《计算方法》模拟试题四

模拟试题四

一、 单选题（每题3分，共15分）

1) ∏的近似值3.1428是准确到 位的近似值。

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

2) 已知求积公式)2(6

1)23()1(61)(12f Af f dx x f ++=⎰，则A= 。 A 、 1/6 B 、 1/3 C 、 1/2 D 、 2/3

3) 若求方程f(x)=0的根的牛顿法收敛，则它具有 收敛速度。

A 、线性

B 、 超越性

C 、平方

D 、三次

4) 改进的欧拉法的局部截断误差为 。

A 、O(h 5)

B 、O(h 4)

C 、O(h 3)

D 、O(h 2)

5) 通过点x 0，x 1，… x n 处的拉格朗日插值多项式是 。

A 、n 次的

B 、n+1次的

C 、n-1次的

D 、不超过n 次的

二、 填空题（每小题3分，共15分）

1) 如果x >>1，计算公式x

x x x 11--+比较精确的等价公式为_____ 。 2) 满足f(x a )=y a , f(x b )=y b ，f(x c )=y c 的拉格朗日插值余项为 。

3) 幂法是求实方阵A 的 的一种迭代方法。

4) 设A=（a ij ）为n 阶方阵，若满足 ，则称A 为按行严格对角占优矩阵。

5) 如果函数f(x)在区间[a,b] 上连续、单调，且满足f(a)f(b)<0,即方程f(x)=0在（a,b ）内有 根。

三、（15分）

用一般迭代法求方程x 3-4x+1=0在[0，0.5]内的根，

1) 写出一般迭代法迭代公式；

2) 说明迭代法的收敛性；

3) 取初始值x 0=0.5，求出x 1 。

四、（15分）

已知方程组 ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111.210131012321＝x x x ， 1) 证明高斯—塞德尔迭代法收敛；

2) 写出高斯—塞德尔迭代公式；

3) 取初始值x （0）=(0,0,0)T ，求出 x （1） 。

五、（10分）

确定积分公式)1()0()1()(11210f f f dx x f ααα++-=-⎰

中的待定参数，使其代

数精度尽量高。

六、（10分）

若)...2,1,0(n i x i =为互异结点，)...2,1,0)((n i x l i =为拉格朗日插值基函数，证明：

1) k i n i k i x x l x ≡∑=)(0

， k=0,1,2….n；

2) 1)(0

≡∑=x l n i i 。

七、（10分）

写出解常微分方程初值问题的欧拉公式、改进的欧拉公式、预估－校正公式及标准四阶龙格－库塔公式。

八、（10分）

对任意实数α≠0，设计不用除法求1/α的数值算法。