2011年高考数学陕西理(word版含答案)

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2011年高考数学辽宁文(word版含答案)

【选择题】【1】．已知集合{1},={-1<<2},A x|x >B x =则⋂=AB ( ).（A ）{|12}x x -<<（B ）{|1}x x >- （C ）{|11}x x -<< （D ）{|12}x x << 【2】．i 为虚数单位，3571111+++=i i i i （）. （A ）0 （B ）2i （C ）-2i （D ）4i【3】．已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k =（）. （A ）-12 （B ）-6 （C ）6 （D ）12 【4】．已知命题p ：21000,nn >∃∈N,则⌝p 为（）.（A ）21000nn ∀∈≤N, （B ）21000n n ∀∈>N, （C ）21000nn ∃∈≤N, （D ）21000n n ∃∈<N,【5】．若等比数列{}n a 满足116n n n a a += ，则公比为（）.(A)2 (B)4 (C)8 (D)16 【6】．若函数()(21)()xf x x x a =+- 为奇函数,则a =（）.(A)12 (B) 23 (C) 34(D) 1 【7】．已知F 是抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（）. (A)34 (B) 1 (C)54 (D)74【8】．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如下图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( ).(A)4 (B) 【9】．执行下面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是（）.(A) 8 (B) 5 (C) 3 (D) 2【10】．己知球的直径4SC =，,A B 是该球球面上的两点，AB =2,45ASC BSC ∠=∠=, 则棱锥S ABC -的体积为( ).【11】．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（）.（A ）（-1，1）（B ）（-1，+∞）（C ）（-∞，-1）（D ）（-∞，+∞）【12】．已知函数π()tan()(0,),()2f x A x y f x ωϕωϕ=+><=的部分图像如下图，则π()24f =( ).(A)2(C)3(D) 2【填空题】【13】．已知圆C 经过()5,1(1,3)AB ，两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为___________.【14】．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：ˆ0.2540.321yx =+.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元. 【15】．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,26S S =,41a = ，则5a =____________.【16】．已知函数()e 2x f x x a =-+有零点，则a 的取值范围是____________.【解答题】【17】．ABC ∆的三个内角A,B,C 所对的边分别为,,,a b c 2sin sin cos a A B b A +=.（I ）求b a；（II ）若222c b =，求B . 【18】．如下图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，12QA=AB =PD . （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；（II ）求棱锥Q -ABCD 的体积与棱锥P -DCQ 的体积的比值.【19】．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验，选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中．随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙.(Ⅰ)假设n =2，求第一大块地都种植品种甲的概率；(Ⅱ)试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位kg ／hm 2)如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种? 附：样本数据12,,,n x x x 的样本方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎣⎦，其中x 为样本平均数. 【20】．设函数2()ln ,f x x ax b x =++曲线()y f x =过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2. （I ）求,a b 的值；（II ）证明：()2 2.f x x ≤-【21】．如下图，已知椭圆1C 的中心在原点O ，长轴左、右端点M,N 在x 轴上，椭圆2C 的短轴为MN ，且12,C C 的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与1C 交于两点，与2C 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为,,,A B C D .（I ）设e =12，求|BC |与|AD |的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO //AN ,并说明理由.【22】．（选做题）如下图，,,,A B C D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ED =.（Ⅰ）证明：CD //AB ；（Ⅱ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF EG =，证明：,,,A B G F 四点共圆.【23】．（选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)曲线2C 的参数方程为cos ,sin ,x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0,a b ϕ>>为参数）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θα=与12,C C 各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=π2时，这两个交点重合. （Ⅰ）分别说明12,C C 是什么曲线，并求出a 与b 的值；（Ⅱ）设当α=π4时，l 与12,C C 的交点分别为11,A B ,当α=-π4时，l 与12,C C 的交点分别为22,A B ，求四边形1221A A B B 的面积.【24】．（选做题）已知函数()2 5.f x x x =---（Ⅰ）证明：-3≤()f x ≤3；（Ⅱ）求不等式()f x ≥2815x x -+的解集.【参考答案】【1】．D提示：直接计算即可. 【2】．A提示：根据2i 1=-，357111111110i i i i i i i i+++=-+-=. 【3】．D提示：2(4,2)(1,)(5,2)k k -=--=-a b ，由(2)0⋅-=a a b ，得(2,1)(5,2)0k ⋅-=，解得12.k = 【4】．A提示：直接否定就行.即:,()p x M p x ∃∈，则:,().p x M p x ⌝∀∈⌝ 【5】．B提示：由116nn n a a +=，将n 换成1n +得11216n n n a a +++⋅=，所以有1121161616n n n n n n a a a a ++++⋅==⋅，即216q =，4q =.【6】．A提示：可以采用定义加以求解，也可采用特殊值法，(1)(1)f f -=-,解得1.2a = 【7】．C 提示：由2yx =，可知124p =，又=3AF BF +，可知点A 到y 轴的距离与点B 到y 轴的距离之和为15||||23222p AF BF +-⨯=-=，再利用梯形中位线定理，可以求出线段AB 的中点到y 轴的距离为54. 【8】．B提示：设正三棱柱底面边长及高为a，根据体积为2a =，所以底面正三角形的高为2=.【9】．C提示：按照程序框图的流程，直接进行演算即可. 【10】．C提示：由ASC BSC ∠=∠，能够知道SC AB ⊥，过A 向SC 作垂线，垂足为H ，连接BH ，由于ASC BSC ∆≅∆，所以BH SC ⊥，这样，大棱锥S ABC -被分割成两个小棱锥，一个是S ABH -，另一个是C ABH -，其中2AH BH ==，所以13S ABC ABH V S SC -∆=⨯⨯【11】．B提示：构造函数()()24g x f x x =--()x ∈R ，所以()()2g x f x ''=-，根据题意，()20f x '->，因此，()0g x '>，故()g x 在R 上是增函数，又因为(1)(1)2(1)42240.g f -=--⨯--=+-=所以，()(24)0f x x -+>，也即()(1)g x g >-，由()g x 的单调性，可得 1.x >- 【12】．B提示：由图像可知，3πππ2884T =-=，所以1π2T =，即2ω=.又3π()08f =，即3π0t a n (2)8A ϕ=⨯+，又π||2ϕ<，故π4ϕ=. 再由(0)1f =，故1A =. 综上可知，π()tan(2)4f x x =+.所以π()24f =【13】．22(2)10x y -+=提示：设所求圆的圆心为(,0)a ，圆的方程为222()x a y r -+=,则有2222(5)1(1)9a r a r ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，解得2210.a r =⎧⎨=⎩，故所求圆的方程为22(2)10x y -+=. 【14】．0.254提示：由321.0254.0ˆ+=x y可以看出，x 每增加一个单位，y 增加0.254个单位. 【15】．-1提示：根据已知条件，得34560a a a a +++=，又3645a a a a +=+，所以，450a a +=，又41a =，所以5 1.a =-【16】．(,2ln 22]-∞-提示：函数()f x 有零点，可以转化为函数的最小值不大于0，利用导数，可以求出函数()f x 在(,ln 2)-∞上是减函数，在(ln 2,)+∞上是增函数，所以()f x 的最大值为(ln 2)22ln 2f a =-+，因此22ln 20a -+≤，即(,2ln 22]a ∈-∞-.【17】．解：（I ）由正弦定理得，22sin sin sin cos A B B A A +=，即22sin (sin cos )B A A A +=,即sin B A =，所以ba=（Ⅱ）有余弦定理222cb =，得cos B =由（I ）知222b a =，故22(2c a =.可得21cos 2B =，又cos 0B >，故cos B =所以45B =. 【18】．解：(I)由条件知PDAQ 为直角梯形.因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD .又四边形ABCD 为正方形，DC AD ⊥，所以DC ⊥平面PDAQ ,可得PQ ⊥DC .在直角梯形PDAQ 中可得2DQ PQ PD ==,则PQ ⊥QD . 所以PQ ⊥平面.DCQ （Ⅱ）设.AB a =由题设知AQ 为棱锥Q ABCD -的高，所以棱锥Q ABCD -的体积3113V a =.由（Ⅰ）知PQ 为棱锥P DCQ -的高，而PQ ，△DCQ 的面积为22a ．所以棱锥P DCQ -的体积3213V a =，故棱锥Q ABCD -的体积与棱锥P DCQ -的体积的比值为1 .【19】．解：(Ⅰ)设第一大块地中的两小块地编号为1，2．第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A =“第一大块地都种品种甲”.从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个：(1，2 )，(1，3) ，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，而事件A 包含l 个基本事件：(1，2)，所以()P A =16. （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(403397390404388400412406)400,81[3(3)(10)4(12)0126]57.25.8x S =⨯+++++++==⨯+-+-++-+++=甲甲品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221[419403412418408423400413]412,81[7(9)06(4)11(12)1]56.8x S =⨯+++++++==⨯+-+++-++-+=乙乙由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 【20】．解：（Ⅰ）()12,bf x ax x'=++由已知条件得(1)0,(1) 2.f f =⎧⎨'=⎩即1+0,12 2.a a b =⎧⎨++=⎩解得1, 3.a b =-=（Ⅱ）()f x 的定义域为+∞（0，），由I （）知23ln f x x x x -+（）=.设2()()(22)23ln ,g x f x x x x x =--=--+则3(1)(23)()12.x x g x x x x-+'=--+=- 当01x <<时，()0;1()0.g x x g x ''>><当时，所以()g x 在区间（0,1）内单调增加，在区间+∞（1，）内单调减少.而(1)0.0g x =>故当时，g x ≤()0,即f x x ≤()2-2.【21】．解：（I ）因为1C ，2C 的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>>.设直线:(||)l x tt a =<，分别与1C ，2C 的方程联立，求得((A t B t当12e =时,,2b a =分别用,A B y y 表示,A B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === （II ）t =0时的l 不符合题意，0t ≠时，BO //AN 当且仅当BO 的斜率与AN 的斜率相等，即,abt t a =- 解得222221.ab e t a a b e -=-=-⋅-因为221||,01,1, 1.2e t a e e e -<<<<<<又所以所以当02e <≤时，不存在直线l ，使得BO //AN ；1e <<时，存在直线l 使得BO //AN .【22】．解：（I ）因为EC ED =，所以EDC ECD ∠=∠.因为,,,A B C D 四点在同一圆上，所以EDC EBA ∠=∠.故ECD EBA ∠=∠，所以//CD AB .（II ）由（I ）知，AE BE =，因为EF EG =，故E F D E G C∠=∠，从而FED GEC ∠=∠.连结,AF BG ，则EFA EGB ∆≅∆，故FAE GBE ∠=∠，又CD //AB ，EDC EBA ∠=∠，所以FAB GBA ∠=∠.所以AFG GBA ∠=∠=180°.故,,,A B G F 四点共圆.【23】．解：(I ）1C 是圆，2C 是椭圆.当0α=时，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3.当π2α=时，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以1b =.（II ）1C ，2C 的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和当π4α=时，射线l 与1C 交点1A 的横坐标为2x =，与2C 交点1B 的横坐标为x '= 当π4α=-时，射线l 与1C ，2C 的两个交点22,A B 分别与11,A B 关于x 轴对称，因此，四边形1221A A B B 为梯形.故四边形1221A A B B 的面积为(22)()2.25x x x x ''+-=【24】．（I ）证明：3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25x <<时，327 3.x -<-<所以3() 3.f x -≤≤（II ）解：由（I ）可知，当2x ≤时，2()815f x x x ≥-+的解集为空集；当25x <<时，2()815f x x x ≥-+的解集为{|55}x x ≤<；当5x ≥时，2()815f x x x ≥-+的解集为{|56}x x ≤≤. 综上，不等式2()815f x x x ≥-+的解集为{|56}.x x ≤≤【End】。

2011年高考数学江西理(word版含答案)

【选择题】【1】．若12iiz +=，则复数z -=（）.(A)2i -- (B)2i -+ (C)2i - (D)2i + 【2】．若集合{}1213A x x =-+≤≤，20,x B x x -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤则AB ∩=（）. (A){}10x x -<≤ (B){}01x x <≤ (C){}02x x ≤≤ (D){}01x x ≤≤ 【3】．若()f x =()f x 的定义域为（）.(A)1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ (B)1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦ (C)1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭(D)()0,+∞ 【4】．若()224ln f x x x x =--,则()f x '＞0的解集为（）.(A)()0,+∞ (B)()()1,02,-+∞∪(C)()2,+∞ (D)()1,0-【5】．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：n m m n S S S ++=，且1a =1，那么10a =（）.(A)1 (B)9 (C)10 (D)55【6】．变量X 与Y 相对应的一组数据为（10,1）,（11.3,2）,（11.8,3）,（12.5,4）,(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为（10,５）,（11.3,4）,（11.8,3）,（12.5,2）,(13,1). 1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则（）. (A)210r r << (B)210r r << (C)210r r << (D)21r r =【7】．观察下列各式：55=3125, 65=15625, 75=78125，…，则20115的末四位数字为（）.(A)3125 (B)5625 (C)0625 (D)8125【8】．已知1α，2α，3α是三个相互平行的平面．平面1α，2α之间的距离为1d ，平面2α，3α之间的距离为2d ．直线l 与1α，2α，3α分别相交于1P ，2P ，3P ，那么“12PP =23P P ”是“12d d =”的（）.(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【9】．若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）.(A) (-0)∪(0(C) [3-，3] (D) (-∞，3-3，+∞) 【10】．如图1，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点,M N 在大圆内所绘出的图形大致是（）.【填空题】【11】．已知2==a b ,(2)+a b ·-（）a b =-2，则a 与b 的夹角为 . 【12】．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为 .【13】．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是.【14】．若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为,,A B 直线AB图1恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .【15】．（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为=2sin 4cos ,ρθθ+以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 . 【16】．（不等式选做题）对于实数x y ，,若11,21x y --≤≤,则21x y -+的最大值为 .【解答题】【17】．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力. （1）求X 的分布列；（2）求此员工月工资的期望．【18】．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,已知sin cos 1sin 2CC C +=- . （1）求sin C 的值；（2）若224()8ab a b +=+-，求边c 的值.【19】．已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足1a a =(0)a >，111b a -=，222b a -=，333b a -=.（1）若1a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 唯一，求a 的值.【20】．设3211()232f x x x ax =-++. （1）若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围. （2）当02a <<时，()f x 在[1,4]上的最小值为163-，求()f x 在该区间上的最大值. 【21】．000(,)()P x y x a ≠±是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，,M N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线,PM PN 的斜率之积为15．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于,A B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值．【22】．（1）如图1，对于任一给定的四面体1234A A A A ，找出依次排列的四个相互平行的1234,,,αααα，使得(1,2,3,4),i i A i α∈=且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面1234,,,αααα，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体1234A A A A 的四个顶点满足：(1,2,3,4),i i A i α∈= 求该正四面体1234A A A A 的体积.图1【参考答案】【1】．D提示：i i i i i i i++-====--22122221z ，故2i z =+.故选（D ）. 【2】．B提示：{}{}{}11,02,01A x x B x x AB x x =-=<=<≤≤≤∩≤.故选（B ）. 【3】．A提示：∵()12log 210,0211x x +>∴<+<.1,02x ⎛⎫∴∈-⎪⎝⎭.故选（A ）. 【4】．C提示：()242'220,0x x f x x x x--=-->>.∵()()0,210. 2.x x x x >∴-+>∴>故选（C ）. 【5】．A 提示：∵212122,1S a a S a =+=∴=.∵31233,1S S S a =+=∴=.∵4134S S S =+=,41a ∴=，故101a =.故选（A ）.【6】．C提示：第一组变量正相关，第二组变量负相关. 故选（C ）【7】．D 提示：设()5,x f x =则()()4625,53125,f f ==()615625,f =()778125,f =()8390625f =,…,故周期为4，因此201150243,=⨯+则()2011f =***8125.故选（D ）.【8】．C提示：由题意知，如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知3221P P P P =；如果3221P P P P =，同样是根据两个三角形全等可知21d d =.故选（C ）.【9】．B 提示：曲线0222=-+x y x 表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或．0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y （过定点(1,0)-）也应该与圆有两个交点，由直线与圆相切对应3333=-=m m 和，故m 的取值范围应是0,33⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭∪．故选（B ）. 【10】．Ａ提示：如图2所示，设小圆的半径为r ，大圆的半径为2r ，显然对任意角θ，有022MA r r M A θθ=⋅==，这说明M 点总在水平直线运动，故N 点也在竖直直线上运动. 故选（A ）.【11】．3π提示：根据已知条件(2)+a b ·-（）a b =-2，去括号得 222422cos 242,θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-a a b b 解得1cos ,23θθπ==. 【12】．1613 提示：不在家看书的概率=2211134216⎛⎫⎛⎫π⨯+π-⨯π⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==π看电影+打篮球所有情况. 【13】．10提示：0,1,s n ==代入到解析式当中，0(1)10;s =+-+=2,0123;n s ==++=3,3(1)35;n s ==+-+=4,51410,n s ==++=此时9s >,输出．【14】．14522=+y x 提示：当斜率存在时，设过点（1，21）的直线方程为：21)1(+-=x k y ，根据直线与圆相切，圆心（0,0）到直线的距离等于半径1可以得到34k =-,将直线与圆的方程联立可以得到切点的坐标为（54,53）；当斜率不存在时，直线方程为1x =，根据两点34(1,0),(,)55A B 可以得到直线AB 的方程为220x y +-=,则与y 轴的交点即为上顶点坐标(2,0),2b =即，与x 轴的交点即为椭圆的右焦点， 1.c =即则222 5.a b c =+=故椭圆方程为221.54x y += 【15】．02422=--+y x y x图2提示：(1)根据已知θθρcos 4sin 2+==222=24,24,yxy x x y ρρρ⋅+⋅=+=+化简可得所以解析式为02422=--+y x y x .【16】．5解绝对值不等式可得: 2x 0≤≤，13y ≤≤，故113x +≤≤,y -6≤-2≤-2,两式相加,得1()x y ++-5≤-2≤1,因此21x y -+的最大值为5.【17】．解：（1）选对A 饮料的杯数分别为0,1,2,3,4,X X X X X =====其概率分布分别为：()044448C C 10C 70P ==，()134448C C 161C 70P ==，()224448C C 362C 70P ==，()314448C C 163C 70P ==，()044448C C 14C 70P ==.即（2）令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2100，2800，3500，则()13500(4),70P Y P X ====()82800(3),35P Y P X ====()532100(2).70P Y P X ===≤116533500280021002280.707070Y E =⨯+⨯+⨯=所以新录用员工月工资的期望为2280元.【18】．解：（1）已知2sin 1cos sin CC C -=+,2sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2cos2sin 22222CC C C C C C -+=-+∴. 整理即有：22sincos 2sin sin 0,sin 2cos 2sin 102222222C C C C C C C ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭. 又C 为△ABC 中的角，所以sin02C≠. 所以222111sin cos ,sin cos ,2sin cos cos sin .22222422224C C C C C C C C ⎛⎫-=-=-++= ⎪⎝⎭ 所以32sincos ,224C C =所以3sin .4C = （2）由1sincos 0,222C C -=>得,4222C C πππ<<<<π即.则由3sin ,4C C ==得cos 由()2248ab a b +=+-，得()()22220,2, 2.a b a b -+-===解得由余弦定理得2222cos 8 1.ca b ab C c =+-=+=所以【19】．解：（1）设{}n a 的公比为q ，则112,b a =+=222,b aq q =+=+22333,b aq q =+=+由123,,b b b 成等比数列，得()()22223,q q +=+即2420,qq -+=解得12q =22q =所以{}n a的通项公式为((112,2.n n n n a a --==或（2）设{}n a 的公比为q ，则由()()()22213aq a aq +=++，得24310aq aq a -+-=，（*）由0a >，得2440a a =+>Δ，故方程（*）有两个不同的实数根. 由{}n a 唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得31=a .【20】．解：（1）由()'22112()224fx x x a x a =-++=--++，当2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()'f x 的最大值为'22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；令220,9a +>得19a >-.所以，当19a >-时，()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,32内存在单调递增区间. （2）令()0,f x '=得两根121122x x == 所以12()(,),(,)f x x x -∞+∞在上单调递减，在12(,)x x 上单调递增.当02a <<时，有1214,x x <<<所以()f x 在[1，4]上的最大值为2()f x .又27(4)(1)60,(4)(1)2f f a f f -=-+<<即，所以()f x 在[1，4]上的最小值为4016(4)833f a =-=-. 得21,2a x ==，从而()f x 在[1，4]上的最大值为10(2).3f = 【21】．解：（1）点000(,)()P x y x a ≠±在双曲线22221x y a b -=上，有2200221x y a b-=.由题意又有00001,5y y x a x a ⋅=-+可得2222225,6,c a b c a b b e a ==+===则（2）联立2222255,410350,,x y b x cx b y x c ⎧-=-+=⎨=-⎩得设1122(,),(,)A x y B x y ，则122125,235.4c x x b x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（*）设31233312,(,),,.x x x OC x y OC OA OB y y y λλλ=+⎧==+⎨=+⎩即又C 为双曲线上一点，即2223355,x y b -=有2221212()5()5x x y y b λλ+-+=，化简得22222211221212(5)(5)2(5)5x y x y x x y y b λλ-+-+-=.又1122(,),(,)A x y B x y 在双曲线上，所以222222112255,55x y b x y b -=-=由（*）式又有2212121212121255()()45()510x x y y x x x c x c x x c x x c b -=---=-++-=.得240,0, 4.λλλλ+===-解得或【22】．解：（1）如图2所示，取14A A 的三等分点23,,P P 13A A 的中点M ，24A A 的中点N ，过三点22,,A P M作平面2α，过三点33,,A P N 作平面3α，因为22A P //3NP ，33A P //2MP ，所以平面2α//平面3α，再过点14,A A 分别作平面14,αα与平面2α平行，那么四个平面1234,,,αααα依次相互平行，由线段14A A 被平行平面1234,,,αααα截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故1234,,,αααα为所求平面.（2）解法一：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面，每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体1234A A A A 就是满足题意的正四面体.设正四面体的棱长为a ，以△234A A A 的中心O 为坐标原点，以直线4A O 为y 轴，直线1OA 为z 轴建立如图2的右手直角坐标系，1234),(,,0),(,,0),(0,,0)326263a a A a A a A A a --则令23,P P 为14A A 的三等分点，N 为24A A的中点，有3(0,,),(,,0).99412a P a N ---所以334536331(,,),(,,0)(,0).444a P Na a NA a a A N a =--==-，设平面33A PN 的法向量为(,,),x y z =n 有330,0,P N NA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即90,30.x x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩所以(1,=n因为1234,,,αααα相邻平面之间的距离为1，所以点4A 到平面33A P N 的距离为图2|()1(0(|1a -⨯++⨯=.解得a=1234A A A A 满足条件.所以所求正四面体的体积23113312VSh a a ==== 解法二：如图3，现将此正四面体1234A A A A 置于一个正方体1111ABCD A BC D -中（或者说，在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角三棱锥，得到一个正方体），11,E F 分别是1111,A B C D 的中点，11EE D D 和11BB F F 是两个平行平面，若其距离为1，则四面体1234A A A A 即为满足条件的正四面体.图4是正方体的上底面，现设正方体的棱长为a ，若11,A M MN ==，则有1111,22a A E D E ===. 据1111111A D A E A M D E ⨯=⨯，得a =于是正四面体的棱长d==其体积333114633V a a a =-⨯==（即等于一个棱长为a 的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积）【End 】图3 图4。

(文末附答案)(Word版含答案)高中数学集合与常用逻辑用语经典大题例题

(每日一练)(文末附答案)（Word版含答案）高中数学集合与常用逻辑用语经典大题例题单选题1、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A分析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.2、下列关系中，正确的是（）A．√3∈N B．14∈Z C．0∈{0}D．12∉Q答案：C分析：根据元素与集合的关系求解.根据常见的数集，元素与集合的关系可知，√3∈N，14∈Z，12∉Q不正确，故选：C3、等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，设甲：q>0，乙：{S n}是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B分析：当q>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{S n}是递增数列时，必有a n>0成立即可说明q>0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．由题，当数列为−2,−4,−8,⋯时，满足q>0，但是{S n}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{S n}是递增数列，则必有a n>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．小提示：在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．4、对与任意集合A，下列各式①∅∈{∅}，②A∩A=A，③A∪∅=A，④N∈R，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4答案：C分析：根据集合中元素与集合的关系，集合与集合的关系及交并运算可判断.易知①∅∈{∅}，②A∩A=A，③A∪∅=A，正确④N∈R，不正确，应该是N⊆R故选：C.5、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.6、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.7、已知集合A={x|1x>1}，则∁R A=（）A．{x|x<1}B．{x|x≤0或x≥1}C．{x|x<0}∪{x|x>1}D．{x|1≤x}答案：B分析：先解不等式，求出集合A，再求出集合A的补集由1x >1，得1−xx>0，x(1−x)>0，解得0<x<1，所以A={x|0<x<1}，所以∁R A={x|x≤0或x≥1}故选：B8、设集合U ={1,2,3,4,5,6},A ={1,3,6},B ={2,3,4}，则A ∩(∁U B )=（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}答案：B分析：根据交集、补集的定义可求A ∩(∁U B).由题设可得∁U B ={1,5,6}，故A ∩(∁U B)={1,6}，故选：B.9、命题“∀x <0,x 2+ax −1≥0”的否定是（）A ．∃x ≥0,x 2+ax −1<0B ．∃x ≥0,x 2+ax −1≥0C ．∃x <0,x 2+ax −1<0D ．∃x <0,x 2+ax −1≥0答案：C分析：根据全称命题的否定是特称命题判断即可.根据全称命题的否定是特称命题，所以“∀x <0,x 2+ax −1≥0”的否定是“∃x <0,x 2+ax −1<0”.故选：C10、已知“命题p:∃x ∈R,使得ax 2+2x +1<0成立”为真命题，则实数a 满足（）A ．[0，1)B ．(-∞，1)C ．[1，+∞)D ．(-∞，1]答案：B分析：讨论a =0或a ≠0，当a =0时，解得x <−12，成立；当a ≠0时，只需{a >0Δ>0或a <0即可. 若a =0时，不等式ax 2+2x +1<0等价为2x +1<0，解得x <−12，结论成立.当a ≠0时，令y =ax 2+2x +1，要使ax 2+2x +1<0成立，则满足{a >0Δ>0或a <0，解得0<a <1或a <0，综上a <1，故选：B.小提示：本题考查了根据特称命题的真假求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于基础题. 多选题11、设全集U={1,2,3,4,5}，集合S={1,2,3,4}，则∁U S的子集为（）A．{5}B．{1,2,5}C．{2,3,4}D．∅答案：AD分析：根据补集和子集的定义即可求出答案.因为C U S={5}，集合{5}的子集有：∅，{5}.故选：AD.12、对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是（）A．“a=b”是“ac=bc”的充要条件B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件C．“a<5”是“a<3”的必要条件D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件答案：ABD分析：根据充分、必要性的推出关系，判断各选项中条件间的关系，即可得答案.A：由a=b有ac=bc，当ac=bc不一定有a=b成立，必要性不成立，假命题；B：若a=1>b=−2时a2<b2，充分性不成立，假命题；C：a<5不一定a<3，但a<3必有a<5，故“a<5”是“a<3”的必要条件，真命题；D：a+5是无理数则a是无理数，若a是无理数也有a+5是无理数，故为充要条件，假命题.故选：ABD13、已知下列说法：①命题“∃x∈R，x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，x2+1<3x”；②命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”；③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；④命题：对任意x∈R，总有x2>0.其中说法错误的是（）A．①B．②C．③D．④答案：ACD分析：①根据特称命题的否定是全称命题即可判断；②根据全称命题的否定是特称命题即可判断；③根据必要条件和充分条件的概念即可判断；④判断命题的真假.对于①，命题“∃x∈R，x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故错误；对于②，命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”，正确；对于③，“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故错误；对于④，当x=0时x2=0，故错误.故选：ACD.14、对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（）A．若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅B．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝BC．若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD．存在A，B⊆R，使得A⊕B＝∁R A⊕∁R BE．存在A，B⊆R，使得A⊕B≠B⊕A答案：ABD解析：根据新定义判断．根据定义A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]，A.若A⊕B=B，则∁R A∩B=B，A∩∁R B=∅，∁R A∩B=B⇒B⊆∁R A，A∩∁R B=∅⇒A⊆B，∴A=∅，A正确；B.若A⊕B=∅，则∁R A∩B=∅，A∩∁R B=∅，A∩B=A=B，B正确；C. 若A⊕B⊆A，则∁R A∩B=∅，A∩∁R B⊆A，则B⊆A，C错；D.A=B时，A⊕B=∅，(∁R A)⊕(∁R B)=∅=A⊕B，D正确；E.由定义，A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]=B⊕A，E错．故选：ABD．小提示：本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算．15、下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2020年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数答案：ACD分析：根据集合元素的性质可判断.根据集合的概念，可知集合中元素的确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．故选：ACD.16、下列条件中，为“关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有（）A．0≤m<4B．0<m<2C．1<m<4D．−1<m<6答案：BC分析：对m讨论：m=0；m>0，Δ<0；m<0，结合二次函数的图象，解不等式可得m的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.因为关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，当m=0时，原不等式即为1>0恒成立；当m>0时，不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，可得Δ<0，即m2−4m<0，解得：0<m<4.当m<0时，y=mx2−mx+1的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m的取值范围为：[0,4).所以“关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有0<m<2或1<m<4.故选：BC.17、定义集合运算：A⊗B={z∣z=(x+y)×(x−y),x∈A,y∈B}，设A={√2,√3}，B={1,√2}，则（）A．当x=√2，y=√2时，z=1B．x可取两个值，y可取两个值，z=(x+y)×(x−y)有4个式子C．A⊗B中有4个元素D．A⊗B的真子集有7个答案：BD分析：根据集合的定义可求出A⊗B，从而可判断各项的正误.A⊗B={z∣z=x2−y2,x∈A,y∈B}={1,0,2}，故A⊗B中有3个元素，其真子集的个数为23−1=7，故C错误，D正确.当x=√2，y=√2时，z=0，故A错误.x可取两个值，y可取两个值，z=(x+y)×(x−y)共有4个算式，分别为：(√2+1)(√2−1),(√3+1)(√3−1)，(√3+√2)(√3−√2),(√2+√2)(√2−√2)，故B正确．故选：BD．小提示：本题考查新定义背景下集合的计算、集合子集个数的计算，注意不同的算式可以有相同的计算结果，另外，注意集合中元素的互异性对于集合表示的影响，本题属于基础题．18、已知全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁U B，则下列关系一定正确的是（）A．∃x∈U，x∉A且x∈B B．∀x∈A，x∉BC．∀x∈U，x∈A或x∈B D．∃x∈U，x∈A且x∈B答案：AB分析：根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁U B，则A，B，U的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，∃x∈U，x∉A且x∈B，A正确；因A∩B=∅，必有∀x∈A，x∉B，B正确；若A∁U B，则(∁U A)∩(∁U B)≠∅，此时∃x∈U，x∈[(∁U A)∩(∁U B)]，即x∉A且x∉B，C不正确；因A∩B=∅，则不存在x∈U满足x∈A且x∈B，D不正确.故选：AB19、设全集U={0,1,2,3,4}，集合A={0,1,4}，B={0,1,3}，则（）A．A∩B={0,1}B．∁U B={4}C．A∪B={0,1,3,4}D．集合A的真子集个数为8答案：AC分析：根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可.因为全集U={0,1,2,3,4}，集合A={0,1,4}，B={0,1,3}，所以A∩B={0,1}，∁U B={2,4}，A∪B={0,1,3,4}，因此选项A、C正确，选项B不正确，因为集合A={0,1,4}的元素共有3个，所以它的真子集个数为：23−1=7，因此选项D不正确，故选：AC20、下列命题中，是全称量词命题的有（）A．至少有一个x使x2+2x+1=0成立B．对任意的x都有x2+2x+1=0成立C．对任意的x都有x2+2x+1=0不成立D．矩形的对角线垂直平分答案：BCD分析：判断各选项中命题的类型，由此可得出结果.A选项中的命题为特称命题，BCD选项中的命题均为全称命题.故选：BCD.填空题21、已知集合A={−1,3,0},B={3,m2}，若B⊆A，则实数m的值为__________.答案：0分析：解方程m2=0即得解.解：因为B⊆A，所以m2=−1（舍去）或m2=0，所以m=0.所以答案是：0∈Z}，用列举法表示集合A，则A=__________.22、已知集合A={x∈Z∣32−x答案：{−1,1,3,5}分析：根据集合的描述法即可求解.∈Z},∵A={x∈Z∣32−x∴A={−1,1,3,5}所以答案是：{−1,1,3,5}23、已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______. 答案：(−∞,2]分析：根据充分性和必要性，求得参数a的取值范围，即可求得结果.因为p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，故集合(2,3)为集合(a,+∞)的真子集，故只需a≤2.所以答案是：(−∞,2].11。

高考数学(理)大一轮复习习题：第二章函数的概念与基本初等函数ⅰ word版含答案

第二章⎪⎪⎪函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示突破点(一) 函数的定义域基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．函数与映射的概念函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集设A ，B 是两个非空的集合对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求给定解析式的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析] 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． [答案] C [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．[答案] [0,1)[易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．已知函数定义域求参数[例3] 若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. [答案] D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．基础联通抓主干知识的“源”与“流” 1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1.故选D. 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．解析：函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌图象法形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的解析式[典例](1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝12x3－12x2－xB．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－xD．y＝14x3＋12x2－2x(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x＋1)．(3)用1x代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．[答案] (1)A (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)[易错提醒]1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13(x >0)．答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (－x )＝2x ，2f (－x )＋f (x )＝－2x ，解得f (x )＝2x . 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．解：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式．解：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B.⎝⎛⎭⎫12错误!未找到引用源。

2011年高考理科数学试卷(及答案)_全国卷(word版)[1]1

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数()20y x x =≥的反函数为(A)()24xy x R =∈ (B)()204xy x =≥(C)()24y xx R =∈ (D)()240y xx =≥3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 96.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1A B A C B D ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)22(B)33(C)63(D) 17.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A)13(B)12(C)23(D) 19.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14-(C)14(D)1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos A F B ∠= (A)45(B)35(C) 35-(D) 45-11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60 二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于(A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()201x-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927xyC -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F A F ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABC D A B C D - 的棱11BB C C 、上，且12B E E B =,12C F FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2011年高考数学陕西文(word版含答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学【选择题】【1】．设a,b 是向量，命题“若=-a b ，则||||=a b ”的逆命题是（）．（A ）若≠-a b ，则||||≠a b （B ）若=-a b ，则||||≠a b（C ）若||||≠a b ，则≠-a b（D ）若||||=a b ，则=-a b【2】．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（）．（A ）28yx =- （B ）24yx =- （C ）28yx = （D ）24yx =【3】．设0a b <<，则下列不等式中正确的是（）．（A ）2a ba b +<<（B ）2a ba b +<<<（C ）2a ba b +<<<（D 2a ba b +<< 【4】．函数13y x =的图像是（）．（A ）（B ）（C ）（D ）【5】．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）．（A ）2π83-（B ）π83-（C ）82π-（D ）2π3【6】．方程cos x x =在(),-∞+∞内（）．（A ）没有根（B ）有且仅有一个根（C ）有且仅有两个根（D ）有无穷多个根【7】．如下框图，当126,9,x x ==8.5p =时，3x 等于（）．（A ）7 （B ）8 （C ）10（D ）11【8】．设集合22{||cos sin |,},{|||1,i }ixM y y x x x N x x ==-∈=<∈R R 为虚数单位，，则M N ⋂为( ). （A ）(0,1)（B ）(0,1] （C ）[0,1)（D ）[0,1]【9】．设1122(,),(,)x y x y ，…，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（）．（A ）直线l 过点(,)x y（B ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率（C ）x 和y 的相关系数在0到1之间（D ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同【10】．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（）．（A ）1◯和20◯ （B ）9◯和10◯ （C ）9◯和11◯ (D) 10◯和11◯ 【填空题】【11】．设lg ,0,()10,0,x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则((2))f f -=______．【12】．如图，点(,)x y 在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x y -的最小值为________．【13】．观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为__________________．【14】．设n +∈N ,一元二次方程240x x n -+=有整数．．根的充要条件是n =_____．【15】．（选做题）若不等式12x x ++-≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________．【16】．（选做题）如图，,,90B D AE BC ACD ∠=∠⊥∠=︒，且6,4,12AB AC AD ===，则AE = ．【17】．（选做题）直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点,A B 分别在曲线13cos sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩，：（θ为参数）和曲线21C ρ=：上，则AB 的最小值为．【解答题】【18】．如图，在△ABC 中，45,90,ABC BAC AD ∠=︒∠=︒是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使90BDC ∠=︒ ．（1）证明：平面ADB ⊥平面BDC ；（2）设1BD =，求三棱锥D ABC -的表面积．【19】．设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点(0,4)，离心率为35．（1）求C 的方程；（2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．【20】．叙述并证明余弦定理．【21】．如图，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线e x y =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ．再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P，2Q ；…；n P ，n Q ，记k P 点的坐标为(,0)(1,2,,)k x k n =．（1）试求k x 与1k x -的关系(2≤k ≤)n ；（2）求112233n n PQ PQ PQ PQ ++++．【22】．如图，A 地到火车站共有两条路径1L 和2L ，现随机抽取100位从A 地到火车站的人进行调查，调查结果如下：（1）试估计40分钟内不能．．赶到火车站的概率；（2）分别求通过路径1L 和2L 所用时间落在上表中各时间段内的频率；（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．【23】．设()ln ,()()()f x x g x f x f x '==+．（1）求()g x 的单调区间和最小值；（2）讨论()g x 与1g x ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系；（3）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1a对任意x ＞0成立．【参考答案】【1】．D提示：结合命题与逆命题的结构特点，即知选项（D ）正确. 【2】．C提示：依题意可设抛物线的方程为()220y px p =>，又22p-=-，所以224p =⨯=，故所求抛物线的方程为28y x =.【3】．B提示：方法一：因为0a b <<，a <，22a b b bb ++<=，2a b +>2a ba b +<<<.方法二：取1,4a b ==，则由52,,422a b a b +====，即得2a ba b +<<<. 【4】．B提示：因为幂函数的图像必经过点()1,1，所以选项（A ）（D ）错误.又13111828⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故由此判断即知选项（C ）错误，选项（B ）正确. 【5】．A提示：由三视图知，对应几何体是这样的：在棱长为2的正方体中挖去一个倒放的圆锥（高为2，底面圆半径为1）.故所求体积为()3212212833V ππ=-⨯⨯⨯=-. 【6】．C提示：通过在同一坐标系内，分别作出函数y x =和cos y x =的图像（注意：它们都是偶函数），观察即知图像有且仅有两个交点．故方程cos x x =在(),-∞+∞内有且仅有两个根.【7】．B 提示：若3699x -<-成立，则698.52p +==，这显然不可能．若3699x -<-不成立，则3398.582x p x +==⇒=，满足3699x -<-不成立．综上，所求38x =. 【8】．C 提示：因为222cos sin cos 2,1i 11ixx x x x x -=<⇒-<⇒<，所以集合{|0M y =≤y ≤1}，{}11N x x =-<<，故[)0,1M N⋂=.【9】．A提示：因为线性回归直线必经过样本中心点(),x y ，所以选项（A ）正确.注意：由图知，直线l 的斜率小于零，所以x 和y 的相关系数必小于零，但x 和y 的相关系数并不是直线l 的斜率，故选项（B ）（C ）错误.因为无论n 为奇数或偶数，所有样本点都基本集中在直线l 的附近，至于直线l 两侧的样本点的个数是否相同显然是不确定的，故选项（D ）错误. 【10】．D提示：设开始时树苗集中在第x 个树坑旁边，则路程总和为()()2102010110201020x x +++-++++-⎡⎤⎣⎦()()201211220x x =+++-++++-⎡⎤⎣⎦()()()()21202120202121022x x x x x x ---⎡⎤=+=-+⎢⎥⎣⎦.又1,2,3,,20x =，从而易知当10x =或11x =时路程总和最小.故两个最佳坑位的编号为10◯和11◯. 【11】．2- 提示：因为()22100f --=>，所以()()()22210lg102f f f ---===-.【12】．1提示：方法一：设2z x y =-，又注意到1,1AB CD k k <<，于是平移直线l ：2y x z =-，分析即知当A l ∈时，z 取得最小值，故所求()min 22111x y -=⨯-=.方法二：将,,,A B C D 的坐标分别代入2x y -得11,2，显然其中1最小，故所求2x y -的最小值为1.【13】．567891011121381++++++++=提示：由所给等式可知：第五个等式左边第一个加项为5，然后依次增加1，且加项个数为9（注意：加项个数的规律为1,3,5,7,）；右边是29，即81（注意：右边的规律为22221,3,5,7,）.【14】．3或4提示：一元二次方程240x x n -+=有整数根，首先要满足164n ∆=-≥0，又n +∈N ，所以1,2,3,4n =.又由240x x n -+=变形得()224x n -=-，从而经检验即知3n =或4时方程根x 为整数.故所求充要条件是3n =或4. 【15】．(],3-∞提示：由题设得a ≤()min123x x ++-=，故所求a 的取值范围是(],3-∞.【16】．2提示：由题设知△ABE ∽△ADC ，所以AB AD AE AC =，所以64212AB AC AE AD ⨯===•. 【17】．1提示：因为曲线1C 的方程为()2231x y -+=，曲线2C 的方程为221x y +=，所以它们均表示圆，圆心和半径分别是()3,0,1和()0,0,1.又易知两圆相离，故所求min 3111AB =--=.【18】．（1）证明：∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴ 当△ABD 折起后，,AD DC AD DB ⊥⊥．又DB DC D ⋂=， ∴AD ⊥平面BDC ． ∵AD ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC ．（2）解：由（1）知，,,DA DB DB DC DC DA ⊥⊥⊥,1DB DA DC ===，∴AB BC CA ===从而111122DAB DBC DCA S S S ===⨯⨯=△△△， 1sin 602ABC S =︒=△∴表面积132S=⨯+=．【19】．解：（1）将(0,4)代入C 的方程得2161b=， ∴4b =．又35c e a ==，∴222925a b a -=，即2169125a -=， ∴5a =． ∴C 的方程为2212516x y +=．（2）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与C 的交点为()11,Ax y ，()22,B x y ，将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得()22312525x x -+=，即2380x x --=，解得132x =232x =， ∴AB 的中点坐标12322x x x +==，()1212266255y y y x x +==+-=-，即中点坐标为36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭．注：用根与系数的关系正确求得结果，同样给分．【20】．解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．或：在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，有2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-．证法一：如图1，2aBC BC =•()()AC AB AC AB =--• 222AC AC AB AB =-+•222cos AC AC AB A AB =-+• 图1 222cos b bc A c =-+，即2222cos a b c bc A =+-．同理可证2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-．证法二：已知△ABC 中，,,A B C 所对边分别为,,a b c ，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图2，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ． ∴2222(cos )(sin )a BCb Ac b A ==-+22222cos 2cos sin b A bc A c b A =-++222cos b c bc A =+-．图2同理可证2222222cos ,2cos .b c a ca B c a b ab C =+-=+-【21】．解：（1）设11(,0)k k P x --，由e xy '=，得111(,e )k x k k Q x ---点处切线方程为111e e ()k k x x k y x x ----=-．由0y =，得11(2kk x x -=-≤k ≤)n ．（2）由110,1k k x x x -=-=-得，得(1)k x k =--，所以(1)e e k x k k kPQ --==．于是，112233...n n n S PQ PQ PQ PQ =++++112(1)11e e e 1e e...e 1e e 1n nn ---------=++++==--．【22】．解：（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，则用频率估计相应的概率为0.44．（2）选择1L 的有60人，选择2L 的有40人，故由调查结果得频率为：（3）1A ，2A 分别表示甲选择1L 和2L 时，在40分钟内赶到火车站；1B ，2B 分别表示乙选择1L 和2L 时，在50分钟内赶到火车站．由（2）知12()0.10.20.30.6,()0.10.40.5P A P A =++==+=，因为12()()P A P A >，所以甲应选择1L； 12()0.10.20.30.20.8,()0.10.40.40.9P B P B =+++==++=，因为21()()P B P B >，所以乙应选择2L ．【23】．解：（1）由题设知1()ln g x x x=+， ∴21(),x g x x-'=令()g x '=0，得x =1．当(0,1)x ∈时，()0g x '<，故(0,1)是()g x 的单调递减区间．当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，故(1,)+∞是()g x 的单调递增区间，因此，x =1是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1g =．（2）1ln g x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，设11()()2ln h x g x g x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，则22(1)()x h x x -'=-．当1x =时，(1)0h =，即1()g x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，()0,(1)0h x h ''<=，因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减．当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，当1,()(1)0x h x h ><=时，1()g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭即．（3）由（1）知()g x 的最小值为1，所以1()()g a g x a -<对任意0x >成立1()1,g a a ⇔-< 即ln 1,a <从而得0e a <<，即a 的取值范围为(0,e)．【End 】。

2011年成人高考高起点数学真题及答案(WORD版)

精心整理2011年成人高等学校招生全国统一考试数学（文史财经类）专科一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。

(1) 函数 y= √4—x2 的定义域是（A （C ∪[2,+ ∞](2) （A 2(3) (4) ，3 （A (5) 已知集合A={1,2,3,4}, B={x|—1<x<3},则A ∩B=(A) {0,1,2} （B ）{1,2} （C ）{1,2,3} (D){—1,0,1,2}(6) 二次函数 y = x2+ 4x + 1(A) 有最小值 —3 （B ）有最大值 —3(C）有最小值—6 （D）有最大值—6(7) 不等式| x —2 | < 3的解集中包含的整数共有(A)8个（B）7个（C）6个（D）5个(8) 已知函数y=f(x)是奇函数，且f (-5) = 3,则f（5）=（A）5 （B）3 （C）-3 (D) -5(9) 若（A(10)（11（A(12)（A（（8项（14）设圆x2+y2+4x-8y+4=0的圆心与坐标原点间的距离为d，则(A)4<d<5 (B)5<d<6 (C)2<d<3 (D)3<d<4(15) 下列函数中，既是偶函数，又在区间（0,3）为减函数的是（A）y=cos x (B)y=log2 x (C)y=x2- 4 (D) y= (1)3(16)一位篮球运动员投篮两次，两投全中的概率为0.375，两投一中的概率为0.5，则他两投全不中的概率为（A）0.6875 （B）0.625 （C）0.5 （D）0.125（17）A,B是抛物线y2=8x 上两点，且此抛物线的焦点在线段ＡＢ上，已知Ａ，Ｂ两点的横坐标之和为１０，则｜ＡＢ｜＝(21)（22（23=840.（I）求数列{am }的首项a1及通项公式：（II）数列{am}的前多少项的和等于84？（24）（本小题满分12分）设椭圆x22+ y2 =1 在y 轴正半轴上的顶点为M，右焦点为F，延长线段MF与椭圆交于N。

2012年高考真题——数学理(陕西卷)试题及答案word版

2012年陕西省高考理科数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）、1、集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则MN =（ C ）（A ） (1,2) （B ） [1,2) （C ） (1,2] （D ） [1,2] 2、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ D ）（A ） 1y x =+ （B ） 3y x =- （C ） 1y x= （D ） ||y x x = 3、设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的（ B ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 4、已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ A ）（A ）l 与C 相交（B ） l 与C 相切（C ）l 与C 相离（D ）以上三个选项均有可能5、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ A ）（A ）（B （C ）（D ） 356、从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则（ B ）（A ） x x <甲乙，m 甲>m 乙（B ） x x <甲乙，m 甲<m 乙（C ） x x >甲乙，m 甲>m 乙（D ） x x >甲乙，m 甲<m 乙7、设函数()x f x xe =，则（ D ）（A ） 1x =为()f x 的极大值点（B ）1x =为()f x 的极小值点（C ） 1x =-为()f x 的极大值点（D ）1x =-为()f x 的极小值点8、两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ C ）（A ） 10种（B ）15种（C ） 20种（D ） 30种9、在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ C ）（A ）（B ） 2（C ） 12 （D ） 12-10、右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ D ）（A ） 1000NP = （B ） 41000NP =（C ） 1000MP =（D ） 41000MP =二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、观察下列不等式213122+< 231151233++<，222111712344+++<……照此规律，第五个．．．不等式为 2222211111111++234566+++<、 12、 5()a x +展开式中2x 的系数为10，则实数a 的值为 1 。

2011年辽宁高考数学试题及答案经典word版(理科)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．a 为正实数，i 为虚数单位，2=+ii a ，则=aA ．2BCD ．12．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若 N ð=M I ∅，则=N MA ．MB ．NC ．ID ．∅3．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A ．34B ．1C ．54D ．744．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a bA ．B ．CD5．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）= A ．18 B ．14C ．25D ．126．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是 A ．8 B ．5 C ．3D ．27．设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=A ．79-B ．19-C ．19D ．798．如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是 A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角9．设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞]D ．[0，+∞]10．若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为A ．12-B ．1C ．2D ．211．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为A ．（1-，1）B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）12．已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S—ABC 的体积为 A ．33B ．32C ．3D ．1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(12222>>=+b a by ax 上，C 的焦距为4，则它的离心率为．14．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是．16．已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f的部分图像如下图，则=)24(πf ．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12P D ．（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；（II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值．19．（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：种植哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x为样本平均数．20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（I ）设12e =，求B C 与A D 的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．（I ）讨论)(x f 的单调性；（II ）设0>a ，证明：当ax 10<<时，)1()1(x af x af ->+；（III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '（x 0）＜0．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ．（I ）证明：CD //AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F四点共圆．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合．（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；（II ）设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4π-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(x f =|x -2||-x -5|．（I ）证明：3-≤)(x f ≤3；（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4．只给整数分数，选择题不给中间分一、选择题1—5 BACDB 6—10 CADDB 11—12 BC 二、填空题13．2 14．0.254 15． 161.正确答案B提示一本题考查复数和模的运算，考查学生基本计算能力，清晰分母实数化是解题的前提. 提示二首先化简复数，然后利用模的运算得到含有a 的等式，进而求解. 提示三12,1a i ai i+-+===即23a =，又a为正实数，a ∴=2.正确答案A提示一本题考查韦恩图的应用，考查学生数形结合能力，清晰集合的概念是解题的前提.提示二根据 N ð=M I ∅画出韦恩图，然后明确.M N 提示三作出满足条件的韦恩（Venn ）图，易知M N M = 3.正确答案C提示一本题考查抛物线定义的应用，考查学生的等价转换能力，利用转化思想得到AM BN AF +=+B F 是解题的关键. 提示二利用梯形的中位线的性质进行过渡求解中点C 的横坐标. 提示三如图，由抛物线的定义知，AM BN AF +=+33,,2B FCD ==所以中点C 的横坐标为315244-=.4.正确答案D提示一提示二利用正弦定理将已知表达式中的边转化为角是解题的关键.提示三2sin sin cos ,a A B b A +=由正弦定理可得：22sin sin sin cos ,A B B A A +=sin B A ∴=,即b a=5.正确答案B提示一此题考查古典概率，考查学生识别事件的能力，清晰事件的计算公式是解题的前提. 提示二准确计算出()()P A P AB 、是解题的关键.提示三222232225541(),()1010C C C P A P A B C C +====,()1()()4P A B P B A P A ∴==.6.正确答案C提示一本题考查流程图，考查学生的识图能力.清晰框图的流程过程是解题的前提. 提示二抓住流程图的限制条件k n <是解题的关键. 提示三初始值1,0,1,1,p s t k ====循环开始，第一次:1,1,1,2,p s t k ====第二次:2,1,2,3,p s t k ====第三次:3,2,3,4,p s t k ====此时，k n <不成立，跳出循环，输出3p =. 7.正确答案A提示一此题考查三角函数求值，考查学生划归能力，清晰两角和的公式和二倍角公式是解题的前提.提示二利用平方技巧过渡是解题的关键. 提示三由1sin(),43πθ+=得1cos ,223θθ+=即sin cos 3θθ+=两边平方，得21sin 2,9θ+=7sin 29θ∴=-.8.正确答案D提示一此题考查立体几何的位置关系和角的判断，考查学生的空间形象能力.清晰线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理和线面角、异面直线所成的角的定义是解题的前提. 提示二采用逐一判断的方法进行分析.提示三,,,SD ABCD AC ABCD SD AC ABCD ⊥⊂∴⊥ 面面又为正方形， ,,AC BD SD BD D ∴⊥⋂=又,.AC SBD AC SB ∴⊥⊥面故A 对； ,,AB CD CD CDS AB CDS AB SCD ⊂∴ ∥面在面外，∥面,故B 对；设,AC BD O ⋂=由上面的分析知，ASO CSO ∠∠与分别是,SA SBD SC SBD 与面与面所成的角，易知ASO CSO ∠∠与相等，故C 对；选D. 9.正确答案D提示一此题考查分段函数的性质，考查学生转化能力，清晰分段函数的性质是解题的前提. 提示二判断函数在定义域上的单调性是解题的关键.提示三易知，()f x R 在上是减函数，由122,0,x x -==得所以x 的取值范围是[)0+∞，. 10.正确答案B提示一此题考查向量模的最值.考查学生运算能力.清晰数量积的运算是解题的前提. 提示二利用将||c b a -+平方的技巧进行转化是解题的关键.提示三2)()()1()0,a c b c a b a b c c a b c -⋅-=⋅-+⋅+=-+⋅≤ （()1;a b c ∴+⋅≥222222()2()2()32()a b ca b a b c c a b c a b c a b c +-=+-+⋅+=++-+⋅=-+⋅321≤-=.11.正确答案B提示一此题考查不等式的解法，考查学生构造能力，通过42)(+>x x f 构造函数()()(24h x f x x =-+是解题的前提. 提示二利用求导判断函数()()(24)h x f x x =-+单调性是解题的关键.提示三设''()()(24),()()2h x f x x h x f x =-+=-则0>,故()h x R 在上单调递增，又(1)(1)20h f -=--=所以当1x >-时，()0h x >，即()24f x x >+.12.正确答案C提示一此题考查棱锥的体积，考查学生的画图能力和空间想象能力.利用题设条件准确画出图形是解题的前提.提示二明确三棱锥的底面面积和高是解题的关键. 提示三如图，过A B 作与直径S C 垂直的球的截面，交S C 于点D ，在R t SA C ∆中，cos 30=sin 30SA SC AD SA =⋅=⋅同理BD ABD =∆故为正三角形.1160=42434ABD S ABC S V ∆-=⨯=⨯⨯=故13.正确答案 2提示一此题考查双曲线的离心率，考查学生基本知识掌握情况，清晰双曲线的几何性质是解题的前提.提示二利用点在曲线上和焦距得到方程组是解题的关键. 提示三22491ab-=与224a b +=联立，求得1a =，所以2c e a==.14.正确答案0.254提示一此题考查回归方程，考查学生的基础知识掌握情况，清晰归回方程的含义是解题的前提.提示二利用321.0254.0ˆ+=x y求解“年饮食支出平均增加量”是解题的关键. 提示三家庭收入每增加1万元，对应的回归直线方程中的x 增加1，相应的ˆy的值增加0.254，即年饮食支出平均增加0.254万元.S15.正确答案提示一此题考查几何体的三视图，考查学生的分析解决问题能力和空间形象能力，清晰三视图的观察方法是解题的前提.提示二根据俯视图和左视图得到几何体的性质是解题的关键.提示三如图，设底面边长为a ，则侧棱长也为a，24a a ⋅=，故38,2a a ==.左视图与矩形11D C C D 相同，112D C C D S a a =⋅=四边形16.提示一此题考查函数解析式，考查学生视图能力，清晰A ωϕ、、的含义是解题的前提. 提示二利用函数图象得到周期，利用点308π（，）代入解析式确定ϕ，利用（0,1）代入解析式确定A ，进而明确函数的解析式，然后求()24f π. 提示三由图知，3=-==22882T T πππω∴∴，，,()tan(2),f x A x ϕ∴=+将308π（，）代入得，3t a n (2+=08A πϕ⨯）即3tan()0,4πϕ+=又ϕ2π<，=4πϕ∴.()sin(2).4f x A x π∴=+又(0)1,tan1, 1.()tan(2)tan4242443f A A f πππππ=∴=∴=∴=⨯+==三、解答题17．解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分（II ）设数列1{}2n n n a n S -的前项和为，即2111,122n n n a a S a S -=+++= 故，12.2242n n nS a a a =+++1C1D1AABC1B所以，当1n >时， 1211111222211121()2422121(1)22n n n n n nn nn n S a a a a a a n n------=+++--=-+++--=---=.2nn所以1.2n n n S -=综上，数列11{}.22n n n n a n n S --=的前项和 ………………12分18．解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz.（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）.则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).D Q D C PQ ===-所以0,0.PQ D Q PQ D C ⋅=⋅=即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC. 故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分（II ）依题意有B （1，0，1），(1,0),(12,1).C BB P ==--设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,n C B x x y z n B P ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩即因此可取(0,1,2).n =--设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.m B P m P Q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可取(1,1,1).cos ,5m m n =<>=-所以故二面角Q —BP —C的余弦值为5-………………12分19．解：（I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且481344482244483144484811(0),708(1),3518(2),358(3),3511(4).70P X C C C P X C C C P X C C C P X C P X C===============即X 的分布列为………………4分 X 的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………6分（II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲………………8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.20．解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b abaa+=+=>>设直线:(||)l x tt a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得(,(,A t B t ………………4分当1,,,22A B e b a y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知222||3||:||.2||4B A y bBC AD y a === ………………6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即,a bt t a =- 解得222221.abe t a a b e -=-=---因为221||,01,1, 1.2et a e e e -<<<<<<又所以解得所以当02e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ；当12e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分21．解：（I ）()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x +-'=-+-=-（i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加. （ii ）若10,()0,a f x x a '>==则由得且当11(0,),()0,,()0.x f x x f x a a ''∈>><时当时所以1()(0,)f x a 在单调增加，在1(,)a +∞单调减少. ………………4分（II ）设函数11()()(),g x f x f x a a =+--则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax ax a aa x g x a ax ax a x =+---'=+-=+-- 当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a '<<>=>时而所以.故当10x a <<时，11()().f x f x a a +>- ………………8分（III ）由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点，故0a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f a a >且不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a <<<<<则由（II ）得111211()()()0.f x f x f x a a a -=+->= 从而1221021,.2x x x x x a a +>-=>于是由（I ）知，0()0.f x '< ………………12分22．解：（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD.因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA ，所以CD//AB. …………5分（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC.连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ，又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°.故A ，B ，G ，F 四点共圆 …………10分23．解：（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3.当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1.（II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和当4πα=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为2x =，与C 2交点B 1的横坐标为10x '=当4πα=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此，四边形A 1A 2B 2B 1为梯形.故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-= …………10分24．解：（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分（II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为；当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为 …………10分。

(word完整版)高考数学中的内切球和外接球问题

高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ,则该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ,则此球的表面积为.例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（）.A. 16B. 20C. 24D. 323.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9,底面周长为3,则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x ,高为h ,则有 6x 3 9 会 3 2.6 — x h 8 4的半径的常用公式二、构造法（补形法）1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 V 3 ,则其外接球的表面积是.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为V 3 ,则其外接球的表面积是.故其外接球的表面积S 4 r 2 9 .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a,b,c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则有2R va 2 b 2 c 2.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

2011年全国卷1高考理科数学试题含答案word版

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数212ii+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40（9）由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P（11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减（B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2011年高考数学江苏卷理科(word完美解析版)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式：（1）样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑（2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高（3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高试卷总分200 试卷时间 150一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填在题中横线上)1.已知集合A ＝{-1,1,2,4}，B ＝{-1,0,2}，则A∩B＝________.【答案】{-1,2}【解析】由交集的定义知A∩B＝{-1,1,2,4}∩{-1,0,2}＝{-1,2}. 【失分警示】把“∩”，“∪”意义混淆，导致求解结果错误. 【评析】本题主要考查“∩”的含义的理解及运算能力，正确识读“∩”符号的含义是解答本题的关键，属容易题. 2.函数的单调增区间是________.注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

h ttp://【答案】1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】要使有意义，则2x+1>0，即x>-12，而y ＝为(0，+∞)上的增函数，当x>-12时，u ＝2x+1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【失分警示】忽视2x+1>0这一约束条件是失分的主要原因. 【评析】本题主要考查复合函数单调性的判断方法及定义域的求解，考查学生逻辑推理及运算求解能力，属中等难度试题.3.设复数z 满足i(z+1)＝-3+2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________. 【答案】1【解析】解法一：∵i(z+1)＝-3+2i ， ∴z＝32i i -+-1＝-(-3i-2)-1＝1+3i ，故z 的实部是1.解法二：令z ＝a+bi(a ，b∈R)，由i(z+1)＝-3+2i 得i[(a+1)+bi]＝-3+2i ， -b+(a+1)i ＝-3+2i ，∴b＝3，a ＝1，故z 的实部是1.【失分警示】误区一：误认为i 2＝1；误区二：忽视复数相等的条件，运算失误导致求解结果错误.【评析】本题考查复数的有关概念及运算，将复数问题实数化是解决此类问题的关键，属容易题.4.根据如图所示的伪代码，当输入a ，b 分别为2,3时，最后输出的m 的值为________.【答案】3【解析】由已知可知，m 为a ，b 中的最大值，故最后输出的m 值为3.【失分警示】读不懂程序语句，导致求解结果错误.【评析】本题主要考查程序语句，对程序中条件语句的正确理解是解答本题的关键，属容易题.5.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________.【答案】13【解析】从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数的种数为24C ＝6(种)，其中一个数是另一个数的两倍的数对为1,2和2,4.故符合条件的概率为26＝13.【失分警示】把24C 误认为24A 是导致本题失分的主要原因.【评析】本题主要考查组合知识和古典概型，考查学生逻辑能力和分析问题、解决问题的能力，属容易题.6.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.【答案】165【解析】记星期一到星期五收到的信件数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则X ＝∴s 2＝15[(x 1-X )2+(x 2-X )2+(x 3-X )2+(x 4-X )2+(x 5-X )2]＝15[(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]＝165.【失分警示】误区一：X 求解错误.误区二：方差公式记忆错误导致s 2求解结果错误.【评析】本题主要考查方差的公式，考查学生的运算求解能力.公式记忆准确，运算无误是解答本题的关键，属中等难度试题.7.已知tan 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭＝2，则tan tan 2x x的值为________. 【答案】49【解析】【失分警示】两角和或差的正切公式记忆错误是学生丢分的主要原因.【评析】本题主要考查两角和或差的正切公式的应用，考查学生的运算求解能力，本题中由tan 4⎛⎫+ ⎪⎝⎭x π＝2正确求得tanx ＝13是解答本题的关键，属中等难度试题.8.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________. 【答案】4【解析】假设直线与函数f(x)＝2x的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍. 假设P 点的坐标为002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则|PQ|＝2|OP|＝≥4.当且仅当20x ＝204x ，即x 0＝2时，取“＝”.【失分警示】误区一：将线段PQ 的长误认为是|PQ|2. 误区二：将|OP|最小值误认为是所求线段PQ 长的最小值.【评析】本题考查两点间距离公式及均值定理等相关知识，考查学生分析问题、解决问题的能力，将最值问题转化为均值定理来求解是解答本题的关键，属中等难度试题.9.函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________.【答案】62【解析】由图可知A ＝2，，∴T＝π.又2πω＝T ，∴ω＝2ππ＝2. 根据函数图象的对应关系得2×3π+φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ-23π(k∈Z).取φ＝3π，则f(x)223x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f(0)＝23π6【失分警示】误区一：误将2π作为函数的周期，导致求ω出错. 误区二：不能根据题意正确求得φ的值，进而导致函数解析式求错，从而求错f(0)的值. 【评析】本题主要考查y ＝Asin(ωx+φ)的图象与性质以及三角函数周期公式T ＝2πω(ω>0)的求法，属理解层次，由图象准确确定φ的值是解答本题的关键.10.已知1e ，2e 是夹角为23π的两个单位向量，a ＝1e -22e ，b ＝k 1e +2e .若a ·b＝0，则实数k 的值为________. 【答案】54【解析】由题意a ·b ＝0即有(1e -22e )·(k 1e +2e )＝0，∴k 21e +(1-2k) 1e ·2e -222e ＝0.又|1e |＝|2e |＝1，〈1e ，2e 〉＝23π，∴k -2+(1-2k)·cos23π＝0，∴k -2＝122k -，∴k＝54. 【失分警示】误区一：向量内积的定义理解不到位；误区二：运算失误，例如将cos23π误认为是12导致求解结果错误.【评析】本题主要考查向量内积的运算，考查学生的运算求解能力.属中等难度试题.11.已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1-a)＝f(1+a)，则a 的值为________. 【答案】-34【解析】分类讨论：(1)当a>0时，1-a<1,1+a>1. 这时f(1-a)＝2(1-a)+a ＝2-a ； f(1+a)＝-(1+a)-2a ＝-1-3a.由f(1-a)＝f(1+a)得2-a ＝-1-3a ，解得a ＝-32，不符合题意，舍去.(2)当a<0时，1-a>1,1+a<1，这时f(1-a)＝-(1-a)-2a ＝-1-a ； f(1+a)＝2(1+a)+a ＝2+3a ，由f(1-a)＝f(1+a)得-1-a ＝2+3a ，解得a ＝-34.综合(1)，(2)知a 的值为-34【失分警示】由f(1-a)＝f(1+a)，误认为函数f(x)的周期为1，导致求解结果错误. 【评析】本题主要考查分段函数的相关知识，能根据题目要求对a 进行分类讨论是解答此题的关键，属中等难度试题.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f(x)＝e x(x>0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M.过点P 作l 的垂线交y 轴于点N.设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________. 【答案】2e +12e【解析】设P(x 0，0x e)(x 0>0), f ′(x)＝(e x )′＝e x，∴点P 处的切线l ，其斜率为f ′(x 0)＝0x e ，过点P 作l 的垂线l′，其斜率为-0x 1e .∴直线l 的方程为，令x ＝0得直线l′的方程为，令x ＝0得由题意令∴当x0<1时，g ′(x0)>0，函数g(x0)为增函数.当x0>1时，g ′(x0)<0，函数g(x0)为减函数.∴g(x0)在x0＝1处取极大值，亦即x0>0时t的最大值.【失分警示】误区一：导数的几何意义掌握不到位，不能求出y M，y N.误区二：求得函数关系t＝g(x0)后，不能利用导数求t的最值.【评析】本题考查导数的几何意义、直线方程、导数的应用等相关知识，知识点较多，难度偏大，考查学生的运算求解能力、分析问题解决问题的综合能力.13.设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________.33【解析】∵a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，又a1＝1，∴a3＝q，a5＝q2，a7＝q3，又a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a4＝a2+1，a6＝a2+2.由1＝a1≤a2≤a3≤…≤a7，即有解得33≤q≤3，故q 的最小值为33.【失分警示】不理解题意，无法获得相应的不等关系是学生失分的主要原因.【评析】本题主要考查等差、等比数列的通项公式，考查学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，属中等难度试题. 14.设集合，B ＝{(x ，y)|2m≤x+y≤2m+1，x ，y∈R}.若A∩B≠∅，则实数m 的取值范围是________.【答案】【解析】由A≠∅可知m 2≥2m ，解得m≤0或m≥12.由题意知，若A∩B≠∅，则有(1)当2m+1<2，即m<12时，圆心(2,0)到直线x+y ＝2m+1的距离为d 1＝≤|m|，化简得2m 2-4m+1≤0，解得1-22≤m≤1+22，所以1-22≤m<12.(2)当2m≤2≤2m+1，即12≤m≤1时，A∩B≠∅恒成立.(3)当2m>2，即m>1时，圆心(2,0)到直线x+y ＝2m 的距离为d 2＝≤|m|，化简得m 2-4m+2≤0，解得2-2≤m≤2+2，所以1<m≤2+2.综上可知：满足题意的m 的取值范围为.【失分警示】读不懂题意，分析不彻底是解答本题失分的主要原因.【评析】本题主要考查圆与直线的位置关系，考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.能根据圆心与直线的位置关系分类讨论是解答本题的关键，本题属较难题目.二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.(Ⅰ)若sin 6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2cos A ，求A 的值；(Ⅱ)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值. 【解析】(Ⅰ)由题设知sin Acos 6π+cos Asin 6π＝2cos A.从而sin A ＝3cos A ，所以cosA≠0，tan A ＝3.因为0<A<π，所以A ＝3π.(Ⅱ)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2+c 2-2bccos A ，得a 2＝b 2-c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝2π.所以sin C ＝cos A ＝13.【失分警示】由余弦定理及b ＝3c ，求得a ＝22c 后，方向不明确，思维受阻.事实上有两个方向均可，一是注意到a 2+c 2＝9c 2＝(3c)2＝b 2，出现直角三角形，二是利用正弦定理，并由a ＝22c>c ，直接求解.当然方法二要注意到a>c ，角C 不可能是钝角，不需要分类讨论. 【评析】本题考查同角三角函数的关系，两角和公式，正弦定理，余弦定理，对运算能力有较高要求，对解题程序设计能力考查较为深入，不同的思路运算量差别较大.16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点.求证：(Ⅰ)直线EF∥平面PCD ； (Ⅱ)平面BEF⊥平面PAD.【解析】(Ⅰ)在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(Ⅱ)连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形.因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.【失分警示】证明过程中关键步骤省略或遗漏常导致无谓失分，此外学生对如何证面与面垂直认识模糊、思路不清也是失分的原因之一.【评析】本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系的判定、性质，对考生的文字或符号表达能力、空间想象能力、推理论证能力均有较高要求，难度中等偏难.17.(本小题满分14分)请你设计一个包装盒.如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE＝FB＝x(cm).(Ⅰ)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(Ⅱ)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解析】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).由已知得a＝2x，h＝6022x-＝2 (30-x)，0<x<30.(Ⅰ)S＝4ah＝8x(30-x)＝-8(x-15)2+1 800，所以当x＝15时，S取得最大值.(Ⅱ)V＝a 2h ＝22(-x 3+30x 2)，V′＝62x(20-x). 由V′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值. 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.【失分警示】应用问题的难点是建立适当的数学模型.对变量取值范围的限制不准确常常导致失分.对实际问题求最值时，也易犯经验主义错误，想当然地认为正方体时取最值.【评析】本题考查函数的概念、导数求法等基础知识，考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力、运算能力及解决实际问题的能力等，要求高，难度较大，易错点颇多.18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是椭圆24x +22y ＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限.过P 作x 轴的垂线，垂足为C.连结AC ，并延长交椭圆于点B.设直线PA 的斜率为k.(Ⅰ)若直线PA 平分线段MN ，求k 的值； (Ⅱ)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (Ⅲ)对任意的k>0，求证：PA⊥PB.【解析】(Ⅰ)由题设知，a ＝2，b ＝2，故M(-2,0)，N(0，-2)，所以线段MN 中点的坐标为21,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以k ＝221--＝22. (Ⅱ)直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得24x +242x ＝1，解得x ＝±23，因此P 24,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 24,33⎛⎫--⎪⎝⎭.于是C 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AC 的斜率为＝1，故直线AB 的方程为x-y-23＝0.因此，.(Ⅲ)解法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入24x +22y ＝1，解得x ＝±.记μ＝，则P(μ，μk)，A(-μ，-μk).于是C(μ，0).故直线AB 的斜率为，其方程为y ＝2k(x-μ)，代入椭圆方程得(2+k 2)x 2-2μk 2x-μ2(3k 2+2)＝0，解得或x ＝-μ.因此.于是直线PB 的斜率因此k 1k ＝-1，所以PA⊥PB.解法二：设P(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，A(-x 1，-y 1)，C(x 1,0).设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2.因为C 在直线AB 上，所以从而k 1k+1＝2k 1k 2+1＝2因此k 1k ＝-1，所以PA⊥PB.【失分警示】第(Ⅰ)小问常见错误是联解直线AP 与直线MN 的方程组.求出交点坐标(用k 表示)，再由中点坐标公式构建关于k 的方程求k.运算复杂，步骤较多，易造成计算错误或耗时失分.处理第(Ⅱ)小问思维受阻后，如果利用第(Ⅲ)小问的结论通过面积法求点P 到直线AB 的距离，事实上并不太容易，需要联解方程组,当然利用k PB ＝-12可较快求出B 点坐标.【评析】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，是解析几何的经典题型.对考生的运算能力有较高的要求，对考生的心理素质的要求也较高，属难题.19.(本小题满分16分)已知a ，b 是实数，函数f(x)＝x 3+ax ，g(x)＝x 2+bx, f ′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数.若f ′(x)g′(x)≥0在区间I 上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I 上单调性一致.(Ⅰ)设a>0.若f(x)和g(x)在区间[-1，+∞)上单调性一致，求b 的取值范围； (Ⅱ)设a<0且a≠b.若f(x)和g(x)在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值. 【解析】f ′(x)＝3x 2+a ，g′(x)＝2x+b.(Ⅰ)由题意知f ′(x)g′(x)≥0在[-1，+∞)上恒成立.因为a>0，故3x 2+a>0，进而2x+b≥0，即b≥-2x 在区间[-1，+∞)上恒成立，所以b≥2.因此b 的取值范围是[2，+∞).(Ⅱ)令f ′(x)＝0，解得x 3a -若b>0，由a<0得0∈(a，b).又因为f ′(0)g′(0)＝ab<0，所以函数f(x)和g(x)在(a ，b)上不是单调性一致的.因此b≤0.现设b≤0.当x∈(-∞，0)时，g′(x)<0；当x∈,3a ⎛-∞-- ⎝时， f ′(x)>0.因此，当x∈,3a ⎛-∞-- ⎝时， f ′(x)g′(x)<0. 故由题设得a≥3a -b≥3a -从而-13≤a<0，于是-13≤b≤0.因此|a-b|≤13，且当a ＝-13，b ＝0时等号成立.又当a ＝-13，b ＝0时，f ′(x)g′(x)＝6x 219x ⎛⎫-⎪⎝⎭，从而当x∈1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭时f ′(x)g ′(x)>0，故函数f(x)和g(x)在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调性一致.因此|a-b|的最大值为13.【失分警示】当a<0时，由于f ′(x)的符号不确定，容易误认为先对a进行分类讨论，其次再对b进行分类讨论时，分类标准难以确定，导致分类混乱，也是常见的失分原因. 【评析】本题考查函数的概念、性质及导数等基础知识，对数形结合思想、函数与方程思想均有考查，对分类讨论思想的考查要求很高，要求考生具备较强的综合思维能力和运算能力，属难题.20.(本小题满分16分)设M为部分正整数组成的集合，数列{a n}的首项a1＝1，前n项的和为S n，已知对任意的整数k∈M，当整数n>k时，S n+k+S n-k＝2(S n+S k)都成立.(Ⅰ)设M＝{1}，a2＝2，求a5的值；(Ⅱ)设M＝{3,4}，求数列{a n}的通项公式.【解析】(Ⅰ)由题设知，当n≥2时，S n+1+S n-1＝2(S n+S1)，即(S n+1-S n)-(S n-S n-1)＝2S1.从而a n+1-a n ＝2a1＝2.又a2＝2，故当n≥2时，a n＝a2+2(n-2)＝2n-2.所以a5的值为8.(Ⅱ)由题设知，当k∈M＝{3,4}且n>k时，S n+k+S n-k＝2S n+2S k且S n+1+k+S n+1-k＝2S n+1+2S k，两式相减得a n+1+k+a n+1-k＝2a n+1，即a n+1+k-a n+1＝a n+1-a n+1-k.所以当n≥8时，a n-6，a n-3，a n，a n+3，a n+6成等差数列，且a n-6，a n-2，a n+2，a n+6也成等差数列.从而当n≥8时，2a n＝a n+3+a n-3＝a n+6+a n-6，(*)且a n+6+a n-6＝a n+2+a n-2.所以当n≥8时，2a n＝a n+2+a n-2，即a n+2-a n＝a n-a n-2.于是当n≥9时，a n-3，a n-1，a n+1，a n+3成等差数列，从而a n+3+a n-3＝a n+1+a n-1，故由(*)式知2a n＝a n+1+a n-1，即a n+1-a n＝a n-a n-1.当n≥9时，设d＝a n-a n-1.当2≤m≤8时，m+6≥8，从而由(*)式知2a m+6＝a m+a m+12，故2a m+7＝a m+1+a m+13.从而2(a m+7-a m+6)＝a m+1-a m+(a m+13-a m+12)，于是a m+1-a m＝2d-d＝d.因此，a n+1-a n＝d对任意n≥2都成立.又由S n+k+S n-k-2S n＝2S k(k∈{3,4})可知(S n+k-S n)-(S n-S n-k)＝2S k，故9d＝2S3且16d＝2S4.解得a4＝72d，从而a2＝32d，a1＝2d.因此，数列{a n}为等差数列.由a1＝1知d＝2.所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n-1.【失分警示】使用S n与a n之间的关系式时，易忽略n≥2的条件.此外，对题意的理解困难导致思维受阻也是本题的失分之处.【评析】本题考查数列的概念，数列的通项与前n项和之间的关系，以及等差数列、等比数列的基础知识，对考生的分析探究能力、运算能力、逻辑推理能力均有较高要求.数学II （附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．．其中两题，并在答题卡指定．．．．．．．．．．．．区域内作答．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分。

2011年高考数学安徽文(word版含答案)

选择题1. 1.设i 是虚数单位，复数a 1+2-ii为纯虚数，则实数a 为（）（A ）2 （B ） -2 （C ） 1-2 （D ） 122.集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则(U S T ∩）ð等于（）（A ）}{,,,1456（B ） }{,15 （C ） }{4 （D ） }{,,,,123453.双曲线8222=-y x 的实轴长是（）（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）424. 若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则a 的值为（）（A ）-1（B ） 1 （C ） 3（D ） -35.若点(,)a b 在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（）（A ）（a 1，b ）（B ）(10,1)a b - （C ）（a10,b +1）（D ）2(,2)a b 6.设变量x,y 满足110x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤，≤，≥,则x y +2的最大值和最小值分别为（）（A ）1，-1 （B ）2，-2 （C ）1，-2（D ）2，-17.若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=则（）（A ）15 （B ）12 （C ）-12 （D ）-15 8.一个空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）（A ）48 （B ）（C ）（D ）809. 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（）（A ）1（B ） 1 （C ） 1（D ）110.函数2)1()(x ax x f n -=在区间[0,1]上的图像如下图所示，则n 可能是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4填空题11.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x =22x x -，则(1)f = . 12.如下图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .13.函数y =的定义域是 .14. 已知向量,a b 满足()()+2⋅-=-6a b a b ，且1=a ，2=b ，则a 与b 的夹角为 . 15.设()f x =sin 2cos 2a x b x +，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11()012f π= ②7()10f π＜()5f π ③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ⑤存在经过点（a ，b ）的直线与函数()f x 的图像不相交以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）.解答题16.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a b 12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.17.设直线112212121,1,,20.l y k x l y k x k k k k =+=-+=：：其中实数满足（1）证明1l 与2l 相交；（2）证明1l 与2l 的交点在椭圆222+=1x y 上.18.设2e ()1xf x ax=+，其中a 为正实数. （1）当34=a 时，求()f x 的极值点；（2）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.19.如下图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1OA =，2OD =，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形.（1）证明直线BC EF ∥；（2）求棱锥F OBED -的体积.20.（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程ˆybx a =+; （2）利用（1）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.21.在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1tan tan ,n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和n S .安徽文选择题1. 1.设i 是虚数单位，复数a 1+2-ii为纯虚数，则实数a 为（）（A ）2 （B ） -2 （C ） 1-2 （D ） 122.集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则(U S T ∩）ð等于（）（A ）}{,,,1456（B ） }{,15 （C ） }{4 （D ） }{,,,,123453.双曲线8222=-y x 的实轴长是（）（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）424. 若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则a 的值为（）（A ）-1（B ） 1 （C ） 3（D ） -35.若点(,)a b 在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（）（A ）（a 1，b ）（B ）(10,1)a b - （C ）（a10,b +1）（D ）2(,2)a b 6.设变量x,y 满足110x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤，≤，≥,则x y +2的最大值和最小值分别为（）（A ）1，-1 （B ）2，-2 （C ）1，-2（D ）2，-17.若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=则（）（A ）15 （B ）12 （C ）-12 （D ）-15 8.一个空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）（A ）48 （B ）（C ）（D ）809. 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（）（A ）110（B ） 18 （C ） 16（D ）1510.函数2)1()(x ax x f n -=在区间[0,1]上的图像如下图所示，则n 可能是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4填空题11.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x =22x x -，则(1)f = . 12.如下图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .13.函数y =的定义域是 .14. 已知向量,a b 满足()()+2⋅-=-6a b a b ，且1=a ，2=b ，则a 与b 的夹角为 . 15.设()f x =sin 2cos 2a x b x +，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11()012f π= ②7()10f π＜()5f π ③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ⑤存在经过点（a ，b ）的直线与函数()f x 的图像不相交以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）. 解答题16.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a b 12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.17.设直线112212121,1,,20.l y k x l y k x k k k k =+=-+=：：其中实数满足（1）证明1l 与2l 相交；（2）证明1l 与2l 的交点在椭圆222+=1x y 上.18.设2e ()1xf x ax =+，其中a 为正实数.（1）当34=a 时，求()f x 的极值点；（2）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.19.如下图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1OA =，2OD =，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形.（1）证明直线BC EF ∥；（2）求棱锥F OBED -的体积.20.（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程ˆybx a =+; （2）利用（1）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.21.在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1tan tan ,n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和n S .参考答案1.A提示：设ii()ia b b 1+∈2-R =，则1+i i(2i)2i a b b b =-=+，所以1,2b a ==.故选A. 2.B提示：{}1,5,6U T =ð，所以(){}1,6U S T =∩ð.故选B. 3.C提示：x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C. 4.B提示：圆的方程x y x y 22++2-4=0可变形为()()x y 22+1+-2=5，所以圆心为（－1,2），代入直线x y a 3++=0得1a =. 5.D提示：由题意lg b a =，lg lg b a a 22=2=，即()2,2a b 也在函数lg y x = 图像上.6.B提示：1,1,0x y x y x +=-==三条直线的交点分别为（0,1），（0，－1），（1,0），分别代入x y +2，得最大值为2，最小值为－2.故选B. 7.A提示：12349103a a a a a a +=+==+=，故a a a 1210++=3⨯5=15L .故选A.8.C 提示：由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()12244242⨯+⨯=，四个侧面的面积为(44224++=+，所以几何体的表面积为48+故选C.9.D提示：通过画树状图或列举法可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中能构成矩形3个，所以是矩形的概率为31155=.故选D. 10.A提示：代入验证，当1n =时，()()(nn n nf x a x x a x x x2+2+1=⋅1-=-2+，则()(f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯⋅1-=3332，知a 存在.故选A. 11.－3提示：2(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-. 12.15提示：由算法框图可知(1)1232k k T k +=++++=，若T ＝105，则k ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15. 13.（－3，2）提示：由260x x -->可得260x x +-<，即()()+320x x -<，所以32x -<<. 14.3π 提示：由22(2)()6261+-=-+-=-=得，即a b a b a a b b a b ，所以1cos ,2〈〉==a b a b a b ，又,[0,]〈〉∈πa b ，所以,3π〈〉=a b . 15.①③提示：由题意可知())f x x ϕ=+的周期为π，在6x =π处取得最值，结合图像易知：①正确（12x =11π是f （x ）的零点）；③正确；④错误（在6x =π处可能取得最大值，也可能取得最小值）；⑤错误（函数f （x ）的图像和点（a ，b ）均介于直线y y ==）；由7()()()10255f f f ππππ-+=可知②错误. 16.解：由12cos()0B C B C A ++=+=π-和，得.23sin ,21cos ,0cos 21===-A A A再由正弦定理，得.22sin sin ==a Ab B,,,cos 2b a B A B B B π<<<==由知所以不是最大角从而由上述结果知).2123(22)sin(sin +=+=B A C设边BC 上的高为h ，则有.213sin +==C b h 17.证明：（1）反证法，假设是l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1=k 2，代入k 1k 2+2=0，得 .0221=+k此与k 1为实数的事实相矛盾. 从而2121,l l k k 与即≠相交.（2）（方法一）由方程组121,1y k x y k x =+⎧⎨=-⎩解得交点P 的坐标),(y x 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-=.,2121212k k k k y k k x而.144228)()2(22222122212121222121222121221222=++++=-++++=-++-=+k k k k k k k k k k k k k k k k k k y x此即表明交点.12),(22上在椭圆=+y x y x P（方法二）交点P 的坐标),(y x 满足1211.y k x y k x -=⎧⎨+=⎩，12121,0.1.1120,20.y k xx y k x y y k k x x-⎧=⎪⎪≠⎨+⎪=⎪⎩-++=⋅+=故知从而代入得整理后，得,1222=+y x所以交点P 在椭圆.1222上=+y x18.解：对)(x f 求导得22212()e (1)xax axf x ax +-'=+ . ① （1）当34=a ，若.21,23,0384,0)(212===+-='x x x x x f 解得则综合①,可知所以,21=x 是极小值点,22=x 是极大值点. （2）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a >0，知2210ax a x -+≥在R上恒成立，因此2444(1)0,a a a a ∆=-=-≤由此并结合0>a ，知010,1a a <≤，即的取值范围是（ 19.（1）证明：如下图，设G 是线段DA 与EB 延长线的交点.由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，所以OB ∥DE 且OB =DE 21，OG=OD =2，同理，设G '是线段DA 与FC 延长线的交点，有.2=='OD G O 又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合.在△GED 和△GFD 中，由OB ∥DE 且OB =DE 21和OC ∥DF 且12OC DF =，可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF . （2）解：由OB =1，OE =2，60,EOBEOB S ∠=︒=知，而△OED 是边长为2的正三角形，故OEDS=所以OBED EOB OEDS SS=+=四边形过点F 作FQ ⊥DG ，交DG 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F —OBED的高，且FQ =3，所以13.32F OBED OBED V FQ S -=⋅=四棱锥四边形 20.解：（1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，为此对数据处理如下：对处理后的数据，容易算得.2.3,5.6402604224294192)11()2()21()4(,2.3,02222=-===+++⨯+⨯+-⨯-+-⨯-===x b y a b y x 由上述计算结果，知所求回归直线方程为ˆ257(2006) 6.5(2006) 3.2,yb x a x -=-+=-+ 即ˆ 6.5(2006)260.2.y x =-+ ①（2）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为2.2992.26065.62.260)20062012(5.6=+⨯=+-（万吨）≈300（万吨）.21．解：（1）设122,,,n t t t +构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则,2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ①2121,n n n T t t t t ++=⋅⋅⋅⋅ ②①×②并利用231210(12),i n i n t t t t i n +-+==+≤≤得22(2)12211221()()()()10,lg 2, 1.n n n n n n n n T t t t t t t t t a T n n +++++=⋅⋅⋅⋅===+从而≥ （2）由题意和（1）中计算结果，知tan(2)tan(3), 1.n b n n n =+⋅+≥另一方面，利用tan(1)tan tan1tan[(1)],1tan(1)tan k k k k k k +-=+-=++⋅ 得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+k k k k 所以∑∑+==⋅+==231tan )1tan(n k n k k n k k b S 23tan(1)tan [1]tan1tan(3)tan 3.tan1n k k k n n +=+-=-+-=-∑。

2011年高考数学全国数学文(word版含答案)

选择题1．设集合U ={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U M N ð（∩）=（）.(A){}12，(B){}23，(C){}2，4(D){}1，42．函数0)y x =≥的反函数为（）.(A)2()4x y x =∈R (B)2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x ∈R(D)24(0)y x x =≥3．设向量,a b 满足1||||1,2==⋅=-a b a b ,则2+=a b （）.4．若变量,x y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（）.(A)17(B)14(C)5(D)35．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是（）.(A)a >1b + (B)a >1b - (C)2a >2b (D)3a >3b6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差d = 2，224k k S S +-=,则k = （）.(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 57．设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（）.(A)13(B) 3 (C) 6 (D) 98．已知直二面角l αβ--，点,,A AC l α∈⊥C 为垂足，点,B BD l β∈⊥，D 为垂足，若AB =2，1AC BD ==，则CD =（）.(A)2(D)19．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）. (A)12种 (B)24种 (C)30种 (D)36种 10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=（）.(A) 12-(B)1 4-(C)14(D)1211．设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =（）.(A)4(B)(C)8(D)12．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N .若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（）. (A)7π (B)9π (C)11π (D)13π填空题13．10(1)x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为． 14．已知α∈（3,2ππ），tan 2,cos αα=则= ． 15．已知正方体1111ABCD A BC D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为．16．已知12,F F 分别为双曲线C : 221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为（2，0），AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF = ．解答题17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S .18．△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．己知sin sin sin sin ,a A c C C b B += （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若75,2,A b ==求a c ,.19．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立.（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（II ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.20．如下图，四棱锥S ABCD -中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，AB =BC =2，CD =SD =1.（I ）证明：SD ⊥平面SAB ；（II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小.21．已知函数32()3(36)124()f x x ax a x a a =++---∈R . （I ）证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）；（II ）若0()f x x x =在处取得极小值，0(1,3)x ∈，求a 的取值范围.22．如下图，已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为l 与C 交于,A B 两点，点P 满足.OA OB OP ++=0（Ⅰ）证明：点P 在C 上；（II ）设点P 关于O 的对称点为Q ，证明：,,,A P B Q 四点在同一圆上.参考答案1.D提示：由于{2,3}M N =，所以(){1,4}U MN =ð；2.B提示：由y ＝x ≥0），得x ＝24y （y ≥0）.故所求反函数为y ＝24x （x ≥0）.3.B提示：222441423,+=++⋅=+-=a b a b a b 即2+=a b4.C提示：如下图，约束条件所表示的可行域为阴影部分，把直线2x ＋3y ＝0平移，当它过点A (1，1)时，函数23z x y =+的值达到最小，所以z min ＝2×1＋3×1＝5；5.A提示：这需要逐个判断和辨别：对于（B ），1a b >-是a b >成立的必要不充分条件；对于（C ），22a b >是a b >成立的既不充分又不必要条件；对于（D ），33a b >是a b >成立的充要条件；只有（A ），1a b >+是使a b >成立的充分而不必要条件. 6.D提示：因为212111()[(1)]2(21)k k k k S S a a a kd a k d a k d +++-=+=++++=++，所以22(21)24k ++=，解得k ＝5. 7.C提示：两个图像能再次重合，说明平移的单位长度3π应为最小正周期的整数倍，即23kT k ωππ==⋅，k ∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z .故正数ω的最小值为6. 8.C提示：如下图，依题意可知AC β⊥，故AC BC ⊥.又2,1,AB AC BD ===，可得BC =CD9.B提示：本题可分两步，第一步是从4位同学中选出2人选修课程甲，有24C 种不同的方法；第二步是剩下的2位同学选乙或丙课程，有2×2种不同的方法.根据分步计数原理，不同的选法共有24C 2224⨯⨯=种.10.A提示：5511111()(+2)=()=()=2(1)2222222f f f f -=----⨯-=-⨯.11.C提示：依题意，这样的圆必位于第一象限，设半径为r ，则圆心为(r ，r )，所以2224+1-)r r r -=（）（，即210170r r -+=.若两圆的半径分别为12,r r ，则两圆心的距离128C C ====.12.D提示：如下图，圆M 的半径是2，球的半径为4，故球心O 到圆M 的距离为322422=-=OM .又圆N 所在平面与圆M 所在平面成60︒二面角，所以球心O 到圆N 的距离为32==OMON ，所以圆N 的半径1334222=-=-=ON R r ，于是面积为2r ππ=13.13．0A B lC D αβE提示：通项公式11010()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-，故x 的系数是110C -，9x 的系数是910C -，根据组合数性质191010C C =，所以系数之差为0. 14．提示：由()2α3π∈π，，tan 2α=，得541t a n1s e c 2-=+-=+-=αα，故55s e c 1c o s -==αα； 15．23提示：如下图，连结DE ，则DAE ∠就是异面直线AE 与BC 所成的角，易得32231c o s ===∠AE AD DAE .16．6提示：由1(6,0)F - ，2(6,0)F ，(2,0)M ，知1284MF MF ==，.根据角平分线定理，得22121==MF MF AF AF ，即212AF AF =.又根据双曲线的定义，知6221==-a AF AF ，解得62=AF . 17．解：设{}n a 的公比为q ，由题设得12116,630.a q a a q =⎧⎨+=⎩解得113,2,2, 3.a a q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或当113,2,32,3(21);n n n n a q a S -===⨯=⨯-时当112,3,23,3 1.n n n n a q a S -===⨯=-时18．解：（I）由正弦定理得222.a c b +=由余弦定理得2222cos .b a c ac B =+-故cos 45.B B ==︒因此（II ）sin sin(3045)A =︒+︒s i n 30c o s 45c o s 30s i n 45=︒︒+︒︒=故sin 1sin A a b B =⨯==+sin sin 602sin sin 45C c b B ︒=⨯=⨯=︒19．记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买. （I ）()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===+()()()()0.8P C P A B P A P B =+=+= . （II ）,()1()10.80.2,D C P D P C ==-=-=123()0.20.80.384.P E C =⨯⨯=20．解：（I ）如下图所示，取AB 的中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ==. 连结SE，则,SE AB SE ⊥ 又1SD =，故222ED SE SD =+，所以DSE ∠为直角. 由,,AB DE AB SE DESE E ⊥⊥=，得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥. SD 与两条相交直线AB ,SE 都垂直. 所以SD ⊥平面SAB .（II ）由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE . 作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD，2SD SE SF DE ⨯==. 作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG =DC =1. 连结SG ，则SG BC ⊥. 又,BC FG SGFG G ⊥=，故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG .作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC .S F F G FH SG ⨯==，即F 到平面SBC.由于ED //BC ，所以ED //平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也为7.设AB 与平面SBC 所成的角为α，则sin arcsin77d EB αα===.21．解：（I ）2'()3636.f x x ax a =++-由(0)124,'(0)36f a f a =-=-得曲线()0y f x x ==在处的切线方程为(36)124y a x a =-+-，由此知,曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）（II ）由2'()02120.f x x ax a =++-=得（i ）当11,()a f x ≤≤时没有极小值；（ii ）当11,'()0a a f x ><=或时由，得12x a x a =-=-+故02.x x =由题设知，1 3.a <-当1a >时，不等式13a <-无解；当1a <时，解不等式513, 1.2a a <-<-<<得综合（i ）（ii ），得a 的取值范围是5(,1).2-22．解：（I ）由题知(0,1)F ，则直线l 的方程为1y =+，代入2212y x +=并化简，得2410x --=.设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y则12,44x x ==121212)212x x y y x x +=+=++=.由题意，得312312()()12x x x y y y =-+=-=-+=-. 所以点P的坐标为(1)-. 经验证，点P的坐标为(1)-满足方程221,2y x +=故点P 在椭圆C 上. （II）由(1)2P --和题设知，(2Q ，PQ 的垂直平分线1l 的方程为2y x =.①设AB 的中点为M，则1()42M ，AB 的垂直平分线2l 的方程为14y x =+.②由①，②得12,l l的交点为1()8N .21||8||||2||||||NP AB x x AM MN NA ===-======故||||NP NA =.又||||NP NQ =，||||NA NB =，所以||||||||NA NP NB NQ ===，由此知,,,A P B Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上.。

高考数学(理)真题专题汇编：推理与证明

高考数学（理）真题专题汇编：推理与证明一、选择题1.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 2.【来源】2014年高考真题理科数学（山东卷）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根（C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根（D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根3.【来源】2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈4.【来源】辽宁省大连24中2012届高三模拟考试理科数学有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线：已知直线bα平面，直线a α⊂平面，直线b ∥平面α，则b ∥a ”的结论显然是错误的，这是因为 A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误5.【来源】2012年高考真题——理科数学（江西卷）观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b+=A．28 B．76 C．123 D．1996.【来源】2012年高考真题——理科数学（湖北卷）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式316 9d V≈.人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是A．316 9d V≈ B．32d V≈ C．3300 157d V≈ D．321 11d V≈7.【来源】2012年高考真题——理科数学（全国卷）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（A）16（B）14（C）12(D)108.【来源】2011年高考数学理（江西）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点。

2011年高考真题——理科数学（山东省） Word版含答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：柱体的体积公式：v sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长.球的体积公式V=34R 3π, 其中R 是球的半径.球的表面积公式：S=4πR 2,其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-⋅==--∑∑ . 如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第1卷（共60分）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合 M ={x|x 2+x-6<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =（A ）[1,2) （B ）[1,2] （C ）( 2,3] （D ）[2,3]（2）复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为：（A ）0 （B ）33（C ）1 （D ）3 (4)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（A ）[-5,7] (B)[-4,6] (C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D ）(-∞，-4]∪[6,+∞) （5）对于函数y=f （x ），x ∈R ，“y=|f(x)|的图像关于y 轴”是“y=f （x ）是奇函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23（7）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（A ）63.6万元（B ）65.5万元（C ）67.7万元（D ）72.0万元（8）已知双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（A ）22154x y -= （B ）22145x y -= （C ）221x y 36-= （D ）221x y 63-= （9）函数2sin 2xy x =-的图象大致是（10）已知f （x ）是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f （x ）=x 3-x ，则函数y=f （x ）的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为（A ）6（B ）7（C ）8（D ）9（11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是（A ）3 （B ）2（C ）1 （D ）0（12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是（A ）C 可能是线段AB 的中点（B ）D 可能是线段AB 的中点（C ）C ，D 可能同时在线段AB 上（D ）C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）执行右图所示的程序框图，输入2l =，m=3，n=5，则输出的y 的值是 .(14)若62x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .（15）设函数()2xf x x =+（x ＞0），观察： ()()12x f x f x x ==+ f 2 (x)=f(f 1（x ）)= 34xx +f 3 (x)=f(f 2（x ）)= 78xx +f 4 (x)=f(f 3（x ）)= 1516xx +……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f m （x ）=f （f m-1（x ））= . （16）已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）（本小题满分12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （Ⅰ）求sin sin CA的值；（Ⅱ）若cosB=14，b=2, 求△ABC 的面积S.（18）（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。

2011年高考数学全国新课标文(word版含答案)

【选择题】【1】．已知集合M ={0，1，2，3，4}，N ={1，3，5}，P M N =，则P 的子集共有（）.（A ）2个（B ）4个（C ）6个（D ）8个【2】．复数5i12i=-（）. （A ）2i - （B ）12i - （C ） 2i -+ （D ）12i -+【3】．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（）. （A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x=-+ （D ）||2x y -=【4】．椭圆221168x y +=的离心率为（）.（A ）13 （B ）12 （C （D ）2【5】．执行如下的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（）. （A ）120 （B ） 720 （C ） 1440 （D ） 5040【6】．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）. （A ）13 （B ） 12 （C ）23 （D ）34【7】．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（）. （A ） 45- （B ）35- （C ） 35 （D ）45【8】．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为（）.【9】．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（）.（A ）18 （B ）24 （C ）36 （D ）48【10】．在下列区间中，函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为（）.（A ）1(,0)4- （B ）1(0,)4 （C ）11(,)42 （D ）13(,)24【11】．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（）.（A ）()y f x =在(0,)2π单调递增，其图像关于直线4x π=对称（B ）()y f x =在(0,)2π单调递增，其图像关于直线2x π=对称（C ）()y f x =在(0,)2π单调递减，其图像关于直线4x π=对称（D ）()y f x =在(0,)2π单调递减，其图像关于直线2x π=对称【12】．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图像与函数|lg |y x =的图像的交点共有（）. （A ）10个（B ）9个（C ）8个（D ）1个填空题【13】．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量k -a b 垂直，则k =_____________．【14】．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，，则2z x y =+的最小值为_________．【15】．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．【16】．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．【解答题】【17】．已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=；（II ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．【18】．如下图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）设PD =AD =1，求棱锥D -PBC 的高．【19】．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（II ）已知用B 配方生产的一件产品的利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,94,2,94102,4,102.t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．【20】．在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．【21】．已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（I ）求a ，b 的值；（II ）证明：当x >0，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-．【22】．（选做题）如下图，,D E 分别为ABC ∆的边,AB AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，,AD AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（I ）证明：,,,C B D E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求,,,C B D E 所在圆的半径．【23】．（选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,(22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB.【24】．（选做题）设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >．（I ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（II ）若不等式()0f x ≤的解集为{}1x x ≤-，求a 的值．【参考答案】【1】．B提示：由于P ＝{1，3}，所以集合P 的子集数共有4个．故选(B). 【2】．C 提示：5i 1-2i ＝5i(1+2i)(1-2i)(1+2i)＝-2+i ，故选（C ）．【3】．B提示：（A ）选项，为奇函数，故排除；（C ）选项和（D ）选项，都为偶函数，但在(0,+∞)单调递减，故排除．选（B ）．【4】．D提示：∵a =4，b =22，∴c =22，∴e ＝c a ＝224＝22．故选（D ）．【5】．B提示：k 与p 的对应变化如下表：p ＝1【6】．A提示：设事件A 为两同学参加同一兴趣小组，三个兴趣小组分别记为X ，Y ，Z ，其基本事件总数为XX 、XY ，XZ ，YX ，YY ，YZ ，ZX ，ZY ，ZZ 共9个；事件A 包括的基本事件数为XX ，YY ，ZZ 共3个，所以P (A )=13．故选（A ）．【7】．B提示：法一、设(,2)(0)P a a a≠为直线2y x =上的一点，则r OP ==，由三角函数的定义，s i n y r θ==，由二倍角公式，22243cos 212sin 1255a a θθ=-=-⨯=-．故选（B ）．法二、由题意知tan 2θ=，由二倍角公式，22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--=-===-++．故选（B ）．【8】．D提示：由正视图和俯视图可知，这个几何体是由半个圆锥和一个三棱锥拼接而成，圆锥在后，三棱锥在前，公共面是一个垂直于底面的三角形，此时其侧视图是一个三角形，故选（D ）．【9】．C提示：由题知AB 为抛物线的通径，则212AB p ==，P 到AB 的距离等于焦点到其准线的距离，为p =6，从而ABP V 的面积S ＝12×p ×AB ＝36．故选（C ）．【10】．C提示：∵e<16，∴14e <2，∴141()=e -2<04f ．∵e >1，∴12e>1，∴121()=e -1>02f ，又函数()e 43x f x x =+-在区间(14，12)内连续，∴()f x 在区间(14，12)上有零点．选（C ）．【11】．D 提示：()f x =2sin(2x +4π+4π)=2cos2x ，由余弦函数的图像可知，()y f x =在(0,2π)内单调递减，由()2f π=2cos π=2x π=对称．故选（D ）．【12】．A提示：作出函数()y f x =与lg y x =在[-1，10]上的图像，如下图所示，由于lg10=1,所以两曲线在[0，10] 上有10个交点，故选（A ）．【13】．1提示：∵(a +b )⊥(k aa －b )，∴(a +b )⋅(k a －b )＝0，即2k a －a ⋅b +k a ⋅b －b 2＝0，整理得k (1+a ⋅b )=1+a ⋅b ．∵a 与b 不共线，∴a ⋅θ≠cos b =－1 (θ为a 与b 的夹角)， ∴k =1. 【14】．6-提示：法一、设2(2)()x y m x y n x y +=++-，即2(2)(),x y m n x m n y +=++-则21,1,2, 1.m n m m n n +==⎧⎧⎨⎨-==-⎩⎩解得从而2(2)()x y x y x y +=+--. 又329,9()6,x y x y ≤+≤-≤--≤-由不等式的性质，得623,x y -≤+≤故2z x y =+的最小值为-6．法二：画出可行域，如下图所示，求出可行域的顶点(3,-3)，(6,-3)，(4,-5)，(5,-1)，代入目标函数2z x y =+中，得出2z x y =+的最小值为-6．【15】．1534提示：设BC ＝x ，由余弦定理，得49=25+x 2-2×x ×5×(-12)，即x 2+5x -24=0，解得x =3或x =-8(舍)，所以ABC V 的面积S =12×3×5×sin120︒=1534．【16】．13提示：取几何体的轴截面，如下图，设球的半径OB R =，圆锥的底面半径CB r =，由2r π=316×42R π,解得r =32R ，在Rt OBC V 中，CO ＝12R . 又两圆锥有公共底面，∴:():()22R R PC CQ R R =-+=1:3．故应填13．【17】．（Ⅰ）证明：因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,231131)311(31nn n S -=--=所以12nn a S -=．（Ⅱ）因为n n a a a b 32313log log log +++=)21(n +++-= 2)1(+-=n n ,所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n 【18】．解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，由余弦定理得BD =．从而BD 2+AD2= AB 2，故BD ⊥AD.又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD. 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD（Ⅱ）如下图，作DE ⊥PB ，垂足为E ．已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC ．由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC //AD ，所以BC ⊥BD ．故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE ，则DE ⊥平面PBC ．由题设知，PD =1，则BD =3，PB =2.根据BE ·PB =PD ·BD ，得DE =23，即棱锥D -PBC 的高为.23【19】．解：（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为228=0.3100+，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.（Ⅱ）由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t ≥94，由试验结果知，质量指标值t ≥94的频率为0.96.所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率的估计值为0.96.用B 配方生产的产品平均一件的利润为1[4(2)542424] 2.68100⨯⨯-+⨯+⨯=（元）【20】．解：（Ⅰ）曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+故可设C 的圆心为（3，t ），则有,)22()1(32222t t +=-+解得t =1.则圆C 的半径为.3)1(322=-+t所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x（Ⅱ）设A （11,y x ），B （22,y x ），其坐标满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022y x a y x 消去y ，得到方程.012)82(222=+-+-+a a x a x由已知可得，判别式2561640.a a ∆=--> 因此，,441656)28(22,1a a a x --±-=从而21212214,2a a x x a x x -++=-=.①由于OA ⊥OB ，可得12120x x y y +=.又,,2211a x y a x y +=+=所以.0)(222121=+++a x x a x x ②由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a【21】．（Ⅰ）解：221(ln )'()(1)x a x b x f x x x +-=-+. 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即 1,1.22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知ln 1()1x f x x x=++，所以 221ln 1()(2ln )11x x f x x x x x--=--- 考虑函数()2ln h x x =-x x 12-(0)x >，则22222)1()1(22)(x x x x x x x h --=---='. 所以当1≠x 时，()0.(1)0,h x h '<=而故当)1,0(∈x 时，;0)(11,0)(2>->x h x x h 可得当),1(+∞∈x 时，21()0,()01h x h x x <>-可得. 从而当ln ln 0,1,()0,().11x x x x f x f x x x >≠->>--且时即【22】．（选做题）解：（I ）如下图所示，连结DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中， AD AB mn AE AC ⨯==⨯，即AB AE AC AD =. 又DAE CAB ∠=∠，从而△ADE ∽△ACB .因此ADE ACB ∠=∠. 所以,,,C B D E 四点共圆．（Ⅱ）m =4，n =6时，方程2140x x mn -+=的两根为122,12x x ==.故AD =2，AB =12.如下图，取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ,AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为,,,C B D E 四点共圆，所以,,,C B D E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于A ∠=90，故GH ∥AB ， HF ∥AC .从而5HF AG ==，1(122)52DF =⨯-=. 故,,,C B D E 四点所在圆的半径为52.【23】．（选做题）解：（I ）设(,)P x y ，则由条件知(,)22x y M .由于M 点在1C 上，所以 2cos ,222sin ,2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即 4cos ,44sin .x y αα=⎧⎨=+⎩ 从而2C 的参数方程为 4cos ,44sin .x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=．射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=，射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3πρ=．所以21||||AB ρρ-==【24】．（选做题）解：（I ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．由此可得 3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-． (Ⅱ) 由()0f x ≤，得30x a x -+≤.此不等式化为不等式组,30,x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或,30,x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩即 ,,4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或,.2x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2a x x ≤-. 由题设可得2a -= 1-，故2a =.【End 】。

2011年高考数学浙江文(word版含答案)

【选择题】【1】．若{1},{1}P x x Q x x =<=>-，则（）.（A ）P Q ⊆（B ）Q P ⊆（C ）C RP Q ⊆ （D ）C R Q P ⊆【2】．若复数1i z =+，i 为虚数单位，则(1)z z +⋅=（）.（A ）13i + （B ）33i +（C ）3i - （D ）3【3】．若实数,x y 满足不等式组250,270,0,0,x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩则34x y +的最小值是（）.（A ）13 （B ）15（C ）20 （D ）28【4】．若直线l 不平行于平面α，且l α⊄，则（）. （A ）α内的所有直线与l 异面（B ）α内不存在与l 平行的直线（C ）α内存在唯一的直线与l 平行（D ）α内的直线与l 都相交【5】．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B += （）.（A ）-12 （B ）12（C ） -1 （D ）1 【6】．若,a b 为实数，则 “01ab <<”是“1b a<”的（）.（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【7】．几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的直观图可以是（）.（A ）（B ）（C ）（D ）【8】．从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（）.（A ）110 （B ）310（C ）35 （D ）910【9】．已知椭圆22122:1x y C a b +=（0a b >>）与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点．若1C 恰好将线段AB 三等分，则（）.（A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【10】．设函数()()2,,R f x ax bx c a b c =++∈，若1x =-为函数()e x f x 的一个极值点，则下列图像不可能为()y f x =的图像是（）.（A ）（B ）（C ）（D ）【填空题】【11】．设函数4()1f x x=- ,若()2f a =,则实数a =_______. 【12】．若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______.【13】．某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如下图）.根据频率分布直方图可知3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_________.【14】．某程序框图如下图所示，则该程序运行后输出的k 的值是_________.【15】．若平面向量,αβ满足1,1=≤αβ，且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的取值范围是________. 【16】．若实数,x y 满足221xy xy ++=，则x y +的最大值是____________.【17】．若数列2(4)()3n n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中的最大项是第k 项，则k =__________. 【解答题】【18】．已知函数()sin ()3f x A x πϕ=+，R x ∈，0A >，02πϕ<<．()y f x =的部分图像如下图所示，P ，Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A ．（1）求()f x 的最小正周期及ϕ的值；（2）若点R 的坐标为(1,0)，23PRQ π∠=，求A 的值．【19】．已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项1a 为R)(∈a a ，且11a ，21a ，41a 成等比数列．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）对*N ∈n ，试比较2322221111...na a a a ++++与11a 的大小．【20】．如下图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．（1）证明：AP ⊥BC ；（2）已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =．求二面角B AP C --的大小．【21】．设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a .（1）求)(x f 的单调区间；（2）求所有实数a ，使2e )(1e ≤≤-x f 对e],1[∈x 恒成立．注：e 为自然对数的底数．【22】．如下图，设P 是抛物线1C ：2x y =上的动点.过点P 做圆2C 1)3(:22=++y x 的两条切线，交直线l ：3y =-于,A B 两点.（1）求2C 的圆心M 到抛物线1C 准线的距离；（2）是否存在点P ，使线段AB 被抛物线1C 在点P 处的切线平分？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【23】．（自选模块测试）设正数,,x y z 满足221x y z ++=. （1）求3xy yz zx ++的最大值；（2）证明：31112511126xy yz zx ++≥+++. 【24】．（自选模块测试）已知直线l ：1cos ,sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数，α为l 的倾斜角，且0απ<<）与曲线C ：,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）相交于,A B 两点，点F 的坐标为（1,0）.（1）求ABF ∆的周长；（2）若点E （-1,0）恰为线段AB 的三等分点，求ABF ∆的面积.【参考答案】【1】．C 提示：因为{}1|C ≥=x x P R ，故C R P Q ⊆.【2】．A提示：(1)z z +⋅=(2i)(1i)13i ++=+，选（A ）. 【3】．A提示：画出可行域，如下图所示，由⎩⎨⎧=-+=-+052072y x y x ，解得A （3，1）.将点（3，1）代入得最小值为13，故选（A ）.【4】．B提示：（A ）、（C ）、（D ）均错误，对于（B ），可用反证法证明，即若α内存在与l 平行的直线，则由线线平行可推出线面平行.故选（B ）. 【5】．D提示：由正弦定理及cos sin a A b B =可得，B B B B A A 22cos 1sin sin sin cos sin -===，移项得2sin cos cos A A B +=1. 【6】．D提示：由01ab <<，若0>a ，则1b a <；若0<a ，则1b a >.即“01ab <<”不能推出1b a<；反之也不成立（须考虑b a ,的符号）.故选（D ）. 【7】．B ；提示：根据正视图，排除（A ）、（C ）；根据侧视图，排除（D ）.故选（B ）. 【8】．D提示：一一列出所有事件总数为10，而“3个球中至少有1个白球” 的对立事件是“3个球全是红球”，共1个事件，故1091011=-=P ，选（D ）. 【9】．C提示：由共焦点知，225.a b -=由题可知||2AB a =.设2C 的一条渐近线与1C 的一个交点为C00(,)x y .则由⎩⎨⎧==+xy b a y a x b 2222222，得2220222202(5),5(4)4(5).5(4)b b x b b b y b ⎧+=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩由1C 恰好将线段AB 三等分知，||6||OC AB =，故22220036()||4x y AB a +==⇒212b =.故选（C ）.【10】．D提示：由题意，若1x =-为函数x x f e )(的一个极值点，可得：c a f f =⇒=-'+-0)1()1(，在（D ）选项中，由图可知：(1)0,2,0,2,12f b a c a a b a ba ⎧⎪-><+=⎪⎧>⇒⎨⎨>⎩⎪⎪-<-⎩发生矛盾，故（D ）错误.【11】．-1提示：由()f a =2，知42,1a=-解得1a =-. 【12】．1提示：由两直线互相垂直知，12()12m⨯-=-，故1m =. 【13】．600提示：10(0.0020.0060.012)3000600.⨯++⨯= 【14】．5 提示：一一列出：.,5,4,5;4,4,4;3,4,3454443b a b a k b a k b a k>=========所以，5=k . 【15】．⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ 提示：21sin ||||==θβαS ，所以21121sin ≥⋅=|β|θ由于],0[πθ∈，故∈θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ.【16】．332 提示：由221xy xy ++=，得222)2()()(1y x y x xy y x +-+≥-+=，332332≤+≤-y x .所以x y +的最大值是332. 【17】．4提示：1122(4)()(1)(3)()33n n n n a a n n n n ---=+--+)92(323121--⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=-n n n .当0922>--n n ，即4110>+>n ，即当5≥n 时，01<--n n a a 为递减数列；当50<<n 时，01>--n n a a 为递增数列，且0,054<>a a ，故4=k .【18】．解：（1）由题意得，2 6.3T ππ==因为(1,)sin()3P A y A x πϕ=+在的图像上，所以sin() 1.3πϕ+=又因为02πϕ<<，所以6πϕ=（2）设点Q 的坐标为0(,)x A -，如下图.由题意可知03362x πππ+=，得04,(4,)x Q A =-所以.连结PQ ，在2,3PRQ PRQ π∆∠=中，由余弦定理得222222)1c o s .22RP RQ PQ PRQ RP RQ +-∠===-⋅解得2 3.A =又0,A A >=所以【19】．解（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知2214111()a a a =⋅. 即2111()(3)a d a a d +=+，从而21a d d =. 因为10,.dd a a ≠==所以故通项公式.na na =（2）记22222111,2n nn nT a a a a a =+++=因为，所以211[1()]111111122()[1()]1222212n n nn T a a a -=+++=⋅=--.从而，当0a >时，11nT a <；当110,.n a T a <>时【20】．（1）证明：由AB AC =，D 是BC 的中点，得AD BC ⊥，又PO ⊥平面ABC ，，得PO BC ⊥.因为PO AD O ⋂=，所以BC ⊥平面PAD ，故.BC PA ⊥（2）解：如下图，在平面PAB 内作BM PA ⊥于M ，连结CM .因为,BCPA PA ⊥⊥得平面BMC ，所以AP CM ⊥.故BMC ∠为二面角B AP C --的平面角. 在222Rt ,41,ADB ABAD BD AB ∆=+=中得在222Rt POD PDPO OD ∆=+中,，在Rt PDB ∆中，222PB PD BD =+，所以222236, 6.PBPO OD BD PB =++==得在222Rt ,25, 5.POA PAAO OP PA ∆=+==中得又2221cos ,sin 23PA PB AB BPA BPA PA PB +-∠==∠=⋅从而.故sin BMPB BPA =∠=同理CM=因为222BM MC BC +=，所以90BMC ∠=︒，即二面角B AP C --的大小为90.︒【21】．（1）解：因为22()ln f x a x x ax =-+，其中0x >，所以2()(2)()2a x a x a f x x a x x-+'=-+=-.由于0a >，所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞.（2）证明：由题意得，(1)1e 1,e f a a =-≥-≥即.由（1）知()f x 在[1,e]内单调递增，要使2e 1()e f x -≤≤对[1,e]x ∈恒成立，只要222(1)1e 1,(e)e e e ,f a f a a =-≥-⎧⎨=-+≤⎩解得 e.a =【22】．解（1）因为抛物线1C 的准线方程为：14y =-，所以圆心M 到抛物线1C 准线的距离为：111|(3)|.44---= （2）设点P 的坐标为200(,)x x ，抛物线1C 在点P 处的切线交直线l 于点D . 再设,,A B D 的横坐标分别为,,A B D x x x . 过点200(,)P x x 的抛物线1C 的切线方程为：20002()y x x x x -=- .（1）当01x =时，过点P （1，1）与圆2C 的切线PA 为：151(1)8y x -=-.可得17,1,1,215A B D A B D x x x x x x =-==-+≠.当10-=x 时，过点P （-1，1）与圆2C 的切线PB 为：151(1)8y x -=-，可得D B A D B A x x x x x x 2,1,1517,1≠+==-=.所以2010x -≠设切线,PA PB 的斜率为12,k k ，则2010:()PA y x k x x -=-，（2）2020:()PB y x k x x -=-. （3）将3y =-分别代入（1），（2），（3）得 22200000012012333(0);;(,0)2D A B x x x x x x x x x k k x k k -++=≠=-=-≠，从而20012112(3)().A B x x x x k k +=-++21=，即22222010010(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=.同理，22222020020(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=.所以12,k k 是方程222220000(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=的两个不相等的根，从而222000121222002(3)(3)1,.11x x x k k k k x x ++-+=⋅=--因为2A B D x x x +=，所以220001201203111112(3)(),.x x x k k x k k x --++=+=即从而20022002(3)1(3)1x x x x +=+-，进而得4008,x x ==.综上所述，存在点P 满足题意，点P的坐标为(【23】．（自选模块测试）（1）解：3()3()[12()]xy x y z xy x y x y ++=++-+23()2()xy x y x y =++-+223()()2()4x y x y x y ≤+++-+ 25()()4x y x y =-+++ 25211[()].4555x y =-+-+≤ 当15x y z ===时等号成立，3xy xz yz ++取到最大值15. （2）证明：由柯西不等式和（1）得311251113(1)(1)(1)x y y z z x x y y z z x ++≥++++++++25125.11655≥=+ 【24】．（自选模块测试）解：（1）如下图，曲线C 的方程为1222=+y x ，得)0,1(F ，)0,1(-E 为椭圆C 的两个焦点，又,A B 在椭圆上，知222||||||||==+=+a BF BE AF AE ，又直线AB 过点E ，所以，ABF ∆的周长为24.（2）解：将⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x 代入1222=+y x ，得01cos 2)sin 1(22=-⋅-+t t αα. 设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，其中08)sin 1(4cos422>=++=∆αα，且αα221sin 1cos 2+=+t t ，……① α221sin 11+-=t t ……② 则α22122121sin 1224)(||||+=-+=-=t t t t t t AB . 不妨设1:2||:||=EB AE ，则212t t -=所以⎩⎨⎧-=-=+22212212t t t t t t ，得22121)(2t t t t +-=，所以α2sin 11+-=222)sin 1(cos 42αα+⋅-，即αα22sin 1cos 8+=，得97sin 2=α，则αααsin 2sin 12221sin ||||212⋅+⋅=⋅⋅=∆EF AB S ABF =8143.【End 】。

2011年北京高考数学(理)试题及答案word版

2011年北京高考数学（理）试题及答案word 版本试卷共5页，150分。

考试时间长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（A ）(-∞, -1] （B ）[1, +∞）（C ）[-1，1] （D ）（-∞，-1] ∪[1，+∞）【答案】C【解析】：2{|1}{|11}P x x x x =≤=-≤≤，[1,1]PM P a =⇒∈-，选C 。

（2）复数212i i-=+ （A ）i （B ）-i （C ）4355i -- （D ）4355i -+【答案】A【解析】：22i 2(i 2)(12i)2242(1)2412i (12i)(12i)1414(1)i i i i ii i ---------+====++----，选A 。

（3）在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是(A) (1,)2π (B) (1,)2π- (C) (1,0) (D)(1，π)【答案】B【解析】：222sin (1)1x y ρθ=-⇒++=，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为(1,)2π-，选B 。

（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）-3 （B ）-12（C ）13（D ）2【答案】D【解析】：循环操作4次时S 的值分别为11,,3,232--，选D 。

（5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。

给出下列三个结论：○1AD+AE=AB+BC+CA ； ○2AF ·AG=AD ·AE③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③【答案】A.【解析】：①正确。

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2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学（理工农医类）【选择题】【1】．设a,b 是向量，命题“若=-a b ，则||||=a b ”的逆命题是（）．（A ）若≠-a b ，则||||≠a b （B ）若=-a b ，则||||≠a b（C ）若||||≠a b ，则≠-a b（D ）若||||=a b ，则=-a b【2】．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（）．（A ）28yx =- （B ）28yx = （C ）24yx =- （D ）24y x =【3】．设函数()()f x x ∈R 满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+=,则()y f x =的图像可能是( ).（A ）（B ）（C ）（D ）【4】．6(42)xx --()x ∈R 展开式中的常数项是( ).（A ）20-（B ）15-（C ）15（D ）20【5】．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( ).（A ）2π83-（B ）π83-（C ）82π-（D ）2π3【6】．函数()cos f x x =在[0,)+∞内( ).（A ）没有零点（B ）有且仅有一个零点（C ）有且仅有两个零点（D ）有无穷多个零点【7】．设集合221{||cos sin |,},{|||}iM y y x x x N x x x ==-∈=-<∈R R 为虚数单位,，则M N ⋂为( ). （A ）(0,1)（B ）(0,1] （C ）[0,1)（D ）[0,1]【8】．下图中，123,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分．当126,9,8.5x x p ===时，3x 等于( ).（A ）11 （B ）10 （C ）8（D ）7【9】．设1122(,),(,)x y x y ，…，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是( ). （A ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率（B ）x 和y 的相关系数在0到1之间（C ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同（D ）直线l 过点(,)x y【10】．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ).（A ）136（B ）19（C ）536（D ）16【填空题】【11】．设2lg ,0,()3d ,0,ax x f x x t t x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰≤若((1))1f f =，则a = ．【12】．设n +∈N ,一元二次方程240x x n -+=有整．数．根的充要条件是n = ．【13】．观察下列等式1=12+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为．【14】．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返．．所走的路程总和最小，这个最小值为（米）．【15】．（选做题）若关于x 的不等式a ≥12x x ++-存在实数解，则实数a 的取值范围是．【16】．（选做题）如图，,,90B D AE BC ACD ∠=∠⊥∠=︒，且6,4,12AB AC AD ===，则BE = ．【17】．（选做题）直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点,A B 分别在曲线13cos 4sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩，：（θ为参数）和曲线21C ρ=：上，则AB 的最小值为．【解答题】【18】．如图，在△ABC 中，60,90,ABC BAC AD ∠=︒∠=︒是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使90BDC ∠=︒．（1）证明：平面ADB ⊥平面BDC ；（2）设E 为BC 的中点，求AE 与DB 夹角的余弦值．【19】．如图，设P 是圆2225xy +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且45MD PD =．（1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．【20】．叙述并证明余弦定理．【21】．如图，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线e x y =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ．再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P，2Q ；…；n P ，n Q ，记k P 点的坐标为(,0)(1,2,,)k x k n =．（1）试求k x 与1k x -的关系(2≤k ≤)n ；（2）求112233n n PQ PQ PQ PQ ++++．【22】．如图，A 地到火车站共有两条路径1L 和2L ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X 的分布列和数学期望．【23】．设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1(),()()()f x g x f x f x x''==+．（1）求()g x 的单调区间和最小值；（2）讨论()g x 与1g x ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系；（3）是否存在00x >，使得01()()g x g x x-<对任意0x >成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由．【参考答案】【1】．D提示：结合命题与逆命题的结构特点，即知选项（D ）正确. 【2】．B提示：依题意可设抛物线的方程为()220y px p =>，又22p-=-，所以224p =⨯=，故所求抛物线的方程为28y x =.【3】．B 提示：因为()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数.因为()()2f x f x +=，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数.由此判断即知，选项（B ）正确.注意：选项（A ）（C ）是奇函数的图像，故错误.选项（D ）是偶函数的图像，但周期为4，故错误. 【4】．C提示：因为()()()()6123166C 42C 12rrrr xrx x r r T ---+=⋅⋅-=⋅-⋅，又令1230r -=，得4r =，故所求常数项是()4456C 115T =⋅-=. 【5】．A提示：由三视图知，对应几何体是这样的：在棱长为2的正方体中挖去一个倒放的圆锥（高为2，底面圆半径为1）.故所求体积为()3212212833V ππ=-⨯⨯⨯=-. 【6】．B提示：函数()cos f x x 在[)0,+∞内的零点，即为关于x cos x =在[)0,+∞内的实数根，亦即为曲线y 和曲线cos y x =在[)0,+∞内图像交点的横坐标.在同一坐标系内，作函数y =和cos y x =在[)0,+∞1,cos x >≤1易知它们的交点有且只有一个.故函数()cos f x x =在[)0,+∞内有且仅有一个零点.【7】．C提示：因为2221cos sin cos 2,i 1ix x x x x x -=-⇒+⇒<，所以集合{|0M y =≤y ≤1}，{}11N x x =-<<，故[)0,1M N ⋂=.【8】．C 提示：输入126,9x x ==，所以12x x -≤2不成立，从而输入3x .若3369x x -<-成立，则133368.51122x x x p x ++===⇒=，但此时3369x x -<-不成立.若3369x x -<-不成立，则323398.5822x x x p x ++===⇒=，满足3369x x -<-不成立. 综上，所求38x =.【9】．D提示：因为线性回归直线必经过样本中心点(),x y ，所以选项（D ）正确.注意：由图知，直线l 的斜率小于零，所以x 和y 的相关系数必小于零，但x 和y 的相关系数并不是直线l 的斜率，故选项（A ）（B ）错误.因为无论n 为奇数或偶数，所有样本点都基本集中在直线l 的附近，至于直线l 两侧的样本点的个数是否相同显然是不确定的，故选项（C ）错误. 【10】．D提示：因为6选4时，甲、乙两人共有4466A A ⋅种不同的游览方法，又考虑到最后一小时他们同在一个景点时共有133655C A A⋅⋅种不同的游览方法，故由古典概型知，所求概率为1336554466C A A 1A A 6P ⋅⋅==⋅. 【11】．1 提示：因为()1lg10f ==，所以由()()11f f =得()23000103d 111aaf t t t a =⇒+=⇒=⇒=⎰. 【12】．3或4提示：一元二次方程240x x n -+=有整数根，首先要满足164n ∆=-≥0，又n +∈N ，所以1,2,3,4n =.又由240x x n -+=变形得()224x n -=-，从而经检验即知3n =或4时存在x 为整数满足此式成立.故所求充要条件是3n =或4. 【13】．()()()()2123221n n n n n ++++++-=-提示：由所给等式可知，第n 个等式左边第一个加项为n ，然后依次增加1，最后一个加项为等差数列1,4,7,10,的第n 项（经计算得32n -）；右边是数列22221,3,5,7,的第n 项（经计算得()221n -）.故依规律可得，所求第n 个等式为()()()()2123221n n n n n ++++++-=-.【14】．2000提示：方法一：设开始时树苗集中在第x 个树坑旁边，则路程总和为()()2102010110201020x x +++-++++-⎡⎤⎣⎦()()201211220x x =+++-++++-⎡⎤⎣⎦()()()()21202120202121022x x x x x x ---⎡⎤=+=-+⎢⎥⎣⎦.又1,2,3,,20x =，从而易知当10x =或11x =时路程总和最小，且最小值为2000.方法二：设开始时树苗集中在第x 个树坑旁边，则借助数轴上标记的数字1,2,3,,20和实际生活经验思考，我们推测：很可能在中间位置（即当10x =或11x =）时路程总和最小，进而即可迅速求得这个最小值为2000. 【15】．(][),33,-∞-⋃+∞提示：由题设得a ≥()min 123x x ++-=，所以a ≤3-或a ≥3.【16】．提示：因为由题设知△ABE ∽△ADC ，所以BE CDAB AD=，所以612AB CD BE AD ===•【17】．3提示：因为曲线1C 的方程为()()22341x y -+-=，曲线2C 的方程为221xy +=，所以它们均表示圆，圆心和半径分别是()3,4,1和()0,0,1.又易知两圆相离，故所求min 113AB =-=.【18】．（1）证明：∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴ 当△ABD 折起后，,AD DC AD DB ⊥⊥．又DB DC D ⋂=， ∴AD BDC ⊥平面． ∵AD ABD ⊂平面， ∴平面ABD ⊥平面BDC ．（2）解：由BDC ∠＝90︒及（1）知,,DA DB DC 两两垂直，不防设DB =1，以D 为坐标原点，以,,DB DC DA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得13(0,0,0),(1,0,0),(0,3,0),(,,0)22D B C AE ，∴AE =13,,22⎛⎝，(1,0,0)DB =． ∴AE 与DB 夹角的余弦值为cos ,AE DB <>=1||||11AE DB AE DB ⋅==⋅．【19】．解：（1）设M 的坐标为(,)x y ，P 的坐标为(,)P P x y ，由已知得,5.4P P x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∵P 在圆上， ∴225254x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即C 的方程为2212516x y +=．（2）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与C 的交点为()()1122,,,Ax y B x y ，将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得()22312525x x -+=，即2380x x --=．∴12x x ==∴ 线段AB 的长度为415AB ====．注：求AB 长度时，利用根与系数的关系或弦长公式求得正确结果，同样得分．【20】．解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．或：在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，有2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-．证法一：如图1，2a BC BC =•()()AC AB AC AB =--•222AC AC AB AB =-+•222cos b bc A c =-+，即2222cos a b c bc A =+-．图1同理可证2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-．证法二：已知△ABC 中，,,A B C 所对边分别为,,a b c ，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图2所示，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ．222cos AC AC AB A AB=-+•∴2222(cos )(sin )a BCb Ac b A ==-+ 图222222cos 2cos sin b A bc A c b A =-++222cos b c bc A =+-．同理可证2222222cos ,2cos .b c a ca B c a b ab C =+-=+-【21】．解：（1）设11(,0)k k P x --，由e xy '=，得111(,e )k x k k Q x ---点处切线方程为111e e ()k k x x k y x x ----=-．由0y =，得11(2k k x x -=-≤k ≤)n ．（2）由110,1k k x x x -=-=-得，得(1)k x k =--，所以(1)e e k x k k kPQ --==．于是，112233...n n n S PQ PQ PQ PQ =++++112(1)11e e e 1e e...e 1e e 1n nn ---------=++++==--．【22】．解：（1）i A 表示事件“甲选择路径i L 时，40分钟内赶到火车站”，i B 表示事件“乙选择路径i L 时，50分钟内赶到火车站”，1,2i =．用频率估计相应的概率可得12()0.10.20.30.6,()0.10.40.5P A P A =++==+=，因为12()()P A P A >，所以甲应选择1L； 12()0.10.20.30.20.8,()0.10.40.40.9P B P B =+++==++=，因为21()()P B P B >，所以乙应选择2L ．（2）,A B 分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站．由（1）知()0.6,()0.9P A P B ==．又由题意知,A B 独立，所以(0)()()()0.40.10.04P XP AB P A P B ====⨯=，(1)()()()()()P X P AB AB P A P B P A P B ==+=+0.40.90.60.10.42=⨯+⨯=，(2)()()()0.60.90.54P X P AB P A P B ====⨯=．所以00.0410.4220.54 1.5EX =⨯+⨯+⨯=．【23】．解：（1）由题设易知()ln f x x =，1()ln g x x x =+，所以21()x g x x-'=，令()0g x '=，得1x =．当(0,1)x ∈时，()0g x '<，故（0,1）是()g x 的单调减区间；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，故(1,)+∞是()g x 的单调增区间．因此，1x =是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1g =．（2）1ln g x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，设11()()2ln h x g x g x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，则22(1)()x h x x -'=-．当1x =时，(1)0h =，即1()g x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，()0h x '<，(1)0h '=，因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减．当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，当1x >时，()(1)0h x h <=，即1()g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭．（3）满足条件的0x 不存在．证明如下：证法一：假设存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立，即对任意0x >，有02ln ()ln x g x x x <<+．（*）但对上述0x ，取0()1e g x x =时，有10ln ()x g x =，这与（*）左边不等式矛盾．因此，不存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立．证法二：假设存在00x >，使01|()()|g x g x x -<对任意的0x >成立．由（1）知，()g x 的最小值为(1)1g =．又1()ln g x x x=+ln x >，而1x >时，ln x 的值域为(0,)+∞，所以x ≥1时，()g x 的值域为[1,)+∞．从而可取一个11x >，使1()g x ≥0()1g x +，即1()g x -0()g x ≥1，故10|()()|g x g x -≥1>11x ，与假设矛盾．故不存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立．【End 】。