加权最小二乘法WLS
简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法
简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法加权最小二乘法（WeightedLeastSquares,WLS）是一种有效的多元线性回归（MultipleLinearRegression,MLR）方法，用于消除多元线性回归中出现的异方差性（heteroscedasticity）问题。
在本文中，将研究加权最小二乘法的思想及其用于消除多元线性回归中的异方差性的方法。
首先，本文将介绍多元线性回归中出现的异方差性问题。
多元线性回归是一种常用的数据分析方法，它假设观测量之间满足正态分布的独立性和同方差性假设。
但是，当有几个解释变量（explicatory variables）与因变量（dependent variable）之间存在较强的关系时，多元线性回归就会出现异方差性问题，即观测量之间并不满足同方差性假设。
当异方差性存在时，估计结果将不准确，而且估计出来的参数就会受到影响。
然后，本文将介绍加权最小二乘法（Weighted Least Squares）解决多元线性回归中异方差性（heteroscedasticity）的思想和方法。
加权最小二乘法是一种有效的多元线性回归方法，它的基本思想是在估计参数时使用不同的权重来估计参数，这些权重取决于误差的大小。
由于高方差的观测量需要更大的权重，因此权重会更高，而低方差的观测量会接受更小的权重。
这样，在估计参数时，便可以比此前更准确地估计出参数，从而消除多元线性回归中出现的异方差性问题。
在实践中，使用加权最小二乘法来消除多元线性回归中出现的异方差性，一般有两种方法：一种是使用模型里的变量来作为权重，这种方法比较适合有明显的异方差性的数据；另一种是使用均匀的权重，这种方法比较适合有比较隐藏的异方差性的数据。
在实践中，需要选择合适的方法来确定最优的权重，以达到消除多元线性回归中异方差性的效果。
本文探讨了加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想及其相应的方法。
加权最小二乘法的基本思想即大残差平方
加权最小二乘法的基本思想即大残
差平方
和最小法
加权最小二乘法（Weighted Least Squares Method, WLSM）是统计学中进行参数估计的一种重要方法。
它的基本思想是使用极小化大残差平方和最小法（Large Residual Sum of Squares）对参数进行估计或拟合。
其中，每个观测值都有一个不同的权重，即观测值的可信度，权重可以是固定的，也可以是可变的。
该方法在处理有限样本数据时，特别适用于满足正态分布的数据。
WLSM的基本步骤如下：
（1）确定权重w：可以手动指定，也可以从数据分布中自动求出。
（2）根据观测值和权重，构造误差平方和函数S
（x1，x2，…，xn），其中x1，x2，…，xn为待估计参数。
（3）求取S（x1，x2，…，xn）在各个参数上的偏导数，当这些偏导数全为0时，即为参数的最小值。
（4）使用梯度下降法等数值方法求解上述参数的最小值。
加权最小二乘法 拟合多项式 matlab
加权最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）是一种经典的拟合方法，用于处理数据中的噪声和异常值。
在拟合多项式的过程中，加权最小二乘法能够更好地适应不同的数据权重，从而得到更准确、更可靠的拟合结果。
结合Matlab强大的数学计算和可视化工具，我们可以更方便、更高效地实现加权最小二乘法拟合多项式。
一、加权最小二乘法的基本原理1. 加权最小二乘法的概念在拟合多项式过程中，常常会遇到数据噪声较大或者部分数据异常值较大的情况。
此时，普通的最小二乘法可能无法有效地拟合数据，因此需要引入加权最小二乘法。
加权最小二乘法通过为每个数据点赋予不同的权重，对异常值和噪声进行更有效的处理。
2. 加权最小二乘法的数学原理加权最小二乘法的数学原理主要是在最小化误差的基础上，引入权重矩阵来调整不同数据点的重要性。
通过优化残差的加权和，可以得到适应不同权重的拟合结果。
二、Matlab中的加权最小二乘法1. Matlab工具Matlab提供了丰富的数学计算和拟合工具，通过内置的polyfit函数和curve fitting工具箱，可以方便地实现加权最小二乘法拟合多项式。
Matlab还提供了丰富的可视化工具，可以直观展示加权最小二乘法的拟合效果。
2. 加权最小二乘法的实现在Matlab中，可以通过指定权重向量来调用polyfit函数，实现加权最小二乘法拟合多项式。
利用Matlab内置的拟合评估工具，可以对拟合效果进行全面评估和优化。
三、实例分析以实际数据为例，我们可以在Matlab环境下进行加权最小二乘法的拟合多项式实例分析。
通过构建数据模型、指定权重、调用polyfit函数并结合可视化工具，可以全面了解加权最小二乘法在拟合多项式中的应用效果。
四、个人观点和总结在实际工程和科学研究中，加权最小二乘法拟合多项式是一种非常有效和重要的数据处理方法。
结合Matlab强大的数学计算和可视化工具，可以更方便、更高效地实现加权最小二乘法拟合多项式。
加权最小二乘
异方差的类型
• • 同方差：i2 = 常数 f(Xi) 异方差： i2 = f(Xi)（注：方差与x有关）
异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
异方差产生原因
1、模型中缺少某些解释变量（即自变量）；从而干 扰项产生系统模式。 2、样本数据观测误差；随着数据采集技术的改进， 干扰项的方差可能减少。 3、模型设置不正确。 4、经济结构发生了变化，但模型参数没作相应调整 。比如按照边错边改学习模型，人们在学习的过 程中，其行为误差随时间而减少。 5、异常值的出现也会产生。异常值可以通过查看图 形或检查原始数据找到。
• 标准的线性回归模型中，假设所研究总体中方差恒定， 即因变量的变异不随其自身预测值或其他自变量值得变 化而变动。 • 但在有的研究问题中，这一假设可能被违反，可能是因 变量的变异随其自身数值增大而增大，也可能是随其他 变量值而改变。例如：以地区为观察单位调查某种疾病 的发生率，由于率的标准差本身就和样本量有关，显然 该地区的人数越多，所得到的发生率就会越稳定，即变 异度越低。在这些情况下，如果采用普通最小二乘法（ OLS）来分析，可能产生偏差，如果能够根据变异的大 小对相应数据给予不同的权重，在拟合时对变异较小的 测量值赋予较大权重，则能够提高模型的精度。
实际问题的异方差性
• 在实际经济问题中，随机扰动项往往是异方差的，但主要在截 面数据分析中出现。
加权最小二乘法的基本思想
• 加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方 差性的的概念
在讲到加权最小二乘法的时候需要引入一个重要的概 念——异方差。那么什么是异方差呢？ 对于模型
加权最小二乘法(WLS)
一般情况下，对于模型Y X若存在：E( ) 02Cov( , ) E( ) u WW 1W 2W(4.2.2)(4.2.3)W n则原模型存在 异方差性。
设即随机误差项的方差与解释变量1 .f (X 2i ) ¥|.f (X 2i )1.f(X 2i )X 2ikXki.f(X 2i ).f (X 2i ) Uii1,2,,nSi)U i )-^E(U i 2) f (X 2i )(4・即同方差性。
于是可以用普通最小二乘法估计其参数, 得到关于参数0, 1 >的无偏的、有效的估计量。
这就是加权最小二乘法，在这里权就是 .f(X 2i )加权最小二乘法(WLS)如果模型被检验证明存在异方差性， 则需要发展新的方法估计模型， 最常用的方法是加权最小二乘法。
加权最小二乘法是对原模型加权， 使之变成一个新的不存在异方差性的模型， 然后采用普通最小二乘法估计其参数。
下面先看一个例子。
原模型：yi0 1X1i2X2i，k X kiUi 1,2, ,n如果在检验过程中已经知道：D(U i ) E(U i 2)i 2f (X>i ) J,i 1,2, ,nX 2之间存在相关性，模型存在异方差。
那么可以用... f(X 2)去除原模型，使之变成如下形式的新模型:在该模型中，存在W DD TW iW nD 1YD 1X(4.2.4)Cov(N , N )E(*T)E(D 1T)D1：WD 1T1u 2DD Du2I于是，可以用普通最小二乘法估计模型T *1. ?WLS(X X ) 1X Y1E(iT(4.2.4)，得到参数估计量为:* T *用D 1左乘(422)两边，得到一个新的模型:* X该模型具有同方差性。
因为T 1T1 1 T 1T 1(X TD 1D 1X) 1X TD 1D "T 1 1 T 1(425)(X W X) X W Y这就是原模型(2.6.2)的加权最小二乘估计量，是无偏的、有效的估计量。
计量经济学重点知识归纳整理
1.一般最小二乘法(Ordinary Least Squares,OLS)：已知一组样本观测值{}n i Y X i i ,2,1:),(⋯=，一般最小二乘法要求样本回来函数尽可以好地拟合这组值，即样本回来线上的点∧i Y 及真实观测点Yt 的“总体误差”尽可能地小。
一般最小二乘法给出的推断标准是：被说明变量的估计值及实际观测值之差的平方和最小。
2.广义最小二乘法GLS ：加权最小二乘法具有比一般最小二乘法更普遍的意义，或者说一般最小二乘法只是加权最小二乘法中权恒取1时的一种特别状况。
从今意义看，加权最小二乘法也称为广义最小二乘法。
3.加权最小二乘法WLS ：加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采纳一般最小二乘法估计其参数。
4.工具变量法IV ：工具变量法是克服说明变量及随机干扰项相关影响的一种参数估计方法。
5.两阶段最小二乘法2SLS, Two Stage Least Squares ：两阶段最小二乘法是一种既适用于恰好识别的结构方程，以适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法。
6.间接最小二乘法ILS ：间接最小二乘法是先对关于内生说明变量的简化式方程采纳一般小最二乘法估计简化式参数，得到简化式参数估计量，然后过通参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量的一种方法。
7.异方差性Heteroskedasticity ：对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同，则认为出现了异方差性。
8.序列相关性Serial Correlation ：多元线性回来模型的基本假设之一是模型的随机干扰项相互独立或不相关。
假如模型的随机干扰项违反了相互独立的基本假设，称为存在序列相关性。
9.多重共线性Multicollinearity ：对于模型i k i i X X X Y μββββ++⋯+++=i k 22110i ，其基本假设之一是说明变量X 1,X 2,…,Xk 是相互独立的。
加权最小二乘法的基本原理
加权最小二乘法的基本原理加权最小二乘法（WeightedLeastSquares，WLS）是一种常用的统计学标准，它可以用来调整和评估数据，从而得出更好的分析结果。
它的基本思想是通过考虑观测值之间的不确定性来估计回归系数，从而获得最小总平方误差（least squares）。
加权最小二乘法最早被用于统计学和概率分析，以评估和调整数据，特别是适用于数据拟合和线性回归分析。
它的思想是将我们所知道的关于观测值之间关系的一些重要信息纳入考虑。
可以使用加权方法调整观测值和系数之间的关系，从而改善拟合模式的准确性。
加权最小二乘法的基本原理是将观测值的权值赋予给每一个观测值，这个权值一般可表示为观测值的精度。
权值越大，说明观测值越有可能越准确，用于衡量数据可靠性。
权值可以是正的，也可以是负的，正权值表示可信度高，负权值表示可信度低。
加权最小二乘法能够改善线性回归系数的估计，特别是在数据集中的观测值之间可能存在不确定性的情况下。
加权最小二乘法可以根据可能的不确定性来调整模型，从而使模型的精确度更高。
加权最小二乘法的最小二乘估计是通过求解最小化均方误差函数来实现的，它以下面的公式形式表示：min i=1N (yj - a1x1j - a2x2j - ... - anxnj)2 / wi 其中，N是观测值的总数，yj是观测值，a1、a2等是待估计的回归系数，x1j、x2j等是被观测的变量，wi是观测值的权值。
加权最小二乘法的原理在于，它将考虑观测值的不确定性，将对观测值更有可信度的权重赋予给观测值，从而改善回归系数的估计。
当数据存在某些影响因素时，加权最小二乘法可以更有效地消除其影响，从而使得拟合数据更加准确。
另外，加权最小二乘法还可以用于数据分析，可以用来估计参数和拟合模型，从而对数据集中的数据进行有效分析。
加权最小二乘法可以减少拟合模型的噪声，并且可以更好地拟合回归曲线，从而获得更好的拟合效果。
综上所述，加权最小二乘法是一种有效的统计方法，可以用来改善线性回归系数的估计，特别是在数据集中的观测值之间存在不确定性的情况下。
回归分析中的异方差性检验方法(六)
回归分析中的异方差性检验方法回归分析是统计学中一种常用的数据分析方法，它用来研究自变量和因变量之间的关系。
在进行回归分析时，我们通常会假设误差项的方差是恒定的，即不存在异方差性。
然而，在实际应用中，误差项的方差往往并非恒定的，而是存在异方差性。
异方差性会对回归分析的结果产生影响，因此需要进行异方差性检验并进行相应的修正。
一、异方差性的概念及影响异方差性是指误差项的方差不是恒定的，而是随着自变量的变化而变化。
当存在异方差性时，回归系数的估计值会失真，标准误差会被高估或低估，导致对回归系数和其显著性的检验结果产生偏误。
因此，必须进行异方差性的检验和修正，以确保回归分析结果的准确性和可靠性。
二、异方差性检验方法1. Park检验Park检验是一种常用的异方差性检验方法，它是基于残差的平方和与自变量的关系来进行检验的。
具体步骤是：首先进行回归分析，然后计算残差的平方和，接着将残差的平方和与自变量进行回归，最后通过F检验来检验残差的方差是否与自变量相关。
如果F统计量的显著性水平小于设定的显著性水平（通常为），则拒绝原假设，即存在异方差性。
2. Glejser检验Glejser检验是另一种常用的异方差性检验方法，它是通过对自变量的绝对值进行回归来进行检验的。
具体步骤是：首先进行回归分析，然后计算自变量的绝对值，接着将自变量的绝对值与残差进行回归，最后通过t检验来检验残差的方差是否与自变量相关。
如果t统计量的显著性水平小于设定的显著性水平（通常为），则拒绝原假设，即存在异方差性。
三、异方差性的修正方法1. 加权最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）当检验结果表明存在异方差性时，可以采用加权最小二乘法来进行修正。
加权最小二乘法是通过对残差进行加权，使得残差的方差与自变量的关系消失，从而得到回归系数的一致估计。
2. 广义最小二乘法（Generalized Least Squares, GLS）广义最小二乘法是对加权最小二乘法的推广，它允许误差项之间存在相关性，并对误差项的方差-协方差矩阵进行估计，从而得到回归系数的一致估计。
ols fgls wls异方差公式推导
标题：OLS、FGLS和WLS异方差公式推导与比较一、概述在统计学和计量经济学中，对OLS（普通最小二乘法）、FGLS（广义最小二乘法）和WLS（加权最小二乘法）等方法的研究与应用日益广泛。
这三种方法在处理数据时，都考虑了异方差（heteroskedasticity）的问题，并针对此问题提出了相应的公式。
本文将梳理和比较这三种方法的异方差公式推导过程，旨在深入探讨这一核心问题，使读者对其背后的原理和应用有更深入的理解。
二、异方差的概念在回归分析中，当观测数据的误差方差并非恒定时，则存在异方差问题。
简而言之，异方差即指一种情况，即数据的误差项的方差不是恒定的，其方差随着自变量或其他因素的变化而变化。
异方差可能导致OLS估计量不再是最优的，因此需要采取相应的方法进行修正。
接下来，我们将分别对OLS、FGLS和WLS方法进行异方差公式的推导和比较。
三、OLS方法的异方差公式推导我们来推导OLS方法的异方差公式。
假设我们有一个简单的线性回归模型：\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + \varepsilon_i \]，其中\[ \varepsilon_i \]为误差项。
如果我们假设误差项\[ \varepsilon_i \]的方差\[ \sigma^2 \]与自变量\[ X_i \]的取值无关，即\[ Var(\varepsilon_i) = \sigma^2 \]，则OLS估计量是无偏的和最优的。
然而，当存在异方差时，OLS估计量不再是最有效的。
针对异方差问题，我们需要对误差项\[ \varepsilon_i \]进行修正。
通过对残差项进行加权，引入权重矩阵\[ \Omega \]，即可得到加权最小二乘法（WLS）。
具体地，WLS方法利用\[ \Omega \]对残差项\[ e_i \]进行加权，使得\[ \sum_{i=1}^{n} \Omega_i e_i^2 \]最小。
这样，针对异方差问题，我们可以使用WLS方法进行估计。
计量经济学gls和wls方法
计量经济学gls和wls方法
计量经济学中的GLS和WLS是两种重要的回归分析方法，用于处理模型中的异方差性和序列相关性问题。
广义最小二乘法（GLS）通过对原始模型的变换，解释了误差方差的已知结构（异方差性）、误差中的序列相关形式或同时解释二者的估计量。
它通过一个线性变换来处理异方差性和序列相关性。
在GLS中，被解释变量、解释变量和干扰项都进行相同的线性变换，使得新的干扰项满足球形假设，从而使得高斯马尔可夫定理重新成立，即对参数的估计重新变为最佳线性无偏估计。
加权最小二乘法（WLS）是GLS的一个特例，用于处理异方差性。
在WLS 中，每个残差的平方都用一个等于误差的（估计的）方差的倒数作为权数，从而对异方差性进行调整。
当误差的方差矩阵V(X)为对角矩阵时，WLS成立。
WLS的线性变换也是一个对角矩阵，使得最小化新的残差和过程相当于最小化加权后的旧的残差和过程。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅计量经济学相关的专业书籍或咨询该领域的专家。
加权最小二乘法WLS
加权最小二乘法(WLS)如果模型被检验证明存在异方差性，则需要发展新的方法估计模型，最常用的方法是加权最小二乘法。
加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。
下面先看一个例子。
原模型：+++=i i i x x y 22110βββ，i ki k u x ++βn i ,,2,1 =如果在检验过程中已经知道：2222)()()(u i i i i x f u E u D σσ=== , n i ,,2,1= 即随机误差项的方差与解释变量2x 之间存在相关性，模型存在异方差。
那么可以用)(2x f 去除原模型，使之变成如下形式的新模型：+++=i i i i i i i x x f x x f x f y x f 222121202)(1)(1)(1)(1βββi i ki i k u x f x x f )(1)(122++βn i ,,2,1 =在该模型中，存在222222)()(1))(1())(1(u i i i i i i u E x f u x f E u x f D σ=== (4.2.1)即同方差性。
于是可以用普通最小二乘法估计其参数，得到关于参数βββ01,,, k 的无偏的、有效的估计量。
这就是加权最小二乘法，在这里权就是)(12i x f 。
一般情况下，对于模型Y X =+B N (4.2.2)若存在：W2)(),(0)(uE C o v E σ=N 'N =N N =NW =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥w w w n 12(4.2.3) 则原模型存在异方差性。
设T DD W =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n w w w D21, ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----112111n w w w D用D 1-左乘(4.2.2)两边，得到一个新的模型：D Y D X D ---=+111B N (4.2.4) 即Y X ***=+B N该模型具有同方差性。
最小二乘法赋权
最小二乘法赋权
什么是加权最小二乘法赋权，它的基本思想是什么
加权最小二乘法赋权是对原模型进行加权，使之成为一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数的一种数学优化技术。
线性回归的假设条件之一为方差齐性，若不满足方差齐性（即因变量的变异程度会随着自身的预测值或者其它自变量的变化而变化）这个假设条件时，就需要用加权最小二乘法（WLS）来进行模型估计。
加权最小二乘法（WLS）会根据变异程度的大小赋予不同的权重，使其加权后回归直线的残差平方和最小，从而保证了模型有更好的预测价值。
扩展资料
在多重线性回归中，我们采用的是普通最小二乘法(OLS)估计参数，对模型中每个观测点是同等看待的。
但是在有些研究问题中，例如调查某种疾病的发病率，以地区为观测单位，地区的人数越多，得到的发病率就越稳定，因变量的变异程度就越小，而地区人数越少，得到的发病率就越大。
在这种情况下，因变量的变异程度会随着自身数值或者其他变量的变化而变化，从而不满足残差方差齐性的条件。
为了解决这个问题，我们采用加权最小二乘法(WLS)的方法来估计模型参数，即在模型拟合时，根据数据变异程度的大小赋予不用的权重，
对于变异程度较小，测量更准确的数据赋予较大的权重，对于变异程度较大，测量不稳定的数据则赋予较小的权重，从而使加权后回归直线的残差平方和最小，确保模型有更好的预测价值。
加权最小二乘法求线性方程组
加权最小二乘法求线性方程组加权最小二乘法：1、什么是加权最小二乘法？加权最小二乘法，简称WLS，是一种优化统计分析方法，用于拟合模型到多元数据集中的真实观测值。
加权最小二乘法在非线性回归中得到广泛应用，是一种能够有效地拟合不同测量误差的有效方法。
它以计算误差的最小平方和作为最小化的目标，以权重矩阵来衡量不同变量的影响，可以有效地适应噪声和其他不可控干扰。
2、加权最小二乘法的优点（1）它可以让用户提供不同变量的不同权重，以反映不同变量的不同程度的重要性。
（2）加权最小二乘法可以有效地拟合数据，对噪声和其他不可控干扰具有良好的鲁棒性。
（3）最小二乘法具有出色的数学优势，可以有效降低计算的复杂度并减少计算量。
（4）由于具有较低的复杂度，它可以比其他算法更快地完成优化计算任务。
3、加权最小二乘法的应用（1）加权最小二乘法被广泛用于拟合多元数据和统计模型。
它可以用于多元回归，用于做回归分析，并计算推断和预测模型。
（2）加权最小二乘法也经常用于有关气象、水质分析和生物学领域的研究中。
例如，它可以用于分析多个变量对气候变化的影响，也可以用于研究物种变化。
（3）加权最小二乘法还可以用于解决计算机视觉领域中的复杂问题，例如分析图像和处理图像。
它可以帮助人们更好地理解和识别图像数据以及物体的动作和特征。
（4）加权最小二乘法在分类和聚类数据分析中也经常被应用，它可以用来探索解释变量和响应变量之间的关系。
因此，它可以帮助数据分析人员找到更多的细节。
4、加权最小二乘法的缺点（1）加权最小二乘法会假设观测值的权重是正确的，这可能会导致模型的偏差。
（2）加权最小二乘法可能会忽略一些重要的信息，这可能会影响模型的精度和可靠性。
（3）加权最小二乘法可能无法有效地处理过大的数据集，因为它可能会产生过多的计算量。
（4）加权最小二乘法求解过程比较困难，即使在线性情况下也需要计算更复杂的表达式。
在异方差的情况下ols估计量误差放大的原因
在异方差的情况下ols估计量误差放大的原因在统计分析中，OLS（Ordinary Least Squares）是一种最小二乘法，用于估计线性回归模型的参数。
然而，在存在异方差（heteroscedasticity）的情况下，OLS的估计量可能会产生误差放大的问题。
异方差是指随着自变量变化，误差项的方差不稳定，即误差的方差与自变量的水平有关。
在存在异方差的情况下，OLS无法得到无偏且有效的估计，这会导致OLS估计量的不准确性。
误差放大的原因可以从几个方面进行探讨：1.忽略异方差引发的样本偏差：在存在异方差的情况下，OLS估计量会忽略误差项方差的不稳定性，而使用稳健性标准误来估计模型的方差-协方差矩阵。
然而，如果我们忽略了异方差的影响，并使用常规OLS估计量计算模型的标准误差，那么最终的估计结果可能会高估标准误。
这导致了估计的置信区间过宽，结果丧失了准确性。
2.误差项方差与自变量相关：异方差的产生可能与自变量的一些特征有关，例如，当自变量的取值较大时，误差的方差也会增加。
这可能被解释为自变量对因变量的影响在不同取值范围内不同。
在这种情况下，OLS估计量可能会倾向于高估或低估自变量的影响，从而导致不准确的估计。
3.最小二乘估计的性质：OLS是一种无偏估计方法，即在样本数量趋近于无穷时，估计值将收敛于真实参数值。
然而，在异方差存在的情况下，OLS估计量不再是最佳线性无偏估计（BLUP），因此它可能会引入额外的误差。
这使得OLS估计值在有限样本数据集上具有较大的方差，导致估计量的不稳定性。
为了克服异方差问题，我们可以采取以下方法：1.异方差稳健的标准误：通过使用广义最小二乘（GLS）估计模型，可以得到更准确的标准误。
异方差稳健的标准误考虑了异方差的存在，并通过权重矩阵对误差项进行加权。
这可以提供更稳健和准确的参数估计。
2.加权最小二乘法（WLS）：WLS是一种基于OLS的改进方法，通过对误差进行加权，可以减少异方差对估计量的影响。
一种改进的加权最小二乘无网格法
一种改进的加权最小二乘无网格法加权最小二乘方法（WLS）是一种优化问题，用于解决非线性最小二乘问题。
它通过引入一组权重，对观测误差进行加权，从而得到更准确的估计结果。
传统的WLS方法通常基于网格搜索，需要先确定权重的初始值。
这种方法的计算复杂度很高，效率较低。
为了改进该方法，我们提出了一种新的加权最小二乘无网格法。
以下将详细介绍该方法的原理、优势和应用。
该方法的优势在于，它不需要事先确定权重的初始值，能够自动寻找最优的权重。
具体实现过程如下：1. 初始化权重：将权重初始化为单位矩阵，即每个观测值的权重都设为1。
2. 迭代计算：使用当前权重，通过最小二乘方法计算估计结果。
3. 计算残差：计算每个观测值的残差，即观测值与估计结果的差。
4. 更新权重：根据残差的大小更新权重。
较小的残差对应较高的权重，较大的残差对应较低的权重。
这可以通过将残差归一化后与当前权重相乘得到。
5. 判断收敛条件：判断当前的估计结果与前一次的估计结果之间的差异是否小于预设的阈值。
如果是，则停止迭代；否则，回到步骤2继续迭代。
这种无网格的方法通过自适应调整权重，能够有效减小观测误差，提高估计结果的准确性。
而且，由于不再需要网格搜索，计算复杂度大大降低，计算速度更快。
该方法在一些实际应用中已经验证了其有效性。
在机器学习中，该方法可以用于参数估计，从而提高模型的拟合能力。
在图像处理中，该方法可以用于图像恢复，从而减小噪声的影响。
在物理实验中，该方法可以用于数据处理，从而提高测量结果的精度。
我们提出的一种改进的加权最小二乘无网格法能够自动寻找最优的权重并提高估计结果的准确性。
该方法具有计算复杂度低、计算速度快的优势，并在一些实际应用中取得了良好的效果。
Eviews数据统计与分析教程6章 基本回归模型的OLS估计-加权最小二乘法.
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1
f x i
1
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1
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EViews统计分析基础教程
一、加权最小二乘法（WLS）
1.异方差问题的解决
消除方法（EViews操作） （1）用最小二乘法（OLS）估计方程，得到残差序列； （2）根据残差序列计算出加权序列； （3）选择EViews主菜单栏中的“Quick”| “Estimate Equation”选项，弹出下图所示的对话框。 包括两个选项卡： （1）“Specification”选项 卡 （2）“Options”选项卡
在“Equation specification”（方程设定）中列出方程的被 解释变量和所有解释变量（包括常数项），在 “Instrument list”（工具变量列表）中，列出工具变量名。
注意：工具变量的个数不能比被估计参数的个数少，否则广义矩估 计法（GMM）的估计量不可识别。同样，在这里常数项会被自动 加入工具变量列表中。
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五、广义矩估计（GMM）
广义矩估计法（Generalized Method of Moments，GMM） 则可以不受模型假定的限制，它不要求随机扰动项一定 非序列相关，不存在异方差等，并且所得到的参数估计 值比用其他估计方法得到的参数估计值更与实际接近。 广义矩估计法（ GMM ）是一个大样本估计，其估计量 在大样本下有效，在小样本下无效。
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三、两阶段最小二乘法（TSLS）
EViews操作：
在上图的方程设定（Equation specification）的文本框中 列出解释变量和被解释变量， 在工具变量列表（Instrument list）的文本框中输入工具 变量。 在进行两阶段最小二乘估计时，方程中的工具变量数至 少要与估计系数相等。常数项常常用来做工具变量。
名校计量经济学试题与参考答案
计量经济学试题1一 名词解释（每题5分，共10分） 1. 经典线性回归模型 2. 加权最小二乘法（WLS ） 二 填空（每空格1分，共10分）1．经典线性回归模型Y i = B 0 + B 1X i + µi 的最小二乘估计量b 1满足E ( b 1 ) = B 1，这表示估计量b 1具备 性。
2．广义差分法适用于估计存在 问题的经济计量模型。
3．在区间预测中，在其它条件不变的情况下，预测的置信概率越高，预测的精度越 。
4．普通最小二乘法估计回归参数的基本准则是使 达到最小。
5．以X 为解释变量，Y 为被解释变量，将X 、Y 的观测值分别取对数，如果这些对数值描成的散点图近似形成为一条直线，则适宜配合 模型。
6．当杜宾-瓦尔森统计量 d = 4时，ρˆ＝ ，说明 。
7．对于模型i i i X Y μββ++=10，为了考虑“地区”因素（北方、南方两种状态）引入2个虚拟变量，则会产生 现象。
8. 半对数模型LnY i = B 0 + B 1X i + µI 又称为 模型。
9.经典线性回归模型Y i = B 0 + B 1X i + µi 的最小二乘估计量b 0、b 1的关系可用数学式子表示为 。
三 单项选择题（每个1分，共20分）1．截面数据是指--------------------------------------------------------------（ ）A ．同一时点上不同统计单位相同统计指标组成的数据。
B ．同一时点上相同统计单位相同统计指标组成的数据。
C ．同一时点上相同统计单位不同统计指标组成的数据。
D ．同一时点上不同统计单位不同统计指标组成的数据。
2．参数估计量βˆ具备有效性是指------------------------------------------（ ） A ．0)ˆ(=βar V B.)ˆ(βarV 为最小 C ．0)ˆ(=-ββD.)ˆ(ββ-为最小 3．如果两个经济变量间的关系近似地表现为：当X 发生一个绝对量（X ∆）变动时，Y 以一个固定的相对量（Y Y /∆）变动，则适宜配合的回归模型是------------------------------------------------------------------------------------------- （ ）A ．i i i X Y μβα++= B.i i i X Y μβα++=ln C ．i ii X Y μβα++=1D.i i i X Y μβα++=ln ln 4．在一元线性回归模型中，不可能用到的假设检验是----------（ ） A ．置信区间检验 B.t 检验 C.F 检验 D.游程检验5．如果戈里瑟检验表明 ，普通最小二乘估计的残差项有显著的如下性质：24.025.1i i X e +=，则用加权最小二乘法估计模型时，权数应选择-------（ ）A ．i X 1 B. 21i X C.24.025.11i X + D.24.025.11i X +6．对于i i i i X X Y μβββ+++=22110，利用30组样本观察值估计后得56.827/)ˆ(2/)ˆ(2=-∑-∑=iiiY Y Y Y F ，而理论分布值F 0.05(2,27)=3.35，，则可以判断（ ）A ． 01=β成立 B. 02=β成立 C. 021==ββ成立 D. 021==ββ不成立7．为描述单位固定成本（Y ）依产量（X ）变化的相关关系，适宜配合的回归模型是：A ．i i i X Y μβα++= B.i i i X Y μβα++=ln C ．i ii X Y μβα++=1D.i i i X Y μβα++=ln ln 8．根据一个n=30的样本估计ii i e X Y ++=10ˆˆββ后计算得d=1.4，已知在95%的置信度下，35.1=L d ，49.1=U d ，则认为原模型------------------------（ ）A ．存在正的一阶线性自相关 B.存在负的一阶线性自相关 C ．不存在一阶线性自相关 D.无法判断是否存在一阶线性自相关9．对于ii i e X Y ++=10ˆˆββ，判定系数为0.8是指--------------------( ) A ．说明X 与Y 之间为正相关 B. 说明X 与Y 之间为负相关 C ．Y 变异的80%能由回归直线作出解释 D ．有80%的样本点落在回归直线上10. 线性模型i i i i X X Y μβββ+++=22110不满足下列哪一假定，称为异方差现象-------------------------------------------------------------------------------( )A ．0)(=j i ov C μμ B.2)(σμ=i ar V (常数) C ．0),(=i i ov X C μ D.0),(21=i i ov X X C11．设消费函数i i i X D Y μβαα+++=10，其中虚拟变量⎩⎨⎧=南方北方01D ，如果统计检验表明1α统计显著，则北方的消费函数与南方的消费函数是--（ ）A ．相互平行的 B.相互垂直的 C.相互交叉的 D.相互重叠的12. 在建立虚拟变量模型时，如果一个质的变量有m 种特征或状态，则一般引入几个虚拟变量：----------------------------------------------------------------（ ）A ．m B.m+1 C.m －1 D.前三项均可 13. 在模型i i iX Y μββ++=ln ln ln 10中，1β为---------------------（ ）A ．X 关于Y 的弹性 B.X 变动一个绝对量时Y 变动的相对量 C ．Y 关于X 的弹性 D.Y 变动一个绝对量时X 变动的相对量14．对于i i i e X Y ++=10ˆˆββ，以S 表示估计标准误差，iY ˆ表示回归值，则-------------------------------------------------------------------------------------------（ ）A ．S=0时，0)ˆ(=-∑ti Y Y B.S=0时，∑==-ni i i Y Y 120)ˆ( C ．S=0时，)ˆ(ii Y Y -∑为最小 D.S=0时，∑=-ni i i Y Y 12)ˆ(为最小 15．经济计量分析工作的基本工作步骤是-----------------------------（ ）A ．设定理论模型→收集样本资料→估计模型参数→检验模型B ．设定模型→估计参数→检验模型→应用模型C ．理论分析→数据收集→计算模拟→修正模型D ．确定模型导向→确定变量及方程式→应用模型16．产量（X ，台）与单位产品成本（Y ，元/台）之间的回归方程为：X Y5.1356ˆ-=，这说明-----------------------------------------------------------（ ）A ．产量每增加一台，单位产品成本平均减少1.5个百分点B ．产量每增加一台，单位产品成本减少1.5元C ．产量每增加一台，单位产品成本减少1.5个百分点D ．产量每增加一台，单位产品成本平均减少1.5元17．下列各回归方程中，哪一个必定是错误的------------------------（ ）A ．8.02.030ˆ=+=XY i i r X Y B. 91.05.175ˆ=+-=XY i i r X Y C ．78.01.25ˆ=-=XY ii r X Y D. 96.05.312ˆ-=--=XY ii r X Y18．用一组有28个观测值的样本估计模型i i i X Y μββ++=10后，在0.05的显著性水平下对1β的显著性作t 检验，则1β显著地不等于0的条件是统计量t 大于-------------------------------------------------------------------------------------（ ）A ．t 0.025(28) B. t 0.05(28) C. t 0.025(26) D. t 0.05(26)19．下列哪种形式的序列相关可用DW 统计量来检验（V t 为具有零均值、常数方差，且不存在序列相关的随机变量）---------------------------------（ ）A ．t t t V +=-1ρμμ B.t t t t V +⋅⋅⋅++=--121μρρμμ C. t t V ρμ= D. ⋅⋅⋅++=-12t t t V V ρρμ20．对于原模型t t t X Y μββ++=10，一阶差分模型是指------------（ ）A ．)()()(1)(1t tt t t t t X f X f X X f X f Y μββ++=B ．t t t X Y μβ∆+∆=∆1C ．t t t X Y μββ∆+∆+=∆10D ．)()()1(11101----+-+-=-t t t t t t X X Y Y ρμμρβρβρ四 多项选择题（每个2分，共10分）1．以Y 表示实际值，Yˆ表示回归值，i e 表示残差项，最小二乘直线满足------------------------------------------------------------------------------------------（ ）A ．通用样本均值点（Y X ,） B.ii Y Y ˆ∑=∑ C ．0),ˆ(=i i ov e Y C D.0)ˆ(2=-∑i i Y Y E ．0)ˆ(=-∑Y Y i2．剩余变差（RSS ）是指--------------------------------------------------（ ）A ．随机因素影响所引起的被解释变量的变差B ．解释变量变动所引起的被解释变量的变差C ．被解释变量的变差中，回归方程不能作出解释的部分D．被解释变量的总变差与解释变量之差E．被解释变量的实际值与回归值的离差平方和3. 对于经典线性回归模型，0LS估计量具备------------------------（）A．无偏性 B.线性特性 C.正确性 D.有效性 E.可知性4. 异方差的检验方法有---------------------------------------------------（）A．残差的图形检验 B.游程检验 C.White检验D.帕克检验E.方差膨胀因子检验5. 多重共线性的补救有---------------------------------------------------（）A．从模型中删掉不重要的解释变量 B.获取额外的数据或者新的样本 C.重新考虑模型 D.利用先验信息 E. 广义差分法五简答计算题（4题，共50分）1.简述F检验的意图及其与t检验的关系。
加权最小二乘法
加权最小二乘法
加权最小二乘法（weighted least squares, WLS）是一种线性回归的方法，用于处理具有不同观测误差方差的数据。
在普通最小二乘法（ordinary least squares, OLS）中，假设所有的观测误差方差是相等的。
但在实际应用中，有一
些变量可能有更大的观测误差，或者某些观测点可能有更
大的误差。
WLS通过对不同观测点赋予不同的权重来解决
这个问题，权重的大小与观测误差的方差成反比。
加权最小二乘法的目标是最小化加权残差的平方和，即最
小化：
\\[S = \\sum_{i=1}^{n} w_i(y_i - f(x_i))^2\\]
其中，$n$为观测点数量，$w_i$为第$i$个观测点的权重，$y_i$为第$i$个观测点的观测值，$f(x_i)$为模型对第$i$个观测点的预测值。
为了最小化$S$，可以通过求解加权最小二乘问题的正规方程来获得参数的估计值，即求解：
\\[(X^TWX)\\hat{\\beta} = X^TWy\\]
其中，$X$为设计矩阵，包含自变量的观测值，
$\\hat{\\beta}$为参数的估计值，$W$为权重矩阵，对角线上的元素为权重值，其他元素为零。
通过求解正规方程，可以获得参数的估计值
$\\hat{\\beta}$，进而用于预测新的观测值或进行模型的推断分析。
需要注意的是，加权最小二乘法的权重选择需要根据具体的实际情况来确定，通常可以通过观察观测数据的方差不均匀性、残差分析等方法来确定权重值。
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加权最小二乘法(WLS)
如果模型被检验证明存在异方差性，则需要发展新的方法估计模型，最常用的方法是加权最小二乘法。
加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。
下面先看一个例子。
原模型：
Λ
+++=i i i x x y 22110βββ，
i ki k u x ++β
n i ,,2,1Λ=
如果在检验过程中已经知道：
2
222
)()()(u i i i i x f u E u D σσ=== , n i ,,2,1
Λ= 即随机误差项的方差与解释变量2x 之间存在相关性，模型存在异方差。
那么可以用)
(2x f 去除原模型，使之变成如下形式的新模型：
Λ+++=i i i i i i i x x f x x f x f y x f 222
121
20
2)
(1)
(1)
(1)
(1βββ
i i ki i k u x f x x f )
(1)
(122+
+β
n i ,,2,1Λ=
在该模型中，存在
2
22222)()(1))
(1())(1(
u i i i i i i u E x f u x f E u x f D σ=== (4.2.1)
即同方差性。
于是可以用普通最小二乘法估计其参数，得到关于参数βββ01,,,Λk 的无偏的、有效的估计量。
这就是加权最小二乘法，在这里权就是)
(1
2i x f 。
一般情况下，对于模型
Y X =+B N (4.2.2)
若存在：
W
2)(),(0
)(u
E Cov E σ=N 'N =N N =N ϖ
W =⎡⎣⎢
⎢
⎢⎢⎤⎦
⎥
⎥⎥⎥w w w n 12
O
(4.2.3) 则原模型存在异方差性。
设
T
DD
W =
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡=n w w w D O
2
1, ⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣
⎡=----11
2
1
11n w w w D O
用D 1-左乘(4.2.2)两边，得到一个新的模型：
D Y D X D ---=+111B N (4.2.4) 即
Y X ***
=+B N
该模型具有同方差性。
因为
)()(),(11****T
T
E E N N Cov --N 'N =N N =D D
I
D D D D WD D D D 21
2
11211
1)(u T u T
u T E σσσ='=='
NN =------
于是，可以用普通最小二乘法估计模型(4.2.4)，得到参数估计量为：
**1**)(ˆY X X X T T WLS -=B
Y
W X X W X Y
D D X X D D X 1
1111111)()(--------==T T T
T T T (4.2.5)
这就是原模型(2.6.2)的加权最小二乘估计量，是无偏的、有效的估计量。
如何得到权矩阵W ？仍然是对原模型首先采用普通最小二乘法，得到随机误差项的近似估计量，以此构成权矩阵的估计量，即
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=22
2
21ˆn e e e O
W
(4.2.6) 当我们应用计量经济学软件包时，只要选择加权最小二乘法，将上述权矩阵输入，估
计过程即告完成。
这样，就引出了人们通常采用的经验方法，即并不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时。
如果确实存在异方差性，则被有效地消除了；如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法。
在利用Eviews 计量经济学软件时，加权最小二乘法具体步骤是：
⑴ 选择普通最小二乘法估计原模型，得到随机误差项的近似估计量i e ；
⑵ 建立i e 1的数据序列；
⑶ 选择加权最小二乘法，以i e 1序列作为权，进行估计得到参数估计量。
实际上是以
i e 1乘原模型的两边，得到一个新模型，采用普通最小二乘法估计新模型。
(步骤见PPT 文件)。