高等数学2期末测验考试试题
高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)
x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。
《高等数学二》期末复习题及答案_28171462418361700
D
2 ,2t
x+y= 1
在第一象限内所围成的区域。
x= 0
14、（本题满分12分）一质点沿曲线＞，= /从点（0,0,0）移动到点
z = r
（0, 1, 1）,求在此过程中，力户=Jl + x*7-£ + 9所作的功W。
15、（本题满分10分）判别级数ynsin-的敛散性。
23、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则j(x+y)4s=
24、lim/x"=
(21。。)次+/ +1 _1
25、2=3,b=4,［与B的夹角是工，«')axb =2
26、已知三角形的顶点A(U,T),8(2J,0),C(0,0,2),则AABC的面积等于
27、点(2,3』)至1|点加2(274)的距离附|“［=
3、积分/=JJje4/b的值为x2+y2<4
4、若a,b为互相垂直的单位向量，则a b=
5、交换积分次序jjiZrJo /(x,yMy=
6、级数£(：+/)的和是
“1LJ
7、二一即=
Dxy,T)
8、二元函数z = sin(2x + 3y),则」=
9、设/(x, y)连续，交换积分次序J：八［J(x,y}dy=
11、B解：若级数£%收敛，由收敛的性质4G。三个选项依然是“■1
收敛的，而£(%+2)未必收敛，或者排除法选择B。/1.1
12、C解：二重积分|].f(#,y)d#dy的值与函数有关，与积分区域有关， 而与积分变量的字母表达没关系。
13、B解：利用平行向量对应的坐标成比例，Z=(84,-2),则
高数二期末考试题及答案
高数二期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是？A. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x \)B. \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \)C. \( y = C_1 x + C_2 \)D. \( y = C_1 \ln(x) + C_2 \)答案：B4. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是多少？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A5. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( (1,1) \) 处的切线斜率是？A. 3B. 1C. 0D. \( \frac{1}{3} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) 的最小值是 ________。
答案：22. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是 ________。
答案：\( e^x \)3. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 ________。
答案：\( (0, +\infty) \)4. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的图像关于 ________ 对称。
答案：原点三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
(2020年编辑)第二学期高等数学期末考试试卷及答案2
一．填空题（本题满分
1．设 ，则 ________________________．
解：
由 ，得 ，所以，
应填： ．
2．交换累次积分的顺序 ______________________．
解：
．
应填： ．
3．设 ，则 ___________________．
解：
，所以，
， ， ．
所以，
．
的特解．又微分方程 有形如
．
的特解．所以，微分方程 有形如
的特解．
应选：（D）．
三．（本题满分
设 ，其中函数 具有二阶连续的偏导数，试求 ， ．
解：
，
．
四．（本题满分
计算二重积分 ，其中 ．
解：
作极坐标变换 ，有
五．（本题满分
当轮船的前进速度为 时，推进器停止工作，已知受水的阻力与船速的平方成正比（比例系数为 ，其中 为常数，而 为船的质量）．问经过多少时间，船的速度减为原速度的一半？
（A）． ；（B）． ；
（C）． ；（D）． ．
解：
级数 是发散的（因为其通项的极限不为0）．
级数 是绝对收敛的（因为 ，而级数 收敛）．
级数 是绝对收敛的（因为 ，而级数 收敛）．
级数 是条件收敛的（因为 发散，而由Leibniz判别法，交错级数 收敛）．
应选：（D）．
4．设函数 是以 为周期的周期函数，它在 上的表达式为
．
由于区域 是关于 轴对称的，则
前一个积分中的被积函数是关于 的奇函数，而后一个积分中的被积函数是关于 的偶函数，所以
．
又由于区域 是关于 轴对称的，则
前一个积分中的被积函数是关于 的奇函数，而后一个积分中的被积函数也是关于 的奇函数，所以
《高等数学二》考试题及答案
《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ A ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( C )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI xy dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ D ）(A)224ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ A ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ B ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ D ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( B )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( A )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ B ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( C )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ B ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ C ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
《高等数学2》期末考试卷
得分评分人得分评分人第2学期《高等数学》期末考试卷专业班级: 学号 姓名一一、单选题（每小题4分，共40分）。
1．函数3x y =与x 轴，直线1=x 围成的封闭图形的面积为（ ） A ．61 B ．41 C ．31 D ．212．如图，阴影部分的面积是( )A ．B ．2323 D.3533．若3sin , 11()2, 12x x x f x x ⎧+-≤≤=⎨<≤⎩，则21()f x dx -=⎰（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4．若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰（ ）A.1-B.13-C.13 D.15．下列方程中为一阶微分方程的是（ ）A.2(')'0x y yy -= B. 2('')0y y x ++= C. 2'''0y y x +-= D. 220d yx y dx+=6.下列函数中，（ ）是微分方程'yy x x+=的解。
A. 23x + B.23x C + C.33x C x + D.23x C x+ 7.计算行列式6456的值为（ ）A.-16B.16C.6D.-68.两个矩阵的乘积]1232⎡⎤⎡⎢⎥⎣⎦⎣=（ ）A. 8B.]26⎡⎣ C. 26⎡⎤⎢⎥⎦⎣ D.2346⎡⎤⎢⎥⎦⎣9.判断定积分1212ln x xdx ⎰值的符号为（ ）A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定 10.若220a x dx =⎰,230b x dx =⎰,2sin c xdx =⎰,则,,a b c 的大小关系是( )A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<二、填空题（每空3分，共18分）。
1.根据定积分的几何意义，21(3)x dx -+=⎰2.设⎰-=1110)(2dx x f ，则⎰-=11)(dx x f _________3.解定积分24cos xdx ππ=⎰________4.235(''')2'1y y x y x ++=+是 阶微分方程。
高数b2期末考试试题及答案
高数b2期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 - 3xD. x^3 - 3x^2答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin x) / x。
A. 1B. 0C. 2D. ∞答案：A4. 判断下列级数是否收敛。
∑(1/n^2)，n从1到∞。
A. 收敛B. 发散答案：A5. 判断函数f(x)=e^x在实数域R上的连续性。
A. 连续B. 不连续答案：A6. 求二阶偏导数f''(x,y)，其中f(x,y)=x^2y+y^2。
A. 2xyB. 2xC. 2yD. 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)=______。
答案：1/(x+1)2. 计算定积分∫(0,2π) sin(x) dx=______。
答案：03. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x=______。
答案：e4. 判断级数∑(1/n)，n从1到∞是否收敛，答案是______。
答案：发散三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1,x=11/3。
经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。
2. 计算定积分∫(0,1) e^x dx。
答案：∫(0,1) e^x dx = [e^x](0,1) = e^1 - e^0 = e - 1。
3. 求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x。
答案：根据洛必达法则，lim(x→0) (e^x - 1) / x = lim(x→0) e^x = 1。
《高等数学I(二)》课程期末考试试卷A卷
线封密三峡大学试卷班级姓名学号序号《高等数学I (二)》课程 期末考试试卷（A 卷）注意：1、本试卷共3 页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、填空题(每小题2分，共14分)1、函数)1ln(2222y x y x z --+-=的定义域为 _________________2、已知→→→→→→→+=-+=k i b k j i a 2,4，则→→⋅b a = 。
3、函数333y x xy z --=的驻点为_______________________。
4、函数22y x z -=在点)1,2(处沿)3,1(=l ρ的方向导数)1,2(lz ∂∂= 。
5、⎰=+Lds y x )(22 ，其中4:22=+y x L 。
6、设级数∑∞=1n nu收敛，且u un n=∑∞=1，则级数()=+∑∞=+11n n n u u __________。
7、设)(x f 是周期为π2的周期函数，它在],(ππ-上的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<--=ππx x x f 0,10,1)(，则它的Fourier 级数在x=0收敛于________二、单项选择题(每小题2分，共14分) （请把答案填在下面的表格中）1、设c b a c a b a ρρρρρ,,,⨯=⨯均为非零向量，则（ ）（A ）c b ρρ=； （B ）)(//c b a ρρρ-； （C ）)(c b a ρρρ-⊥； （D ）c b ρρ=。
2、函数),(y x f 在点),(00y x 的全微分存在是),(y x f 在该点连续的（ ）条件。
（A ）充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）既非充分，也非必要3、设z z y x 4222=++，则=∂∂yz（ ） (A)zy(B) z y -2 (C) 2-z y (D) z y -4、二次积分⎰⎰10),(x dy y x f dx 改变积分次序为（ ）（A ） ⎰⎰110),(dx y x f dy （B ）⎰⎰10),(x dx y x f dy（C ）210(,)y dx f x y dy ⎰⎰（D ）2110(,)y dy f x y dx ⎰⎰5、若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ，),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰=Dd y x f σ),(（ ）（A ）0；（B ）2⎰⎰1),(D d y x f σ；（C ）4⎰⎰1),(D d y x f σ； (D)2⎰⎰2),(D d y x f σ。
高等数学二期末试卷(A卷)
《高等数学b2》期末考试试卷（A 卷）1．微分方程02=-'+''y y y 的通解为 ( )． （A ）x x e C eC y 221+=-（B ） xex C C y -+=)(21（C ）xxeC e C y 221-+=（D ） )sin cos (21x C x C e y x+=（其中1C 、2C 为任意常数）2．点)1,1,2(到平面01=+-+z y x 的距离是 ( )． （A ）3（B ） 31（C ）2（D ）53．设二元函数),(y x f 在点),00y x （处的两个偏导数都存在，则函数),(y x f 在该点处（ ）．（A ）连续 （B ）不连续 （C ）可微 （D ）不一定可微 4．0lim =∞→n n u 是级数∑∞=1n nu收敛的（ ）．（A ） 必要非充分条件（B ） 充分非必要条件（C ） 充分必要条件（D ） 既非充分又非必要条件5．设曲线L 的方程为)0(222>=+R R y x ，则⎰+Lds y x 22等于（ ）．（A ）R π2（B ）22R π（C ）R π（D ）2R π6．下列级数中发散的是（ ）．（A ）∑∞=-1)1(n nn（B ）∑∞=121n n （C ） ∑∞=11sin n n（D ） ∑∞=123n n n1．函数xye z =当1=x 、2=y 时的全微分=dz ．2．直线13411:1+=-=-z y x L 与直线1222:2-=-+=zy x L 的夹角=ϕ ．3．若幂级数∑∞=-0)1(n n nx a的收敛半径是1，则该级数在开区间内收敛．4．交换积分次序=⎰⎰1102),(xdy y x f dx．5．已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为．6．函数x x f =)(在),[ππ-上可以展成傅里叶级数为∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则 =2b．一、选择题（每小题4分，共24分） 二、填空题（每小题4分, 共24分）1．求微分方程x xy dxdy22=-的通解．2．求上半球面224y x z --=与锥面22y x z +=的交线C 在xOy 面上的投影曲线方程．3．设y x z 2=，且t x cos =，t y sin =，求dtdz ．4．求函数xy y x z 333-+=的极值．5．计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由曲面22y x z +=与平面4=z 所围成的闭区域．6．求幂级数∑∞=-11n n nx 的收敛域及和函数．三、计算题（每小题6分，共36分）1．证明曲线积分⎰-++-）（）（（1,20,1324)4()32dy xy x dx y xy 在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值．2．计算曲面积分⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间的部分的下侧．四、计算题（每题8分，共16分）。
高等数学2试题及答案
高等数学2试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-1D. 3x^2+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
A. 0B. 1/3C. 1/2D. 2答案：B3. 计算级数∑(1/n^2)（n从1到∞）的和。
A. 1B. π^2/6C. eD. ∞答案：B4. 设函数f(x)=sin(x)，则f'(x)等于：A. cos(x)B. -sin(x)C. cos(x)-xD. -cos(x)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的最小值。
答案：02. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
答案：13. 设函数f(x)=e^x，求f''(x)的值。
答案：e^x4. 设函数f(x)=ln(x)，则f(1)的值为：答案：0三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
经检验，x=1为极小值点，x=11/3为极大值点。
2. 计算定积分∫(0,π) sin(x) dx。
解：∫(0,π) sin(x) dx = (-cos(x))|_0^π = 2。
3. 求级数∑((-1)^n * 1/n)（n从1到∞）的和。
解：该级数为交错级数，且满足收敛条件，因此其和为ln(2)。
4. 求函数f(x)=x^2-4x+c的顶点坐标。
解：顶点的x坐标为x=-b/2a=2，将x=2代入函数得y=-4+c，因此顶点坐标为(2, -4+c)。
5. 求函数f(x)=x^3-3x+1在x=2处的切线方程。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-3，将x=2代入得f'(2)=9，f(2)=3。
高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案(第2套)
高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案一、填空题（将正确答案填在横线上)(本大题共5小题，每小题4分，总计20分)1、设函数，则=2、曲面在点处的切平面方程为____3、= .4、曲面积分= ，其中，为与所围的空间几何形体的封闭边界曲面，外侧.5、幂级数的收敛域为。
二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、函数在(1,1）点沿方向的方向导数为（ )。
（A） 0 （B） 1 （C) 最小 (D）最大2、函数在处( ）.(A）不连续，但偏导数存在 (B)不连续，且偏导数不存在（C)连续，但偏导数不存在 (D)连续，且偏导数存在3、计算=（ )，其中为（按逆时针方向绕行)．（A）0 (B）（C） (D)4、设连续,且,其中D由所围成，则（ )。
（A）（B) （C） (D)5、设级数收敛，其和为，则级数收敛于( )。
（A）(B）(C）（D）三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分,总计24分)1、设函数由方程所确定，计算，。
2、计算，其中,为曲线,．3、求幂级数的和函数．三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分）1、求内接于半径为的球面的长方体的最大体积．2、计算，其中平面区域．3、计算，其中为平面被柱面所截得的部分.五、解答下列各题(本大题共2小题,每小题6分，总计12分）1、计算其中为上从点到点．2、将函数展开成的幂级数.答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、 2、3、 4、 5、二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、C2、A3、B4、D5、B三、解答下列各题(本大题共3小题,每小题8分，共24分)1、解：方程两端同时对分别求偏导数，有，………………6分解得：.…………………………………………8分2、解:作图（略）。
原式=………………………2分.………………………8分3、解：经计算，该级数的收敛域为。
高等数学II试卷及答案
06/07试卷（B ）（本试卷共4页）1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0001sin 1sin ),(xy xy x y y x y x f ，则极限),(lim 00y x f y x →→=。
(A)不存在(B)等于1(C)等于零 (D)等于2 2、设函数221y x z +-=，则点(,)00是函数z 的（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点3、设f (x ,y )为连续函数，则积分可交换积分次序为4、 级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1cos 11n n n α（常数0>α）（A ）发散；（B ）条件收敛；（C ）绝对收敛；（D ）敛散性与α有关。
5、幂级数n n n x n 2131-∞=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+的收敛半径是 (A)1；(B)3e ；(C)3-e ；(D)1-.6、微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解应具有形式（A ）x D Cx x B Ax 2sin )(2cos )(+++（B ）x Bx Ax 2cos )(2+（C ）x B x A 2sin 2cos +（D ）x B Ax 2cos )(+一. 1、设函数xy y x y x y x f =+=),(,),(22ϕ，则[]),(),,(y x y x f f ϕ=??????。
2、曲线3231,2,t z t y t x ===在点)31,2,1(处的切线方程是。
3、曲线上任一点),(y x 处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是。
4、如果幂级数()∑∞=-01n n n x a 在1-=x 处收敛，在3=x 处发散，则它的收敛域是. 二. 解答下列各题（本大题共2小题，总计12分） 1、（5分）设)tan ln(x y z =，求y x z z ,。
2、（7分）求函数xy z e u z +-=在点（2,1,0）处沿曲面3=+-xy z e z 法线方向四、解答下列各题（本大题共2小题，总计14分） 1、(7分)计算二重积分224+-⎰⎰D xy dxdy 其中D ：x2+y 2≤9.f (x ,y )为连续函数，写出积分在极坐标系中先积r 后积θ的二次积分。
高等数学二期末复习题及答案
高等数学二期末复习题及答案集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅，则=（ ）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--，（C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ）(A) 22400a d a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 224002ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ ）（A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y(B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-xx y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰1010d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ）椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 y =则曲线积分22()L x y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π11、若级数1n n a ∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）(A)12n n a ∞=∑收敛 (B) 1(2)n n a ∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D) 13n n a ∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
高等数学(2)期末考试试题
中央电大九九级《高等数学》（2）期末考试试题一、填空题（本小题15分，每小题3分）1．直线与轴的夹角余弦是。
2．曲面在点（1，2，2）处的法线方程是。
3．设则。
4．利用正圆锥体体积公式，可知二重积分。
其中为5．曲线积分与路径无关的条件是，其中存在一阶连续偏导数。
二、单项选择题（本题15分，每小题3分。
每小题后的四个备选答案中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入题中的括号内）。
1．若两个向量平行，则必有（）成立。
A．；； C。
； D。
2．定义域为且的函数是（）。
A．； B。
；C。
； D。
3．空间曲线在处的切线的方向向量是（）。
A．； B。
； C。
； D。
4．累次积分改变积分次序后等于（）。
A．； B。
；C．； D。
5．曲线积分（），其中C为沿顺时针方向一周。
A。
； B。
； C。
； D。
0。
三、（本题8分）求两个平面和的交线的标准方程。
四、（本题15分，第1小题7分，第2小题8分）1．设求2．由方程确定了函数求。
五、计算下列各题（本题25分，第1、2两小题各8分，第3小题9分）1．求二重积分，其中D为所为成的区域。
2．求柱体被球面所截下的部分的体积。
3．计算曲线积分，其中C为从点沿逆时针到点。
六、（本题12分）在半径为的球内接一个体积最大的长方体，求此长方体的边长。
七、（本题10分）将函数展成以为周期的傅里叶级数。
高数(二)期末考试试卷及答案
2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（B）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A、B、C或D填入下表中．1．a与b是向量，若baba+=+，则必有（）(A)⊥a b(B)0,0==a b或(C)a=b(D)⋅=a b a b2.()(),0,1sin()limx yxyx→=( ).（A）不存在（B）1（C）0（D）∞3．二元函数),(yxfz=在),(yx处可微的充要条件是（）（A）),(yxf在),(yx处连续（B）),(yxfx'，),(yxfy'在),(yx的某邻域内存在（C）),(yxfx'，),(yxfy'在),(yx的某邻域内连续（D）当0)()(22→∆+∆yx时，yyxfxyxfzyx∆'-∆'-∆),(),(是4．对函数(,)f x y=(0,0)是(,)f x y的( ).（A）驻点与极值点（B）驻点，非极值点（C）极值点，非驻点（D）非驻点，非极值点5．设平面区域D：1)1()2(22≤-+-yx，若21()dDI x yσ=+⎰⎰，32()dDI x yσ=+⎰⎰则有（）（A）21II<（B）21II=（C）21II>（D）不能比较6．设椭圆L：13422=+yx的周长为l，则()dLx y s+=⎰（）(A)0 (B) l (C) l3 (D) l47．下列结论正确的是( )(A)若11nnuu+<(1,2,)n=成立，则正项级数1nnu∞=∑收敛(B)当0lim=∞→nnu时，交错级数1(1)nnnu∞=-∑收敛(C)若级数1nnu∞=∑收敛，则对级数的项任意加括号后所成的新级数也收敛(D) 若对级数1nnu∞=∑的项适当加括号后所成的新级数收敛，则原级数也收敛8.设∑∞=1nnnxa的收敛半径为(0)R R>，则∑∞=12nnnxa的收敛半径为( A )(A) (B) R(C) 2R(D) 不能确定二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1．过点(1,2,3)且方向向量为(1,2,3)=n的直线方程为；2.设z是方程e zx y z+-=所确定的,x y的隐函数，则(1,0,0)zx∂=∂；3.设22(,)f x y x y=-，则(1,1)f=grad；4. 交换积分1d(,)dyy f x y x⎰的积分次序，变为；5．设L是直线21y x=+上从点（0，1）到点（1，3）的线段，将(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰转换成对弧长的曲线积分为；6.幂级数11(1)nnnxn∞-=-∑的收敛域是；7.设有周期为π2的函数，它在(,]ππ-上的表达式为()⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππxxxxf,1,1，其傅里叶级数在点π=x处收敛于.三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设(,)z z x y =由方程(23,2)0F x z y z --=所确定，其中F 是可微函数，求d z ． 解： 2.求曲面32=++xy z e z在点)0,1,2(处的切平面方程与法线方程. 解：3.计算二重积分22()d Dxxy y σ++⎰⎰，其中D 由1,0,0=+==y x y x 所围成．解：4．计算(1)d I x v Ω=+⎰⎰⎰，其中Ω是以原点(0,0,0)为形心，边长为a 正立方体．解：5．求幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域与和函数．解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短． 解： 2.计算d d Ly x x y -+⎰，其中L 是沿圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周．解：3．计算d Lxy s ⎰，其中L 为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：)0(222≥=+y x y x ．解：4．计算积分d I z S =∑⎰⎰，其中∑是上半球面222y x a z --=，(0)a >.解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分(cos cos cos )d x y z S ∑αβγ++⎰⎰， 其中∑为锥面222x y z +=介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧， (cos ,cos ,cos αβγ)是∑上点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦．解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(B)答案及评分标准一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）1．a 与b 是向量，若b a b a +=+，则必有（D ）(A)⊥a b ； (B)0,0==a b 或； (C)a =b ； (D)⋅=a b a b ．2.()(),0,1sin()limx y xy x →=( B ).（A ） 不存在；（B ） 1； （C ） 0； （D ） ∞ .3．二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充要条件是（ C ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内连续； (D)当0)()(22→∆+∆y x 时，y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000是比4．对函数(,)f x y =(0,0)是(,)f x y 的( C ). （A ）驻点与极值点； （B ）驻点，非极值点； （C ）极值点，非驻点； （D ）非驻点，非极值点. 5．设平面区域D ：1)1()2(22≤-+-y x ，若21()d DI x y σ=+⎰⎰，32()d DI x y σ=+⎰⎰则有（ A ）（A ）21I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不能比较．6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则()d L x y s +=⎰（A ） (A)0； (B) l ； (C) l 3； (D) l 4．7．下列结论正确的是 ( C )(A) 若11n n u u +<(1,2,)n =成立，则正项级数1n n u ∞=∑收敛； (B) 当0lim =∞→n n u 时，交错级数1(1)nnn u∞=-∑收敛；(C) 若级数1nn u∞=∑收敛，则对级数的项任意加括号后所成的新级数也收敛； (D) 若对级数1nn u∞=∑的项适当加括号后所成的新级数收敛，则原级数也收敛．8.设∑∞=1n nnx a的收敛半径为(0)R R >，则∑∞=12n n n x a 的收敛半径为 ( A )(A)(B) R ； (C) 2R ； (D) 不能确定．二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1．过点(1,2,3)且方向向量为(1,2,3)=n 的直线方程为123123x y z ---==．2.设z 是方程e zx y z +-=所确定的,x y 的隐函数，则(1,0,0)z x ∂=∂_______12_____ 3.设22(,)f x y x y =-，则(1,1)f =grad （2，-2） ． 4.交换积分10d (,)d yy f x y x ⎰的积分次序为______21d (,)d xxx f x y y ⎰⎰___．5．设L 是直线21y x =+上从点（0，1）到点（1，3）的线段， 将(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰转换成对弧长的曲线积分为2)P Q ds +⎰． 6.幂级数11(1)nn n x n∞-=-∑的收敛域是 (1,1]- . 7.设有周期为π2的函数，它在(,]ππ-上的表达式为()⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10,1，其傅里叶级数在点π=x 处收敛于2π. 三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设(,)z z x y =由方程(23,2)0F x z y z --=所确定，其中F 是可微函数，求d z ． 解：d d d x y z z x z y =+………………2分12121222d d 33F F x y F F F F =-+-----………………5分12122d 2d 3F x F y F F +=+．………………7分或解：由12(2d 3d )(2d d )0F x z F y z ⋅-+⋅-=，得12122d 2d d 3F x F yz F F +=+．2.求曲面32=++xy z e z在点)0,1,2(处的切平面方程与法线方程. 解：令32),,(-++=xy z e z y x F z，………………2分 则2,,+===z z y x e F x F y F ，故(2,1,0)(1,2,3)n………………4分所求切平面的方程为 03)1(2)2(=+-+-z y x ， 即432=++z y x ， ………………6分法线方程为32112zy x =-=-.………………7分 3.计算二重积分22()d Dx xy y σ++⎰⎰，其中D 由1,0,0=+==y x y x 所围成．解：22()d Dxxy y σ++⎰⎰=1-1220d ()d x x x xy y y +++⎰⎰………………4分1320515()d 62324x x x x =-+-+=⎰．………………7分4．计算(1)d I x v Ω=+⎰⎰⎰，其中Ω是以原点(0,0,0)为形心，边长为a 正立方体．解：Ω的形心为(0,0,0)，Ω的体积V 为3a ，………………4分 故3I xV V V a =+==.………………7分5．求幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域与和函数．解：因为11limlim 12n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===+，所以1R = ． ………………1分 在左端点1x =-，幂级数成为0(1)1nn n ∞=-+∑，它是收敛的；在右端点1x =，幂级数成为011n n ∞=+∑，它是发散的，故该幂级数收敛域为[1,1)-． ………………3分令0()1nn xs x n ∞==+∑，[1,1)x ∈-，于是1()1n n x xs x n +∞==+∑，[1,1)x ∈-，逐项求导，得(())xs x '=101n n x n +∞='⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑=101n n x n +∞='⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑=0n n x ∞=∑=11x -，(1,1)x ∈- 将上式两端从0到x 积分，得01()d ln(1),111xxs x x x x x==---≤<-⎰， （根据和函数的连续性，当1x =-时，此式也成立）．于是，当0x ≠时，1()ln(1)s x x x=--，又(0)1s =．故 1ln(1), [-1,0)(0,1),()1, 0.x x s x xx ⎧--∈⎪=⎨⎪=⎩ ………………7分四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短． 解： 设),(y x 为椭圆4422=+y x 上任一点，则该点到直线0632=-+y x 的距离为13326yx d --=；令)44()326(222-++--=y x y x L λ，………………2分于是由224(623)20,6(623)80,440,x y L x y x L x y y L x y λλλ⎧=---+=⎪=---+=⎨⎪=+-=⎩ 得驻点 183(,)35M ，283(,)55M -，383(,)55M --，483(,)55M -，………………5分依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在， 其中1313133261min =--=M yx d 即为所求．………………7分 2.计算d d Ly x x y -+⎰，其中L 是沿圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周．解： 圆周1)1()1(22=-+-y x 所围区域D 的面积为 π⋅21，………………3分 由格林公式得d d (11)d d LDy x x y x y -+=+⎰⎰⎰=π2．………………7分3．计算d Lxy s ⎰，其中L 为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：)0(222≥=+y x y x ．解： :L 1cos {,[0,]sin x t t y tπ=+∈=，………………3分d (1cos )sin d 2Lxy s t t t π=+=⎰⎰．………………7分4．计算积分d I z S =∑⎰⎰，其中∑是上半球面222y x a z --=，(0)a >.解：d d S x y =d x y ………………3分d DI x y =………………5分3d d d DDx y a x y a π===⎰⎰．………………7分5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分(cos cos cos )d x y z S ∑αβγ++⎰⎰， 其中∑为锥面222x y z +=介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧， （cos ,cos ,cos αβγ）是∑上点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦． 解：设∑1为221(1)z x y =+≤的上侧，………………2分 则∑与∑1一起构成一个闭曲面， 记它们围成的空间闭区域为1=∑∑Ω+， 由高斯公式得 1(cos cos cos )d x y z S ∑∑αβγ+++⎰⎰3d d d x y z Ω=⎰⎰⎰=π………………4分而 22111(cos cos cos )d d d d d x y x y z S z x y x y ∑αβγπ∑+≤++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，………………6分因此 (cos cos cos )d x y z S ∑αβγ++⎰⎰=0 ………………7分。
高数二册期末总练习题
微分复习1. 若f(x,y,z)=22y x z xy xz +-+，求f x (1,0,1). 2. 设z=ln y x -2,求yzx z ∂∂∂∂，. 3. 求函数z=22y x +在x=1，y=1处的全微分. 4. 设z=u v ,而u=2x+y ，v=3x-y ，求xz ∂∂. 5. 设z=f(22y x xy -，)，其中f 具有一阶连续偏导数，求yz x z ∂∂∂∂，. 6. 设z=z(x,y)由方程ez=xyz 所确定，求yz x z ∂∂∂∂，. 7. 球曲面z=x 2+2y 2-3在点(2,1,4)处的切平面方程.8. 求曲面⎩⎨⎧==22x z y x 上点(1,1,1)处的法平面方程，切线方程. 9. 求函数z=3(x+y)-x 3-y 3的极值.10. 从斜边之长为l 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形. 11. 设f(x,y,z)=xy 2+z 3x 2，求f zzx (2,0,1). 12. 设z=xy ，求dz|(1,2).13. 设z=x+sin(xy)-2lny ，求全微分dz|(1,1)，yx z∂∂∂2.14. 设z=e x-2y ，而x=sint ，y=t 3，则dtdz. 15. 设z=f(yarctanx,xe y )，其中f 有一阶连续偏导数，求yz x z ∂∂∂∂，. 16. 设方程lny+zx=lnz 确定z 是x ，y 的函数，求yz x z ∂∂∂∂，. 17. 求曲线x=t+cost ，y=sint ，z=e t 在对应t 0=0处的切线方程与法平面方程.18. 求函数f(x,y)=e x (x+y 2)的极值. 二重积分及其应用1. 求⎰⎰--Dd y x σ224，其中D ；x 2+y 2≤4,y ≥0.2. 设平面区域D 是由y=x ，y=1与y 轴所围，求⎰⎰Ddxdy 5.3. 设平面区域D 由y=x ，xy=1和x=2围成，把⎰⎰Dd y x f σ),(化为二次积分.4. 由y=x+2,y=x 2围成的平面薄片，其各点处密度为21x +=ρ，求该薄片的质量.5. 交换二次积分⎰⎰102),(xx dy y x f dx 的积分次序.6. 设D={(x,y)|b 2≤x 2+y 2≤a 2,b>0,a>0,x ≥0},把二重积分⎰⎰+Ddxdyy x )(22表示为极坐标系下的二次积分.7. 求⎰⎰--Dy xd eσ22，其中D 是由x 2+y 2=1，y=x 和x=0在第一象限所围成封闭区域. 8. 计算⎰⎰Dd xyσarctan，其中D 是闭区域1≤x 2+y 2≤4，0≤y ≤x. 9. 计算以xoy 面上的圆周x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底，而以曲面z=x 2+y 2为顶的曲顶柱体体积.10. 求锥面z=22y x +被圆柱z 2=2x 所截得部分的面积. 11. 求旋转抛物面z=x 2+y 2被平面z=1所截得部分的面积.12. 计算以xoy 面上由y=x 以及y=x 2围成D 以z=x y 为顶的曲顶柱体体积.13. 求由平面x=0，y=0,y+x=1所围成z=0及抛物面x 2+y 2=6-z ，截得立体体积. 曲线积分复习题1. 设平面曲线L 下半圆周y=-21x -，求⎰+L ds y x )(22.2. 设一段锥面螺线L ：x=e t cost ，y=e t sint ，z=e t (0≤t ≤2π)上点(x,y,z)处的线密度为μ(x,y,z)=2221zy x ++，求该构件的质量.3. 计算⎰L ds y 2，其中L 是抛物线y=x 2上点(0,0)与(1,1)之间的一段弧.4. 设一段折线型构件占有xoy 面上的曲线弧L ，L 为连接点A(2,0),O(0,0)与点B(0,3)的折线段，且在曲线L 上点(x,y)处的密度为μ(x,y)=x 3+y 3，求该构件质量.5. 计算⎰+Ly x ds e22，其中L 是由x=acost ，y=asint ，t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0π.6. 设一质点在力→→→+=j x i y F 的作用下，沿圆周x=Rcost ，y=Rsint 上由t 1=0到t 2=2π的一段弧移动做功W.7. 计算⎰L ydy x 3，其中L 是抛物线y=x 2上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧.8. 计算⎰-++L dy x y dx y x )()(，其中：（1）L 从(1,1)经(1,2)到(4,2)的折线（2）L 是抛物线上y 2=x 上从点(1,1,)到点(4,2)一段弧.9. 设有一平面力场→→+-=i y a x F ])[(22，将一质点沿曲线L ：(x-a)2+y 2=a 2(a>0)从点(a,a)移动到点(2a,0)所做功W=1，求a.10. 设一质点在力→→→→++=k x j z i y F 的作用下，从点A(0,1,2)沿直线段移动到点B(2,3,5)，求力F 做的功W.11. 计算⎰+++L dy y x dx y x )()(222，其中L ：x 2+y 2=1，正方向.12. 就算⎰++-+L dy y x dx y xy x )()32(224，其中L 是曲线x 2+y 2=-2y 取正方向.13. 计算曲线积分I=⎰-+-L x x dy x y e dx x y e )cos (]2sin [，其中L 为曲线y=21x -上的点A(1,0)沿逆时针方向到B(-1,0)的一段弧. 14. 设L ：x 2+y 2=2x 逆时针方向，求⎰-L xdy xdx y cos sin .15. 设有一变力在坐标上投影X=2xy-y 4+3，Y=x 2-4xy 3，这变力确定了一个立场.(1)证明质点在场内移动时，场力所做的功与路径无关(2)计算质点从(1,0)到(2,1)，改变力做的功.16. 计算⎰+--Ldy y x dx y x )sin ()(2，其中L 为圆周y=22x x -上点(0,0)到(1,1)的一段弧.17. 设L 由x=0，x=2，y=0，y=3围成，逆时针方向、封闭，求⎰+-Lxydy dx y 2)1(2.18. 求⎰-)0.2()0,0()sin (cos ydy ydx e x .19. 设L 为圆域D ：x 2+y 2≤-2x 正向边界，求⎰-+-L dy y x dx y x )()(33.级数期末复习1. 求级数n nnn 32)1(1-∑∞=的和. 2. p nn n1)1(1-∑∞=，求p 的范围使得级数收敛或发散.3. 判断收敛性 1) nn n 11+∑∞= 15）)1(1n n n -+∑∞= 2) n n 311∞=∑ 16）)1ln(1+∑∞=n nn 3) )423(1n n n +∑∞= 17）)423(31nn n +∑∞= 4) 1121++∑∞=n n n 18）nn n n ++∑∞=211 5) 121-∑∞=n nn 6) )4)(1(51++∑∞=n n n 7) )11ln(31nn +∑∞= 8) nn 2sin1π∞=∑9)nn n 4sin 51π∞=∑10) !1n n n n ∞=∑ 11) !41n n n ∞=∑ 12) nn n 5!1∞=∑13) nn n 321∞=∑ 14) 112tan+∞=∑n n n π4.判断是否收敛，若收敛，是否绝对收敛或条件收敛1）21)1(1+-∑∞=n nn 2）1113)1(--∞=-∑n n n n 3）n nn ln 1)1(1-∑∞= 4）n n n 3sin 1∞=∑ 5）623)1(41++-∑∞=n n nn 5.求幂级数收敛区间1）nx n n )5(1-∑∞= 2）12)1(121+-∑+∞=n x n n n 3）!0n x n n ∞=∑ 4）nn n x n !)1(11-∞=-∑ 5）1221+∑∞=n x nn n 6.将函数展成幂级数 1）函数f(x)=2312++x x 分别展开成x 和x+4的幂级数2）将f(x)=ln(2+x)展成x+1的幂级数 3）将函数f(x)=e -2x 展开成x 的幂级数 4）将函数f(x)=cos(x 2)展成x 的幂级数 5）将函数f(x)=x1展成x+4的幂级数 7.求下列级数的和函数1）11-∞=∑n n nx2）nx nn ∞=∑1。
高等数学2试题及答案
高等数学2试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-1D. 3x^2+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
A. 0B. 1/3C. 1/2D. 2答案：B3. 计算级数∑(1/n^2)（n从1到∞）的和。
A. 1B. π^2/6C. eD. ∞答案：B4. 设函数f(x)=sin(x)，则f'(x)等于：A. cos(x)B. -sin(x)C. cos(x)-xD. -cos(x)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的最小值。
答案：02. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
答案：13. 设函数f(x)=e^x，求f''(x)的值。
答案：e^x4. 设函数f(x)=ln(x)，则f(1)的值为：答案：0三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
经检验，x=1为极小值点，x=11/3为极大值点。
2. 计算定积分∫(0,π) sin(x) dx。
解：∫(0,π) sin(x) dx = (-cos(x))|_0^π = 2。
3. 求级数∑((-1)^n * 1/n)（n从1到∞）的和。
解：该级数为交错级数，且满足收敛条件，因此其和为ln(2)。
4. 求函数f(x)=x^2-4x+c的顶点坐标。
解：顶点的x坐标为x=-b/2a=2，将x=2代入函数得y=-4+c，因此顶点坐标为(2, -4+c)。
5. 求函数f(x)=x^3-3x+1在x=2处的切线方程。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-3，将x=2代入得f'(2)=9，f(2)=3。
高数二期末考试题
高数二期末考试题第一篇：高数二期末考试题高数是我们比较难学的一个科目，下面是小编整理的高数二期末考试题，希望对你有帮助。
一、填空。
（28分值）1、1米=（）厘米 45厘米-6厘米=（）厘米37厘米+5厘米=（）厘米23米-8米=（）米2、6个3相加，写成乘法算式是（），这个式子读作（）。
3、在下面的（）里最大能填几？（）×6＜27（）＜3×74×（）＜15 35＞7×（）4、在算式4×7=28中，4是（），7是（），28是（）。
5、先把下面的口诀补充完整，再根据口诀写出两道乘法算式。
八九（）（）二十四6、小芳和小伙伴们计划两天做100颗星，昨天做了58颗，今天他们大约要做（）颗。
7、一把三角板上有（）个角，其中（）个是直角。
8、算得积是18的口诀有（）和（）。
9、在○里填上“+”、“-”、“×”或“＜”、“＞”、“=”。
8○6=48 36○73-37 9×7○652○2=4 43○6×7 18○9=9二、判断。
（5分值）1、9个相加的和是13。
（）2、小强身高大约是137厘米。
（）3、角都有一个顶点，两条边。
（）4、计算48+29，得数大约是70。
（）5、1米和100厘米一样长。
（）三、选择题。
（把正确答案的序号填在括号里，5分值）1、5个3相加是多少？正确的列式是（）Ａ、5+5+5=15 B、5＋3=８ C、5×3=152、用2、6、0三个数字组成的两位数有（）个。
Ａ、２ B、４Ｃ、６3、小明有50元钱，买故事书花了28元，他大约还剩（）元。
A、22B、30C、204、5+5+5+4，不可以改写成算式（）。
A、5×4B、5×3+4C、4×5-15、4个好朋友见面互相拥抱一次，共要拥抱（）次。
A、3次B、4次C、6次四、计算。
（26分值）1、用竖式计算。
（15分值）90-47= 59+26= 63-28=37+46-54= 81-32-27= 42-34+57=2、列式计算。
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重庆三峡学院 2008 至 2009 学年度第 2 期高等数学（二）试题（A ）试题使用对象 ： 全院 2008 级 工科各 专业(本科) 命题人： 陈晓春 考试用时 120 分钟 答题方式采用： 闭卷说明：1、答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整。
2、考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废。
一、 填空题（每小题3分，本题共15分） 1．设z =，则z zy x x y∂∂-=∂∂ 2．设222:D x y R +≤，则D=3．设2222:x y z R Ω++≤，则dxdydz Ω=⎰⎰⎰4.级数∑∞=11n p n 收敛，则p 5．微分方程1+=''xe y 的通解 二．单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．存在),(00y x f x ，)(00y x f y 。
则有（ ）。
A ，),(y x f z =在),(00y x 点连续。
B ，),(y x f z =在),(00y x 点有定义。
C ，),(y x f z =在),(00y x 点可微。
D ，),(y x f z =在),(00y x 点存在极限。
2.数∑∞=1n nu收敛，则下列级数（ ）也收敛。
A,1+∑∞=1n nuB ,∑∞=+1)1(n nuC ,∑∞=1n n u D, ∑∞=--11)1(n n n u3. 2012333+--+=y x y x z 的极大值点为（ ）。
A(1,2) B(-1,2) C (-1,-2) D (1,-2)4. 设曲线L ：⎩⎨⎧==t a y t a x sin cos ]2,0[π∈t ，则曲线积分()⎰=+Lds y x 22 。
A 、2a π B 、22a π C 、 3a π D 、32a π 5．表达式dy y x Q dx y x P ),(),(+为某一函数的全微分的充要条件是（ ）A 、x P ∂∂=y Q ∂∂； B 、y P ∂∂=x Q ∂∂； C 、x P ∂∂=y Q ∂∂-； D 、y P ∂∂=xQ∂∂-。
二、 计算题（每小题8分，共7小题，共56分）1、设函数),(xy y x f +=μ，具有二阶连续偏导数，求x u ∂∂，yx u ∂∂∂2。
2、求曲线x t t y t z t t =+=-=+27425422,,在点(,,)--561处的切线及法平面方程。
3、画出积分区域的草图，并计算二重积分⎰⎰=Ddxdy x I 2，其中D 是由曲线2=xy ，21xy +=及直线2=x 所围成的区域。
4、求幂级数∑∞=-1)2(n nnx 的收敛半径与收敛域。
5、设()(02),f x x x =≤≤将f x ()展成以4为周期的正弦级数。
6． 计算dxdy zdzdx y dydz x 333⎰⎰∑++，其中∑是球面2222R z y x =++的外侧。
7．求微分方程1='+''y y x 的通解。
三、应用题 (7分 )求棱长之和为()120l l >，且具有最大体积的长方体体积。
四、综合题（7分）已知上半平面内一曲线)0)((≥=x x y y 过点(,)01，且曲线上任一点),(y x M 处切线斜率数值上等于此曲线在0到x 之间所形成的曲边梯形面积的两倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.重庆三峡学院 2008 至 2009 学年度第 2 期高等数学（二）试题（A ）答案试题使用对象 ： 全院 2008 级 工科各 专业(本科) 命题人： 陈晓春 考试用时 120 分钟 答题方式采用： 闭卷 一、 填空题（每小题3分，本题共15分） 1． 0 2． 332R π 3．334R π 4. 1> 5． 21221C x C x e y x+++=二．单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1． B 2. A 3. C 4. D 5． A二、 计算题（每小题8分，共7小题，共56分）1、设函数),(xy y x f +=μ，具有二阶连续偏导数，求x u ∂∂，yx u ∂∂∂2。
解．y f f xu21'+'=∂∂… …4分 2222112112f f xy f y f x f yx u''+''+''+''+''=∂∂∂… …8分 2、求曲线x t t y t z t t =+=-=+27425422,,在点(,,)--561处的切线及法平面方程。
解：1-=t 对应点(,,)--5611分对应的切线方向向量)6,4,3(|)410,4,74(|))(),(),((11-=++='''=-=-=t t t t t z t y t x τρ4分切线方程614635--=+=+z y x 6分法平面方程为0)1(6)6(4)5(3=--+++z y x或 045643=+-+z y x8分3、画出积分区域的草图，并计算二重积分⎰⎰=Ddxdy x I 2，其中D 是由曲线2=xy ，21x y +=及直线2=x 所围成的区域。
解： 图 2分⎰⎰+=212212x xdy dxx I 4分⎰-+=2122)21(dx x x x ⎰-+=2142)2(dx x x x 6分1583]5131[21253=-+=x x x 8分 4、求幂级数∑∞=-1)2(n nnx 的收敛半径与收敛域。
解：令2-=x t ，上述级数变为∑∞=1n n nt 1分因为1limlim1+==∞→+∞→n na a n nn n ρ=1，所以收敛半径R = 1。
3分 当t = 1时，级数∑∞=11n n发散；当t = -1时，级数∑∞=-1)1(n nn收敛； 6分故 11<≤-t ，即121<-≤-x ，故原级数的收敛域为31<≤x 。
8分 5、设()(02),f x x x =≤≤将f x ()展成以4为周期的正弦级数。
解：将f x ()延拓为周期为4的奇函数，其Fourier 系数022sin4cos 42cos 2022cos 22sin2sin)(22,,2,1,0,02220202x n n n n dxx n n x n x n dxxn x dx xn x f b n a n n ππππππππππ+-=+-=====⎰⎰⎰Λ Λ,3,2,1,)1(4=--=n n n π6分 故 .202sin )1(14)(11∑∞=+<≤-=n n x x n n x f ππ 8分6． 计算dxdy z dzdx y dydz x 333⎰⎰∑++，其中∑是球面2222R z y x =++的外侧。
解。
由高斯公式可得dxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰∑++3335204222512sin 3)(3R dr r d d dv z y x Rπϕϕθππ==++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω…… 8分 7．求微分方程1='+''y y x 的通解。
解：令 p y x p y '=''='),(，得'+=p x p x112分 )(1)1(111C x xC dx e xe y p dx x dx x +=+='=⎰⎰⎰- 6分21ln C x C x y ++= 8分三、应用题 (7分 )求棱长之和为()120l l >，且具有最大体积的长方体体积。
解: 设长方体的棱长分别为z y x ,,。
则l z y x 3=++， 1分目标函数 xyz V =2分令 ()l z y x xyz L 3-+++=λ3分由()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=03000l z y x L xy L xz L yz L z y x λλλλ 解得l z y x ===（唯一驻点） 6分由实际问题知长方体体积的最大体积一定存在，因此()3,,l l l l V =即为所求. 7分 四、综合题（7分）已知上半平面内一曲线)0)((≥=x x y y 过点(,)01，且曲线上任一点),(y x M 处切线斜率数值上等于此曲线在0到x 之间所形成的曲边梯形面积的两倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.解：依题意，得y ydx y x+='⎰2 2分两边求导得 y y y '+=''2，即 02=-'-''y y y ， 3分 该方程的特征方程为 022=--r r ，即1,221-==r r ， 4分 故方程的通解为+=x e C y 21x e C -2， 5分 又 1)0()0(,1)0(=='=y y y ，所以31,3221==C C 。
6分 故此曲线方程为xx e e y -+=31322。
7分。