立体几何平行证明题复习过程

立体证明题（2）

1.如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥

平面ACE．

（1）求证：AE⊥平面BCE；

（2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．

2.等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=．

（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；

（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．

3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且

PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；

（Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC．

4.如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°．

（1）求证：AB⊥CD；

（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值．

5.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD．

（1）求证：平面PAD⊥平面PBD；

（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

6.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC 1=2，E 是AB 中点． （Ⅰ）求证：AB 1⊥平面A 1CE ；

（Ⅱ）求直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值．

7.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AD=CD=2AB=2，E ，F 分别为PC ，CD 的中点．

（Ⅰ）证明：AB ⊥平面BEF ；

（Ⅱ）若PA=，求二面角E ﹣BD ﹣C ．

8.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC=4，点M 为PC 中点．

（1）求证：DM ⊥平面PBC ；

（2）若点E 为BC 边上的动点，且

λ=EC BE ，是否存在实数λ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为3

2？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

9.如图，ABED是长方形，平面ABED⊥平面ABC，AB=AC=5，BC=BE=6，且M是BC的中点（Ⅰ）求证：AM⊥平面BEC；

（Ⅱ）求三棱锥B﹣ACE的体积；

（Ⅲ）若点Q是线段AD上的一点，且平面QEC⊥平面BEC，求线段AQ的长．

10.如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB

（1）求证：EA⊥平面EBC

（2）求二面角C﹣BE﹣D的余弦值．

11.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC．

（1）求证：平面POB⊥平面PAD；

12.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠

BAC=90°，且AB=AA1，E、F分别是CC1，BC的中点．

（1）求证：平面AB1F⊥平面AEF；

（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．

13.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2．

（ I）求证：BD⊥平面ACFE；

（ II）当直线FO与平面BDE所成的角为45°时，求二面角B﹣EF﹣D的余弦角．

14.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．

（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；

（2）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．

15.如图，已知斜三棱柱ABC一A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且BA1⊥AC1．

（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；

（Ⅱ）求二面角A﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．

试卷答案

1.

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．

【分析】（1）由已知中直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，且BF⊥平面ACE，我们可以证得BF⊥AE，CB⊥AE，进而由线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE．

（2）连接BD与AC交于G，连接FG，设正方形ABCD的边长为2，由三垂线定理及二面角的平面角的定义，可得∠BGF是二面角B﹣AC﹣E的平面角，解Rt△BFG即可得到答案．【解答】证明：（1）∵BF⊥平面ACE

∴BF⊥AE…

∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角，且CB⊥AB，

∴CB⊥平面ABE

∴CB⊥AE…

∴AE⊥平面BCE．…

解：（2）连接BD与AC交于G，连接FG，设正方形ABCD的边长为2，

∴BG⊥AC，BG=，…

∵BF垂直于平面ACE，由三垂线定理逆定理得FG⊥AC

∴∠BGF是二面角B﹣AC﹣E的平面角…

由（1）AE⊥平面BCE，得AE⊥EB，

∵AE=EB，BE=．

∴在Rt△BCE中，EC==，…

由等面积法求得，

则

∴在Rt△BFG中，

故二面角B﹣AC﹣E的余弦值为．…