江苏省常州市西夏墅中学高二数学下册《简单的线性规划
江苏省 必修5教案 简单的线性规划(1)
3.3.2 简单的线性规划问题（1）教学 目标1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；会根据条件建立线性目标函数3.了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值4.培养学生观察、联想以及作图的能力；渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力，培养学生应用数学的意识。
重点难点重点：线性规划的图解法难点：从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题；寻求线性规划问题的最优解教学过程 一、问题情境1. 在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，本节课就学习此方面的应用2.问题：在约束条件410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何求目标函数2P x y =+的最大值？二、互动探究1. 基本概念 对于在约束条件410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，若2P x y =+，式中变量x 、y 满足上面不等式组，则不等式组叫做变量x 、y 的约束条件 ，2P x y =+叫做目标函数；又因为这里的2P x y =+是关于变量x 、y 的一次解析式，所以又称为线性目标函数。
满足线性约束条件的平面区域叫做可行解，如图（1）所示．由所有可行解组成的集合叫做可行域；将目标函数2P x y =+变形为2y x P =-+的形式，它表示一条直线，斜率为2-，且在y 轴点(0,0)在直线0l ：20x y +=上，作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>， 即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大． 由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大，当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小， 所以，max 25212z =⨯+=，min 2113z =⨯+=．四、矫正反馈教材80页练习1.2.3课外作业书P84的4教学反思OyxA CB430x y -+=1x = 35250x y +-=。
江苏省常州市西夏墅中学高中数学3.3.3简单的线性规划问题教学设计2苏教版必修5
333 简单的线性规划问题（2）教学目标：一、知识与技能1. 能将实际问题转化为数学问题，从实际情景中抽象解决一些简单的线性规划应用问题的基本思路和主要方法；2. 在应用中培养分析能力、判断能力、作图能力、计算能力；3. 通过对线性规划方法的实际应用，进一步加深对线性规划有关知识的理解；4 .正确进行多种数学语言的转译，增强学生应用数学的意识.二、过程与方法经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程，培养学生数学建模的能力以及数学应用意识.三、情感、态度与价值观1. 通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，体会不等式对于刻画不等关系的意义和价值；2. 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题；3. 通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力，培养学生理论联系实际的观点.教学重点：线性规划问题的图解法，即根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，并利用图解法求得最优解的主要步骤和基本思路；教学难点：把实际问题转化为数学问题，即如何根据实际问题的条件，转化为线性约束条件；如何把实际问题中要的结果转化为线性目标函数；如何根据实际问题的要求确定最优解.教学方法：应用多媒体辅助教学，增强动感和直观性，增大教学容量，提高教学效果和教学质量.采取先师生共同分析、探究解决一两个范例，给学生提供良好有效的解决问题的思路方法以及完整规范的解题格式和程序，再让学生进行模仿练习，在模仿中加深对求解线性规划应用题的思路方法的理解和掌握，逐步提高分析问题、解决问题的能力.教学过程：一、问题情景1. 提高企业的经济效益是现代化管理的根本任务，各个领域中的大量问题都可以归结为线性规划问题，根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明，有85°。
的公司频繁地使用线性规划，并取得了提高经济效益的显著效果. 在实际生活中，我们也经常遇到需要合理安排资源，以得到最大效益的问题，如：(多媒体显示)•某校办工厂有方木料90m3，五合板600 m2，正准备为外校新生加工新桌椅和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0 1m3,五合板2 m2,生产每个书橱需要方木料0・2m3,五合板1 m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一张书橱可获利润120元.(1)假设你是工厂的生产科长，请你按要求设计出工厂的生产方案.(2)设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，写出x, y应满足的条件以及z与x, y 之间的函数关系式.(3)如果你是厂长，为使工厂原料充分利用，问怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？二、学生活动1. 让学生思考上面的问题，探究解决这一问题的方案.生甲：若只生产书桌，用完五合板，可生产书桌300张，可获得利润80X 300 = 24000元，但方木料没有用完.生乙：若只生产书橱，用完方木料，可生产450张书橱，可获得利润120X 450 = 54000元，但五合板没有用完.师：在上面两种情况下，原料都没有充分利用，造成了资源浪费，那么该怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？Olx+O.2y 兰90,2x + v 兰600, 一生丙：约束条件为目标函数为z =80x • 120y，这个问题转化为求' 川N,y. N.目标函数的最大值问题.师：能用前面学过的知识解决这一问题吗？生丁：作出可行域，作出一组平行直线2x • 3y =t ,当直线经过点A 100,400时，直线的纵截距最大，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为z max=80 100 400 120 =56000 元.师：解决本题的关键在哪儿？生：根据题意，找出线性约束条件和线性目标函数，利用线性规划图解法求解.师：哪些应用题可以用线性规划来处理？生：(讨论，再次观察例题，总结，教师补充)一是人力、物力、财力等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. (即“少投入，多产出”)三、建构数学1. 线性规划问题的求解步骤：(1)审：审题(将题目中数据列表)，将实际问题转化为数学问题；(2)设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；(3)画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；(4)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；(5)求：通过解方程组求出最优解；(6)答：回答实际问题.2. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解.例1某工厂用 A B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4个A 配件耗时1h ,每生产一件乙产品使用 4个B 配件耗时2h ,该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按 每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生 产一件甲产品可获利润 2万元，生产一件乙产品可获利润 3万元，则如何安排日生产， 可使 工厂所获利润最大?解 设甲、乙两种产品的产量分别为 x , y 件，工厂所获利润润300万元；投资生产 B 产品时，每生产一百米需要资金 润200万元.现某单位可使用资金 1400万元，场地900 m 2，问 应作怎样的组合投资，可 获利最大?分析:z 万元,约束条件为| 4y 兰 12, x _ 0, y _ 0.x 2 y 空 8, 4x 兰 16目标函数是z = 2x - 3y .作出可行域（如图所示） ，可行域内的每能的日生产安排.将目标函数变形为在y 轴上的截距为- 3y = -Z x •?，这是斜率为 _2 ,3 33随着-变化的直线族.当-最大时,3371 y X.X 机y=3* ■ 2r%h|j|ii亠O X 246、、8、x%<h. ■x+2y-8=0■x=4z 最大，但直线要与可行域相交•当直x 二4与x • 2 y - 8 = 0的交点 M 4,2时，直线在y 轴上的截距最14大,最大值为114 ,因此,3每天生产甲产品4件、乙产品 2件时，工厂可得最大利润14万元.例2投资生产A 产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地 200 m 2，可获利 300万元，需场地100m 2，可获利利最大，且最大利润为 1475万元.例3营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪, 花费21元•为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少千克?代y kg 食物B,总成本为z 元，则线性约束条件为:0.105^0.105^0.075, 0.07^0.14^0.06, 0.14x 0.07y —0.06,①, x 色0,解设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米,利润为S 百万元，则约束条件为:'2x +3y <14,2x + y 兰9, ， 目标函数为S=3x + 2y , x KO, y 一0.作出可行域(如图所示)，将目标函数变形为S S S 上的截距为S ，随着-变化的直线族•当 -最大时，S 最大，但直线要与可行域相交•当 222直线经过两条直线 2x y = 9与2x 3y =14的交点至，5时，直线在y 轴上的截距最4 2大，此时S=3 3.25 2 2.5=14.75,因此，生产A 产品325t ，生产B 产品250m 时，获分析食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg脂肪/kgA 0.105 0.07 0.14 B0.1050.140.07每天食用x kg28x + 21y = 0 7食物 22 2i 讨沁M目标函数为：z=28x・21y"7x + 7y 兰5,7x+14y 兰6,不等式①等价于《14x+7yK6, ②，x 3 0,y 一0.作出可行域如图：4 z 4考虑z =28x • 21y可变形为y x ，这是斜率为、随z变化的一组平行3 28 3直线，—是直线在y轴上的截距，当—取最小值时，z的值最小，且直线要与可行域相28 28交，由上图可见，当直线28x 21y经过可行域上的点M时，截距—最小，即z最小.28"7x+7y=5 “4、解方程组丿' ，得M的坐标为丄，［,所以z mhl =28x + 21y =16 .J4x+7y=6 <7 7丿由此可知，每天食用A食物143g，食物B约571g,能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.2. 练习.(1)某工厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙产品都需要在A B两种设备上加工，在每台A, B上加工一件甲所需工时分别为1小时2小时，加工一件乙所需工时分别为2小时、1小时，A, B两种设备每月有效使用台数分别为400小时/台和500小时/台.如何安排生产可使收入最大？解设甲、乙两种产品的产量分别为x, y件，'x+2y 兰400“士― 2x + 4y 兰500约束条件为' ，x^O y目标函数是^3x 2y .作出可行域(如图所示)将目标函数变形为y =-3x •Z，这是斜2 2率为-3，在y轴上的截距为-，随着-变化的直线族.当-最大时，z最大，但直线要与2 2 2 2■ ■・■■■■ ■鑼点亮心灯 ///(A v A )\\\ 照亮人生.■・・■■■■鑼可行域相交.当直线经过两条直线 2x • y =500与x 2y =400的交点A 200,100时，直线 在y 轴上的截距最大，最大值为800千元，因此，甲、乙两种产品的每月产量分别为 200,100 件时，工厂可得最大收入 800千元.（2）某人准备投资 1200万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了 F 面的数据表格（以班级为单位）学段班级学生数 配备教师数 硬件建设（万元） 教师年薪（万兀） 初中45 2 26/班 2/人 咼中40 3 54/班 2/人若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费 1600元，高中每人每年可收取学费2700元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜（含20个与30个），那 么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？解 设开设初中班x 个，高中班y 个，收取学费的总额为z 万元.「x + y 工 20 x + y 兰30满足的约束条件为 y ，目标函数为z = 0.16 45x 0.27 40y ,x +2y 兰40x _0,y _0 25 2 可行域如图，把z =7.2X • 10.8y 变形为y x z ，得到斜率为 ，在y 轴上354 3的截距为 —，随着—变化的直线族.54 54高中班，收取的学费最多，为 252万元.五、要点归纳与方法小结:■ ■・■■■■ ■鑼点亮心灯///(A v A)\\\ 照亮人生.■・・■■■■鑼本节课学习了以下内容：1. 线性规划问题的求解步骤：（1）审：审题（将题目中数据列表），将实际问题转化为数学问题；（2）设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（5）求：通过解方程组求出最优解；（6）答：回答实际问题.2. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解.3. 本节课学习的数学思想：化归思想、数形结合思想.■ ■・■■■■ ■鑼点亮心灯///(A v A)\\\ 照亮人生.■・・■■■■鑼。
高二数学课件-简单的线性规划2 最新
5 4
3
2 1
x-4y+3=0
0
1
2
3
4
5
6
7
X
练 习
x - 4y -3 画出不等式组 3x 5y 25 表示的平面区域 . x 1
y
5 4
x=1
3
2 1
x-4y+3=0
3x+5y-25=0
1 2 3 4 5 6 7
0
X
练 习
x - 4y -3 画出不等式组 3x 5y 25 表示的平面区域 . x 1
（3）移
3x+5y-25=0
2 3 4 5 6 7
0
X
x=1
l0
求解线性规划问题的一般步骤
（1）画
C
y
5 4 3 A 2 1 B 1
（2）作
x-4y+3=0
（3）移 （4）求
3x+5y-25=0
2 3 4 5 6 7
0
X
x=1
l0
例 1
设z=3x－10y，式中变量x、y满足下
x - 4y -3 列条件 3x 5y 25 ， 求z的最大值和最小值。 x 1
问 题
设z=2x＋y，式中变量x、y满足下
x - 4y -3 列条件 3x 5y 25 ① 求z的最大值和最小值。 x 1
y
5 4 3 A 2 1 C
x-4y+3=0
B
1 2 3 4 5 6
3x+5y-25=0
7
0
X
x=1
问 题
设z=2x＋y，式中变量x、y满足下
简单的线性规划(二)_高二数学教案.doc
作出直线将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使达到最大值，解方程组得点B的坐标为（9，2）．∴这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为，约束条件不变，则z的最大值在点C（3，6）处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数所确定的直线的斜率有关．就这个例子而言，当的斜率为负数时，即时，若（直线的斜率）时，线段BC上所有点都是使z取得最大值（如本例）；当时，点C处使z取得最大值（比如：时），若，可请同学思考．随堂练习1．求的最小值，使式中的满足约束条件2．求的最大值，使式中满足约束条件答案：1．时，．2．时，．总结提炼1．线性规划的概念．2．线性规划的问题解法．布置作业1．求的最大值，使式中的满足条件2．求的最小值，使满足下列条件答案：1．2．在可行域内整点中，点（5，2）使z最小，探究活动利润的线性规划［问题］某企业1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2001年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等．建立平面直角坐标系，设1997年的利润为5万元对应的点为（0，5），1998年的利润为7万元及1999年的利润为8万元分别对应点（1，7）和（2，8），那么①若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为13万元．②若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11万元．③若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为10万元．④若将过及线段的中点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11．667万元．⑤若将过及的重心（注：为3年的年平均利润）的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11．667万元．⑥若将过及的重心的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为10．667万元．⑦若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为9万元．⑧若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为11.5万元.⑨若将过点且以线段的斜率为斜率的直线，作为预测直线，则预测直线的方程为；，这样预测2001年的利润为12万元．⑩若将过且以线段的斜率与线段的斜率的平均数为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为12万元．如此这样，还有其他方案，在此不—一列举．［思考］（1）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致，这是为什么？（2）第⑦种方案中，的现实意义是什么？（3）根据以上的基本解题思路，请你思考新的方案．如方案⑥中，过的重心，找出以为斜率的直线中与两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线．（4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？【引入新课】我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？【二元一次不等式表示的平面区域】1．先分析一个具体的例子我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合是什么图形呢？在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（－1，－1）等等不属于A，它们满足不等式，这些点却在l的左下方的平面区域．由此我们猜想，对直线l右上方的任意点成立；对直线l左下方的任意点成立，下面我们证明这个事实．在直线上任取一点，过点P作垂直于y轴的直线，在此直线上点P右侧的任意一点，都有∴于是所以因为点，是L上的任意点，所以，对于直线右上方的任意点，都成立同理，对于直线左下方的任意点，都成立所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集点．是直线右上方的平面区域（如图）类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域．2．二元一次不等式和表示平面域．（1）结论：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域．把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．（2）判断方法：由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点，以的正负情况便可判断表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当时，常把原点作为此特殊点．【应用举例】例1画出不等式表示的平面区域解；先画直线（画线虚线）取原点（0，0），代入，∴∴原点在不等式表示的平面区域内，不等式表示的平面区域如图阴影部分．例2画出不等式组表示的平面区域分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．解：不等式表示直线上及右上方的平面区域，表示直线上及右上方的平面区域，上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．课堂练习作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域．（1）（2）（3）（4）（5）总结提炼1．二元一次不等式表示的平面区域．2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．3．二元一次不等式组表示的平面区域．布置作业1．不等式表示的区域在的（）．A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方2．不等式表示的平面区域是（）．3．不等式组表示的平面区域是（）．4．直线右上方的平面区域可用不等式表示．5．不等式组表示的平面区域内的整点坐标是．6．画出表示的区域．答案：1．B2．D3．B4．5．（－1，－1）6．。
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程(第1课时)教案 新人教版必修3
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程（第1课时）教案新人教版必修3教学目标：1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；2. 在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；3. 知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．教学重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法．教学难点：回归直线方程的求解方法．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系．二、学生活动提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？（1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；（2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示．说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：-气温/0C 26 18 13 10 4 1杯数20 24 34 38 50 64-0C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？如果某天的气温是5从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？我们有多种思考方案：（1）选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线；（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；……怎样的直线最好呢?三、建构数学1．最小平方法：=+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线用方程为ˆy bx a=+与图中六与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线ˆy bx a个点的接近程度呢？我们将表中给出的自变量x的六个值带入直线方程,得到相应的六个ˆy的值:+++++-+.这六个值与表中相应的实际值应该越26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和222222(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)Q a b b a b a b a b a b a b a =+-++-++-++-++-+-+- 21286b =26140382046010172a ab b a ++--+说明： (,)Q a b 是直线ˆybx a =+与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平 方和,可以用来衡量直线ˆybx a =+与图中六个点的接近程度,所以,设法取,a b 的 值,使(,)Q a b 达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法)（method of least square ）.先把a 看作常数,那么Q 是关于b 的二次函数.易知,当140382021286a b -=-⨯时, Q取得最小值.同理, 把b 看作常数,那么Q 是关于a 的二次函数.当14046012b a -=-时, Q 取得最小值.因此,当14038202128614046012a b b a -⎧=-⎪⎪⨯⎨-⎪=-⎪⎩时，Q 取的最小值，由此解得 1.6477,57.5568b a ≈-≈.所求直线方程为ˆ 1.647757.5568y x =-+.当5x =- 时,ˆ66y≈,故当气温为5-0C 时,热茶销量约为66杯. 2．线性相关关系：像这样能用直线方程ˆybx a =+近似表示的相关关系叫做线性相关关系(liner correlation).3．线性回归方程：一般地,设有n 个观察数据如下：当,a b 使2221122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时,就称ˆybx a =+为拟合这n 对数据的线性回归方程（linear regression equation ）, 该方程所表示的直线称为回归直线．上述式子展开后，是一个关于,a b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的,a b 的值．即结论：1112211()()()n n ni i i i i i i n ni i i i n x y x y b n x x a y bx=====⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑,（*） ∑==n i i x n x 11, ∑==ni i y n y 11 说明：公式（*）的推导比较复杂，这里不作要求． 四、数学运用例题 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动 车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线 性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．机动车辆数x ／千台 95110 112 120 129 135150180 交通事故数y ／千件6.27.5 7.78.5 8.79.8 10.2131．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据（单位：103t ）试分别估计1996年和2004年我国居民生活污水排放量． 年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 排放量151189.1194.8203.8220.9227.7232.32.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量（单位：万件）之间有如下一组数据：x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 y2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.923.03 3.14 3.26 3.36 3.50 （1）画出散点图；（2）求线性回归方程． 五、归纳整理，整体认识1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数,a b 的计算公式，算出,a b ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．2.求线性回归方程的步骤：①计算平均数y x ,；②计算i i y x 与的积，求∑iiyx ；③计算∑2ix；④将结果代入公式求a ；⑤用 x a y b -=求b ；⑥写出回归方程。
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程(第1课时)教案 必修3
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程（第1课时）教案新人教版必修3教学目标：1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；2. 在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；3. 知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．教学重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法．教学难点：回归直线方程的求解方法．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系．二、学生活动提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？（1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；（2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示．说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：-0C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？如果某天的气温是5从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？我们有多种思考方案：（1）选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线；（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；……怎样的直线最好呢?三、建构数学1．最小平方法：=+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线用方程为ˆy bx a=+与图中六与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线ˆy bx a个点的接近程度呢？我们将表中给出的自变量x的六个值带入直线方程,得到相应的六个ˆy的值:+++++-+.这六个值与表中相应的实际值应该越26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和222222(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)Q a b b a b a b a b a b a b a =+-++-++-++-++-+-+- 21286b =26140382046010172a ab b a ++--+说明： (,)Q a b 是直线ˆybx a =+与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平 方和,可以用来衡量直线ˆybx a =+与图中六个点的接近程度,所以,设法取,a b 的 值,使(,)Q a b 达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法)（method of least square ）.先把a 看作常数,那么Q 是关于b 的二次函数.易知,当140382021286a b -=-⨯时, Q取得最小值.同理, 把b 看作常数,那么Q 是关于a 的二次函数.当14046012b a -=-时, Q 取得最小值.因此,当14038202128614046012a b b a -⎧=-⎪⎪⨯⎨-⎪=-⎪⎩时，Q 取的最小值，由此解得 1.6477,57.5568b a ≈-≈.所求直线方程为ˆ 1.647757.5568y x =-+.当5x =- 时,ˆ66y≈,故当气温为5-0C 时,热茶销量约为66杯. 2．线性相关关系：像这样能用直线方程ˆybx a =+近似表示的相关关系叫做线性相关关系(liner correlation).3．线性回归方程：一般地,设有n 个观察数据如下：当,a b 使2221122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时,就称ˆybx a =+为拟合这n 对数据的线性回归方程（linear regression equation ）, 该方程所表示的直线称为回归直线．上述式子展开后，是一个关于,a b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的,a b 的值．即结论：1112211()()()n n ni i i i i i i n n i i i i n x y x y b n x x a y bx=====⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑,（*） ∑==n i i x n x 11, ∑==ni i y n y 11 说明：公式（*）的推导比较复杂，这里不作要求． 四、数学运用例题 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动 车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线 性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．1．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据（单位：103t ）试分别估计1996年和2004年我国居民生活污水排放量． 2.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量（单位：万件）之间有如下一组数据：（1）画出散点图；（2）求线性回归方程． 五、归纳整理，整体认识1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数,a b 的计算公式，算出,a b ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．2.求线性回归方程的步骤：①计算平均数y x ,；②计算i i y x 与的积，求∑iiyx ；③计算∑2ix；④将结果代入公式求a ；⑤用 x a y b -=求b ；⑥写出回归方程。
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程(2)教案 苏教版必修3
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程（2）教案 苏教版必修3教学目标：1．了解非确定性关系中两个变量的统计方法； 2．掌握散点图的画法及在统计中的作用； 3．掌握回归直线方程的求解方法．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程： 一、复习练习1．已知回归方程ˆ0.50.81yx =-，则x ＝25时，y 的估计值为 2．三点()3,10,(7,20),(11,24)的线性回归方程是 （ D ）A ． ˆ 5.75 1.75yx =- B ． ˆ 1.75 5.75y x =+ C ． ˆ 1.75 5.75yx =- D ． ˆ 5.75 1.75y x =+ 3．我们考虑两个表示变量x 与y 之间的关系的模型，δ为误差项，模型如下： 模型1：64y x =+；模型2：64y x e =++．（1）如果3,1x e ==，分别求两个模型中y 的值； （2）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型． 解：（1）模型1：6464318y x =+=+⨯=；模型2：64643119y x e =++=+⨯+=（2）模型1中相同的x 值一定得到相同的y 值，所以是确定性模型；模型2中相同的x 值，因δ的不同，所得y 值不一定相同，且δ为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型．二、数学运用 1．例题讲解．例1 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验，测得数据如下：请判断y 与x 是否具有线性相关关系，如果y 与x 具有线性相关关系，求线性 回归方程．解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有 线性相关关系．由测得的数据表可知：1010102211155,91.7,38500,87777,55950i i i i i i i x y x y x y ========∑∑∑∴ 1011022211055950105591.70.66838500105510i ii ii x y x yb xx==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑91.70.6685554.96a y bx =-=-⨯≈，因此，所求线性回归方程为0.66854.96y bx a x =+=+．例2 已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：x (血球体积,ml )，y （红血球数，百万）（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线方程且画出图形． 解：（1）（2）1(45424648423558403950)44.5010x =+++++++++=， 1(6.53 6.309.527.50 6.99 5.909.49 6.20 6.558.72)10y =+++++++++＝7.37， 设回归直线方程为y bx a =+，则10110221100.17510i ii ii x y x yb xx==-==-∑∑，a y bx =-0.418-，所以所求回归直线的方程为0.1750.148y x =-图形：说明：对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数,a b 的计算公式，算出,a b ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误，求线性回归方程的步骤：计算平均数,x y ；计算i x 与i y 的积，求i i x y ∑；计算2i x ∑；将结果代入公式求b ；用a y bx =-求a ；写出回归直线方程．2．巩固深化，反馈矫正．（1）下面是南京市与哈尔滨2001年12个月的月平均气温（单位：︒C ）试分析这两个城市的月平均气温是否具有相关关系，若有，求出线性回归方程；若没有，说明理由．（2）已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元），有如下统计资料：设y 对x 程线性相关关系．试求：①线性回归方程ˆybx a =+的回归系数,a b ； ②估计使用年限为10年时，维修费用多少？三、归纳整理，整体认识 求线性回归方程的步骤： 1. 计算平均数 x y ， ； 2. 计算x i 与y i 的积，求i i x y ∑； 3. 计算∑x i 2，y i 2；4. 将上述有关结果代入公式，求b ，a ，写出回归直线方程．。
高二数学 7.4 简单的线性规划同步辅导教材
高二数学 7.4 简单的线性规划同步辅导教材7、4 简单的线性规划一、本讲进度7、4 简单的线性规划7、5 研究性课题与实习作业：线性规划的实际应用课本第57页至67页二、本讲主要内容1、二元一次不等式的几何意义；2、图解法解决两个变量的线性规划问题的一般步骤；3、线性规划在实际生活中的运用三、学习指导1、在直线（形）与二元一次方程（数）对应的基础上，本节进一步研究区域（形）与二元一次不等式（数）之间的对应关系。
利用函数值的大小关系，可得到如下结论：（1）从形到数① 当直线l用斜截式表示时，设点P（x0，y0），直线l：y=kx+b 上方y0>kx0+bP在直线l 上 y0=kx0+b 下方y0<kx0+b② 当直线l用一般式表示时，设直线l：Ax+By+C=0（B>0）上方Ax0+By0+C>0P在直线l 上 Ax0+By0+C=0 下方Ax0+By0+C<0（2）从数到形 > 直线l上方区域① y=kx+b 直线l上的点 < 直线l 下方区域② 设B>0，则 > 直线l上方区域Ax+By+C=0 直线l上的点 < 直线l下方区域当B<0时，可用转化思想化简。
其规律是当B的符号与不等号同向时，以不等式的解为坐标的点在直线上方区域；当B的符号与不等号异向时，以不等式的解为坐标的点在直线l下方区域。
2、平面区域的画法：第一步，画出边界线，Ax+By+C=0，注意，若二元一次不等式是严格不等号，则边界线画成虚线；否则画成实线。
第二步，取特殊点判断，当C≠0时，取原点（0，0）。
第三步，用斜线表示满足不等式的区域。
3、二元一次不等式组的几何意义是不等式组中每个不等式表示的平面区域的公共部分。
当直线l的方程Ax+By+C=0中出现A 或B为零时，作出边界线，直线利用实数大小关系判断。
例如在不等式Ax+By+C>0中：当A=0时：若B>0，则不等式By+C>0表示直线By+C=0上方区域；若B<0，则不等式By+C>0表示直线By+C=0下方区域；当B=0时，若A>0，则不等式Ax+C>0表示直线Ax+C=0右侧区域；若A<0，则不等式Ax+C>0表示直线Ax+C=0左侧区域。
苏教版数学高二必修五导学案简单的线性规划(第1课时)29
3．3．2 简单的线性规划（基本概念）29 **学习目标**1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念； 2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的最值问题 **要点精讲**1. 研究一个问题:设2t x y =+，式中变量,x y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x 。
求t 的最大值和最小值分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.作一组与直线0l :2x +y =0平行的直线l :2x +y =t ,t ∈R （或平行移动直线0l ），从而观察t 值的变化：]12,3[2∈+=y x t从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x =0，y =0时，t =2x +y =0. 点（0，0）在直线0l ：2x +y =0上.作一组与直线0l 平行的直线（或平行移动直线0l )l :2x +y =t ,t ∈R . 可知，当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点（x ,y )满足2x +y ＞0, 即t ＞0.而且，直线l 往右平移时，可以发现t 随之增大.在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点B （5，2）的直线2l 所对应的t 最大，以经过点A （1，1）的直线1l 所对应的t 最小.所以： m ax t =2×5+2=12，min t =2×1+3=3。
2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题，可行解，可行域, 最优解：诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件。
t =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于t =2x +y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z =2x +y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题那么，满足线性约束条件的解（x ,y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解 **范例分析**例1．给出下列命题：①线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x 或y 的值； ②线性规划中最优解指的是目标函数的最大值或最小值；③线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域； ④线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 其中正确的是( )A.①②B.②③C.②④D.④例2．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x 。
高中数学《简单的线性规划》说课稿.doc
高中数学《简单的线性规划》说课稿
线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用。
本节内容是在了不等式、直线方程的根底上，利用不等式和直线方程的有关知识展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解。
通过这一局部的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，体验数形结合和转化的思想方法，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。
重点：画可行域;在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。
难点：在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。
在新课标让学生经历“学数学、做数学、用数学”的理念指导下，本节课的教学目标分设为知识目标、能力目标和情感目标。
1、了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行
域和最优解等概念;
2、理解线性规划问题的图解法;
3、会利用图解法求线性目标函数的最优解.
1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力。
2、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力。
3、在对具体事例的感性认识上升到对线性规划的理性认识过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力。
1、让学生体验数学生活，效劳于生活，体验数学在建立节约型社会中的作用，品尝学习数学的乐趣。
2、让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神;
3、让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。
高中数学 简单的线性规划2课件 苏教版必修5
图 解 法
最优解
四个步骤：
寻找平行线组的 最大（小）纵截距
1。画（画可行域） 2。作（作z=Ax+By=0时的直线L 。） 3。移（平移直线L 。寻找使纵截距取得最值时的点） 4。答（求出点的坐标，并转化为最优解）
x
线性目标函数
四个步骤：
1、画 2、作 3、移 4、答
0
2x+3y=12 5x+4y=20
代数问题
(线性约束条件)
图解法
结论: 三个转化
线性约束条件
转化 转化 转化
可行域
线性目标函数 Z=Ax+By
Z y x B
一组平行线
图 解 法
最优解
四个步骤：
寻找平行线组的 最大（小）纵截距
Zmax=3
目标函数: Z=2x-y 化为
Y
y=2x-Z
x+y=1
A
y=x
O B C
X
y=-1
B:(-1,-1) C:(2,-1)
y=2x
Zmin=3
练习：
教材P80练习题 1、2、3
小结: 三个转化
线性约束条件
转化 转化 转化
可行域
线性目标函数 Z=Ax+By
Z y x B
一组平行线
1。画（画可行域） 2。作（作z=Ax+By=0时的直线L 。） 3。移（平移直线L 。寻找使纵截距取得最值时的点） 4。答（求出点的坐标，并转化为最优解）
二.数学应用
例 求z=2x-y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：
y x x y 1 y 1
解：
y x x y 1 y 1
高二数学最新教案-7.4简单的线性规划 精品
7.4 简单的线性规划●知识梳理1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线Ax +By +C =0，坐标平面内的点P （x 0，y 0）.B ＞0时，①Ax 0+By 0+C ＞0，则点P （x 0，y 0）在直线的上方；②Ax 0+By 0+C ＜0，则点P （x 0，y 0）在直线的下方.对于任意的二元一次不等式Ax +By +C ＞0（或＜0），无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数.当B ＞0时，①Ax +By +C ＞0表示直线Ax +By +C =0上方的区域；②Ax +By +C ＜0表示直线Ax +By +C =0下方的区域.2.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. 满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量x 、y ； （2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.●点击双基1.下列命题中正确的是A.点（0，0）在区域x +y ≥0内B.点（0，0）在区域x +y +1<0内C.点（1，0）在区域y >2x 内D.点（0，1）在区域x －y +1>0内 解析：将（0，0）代入x +y ≥0，成立. 答案：A2.（2005年海淀区期末练习题）设动点坐标（x ，y ）满足 （x －y +1）（x +y －4）≥0，x ≥3，A.5B.10C.217D.10 解析：数形结合可知当x =3，y =1时，x 2+y 2的最小值为10. 答案：D2x －y +1≥0，x －2y －1≤0， x +y ≤1则x 2+y 2的最小值为 3.不等式组 表示的平面区域为A.正三角形及其内部B.等腰三角形及其内部C.在第一象限内的一个无界区域D.不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：将（0，0）代入不等式组适合C ，不对；将（21，21）代入不等式组适合D ，不对；又知2x －y +1=0与x －2y －1=0关于y =x 对称且所夹顶角α满足t an α=|2121||212|⋅+-=43. ∴α≠3π. 答案：B4.点（－2，t ）在直线2x －3y +6=0的上方，则t 的取值范围是________________. 解析：（－2，t ）在2x －3y +6=0的上方，则2×（－2）－3t +6＜0，解得t ＞32. 答案：t ＞32 5.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>1234,0,0y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有____________个.解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个. 答案：3 ●典例剖析【例1】 求不等式｜x －1｜+｜y －1｜≤2表示的平面区域的面积. 剖析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积. 解：｜x －1｜+｜y －1｜≤2可化为x ≥1， ≥1， x ≤1， x ≤1， y ≥1， y ≤1， y ≥1， y ≤1， x +y ≤4 x －y ≤2 y －x ≤2 x +y ≥0. 其平面区域如图.x∴面积S =21×4×4=8.或 或 或深化拓展若再求：①12-+x y ；②22)2()1(++-y x 的值域，你会做吗？ 答案： ①（－∞，－23］∪［23，+∞）；②［1，5］.【例2】 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mi l e/h （4≤v ≤20）从A 港出发到距50 nmi l e 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h （30≤w ≤100）自B 港向距300 km 的C 市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C 市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h 、y h.（1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围； （2）如果已知所需的经费p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）（元），那么v 、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?剖析：由p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）可知影响花费的是3x +2y 的取值范围.解：（1）依题意得v =y 50，w =x300，4≤v ≤20，30≤w ≤100. ∴3≤x ≤10，25≤y ≤225.①由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x +y 应在9至14个小时之间，即9≤x +y ≤14.②因此，满足①②的点（x ，y ）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）.xy 1492+3=38y x（2）∵p =100+3·（5－x ）+2·（8∴3x +2y =131－p .设131－p =k ，那么当k 最大时，p －23的直线3x +2y =k 中，使k =10，y =4时，p 最小. 此时，v =12.5，w =30，p 的最小值为93元.评述：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式.然后分析要求量的几何意义.【例3】 某矿山车队有4辆载重量为10 t 的甲型卡车和7辆载重量为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次.甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?剖析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.解：设每天派出甲型车x 辆、乙型车y 辆，车队所花成本费为z 元，那么 x +y ≤9，10×6x +6×8x ≥360， 0≤x ≤4， 0≤y ≤7.z =252x +160y ， 其中x 、y ∈N .作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.x xy += 9作出直线l 0：252x +160y =0在y 轴上的截距最小.观察图形，2，5）时，满足上述要求.此时，z =252x +160y 2+160×5=1304. 答：每天派出甲型车2.评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f （x ，y ）=t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.●闯关训练 夯实基础1.（x －1）2+（y －1）2=1是｜x －1｜+｜y －1｜≤1的__________条件. A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分且必要D.既不充分也不必要 解析：数形结合. 答案：B 2.（x +2y +1）（x －y +4）≤0表示的平面区域为解析：可转化为x +2y +1≥0， x +2y +1≤0， x －y +4≤0 x －y +4≥0. 答案：B3.（2004年全国卷Ⅱ，14）设x 、y 满足约束条件 x ≥0， x ≥y ，2x －y ≤1，则z =3x +2y 的最大值是____________.或解析：如图，当x =y =1时，z max =5.x x 答案：5 x －4y +3≤0，3x +5y －25≤0x ≥1，_________.解析：作出可行域，如图.当把z 看作常数时，它表示直线y =zx 的斜率，因此，当直线y =zx 过点A 时，z 最大；当直线y =zx 过点B 时，z 最小．0 x ＝1，3x ＋5y －25＝0，得A （1 x －4y +3=0， 3x +5y －25=0，∴z max ＝1522＝522，z min ＝52．答案：52 522 5.画出以A （3，－1）、B （－1，1）、C （1，3）为顶点的△ABC 的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z =3x －2y 的最大值和最小值.分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组； ③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值.解：如图，连结点A 、B 、C ，则直线AB 、BC 、CA 所围成的区域为所求△ABC 区域.x 直线AB 的方程为x +2y －1=0，BC x －y +2=0，2x +y －5=0.在△ABC 内取一点P （1，1）2x +y －5得x +2y －1>0，x－y +2>0，2x +y －5<0.由 得B （5，2）.4.变量x 、y 满足条件_______，最大值为 由因此所求区域的不等式组为x +2y －1≥0， x －y +2≥0， 2x +y －5≤0.作平行于直线3x －2y =0的直线系3x －2y =t （t 为参数），即平移直线y =23x ，观察图形可知：当直线y =23x －21t 过A （3，－1）时，纵截距－21t 最小.此时t 最大，t max =3×3－2× （－1）=11；当直线y =23x －21t 经过点B （－1，1）时，纵截距－21t 最大，此时t 有最小值为t min = 3×（－1）－2×1=－5.因此，函数z =3x －2y 在约束条件 x +2y －1≥0，x －y +2≥0， 2x +y －5≤06.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?解：设每盒盒饭需要面食x （百克），米食y （百克），6+3=x y 4+7=1x y 所需费用为S =0.5x +0.4y ，且x 、y 满足 6x +3y ≥8， 4x +7y ≥10， x ≥0， y ≥0，由图可知，直线y =－45x +25S 过A （1513，1514）时，纵截距25S 最小，即S 最小. 故每盒盒饭为面食1513百克，米食1514百克时既科学又费用最少.培养能力7.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg.今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?解：设A 、B 两种药分别配x 、y 剂（x 、y ∈N ），则 x ≥1， y ≥1，3x +5y ≤20， 5x +4y ≤25.下的最大值为11，最小值为－5.上述不等式组的解集是以直线x =1，y =1，3x +5y =20及5x +4y =25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）.所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．8.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少? 解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则P =6x +8y ，由题意有30x +20y ≤300， 5x +10y ≤110， x ≥0， y ≥0，x 、y 均为整数. 由图知直线y =－43x +81P 过M （4，9）时，纵截距最大.这时P 也取最大值P max =6×4+8×9=96（百元）.故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元. 探究创新9.实系数方程f （x ）=x 2+ax +2b =0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）12--a b 的值域； （2）（a －1）2+（b －2）2的值域； （3）a +b －3的值域.f （0）＞0f （1）＜0 f （2）＞0b ＞0，a +b +1＜0， a +b +2＞0.如图所示. A （－3，1）、B （－2，0）、C （－1，0）.解：由题意知 ⇒b又由所要求的量的几何意义知，，17）；（3）（－5，－4）. ●思悟小结简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成.如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决.图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步.一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域.第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确.通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值.它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标.●教师下载中心 教学点睛线性规划是新增添的教学内容，应予以足够重视.线性规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础，因为在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点（x ，y ）实数Ax +By +C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点（x 0，y 0）〔若原点不在直线上，则取原点（0，0）最简便〕，把它的坐标代入Ax +By +C =0，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax +By +C ＞0（或＜0）表示直线的哪一侧.这是教材介绍的方法.在求线性目标函数z =ax +by 的最大值或最小值时，设ax +by =t ，则此直线往右（或左）平移时，t 值随之增大（或减小），要会在可行域中确定最优解.解线性规划应用题步骤：（1）设出决策变量，找出线性约束条件和线性目标函数； （2）利用图象在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（或最小）.拓展题例【例1】 已知f （x ）=px 2－q 且－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5，求f （3）的范围.解：∵－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5， p －q ≤－1，p －q ≥－4， 4p －q ≤5， 4p －q ≥－1. 求z =9p －q 的最值.q -=-4p q -=-1∴p =0， q =1，z min =－1， p =3，q =7， ∴－1≤f （3）≤20.【例2】 某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？解：设A 厂工作x h ，B 厂工作y h ，总工作时数为t h ，则t =x +y ，且x +3y ≥40，2x +y ≥20，x ≥0，y ≥0，可行解区域如图.而符合问题的解为此区域内的格子点（纵、横坐标都是整数的点称为格子点），于是问题变为要在此可行解区域内，找出格子点（x ，y ），使t =x +y 的值为最小.x x y +3=4由图知当直线l ：y =－x +t 过Q 格子点，我们还必须看Q 点是否是格子点.x +3y =40， 2x +y =20， 得Q （4，12）为格子点.故A 厂工作4 h ，B 厂工作12 h ，可使所费的总工作时数最少.如图，∵z max=20， 解方程组。
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 3.3.3简单的线性规划问题教学设计3 苏教版必修5
3.3.3 简单的线性规划问题（3）教学目标：1．掌握线性规划问题中整点问题的求解方法． 2．了解线性规划的思想方法在其他方面的应用．3．通过问题解决，丰富和完善对线性规划问题这一数学模型及其思想方法 的认识和理解，拓宽视野．4．体会线性规划这一数学模型及其思想方法应用的广泛性、实用性，激发 学习数学的兴趣．教学重点：线性规划的应用． 教学难点：将实际问题转化为线性规划问题，并给予求解．教学过程：这节课程我们继续研究线性规划问题在实际生活中的应用． 一、例题讲解例1 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180t ．该公司有8辆载重为6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返次数为A 型车4次，B 型车3次．每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元．试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低，若只调配A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？解 设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆，公司花费成本z 元，将题中数据整理成如下表格：则约束条件为10,4631018008,04,,x y x y x y x y +≤⎧⎪⋅+⋅≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，Ｚ. 即1045300804,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，，，，Ｚ．目标函数为y x z 504320+=．作出可行域：当直线z y x =+504320经过直线3054=+y x 与x 轴的交点（7.5，0）时，z 有最小值，由于（7.5，0）不是整点，故不是最优解．由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是2560504320=+y x ，经过的整点是（8，0），它是最优解．答 公司每天调出A 型车8辆时，花费的成本最低，即只调配A 型卡车，所花最低成本费25608320=⨯=z （元）；若只调配B 型卡车，则y 无允许值，即无法调配车辆．例2 学校有线络同时提供A 、B 两套校本选修课程．A 套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B 套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分，全学期20周，络每周开播两次，每次均独立内容．学校规定学生每学期收看选修课不超过1400分钟，研讨时间不得少于1000分钟，两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？ 分析 线性规划问题应根据实际情况作具体分析，特别注意求整体、可解性和选择性．解 设选择A 、B 两套课程分别为y x 、次，z 为学分，则40,40321400,20401000,,.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩Ｎ图示：目标函数y x z 45+=，由方程组解得点A （15，25），B （25，12.5）（舍）答 选A 课和B 课分别为15次和25次才能获得最好学分成绩．例3 私人办学是教育发展的一个方向，某人准备投资1200万元创办一所中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据，列表如下（以班级为单位）：市场调查表级学生数根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费，初中每生每年可收取600元，高中每生每年可收取1500元，因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜（含20个与30个）．教师实行任聘制．初、高中的教育周期均为三年，请你合理地安排招生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资？分析 这是一道线性规划问题，可假设初中编制为x 个班级，高中编制为y 个班级，利用题设先列出不等式组，求出目标函数，然后画出它在直角坐标平面内所表示的区域，利用图形法加以求解．解 设初中编制为x 个班，高中编制为y 个班，则依题意有*203028581200,x y x y x y ⎧≤+≤⎪+≤⎨⎪∈⎩，，Ｎ． （★） 又设年利润为s 万元，那么y x y x s 44.2)10000150040()1000060050(--÷⨯+÷⨯=，即y x s 26.0+=．现在直角坐标系中作出（★）所表示的可行域，如下图所示问题转化为在如图所示的阴影部分中，求直线y x s 26.0+=在y 轴上的截距的最大值，如图，虚线所示的为一组斜率为3.0-的直线，显然当直线过图中的A 点时，纵截距取最大值．解联立方程组⎩⎨⎧=+=+,12005828,30y x y x 得⎩⎨⎧==1218y x将12,18==y x 代入s 中，得8.34max =s 设经过n 年可收回投资，则第1年利润为6.116.15.241000015004042.12610000600506=⨯⨯-÷⨯⨯+⨯⨯-÷⨯⨯第2年利润为2.236.112=⨯（万元）以后每年的利润均为34.8万元，故依题意应有1200)2(8.342.236.11=-++n 解得5.35≈n故学校规模以初中18个班、高中12个班为宜，第一年初中招生6个班约300人，高中招生4个班约160人，从第三年开始年利润为34.8万元，约经过36年可以收回全部投资．二、课堂小结通过这节课的学习，使我们对线性规划有了更深刻的理解，拓宽了我们的视野，让我们体会到线性规划问题在现实生活中具有非常广泛的应用．三、布置作业要将两种大小不同的钢板截成A ，B ，C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表：今需要A ，B ，C 三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？。
苏教版数学高二-3.3素材 简单的线性规化
简单的线性规划简单的线性规划是解析几何的重点，是高考内容的重要组成部分，主要用于解决在可行域中寻找目标函数的最优解及有关问题。
一、目标要求1.了解用二元一次不等式（组）表示平面区域；了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；了解线形规划的图解法，会求线性目标函数的最大值、最小值；2.了解线性规划的意义，并能应用先行规划方法解决一些简单的实际问题。
二、内容精析1、二元一次不等式（组）表示平面区域：（1）二元一次不等式（组）在平面直角坐标系中表示直线某一侧的所有点组成的平面区域，①已知直线:0l Ax By C ++=，坐标平面内的点00(,)P x y ,若00()0B Ax By C ++>，则点P 在直线l 的上方；若00()0B Ax By C ++<，则点P 在直线l 的下方。
②已知直线:l y kx b =+，坐标平面内的点00(,)P x y ，则若00y kx b >+，则点P 在直线l 的上方；若00y kx b <+，则点P 在直线l 的下方。
③对于直线:0l Ax By C ++=同一侧的所有的点(,)x y ，把它的坐标代入直线方程，所得实数的符号都相同，所以只需要在此直线的某一侧任取一点00(,)x y ，把它的坐标代入方程Ax By C ++，由其值的符号可判断平面区域在直线的哪一侧，只要0C≠，一般可选原点；若0C =，一般选坐标轴的特殊点。
④求含绝对值不等式所表示的平面区域，通常先去掉绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式，一般采用分象限讨论的方法去绝对值符号，利用对称性可避免对绝对值的讨论。
（2）画平面区域的步骤：①画线——画出不等式所对应的方程所表示的直线（如果原不等时带等号， 则画成实线，否则，画成虚线）；②定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；③求公共区域——如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的平面区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是可行域。
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江苏省常州市西夏墅中学高二数学下册《简单的线性规
划》学案沪教版
杨宽
一、学习目标
(1)帮助学生正确理解，线性约束条件，目标函数，可行解，可行域，最优解等有关线性规划的重要概念．
(2)通过教师示范讲解，学生练习，掌握在线性约束条件下求线性目标函数的最优解的基本方法．
(3)通过解题过程中的分析，作图，培养学生严谨细致，严格准确的科学精神．
(4)通过实际问题的解决领悟统筹安排对节约成本，提高效率在现实生活中的重要意义
二、教学重点和难点
重点：对线性约束条件，目标函数，可行解，可行域，最优解的深刻理解和区分．对在线性约束条件下求线性目标函数最优解的掌握．
难点：线性规划有关概念的掌握，目标函数最优解的理解．
三、课堂学习
(一)讲授新课．
现在我们来研究下面的问题：
设Z＝2x＋y，式中变量x，y满足下列关系．
同学们已明白给出的不等式组是一个平面区域，我们把它画出来，变量x，y
将在这个范围取值，即由变量x，y为坐标，组成的点，在这个平面区域内．
由图可知，原点(0，0)不在给出的平面区域内．原点(0，0)在直线l0：2x＋y ＝0上，作一组与直线l0平行的直线，l：2x＋y＝l，(l∈R)
当l在l0的右上方时，直线l上的点(x，y)满足2x＋y＞0，即l＞0，而且，直线l往右平移时，l随之增大，在经过这个平面区域内的点且与l平行的直线中，以经过点A(5，2)的直线l2所对应的l最大．以经过点B(1，1)的直线l1所对应的l 最小．
∴Z最大值＝2×5＋2＝12．
Z最小值＝2×1＋1＝3．
(二)学生阅读课文(P722.线性规划到P74例3前)
阅读思考题：
(1)说出“线性约束条件”、“线性目标函数”、“线性规划”、“可行解”、“可行域”、“最优解”的含义．
(2)总结用线性规划求线性目标函数最优解的步骤．
(三)教师讲评：
x，y的约束条件，因为是关于x，y的一次不等式，所以称为线性约束条件．
②Z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，
叫做目标函数．因为是x，y的一次解析式，所以称为线性目标函数．
③求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题称为
线性规划问题．
④满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．
⑤所有可行解的集合叫做可行域．如上面问题中的三角形区域．
⑥使目标函数取得最大值和最小值的可行解，叫做这个问题的最优
解．如上面问题中的可行解A(5，2)和B点(1，1)．就是最优解．
(2)用线性规划求线性目标函数最优解的步骤：
①根据线性的约束条件，确定可行域．
②由线性目标函数，得出过原点的直线的二元一次方程．做过原点的直
线l0．
③求出可行域边界直线交点的坐标．
④过可行域边界直线的交点，作l0的平行线，确定最优解．
我们通过下面的例题来掌握线性目标函数最优解的求法．
求Z＝x＋2y的最大值和最小值．
解：根据约束条件，作出可行域．(如图)
作过原点的直线l0：x＋2y＝0．
作直线l0的平行线l，把直线l向上平移至过点A(－2，2)时，Z取得最小值．
Z 最小值＝(－2)＋2×2＝2，
把直线l 向上平移至过点B(2，8)时，Z 取得最大值，
Z 最大值＝2＋2×8＝18．
（四）实际运用
例：某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15t ，已知生产甲产品1t 需煤9t ，电力4kw ，劳动力3个（按工作日计算）；生产乙产品l t 需煤4t ，电力5kw ，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200 k w ，劳动力只有300个，问每天各生产甲、乙两种产品多少吨，才能既保证完成生产任务，又能为国家创造最多的财富。
分析：先设出每天生产甲、乙两种产品的产量分别为x t 和y t ，建立约束条件和目标函数后，再利用图形直观解题。
解：设每天生产甲产品x t ，乙产品y t ，总产量S t ，
依题意约束条件为：
⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤3004x ＋5y ≤2003x ＋10y ≤300x ≥15
y ≥15
目标函数为 S ＝7x ＋12y
约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的点加上它的边界上的点（如图阴影部分）
现在就要在可行域上找出使S ＝7x ＋12y 取最大值的点（x ，y ）。
作直线S ＝7x ＋12y ，随着S 取值的变化，得到一束平行直线，其纵截距为 S
12 ，可以看出，直线的纵截距越大，S 值也越大。
从图中可以看出，当直线S ＝7x ＋12y 经过点A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值。
解方程组⎩⎨⎧4x ＋5y －200＝03x ＋10y －300＝0
得A （20，24），故当x ＝20，y ＝24时，
S max＝7×20＋12×24＝428（万元）
答：每天生产甲产品20 t，乙产品24 t，这样既保证完成任务，又能为国家创造最多的财富428万元。
评析：解决简单线性规划应用题的关键是：（1）找出线性约束条件和目标函数；（2）准确画出可行域；（3）利用S的几何意义，求出最优解。
(五)学生练习
1．课本练习题．1(1)．
Z＝2x＋y．l0：2x＋y＝0．
A(－1，－1)．B(2，－1)．
Z最小值＝2×(－1)＋(－1)＝－3．
Z最大值＝2×2－1＝3．
2．课本练习题1．(2)
z＝3x＋5y
l0：3x＋5y＝0
(六)作业习题7．4．2
[动画要求]线性规划作图，要求位置准确，线条清楚．
①先作出可行域(与前面要求相同)
②作过原点的直线l0．(虚线)
③一条虚线平行于l0，作平行移动，从边界交点的最下方平移到最上方．在最优解处虚线要留下来，其它虚线平移过后就消失．
④最优解的点闪亮几下．
四、课后反思。