有理函数积分方法的优化

有理函数积分的方法优化

一、有理函数积分有理函数定义：形如n

m m n n n b x b x b a x a x a x Q x P x R +⋯⋯+++⋯⋯++==--110110)()()(当n m ≤时，)(x R 为假分式；当n m >时，)(x R 为真分式

有理函数⇒相除多项式+真分式，其中真分式⇒分解

若干部分分式之和

其中部分分式的形式为：

从上述定义可以看出，有理函数的积分是利用分式函数可拆分的性质解题的，即

C k a x A dx a x A k

k +--=--⎰1)()(1，()

c x P q px x B dx q px x N Mx ++++-=+++⎰)(222这种做法对于式子比较简单，即分母能拆解的项数是在三项或者三项以下的比较实用，但是对于三项以上，即要设三个未知数以上，最后通过求解多元一次方程组求解各个系数，最后通过简单的不定积分计算得出答案。对于有学过数学的朋友都知道，一旦涉及的未知数较多的时候特别考验计算能力，即使平时计算能力还不错得体同学，对于式子较多时，亦会存在不少的问题，以下列两道例题体现该方法的优势和劣势：

例1dx

x x x ⎰+-+6532解：())3(2652--=+-x x x x ，所以3

26532-+-=+-+x B x A x x x 所以可列二元一次方程得3)2()3(+=-+-x x B x A ，即⎩⎨

⎧=--=+3231

B A B A 解得65=-=B A ，，则c

x x dx x dx x dx x x x +-+-=-+--=+-+⎰⎰⎰)3ln(6)2ln(5-3

6256532例2dx

x x x x ⎰++-+)1()1(6322

解：令()()()())

1(111)1)(1(1)1(1)1()1(63222222222++--+++++++-=++++-+-=++-+x x x x D Cx x x B x x x A x x D Cx x B x A x x x x 则()()()2

2211)1)(1(63-+++++++-=+x D Cx x x B x x x A x 令1=x 得3

,39==B B 令1=x 得D

B A ++-=6令1-=x 得)

(423C D B A -++-=令2=x 得D

C B A +++=27712故原式()C x x x x dx

x x x dx x dx x dx x x x x ++++---=++++-+-=++-+⎰⎰⎰⎰)1ln(1

31ln 2-112113112-)1()1(6322222从例2可以看出，对于四个未知数求解参数，计算量非常大，如果对于考试，这道题目需要将近十分钟的时间取解答，所以针对此类次数较高的，可以根据裂项的思想去求解，由此引出方法2

二、裂项法求有理函数积分

裂项常用公式：

（1）1

11)1(1+-=+x x x x ；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+A x x A A x x n n n n 111)

(1

（3）⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-=+-A x x A x A x x n n n n n 11)(11（4）⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+--=-a x a x a a x 1121122（5）

()⎦⎤⎢⎣⎡++--=-11113111223x x x x x 此类方法主要考察因式分解的能力，即对裂项公式要熟练掌握并对式子有一定的感知能力。同样以上述两个例题作为例子。

例1dx

x x x ⎰+-+6532解：2

53623332131)3(6532---=-+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=+-+x x x x x x x x x x x x 所以c

x x dx x dx x dx x x x +-+-=-+--=+-+⎰⎰⎰)3ln(6)2ln(5-36256

532例2dx

x x x x ⎰++-+)1()1(6322分析：由于()x x x x 31-122=-++所以()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++--+=++-+1111363)1()1(632222x x x x x x x x x 即()()()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++--+++--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++--+=++-+1111211111111211111363)1()1(632222222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 对于1

)1(22212)1(211)1(21111211)1(12222222++++-+---=++++-⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以()1

121312)1()1(632222++++-+--=++-+x x x x x x x x x 故原式

()C x x x x dx x x x dx x dx x dx x x x x ++++---=++++-+-=++-+⎰⎰⎰⎰)1ln(131ln 2-112113112-)1()1(6322222例2用裂项法可以分成两步进行，如果裂项公式十分熟悉，这种拆分方式是比较快的，相比于传统的有理函数积分解法，可以不用设未知数A 、B 、C 、D ，降低了计算的难度，对于式子简单的可以知解套用裂项公式。

变式1⎰+1x e dx 变式2⎰+x x dx 2sin sin 2