不变量法化简二次曲面
二次曲线化简的方法
所以曲线的方程为： 又由于它是中心曲线故有 ② 当曲线为无心二次曲线时，取它的唯一主直径为 x 轴，而过顶点（即主直径与曲线 的交点）且以非渐进主方向为方向的直线（即过顶点垂直于主直径的直线）为 y 轴 建立坐标系，这时不妨假设曲线方程为：
由于此时主直径的共轭方向为 0 ：1，所以主直径的方程为：
为新坐标系 x’轴， 为 y’轴作坐标变换
变换公式：
解得
代入已知方程可得：
标准方程：
例 3【线心二次曲线】 化简 曲线为线心二次曲线，有唯一的主直径即中心直线，也是曲线的主直径 其方程是：x-y+1=0，取它为新坐标系的 x’轴， 在取任意垂直于中心线的直线如：x+y=0 为新坐标系 y’轴作坐标变换
②
方法介绍：
一、 直角坐标变换：
1、 坐标变换
一般的，在曲线有中心的前提下，为了计算方便，往往先移轴再转轴
非中心二次曲线先转轴再移轴。
① 移轴下（
）二次曲线的新方程为：
化简整理得：
这里有：
在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律： （1） 二次项系数不变 （2）一次项系数变为 2F1（x0,y0） 与 2F2(x0,y0)
而 I3=I3’
所以 故可以推知上述内容 ② 无心二次曲线的简化方程是： (正负号任意选取) 分析：如果是无心二次曲线则有： 其简化方程为：
因此有：I1’=a22’=I1
而 I3’=I3,所以
从而推知上述内容 ③ 线心二次曲线的简化方程是：
分析：如果是线心二次曲线则有： 其简化方程为： 因此有 I1’=a22’=I1 而 K1 是线心曲线的不变量，从而我们有 K1’=K1 所以 从而推知上述内容
（3）常数项不变。 【例题详解方法】 例 1【无心二次曲线】 化简二次曲线方程，并画出它的图形 解：
毕业设计（论文）-二次曲面方程的化简与分类
二次曲面方程的化简与分类1.摘要对于给定的二次曲面方程,以前的方法是通过特征方程可求出它所对应的主方向.由于二次曲面的每个特征根至少对应一个主方向,也就是说二次曲面至少有一个主径面,而二次曲面的主径面又是二次曲面的对称面,因而选取主径面作为新坐标面,或者选取主方向为坐标轴方向,就成为二次曲面方程的化简方法，但本文应用“向量化”和“滤射变化”化简二次曲面方程.“向量化”在空间中的一个直角坐标系下，二次曲面方程F x,y,z=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44阐明了存在着一个由方程中各系数表出的(自由)向量b,利用自由b不仅可以使得一般二次曲面方程的化简过程“向量化”,并且能够给出在化简过程中出现有关点的位置和数量的内在几何意义.“滤射变换”化简二次曲面方程，首先对二次曲面方程F x,y,z配方变形,利用直线与二次曲面相交时参数m的几何意义,以及滤射变换的性质,得到了二次曲面方程分类与化简的一种运算简单方便的方法.根据上述方法,本文通过对二次曲面方程进行化简,化简成五类方程和17种标准形式.2.二次曲面方程的问题分析2.1二次曲面方程的化简依据二次曲面的方程化简与二次曲线一样，而对于二次曲线的化简与作图，崔萍给出了比较详细的化简过程，将一个点对某个坐标系的坐标变换为该点对另外一种坐标系下的坐标，通过一系列的转轴与移轴，用坐标变换法来化简二次曲线.因此，二次曲面方程的化简关键在于能否适当的选取坐标系，在一些二次曲面中，其对称面即坐标面，对称轴即坐标轴，坐标原点即曲面中心（或为曲面顶点）.此即表明，使所选坐标系满足以上条件时，二次曲面的方程即为规范形式，分析可得，通过转轴和移轴可完成上述任务.对于中心型和非中心型二次曲面，进行不同程度的转轴和移轴，先后消去一次项和交叉项，方程即可转化为规范形式.平面上的二次方程：a11x2+a22y2+2a12xy+2a13x+2a23y+a33=02.2二次曲线方程的化简与作图首先把一个点进行行坐标平移变换：x=x′+x0y=y′+y0其中，( x ,y)表示平面内点A的旧坐标，x′,y′表示点A的新坐标,x0,y0表示原坐标系下的原点的新坐标.坐标旋转变换：x=x′cosα+y′sinαy=x′cosα+y′sinα其中α为坐标轴的旋转角.于是有，在坐标平移变换下，二次曲线方程二次项系数不变，一次项系数变为2F1x0,y0和2F2(x0,y0)，常数项变为F x0,y0.而在坐标旋转变换下，二次曲面的二次项和一次项系数分别只是原系数和旋转角度的因变量，与其他量无关，常数项保持不变.二次曲线方程的化简分为两大类：第一类：中心二次曲线方程，把新坐标系的原点移到二次曲线的中心，则得到F1x0,y0和F2(x0,y0).消去二次曲线中的一次项，常数项化为F(x0,y0).再通过旋转即可转化二次曲线方程为更简单的方程.第二类：无心二次曲面方程，转轴过后再平移，利用平面直角坐标变换.2.3常用的二次曲面方程的化简方法对于二次曲面方程的化简，常见的化简方法有通过特征方程求主径面，空间坐标变换（转轴和移轴），应用不变量等方法化简二次曲面方程，笔者所用化简方法与常见化简方法之间既存在着差异也有相似，为了方便读者更易读懂本文所用方法与常见方法之间的异同，在此列出常见特征方程法以作比较.以三个主方向建立的笛卡尔坐标系为新坐标系作坐标轴的旋转，曲面方程a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+ 2a34z+a44=0以二次曲面的非奇主方向为新轴方向，以共轭于这个方向的主径面作为新坐标平面x′=0建立坐标系，则曲面方程化为：a11′x′2+a22′y′2+a33′z′2+2a12′x′y′+2a13′x′z′+2a23′y′z′+2a14′x′+2a24′y′+2a34′z′+a44′=0以x′作为主方向，得到与之共轭的主径面方程：a11′x′+a12′y′+a13′z′+a14′=0主径面方程式表x′=0当且仅当a11′≠0,a12′=a13′=a14′=0.当a23′=0,则a11′x′2+a22′y′2+a33′z′2+2a24′y′+2a34′z′+a44′=0当a23′≠0，则在y′o′z′平面内，将y轴与z轴旋转一角度θ，使cot2θ=a22′−a33′2a23′即通过直角坐标变换：x′=x′′y′=y′′cosθ−z′′sinθz′=y′′cosθ+z′′sinθ使yz项系数化为0，从而得到：a11′′x′′2+a22′′y′′2+a33′′z′′2+2a14′′x′′+2a24′′y′′+2a34′′z′′+a44′′=0即可化为：a11′x′2+a22′y′2+a33′z′2+2a14′x′+2a24′y′+2a34′z′+a44′=0 (1)一般情况下，将所得方程分为以下三种情况讨论：1.当a11′∙a22′∙a33′≠0(1)式通过配方和平移得到：a11′x′2+a22′y′2+a33′z′2+a44′=0(2) 在a44′≠0时当a11′，a22′，a33′同号但与，a44′′异号，（2）式表示椭球面；当a11′，a22′，a33′与a44′′同号，（2）式表示虚椭球面；当a44′′与a11′，a22′，a33′中的一个同号，（2）式表示单叶双曲面；当a44′′与a11′，a22′，a33′中的两个同号，（2）式表示双叶双曲面；在a44′′=0时：当a11′，a22′，a33′不同号，（2）式表示二次锥面；当a11′，a22′，a33′同号，（2）式表示一个点；2.a11′，a22′，a33′不妨设只有a33′=0，a34′≠0时：(1)式通过配方和平移得到：a11′x′′2+a22′y′′2+2a34′z′′=0(3) 若a11′，a22′同号，（3）式表示椭球抛物面；若a11′，a22′异号，（3）式表示双曲抛物面；在a34′=0时：(1)式通过配方和平移得到：a11′x′′2+a22′y′′2+a44′′=0（4）若a11′，a22′同号，但与a44′′异号，（4）式表示椭圆柱面；若a11′，a22′与a44′′同号,（4）式表示虚椭圆柱面；若a11′，a22′异号，a44′′≠0，（4）式表示双曲柱面；若a11′，a22′异号，a44′′=0，（4）式表示相交平面；若a11′，a22′同号，a44′′=0，（4）式表示一对虚相交平面；3.a11′，a22′，a33′中不妨假设只有a11′≠0(1)式通过配方和平移得到a11′x′′2+2a24′y′′2+2a34′z′′2+a44′′=0再通过作绕x′轴坐标变换，化为：a11′x′′′+2 a24′2+a34′2y′′′=0(5) (5)表示抛物柱面；当a24′=a34′=0时，可得：a11′x′′2+a44′′=0(6) 若a11′与a44′′异号，（6）式表示一对平行面；若a11′与a44′′同号，（6）式表示一对虚平行面；若a11′=a44′′=0，（6）式表示一对重合平面.2.4二次曲面方程化简的新方法从代数上看，进一步的化简是显然的了，即根据λi的值的情况进行“配方”. 按照“配方”记新坐标变数为X,Y,Z而一次项系数暂可写为0,B2,B3.(λ1≠0)这样(1)化为新坐标下的方程：λ1X2+λ2Y2+λ3Z2+2B2Y+2B3Z+A44=0注意上式中一次项系数所成的组0,B2,B3表示关于向量标架0;e1,e2,e3下的向量,特记为b，它关于oxyz下的表示为：b=B2e2+B3e3它特记将oxyz旋转到特征方向上去且按上述约定进行配方之后的a4.以下即将看到,这时的坐标系与使新坐标下的方程化为标准形状的坐标系已无多大差别,不妨就称之为标准坐标系.再来确定x0,y0,z0.x0a1=y0a2+z0a3+a4=b (7)a11x0+a12y0+a13z0+a14=b1a21x0+a22y0+a23z0+a24=b2a31x0+a32y0+a33z0+a34=b3若已知b,从方程组(7)的解集便可知应将坐标系oxyz平移到什么样的位置上，称（7）为二次曲面的定位方程组.特别的，当b=0时，上述方程组可写为:a11x+a12y+a13z+a14=0a21x+a22y+a23z+a24=0a31x+a32y+a33z+a34=0它就是通常的所谓中心方程.定理3：设 (x,y,z)是定位方程组(7)的任一个解,则量J= b+a4∙x,y,z+a44的值与坐标系无关.系1：当b=0时，量J=a4∙x,y,z+a44在所有中心处取同一个常值，得到X2+λ2Y2+λ3Z2+J=0.系2：当b≠0时，方程b+a4∙x,y,z+a44=0与定位方程组联立的解集与坐标系无关.这时必有零根出现,I3=0,分别两种情况讨论如下:(i)若I2≠0,(1)成为λ1X2+λ2Y2+2B3Z+A44=0特别地,将它移到平面(7)与(1)的交点O′处，我们有X2p +Yq=2Z.(ii)I2=0,(1)成为λ1X2+2B2Y+A44(x0,y0,z0)=0同（i）一样，特别地,将它移到平面(7)与(1)的交点O′处，则上述方程中的常数项就消失了，我们有X2=2p Y.方法一：向量化设在空间中的一个直角笛卡尔坐标系（一下均简称坐标系）oxy z下给定一个二次方程为a11x2+2a12xy+a22y2+2a13xz+2a23yz+a33z2+2a41x+ 2a42y+2a43z+a44=0存在着一个由二次方程中诸系数表出的（自由）向量b,利用它，可以使得一般二次方程化简程序“向量化”.在坐标变换下方程中诸系数的变化律a=a i1,a i2,a i3,i=1,2,3,4.a为半向量，易知在坐标系下作平移:x=x′+x0 ,y=x′+x0 ,x′+x0诸半向量变化律为:a1′=a1 ,a4′=a4+x0a1+y0a2+z0a3此外有a44′=a(x0 ,y0 ,z0),其中，我们用a(x ,y ,z)简记原二次方程左边部分.为写出在坐标系的旋转下方程中诸系数的的变化律，我们采用矩阵运算符号.二次方程成为x ,y ,z a ij xyz+2x ,y ,za41a42a43+a44=0 (8)据此易知，若将坐标旋转公式写为:x ,y ,z=x′ ,y′ ,z′T其中T记相应的直角方阵，则有a ij′=T∙ a ij∙T′ (T′记T的转置) (9)又有a41 ,a42 ,a43=a′41 ,a′42 ,a′43T (10) 这里已知直角方阵的性质T的转置等于T的逆,最后对坐标系的旋转：a44′=a44由(9)(10)二式看出，在坐标系旋转下,a4如向量一样变化，而a1，a2,a3则不然，如果分别用e1，e2,e3简记T的第一，二，三个列矢，那么据(8)式可写出a i ,( i=1,2,3)的诸分量之变化式如下：a i1=a1 ,e1e11+a2 ,e1e12+a3 ,e1e13a i2 =a1 ,e1e21+a2 ,e1e22+a3 ,e1e23a i3 =a1 ,e1e31+a2 ,e1e32+a3 ,e1e33为了以下应用，我们将(8)式变形如下，用x ,y ,z,左乘(8)的两边,应用坐标旋转公式得：x ,y ,z a ij′=x ,y ,z a ij∙T′.又用T右乘上式两式得:x ,y ,z a ij=x ,y ,z′ a′ij∙T′和坐标旋转公式比较知，在坐标系的旋转下，三数组a11x ,a12y ,a13z ,a21x ,a22y ,a23z ,a31x ,a32y ,a33z如同一个向量的坐标数组一样变化.为了化简原二次方程，首要问题是去寻找这样的旋转，使得在新的坐标ox′y′z′下有:a ij=0 ,(i≠j)显然，这就是要寻求e1=e i1 ,e i2 ,e i3 ,i=1,2,3使上式成立.记e i1 ,e i2 ,e i3=x i ,y i ,z i据(8)得:a11x i+a12y i+a13z i=a ii x ia21x i+a22y i+a23z i=a ii y ia31x i+a32y i+a33z i=a ii z i如果略去下标i并令λ=a ii则知这些向量满足同一个方程组:a11x+a12y+a13z=a iiλxa21x+a22y+a23z=a iiλya31x+a32y+a33z=a iiλz或者(a11−λ)x+a12y+a13z=0a21x+(a22−λ)y+a23z=0a31x+a32y+(a33−λ)z=0上述方程组有解的充要条件为方程的系数矩阵行列式为零，即：a11−λa12a13a21a22−λa23=0a31a32a33−λ和方程组的特征方程的解，使下式成立：λ3+i1λ2+i2λ−i3=0其中λ为特征根.定理1:必存在坐标系的旋转使二次方程的二次部化为对角形(这即是主轴变换的存在性).系1：当a ij=a ji时,特征方程的根全是实数.系2：若λ0为m重根，则特征方程有m个独立解.系3：若λ1≠λ2,则相应的特征方向必正交.结论：在任一坐标系下，主方向平面由a1 ,a2 ,a3张成：记为πa1 ,a2 ,a3. 定理2：在任一坐标系下纯形式表出的b=a4−π(a1 ,a2 ,a3)a4代表同一个向量.设已经求出λi和相应的e i (i=1 ,2 ,3)那么施行旋转便可将方程组写成为：λ1x2+λ2y2+λ3z2+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0从代数上看，进一步的化简是显然的了，即根据λi的值的情况进行“配方”.按“配方”记新坐标变数为X,Y,Z,一次项系数暂可写为0,B2,B3.(λ1≠0)这样上述方程可化为：λ1X2+λ2Y2+λ3Z2+2B2Y+2B3Z+A44=0注意该式中一次项系数所成的组0,B2,B3表示关于向量标架0;e1,e2,e3下的向量,特记为b，它关于oxyz下的表示为：b=B2e2+B3e3它特记将oxyz旋转到特征方向上去且按上述约定进行配方之后的a4.以下即将看到,这时的坐标系与使新坐标系下的方程化为标准形状的坐标系已无多大差别,不妨就称之为标准坐标系.x0a1=y0a2+z0a3+a4=b若已知b,此方程组的解集便可知应将坐标系oxyz平移到什么样的位置上，称其为二次曲面的定位方程组：a11x0+a12y0+a13z0+a14=b1a21x0+a22y0+a23z0+a24=b2a31x0+a32y0+a33z0+a34=b3特别的，当b=0时，定位方程组写为:a21x+a22y+a23z+a24=0a31x+a32y+a33z+a34=0它就是通常的所谓中心方程.定理3：设 (x,y,z)是定位方程组的任一个解,则量J= b+a4∙x,y,z+a44的值与坐标系无关.系1：当b=0时，量J=a4∙x,y,z+a44在所有中心处取同一个常值，得到X2+λ2Y2+λ3Z2+J=0.系2：当b≠0时，方程 b+a4∙x,y,z+a44=0与定位方程组联立的解集与坐标系无关.这时必有零根出现,I3=0,分别两种情况讨论如下: (i)若I2≠0,原二次方程成为λ1X2+λ2Y2+2B3Z+A44=0特别地,将它移到平面定位方程组与二次方程的交点O′处，我们有X2p +Yq=2Z.(ii)I2=0,原二次方程成为λ1X2+2B2Y+A44(x0,y0,z0)=0同（i）一样，特别地,将它移到平面定位方程组与二次方程的交点O′处，则上述方程中的常数项就消失了，我们有X2=2p Y.方法二：滤射变换在空间直角坐标系下，由三元二次方程F x,y,z=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44所表示的曲面，叫做二次曲面.对于二次曲面方程的分类与化简，再次给出一种方法，通过对三元二次方程F x,y,z=0配方变形，利用直线与二次曲面方程相交时参数t的几何意义，以及滤射变换的性质，得到了二次曲面方程化简的一种简单，比较为大多数读者接受的方法.性质一：在空间直角坐标系下，二次曲面方程经过线性滤射变换:y=a2x2+b2y2+c2z2+d2z=a3x3+b3y3+c3z3+d3其中一次项对应系数行列式的值不为零.图形为同类型的二次曲面，并且原二次曲面的中心在滤射变换下仍对应于新二次曲面的中心.性质二：在空间直角坐标系下，若直线方程x=x0+rXy=y0+rYz=z0+rZ与二次曲面F x,y,z相交，则交点所对应的参数r满足φX,Y,Z r2+2F1x0,y0,z0∙X+F2x0,y0,z0Y+F3x0,y0,z0∙Z∙r+F x0,y0,z0=0其中φX,Y,Z=a11X2+a22Y2+a33Z2+2a12XY+2a13XZ+2a23YZF1x0,y0,z0=a11x0+a12y0+a13z0+a14F2x0,y0,z0=a12x0+a22y0+a23z0+a24F3x0,y0,z0=a13x0+a23y0+a33z0+a34对于向量β=X,Y,Z,在此设定该向量为单位向量，r表示r所对应的交点与直线上的定点φx0,y0,z0之间的距离；当φx0,y0,z0为两个交点的中点时，交点所对应的参数r2=−F x0,y0,z0φX,Y,Z性质三：以三个主方向建立的笛卡尔坐标系为新坐标系作坐标轴的旋转，曲面方程F x,y,z=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44以二次曲面的非奇主方向为新轴方向，以共轭于这个方向的主径面作为新坐标平面.该三元二次方程所表示曲面的主径面为:XF1x,y,z+YF2x,y,z+ZF3(x,y,z)=0其中F1x,y,z=a11x+a12y+a13z+a14F2x,y,z=a21x+a22y+a23z+a24F3(x,y,z)=a31x+a32y+a33z+a34X,Y,Z是特征方程组(a11−τ)X+a12Y+a13Z=0a21X+a22−τY+a23Z=0a31X+a32Y+(a33−τ)Z=0的解，而τ是特征行列式a11−τa12a13a21a22−τa23a13a23a33−τ=0的解.由性质可知，三元方程F x,y,z通过配方得F x,y,z=a11(x+b1y+c1z+d1)2+a22y+c2z+d22+a33z+d32+k1=0.根据性质一，二次曲面的中心为方程组x+b1y+c1z+d1=0y+c2z+d2=0z+d3=0的解.由性质三，可以求出对称面的方程，设对称面的法向量ρ=(A,B,C)次曲面的中心为O x0,y0,z0,由此可得新坐标系的一条轴x′的方程为x=x0+AXy=y0+BYz=z0+CZ而新二次曲面的三条轴可以利用新坐标轴与原二次曲面的交点和O之间的距离来确定.由性质二可知，轴x′与二次曲面的交点所对应的参数r2=−F x0,y0,z0φ A，B，C若r2>0，对应的半长轴为：x′=r A2+B2+C2;若r2<0，对应的半轴长为a′=−r2A2+B2+C2,且当标准方程中右边是1或0，所对应的项是负项，因此可得如下化简方法：第一：利用配方法得:F x,y,z=a11x+b1y+c1z+d12+a22y+c2z+d22+a33z+d32+k2=0.第二，解方程组x+b1y+c1z+d1=0y+c2z+d2=0z+d3=0，求出二次曲面的中心O（x0,y0,z0)第三，由性质三求出二次曲面方程的三个对称面y′o′z′,z′o′x′,x′o′y′.第四，过中心O（x0,y0,z0)且垂直与三个对称面的直线为新坐标轴a′,b′,c′.由性质二可知，半长轴a′,b′,c′与二次曲面的交点所对应的参数分别为r i2=−F x0,y0,z0φA，B，C，(i=1,2,3)第五：若r i2>0,当标准方程的右边是1或0，所对应的项是正项.若r i2<0当标准方程的右边是1或0，所对应的项是负项.由此可得到二次曲面的标准方程.例：化简二次曲面方程x2+y2+5z2−6xy−2xz+2yz−6x+6y−6z+10=0.解：通过配方法可变形为：（x−3y−z−3)2−8(y+14z+14)2+29z−12+1=0由前面可知，该二次曲面方程是双叶双曲面.解方程组：x−3y−z−3=0y+14z+14=0z−1=0可知二次曲面的中心是O(1,-1,1).解特征方程1−zτ−3−1−31−τ1−115−τ=0得τ=6,3，-2.将三个值分别代入方程组1−τX−3Y−Z=0−3X+1−τY+Z=0X+Y+5−τZ=0解得三个对称面的方程为:x−2y−2z=0,x−y+z−3=0,x+y=0即新坐标方程的方向向量分别为:μ1=1,−1,2，μ2=1,−1,1，μ3=(1,1,0）而r12=−F1,−1,1φ1,−1,2=−19<0r22=−F 1，−1,1φ 1，−1,1=−136<0r32=−F 1，−1,1φ 1，−1,0=1>0即双叶双曲面的三个半长轴分别为:a′= −r12∙A12+B12+C12=1 6b′= −r22∙A22+B22+C22=1 3c′= −r32∙A32+B32+C32=1 2故二次曲面的标准方程为x ′21 6+y′213−z′212=−13.二次曲面方程的分类据以前的方法，二次曲面方程可以化简成十七种标准式F x,y,z=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44[1]x 2a2+y2b2+z2c2=1(椭球面)[2]x 2a2+y2b2+z2c2=−1（虚椭球面）[3]x 2a2+y2b2−z2c2=0（点或称虚母线二次锥面）[4]x 2a2+y2b2−z2c2=1（单叶双曲面）[5]x 2a2+y2b2−z2c2=−1（双叶双曲面）[6]x 2a2+y2b2−z2c2=0(二次锥面)[7]x 2a2+y2b2=2z(椭圆抛物面)[8]x 2a2+y2b2=2z(双曲抛物面)[9]x 2a2+y2b2=1(椭圆柱面)[10]x 2a2+y2b2=−1(虚椭圆柱面)[11]x 2a2+y2b2=0(交于一条实直线的一对共轭虚平面)[12]x 2a2−y2b2=1(双曲柱面)[13]x 2a2−y2b2=0(一对相交平面)[14]x2=2py(抛物柱面)[15]x2=a2(一对平行平面)[16]x2=−a2(一对平行的共轭虚平面)[17]x2=0(一对重合平面)4.评价“向量化”化简二次曲面方程，在空间中的一个直角坐标系下,二次曲面方程a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0上文中阐明了存在着一个由二次曲面方程中各系数表出的(自由)向量b,利用自由向量b不仅可以使得一般二次曲面方程的化简过程“向量化”,并且能够给出在化简过程中出现有关点的位置和数量的内在几何意义.“滤射变换”化简二次曲面方程，首先对二次曲面方程F x,y,z=0配方变形,利用直线与二次曲面相交时参数m的几何意义,以及滤射变换的性质,得到了二次曲面方程分类与化简的一种运算简单方便的方法.对于二次曲面的分类与化简,空间解析几何中,一般是首先确定二次曲面的对称面,使对称面为新坐标系的坐标面,然后通过坐标系的平移、旋转,把二次曲面方程分类并化简为标准方程，或者通过不变量进行分类、化简.这些方法要么运算复杂,要么无法确定图形的具体位置,然而本文的方法操作简单，化简过程易懂，是一种比较好的化简方法.5.创新—高维二次曲面下文将给出一个化简二次曲面方程的简便方法,使得化简二次曲面有了一个的创新的方法.a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0均可化简成:X′A X+αX+a44=0其中A=a11a12a13 a12a22a23 a13a23a33 X=xyzα=a14,a24,a34化简二次曲面方程的步骤如下:1、求出A的所有特征根β1,β2,β3,(非零),并求出非零特征根单位特征向量αi=(αi1,αi2,αi3)尤其,若秩(A)=0,则A仅有的非零特征根β1,单位特征向量可直接取为β1=a11+a22+a33,并且A的属于βi的单位特征向量可直接取为αi=（a11r ,a22r,a33r,）,r=a112+a122+a1322.若β1β2β3≠0，令α14=α1βi.αi′3.对每个非零特征根βi，算出a44-(β1α142+β2α242+β3α342)=ω4，将二次曲面方程化为:βi,(αi1x+αi2y+αi3z)2+ω4=02a142a24 2a34 a44-βiαi2α112α122α13α14=ω1ω2ω3ω4①若ω12+ω22+ω32≠0，则原二次曲面方程可化为：βi,(αi1x+αi2y+αi3z)2+ω4=0②ω12+ω22+ω32=0则原二次曲面方程可化为：βi(α11x+α12y+α13z+α14)2+ω4=0例1：化简二次曲面方程x2+y2+2xy+3x+y=0解:A=1111，则A的秩为1，β1=2，α1=22α13=α1β1,α1′=2a132a23a33β1α132α112α12α13=31−22222222=1−1−1故原方程化为：222+222=0标准方程为x′2=-2y′，其中x′=2（x+y+1），y′=2(x−y−1)显然这种化简二次曲面方程的方法对高维二次超曲面也适用.6.二次曲面方程的推广在前面二次曲面方程的探讨中，一直是在实数域上进行的.如果把实数域扩充为复数域或椭球面，则二次曲面方程的化简与分类将更为复杂，值得读者探讨.7.参考文献[1]空间解析几何引论.吴大任等编.人民教育出版社.[2]吕林根.解析几何学习辅导书[M].北京:高等教育出版社,2006.[3]席高文,刘晓君.二次曲线方程分类与化简的新方法[J].许昌师专学报,2001.[4]马世祥.二次曲线的三种分类方法分析[J].天水师范学院学报,2003.[5]方丽菁.无心二次曲线位置的确定[J].广西民族学院学报,2003,9(3).[6]车明刚,王海涛.关于非退化二次曲线定义的等价[J].绥化学院学报,2006.[7]裘旭浩.两条二次曲线不变量的一个应用[J].宁波大学学报,2006.[8]张泽相.解析几何讲义[M].上海:上海教育出版社,1984.[9]朱德祥.新编解析几何学[M].北京:人民教育出版社,1962.。
二次曲线方程的化简和作图
目录摘要 (2)关键词 (2)1引言 (2)2预备知识 (2)3二次曲线的分类 (4)4二次曲线方程的化简 (4)4.1中心二次曲线方程的化简 (4)4.2无心二次曲线方程的化简 (7)4.3线心二次曲线方程的化简 (10)参考文献 (12)英文题目 (12)英文摘要 (12)英文关键词 (12)二次曲线方程的化简与作图曾XX 2008111XXXX数学科学学院数学与应用数学专业 2008级汉班指导老师李XX摘要：二次曲线方程的化简是解析几何中的重难点之一，本文简单介绍了二次曲线方程的分类，将其分为中心、无心、线心曲线三类，并运用待定系数法与配方法相结合的方法，详细介绍了这三类曲线方程的化简，并举例进行了说明.关键词：二次曲线、方程、待定系数、化简1引言我们知道，在不同的坐标系下，同一点有不同的坐标，因而同一图形有不同的方程，方程的形式越简单，它的图形的几何性质就越明显.对于给定的图形，我们就需要选取合适的坐标系，使它的方程更简单，这就涉及到方程的化简问题.二次曲线方程的化简与作图是大学空间解析几何的重点内容之一，它也是解析几何中的一个难点.如何把二次方程代表的曲线化简并作图，以便更容易看出方程所代表的二次曲线的类型，确定曲线的性质、形状以及在坐标中的位置，这具有重要的意义。
纵观有关资料对此问题的研究与讨论，给出了以下几种二次曲线方程化简的方法：坐标变化法、主直径法、不变量与半变量法、参数法、配方法、正交配方法、因式分解法等，这些方法各有优劣。
本文经过深入分析有关二次曲线方程化简的知识，在已知二次曲线分类的基础上，通过对二次曲线化简后所得方程以及其图形形状的探索，运用待定系数法与配方法、因式分解法相结合的方法求出二次曲线方程化简过程中所要知道的未知量，从而求出简化方程，为学习二次曲线方程的化简提供了一定的指导.2预备知识定义1 在平面直角坐标系中，由二元二次方程221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++= (2221112220a a a ++≠) （1） 表示的曲线称为二次曲线.为了方便起见，引进下面一些记号：22111222132333(,)222F x y a x a xy a y a x a y a =+++++；1111213(,)F x y a x a y a =++； 2122223(,)F x y a x a y a =++； 3132333(,)F x y a x a y a =++；11122I a a =+；1112221122121222a a I a a a a a ==-； 1112133122223132333a a a I a a a a a a =. 定义2 把一个点对于某一坐标系的坐标变换为同一个点对于另外一个坐标系的坐标，这种变换称为坐标变换.设在直角坐标系xoy 里给定了两条互相垂直的直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=如果取直线1l 为新坐标的横轴''o x ，而直线2l 为纵轴''o y ，并设平面上任意点p 的旧坐标与新坐标分别是(,)x y 与''(,)x y ，则由点到直线的距离公式我们有''x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩去掉绝对值便有''x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (2)其中正负号的选取要使'x 中的x 与'y 中的y 的系数同号.3二次曲线的分类4二次曲线方程的化简4.1中心二次曲线方程的化简对于中心二次曲线方程的化简，实质上是把坐标轴变换到与二次曲线的对称轴（即主直径）重合的位置，坐标原点与曲线中心重合，因此，对中心二次曲线方程的化简，只要先求出曲线的两条互相垂直的主直径，然后以它们作为新坐标轴，作坐标变换即可化为最简单的形式.设中心二次曲线两条互相垂直的主直径分别a kx y +=与b x k y +-=1，则以主直径为新的x 轴、y 轴可以将原方程化0)1()(22=+-++--C b x ky B a kx y A的形式，这里理论上是可以求出待定系数的，但是比较麻烦，因此我们不妨从主直径入手，先求出主直径的方程，从而得出简化方程.二次曲线的特征方程为0-212=+I I λλ，其特征根为2422112,1I I I -±=λ，如果判别式04)(421222211221=+-=-=∆a a a I I ，那么2211a a =，012=a ，这时的中心曲线为圆（包括点圆、虚圆），它的特征根为一对二重根，)0(2211≠==a a λ，任何方向都是圆的渐进主方向，从而通过圆心的任何直线都是圆的主直径.如果特征方程的判别式04)(421222211221>+-=-=∆a a a I I ，那么特征根为两不等的非零实根1λ、2λ，则由特征根1λ与2λ确定的主方向分别为122211111211:)()(::a a a a Y X -=-=λλ， （3）122221121222:)()(::a a a a Y X -=-=λλ， （4） 从而曲线的主直径为0),(),(2111=+y x F Y y x F X 与0),(),(2212=+y x F Y y x F X ，从而我们可以将方程（1）化为0)],(),([)],(),([2221222111=++++C y x F Y y x F X B y x F Y y x F X A （5） 把他与方程（1）的系数作比较，从而可以求出待定系数C B A ，，的值.现在我们把直线0),(),(2111=+y x F Y y x F X 作为新坐标的x 轴，把直线0),(),(2212=+y x F Y y x F X 作为新坐标的y 轴，这里需要注意，一般我们常将斜率大于0的主直径作为新坐标的x 轴，以确保在旋转变换时，其转角θ为锐角.假设两主直径方程中，y x 、的系数分别为11B A 、与22B A 、，作变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=，，)],(),([1)],(),([121112121'22122222'y x F Y y x F X B A y y x F Y y x F X B A x （6）则二次曲线方程（1）可以化为0)()(2'21212'2222=++++C y B A B x B A A做适当变换即可得到下列五种曲线中的一种形式：[1]12222=+b y a x (椭圆)；[2] 12222-=+by a x （虚椭圆）；[3] 12222=-by a x （双曲线）；[4] 02222=+by a x （点或者相交于实点的共轭虚直线）；[5] 02222=-by a x （两相交直线）.例1 化简二次曲线方程01616854822=--+++y x y xy x ，并作出它的图形.解 因为0365228135821≠===+=I I ，，所以曲线为中心二次曲线，曲线的特征方程是03613-2=+λλ，解得两特征根为，，942,1==λλ因而由公式（3）与（4）知，曲线的两个主方向为）（2-:1)84(:2:11=-=Y X 1:28-9:2:22==）（Y X曲线的两主直径为0)852(2428=-+-++y x y x ）（与 0)852()428(2=-++++y x y x ， 即 052=+-y x 与02=+y x .设原方程可以化为0)2()52(22=++++-C y x B y x A ，与原方程系数比较可得365954-===C B A ，，，由（6），作变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=),52(51-),2(51''y x y y x x 则原方程可化为036942'2'=-+x y ，化为标准方程得1942'2'=+y x ， 这是椭圆，图形如图一所示4.2无心二次曲线方程的化简由二次曲线的分类我们知道无心二次曲线可以化为02''132''22=+x a y a 的形式，设对任意给定的无心二次曲线方程可以表示为：0)()(2=+-+++b y kx B a ky x A的形式，展开得0)()2()2(22222=++-+++++bB A a y B aAk x Bk aA y Ak Akxy Ax ，将其待定系数与方程（1）对比，我们可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+==,,22,22,22,33223131211a bB A a a B aAk a Bk aA a kA a A 解之得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-+-+=+-=++==,,))((2)()(,2,,112122112311131211223121311112212211332122112311131211212211231213111112a A a a a a a a a a a a a a a a a b a a a a a a a B a a a a a a a a a k （7） 现在我们分别把直线0=++a ky x 与直线0=+-b y kx 作为新坐标的x 轴、y 轴，同样的，一般我们常将斜率大于0的直线作为新坐标的x 轴，以确保'x 轴与x 轴的夹角为锐角。
解析几何中的二次曲面方程
解析几何中的二次曲面方程在解析几何中，二次曲面是指满足二次方程的曲面。
它们可以是平面、圆锥曲面、圆柱曲面、椭球面、双曲面、抛物面等各种曲面。
在本文中，我们将主要探讨二次曲面方程的一些基本性质和解法。
首先，我们来看一下二次曲面方程的形式。
二次曲面方程的形式一般地，二次曲面的方程可以写成如下形式：Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是常数。
该式的形式比较复杂，不便于直接分析，所以我们需要通过一些方法将其化简。
二次曲面方程的化简化简二次曲面方程的常用方法有以下几种。
1. 移项将方程左右两边同时加上或减去某一项，使方程中的一项可以消去。
例如：Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0可以移项为：Ax² + Dxy + Gx + By² + Fyz + Hy + Cz² + Exz + Iz + J = 02. 合并同类项将方程中的同类项合并，减少方程中的项数。
例如：Ax² + Dxy + Gx + By² + Fyz + Hy + Cz² + Exz + Iz + J = 0可以合并同类项为：A(x² + y²) + B(y² + z²) + C(z² + x²) + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 03. 正交变换通过正交变换，将二次曲面旋转、平移或缩放成为标准形式。
常用的标准形式包括：点(x,y,z)在平面上的情形、点(x,y,0)在柱面上的情形、点(x,y,0)在双曲面的情形等。
二次曲面方程的解法在化简完二次曲面方程后，我们可以采用以下方法求解方程。
二次曲线的不变量分析
矩阵分别为 a11 A a12 b1
a12 a22 b2
b1 b2 , c
A0
a11 a12
a12 , a22
定义 I1, I2, I3 如下:
I1 = a11 + a22 , I2 = |A0| = a11a22 a122 , I3 = |A|.
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3.1 二次曲线的(半)不变量
可逆线性变量替换(3.14) 也可用矩阵表示为
x y
C0
x y
d1 d2
,
或
x x y C y. 1 1
其中
C0
c11 c21
分别称为二次曲线 F(x, y) = 0 的第一、第二、
第三不变量.
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3.1 二次曲线的(半)不变量
命题 3.3 设 F(x, y) 经过可逆线性变量替换 (3. 14) 变为F (x, y) , 以 I1, I2, I3 记 F (x, y) = 0 的不变量, 则
§3 用系数判别二次曲线类型
3.1 二次曲线的不变量、半不变量 3.2 用不变量法判别二次曲线的类型
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§3 用系数判别二次曲线类型
转轴和移轴的方法只能在右手直角坐标系中 判断二次方程表示的曲线类型. 对于在一般仿射 坐标系中的方程 F (x, y) = 0 表示的二次曲线, 必 须先确定它在某个右手直角坐标系中的方程 F (x, y) = 0, 然后按转轴和移轴进行判别.
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3.1 二次曲线的(半)不变量
(2) 当 C0 是正交矩阵时, |C| = |C0| = 1, 根据(1)的证明, 可得 I2 = I2, I3 = I3.
一般二次曲线的化简与分类
例 化简二次曲线方程下x2+4xy+4y2+12x-y+1=0 ,写出坐标变换公式并画出它的图形。
解 由于I2=1×4-22=0,曲线是非中心型的,应先转轴后移轴。 1、设旋转角为θ,则有
得 tan =-1/2 或 tan =2 取 tan =2(若取 tan =-1/2 ,同样可将原方程化简),则有：
解 因为I2＝<0,所给的二次曲线是双曲型的.
中心方程组
2x3y100,
解得中心坐标为 (－ 2,2) .作移轴3变x换2y100.
原方程化为
再作转轴变换 ， 得旋转角为 .故转轴变换为
x x 2,
y
y
2,
x23xyy210
cot2θ 1310 x
1 ( x y ), 2
4
y
1 ( x y ). 2
4、转轴变换公式 ：
x
2 x 5
1 y , 5
y
1
x
2
y .
y y"
y'
5
5
代入,可将方程化简为
x"
标准方程是 6x2 y2 12 O'
这是一个椭圆,如图所示.
2
2
O"
x'
x2 y12 1 作图要中点坐：标要系比O-较xy准平确移地到画(2,出1)成新O旧'-坐x'y标',再系把和坐曲标线系的O图'-形x'y,'必旋须转掌角握得好O比"-x例"y、".在新新旧坐原O 标点系的O位"-置x"以y"及中坐根标据轴椭的圆旋的转标角准.本方x 题程
6.3利用不变量化简二次曲面方程
0 a22 00
0 0 a11a22 0
(4)当二次曲面（6.1-1）是第Ⅳ类曲面时,那么有
I3 I3 0, I4 I4 0, I2 I2 0
a11 0 0 a11 0 0 0 0 a24
K2
K
' 2
0
0 a24 0 0 0 0 0 0 a11a242 0
6.3.3 应用不变量化简二次曲面的方程
Simplifying the equation of a quadratic surface
by invariants
这里应用二次曲面的四个不变量与两个半不变量来化简
二次曲面的方程.
定理3 二次曲面（6.1-1）当且仅当：
(1)是第Ⅰ类曲面时, I3 ≠0,方程化简为
0 00
a11 0 0 0
0 I4 I4 0
a22 0
0 0
0 a34
a11a22a342 0
0 0 a34 0
(3)当二次曲面（6.1-1）是第Ⅲ类曲面时,那么有 I3 I3' 0, I4 I4' 0
I2
I2
a11 0
0 a11 a22 0
现在介绍如何应用二次曲面的不变量来判别二次曲面的 类型。容易知道：
(1)当二次曲面（6.1-1）是第Ⅰ类曲面时,那么有
a11 0 0 I3 I3 0 a22 0 a11a22a33 0
0 0 a33
(2)当二次曲面（6.1-1）是第Ⅱ类曲面时,那么有
a11 0 0 I3 I3 0 a22 0 0
6.3 利用不变量化简二次曲面方程
Using invariant to simplify equations of quadratic surfaces
应用不变量简化二次曲面的方程
应用不变量简化二次曲面的方程一f删No,:9|西北轻工业学院Dec.1995 JOURNALOFNORTHWESTINSTITUTEOFLIGHTR4DUSTRYV o1.13 应用不变量简化二次曲面的方程张慧(敦学教研室)摘要末文研究了R’空间(欧氏空间)二次曲面在坐标变换下的不变量.应用不变量简化了R空间二次.盐面的一般方程.谈法简单,出结果快,容易掌握. 关键词:三连堕鱼;丕童量;垩皇兰;堑堑翌参;特征根中圈法分类号:O182.11前言应用不变量来简化二次曲面的方程在三维空间已经有了—套完整的理论.而四维以上空间都是抽象空间,那套理论是否还适用就有待于进一步研究.本文利用线性代数理论研究了R’空间二次曲面在坐标变换下的不变量,并利用这些不变量将二次曲面的—般方程化成标准形.2二次曲面在坐{岳}变换下的不变量与半不变量这里的坐标变换指的是广义的平移+旋转.在R空间,二次曲面的—般方程是:口】】}+】12+2a1ts+2d】1.+2aI】+船l+嚣2a+2az?+2a22+口ai+2a”￡.+2as+口.{+.+a=0(1)其中a,,J=l,2,3.4,5是实数.引进一些记号:0l,z2,z3,’)三a】li+2a11z:-t-2aII￡3-t-2a1】.+2a15z】+≈￡l+2d22z5+2a:..+2a25z2+as3i+2a”3.+2a3s+a|.z}2a4’+口昨10I’2,¨?)三1l+口】:+1s+14+d】5收稿日期,1g95—08一l.第d期张慧;应用不变量简化二伏曲面的方程?93? F20l,02,3,’)三dll+.22+.嚣I+.24+d25F3l,2,I,’)兰Ⅱl+.22+.”I+a34:r4+d惦F’l,2,03,4)三nll+.2z+a34Z$+d”4+d.5F50I’2,.a,￡4)兰n1l+a25xz+a~zs+a45x+.B50l,￡2,3,￡’)兰dll}+ll2+l!Z3+ll~+anzi+2s3+22￡’+d3a￡;+34+d_id1ldl2dI3d】2d22d2315d∞n”d1’d”d34:A=dlldl2d15dl’dm5dI2d22d2ad24d25al3d豁口”d3_d35_d2’ad”d45【.’..”【...a.a55f表示Ial的所有m阶主子式之和,m一1,2,3,4即f1=dl】+.匏+.33+a4413z++K5=dlldI2dI3dl1d12d1.dI2d黯d荔口l2d拦dd2ad3IdI4d2d●’d1lⅡl2dt5 d12ad15da$5d22d嚣d25 d2sd33d35 d25d35dfi$ d1ld”dI5d1zd跎拈013%dnld35++++4d筠d55d拄d笛d2’dl1dIIdI4dndaI“dl3d3ada4d2’da_ d”dI_dsd”dIl13”l5 dI3d3,ddI5da5d晒d2zd2●d25 d2’d”d拍d25d45a55 +++d22d鹞a24 d23d黯a”d”d|’a”dz6d35a’5 dIldI’dlEa拍a3Id3sd25d35d45d$fidI_dd3’a44dI5d15d|5d55d35d5d55口嚣口口+口口L’口口+ n”¨¨口口口口un罅”口口口口吐”口口口a ll2Z口口口口11+如口口口口+v’r口口;穹口口+Ⅱ●口口dll卜;■】5d口口==,?94?西北轻工业学院第l3卷先证明在移轴下,+口1]4l24H口l6口4224244z54l4424口”口4l54口45 口+口ll 口】3 4lt4l5 口】3 口”4”43’口】’4s’4”4”口15 435 4’4陆rz,f3,f?,不变,而K,K,K—般是要改变的】=Yl-+-口2+b3-+-cY?+d其中a,b,c,d为实常数将F(-’I2)写成矩阵形式0l,z,s,?)一0】:3.1)A故F(l+4,+6,3+c,y4+)(】+口2+63+cy.+d1)=(ly03’0)+(ly:3’0)Y1s1l+Y2+6Y3+.y?+d1+bcd1)+(4cd1)口1]4】2口13口¨】(口,b,c,) 4】2a22口232,6,c,d)4】s器33s’F3(4,b,c,d)aH4z4¨Ⅱ44F’(4,b,c,d)F】23.(目,b,c,d)l2aY?1lz3?ljSJl(2)(3)(4)其中F一F.0,bd)m一1,2,3,4可见通过移轴(2),二次曲面的方程二次项系数不变,丽f,f,f,,只与二次项系数有0口6C1第4期张慧:应用不变量简化=歇曲面的方程?95?关,所以移轴后有,一,m=l,2,3,4口11Ⅱ】2Ⅱ222ⅡL323Ⅱt’Ⅱz’tF2口】3口”口25口2’Ⅱ33Ⅱ3IⅡ”Ⅱ44F3F.61L口十口】十Ⅱ1sc++ⅡI6Ⅱt2a十口226+23c+Ⅱ+嚣Ⅱt十z36+33C十3十35口1+a24b+3’c十口.+’5(口,b,c,d)ⅡI3口】4口15口23Ⅱ2●口2.5口53Ⅱ”Ⅱ35Ⅱ”Ⅱ4’口46aIF5(口,b,c,d)即移轴后Js也不变.通过移轴还知二次曲面方程一次项的系数一般要改变,而,,.都与一次项系数有关,所以K,K,K—般是要改变的.由(4)知,只要适当选取a扣,c,,方可消去方程(4)中的一次项.事实上,令只要该方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等,(这里不讨论两秩不相等的情况),方程组有解,可选其中一组作为(,6).此时方程化为dt1{+2aI2l2+2aI蚶】3十2aI’II十口啦f;+哪r23十z’+口33;+砖.十j+z2,3,)=(j231)口口j23‘lO口一():)=(叩.)一因为p-L’P与’相似,根据定理:相似矩阵有相同的特征多项式从而有相同的特征根,知P』4.P与’有相同的特征多项式和特征根.l一l=一,j十,z一,3+,I加一PAP;=一』十,一,十,辑1aI1:l1i2一i2l3一I3,t.一I|,5一{口』4口l—l0llAli口l—l口～llll口l={』4}:可见,在转轴下,|,,,』3,一,,s都不变.不g两个四次多项式对应系数应相等.计算这些系数便可得=,:z,一,这表明在转轴下,,都不变第4期张慧应用不变量简化二狄曲面的方程?97?我们称,,,,,,j,』为上述变换下的不变量,称K,Kz,K,为上述变换下的半不变量.3二次曲面的分类二次曲面(1)通过坐标变换可以化为下面三种类型(I)1i+口{+口;+口?i+口,55=001口≠0) (I)口l{+口l+口-…22a?=001口5≠0) (Ⅲ)其它,(由于篇幅限制,不予讨论) 4应用不变量简i~-T-次曲面的方程(1)对于(I),因为,=口lld22口弛d44=口11a口a口?≠0所以原方程,.≠0.由此可得:当二次曲面(1)的14≠0时,方程可化为(1).此时,,1=,=口1+口+口+口44』2=,一1口,J-口3+口口?+口1口+口1d+口4,3=,一口l口+口口3d’+口】口3口44+口la?二次曲面(1)的特征方程是:一I1+I2好一f+ll=0将(7),(8),(9)代E方程解得一口ll=口,=口,=‘因为』5=,=口1口44U=,=,所以口55=15/l于是(,)可写成:,.…+i+;十{+=0‘‘其中,,,丑为二次曲面(1)的四个特征根.(2)对于(I),因为,.=,5口100000口00000口000000口,.50000=一口5d1口一艘,33≠0(7)(8)(9)0≠11,”●叫和4,13411?98?西北轻工业学院第l3卷所以原的.=0,,,≠0,,≠0.由此可得,当二次曲面(1)的,.一0,,.≠0,,s≠0时,方程可化为(Ⅱ).此时,J一,=d+d+d,2=,:d】d+d0+d1d13:,:口】d2d二次曲面(1)的特征方程是:一0l+2+d)+(d1”+d2d3+d1d3)一d】d2Ⅱ3=0一d】,:d,A=a,丑=0因为,5一,:一dld=--13as所以n一土于是(I)可写成:1+2十3+2z’一1—0化成标准形式.解二次曲面的矩阵与(r,z,rs,z)的矩阵分别是: 0ll—l1l0一ll11——1011——111011lll1—3≠O01l—l—l11—1一ll0l10+II+II+II+I:I一一sr,V0—0l1.十卜010+0ll=第d期张慧:应用不变量简化二次曲面的方程?9g? 0一l11l0+—045.}=315}【1』1【0j卜【_l口t9O—ll0ll400O5=l0336O005—2l3O360一一,V?1O0?西北轻工业学院第l3卷参考文献1江苏师范学院数学系编.解析几何.北京:高等教育出版社,19952北京大学数学力学系代数小组编.高等代数.北京:人民教育出版社,19783高立芳.东北电力学院,1993,2 APPLICATIONOFFIXEDQUANTITIESTOTRANSFORM QUADRATICSURFACEEQUATIONSINT0 STANDARDEQUATIONSABs1’RACJInthispaper.thefixedquantitesofquadiaticsurfaceinfour—dimensionalspace asllldie0underthecoordinatetrantformationApplicationoffixedquantitiestotr ans—frIT1.lJadraticsHrfaceequationsintostandardequations-Theexpressiongive nissimpleaadacceptable.Keywords:quadralicsurface;fixedquantity{orthogonaltransfor--mation;cha ract.,tiemljltinomia1.,characteristlevalue。
数学专业毕业论文_二次曲线方程的化简及应用
二次曲线方程的化简及应用作 者：。
0 引言二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是《解析几何》课程教学的一个难点.文献[1]给出的化简方法（坐标变换法和不变量法）各有优缺点，具有一定的局限性.为此，文献[2-4]利用参数法将坐标变换和主直径有机地结合起来，给出方程化简第一种较简便的方法；文献[5]和文献[6]从坐标变换下二次曲线方程系数变化规律入手，给出了第二种新的化简方法；文献[7]借助多项式可约性及因式分解给出第三种化简方法；文献[8]和文献[9]分别利用矩阵理论及六元非线性方程给出了另外两种化简方法.但文献给出的化简方法均未涉及到方法之间的内在联系.本文归纳总结了二次曲线方程的一般化简方法，进一步探讨了坐标变换法和不变量法的内在联系，在文献[2]的基础上通过进一步论证，又得到了三个新的定理，并借助实例，探究了这种方法在问题过程中的具体应用. 1 预备知识 1.1 定义[]1定义1 在平面上,由二次方程()22111222132333,2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= （*）所表示的曲线,叫做二次曲线[]1.定义2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线;没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线;有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线.无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线[]1.定义 3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标,这种变换称为坐标变换[]1.定义4 由曲线方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,它的函数值不变,就称这个函数是该曲线的一个正交不变量,简称不变量.定义5 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径. 1.2 直角坐标变换下二次曲线方程的系数变化规律 1.2.1 移轴对二次曲线方程系数的影响规律[]1二次曲线方程（*）在移轴公式'0'0x x x y y y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩下,其中(,)x y 表示平面内一点P 的旧坐标,(,)x y ''表示P 点的新坐标, (,)x y ''表示新坐标系的原点在旧坐标系下的坐标,二次曲线方程系数分别为:'''111112122222'1311012013100'2312022023200'3300,,(,)(,)(,)a a a a a a a a x a y a F x y a a x a y a F x y a F x y ====++==++==由此可知系数变化规律为： 1）二次项系数不变；2）一次项系数变为),(22001'13y x F a =,),(22002'23y x F a =；3) 常数项变为),(00'33y x F a =. 根据上述规律，通过计算可以得到：'1'22'1122111I a a a a I =+=+=，'22'12'22'112122211221212112I a a a a a a a a a a I =-=-==,33323132322121312113I a a a a a a a a a I '==.1.2.2 转轴对二次曲线方程系数的影响规律[]1二次曲线方程(*)在转轴公式''''cos sin sin cos x x y y x y αααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩下,其中, α为坐标轴的旋转角. 二次曲线方程系数分别为：33'332313'232313'1322212211'22121122'1222212211'11cos sin sin cos cos 2sin sin 2cos 2sin )(21sin 2sin cos a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-=+=+-=+-=++=αααααααααααα由此可知系数变化规律为：1）二次项系数的变化仅与原方程的二次项系数和转角有关；2）一次项系数的变化仅与原方程的一次项系数和转角有关，特别是，当原方程无一次项时，转轴后也无一次项；二次曲线方程的化简及应用3）常数项不变.根据上述规律，通过计算可以得到：'1'22'1122111I a a a a I =+=+=，'22'12'22'1121222112I a a a a a a I =-=-=2 二次曲线方程的化简方法 2.1 参数法若(,)0F x y =（0222212211≠++a a a ）为中心二次曲线，其中心为),(000y x P 则过),(000y x P 的任一直线的参数方程为()00cos 0sin x x t y y t ααπα=+⎧≤<⎨=+⎩ 将上式代入(,)0F x y =得：2()(,)0o o t F x y λα+=其中22111222()cos 2cos sin sin a a a λααααα=++引理[]21 设(,)0F x y =)0(222212211≠++a a a 为中心二次曲线若()λα定号：当0),()(<o o y x F αλ时，二次曲线为实椭圆，方程可化简为1)()(min2'max 2'22=+t yt x 当()0,)(00>y x F αλ时，二次曲线为虚椭圆；当()00,0F x y =时，二次曲线为点椭圆.若)(αλ变号：当0),()(<o o y x F αλ时，二次曲线为双曲线，方程可化简为'2'222min max1()()x y t t -=当0),(=o o y x F 时，二次曲线为两相交直线. 例1 化简二次曲线方程01656522=-++y xy x .解 由于01635522>=-⨯=I ,故二次曲线为椭圆型中心曲线.解⎩⎨⎧=+=+0530350000y x y x 得 ⎩⎨⎧==0000y x 即二次曲线的中心为坐标原点. 设过中心的任一直线的参数方程为cos (0)sin x t y t ααπα=⎧≤<⎨=⎩，其中t 为参数．将参数方程代入二次曲线的原方程得222(5cos 6cos sin 5sin )160t αααα++-=令22()5cos 6cos sin 5sin 53sin 2λαααααα=++=+ 当22πα=，即max ()84παλα==时，，当232πα=，即min 3()24παλα==时，， 故2816)(8216)(min 22max 22=--===--==t b t a ，， 即原方程化简为1282'2'=+y x .2.2 不变量法[]5引理[]12 如果0,032≠≠I I , 则二次曲线（*）为中心曲线，那么它的方程总可以化简为'2'231220I x y I λλ++= (012>a ) 其中，1λ,2λ为二次曲线特征方程的两个根.如果0,032≠=I I , 则二次曲线（*）为无心曲线，那么它的方程总可以化简为210I y '±= 如果0,032==I I ,则二次曲线（*）为线心曲线，那么它的方程总可以化简为'21110K I y I += 其中，33232322331313111a a a a a a a a K +=例2 (1) 化简22442210x xy y x y -++--=. 解 由题意可得123121125,0,241124111I I I --====--=---- 所以二次曲线为无心曲线,由不变量法知可化简为'2'50y ±=.即'2'y x =或'2'y x =.二次曲线方程的化简及应用(2)021*******=+-++-y x y xy x解 由题意可得 45215551235231,45123231,2321-=----=-=--==I I I 所以二次曲线为中心二次曲线， 而主方向特征方程为0212=+-I I λλ,即04522=--λλ, 所以252121=-=λλ 故由不变量法可知二次曲线可化简为 02522=+'+'-y x(3) 0124422=+-++-y x y xy x解 由题意可得 012112112124,01224,5321=----==--==I I I 所以二次曲线为线心二次曲线, 又415121211111433232322331313111=--+=+=a a a a a a a a K所以由不变量法可化简为 04352=+'y用不变量法化简二次曲线，可直接由公式得到化简方程,计算比较简单，但无法确定二次曲线在坐标系中的确切位置,故还不能直接由此做出图形,仍需要进一步的确定计算.2.3 坐标变换法[]72.3.1 利用系数的影响规律化简方程[]1当02≠I 时，二次曲线()*为中心二次曲线，其中心00(,)x y 满足⎩⎨⎧++=++=230220122130120111),(),(a y a x a y x F a y a x a y x F o o o o 根据移轴对二次曲线方程系数的影响规律，若取00(,)x y 为坐标原点，则二次曲线方程可化简为：02'332'22''122'11=+++a y a y x a x a其中),(,00'332211'22'11y x F a a a a a =+=+由此可知中心二次曲线的化简一般是先移轴后转轴.当02=I 时，即（*）为非中心二次曲线,如果012≠a 时，取转角α满足12221122cot a a a -=α， 使得0)sin (cos cos sin )(22121122'12=-+-=ααααa a a a 从而消去方程中的交叉项，由此可知非中心二次曲线的化简一般是先转轴后移轴. 例3 化简024222=--++-y x y xy x ,并作出几何草图.解 因0434111212112≠=-=--=I ,故曲线为中心二次曲线.解11021202x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩ 得000,2x y ==, 取(0,2)为坐标原点,作移轴''2x xy y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 根据移轴对系数的影响规律，可将方程化简为 '2'''260x x y y -+-=再作转轴消去''y x 交叉项,令022cot 122211=-=a a a α， 取,4πα=得cos αα==二次曲线方程的化简及应用作转轴 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧''+''=''-''=)(21)(21''y x y y x x经转轴后曲线的方程化为：0623212''2''=-+y x 图形如下图1对于坐标变换法,一般需先求旋转角,算出转轴公式,再代入二次曲线的方程,算出新方程的系数,然后再移轴,确定图形位置,虽然方法简单,但计算量大,且灵活性较强，不易掌握.2.3.2主直径法[]1对于中心二次曲线,我们取它的一对既共轭又互相垂直的主直径作为坐标轴，则方程可化为''2''2'1122330a x a y a ++=.对于无心二次曲线,取它的唯一主直径为'x 轴,而过顶点(即主直径与曲线的交点)且与非渐近主方向为方向的直线(即过顶点垂直与主直径的直线)为'y 轴建立坐标系.则方程可化为''2''221320a y a x +=.对于线心二次曲线,我们取它的中心直线(即曲线的唯一直径也是主直径)为'x 轴,任意垂直它的直线为'y 轴建立坐标系.则方程可化为''2'22330a y a +=.例 4 化简2222220x xy y x y -++--=,并做出草图. 解 因为123111112,0,111011112I I I --====--=---所以曲线为线心曲线.故有唯一的直径即中心线，其方程为10x y -+=取它为新坐标系的'x 轴，再取任意垂直于此中心线的直线0x y +=为新坐标系的'y 轴，作坐标变换，这时的变换公式为''x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解,x y 得''''122212x x y y y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入已知方程，经过整理得'2230y -=.即'y =或'y =.二次曲线方程的化简及应用显然用坐标变换法化简二次曲线的方程，计算量大，但能做出几何图形. 下面将探究坐标变换法和不变量法的内在联系,给出了三个新定理及证明,使二次曲线的化简计算量小,同时还能快速做出图形. 2.4 主要结果的证明及应用 2.4.1主要的定理及证明定理1 []12 二次曲线（*）为非圆时，在坐标变换''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 下方程总可以化简为:'2'231220I x y I λλ++= 其中),(o o y x 为中心坐标，)2,0(2cot 21122211πα∈-=a a a arc 且1212()0a λλ->, 12,λλ是特征方程2120I I λλ-+=的特征根.二次曲线(*)为圆时,在坐标变换⎪⎩⎪⎨⎧+=+=0''y y y x x x 下方程总可以化简为 0232'222'11=++I I y a x a 其中),(o o y x 为中心坐标.证明 将坐标变换公式y x ,代入二次曲线方程(*)得到'''(,)0F x y =， 经整理，系数变为:),(cos ),(sin ),(sin ),(cos )(cos 2sin sin 2cos 2sin )(21sin 2sin cos '3321'232,1'1322212211'22121122'1222212211'11o o o o o o o o o o y x F a y x F y x F a y x F y x F a a a a a a a a a a a a a =+-=+=+-=+-=++=αααααααααααα 因为),(o o y x 为二次曲线的中心,所以12(,)0,(,)0o o o o F x y F x y =='1312(,)cos (,)sin 0o o o o a F x y F x y αα=+=0cos ),(sin 2'23=+=ααo o y x F a .由于转角)2,0(2cot 21122211πα∈-=a a a arc ,且此时有αα2sin )(2cos 2221112a a a -= )]cos 2sin sin ()sin 2sin cos [(2)(2222122112221221112122211ααααααa a a a a a a a a a +--++='-' ()]2sin 22cos [212221112ααa a a a +-=()αα2sin 42cos 2212221112a a a a +-=()02sin ]4[21222211>+-=αa a a即方程最终可化为:0'332''222''11=++a y a x a又2'22'1112211'22'11,I a a I a a a a ==+=+，根据根与系数的关系得'22'11a a 与是特征方程2120I I λλ-+=的两根，且1212()0a λλ->.令2'221'11,λλ==a a 则12,λλ分别是二次曲线的特征根.由于),(o o y x 是中心坐标,且22312131102232213120,I a a a a y I a a a a x -=='3301023(,)(,)(,)(,)o o o o o o o o a F x y x F x y y F x y F x y ==++13023033a x a y a =++121311131112132333222312231222232a a a a a a a a a a a a a a a I I I -+==因此非圆的中心二次曲线方程在坐标变换''''0cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩下总可以化简为'2'231220I x y I λλ++=. 当二次曲线为圆时,同理可证曲线方程总可以化简为0232'222'11=++I I y a x a . 定理1证毕.定理2[]7 无心二次曲线(,)0F x y =()012≠a 在坐标变换二次曲线方程的化简及应用''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 下方程总可以化简为'2'10I y -= 其中),(00y x 为二次曲线的顶点，1112tan a a α=-,且cos α与12a 同号.证明 将y x ,代入二次曲线方程（*）中， 曲线方程可化简为:''2'''''2'''''1112221323332220a x a x y a y a x a y a +++++=因为1112tan a a α=-且cos α与12a 同号，可得cos αα==将1112tan a a α=-代入''1122,a a 得 ()1112222222212211'11tan 2tan cos sin cos sin 2cos a a a a a a a ++=++=ααααααα2cos 1112111221211222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=a a a a a a a α()'222211122222111222sin sin 2cos cos tan 2tan a a a a a a a αααααα=-+=-+2212111111122222111212122a a a a a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=⋅--⋅-+ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1122a a =+)12()()1cos 2(cos sin )(2cos 2sin )(212122112121221221112212211111112212112212112212=-+++⋅+-⋅-=-+-=+-='a a a a a a a aa a a a a a a a a a a ααααα'13100200(,)cos (,)sin a F x y F x y αα=+212211112302212212211121312011)()(a a a a y a x a a a a a y a x a o o +⋅++-+⋅++=22112132223131222311212211231113122a a aa a a a a a a a a a a a ++--=+-=== 由于()00,x y 是顶点，故1110012200(,)(,)0a F x y a F x y +=,所以'23100200122001110012(,)sin (,)cos cos [(,)(,)]a F x y F x y a F x y a F x y a ααα=-+=+ 0=0'33=a因此无心曲线方程在坐标变换''0''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩下总可以化简为'2'10I y -= 定理2证毕.定理3[]7 线心二次曲线(,)0F x y =在坐标变换''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 下方程总可以化简为:'21110K I y I += 其中13230011221122,a a x y a a a a =-=-++，1112tan aa α=-且cos α与12a 同号.二次曲线方程的化简及应用证明 将y x ,代入二次曲线方程(*) 曲线方程可化简为0222'33''23''132''22'''122''11=+++++a y a x a y a y x a x a由于转角为1112tan a a α=-.由定理2的证明过程可知 ''1122112210,a a a a I ==+=由于13230011221122,a a x y a a a a =-=-++代入可得),(132211231222111311130120111=++-++-=++=a a a a a a a a a a y a x a y x F o o,232211232222111312230220122=++-++-=++=a a a a a a a a a a y a x a y x F o o ）（所以0'23'13==a a .'333001302303322132333112211221113222313332333112211(,)a F x y a x a y a a a a a a a a a a a a a a a a a a K I ==++--=+++++=+=因而线心曲线方程在坐标变换''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩下总可以化简为 '21110K I y I += 2.4.2主要结果的应用举例例5 求曲线012656522=-+-+-y x y xy x 的简化方程并做出草图.解 因为01653351021≠=--==I I ，,即二次曲线为中心二次曲线.由⎩⎨⎧=++=--01530335000y x y x 得中心坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==17717600y x 由1222112cot 21a a a arc -=α知，取4πα=，则 21cos ,21sin ==αα又481131533353-=----=I , 故3164823-=-=I I . 又因为.0312<-=a 即由定理1知21λλ<而21,λλ又是特征方程016102=+-λλ的两根，所以8221==λλ，.所以曲线方程在坐标变换()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=1772117621''''y x y y x x 下可化简以为03822'2'=-+y x图形如下二次曲线方程的化简及应用图3例6 求二次曲线01610222=+--+-y x y xy x 简化方程并做出草图. 解 123115112,0,11364,11531I I I ---====--=----即曲线为无心曲线.由定理4知1211tan a a -=α且cos a 与12a 同号，故 21sin ,21cos -=-=αα由()()()00002200000015130210610x y x y x x y y x y ⎧-⋅--+⋅-+-=⎪⎨-+--+=⎪⎩得顶点坐标为001212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 因为0112<-=a ，由定理2知''1122a a <即''112211220,2a a a a ==+=所以曲线的方程在坐标变换''''1212x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩下可以化简为.03222'2'=±x y即'2'y =或'2'.y =-图形如下图4例7 化简2244210x xy y x y -++-+=并做出草图.解 由于012112112124,01224,5321=----==--==I I I ,故为线心二次曲线. 由定理3知 0011,,510x y =-= 又由2tan 1211=-=a a α且cos α与12a 同号知 52sin ,51cos -=-=αα433121211111433232322331313111=--+=+=a a a a a a a a K所以曲线的方程在坐标变换''''15110x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩下总可以化简为'23504y +=图形如下图5结束语二次曲线方程的化简是大学空间几何研究的重点内容之一,且对二次曲线内容的教学有非常重要的指导作用.本文就二次曲线方程的化简与作图,介绍了五种方法,分别是二次曲线方程的化简及应用参数法、不变量法、坐标变换法、主直径法、与上述四种方法相比较稍微简单的一种新方法.本文通过归纳以上前四种方法之间的联系,即从应用不变量法来化简方程与应用移轴、转轴来作图,给出一种相对于前四种方法更为简洁的方法,得出三个新定理的证明及具体应用.本文通过借鉴国内二次曲线方程化简与作图的方法,寻找它们之间的联系,找到一种即易于化简又易于作图的方法,从而告诉我们,思维要善于发散,对于同一道题,要应用不同的方法进行解答,再从所有的解法中找出一种最简便的方法,同时这对深入研究中学数学数学二次曲线也提供了相应的指导.本文针对所查文献资料给出的四种方法进行归纳,并结合这四种方法给出一种既易于二次曲线方程的化简又易于作图的简便方法.这种新方法是否就是最简单的方法还有待于进一步考证.二次曲线是中学平面解析几何的重点内容之一,是高考的一个热点,也是教师的教和学生的学的一大难点.如何更好地把大学空间解析几何里的研究二次曲线的相关内容与高中二次曲线的内容有机地结合起来,更好地指导中学二次曲线的教学,为学生的学习提供相应的帮助是一个值得进一步去研究的方法.今后可在不同的几何观点下去研究二次曲线的相关问题,而用高观点去指导中学有关内容的教学.参考文献[1] 吕林根,许子道.解析几何[M].北京:高等教育出版社,1987.[2] 张卯.化简二次曲线方程的一种简捷方法[J].周口师专学报,1996,13(4):11-16.[3] 翟娟,席芳渊.参数法化简二次曲线方程[J].中学数学教学,1994,(4):24-25.[4] 苏婷.二次曲线方程化简[J].陕西师范大学继续教育学报,2006,23:247-249.[5] 文开庭.二次曲线的一种化简方法[J].毕节师专学报,1995,(2):66-71.[6] 林梦雷.二次曲线方程的化简[J].漳州师范学院学报,1999,12(1):22-26.[7] 席高文,刘晓君.二次曲线方程分类与化简的新方法[J].许昌师专学报,2001,20(2):6-13.[8] 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应用不变量化简四维欧式空间中二次曲面的方程
应用不变量化简四维欧式空间中二次曲面的方程刘坤; 任润润; 任晓娜【期刊名称】《《陇东学院学报》》【年(卷),期】2019(030)002【总页数】6页(P1-6)【关键词】二次曲面方程; 不变量; 半不变量; 化简【作者】刘坤; 任润润; 任晓娜【作者单位】陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳 745000; 西北师范大学教育学院甘肃兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O182.1众所周知，二次曲线方程和二次曲面方程的化简是解析几何中的主要问题之一，对其已经有了较为系统的研究[1-6]。
借助不变量和半不变量可以简化二次曲面的方程[7-12]，现有教材仅对二维欧式空间中二次曲线和三维欧式空间中二次曲面的不变量和半不变量进行了研究[13-14]。
关于三维以上欧式空间中二次曲面不变量的研究首见于2015年张海芳所写的《R4中二次曲面的不变量》一文[15]；该文给出了四维欧式空间中二次曲面的不变量和半不变量的定义，得到了在四维欧式空间中二次曲面有5个不变量和3个半不变量的重要结果，但应用这些不变量和半不变量来简化四维欧式空间中二次曲面方程的研究尚未见到。
本文根据不变量和半不变量取值的不同情形对此问题做了一些讨论，得到了四维欧式空间中二次曲面在6种情形下的简化方程的一般形式，并就各种情形给出了算例。
1 定义及相关记号通常，称所表示的曲面为四维欧式空间中的二次曲面方程。
(1)其矩阵的形式为(2)下面给出本文要用到的一些记号：F1(x1,x2,x3,x4)≡a11x1+a12x2+a13x3+a14x4+a15,F2(x1,x2,x3,x4)≡a12x1+a22x2+a23x3+a24x4+a25,F3(x1,x2,x3,x4)≡a13x1+a23x2+a33x3+a34x4+a35,F4(x1,x2,x3,x4)≡a14x1+a24x2+a34x3+a44x4+a45,F5(x1,x2,x3,x4)≡a15x1+a25x2+a35x3+a45x4+a55,Φ1(x1,x2,x3,x4)≡a11x1+a12x2+a13x3+a14x4,Φ2(x1,x2,x3,x4)≡a12x1+a22x2+a23x3+a24x4,Φ3(x1,x2,x3,x4)≡a13x1+a23x2+a33x3+a34x4,Φ4(x1,x2,x3,x4)≡a14x1+a24x2+a34x3+a44x4,Φ5(x1,x2,x3,x4)≡a15x1+a25x2+a35x3+a45x4.显然可得如下两个恒等式F(x1,x2,x3,x4)≡x1F1(x1,x2,x3,x4)+x2F2(x1,x2,x3,x4)+x3F3(x1,x2,x3,x4)+x4F4(x1,x2,x3,x4)+F5(x1,x2,x3,x4),Φ(x1,x2,x3,x4)≡x1Φ1(x1,x2,x3,x4)+x2Φ2(x1,x2,x3,x4)+x3Φ3(x1,x2,x3,x4)+x4Φ4(x1,x2,x3,x4)，一般地,称F(x1,x2,x3,x4)的系数排成的矩阵为二次曲面(1)的矩阵(或称为F(x1,x2,x3,x4)的矩阵),而由Φ(x1,x2,x3,x4)的系数所排成的矩阵A*称为Φ(x1,x2,x3,x4)的矩阵。
二次曲面方程的标准化及其图形实质
(b1′ , b2 ′ )=( B Tη 1,
2 2 ( BTη BTη 2) +( 3))
( 5)
根据定理 1 与定理 2 , 我们有以下结论 。 定理 3 : 空间中任意二次曲面方程经过 一次旋转变 换 和一次平移变换总可以化为标准方程 。 定理 4 : 已知曲面 ∑ 的方程 F (x , y , z )=0 先通过 一 次旋转变换 σ: X = PX 1 p 11 p 12 p 13 x x1 , X 1 = y1 z1 , 这里矩阵 P = p 21 p 22 p 23 , X = y
cos θ -sin θ =Λ
而 B PQ =B T ( η Q 1 η 2 η 3)
第 3 期 贡韶红 : 二次曲面方程的标准化及其图形实 质 的列向量 。 示什么曲面 ? 0 解: 这里矩阵 A = 1 1 1
· 51 ·
0 1 , 解特征方程 λ E -A
1 1 0 =0 , 得 λ 1 =2 , λ 2 =λ 3 =-1 同前 , 可求得矩 阵 A 对应 于 λ 1 =2 , λ 2 =λ 3 = -1 的 单位正交特征向量 1 1 1 T 1 1 , , , - ,0 ,η 2= 3 3 3 2 2 1 1 2 T , , η 3 =η 1 ×η 2= 6 6 6 1 1 1 3 2 6 η 1= 构造矩阵 P = 1 3 1 3 x 作旋转变换 y z 形
2 λ ′ x 1 +b 2 ″ y1 1 x 2 +b 1
其中 b′ = PE 0 下 , 曲面方程也变换为标准形 +c = 0 , 这里(b 1 ′ , b 2′ )=( B η 1,
T T 2 T 2
( B η B η 2) +( 3) ) 证明 : 显然这里 X = PX 1 是旋转变换 。 记矩阵 P = (η 1, η 2,η 3) , 1 0 则 P A P =P
二次曲线的化简性质及应用1
a11 a22 , I2
a11 a12
a12 ,
a22
a11 I3 a12
a13
a12 a22 a23
, a13
a23 a33
K1
a11 a13
a13 a22 a33 a23
a23 a33
例 2 求二次曲线
5x2 6xy 5y2 6 2x 2 2 y 4 0
的简化方程.
解 因为 I1 =10
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2 二次曲线的性质
2.1 二次曲线的曲率
在解析几何中,我们学习了曲线论,知道曲线在平面中的一些性质, 我们学习了如何用曲线的主直径,渐近线,渐进方向和曲线的中心来刻 画曲线的性质.而在微分几何中我们进一步学习了曲线在空间中的性 质,我们用曲率 4 来刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度.我们知道二 次曲线的三大代表类型有椭圆、抛物线、双曲线,现在我们由曲率来 推导一些二次曲线的性质.
61
f E A 1
6
6 1
7
5
即 A 的特征值 1 7 , 2 5
当 1 7 , 2 5 时 A 的特征向量分别为1 1,1 ,2 1,1
单位化得
1
1, 2
1 2
,
2
1, 2
1 2
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1
以 1, 2 为列向量作正交矩阵 Q
2 1
2
1
2
,
x 2 - 5 y =0.
因此,上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线的方法,实际上
是把坐标轴变换与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置.如果
是中心曲线,坐标原点与曲线的中心重合；如果是线心二次曲线,坐标
5.3二次曲线方程的化简与分类
数为二次曲线的半不变量.
定理5.3.1 在直角坐标变换下，二次曲线（5.1） 有三个不变量I1，I2，I3与一个半不变量K1. 证明 把直角坐标变换式（5.15）代入二次曲线 方程（5.2）得
T
M X0 T 1 X0 B a33 I3.
T
0
A
T
B a33
M 0
X0 1
1 B
B a33
所以是二次曲线 的不变量.
把旋转坐标变换式（5.17）代入二次曲线方程 （5.2）得：
F x , y X
T
M T 1 0
0 A T 1 B M
. （两重合直线）
(9) y 2 0
证明 根据定理5.3.1，考虑二次曲线的三个简
化方程的系数的各种不同情况： 情况1 中心曲线：
1 x 2 y
2 2
I3 I2
0
. 异号时，方程
(1)
当 I2
1 2 0
2 2
而I3与
.
I 1 1 2
可化为： x
a
T
B a33
2 2 a13
所以,
2 a1 3
I3 2
I3 I1
(1) 当 a13 0 时， I 3 0 ，曲线是无心曲线， X 对（5.23）式作平移坐标变换： X X . 其 中： a a
0
X
x , y
0
0
不变量法化简二次曲面
不变量法化简二次曲面摘要：二次曲面的化简是一项复杂又高难度的工作.本文主要总结了计算简便易掌握的不变量法，即运用变量和不变量化简二次曲面的方法，并举例讲解方法.关键词：二次曲面；化简；不变量二次曲面是解析几何的重点内容，也是高等代数这一模块中重要的二次型理论的经典应用.我们往往通过化简其方程，判别二次曲面的类型，并确定其几何形状.化简二次曲面，是二次曲面一般理论中最重要的内容，也是难点所在.坐标变换法（正交变换）是化简二次曲面方程普遍常用的方法，但是由于相关高等代数理论抽象难懂，计算过程复杂，课堂教学显得很是困难.在欧式坐标系中，二次曲面存在着许多不变量，总结归纳不变量关系与二次曲面标准方程之间联系，由此来进行化简.1二次曲面定义1 在三维空间中，用三元二次方程来表示的曲面称为二次曲面.设二次曲面的一般方程为：（1.1）.二次曲面方程中的常用记号：将的二次项部分记为，将的系数排成矩阵，叫做二次曲面的矩阵..2不变量法化简二次曲面定义2 二次曲面的标准方程：无法再使用平移、旋转变换进行化简的方程.即满足以下三者的方程：1）方程中不包含交叉项xy，xz，yz；2）若方程中存在某一坐标的二次项，就不存在这一坐标的一次项；3）若方程中只存在某一坐标的一次项，且此时其中不存在.在高等代数课程中，有一个重要理论，称为二次型理论.二次型理论告诉我们，通过求解矩阵的特征方程，求相应特征根，最后得到唯一的标准形.这也就是我们常常所说的正交变换.二次曲面方程中也有相应的二次型矩阵，从而二次曲面便能用此变换化简，在这里不加以展开.在变换中我们发现，二次曲面方程在直角坐标变换后，方程虽然发生了一定变化，但是决定二次曲面的几何特征的性质却没有任何变化，那些不变的性质我们可以采用不变量来刻画.这种不变量可以用二次曲面方程的系数来表达.我们称，不因直角坐标变化而发生改变的量为正交不变量.正交不变量在解析几何研究中十分重要的一项，为二次曲面和二次曲线的化简有着尤为重要的作用，下面我将证明二次曲面中的不变量.引理1.是二次曲面的不变量.即是正交不变量.推论1.二次曲面的特征方程和特征根在任意直角坐标变换下都不变.引理2.和在转轴变换下不变，称为半不变量.引理3.给定二次曲面方程（1）当时，是不变量；（2）当时，是不变量.任意一个二次曲面方程在选取适当的直角坐标变化后可以被分为5大类别，表示为化简的五个方程之一，下面我们利用二次曲面在转轴变化下的不变量与半不变量对二次曲面进行化简.定理1.不变量得简化方程：（1）当时，简化方程为；（2）当时，简化方程为；（3）当时，简化方程为；（4）当时，简化方程为；（5）当时，简化方程为.其中表示非零特征根.证明：从略.例1：化簡下面二次曲面方程，并判断出它为何种二次曲面.解：二次曲面的矩阵，分别计算不变量，得，，，.特征方程为，特征根为：，，.又由，所以二次曲面的简化方程为：，该曲面为椭圆柱面.例2：化简二次曲面方程.解：二次曲面的矩阵，分别计算不变量，得，，，由故二次曲面为中心二次曲面，特征方程为，特征根为：，，又所以二次曲面的简化方程为：，这是一个旋转双叶双曲面.不变量法化简二次曲面方程与二次曲线方程的化简非常相似，其实本质也就是将二维空间的一般讨论推广到三维空间.利用不变量，我们可以简捷地判别所给二次曲面方程属于何种类型，写出其简化方程，并判别它的形状，计算简便，易于掌握.参考文献[1]李养成.空间解析几何（新版）.北京：科学出版社，2007.[2]吕子根，许子道.解析几何（第四版）.北京：高等教育出版社，2006.。
二次曲面方程化简方法
二次曲面方程化简方法探讨[摘要] 三元二次方程表示的是三维空间的二次曲面,如果能选择适当的坐标系将三元二次方程化为标准形式,该二次曲面的形状也就容易判定了。
空间解析几何中给出了由旋转或平移化简二次曲面方程的方法,但是旋转所采用的坐标变换却不容易求得。
而旋转的作用恰好是将二次型化为标准型,于是可以借助二次型的知识化简二次曲面方程。
本文介绍了将一般二次曲面方程化为标准方程的几种常用方法。
[关键词] 二次曲面方程标准方程正交变换合同变换偏导数二次曲面的一般方程为:一般二次曲面或是基本类型二次曲面,共9种;或是退化二次曲面,共5种;或是无轨迹(虚图形),共3种。
为了便于判定以一般方程给出的二次曲面方程的类型,有必要把一个二次曲面的一般方程化为标准方程。
二次曲面的标准方程:1)没有坐标的交叉项xy,xz,yz;2)如果有某个坐标的二次项,就没有这个坐标的一次项;3)如果有某个坐标的一次项,就没有其他坐标的一次项,并且这时方程的左边不再有常数项。
满足上述3个条件的二次曲面方程称为标准方程。
[1]定理1:任意二次曲面(1)通过适当的的旋转,都可以使新坐标系中不再含有形如的交叉项,即在新的坐标系中方程化为:(a,b,…,d)为新的系数,为新坐标)[1]定理2:对于不含交叉项xy,xz,yz的二次曲面方程:可以适当的坐标变换进一不化简,使它成为如下5种方程之一: 定理1,定理2给出了化简一般二次曲面方程的一般步骤:第一步:将一般二次曲面方程中的交叉项去掉,即将方程中的二次项部分化为平方和;第二步:将新的只剩平方项、一次项、常数项的方程化为标准方程。
注:第一步消去方程中的交叉项实质上是将方程中的二次项部分化为标型(二次型→标准型),而问题的关键就在这一步,于是问题转化为:先求实二次型的标准型,再作一次可逆线性替换。
遵循以上两步,应用二次型的知识,可以用如下几种方法化简一般二次曲面方程:一、正交变换法:使它成为有平方项的二次齐次式,有了平方项后,集中含有某一个有平方的变量的所有项,然后配方,对剩下的两个变量进行同样的变形,化成平方项后,再经过可逆线性变换就得到标准型。
二次曲线方程的化简
二次曲线方程的化简一、平面坐标变换1.移轴和转轴：如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x', y')，则移轴公式为或式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为或式中α为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵.2. 一般坐标变换公式为或3.设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0,其中A1A2＋B1B2＝0，如果取l1 为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x'，y'), 则有其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的.二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响1．在移轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数不变；（2）一次项系数变为 2F1(x0, y0)与 2F2(x0, y0)；（3）常数项变为F(x0, y0).从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失.2．在转轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数一般要改变. 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关.（2）一次项系数一般要改变. 新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关. 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项.（3）常数项不变. 从而当二次曲线方程中a12≠0时，选取旋转角α，使,则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失.三、二次曲线的方程化简1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴.例1．利用移轴与转轴, 化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.（1）5x2＋4xy＋2y2－24x－12y＋18＝0；（2）x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0；（3）5x2＋12xy－22x－12y－19＝0；（4）x2＋2xy＋y2＋2x＋2y＝0.解：（1）因为I2＝＝6≠0，所以曲线为中心曲线，由解得中心为(2, 1)，作移轴变换代入曲线原方程，整理得5x'2＋4x'y'＋2y'2－12＝0.由ctg2α＝，即,得 tgα＝－2，tgα＝.不妨取tgα＝，则由图5-1可得sinα＝，cosα＝,作转轴变换代入上述化简方程得6 x"2＋y"－12＝0.即.（如图5-2）.（2）因为I2＝＝0，故曲线为无心曲线，由ctg2α＝＝0,得α＝.作转轴变换代入原方程，整理得＝ 0,配方得＝0.作移轴变换得到x"2＋y"＝0, 即x"2＝－y". （如图5-3）.（3）因为I2＝＝－36≠0，所以曲线是中心曲线，由,得中心 (1, 1)，作移轴变换代入原方程，整理得5x'2＋12x'y'－36＝0.由ctg2α＝, 即,解得tg α＝－，tg α＝.不妨取tg α＝，则由图5-４可得sinα＝，cosα＝,作转轴变换代入上述方程整理得9 x"2－4y"2＝36,即.（如图5 – 5）.（４）因为I2＝＝0，故曲线为线心曲线，由ctg2α＝＝0,得α＝，作转轴变换代入原方程，整理得＝0, 配方：. 作移轴变换就有x"2＝, （如图5- 6）.2. 利用转轴来消去二次曲线方程的xy项，其几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置.如果二次曲线的特征根确定的主方向为，则由得，所以.因此通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上就是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置. 如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合. 因此二次曲线方程的化简，也可以先求出二次曲线的主直径，以它作为新坐标轴，作坐标变换即可.例2. 以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，写出相应的坐标变换公式，并作出图形.（1）8x2＋4xy＋5y2＋8x－16y－16 ＝0；（2）x2－4xy－2y2＋10x＋4y ＝0；（3）4x2－4xy＋y2＋6x－8y＋3＝0；（4）4x2－4xy＋y2＋4x－2y＝0.解：（1）因为I1＝8＋5＝13，I2＝＝36≠0，故曲线为中心曲线，特征方程为λ2－13λ＋36＝0,解之得λ1＝4，λ2＝9，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝－1:2，X2 : Y2＝2:1.由于F1(x, y)＝8x＋2y＋4，F2(x, y)＝2x＋5y－8，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为x－2y＋5＝0, (x')2x＋y＝0, (y')得坐标变换公式为从而有正变换公式（注意此变换的系数矩阵就是上一变换矩阵的转置矩阵）代入原方程并整理得9 x'2＋4y'2－36＝0,即.同时 cosα＝，sinα＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，由图6-7可得tgα＝，从而可确定α并作出图形，如图5-8.（２）因为I1＝1－2＝－1，I2＝＝－6 ≠0，故曲线为中心曲线，特征方程为λ2＋λ－6＝0.解之得λ1＝2，λ2＝－3，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝－2: 1，X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝x－2y＋5，F2(x, y)＝－2x－2y＋2，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为2x－y＋4＝0, (x')x＋2y－3＝0, (y')得坐标变换公式为从而有正变换公式代入原方程并整理得－3 x'2＋2y'2－1＝0.即－.同时sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，如图5—10.（3）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0,,故曲线为无心曲线，特征方程为λ2－5λ＝0,解之得λ1＝5，λ2＝0，由λ1确定的非渐近主方向X1 : Y1＝－2: 1，由λ2确定的渐近主方向为X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝4x－2y＋3，F2(x, y)＝－2x＋y－4，，从而由λ1确定的唯一主直径为2x－y＋2＝0,将它取为O'x'轴，由解得曲线的顶点为，过它且垂直于2x－y＋2＝0的直线方程为x＋2y＋＝0,将它取为轴O 'y'，得坐标变换公式为，从而有正变换公式代入原方程并整理得5y' 2 －x'＝0.即y' 2 ＝x'.同时sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝, 如图5-12.（4）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0, ，故曲线为线心曲线，特征方程为λ2－5λ＝ 0,解之得λ1＝5，λ2＝0，由λ1确定的非渐近主方向X1 : Y1＝－2: 1，由λ2确定的渐近主方向为X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝4x－2y＋2，F2(x, y)＝－2x＋y－1，从而由λ1确定的唯一主直径为2x－y＋1＝0,将它取为O'x'轴，过原点与它垂直的直线x＋2y＝0取为O'y'轴，得坐标变换公式为从而有正变换公式代入原方程并整理得5y' 2 －1＝0,即y' 2 ＝.同时 sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝,如图5-14.四、二次曲线的分类1.不论采用哪种方法化简方程，尽管所化简的曲线方程其形式可能不一致，但它们所刻划的几何图形相对于原坐标系而言是完全一致的.2.适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个：(I) 中性心线：a11x2＋a22y2＋a33＝0，a11a22≠ 0；(II)无心曲线： a22y2＋2a13 x＝0，a22a13≠ 0；(III) 线心曲线： a22y2＋a33＝0，a22≠ 0.3.二次曲线以上三种简化方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：(I) 中性心线：[1] ＝ 1 (椭圆)；[2] ＝－1 (虚椭圆)；[3] ＝ 1 (双曲线)；[4] ＝ 0 (点或称两相交于实点的共轭虚直线)；[5] ＝ 0 (两相交直线)；(II) 无心曲线：[6] y2＝2px (抛物线)；(III) 线心曲线：[7] y2＝a2 (两平行直线)；[8] y2＝－a2 (两平行共轭虚直线)；[9] y2＝ 0 (两重合直线).例3. 试证中心二次曲线ax2＋2hxy＋ay2＝d的两条主直径为x2－y2＝0，曲线的两半轴的长分别是及.证明：因为曲线为中心曲线，所以I1＝a＋a＝2a，I2＝＝a2－h2 ≠ 0, a ≠±h,特征方程为λ2－2aλ＋(a2－h2)＝ 0,解之得λ1＝a＋h，λ2＝a－h，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝1: 1，X2 : Y2＝－1: 1,由于F1(x, y)＝ax＋hy，F2(x, y)＝hx＋ay，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为x＋y＝0, (y') x－y＝0, (x')即曲线的两条主直径为x2－y2＝0. 将它们分别取作O'y'轴与O'x'轴，得坐标变换公式为从而求得正变换公式代入曲线原方程整理得（依题意d ≠0）,即.所以两半轴长分别为和.例4. 已知≠0，且a1 a2＋b1 b2＝0，试求二次曲线(a1x＋b1y＋c1)2＋(a2x＋b2y＋c2)2＝1的标准方程与所用的坐标变换公式.解：因为a1 a2＋b1 b2＝0，所以直线a1x＋b1y＋c1＝0 与a2x＋b2y＋c2＝0互相垂直，分别取为O'y'轴与O'x'轴，得坐标变换公式为[其中a i, b i (i=1,2)不全为0]式中正负号的选取使得第一式中x的系数与第二式中y的系数相同，代入原方程得.由a1 a2＋b1 b2＝0 知λ≠ 0则a1＝λb2，b1＝－λa2，从而,注意到a2，b2不全为0，≠ 0, 代入得＝1,或令λ'=≠ 0，有＝1.作业题：1. 试证在任意转轴下，二次曲线新旧方程的一次项系数满足关系式.2. 利用坐标变换方法或主直径方法，化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.(1) 2xy－4x－2y＋3＝0；(2) 5x2＋8xy＋5y2－18x－18y＋9＝0；(3) x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0;(4) x2－3xy＋y2＋10x－10y+21＝0;(5) x2－xy＋y2＋2x－4y＝0；(6) x2+6xy＋y2＋6x+2y－1＝0；(7) x2－2xy＋y2＋2x－2y－3＝0；(8) x2+2xy＋y2＋2x＋y＝0.。
第3讲_二次曲面方程的化简
第1节 二次型的概念 节 第2节 二次型的矩阵处理 节 第3节 二次曲面的化简 节
第3节 二次曲面的化简 节
二次曲面的一般形式为 若令 并记 则二次曲面方程可写为 因 A 为实对称矩阵，所以存在正交变换的x=Py，使得 其中 当的正交变换，消 去二次曲面中的交叉项，化为如下形式 这样再对上式作一次平移变换就能将其化为易于判断形状的 标准方程了。 例：化二次曲面 为标准方程，并判断此二次曲面是什么形状。 解：令
则原方程可写为
求得 A 的特征值与特征向量
若记
即有 若令
则有
这是一个椭圆抛物面。 这是一个椭圆抛物面。
二次曲面方程化简方法
二次曲面方程化简方法探讨[摘要] 三元二次方程表示的是三维空间的二次曲面,如果能选择适当的坐标系将三元二次方程化为标准形式,该二次曲面的形状也就容易判定了。
空间解析几何中给出了由旋转或平移化简二次曲面方程的方法,但是旋转所采用的坐标变换却不容易求得。
而旋转的作用恰好是将二次型化为标准型,于是可以借助二次型的知识化简二次曲面方程。
本文介绍了将一般二次曲面方程化为标准方程的几种常用方法。
[关键词] 二次曲面方程标准方程正交变换合同变换偏导数二次曲面的一般方程为:一般二次曲面或是基本类型二次曲面,共9种;或是退化二次曲面,共5种;或是无轨迹(虚图形),共3种。
为了便于判定以一般方程给出的二次曲面方程的类型,有必要把一个二次曲面的一般方程化为标准方程。
二次曲面的标准方程:1)没有坐标的交叉项xy,xz,yz;2)如果有某个坐标的二次项,就没有这个坐标的一次项;3)如果有某个坐标的一次项,就没有其他坐标的一次项,并且这时方程的左边不再有常数项。
满足上述3个条件的二次曲面方程称为标准方程。
[1]定理1:任意二次曲面(1)通过适当的的旋转,都可以使新坐标系中不再含有形如的交叉项,即在新的坐标系中方程化为:(a,b,…,d)为新的系数,为新坐标)[1]定理2:对于不含交叉项xy,xz,yz的二次曲面方程:可以适当的坐标变换进一不化简,使它成为如下5种方程之一: 定理1,定理2给出了化简一般二次曲面方程的一般步骤:第一步:将一般二次曲面方程中的交叉项去掉,即将方程中的二次项部分化为平方和;第二步:将新的只剩平方项、一次项、常数项的方程化为标准方程。
注:第一步消去方程中的交叉项实质上是将方程中的二次项部分化为标型(二次型→标准型),而问题的关键就在这一步,于是问题转化为:先求实二次型的标准型,再作一次可逆线性替换。
遵循以上两步,应用二次型的知识,可以用如下几种方法化简一般二次曲面方程:一、正交变换法:使它成为有平方项的二次齐次式,有了平方项后,集中含有某一个有平方的变量的所有项,然后配方,对剩下的两个变量进行同样的变形,化成平方项后,再经过可逆线性变换就得到标准型。
二次曲线的不变量i3证明
二次曲线的不变量i3证明二次曲线的不变量i3是指二次曲线的三次齐次项系数，可以用来判断二次曲线的类型和性质。
对于一般的二次曲线方程Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，不变量i3可以通过以下公式计算：i3 = A*C*E + 2*B*D*F - A*F^2 - C*D^2 - E*B^2其中，A、B、C、D、E、F分别表示二次曲线方程的各项系数。
下面我们来证明这个不变量i3确实是二次曲线的不变量。
证明：考虑一个二次曲线的方程Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，我们希望证明对于任意的二次曲线变换，不变量i3保持不变。
假设有一个二次曲线变换，将原二次曲线方程变换为新的二次曲线方程A'x'^2 + B'x'y' + C'y'^2 + D'x' + E'y' + F' = 0。
我们需要证明的是：A'C'E' + 2*B'D'F' -A'F'^2 -C'D'^2 -E'B'^2 = A*C*E + 2*B*D*F - A*F^2 - C*D^2 - E*B^2首先，我们知道二次曲线变换可以表示为如下的矩阵乘法形式：[[x'], [y']] = [[a, b], [c, d]] * [[x], [y]] + [[h], [k]]其中，[[a, b], [c, d]]为二次曲线变换的线性部分矩阵，[[h], [k]]为平移部分的向量。
将上述二次曲线变换代入新的二次曲线方程，得到：A'(ax + by + h)^2 + B'(ax + by + h)(cx + dy + k) + C'(cx + dy + k)^2 + D'(ax + by + h) + E'(cx + dy + k) + F' = 0展开后可得：(A'a^2 + B'ac + C'c^2)x^2 + (2A'ah + B'(ad + bc) + 2C'dk + D'a + E'c)xy + (A'b^2 + B'bd + C'd^2)y^2 + (2A'ah + B'(bd + bc) + 2C'ck + D'b + E'd)x + (2A'ak + B'(ad + bc) + 2C'dk + D'c + E'd)y + (A'h^2 + B'hk + C'k^2 + D'h + E'k + F') = 0比较新旧二次曲线方程的各项系数，我们可以得到如下对应关系：A' = A'a^2 + B'ac + C'c^2B' = 2A'ah + B'(ad + bc) + 2C'dk + D'a + E'cC' = A'b^2 + B'bd + C'd^2D' = 2A'ah + B'(bd + bc) + 2C'ck + D'b + E'dE' = 2A'ak + B'(ad + bc) + 2C'dk + D'c + E'dF' = A'h^2 + B'hk + C'k^2 + D'h + E'k + F'接下来，我们将上述对应关系代入不变量i3的公式中进行计算：i3' = A'*C'*E' + 2*B'*D'*F' - A'*F'^2 - C'*D'^2 - E'*B'^2代入对应关系并展开后，可以得到：i3' = (A'a^2 + B'ac + C'c^2)(A'b^2 + B'bd + C'd^2)(2A'ak + B'(ad + bc) + 2C'dk + D'c + E'd) + 2(2A'ah + B'(ad + bc) + 2C'dk+ D'b + E'd)(2A'ah + B'(bd + bc) + 2C'ck + D'b + E'd)(A'h^2 + B'hk + C'k^2 + D'h + E'k + F') - (A'h^2 + B'hk + C'k^2 + D'h + E'k + F')^2 -(2A'ah + B'(bd + bc) + 2C'ck + D'b + E'd)^2 -(2A'ak + B'(ad + bc) + 2C'dk + D'c + E'd)^2通过对i3'进行化简和展开，可以发现其等于i3，即不变量i3在二次曲线变换下保持不变。
第六章 二次曲面的一般理论
第六章 二次曲面的一般理论教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类.研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念二次曲面: 在空间,由三元二次方程022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1）所表示的曲面.虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号≡),,(z y x F 44342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φz a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φz a y a x a z y x 3323133),,(++≡Φ z a y a x a z y x 3424144),,(++≡Φ即有恒等式成立: ≡),,(z y x F ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x zF z y x yF z y x xF +++),,(),,(),,(),,(321z y x z z y x y z y x x z y x Φ+Φ+Φ≡Φ二次曲面),,(z y x F 的系数矩阵: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=44342414343323132423221214131211a a a a a a a a a a a a a a a a A 而由),,(z y x Φ的系数矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲面（1）的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1z y x F ，),,(2z y x F ，),,(3z y x F ，),,(4z y x F 的系数。
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不变量法化简二次曲面
徐晓利摘要：二次曲面的化简是一项复杂又高难度的工作.本文主要总结了计算简便易掌握的不变量法，即运用变量和不变量化简二次曲面的方法，并举例讲解方法.关键词：二次曲面；化简；不变量二次曲面是解析几何的重点内容，也是高等代数这一模块中重要的二次型理论的经典应用.我们往往通过化简其方程，判别二次曲面的类型，并确定其几何形状.化简二次曲面，是二次曲面一般理论中最重要的内容，也是难点所在.坐标变换法（正交变换）是化简二次曲面方程普遍常用的方法，但是由于相关高等代数理论抽象难懂，计算过程复杂，课堂教学显得很是困难.在欧式坐标系中，二次曲面存在着许多不变量，总结归纳不变量关系与二次曲面标准方程之间联系，由此来进行化简.1二次曲面定义1在三维空间中，用三元二次方程来表示的曲面称为二次曲面.设二次曲面的一般方程为：（1.1）.二次曲面方程中的常用记号：将的二次项部分记为，将的系数排成矩阵，叫做二次曲面的矩阵..2不变量法化简二次曲面定义2二次曲面的标准方程：无法再使用平移、旋转变换进行化简的方程.即满足以下三者的方程：1）方程中不包含交叉项xy，xz，yz；2）若方程中存在某一坐标的二次项，就不存在这一坐标的一次项；3）若方程中只存在某一坐标的一次项，且此时其中不存在.在高等代数课程中，有一个重要理论，称为二次型理论.二次型理论告诉我们，通过求解矩阵的特征方程，求相应特征根，最后得到唯一的标准形.这也就是我们常常所说的正交变换.二次曲面方程中也有
相应的二次型矩阵，从而二次曲面便能用此变换化简，在这里不加以展开.在变换中我们发现，二次曲面方程在直角坐标变换后，方程虽然发生了一定变化，但是决定二次曲面的几何特征的性质却没有任何变化，那些不变的性质我们可以采用不变量来刻画.这种不变量可以用二次曲面方程的系数来表达.我们称，不因直角坐标变化而发生改变的量为正交不变量.正交不变量在解析几何研究中十分重要的一项，为二次曲面和二次曲线的化简有着尤为重要的作用，下面我将证明二次曲面中的不变量.引理 1.是二次曲面的不变量.即是正交不变量.推论 1.二次曲面的特征方程和特征根在任意直角坐标变换下都不变.引理2.和在转轴变换下不变，称为半不变量.引理3.给定二次曲面方程（1）当时，是不变量；（2）当时，是不变量.任意一个二次曲面方程在选取适当的直角坐标变化后可以被分为5大类别，表示为化简的五个方程之一，下面我们利用二次曲面在转轴变化下的不变量与半不变量对二次曲面进行化简.定理1.不变量得简化方程：（1）当时，简化方程为；（2）当时，简化方程为；（3）当时，简化方程为；（4）当时，简化方程为；（5）当时，简化方程为.其中表示非零特征根.证明：从略.例1：化簡下面二次曲面方程，并判断出它为何种二次曲面.解：二次曲面的矩阵，分别计算不变量，得，，，.特征方程为，特征根为：，，.又由，所以二次曲面的简化方程为：，该曲面为椭圆柱面.例2：化简二次曲面方程.解：二次曲面的矩阵，分别计算不变量，得，，，由故二次曲面为中心二次曲面，特征方程为，特征根为：，，又所以二次曲面的简化方程为：，这是一个
旋转双叶双曲面.不变量法化简二次曲面方程与二次曲线方程的化简非常相似，其实本质也就是将二维空间的一般讨论推广到三维空间.利用不变量，我们可以简捷地判别所给二次曲面方程属于何种类型，写出其简化方程，并判别它的形状，计算简便，易于掌握.参考文献[1]李养成.空间解析几何（新版）.北京：科学出版社，2007.[2]吕子根，许子道.解析几何（第四版）.北京：高等教育出版社，2006.（作者单位：武警警官学院）文章来源于：世界家苑。