江苏省常州市西夏墅中学高二数学下册《简单的线性规划

江苏省常州市西夏墅中学高二数学下册《简单的线性规

划》学案沪教版

杨宽

一、学习目标

(1)帮助学生正确理解，线性约束条件，目标函数，可行解，可行域，最优解等有关线性规划的重要概念．

(2)通过教师示范讲解，学生练习，掌握在线性约束条件下求线性目标函数的最优解的基本方法．

(3)通过解题过程中的分析，作图，培养学生严谨细致，严格准确的科学精神．

(4)通过实际问题的解决领悟统筹安排对节约成本，提高效率在现实生活中的重要意义

二、教学重点和难点

重点：对线性约束条件，目标函数，可行解，可行域，最优解的深刻理解和区分．对在线性约束条件下求线性目标函数最优解的掌握．

难点：线性规划有关概念的掌握，目标函数最优解的理解．

三、课堂学习

(一)讲授新课．

现在我们来研究下面的问题：

设Z＝2x＋y，式中变量x，y满足下列关系．

同学们已明白给出的不等式组是一个平面区域，我们把它画出来，变量x，y

将在这个范围取值，即由变量x，y为坐标，组成的点，在这个平面区域内．

由图可知，原点(0，0)不在给出的平面区域内．原点(0，0)在直线l0：2x＋y ＝0上，作一组与直线l0平行的直线，l：2x＋y＝l，(l∈R)

当l在l0的右上方时，直线l上的点(x，y)满足2x＋y＞0，即l＞0，而且，直线l往右平移时，l随之增大，在经过这个平面区域内的点且与l平行的直线中，以经过点A(5，2)的直线l2所对应的l最大．以经过点B(1，1)的直线l1所对应的l 最小．

∴Z最大值＝2×5＋2＝12．

Z最小值＝2×1＋1＝3．

(二)学生阅读课文(P722.线性规划到P74例3前)

阅读思考题：

(1)说出“线性约束条件”、“线性目标函数”、“线性规划”、“可行解”、“可行域”、“最优解”的含义．

(2)总结用线性规划求线性目标函数最优解的步骤．

(三)教师讲评：

x，y的约束条件，因为是关于x，y的一次不等式，所以称为线性约束条件．

②Z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，

叫做目标函数．因为是x，y的一次解析式，所以称为线性目标函数．

③求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题称为

线性规划问题．

④满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．

⑤所有可行解的集合叫做可行域．如上面问题中的三角形区域．

⑥使目标函数取得最大值和最小值的可行解，叫做这个问题的最优

解．如上面问题中的可行解A(5，2)和B点(1，1)．就是最优解．

(2)用线性规划求线性目标函数最优解的步骤：

①根据线性的约束条件，确定可行域．

②由线性目标函数，得出过原点的直线的二元一次方程．做过原点的直

线l0．

③求出可行域边界直线交点的坐标．

④过可行域边界直线的交点，作l0的平行线，确定最优解．

我们通过下面的例题来掌握线性目标函数最优解的求法．

求Z＝x＋2y的最大值和最小值．

解：根据约束条件，作出可行域．(如图)

作过原点的直线l0：x＋2y＝0．

作直线l0的平行线l，把直线l向上平移至过点A(－2，2)时，Z取得最小值．

Z 最小值＝(－2)＋2×2＝2，

把直线l 向上平移至过点B(2，8)时，Z 取得最大值，

Z 最大值＝2＋2×8＝18．

（四）实际运用

例：某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15t ，已知生产甲产品1t 需煤9t ，电力4kw ，劳动力3个（按工作日计算）；生产乙产品l t 需煤4t ，电力5kw ，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200 k w ，劳动力只有300个，问每天各生产甲、乙两种产品多少吨，才能既保证完成生产任务，又能为国家创造最多的财富。

分析：先设出每天生产甲、乙两种产品的产量分别为x t 和y t ，建立约束条件和目标函数后，再利用图形直观解题。

解：设每天生产甲产品x t ，乙产品y t ，总产量S t ，

依题意约束条件为：

⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤3004x ＋5y ≤2003x ＋10y ≤300x ≥15

y ≥15

目标函数为 S ＝7x ＋12y

约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的点加上它的边界上的点（如图阴影部分）

现在就要在可行域上找出使S ＝7x ＋12y 取最大值的点（x ，y ）。作直线S ＝7x ＋12y ，随着S 取值的变化，得到一束平行直线，其纵截距为 S

12 ，可以看出，直线的纵截距越大，S 值也越大。

从图中可以看出，当直线S ＝7x ＋12y 经过点A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值。

解方程组⎩⎨⎧4x ＋5y －200＝03x ＋10y －300＝0

得A （20，24），故当x ＝20，y ＝24时，

S max＝7×20＋12×24＝428（万元）

答：每天生产甲产品20 t，乙产品24 t，这样既保证完成任务，又能为国家创造最多的财富428万元。

评析：解决简单线性规划应用题的关键是：（1）找出线性约束条件和目标函数；（2）准确画出可行域；（3）利用S的几何意义，求出最优解。

(五)学生练习

1．课本练习题．1(1)．

Z＝2x＋y．l0：2x＋y＝0．

A(－1，－1)．B(2，－1)．

Z最小值＝2×(－1)＋(－1)＝－3．

Z最大值＝2×2－1＝3．

2．课本练习题1．(2)