上海交通大学出版社 大学物理教程 3振动与波习题思考题答案

为：
x ） 0 ] ，则 P 点的振动式为： u
x1 ） 0 ] ，与题设 P 点的振动式 yP A cos(t ) 比较， u x1 x x1 有： 0 ，∴平面波的波动式为： y A cos[ (t ) ] 。 u u yP A cos[ （t
2 T
又∵t=0 时， x0 6cm ， v0 0 ，由旋转矢量图，可知：
（ t 故振动方程为： x 0.12 cos
（2）将 t=0.5 s 代入得：
） m； 3
3
x 0.12cos （ t ） 0.12cos 0.104m ， 3 6 v 0.12 sin （ t ） 0.12cos 0.188m / s ， 3 6
解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。 对于 x A cos( t x ) ， y 4 cos( t y ) 的叠加，可推得：
x 2 y 2 2 x y cos( x y ) A2 sin 2 ( x y )
2 2 2 ， y 代入有： x y 2 x y cos 16sin ， 6 6 3 3 2 2 则方程化为： x y x y 12 ，轨迹为一般的椭圆； 5 2 2 2 （2）将 x ， y 代入有： x y 2 x y cos 16sin 6 6 2 2 则方程化为： x y 2 x y 0 ，即 x y 0 ，轨迹为一直线； 2 2 2 2 （3）将 x ， y 代入有： x y 2 x y cos 16sin 6 3 2 2 2 2 2 则方程化为： x y 4 ，轨迹为圆心在原点，半径为 4m 的圆。
（1）角频率：
g 9.8 3.13rad / s ， l 1 g 9.8 频率： 0.5 Hz ， 2 l 2
周期： T 2
l 2 2s ； g 9.8 3.13 A sin （3.13 t ） （2）振动方程可表示为： A cos （3.13 t ），∴ 0 (1 ，象限） 2 根据初始条件， t 0 时： cos ， sin 0 (3 ，象限） 4 A 3.13 A 2 0 0 可解得： A 8.8 10 m ， 227 133 2.32 ， 所以得到振动方程： 8.8 102 cos （3.13 t 2.32） m 。
3-2．有一单摆，摆长 l 1.0m ，小球质量 m 10g ， t 0 时，小球正好经过 0.06rad 处，并以角
0.2rad/s 向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求： 速度 （1）角频率、频率、周期； （2） 用余弦函数形式写出小球的振动式。 （g 取 9.8） 解：振动方程： x A cos(t ) 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。
解：根据题意，对于 A、B 两点， 2 1 3-10． 已知一平面波沿 x 轴正向传播， 距坐标原点 O 为 x1 处 P 点的振动式为 y A cos(t ) ， 波速为 u ， 求： （1）平面波的波动式； （2）若波沿 x 轴负向传播，波动式又如何? 解： （1）设平面波的波动式为 y A cos[ （t
x1 ） 0 ] ，与题设 P 点的振动式 yP A cos(t ) 比较， u x1 x x1 有： 0 ，∴平面波的波动式为： y A cos[ (t ) ] ； u u x （2）若波沿 x 轴负向传播，同理，设平面波的波动式为： y A cos[（t ） 0 ] ，则 P 点的振动式 u yP A cos[ （t
2 2 2
sin sin 30 0 再利用正弦定理： ，有： A A2 A sin 1 ，∴ 。 2 2 A2
说明 A１与 A２间夹角为π/2，即两振动的位相差为π/2 。 3-8. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：
（1）
x 4 cos 8 t 6 ； （2） y 4 cos 8 t 6
（1）将 x 3-9．沿一平面简谐波的波线上，有相距 2.0 m 的两质点 A 与 B ， B 点振动相位比 A 点落后 周期为 2.0 s ，求波长和波速。
，已知振动 6
， x 2 m ， 6 x x1 x 而相位和波长之间满足关系： 2 1 2 2 2 ， 代入数据，可得：波长 =24m。又∵T=2s，所以波速 u 12m / s 。 T
2




方向指向坐标原点，即沿 x 轴负向；
a 0.12 cos （ t ） 0.12 2 cos 1.03m / s 2 ， 3 6
A ， 2
3
P

（3）由题知，某时刻质点位于 x 6cm
A 2
x Q
且向 x 轴负方向运动，如图示，质点从 P 位置回到 平衡位置 Q 处需要走 有： t
3-3．一质点沿 x 轴作简谐振动，振幅为 12cm ，周期为 2s 。当 t 0 时，位移为 6cm ，且向 x 轴正方向运 动。 求： （1） 振动表达式； （2） 质点的位置、 速度和加速度； （3） 如果在某时刻质点位于 x 6cm ， t 0.5s 时， 且向 x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 解： （1）由题已知 A=0.12m，T=2 s ，∴
取竖直向下为 x 正向，弹簧伸长为 0.1m 时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那 么：A=0.1m， 当 t=0 时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。
k 9.8 98 。 m 0.1
（ 98t ） 所以： x 0.1cos
即： x 0.1cos( 98t ) 。
个质点 2 在 x 2 A / 2 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。 解：由旋转矢量图可知： 当质点 1 在 x1 A / 2 处，且向左运动时， 相位为
3-4．两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点 1 在 x1 A / 2 处，且向左运动时，另一
5 s 。 6
百度文库 t ，建立比例式： ， 3 2 2 T
而质点 2 在 x 2 A / 2 处，且向右运动， 相位为
， 3
所以它们的相位差为 。 3-5．当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和 势能各占总能量的一半？
4 。 3
1 2 1 1 k x ， Ek m v 2 ，有： EP k A 2 cos 2 ( t ) ， 2 2 2 1 1 Ek m 2 A 2 sin 2 ( t ) k A 2 sin 2 ( t ) ， 2 2 A （1）当 x 时，由 x Acos( t ) ， 2 3 1 有： cos( t ) ， sin( t ) ， 2 2
x 4 cos 8 t 6 ； 5 y 4 cos 8 t 6
（3）
x 4 cos 8 t 6 。试判别质点运动的轨迹。 2 y 4 cos 8 t 3
（2）B 点的振动表达式可直接将坐标 x d l ，代入波动方程：
l x ） ] u u
2 l ， u
y A cos[ 2（t
l d l d ） ] A cos[ 2（t ） ] u u u 1 s 时的波形如图所示，且周期 T 为 2s 。 3
A 1 初相： 1
， A 2 初相： 2 ， 2 2
表明两者处于反相状态， 1 ，， 2 ） （反相 2 1 (2k 1) ， k 0 ，
∵ A1 A2 ，∴合成振动的振幅： A A2 A1 ； 合成振动的相位： 2
3-12．已知一沿 x 正方向传播的平面余弦波， t （1）写出 O 点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出 A 点的振动表达式； （4）写出 A 点离 O 点的距离。
解：由图可知： A 0.1m ， 0.4m ，而 T 2 s ，则： u / T 0.2m / s ，
解：由 EP ∴
E P 1 Ek 3 ， ； E 4 E 4 1 E 时，有： cos 2 ( t ) sin 2 ( t ) 2 1 2
，x
（2）当 EP Ek
∴ cos( t )
2 A 0.707 A 。 2
3-6．两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) （1）求合振动的振幅。 （2）求合振动的振动表达式。 解：通过旋转矢量图做最为简单。 由图可知，两个振动同频率，且
； 2
合成振动的方程： x （A2 A1） cos （
2 t ）。 T 2
3-7．两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 20cm ，与第一个振动的位相差为
。若第一 6
个振动的振幅为 10 3cm 。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？ 解：如图，可利用余弦定理： 由图知 A2 A1 A 2 A1 A cos 30 =0.01 m ∴A２=0.1 m ，
习题 3 3-1．原长为 0.5m 的弹簧，上端固定，下端挂一质量为 0.1kg 的物体，当物体静止时，弹簧长为 0.6m ．现 将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。 （g 取 9.8） 解：振动方程： x A cos(t ) ，在本题中， kx mg ，所以 k 9.8 ； ∴
3-11．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知 A 点的振动规律为 y A cos(2 t ) ，试写出： （1）该平面简谐波的表达式； （2） B 点的振动表达式（ B 点位于 A 点右方 d 处） 。 解： （1）仿照上题的思路，根据题意，设以 O 点为原 点平面简谐波的表达式 为：
x y A cos[2（t ） 0] ， 则 A 点 的 振 动 式 ： u l y A A cos[2（t ） 0] u
题设 A 点的振动式 y A cos(2 t ) 比较，有： 0 ∴该平面简谐波的表达式为： y A cos[ 2（t
2 2 ，k 5 ，∴波动方程为： y 0.1cos( t 5 x 0 ) T O 点的振动方程可写成： yO 0.1cos( t 0 ) 1 由图形可知： t s 时： yO 0.05 ，有： 0.05 0.1cos( 0 ) 3 3 d yO 5 考虑到此时 （舍去） 0 ，∴ 0 ， 3 3 dt