第3节 角平分线的性质及应用

第三节角平分线的性质及应用一、课标导航

二、核心纲要

1．角平分线的性质定理

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

如下左图所示：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD=CE．

注：考查点到线的距离相等时，可以考虑角平分线的性质．

2．角平分线的判定定理

到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

如下中图所示：∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE,∴OC平分∠AO B．

注：用来证明一条线是一个角的平分线．

3．角平分线的画法

如下右图所示，已知：∠AO B．

作法；（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．

（2

）分别以M、N为圆心，大于

1

2

MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．

（3）作射线O C．∴射线OC即为所求．

4.三角形的角平分线

三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等．

5.与角平分线有关的辅助线模型

（1）在角的平分线上取一点向角的两边作垂线．（点垂线，垂两边，线等全等都出现）如下左图所示，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，则CD=CE，△OCD≌△OCE．

（2）在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．（角分线，分两边，对称全等要记全）

如下图所示:在OA、OB上分别截取OD=OE，连接CD、CE，则△OCD≌△OCE．

（3）角平分线+垂线，全等必出现．

如下右图所示：延长DC交OB于点E，则△OCD≌△OCE．

本节重点讲解：两个定理，两个作法（角平分线的作法和与角平分线有关的辅助线）．

三、全能突破

基础演练

1．如图12-3-1所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（）．

A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm

2．如图12-3-2所示，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（）

A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 3．如图12-3-3所示，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）．

A．3:2 B．9：4 C．2：3 D．4：9

4．如图12-3-4所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是．

5．如图12-3-5所示，BD是∠ABC的平分线，AB=CB，点P在BD的延长线上，PM⊥AD，PN ⊥CD，垂足分别是点M、N，求证：PM=PN．

6．如图12-3-6所示，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，DF⊥BC，BD平分∠AB C．（1）求证：∠BAD+∠BCD=180°．

（2）若DF=3，BF=6，求四边形ABCD的面积．

7．如图12-3-7所示，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BA C．

能力提升

8．如图12-3-8所示，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使点P到OA、OB的距离都等于a，作法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=a，点H为垂足；（2）过点N作NM∥OB；（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于点P；（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（）．

A．平行线之间的距离处处相等

B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上

C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等

D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

9．如图12-3-9所示，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂

足分别是R、S．若AQ=PQ，PR=PS，QD⊥AP，下列结论：①AS=AR；②AP平分∠BAC；

③△BRP≌△CSP；④PQ∥AR．其中正确的是（）．

A．①③B．②③C．①②④D．①②③④

10．如图12-3-10所示，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）处．

A．1 B．2 C．3D．4

11．如图12-3-11所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC 的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是（）．

A．1 B．2 C．3 D．4

12．如图12-3-12所示，已知AB平行CD，∠CAB，∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD之间的距离等于．

13．（1）如图12-3-13所示，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于．

（2）如图12-3-14所示，已知△ABC的周长是18cm，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于点D，若△ABC的面积为54cm2，则OD= ．

14．如图12-3-15所示，∠B=∠C=90°，M是BC中点，AM平分∠DAB，求证：DM平分∠AD C．

15．如图12-3-16所示，在河中有座水文观测台O，它到河岸以及河上大桥AB的距离相等，一水文数据记录员站在台上，发现桥上有辆漂亮的彩车，从桥头A走到桥头B，问记录员的视线转过多大角度？

16．如图12-3-17所示，在△ABC中，PB、PC分别是△ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2．

17．已知，如图12-3-18所示，在△ABC和△DCE中，BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，

B、C、E三点在一条直线上，A、B、C、D、E、F、G、O为“公交停靠点”，甲公共汽车

从A站出发，按照A、F、G、E、C、F的顺序达到F站，乙公共汽车从B哦出发，按照BOFDGDF的顺序达到F站，

（1）如果甲乙两公共汽车分别从AB站出发，在各站耽误的时间相同，两车的速度也相同，试问哪一辆公共汽车先达到指定站点？为什么？

（2）求证：①∠AFB=∠CDE；②CF平分∠BFE．

18．如图12-3-19所示，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为点D，

（1）求证：∠2=∠1+∠C；