考研数学线性代数讲义

1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E.2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。

4.若要证明一组向量a1，a2，…，as线性无关，先考虑用定义再说。

5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。

6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。

7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。

8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。

2010考研基础班线性代数主讲：尤承业第一讲基本概念线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等一．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n个数C,2C, …, n C构成,它满足:当每个方程中1的未知数1x都用1C替代时都成为等式.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。

(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ⨯n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为(i,j)位元素.54123-是一个2⨯3矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵mnm m nn a a a a a a a a a A 212222111211=和mmn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211)(=β为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息. 2009年的一个题中,一个方程组的系数矩阵为210111111-----,常数列为211-,则方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==++=2.2x -x --1,x x x -1,x -x -x n 2321321由n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量,称这些数为它的分量. 零矩阵:元素都是0的矩阵.零向量:分量都是0的向量. 2. 矩阵和向量的关系书写中可用矩阵的形式来表示向量:写成一行或写成一列.问题:(3,-2,1)和123-是不是一样?作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1⨯3矩阵,右边是3⨯1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量. 一个m ⨯n 的矩阵的每一行是一个n 维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m 维向量, 称为它的列向量. 3. n 阶矩阵与几个特殊矩阵 n ⨯n 的矩阵叫做n 阶矩阵.把n 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n 阶矩阵:对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n 阶矩阵.数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c 的对角矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n 阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n 阶矩阵.对称矩阵:满足A A T =矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i) 位的元素总是相等的n 阶矩阵. 问题:下列矩阵都是什么矩阵?①200000001 ②c c c 000000 ③0710112- ④001021110 ⑤000000000 对角矩阵: ①、②、⑤ 上三角矩阵: ①、②、③、⑤ 下三角矩阵: ①、②、⑤ 对称矩阵: ①、②、④、⑤ 三. 线性运算和转置 1.线性运算是矩阵和向量所共有的.① 加(减)法:两个m ⨯n 的矩阵A 和B 可以相加(减),得到的和(差)仍是m ⨯n 矩阵,记作A +B (A -B ),法则为对应元素相加(减). 两个同维数的向量可以相加(减),规则为对应分量相加(减). ② 数乘: 一个数c 与一个m ⨯n 的矩阵A 可以相乘,乘积仍为m ⨯n 的矩阵,记作c A ,法则为A 的每个元素乘c.一个数c 与一个n 维向量α可以相乘,乘积仍为n 维向量,记作αc .法则为α的每个元素乘c.向量组的线性组合:设1α，2α…，s α是一组n 维向量, 1c , 2c ,…, s c 是一组数,则称s s a c a c a c +++ 2211为1α，2α…，s α的(以1c , 2c ,…, s c 为系数的线性组合.例:求矩阵680705413--=A 的列向量组的系数为1,1,1的线性组合.解:2126674801053=-+-+ 2.转置把一个m ⨯n 的矩阵A 行和列互换,得到的n ⨯m 的矩阵称为A 的转置,记作T A .四. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵 1.初等变换矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上. A B.2.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行, 非零行,则都零行在下,非零行在上.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升.问题:对角矩阵,上三角矩阵,数量矩阵中,哪个一定是阶梯形矩阵?一个n阶的阶梯形矩阵一定是上三角矩阵.问题:如果A是阶梯形矩阵.(1) A去掉一行还是阶梯形矩阵吗?(2) A去掉一列还是阶梯形矩阵吗?3. 简单阶梯形矩阵把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角. 简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,满足:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.4.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵每个阶梯形矩阵都可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵100060100900103400010100601009001070031010012020*******02310112220031210562311212122200312105623163220122231210562311941111545213136525623119411115452562311313652--→---→-→--→---→-----→---------→---------请注意:① 从阶梯形矩阵化得简单阶梯形矩阵时,台角不改变.②一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.③一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法消元法原理:用同解变换化简方程组然后求解. 线性方程组的同解变换有三种:① 交换两个方程的上下位置. ② 用一个非0的常数乘某个方程.③ 把某个方程的倍数加到另一个方程上. 反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵,再讨论解的情况和求解. 例:矩阵消元法步骤如下: (1)写出方程组的增广矩阵（βA ），用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(γB ).(2)用(γB )判别解的情况:如果最下面的非零行为(d 0,,0,0 ),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r 不会大于未知数个数n),r=n 时唯一解；r<n 时无穷多解.(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(γB )的零行,得到一个n ×(n+1)矩阵(00γB ),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(ηE ),则η就是解.),,,(21n c c c 就是解.)()()()(00ηγγβE B B A →→→,η就是解.解为(1,0,2,-2).对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A ,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B . (2)用B 判别解的情况:非零行数r=n 时只有零解；r<n 时有非零解(求解方法在第五章讲).推论:当方程的个数m<n 时,有非零解.第二讲 行列式1.形式和意义形式:用n 2个数排列成的一个n 行n 列的表格,两边界以竖线,就成为一个n 阶行列式:nnn n n n a a a a a a a a a212222111211 (简记为ij a )意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作A .行列式的的核心问题是值的计算. 一. 定义(完全展开式) 2阶和3阶行列式的计算公式:2112221122211211a a a a a a a a -=一般地,一332112322311312213322113312312332211323133323122212322211211131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=个n 阶行列式ija =.)1(21212121)(n n nnj j j j j j j j j a a a τ-∑这里1．是许多(n!个)项的代数和(在求和时每项先要乘+1或-1.) 2. 每一项n nj j j a a a 2121,,都是n 个元素的乘积,它们取自不同行,不同列.即列标n j j j 21, 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和.3. 规定),(21n j j j τ为全排列n j j j 21,的逆序数.称12…n 为自然序排列,如果不是自然序排列,就出现小数排在大数右面的现象,一对大小的数构成一个逆序.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:023********, (436512)=3+2+3+2+0+0=10.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算. 例如下三角行列式对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积例 求xx b x a x 1221102085413+----的4x 和3x 的系数.解析：4x 的系数是1；3x 的系数是-10 二. 化零降阶法 1.余子式和代数余子式 元素ij a 的余子式,是n 把第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式,记作ij M .ij a 的代数余子式为ij j i ij M A +-=)1(.2.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于某行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.n=4,2424232322222121A a A a A a A a a ij +++=例如 求3阶行列式754102643--=(-3)A 11+4A 12+6A 13=(-3)M 11-4M 12+6m 3=(-3)⨯(-5)-4⨯(-18)+6⨯(-10)=27.例1010001001tt t t解析： 原式=1 A 11+t A 1n=1+11)1(-+-⋅n n t t =1+nn t +-1)1( 例 求行列式 2235007022220403--的第四行各元素的余子式的和.解析： 所求为4443424144434241A A A A M M M M +-+-=+++原式=444342412235A A A A +-+将原行列式换为111100702222043---即他的值就是原题的余子式之和答案为-28（对第三行展开 323277M A =-)3.命题 第三类初等变换不改变行列式的值.27718497518100549754102643=--==--08题aa a a aa a a a A 20012001200012000122222=. 证明|A |=(n+1)a n . 分析： 证明：初等变换n a n na n a a a na n aa a aa a a aa a a a a a aa a a )1()1(34232)1(010000340000230000122012000340002300001220012001200002300001222222+=+⋅⋅=+→→→4. 化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式. 三.其它性质行列式还有以下性质: 3．把行列式转置值不变,即A A T = .4．作第一类初等变换, 行列式的值变号. 5．作第二类初等变换, 行列式的值乘c. 问题：?=cAA c ；A c ；A c n；Ac n6．对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量，则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量α换为β或γ所得到的行列式.例如γβαγβαγββα,,,,,,2121+=+问题：?B A B A +=+例如：321321,βββααα==B A例 设4阶矩阵BA B A B A +====求,3,2),,,,(),,,,(321321γγγβγγγα解：40,,,8,,,8,,,82,2,2,),2,2,2,(321321321321321=+=+=+=++=+γγγβγγγαγγγβαγγγβαγγγβαB A B A7.如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.8.某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.例 已知行列式3123111++++-+--z x y y x zz y xd c b a 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z.解析：思路：利用性质8⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+++--→ z y x z y x 0)1(339 拉普拉斯公式的一个特殊情形： 如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则B A BA BA ==**范德蒙行列式：形如i n ni n i n i n nn a a a a a a a a a a a a ----32122322213211111的行列式(或其转置).它由n a a a a ,,,,321 所决定,它的值等于)(i ji ja a-∏<因此范德蒙行列式不等于n a a a a ,,,,0321 ⇔两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算.四.克莱姆法则克莱姆法则 当线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵A 为n 阶矩阵)时. ⇒≠0A 方程组有唯一解.此解为 ,)/,/,/(21TN A D A D A D i D 是把A 的第i 个列向量换成常数列向量β所得到的行列式. 1.0≠A 是方程组有唯一解的充分必要条件.问题:?B A =于是只用说明0≠B 是方程组有唯一解的充分必要条件.2. 实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵)(βA 作初等行变换,使得A 变为单位矩阵:)()(ηβE A →；η就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是0≠A .例 设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++=++abcabx acx bcx cb a cx bx axc b a x x x 3321222321321(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等. (2)在此情况求解. 分析： 证明：（1）))(())((00111201113111222222222b c a c c b c a c ac ab c b ac ab c b a bc c b abc bc ab bc ac ac ab c b a c a b a cb a abc abac bc c b a cb ac b a ------+--++→------+--++−−−−→−++++阶梯形矩阵转换由克莱姆法则法则可知 故a,b,c 两两不相等（2）Tc b a x cb a cab b a b ba b c a c c b c a c ac ab c b a c a b cb a ),,(10001000110000011))(())((000111222=→--+→------+--++解为五. 典型例题 例1①22222a a a a aa a a aa a a aa a a aa a a ②xx x x ++++1111111111111111 ③aa a a ++++4444333322221111④ 对角线上的元素都为0，其它元素都为1的n 阶行列式. ②分析：解：4)x 0000000001114111411141114111411111111111111113+=+→+++++++→++++（所以值x xx x x x x x x x x x x x x x①分析：与②同理 ④分析：类型一致③分析：把下面三行分别加到第一行例24321532154215431543254321 解：10510501500115111111411411411115111411411411411115111401141014110411105432154321153215152154151543155432154321532154215431543254321-------→-------→----→----→→所以值=15×125=1875例343211111111111111111x x x x ++++解：+=+++++==+++++++=++++43214314324321432143243214010010********10010010001000000000011101110111011111111111111111111111111111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x例4 证明时）当b a b a ba b a ba ab b a b b a a b b a n n ni i i n ≠--==++++++=-∑(00000000000110分析：证明：归纳法：展开递推21n )(---+=→n n abD D b a D 递推公式 再用归纳法证明之 也可以：nn n n a bD ab a b a b a bD ba ab ba b a babD ba ab ba b b a b b b a a b b a b b a a b a +=+==+++=+++++++---1110000000000000000000000000000000000000000000000时）当另b a ba b a D baD b a b a D D D D n n n n n n n n n n ≠--=→-=-→⨯〉〈-⨯〉〈〉〈+=〉〈+=++++--()(212b a 1a b 111111-n 11-n n a n aa a a a a a a ab a )1(2020000020002+=其值为时另当 第三讲 矩阵二. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵) 1． 两种基本矩阵方程在等式AB =C 中,如果已知C 及A ,B 中的一个,求另一个. 就提出下面两种基本形式的矩阵方程:(I) B AX = . (II) B XA = . B A , X这里要求A 是行列式不为0的n 阶矩阵,这样可使得这两个方程的解都是存在并且唯一的. 先讨论(I) B AX =.设 B 是 s n ⨯矩阵，则 X 也是 s n ⨯矩阵.如果 1=s ,即B 只有一列,则(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.此接可以用初等变换法求出: )()(X E B A →. 如果1>s ，设 ),,,(21s B βββ = ).,,(21s X X X X = 则 ),,(),,(2121s s X X X A βββ =.即这是s 个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而 B AX =有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A ,可同时求解: 即得(I)的解法:将 A 和 B 并列作矩阵 )(B A ,对它作初等行变换,使得 A 变为单位矩阵,此时B 变为解 X . )()(X E B A →例⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=301521B .求 B AX =的解 (II)的解法:对两边转置化为(I)的形式: TT T B X A =.再用解(I)的方法求出TX ,转置得X ..2007年的一个题中,求3阶矩阵 B , 满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-222111B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011011B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110110B .解:建立矩阵方程 2. 可逆矩阵 (1) 定义c b ac ab a =⇒=≠,0用 1-a 乘等式两边.如果有 H ,使得 C B AC AB E HA =⇒==, 如果有 H ,使得 C B CA BA E AH =⇒==,定义 设A 是n 阶矩阵,如果存在n 阶矩阵H ,使得E HA E AH ==,则称A 为可逆矩阵.此时H 是唯一的,称为A 的逆矩阵,通常记作1-A .如果 A 可逆,则A 在乘法中有消去律:;00=⇒=B AB C B AC AB =⇒=(左消去律)；.;00=⇒=B BA C B CA BA =⇒=(右消去律)如果 A 可逆,则A 在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):C A B C AB 1-=⇔= . 1-=⇔=CA B C BA .由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) B AX =的解 B A X 1-= . (II) B XA =的解1-=BA X .这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(2) 矩阵可逆性的判别,逆矩阵的计算定理 n 阶矩阵 A 可逆 0≠⇔A . 证明 “⇒”对 E AA =-1两边取行列式,得11=-A A |,从而0≠A . (并且11--=A A ) 1-A“⇐”定义中的 H 是矩阵方程 E AX =和 E XA = 的公共解. 因为 0≠A ,矩阵方程 E AX =和 E XA =都有唯一解.设C B ,分别是它们的解,即E CA E AB ==,. 于是: C CE CAB EB B ====,从定义得到A 可逆.H 是唯一的,因为它是E AX =解.计算 1-A 的初等变换法: 解矩阵方程 E AX = ,)()(1-→A E E A .应用: 对角矩阵可逆 ⇔对角线上元素都不为0.其逆矩阵也是对角矩阵,只用把每个对角线元素变为倒数. 初等矩阵都是可逆矩阵,并且),(),(1j i E j i E =-， )),(())((11--=c i E c i E ))(,())(,(1c j i E c j i E -=-推论 如果 A 和 B 都是 n 阶矩阵,则 E BA E AB =⇔=. 即只要 E AB = (或 E BA =)中的一个式子成立,则 A 和B 都可逆并且互为逆矩阵.2008年的考题: 03=A ,时 A E -可逆.E A E A A E A E =-=++-32))((. 例 4个n 阶矩阵 C B A ,,和D 满足E ABCD =,求1-A 和1-B .BCD A E ABCD =⇒=-1,于是CDA B E BCDA =⇒=-1例31设C B A ,,都是n 阶矩阵,满足CA A C AB E B +=+=,,则C B -为(A)E .(B) E -. (C)A . (D)A -. )(A (2005年数学四)AB E B +=化为E B A E =-)( 即 B 与 )(A E - 互为逆矩阵CA A C += 化为 A A E C =-)(, 用 B 右乘得 AB C = 如果A 和B 是两个n 可逆阶矩,则分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O 都可逆，并且 (3)可逆矩阵的性质:① 如果 A 可逆,则T A -, )0(≠c cA 和 k A 都可逆,并且已经规定的矩阵的右肩膀有3种:T,k,-1,它们两两可交换先后次序. ② 对于两个 n 阶矩 A 和 B ,A 和B 都可逆 AB ⇔ 可逆,并且 111)(---=A B AB . AB B A =.3.伴随矩阵若 A 是 n 阶矩阵,记ijA 是A 的),(j i 位元素 ij a的代数余子式,规定A 的伴随矩阵为 lr 例如对2阶矩阵基本公式: .E A A A AA ==**. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A A A A A A A A A A A A a a a a a a a a a AA nn n n n n nn n n n n 000000212222111211212221212111*于是对于可逆矩阵 A ,有,*1A A A =- A A A =-1*)(.因此可通过求*A 来计算1_A .这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.1*1--=A A A A 即1*-=A A A意义:用逆矩阵来求伴随矩阵.A 可逆时还有 A A A =-1*)(1*11*1)()()(----===A A A A A A .伴随矩阵的其它性质:① 如果 A 是可逆矩阵，则 *A 也可逆，并且)()(11*--==A A A A . ②1*-=n AA③TT A A )()(**= ④*1*)(A c cA n -= ⑤ ***)(A B AB =;k k A A )()(**= ⑥ A AA n 2*)(-*=②1*-=n AA 的证明:对E A AA =*两边求行列式,得⑥A A A n 2)(-**=的证明:例21 设A 是n 阶可逆矩阵, 交换A 的j i ,行得到B . (1) 证明B 可逆. (1)0≠=A B (2) 求1-AB .例22 设A 是3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得 *C .记例20 设A 是3阶可逆矩阵,交换A 的1,2行得B ,则(A) 交换*A 的1,2行得到*B . (B) 交换*A 的1,2列得到*B . (C) 交换*A 的1,2行得到*-B . (D) 交换*A 的1,2列得到*-B . (2005年)例18 设A 和B 都是n 阶矩阵,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C 00 ,则=*C 不妨设B A ,都可逆⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---111B OO A C2009题设A 和B 都是2阶矩阵,2=A , 3=B .则 ()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛*O B A O ( 2009年的考题)解: 1-*=C C C 先求1-C例16 设A 是n 阶非零实矩阵,满足 TA A =*. 证明:)2(如果2>n 则1=A解：条件TA A =*,即,)()(T ij T ij a A =即ji ij ij a A ,,∀=（1）in in i i i i A a A a A a A ++=2211 又因为 0≠A , 即A 有非零元素，则02221>+++=in ke k a a a A(2)E A AA AA T==*n A A =2 得12=-n A 因为0>A2-n 是正整数，得1=A例17 设矩阵 33)(⨯=ij a A 满足 TA A =*, 131211,,a a a 为3个相等的正数,则它们为33)(A 3)(B 1)(C 3)(D (2005年数学三)设,131211a a a a ===则032>=⇒=*a A A A T 又.23>=n 得1=A例8 3维向量321321,,,,,βββααα满足022131=-++ββαα,已知a =321,,ααα,求321,,βββ. 解：21312ββαα+-=+例9设A 是3阶矩阵,α是3维列向量,使得),,(2αααA A P =可逆,并且ααα2323A A A -=.又3阶矩阵B 满足1-=PBP A A =PBP -1. (1)求B .(2)求E A +.(01一) 解：1-=PBP A 即PB AP =则1-+=+P E B P E A例10 3阶矩阵B A ,满足E BA ABA +=**2,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100021012A ,求B .(04一)解：EBA ABA +=**2E BA E A =-*)2(例11 设3阶矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201011153A A XA XA A 21+=-,求X . 解： 11112)(----+=AA XAA A XA A得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=010********X 例12 设3阶矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=111111111A X A X A 21+=-*,求X . 解： X A X A 21+=-*例13 4阶矩阵B A ,满足E BA ABA 311+=--,已知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=*8000010030100101A 求B . (00一)解：E BA ABA 311+=-- 得2=A例14已知,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=312012003A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100000001B X AB B XA 22+=+,求11X .解：X AB B XA 22+=+用解矩阵方程B E A E A X )2()2(-=-求X 例26 设3阶矩阵B A ,满足B A AB +=.(1) 证明E A -可逆.(2) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200012031B ,求A . (91) 解：B A AB += 令E A C -= 即E C A +=E C CB +=C E E B C ⇒=-)(可逆例27 设B A ,是3阶矩阵,A 可逆,它们满足E B B A 421-=-. (1) 证明E A 2-可逆.(2) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200021021B ,求A . (2002)A 可逆解：EB B A 421-=-即A AB B 42-=由A 可逆得E A 2-可逆例28 设n 阶矩阵B A ,满足bB aA AB +=.其中0≠ab ,证明 (1)bE A -和aE B -都可逆. (2) A 可逆B ⇔可逆. (3)BA AB =解：(1)令aE B D bE A C -=-=,D C abE CD ,⇒=都可逆或者直接把bE A -和aE B -相乘(2)aA B bE A =-)( (3)abE aE B bE A =--))((例29 设B A ,都是n 阶对称矩阵,AB E +可逆,证明A AB E 1)(-+也是对称矩阵. 证：验证即要证明)()()()(111BA E A AB E A A AB E BA E A ++=⇔+=+--- 例30 设B A ,都是n 阶矩阵使得B A +可逆,证明(1) 如果BA AB =,则B B A A A B A B 11)()(--+=+. (2) 如果B A ,都可逆,则B B A A A B A B 11)()(--+=+. (3) 等式B B A A A B A B 11)()(--+=+总成立. (1)思路：两侧是1)(,,-+B A B A 的不同顺序的，且有证明(2) 两边求逆左边求逆11111111)(--------+=+=+=A B BB A AB A B B A A 右边求逆11111111)(--------+=+=+=A B BA B AA B A B A B例32 设B A ,都是n 阶矩阵,并且A 是可逆矩阵.证明:矩阵方程B AX =和B XA =的解相同BA AB =⇔. B AX =的解为B A 1- B XA =的解为1-BA同解即BA AB BA B A =⇔=--11 第四讲 向量组的线性关系与秩全课程的理论基础线性表示→线性相关性→极大无关组和秩→矩阵的秩一. 线性表示设α1,α2,…,αs 是一个n 维向量组.1. n 维向量β可用α1,α2,…,αs 线性表示，即β是α1,α2,…,αs 的一个线性组合，也就是说存在数组c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =β .例如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102a ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1003a .则 β=a α1+b α2+c α3.又如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0113a .看c,c ≠0,则不能表示, c=0,则 β=a α1+b α2, 或β=(a-b)α1+b α3, ……问题是:判断β可否用α1,α2,…,αs 线性表示? 表示方式是否唯一？”这也就是问：向量方程x 1α1+ x 2α2+…+x s αs =β是否有解？解是否唯一？设A=(α1, α2,…,αs ),则此向量方程就是AX=β.反过来,判别“以(A |β)为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“β是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题.记号: 可以表示→ 不可以表示→ 唯一表示1→无穷多表示∞→例 下列各选项中哪个成立,哪个不成立?(A) 如果β→α1,α2,…,αs ,则对任意数c, c β→α1,α2,…,αs . (B) 如果存在c,使得 c β→α1,α2,…,αs ,则β→α1,α2,…,αs . (C) 如果β→α1,α2,…,αs , γ→α1,α2,…,αs ,则β+γ→α1,α2,…,αs . (D) 如果β→α1,α2,…,αs , γ →α1,α2,…,αs , 则β+γ→α1,α2,…,αs .如果β→α1,α2,…,αs , γ →α1,α2,…,αs ,问题：β+γ ?→α1,α2,…,αs .答: β+γ →α1,α2,…,αs .例14已知β可用α1,α2,…,αs 线性表示，但不可用α1,α2,…,αs-1线性表示．证明⑴ αs 不可用α1,α2,…,αs-1线性表示； ⑵ αs 可用α1,α2,…,αs-1,β线性表示． (看题解)（2） 解：设ααααβs s s s c c c c ++++=--112211 0≠c s（1）用反证法如果,1111ακακα--++=s s s 则2.如果n 维向量组β1, β2,…,βt 中的每一个都可以可以用α1,α2,…,αs 线性表示,就说向量组β1,β2,…,βt 可以用α1,α2,…,αs 线性表示.向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系: 乘积矩阵AB 的每个列向量都可以表示为A 的列向量组的线性组合,从而AB 的列向量组可以用A 的列向量组线性表示.反过来,如果向量组β1,β2,…,βt 可以用α1,α2,…,αs 线性表示,则矩阵(β1,β2,…,βt )可分解为矩阵(α1,α2,…,αs )和一个矩阵C 的乘积.例如 β1=α1+2α2，β2=2α2+3α3，β3=3α3+α1；,则(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛330022101一般地C 可以这样构造: 它的第i 个列向量就是βi 对α1,α2,…,αs的分解系数.称C 为β1,β2,…,βt 对α1,α2,…,αs 的一个表示矩阵. (C 不是唯一的)3.当向量组α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βt 互相都可以表示时,就说它们等价,并记作{α1,α2,…,αs }≅{β1,β2,…,βt }.例如,如果矩阵A 用一次初等行变换化为B,则A 的行向量组和B 的行向量组等价.如果矩阵A 用一次初等列变换化为B,则A 的列向量组和B 的列向量组等价.α1,α2,α3→α2,α1, α3； α1,α2,α3→α1,4α2, α3； α1,α2,α3→α1, α2,6α1+α3；向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组β1,β2,…,βt 可以用α1,α2,…,αs 线性表示,而α1,α2,…,αs 可以用γ1,γ2,…,γr 线性表示,则β1,β2,…,βt 可以用γ1,γ2,…,γr 线性表示.等价关系也有传递性. 二. 向量组的线性相关性讨论向量组的内在关系的性质.1． 意义和定义--从三个方面看线性相关性（1） 意义:线性相关性是描述向量组内在关系的概念. 如果向量组α1, α2,…,αs 中有向量可以用其它的s-1个向量线性表示,就说α1, α2,…,αs 线性相关.如果向量组α1, α2,…,αs 中每个向量都不可以用其它的s-1个向量线性表示,就说α1, α2,…,αs 线性无关.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1003a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1003a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1014a两个向量线性相关就是它们的对应分量成比例.如α=(a 1,a 2,a 3)和β=(b 1,b 2,b 3)相关,不妨设β=c α,即b 1=ca 1, b 2=ca 12, b 3=ca 3.（2）定义 设α1,α2,…,αs 是n 维向量组,如果存在不全为0的一组数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,则说α1,α2,…,αs 线性相关,否则就说它们线性无关. 说明:① 意义和定义是一致的.比如设c s 不为0,则 αs = -(c 1α1+c 2α2+…+c s-1αs —1)/c s .② 当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就是它是(不是)零向量.③ α1,α2,…,αs 线性无关即要使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,必须c1,c2,…,c s全为0.(3)α1,α2,…,αs “线性相关还是无关”就是向量方程x1α1+ x2α2+…+x sαs=0“有没有非零解”.如果令A=(α1,α2,…,αs ), 则α1,α2,…,αs 线性相关(无关)⇔齐次方程组 AX=0有非零解(无非零解).2. 性质(1)若向量的个数s等于维数n,则 α1, α2,…,αn线性相关⇔| α1, α2,…,αn|=0.当向量的个数s大于维数n时, α1, α2,…,αs 一定线性相关.用齐次方程组, 注意:n是AX=0的方程数, s是AX=0的未知数个数.s=n时用克莱姆法则.s>n即方程数n少于是AX=0的未知数个数s,一定有非零解.(2) 线性无关向量组的每个部分组都无关(于是每个向量都不是零向量).α1, α2, α3, α4, α5无关⇒α1, α3, α 5无关逆否命题:如果向量组有线性相关的部分组,则它本身也线性相关.(3) 如果α1,α2,…,αs 线性无关,则α1,α2,…,αs ,β线性相关⇔β→α1,α2,…,αs .(α1,α2,…,αs ,β线性无关⇔β→α1,α2,…,αs .)⇐ 明显.⇒ 设c 1,c 2,…,c s , c 不全为0,使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs +c β=0,则c 不为0(否则α1,α2,…,αs 线性相关),因此β→α1,α2,…,αs . 例 β1=(1,2, a+3)，β2=( 2,1 ,a+6)，β3=(2,1,a+4) 线性无关． 例15 α1,α2,α3,β线性无关,而α1,α2,α3,γ线性相关,则 (A) α1,α2,α3,c β+γ线性相关. (B) α1,α2,α3,c β+γ线性无关. (C) α1,α2,α3,β+c γ线性相关. (D ) α1,α2,α3,β+c γ线性无关.2008年的一个题中:已知 α1,α2都是3阶矩阵A 的特征向量,特征值分别为-1和1,又3维向量 α3满足A α3= α2+α3.证明α1,α2, α3线性无关.(看题解)设0332211=++αααc c c （1）A （1） 得033232211=+++-ααααc c c c （2） （1）-（2）：022311=-ααc c （3） A （3） 022311=--ααc c （4） （3）-（4） 4011=αc ，得 01=c ； 代人（3），-023=αc ，得 03=c ， 代人（1），022=αc ，得 02=c方法二：α1，α2线性无关，只用证 →c 3αα21, 若 ααα22113c c +=，（1） 得αααα221132c c +-=+（2）（2）-（1）： αα1122c -= 与αα21,线性无关矛盾。