅取得最大值．能力提升13．已知a ，b 都是正实数，且满足2a b ab +=，则2a b +的最小值为A ．12B ．10C ．8D ．614．已知1,1a b >>，且11111a b +=--，则4a b +的最小值为 A ．13B ．14C ．15D ．1615．已知不等式1)()9ax y x y++≥（对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 A ．8B ．6C ．4D ．216．若正实数,a b 满足1a b +=，则A ．11a b+有最大值4 B ．ab 有最小值14C ．a b +有最大值2D ．22a b +有最小值2217．已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为 A ．4B ．16C ．9D ．318．设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为A ．252B ．492C ．12D ．1419．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则111a b c++的最小值为_________________． 20．在4×＋9×＝60的两个中，分别填入一个自然数，使它们的倒数之和最小，则中应分别填入____________和____________．21．若a ，b ，c ＞0且(a ＋c )(a ＋b )＝423-，则2a ＋b ＋c 的最小值为________________． 22．已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b +++的最大值是________________．其他23．某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图所示）．设矩形的长为x 米，钢筋网的总长度为y 米． （1）列出y 与x 的函数关系式，并写出其定义域；（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？24．（1）求函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值；（2）已知正数a ，b 和正数x ，y ，若a ＋b ＝10，1a bx y+=，且x ＋y 的最小值是18，求a ，b 的值．25．已知函数2()21,f x x ax a a =--+∈R ．（1）若2a =，试求函数()(0)f x y x x=>的最小值； （2）对于任意的[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立，试求a 的取值范围．26．（天津文理）已知a ，b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_______________． 27．（江苏）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为_______________．28．（山东理）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是A ．()21log 2aba ab b +<<+ B ．()21log 2a b a b a b<+<+ C ．()21log 2a b a a b b +<+<D ．()21log 2a ba b a b +<+< 29．（天津文理）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为________________．30．（江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________________． 31．（山东文）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点（1，2），则2a b +的最小值为________________．【参考答案】1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B8．【答案】[)+∞,9 9．【答案】3 10．【答案】 11．【答案】9212．【答案】4 13．【答案】C 14．【答案】B 15．【答案】C 16．【答案】C 17．【答案】B 18．【答案】A19．【答案】9 20．【答案】6 4 21．【答案】2 22．23．【答案】（1）9003(0150)y x x x=+-<<；（2）长为30米，宽为15米时，所用的钢筋网的总长度最小． 24．【答案】（1）9；（2）28a b =⎧⎨=⎩或82a b =⎧⎨=⎩． 25．【答案】（1）2-；（2）3[,)4+∞．26．【答案】0.25 27．【答案】9 28．【答案】B 29．【答案】4 30．【答案】30 31．【答案】8。
历年高三数学高考考点之基本不等式必会题型及答案
历年高三数学高考考点之<基本不等式>必会题型及答案体验高考1．(2015·四川)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812答案 B解析 ①当m ＝2时，∵f (x )在[12，2]上单调递减， ∴0≤n ＜8，mn ＝2n ＜16.②m ≠2时，抛物线的对称轴为x ＝－n －8m －2. 据题意得，当m ＞2时，－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12， ∵2m ·n ≤2m ＋n 2≤6， ∴mn ≤18，由2m ＝n 且2m ＋n ＝12得m ＝3，n ＝6.当m ＜2时，抛物线开口向下，据题意得，－n －8m －2≤12，即m ＋2n ≤18， ∵2n ·m ≤2n ＋m 2≤9， ∴mn ≤812， 由2n ＝m 且m ＋2n ＝18得m ＝9＞2，故应舍去．要使得mn 取得最大值，应有m ＋2n ＝18(m ＜2，n ＞8)．∴mn ＝(18－2n )n ＜(18－2×8)×8＝16，综上所述，mn 的最大值为18，故选B.2．(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b ) ＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p .故p ＝r ＜q .选C.3．(2015·天津)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．答案 4解析 log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·(1＋log 2b )≤⎝⎛⎭⎪⎫log 2a ＋1＋log 2b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2ab ＋122 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 28＋122＝4， 当且仅当log 2a ＝1＋log 2b ，即a ＝2b 时，等号成立，此时a ＝4，b ＝2.4．(2016·江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．答案 8解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，由已知，sin A ＝2sin B sin C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C .∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，A ，B ，C 全为锐角，两边同时除以cos B cos C 得：tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝tan B ＋tan C tan B tan C －1. ∴tan A (tan B tan C －1)＝tan B ＋tan C .则tan A tan B tan C －tan A ＝tan B ＋tan C ，∴tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， ∴tan A tan B tan C ≥22，∴tan A tan B tan C ≥8.5．(2016·上海)设a ＞0，b ＞0.若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 由已知，ab ＝1，且a ≠b ，∴a ＋b ＞2ab ＝2.高考必会题型题型一 利用基本不等式求最大值、最小值1．利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键．(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．2．结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式．常见的转化方法有：(1)x ＋bx －a ＝x －a ＋bx －a ＋a (x >a )．(2)若a x ＋b y ＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )×1＝(mx ＋ny )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为正数)．例1 (1)已知正常数a ，b 满足1a ＋2b＝3，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值是________． 答案 509解析 由1a ＋2b ＝3，得b ＋2a ＝3ab ， ∴(a ＋1)(b ＋2)＝2a ＋b ＋ab ＋2＝4ab ＋2，又a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ≥22ab ，∴ab ≥89(当且仅当b ＝2a 时取等号)， ∴(a ＋1)(b ＋2)的最小值为4×89＋2＝509. (2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ＞－1)的最小值． 解 设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t ＞0)，∴y ＝t －12＋7t －1＋10t＝t ＋4t＋5≥2 t ·4t ＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.点评 求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式．在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值．等号能够取得．变式训练1 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20，(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值． 解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2x y时等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10 10－203，y ＝20－4103. ∴1x ＋1y 的最小值为7＋2 1020. 题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案 B 解析 平均每件产品的费用为y ＝800＋x 28x ＝800x ＋x 8≥2 800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时取等号，所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小．(2)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得 3 200≥2 40x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120 S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)·(S ＋16)≤0，故0＜S ≤10，从而0＜S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米．点评 基本不等式及不等式性质应用十分广泛，在最优化实际问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备．变式训练2 (1)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是________． 答案 92 解析 圆的方程变形为(x －1)2＋(y －2)2＝5，由已知可得直线ax ＋by －6＝0过圆心O (1,2)，∴a ＋2b ＝6(a ＞0，b ＞0)，∴6＝a ＋2b ≥22ab ，∴ab ≤92(当且仅当a ＝2b 时等号成立)， 故ab 的最大值为92. (2)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． ①写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；②当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 ①当0＜x ＜80时， L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250＝－13x 2＋40x －250. 当x ≥80时， L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x －1 450)－250 ＝1 200－(x ＋10 000x)． ∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －13x 2＋40x －2500＜x ＜80，1 200－x ＋10 000x x ≥80.②当0＜x ＜80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250. 对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)．当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x)≤1 200－2 10 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)，综上所述，当x ＝100时，年获利最大．高考题型精练1．已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( ) A ．有最大值e B ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e答案 C解析 ∵x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y ＝14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋ln y 22，∴ln x ＋ln y ＝ln xy ≥1⇒xy ≥e.2．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6答案 C解析 方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x5y ＋12y5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5.方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1，∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15 ≥135＋2 3625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立， ∴3x ＋4y 的最小值是5.3．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( ) A ．1B ．6C ．9D ．16 答案 B解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1， ∴b ＝a a －1＞0，解得a ＞1.同理可得b ＞1， ∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1 ＝1a －1＋9(a －1)≥2 1a －1·9a －1＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立， ∴最小值为6.故选B.4．已知a ＞0，b ＞0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3答案 B解析 因为a ＞0，b ＞0，所以由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b恒成立．因为3b a ＋3a b ≥23b a ·3a b＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16， 所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.5．已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y(m ＞0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4答案 D解析 由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3， 1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y) ≥13(1＋m ＋2m )(当且仅当y x ＝mx y时取等号) ∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4，故选D. 6．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2答案 A解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)，因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c)＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c ＞0，所以4c b ＋b c ≥24cb ·b c＝4. 当且仅当4c b ＝b c时等号成立． 由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 7．已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析 由已知得x ＝9－3y 1＋y.方法一 (消元法)∵x ＞0，y ＞0，∴0＜y ＜3，∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y ＋3(y ＋1)－6 ≥2121＋y ·3y ＋1－6＝6，当且仅当121＋y＝3(y ＋1)， 即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6.方法二 ∵x ＞0，y ＞0,9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0，∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.8．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，则a ＋cb ＋b a ＋c 的最小值为________． 答案 52解析 由条件可知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且b 2＝ac ，即b ＝ac ，故a ＋c b ≥2ac b ＝2，令a ＋c b ＝t ，则t ≥2，所以y ＝t ＋1t在[2，＋∞)上单调递增， 故其最小值为2＋12＝52. 9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22， ∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)，又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)，综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.10．当x ∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x 恒成立，则m 的最大值为________． 答案 9解析 方法一 (函数法)由已知不等式可得 m ≤1x ＋41－x， 设f (x )＝1x ＋41－x ＝1－x ＋4x x 1－x ＝3x ＋1－x 2＋x ，x ∈(0,1)．令t ＝3x ＋1，则x ＝t －13，t ∈(1,4)， 则函数f (x )可转化为g (t )＝t－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋t －13＝t －19t 2＋59t －49＝9t －t 2＋5t －4＝9－t ＋4t＋5， 因为t ∈(1,4)，所以5＞t ＋4t≥4， 0＜－(t ＋4t )＋5≤1，9－t ＋4t ＋5≥9， 即g (t )∈[9，＋∞)，故m 的最大值为9.方法二 (基本不等式法)由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x，因为x ∈(0,1)，则1－x ∈(0,1)，设y ＝1－x ∈(0,1)，显然x ＋y ＝1.故1x ＋41－x ＝1x ＋4y ＝x ＋y x ＋4x ＋y y＝5＋(y x ＋4x y )≥5＋2y x ·4x y＝9， 当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝23，x ＝13时等号成立． 所以要使不等式m ≤1x ＋41－x恒成立，m 的最大值为9. 11．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)设所用时间为t ＝130x(小时)， y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]． 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610， 当且仅当2 340x ＝13x 18， 即x ＝1810时等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解 (1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解， 等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解， ∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2， ∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。
高三数学基本不等式试题答案及解析
高三数学基本不等式试题答案及解析1. [2014·兰州调研]设x、y、z>0，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、c三数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【答案】C【解析】假设a、b、c都小于2，则a＋b＋c<6.而事实上a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6与假设矛盾，∴a，b，c中至少有一个不小于2.2.若方程有实根,则实数的取值范围是___________.[【答案】【解析】原方程可变为：，【考点】方程及重要不等式.3.阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析.【解析】本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出. （1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分【考点】阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.4.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 (m).【答案】20【解析】利用均值不等式解决应用问题。
设矩形高为y, 由三角形相似得:.5.设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足，的最大值是 _______ ．【答案】8【解析】由已知得，，当且仅当时等号成立,因此最大值为8．【考点】球的性质．6.设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)≥1【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即≥a＋b＋c.所以≥1.7.若,其中为虚数单位,则_________.【答案】【解析】，所以.【考点】复数基本运算.8.已知函数在时取得最小值，则____________.【答案】【解析】由题意得时取得最小值，所以.【考点】重要不等式.9.若（其中，)，则的最小值等于.【答案】.【解析】，因此的最小值等于.【考点】基本不等式10.设均为正实数，且，则的最小值为____________．【答案】16【解析】由，化为，整理为，∵均为正实数，∴，∴，解得，即，当且仅当时取等号，∴的最小值为16，故答案为：16．【考点】基本不等式．11.若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()A．a2+b2>2ab B．a+b≥2C．+>D．+≥2【答案】D【解析】对于选项A,a2+b2≥2ab,所以选项A错;对于选项B、C,虽然ab>0,只能说明a、b同号,若a、b都小于0时,选项B、C错;对选项D,∵ab>0,∴>0,>0,则+≥2.故选D.12.若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为() A．B．C．+D．+2【答案】C【解析】圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆心坐标为(-1,2),半径为r=2.因为直线被圆截得的弦长为4,所以直线ax-by+2=0过圆心,所以-a-2b+2=0,即a+2b=2,所以+b=1,所以+=(+)(+b)=+1++≥+2=+.当且仅当=,a=b时取等号,所以+的最小值为+.故选C.13.在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，.则函数的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意可得，当且仅当时“=”成立，所以函数的最小值为，选.【考点】基本不等式，新定义问题.14.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a＋b≥2 B．>C．≥2D．a2＋b2>2ab【答案】C【解析】因为ab>0，所以>0，>0，即≥2 ＝2，所以选C.15.设x，y∈R，a>1，b>1，若a x＝b y＝3，a＋b＝2，则的最大值为() A．B．1C．D．2【答案】B【解析】由a x＝b y＝3得＝log3a，＝log3b，所以＝log3ab≤log3＝log3＝1.16.设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．【答案】－2【解析】因为＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，当且仅当＝，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故＋取得最小值时，a＝－2.17.已知函数f(x)＝4x＋ (x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.【答案】36【解析】∵x>0，a>0，∴f(x)＝4x＋≥2＝4 ，当且仅当4x＝(x>0)即x＝时f(x)取得最小值，由题意得＝3，∴a＝36.18.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．【答案】58【解析】由题意知每台机器运转x年的年平均利润为＝18－(x＋)，而x>0，故≤18－＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．19.设，若，则的最大值为（）A．2B．3C．4D．【答案】B【解析】由得，，∴,又，∴，即，当且仅当，即时取等号，所以. 故.【考点】基本不等式.20.已知当取得最小值时，直线与曲线的交点个数为【答案】2【解析】∵，∴当且仅当，即时，取得最小值8，故曲线方程为时，方程化为；当时，方程化为，当时，方程化为，当时，无意义，由圆锥曲线可作出方程和直线与的图象，由图象可知，交点的个数为2.【考点】基本不等式，直线与圆锥曲线的位置关系.21.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.【答案】当休闲广场的长为米，宽为米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为平方米.【解析】先将休闲广场的长度设为米，并将宽度也用进行表示，并将绿化区域的面积表示成的函数表达式，利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值，但是要注意基本不等式适用的三个条件.试题解析：设休闲广场的长为米，则宽为米，绿化区域的总面积为平方米，6分， 8分因为，所以，当且仅当，即时取等号 12分此时取得最大值，最大值为.答：当休闲广场的长为米，宽为米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为平方米.14分【考点】矩形的面积、基本不等式22.若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，则或，则排除与；由于恒成立，当且仅当时，取“=”，故错；由于，则，即，所以选.【考点】基本不等式.23.在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且.(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：+=1上；(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值.【答案】详见解析；直线MN过定点(0,-3),△GMN面积的最大值.【解析】先计算出E、R、G、R′各点坐标，得出直线ER与GR′的方程，解得其交点坐标代入满足椭圆方程即可; 先讨论直线MN的斜率不存在时的情况；再讨论斜率存在时，用斜截式设出直线MN方程.与椭圆方程联立，用“设而不求”的方法通过韦达定理得出b为定值-3或1，又当b=1时，直线GM与直线GN的斜率之积为0，所以舍去.从而证明出MN过定点（0，-3）.最后算出点到直线的距离及MN的距离，得出△GMN面积是一个关于的代数式，由及知：，用换元法利用基本不等式求出△GMN面积的最大值是.试题解析：（Ⅰ）∵，∴， 1分又则直线的方程为① 2分又则直线的方程为②由①②得∵∴直线与的交点在椭圆上 4分（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，设不妨取∴ ,不合题意 5分②当直线的斜率存在时，设联立方程得则7分又即将代入上式得解得或（舍）∴直线过定点 10分∴，点到直线的距离为∴由及知：，令即∴当且仅当时， 13分【考点】1.直线的方程；2.解析几何；3.基本不等式.24.已知不等式2｜x－3｜＋｜x－4｜＜2a．（Ⅰ）若a＝1，求不等式的解集；（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先令，得，再分类去绝对值解不等式；（Ⅱ）设，去绝对值得，根据原不等式解集为空集得，从而求得.试题解析：（Ⅰ）当时，不等式即为，若，则，，舍去；若，则，；若，则，．综上，不等式的解集为．（5分）（Ⅱ）设，则，，，，即的取值范围为．（10分）【考点】含绝对值不等式的解法.25.已知，且满足，则的最小值为【答案】【解析】∵，且满足，∴，=，当且仅当时，的最小值为。
高中数学基本不等式练习题(含答案)
基本不等式【习题1】已知实数且, 则的最小值是.【习题2】若实数且, 则的最小值是, 的最小值是.【习题3】已知满足方程, 当时, 则的最小值为_______.【习题4】已知为实数, 且, 则的最小值为_______.【习题5】已知, , 则的取值范围为 .【习题6】已知, , 则的最小值为.【习题7】若实数满足, 则的范围是.【习题8】的三边成等差, 且, 则的取值范围是．【习题9】已知二次不等式对任意实数恒成立, 则的最小值为___________【习题10】实数满足, 设, 则 .【习题11】非零向量夹角为, 且, 则的取值范围为．【习题12】已知, 且, 若总成立, 则正实数的取值范围是_______.【习题13】正实数满足, 则的最小值为 .【习题14】已知实数满足则的最小值为, 的最小值为.【习题15】已知直线（其中）与圆相交于、两点, 为坐标原点, 且, 则的最小值为 .【习题16】设, 满足, 则的最小值是______．【习题17】已知正实数 , 满足: , 则 的最大值是 .【习题18】已知正数 满足 , 则 的最小值为________.【习题19】已知 , , 且 , 则 的最小值是_______, 此时 _______.【习题20】已知 , 且 , 则 的最小值是 ； 的最大值是 .【习题21】已知实数 , 满足 , 且 , 则 的最小值是 （ ）A. 33B. 26C. 25D. 21【习题22】若实数 满足 , 则 的最小值是 .【习题23】已知实数 , 满足: , 且 , 则 的取值范围是 .【习题24】实数 满足 , 则 的最小值是________.【习题25】已知实数 , 若 , 则 的值域为 .【习题26】设 为正实数, 则 的最小值为 .【习题27】若正数 满足 , 则 的最小值是 .【习题28】若存在正实数 , 使得 , 则实数 的最大值为_________.【习题29】若 , , 则 的最小值为___________.【习题30】已知正数 满足 , 则 的最大值为__________, 当且仅当___________.【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【习题32】已知 , 则 的取值范围为__________.【习题33】已知实数 满足 , 则 的最小值为________, 的最小值为_______.【习题34】已知实数 满足 , 则 的取值范围是________.【习题35】已知 , , 且满足 , 则 的最小值为________.【习题36】已知非负实数 满足 ，则 的最大值.....【习题37】若 , , 则 的最大值为_______.【习题38】设正实数, 则的最小值为（）... A...... B...... C...... D.【习题39】已知均为正数, 且, , 则的最小值为_________.【习题40】设实数且满足, 则使不等式恒成立的的最大值为______.【习题41】若, 且, 则的取值范围是______.【习题42】已知正实数满足, 则的最小值为________.【习题43】已知实数满足, 则的取值范围是_________.【习题44】已知实数满足, 且, 则的最大值为___________.【习题45】若正数满足, 则的最小值为( )A. 1B. 6C. 9D. 16【习题46】若正实数满足, 且不等式恒成立, 则实数的取值范围是. 【习题47】已知为正实数, 若, 则的最小值为.【习题48】若正数满足, 则的最大值为_________.【习题49】若实数和满足,则的取值范围为__________________.【习题50】设, , 则的最小值是.基本不等式（答案）【习题1】已知实数 且 , 则 的最小值是 .【答案】1【习题2】若实数 且 , 则 的最小值是 , 的最小值是 .【答案】 ,【习题3】已知 满足方程 , 当 时, 则 的最小值为_______.【答案】8【习题4】已知 为实数, 且 , 则 的最小值为_______. 【答案】3322+【习题5】已知 , , 则 的取值范围为 . 【答案】]22,22[-【习题6】已知 , , 则 的最小值为 .【习题7】若实数 满足 , 则 的范围是 .【答案】]0,2[-【习题8】 的三边 成等差, 且 , 则 的取值范围是 . 【答案】]7,6(【习题9】已知 二次不等式 对任意实数 恒成立, 则 的最小值为___________【答案】8【习题10】实数 满足 , 设 , 则 . 【答案】85【习题11】非零向量 夹角为 , 且 , 则 的取值范围为 . 【答案】]3,1(【习题12】已知 , 且 , 若 总成立, 则正实数 的取值范围是_______.【答案】),1[+∞【习题13】正实数 满足 , 则 的最小值为 .【答案】36-【习题14】已知实数 满足 则 的最小值为 , 的最小值为 . 【答案】3627+；845【习题15】已知直线 （其中 ）与圆 相交于 、 两点, 为坐标原点, 且 , 则 的最小值为 .【答案】2【习题16】设 , 满足 , 则 的最小值是______. 【答案】332-【习题17】已知正实数 , 满足: , 则 的最大值是 . 【答案】3332+【习题18】已知正数 满足 , 则 的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知 , , 且 , 则 的最小值是_______, 此时 _______. 【答案】212+；2【习题20】已知 , 且 , 则 的最小值是 ； 的最大值是. 【答案】16；413-【习题21】已知实数 , 满足 , 且 , 则 的最小值是 （ ）A. 33B. 26C. 25D. 21【答案】C【习题22】若实数 满足 , 则 的最小值是 .【答案】2【习题23】已知实数 , 满足: , 且 , 则 的取值范围是 . 【答案】]23,12[-【习题24】实数 满足 , 则 的最小值是________. 【答案】224-【习题25】已知实数 , 若 , 则 的值域为 . 【答案】]716,0[【习题26】设 为正实数, 则 的最小值为 .【答案】222-【习题27】若正数 满足 , 则 的最小值是 .【答案】5【习题28】若存在正实数 , 使得 , 则实数 的最大值为_________. 【答案】51 【习题29】若 , , 则 的最小值为___________. 【答案】212- 【习题30】已知正数 满足 , 则 的最大值为__________, 当且仅当___________. 【答案】31；1=x 【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则b b a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知 , 则 的取值范围为__________.【答案】)1,2[--【习题33】已知实数 满足 , 则 的最小值为________, 的最小值为_______.【答案】 , 1【习题34】已知实数 满足 , 则 的取值范围是________.【答案】]3,3[-【习题35】已知 , , 且满足 , 则 的最小值为________. 【答案】223+【习题36】已知非负实数 满足 , 则 的最大值..... 【答案】241+【习题37】若 , , 则 的最大值为_______. 【答案】51【习题38】设正实数 , 则 的最小值为（ ）... A...... B...... C...... D.【答案】A【习题39】已知 均为正数, 且 , , 则 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数 且满足 , 则使不等式 恒成立的 的最大值为______. 【答案】522+【习题41】若 , 且 , 则 的取值范围是______. 【答案】]4,34[ 【习题42】已知正实数 满足 , 则 的最小值为________.【答案】55【习题43】已知实数 满足 , 则 的取值范围是_________. 【答案】9[1,]8【习题44】已知实数 满足 , 且 , 则 的最大值为___________. 【答案】3097【习题45】若正数 满足 , 则 的最小值为( )A. 1B. 6C. 9D. 16【答案】B【习题46】若正实数 满足 , 且不等式 恒成立, 则实数 的取值范围是 .【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知 为正实数, 若 , 则 的最小值为 .【答案】222+【习题48】若正数 满足 , 则 的最大值为_________.【答案】432【习题49】若实数和满足,则的取值范围为__________________. 【答案】]2,1(【习题50】设, , 则的最小值是【答案】24。
高三文科基本不等式练习题
高三文科基本不等式练习题一、选择题1. 若不等式 2x - 5 > 3x + 2 成立，则 x 的取值范围是：A. x < -7B. x > -7C. x < 7D. x > 72. 不等式 3(2x - 1) - 2(3 - x) ≥ 4x + 5 成立的 x 的取值范围是：A. x ≤ -1B. x ≥ -1C. x ≤ 2D. x ≥ 23. 已知 a > 0，b < 0，c > 0，则下列不等式中，正确的是：A. ac < bcB. a + b > cC. ac + bc < 0D. ab + bc < ac4. 若 a > 0，且 a² - 4a > 0，则 a 的取值范围是：A. a < 0 或 a > 4B. a < 0 或 0 < a < 4C. 0 < a < 4D. a > 4二、填空题1. 解不等式 2x - 5 ≥ 3(x - 1) - x，得x ≥ _______。
2. 解不等式 5 - 2(3 - x) > x + 3，得 x < _______。
3. 解不等式 2(x - 1) + 3(x + 2) < 2 - x，得 x > _______。
4. 解不等式 -3x + 5 > 4 - (x - 2)，得 x < _______。
三、解答题1. 解不等式组 {x + 3 > 0, -2x + 1 > 0}，并用数轴表示解的集合。
2. 解方程 5 - 2x ≥ 7(3x - 4) - x，并判断解是否满足原不等式。
四、证明题已知 a > b > 0，证明 a + 1/b > b + 1/a。
（请在以下空白处进行解答）------------------------------------------------------------------------解答：一、选择题1. B2. A3. D4. B二、填空题1. 32. 43. -34. 2三、解答题1.解不等式 x + 3 > 0，得 x > -3。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
高中数学基本不等式训练题(含答案)
高中数学基本不等式训练题(含答案)1．若xy＞0，则对 xy＋yx说法正确的是()A．有最大值－2 B．有最小值2C．无最大值和最小值 D．无法确定答案：B2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()A．400 B．100C．40 D．20答案：A3．已知x2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．答案：2 44．已知f(x)＝12x＋4x.(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．解：(1)∵x＞0，12x，4x＞0.12x＋4x212x4x＝83.当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，当x＞0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x＜0，－x＞0.则－f(x)＝12－x＋(－4x)212－x－4x＝83，当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．当x＜0时，f(x)的最大值为－83.一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()A．x＋12x B．x2－1＋1x2－1C．2x＋2－x D．x(1－x)答案：C2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是()A．32－3 B．－3C．62 D．62－3解析：选D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)3(22－1)＝62－3.3．已知m、nR，mn＝100，则m2＋n2的最小值是() A．200 B．100C．50 D．20解析：选A.m2＋n22mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，＋)，ba＋ab2baab＝2；②∵x，y(0，＋)，lgx＋lgy2lgxlgy；③∵aR，a0，4a＋a 24aa＝4；④∵x，yR，，xy＜0，xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]－2－xy －yx＝－2.其中正确的推导过程为()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a，b(0，＋)，ba，ab(0，＋)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x，y(0，＋)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的；③∵aR，不符合基本不等式的条件，4a＋a24aa＝4是错误的；④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy ＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2 B．22C．4 D．5解析：选C.∵1a＋1b＋2ab2ab＋2ab222＝4.当且仅当a＝bab ＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()A．最大值64 B．最大值164C．最小值64 D．最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy＝8x＋2y28x2y＝8xy，当且仅当8x＝2y时等号成立．xy64.二、填空题7．函数y＝x＋1x＋1(x0)的最小值为________．答案：18．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．解析：1＝x＋4y4y＝4xy，xy116.答案：大1169．(2019年高考山东卷)已知x，yR＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y42xy12，xy3.当且仅当x3＝y4时取等号．答案：3三、解答题10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．解：(1)∵x＞－1，x＋1＞0.y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋52 x＋14x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．x＝1时，函数的最小值是9.(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，x－1＞0.(x－1)＋9x－1＋22x－19x－1＋2＝8.当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，y有最小值8.11．已知a，b，c(0，＋)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b －1)(1c－1)8.证明：∵a，b，c(0，＋)，a＋b＋c＝1，1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca2bca，同理1b－12acb，1c－12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a－1)(1b－1)(1c－1)8.当且仅当a＝b＝c时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．总造价f(x)＝400(2x＋2200x)＋100200x＋60200＝800(x＋225x)＋120191600x225x＋12019＝36000(元)当且仅当x＝225x(x＞0)，即x＝15时等号成立．。
高中数学基本不等式知识点及练习题
高中数学基本不等式知识点及练习题1.基本不等式：对于任意正实数a和b，有ab≤(a+b)/2.2.几个重要的不等式：1) 平方差公式：对于任意实数a和b，有(a-b)^2≥0，即a^2+b^2≥2ab.2) 两个同号数的平方和大于它们的积：对于任意正实数a 和b，有a^2+b^2≥2ab.3) 两个异号数的平方和小于它们的积：对于任意实数a和b，如果ab<0，则a^2+b^2<2ab.4) 平均值不等式：对于任意正实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab).3.算术平均数与几何平均数：对于任意正实数a和b，它们的算术平均数为(a+b)/2，几何平均数为√(ab)。
基本不等式可以叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题：1) 如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2p.2) 如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值是p^2/4.一个技巧：在运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a^2+b^2≥2ab逆用就是ab≤(a^2+b^2)/(a+b)^2；还要注意“添、拆项”等技巧和公式等号成立的条件等.两个变形：1) a^2+b^2≥(a+b)^2/2≥ab（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.2) a^2+b^2≥2ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）.三个注意：1) 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视。
要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.2) 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.3) 连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.应用一：求最值：例1：已知x＜5，求函数y＝4x-2+1/(2x+1)的最大值.解题技巧：技巧一：凑项.例1：已知x＜5，求函数y＝4x-2+1/(2x+1)的最大值.技巧二：凑系数.例1.当x^2+7x+10/(x+1)的值域.技巧三：分离.例3.求y＝x(8-2x)的最大值，当y＜4时。
高中不等式例题(超全超经典)
一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
高考数学复习专题 基本不等式
高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。
2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。
2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。
4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。
2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。
3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。
4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。
5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。
6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。
7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。
二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。
2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。
基本不等式练习题带答案
06
基本不等式的扩展 知识
基本不等式的推广形式
单击此处添加标题
平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物 理、工程等领域有广泛的应用， 用于解决最优化问题、估计值域 和解决一些数学竞赛问题等。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
基本不等式的形式：常见的形式 有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式 等。
基本不等式的证明方法：可以通 过代数、几何和概率统计等方法 证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab
高考数学 不等式及其解法 习题
专题二不等式2.1 不等式及其解法基础篇考点一不等式的概念与性质考向一利用不等式性质比较大小1.(多选)(2023届福建龙岩一中月考,9)若1a <1b<0,则下列结论中正确的是( )A.a2<b2B.ab<b2C.|a|+|b|>|a+b|D.a3>b3答案ABD2.(2022山东日照二模,4)若a,b,c为实数,且a<b,c>0,则下列不等关系一定成立的是( )A.a+c<b+cB.1a <1bC.ac>bcD.b-a>c答案A3.(2014四川,4,5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有( )A.ac >bdB.ac<bdC.ad >bcD.ad<bc答案D4.(多选)(2022广东汕头二模,9)已知a,b,c满足c<a<b,且ac<0,那么下列各式中一定成立的是( ) A.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0C.cb2<ab2D.ab>ac答案BCD5.(多选)(2022河北承德模拟,9)若实数a,b满足a4<a3b,则下列选项中一定成立的有( ) A.a2<b2 B.a3<b3C.e a-b<1D.ln ab<0答案 AD考向二 作差(商)法比较大小问题1.(2023届安徽十校联考,5)已知实数a >b >c ,abc ≠0,则下列结论一定正确的是 ( )A.ab >ac B.ab >bc C.1a <1c D.ab +bc >ac +b 2 答案 D2.(2022重庆育才中学开学练,9)若M =x 2+y 2+1,N =2(x +y -1),则M 与N 的大小关系为( )A.M <NB.M >NC.M =ND.不能确定 答案 B3.(2021江苏滨海中学月考,6)下列命题为真命题的是 ( )A.若a <b <0,则1a<1bB.若a >b >0,则ac 2>bc 2C.若c >a >b >0,则ac−a <bc−b D.若a >b >c >0,则ab >a+c b+c 答案 D4.(多选)(2022福建宁德一中期中,10)下列四个命题中,真命题是 ( )A.若1x >1y ,则x <y B.若xy >0,则x y+y x≥2 C.若x >y >0,c >0,则yx <y+cx+c D.若xy +1>x +y ,则x >1,y >1 答案 BC5.(2022全国甲理,12,5分)已知a =3132,b =cos 14,c =4sin 14,则 ( )A.c >b >aB.b >a >cC.a >b >cD.a >c >b 答案 A考点二不等式的解法考向一解一元二次不等式1.(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,6)若关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集,则实数a的取值范围为( ) ]A.(−2,65]B.[−2,65,+∞)C.(-∞,-2)∪[65,+∞)D.(-∞,-2]∪[65答案C2.(多选)(2023届山西长治质量检测,10)已知函数y=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,则( ) A.a2-b2≤4≥4B.a2+1bC.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2>0D.若不等式x2+ax+b<c的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=4,则c=4答案ABD3.(多选)(2021南京一中阶段练,10)对于给定实数a,关于x的一元二次不等式(ax-1)·(x+1)<0的解集可能是( )} B.{x|x≠-1}A.{x|−1<x<1a<x<−1} D.RC.{x|1a答案AB4.(2019天津文,10,5分)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为.)答案(−1,23考向二三个“二次”之间的关系应用1.(2021山东师范大学附中一模,4)若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为( ) A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x>1}C.{x|x<0或x>3}D.{x|0<x<3}答案C2.(2022山东新泰一中月考)若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|−1<x<12},则函数y=cx2-x-a的图象可以为( )A BC D答案C3.(多选)(2021广东东莞中学检测,10)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4},则下列说法正确的是( )A.a>0B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4}C.不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|x<−14或x>13}D.a+b+c>0答案AC4.(多选)(2021江苏盐城11月练习,10)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|m<x<n},其中m>0,则以下选项正确的有( )A.a<0B.c>0C.cx2+bx+a>0的解集为{x|1n <x<1m}D.cx2+bx+a>0的解集为{x|x<1n 或x>1m}答案AC5.(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,13)若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<3},则关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为.答案{x|x<−1或x>13}6.(2023届山东潍坊五县联考,14)关于x的方程2x2-4(m-1)x+m2+7=0的两根之差的绝对值不大于2,则实数m的最大值与最小值的和为.答案47.(2022山东潍坊安丘等三县测试,17)已知函数f(x)=ax2+bx+2,关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|-2<x<1}.(1)求实数a,b的值;(2)若关于x的不等式ax2+2x-3b>0的解集为A,关于x的不等式3ax+bm<0的解集为B,且A⊆B,求实数m的取值范围.解析(1)由题意知,-2,1是关于x的方程ax2+bx+2=0的两个根,且a<0,所以{−2+1=−ba,(−2)×1=2a,所以a=-1,b=-1.(2)不等式-x2+2x+3>0的解集为A={x|-1<x<3},不等式-3x-m<0的解集为B={x|x>−m3},因为A⊆B,所以-m3≤-1,解得m≥3.故m的取值范围为{m|m≥3}.综合篇考法一元二次不等式恒成立问题考向一直接转化为函数求最值1.(2022湖北恩施高中、荆州中学等四校联考,6)设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于任意的x ∈{x|1≤x≤3},f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为( )A.{m|m≤0}B.{m|0≤m<57}C.{m|m<0或0<m<57}D.{m|m<57}答案D2.(2022福建龙岩模拟,4)∀x∈(1,3],一元二次不等式x2-(m+2)x+m+2≥0恒成立,则m 的取值范围是( )A.(-2,2)B.(−∞,52]C.[-2,2]D.(-∞,2]答案D3.(2022重庆涪陵高级中学冲刺卷二,5)当x∈(1,2)时,x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是( )A.m≤-4B.m<-4C.m<-5D.m≤-5答案D考向二分离出参数后求最值1.(2022湖南岳阳模考,3)若对任意的x∈[-1,0],-2x2+4x+2+m≥0恒成立,则m的取值范围是( ) A.[4,+∞) B.[2,+∞)C.(-∞,4]D.(-∞,2]答案A2.(2021河北唐山模拟,6)若∀x∈{x|1≤x≤5},不等式x2+ax-2≤0恒成立,则a的取值范围是( )A.{a|a>−235} B.{a|−235≤a≤1}C.{a|a>1}D.{a|a≤−235}答案D3.(2022北京师大附中模拟,4)关于x的不等式x2+|x|≥a|x|-1对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是( )A.[-1,3]B.(-∞,3]C.(-∞,1]D.(-∞,1]∪[3,+∞)答案B4.(2022天津滨海新区塘沽一中阶段练,5)已知“∃x∈R,使得不等式x2-4x-a-1<0”不成立,则a的取值范围为( ) A.(-∞,-5] B.(-∞,-2]C.(-5,+∞)D.[-5,+∞)答案A5.(2022重庆南开中学模拟,13)当x∈[0,3]时,不等式x2+(a-4)x+4>0恒成立,则a的取值范围为.答案(0,+∞)。
北师大文科数学高考总复习练习：基本不等式及其应用 含答案
第2讲 基本不等式及其应用基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＜1(x ∈R ) 解析 当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确． 答案 C2．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析 22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，所以2x ＋y ≤14，即2x ＋y ≤2－2，所以x ＋y ≤－2.答案 D3．(2016·合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．故选C. 答案 C4．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A.1ab ≤14 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2D ．a 2＋b 2≥8解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立． 答案 D5．(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立．因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab ，即ab ≥22，所以ab 的最小值为22，故选C. 答案 C6．(2017·咸阳模拟)若实数x ，y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为 ( )A ．2－ 2B ．2＋ 2C．4＋2 2 D．4－2 2解析xx＋y＋2yx＋2y＝x(x＋2y)＋2y(x＋y)(x＋y)(x＋2y)＝x2＋4xy＋2y2x2＋3xy＋2y2＝1＋xyx2＋3xy＋2y2＝1＋1xy＋3＋2yx≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当xy＝2yx，即x2＝2y2时取等号．故选D.答案 D7．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是()A.43 B.53C．2 D.54解析由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y 时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案 C8．(2017·安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝1a＋1b，则1a＋2b的最小值为()A．4 B．2 2 C．8 D．16解析由a>0，b>0，a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，得ab＝1，则1 a ＋2b≥21a·2b＝2 2.当且仅当1a＝2b，即a＝22，b＝2时等号成立．故选B.答案 B二、填空题9．正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．解析∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，解得ab≥3，即ab≥9.答案[9，＋∞)10．(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为________．解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·m n ＝－4，当且仅当m＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4. 答案 －4 11．若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析x x 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x，因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)， 则13＋x ＋1x ≤13＋2＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞12．(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x (k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋20x 万元，∵5x ＋20x ≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x ，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元． 答案 2 20能力提升题组 (建议用时：15分钟)13．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94 D ．3解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*) 则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.答案 B14．(2017·衡水中学调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z＝ax ＋2by (a >0，b >0)的最大值为1，则1a 2＋14b 2的最小值为________． 解析 不等式组所表示的平面区域是以(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，(1,1)为顶点的三角形区域(包括边界)，观察可知，当直线z ＝ax ＋2by 过点(1,1)时，z 有最大值，故a ＋2b ＝1，故1≥22ab ，故ab ≤18，故1a 2＋14b 2≥1ab ≥8，当且仅当a ＝2b ＝12时等号成立，故1a 2＋14b 2的最小值为8. 答案 815．(2017·辽宁五校协作体联考)点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，则ab 的最大值为________．解析 由题意知a >0，b >0，且(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝8，化简得a 2＋b 2＋2(a ＋b )＝6，则6≥2ab ＋4ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，令t ＝ab (t >0)，则t 2＋2t －3≤0，解得0<t ≤1，则0<ab ≤1，所以ab 的最大值为1. 答案 116．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析 因为a ＞0，b ＞0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. 答案 [6，＋∞)。