(优选)高等代数选讲之多项式理论
大学 代数方法 第一章 多项式
x 2 x 1 与 f ( x) 在复数域内无公共根，从而 x 2 x 1 与 f ( x) 在复 证明 可以证明 x 2 x 1 的根满足 x2 x 1 0 数域内互素，因而在任何数域内都互素。事实上，
设 f ( x) ( x 1) g1 ( x) r1 ， f ( x) ( x 1) g 2 ( x) r2 ， 则 f ( x 3 ) ( x 3 1) g1 ( x 3 ) r1 因而有 f ( x 3 ) xg( x 3 ) ( x 3 1) g1 ( x 3 ) r1 x( x 3 1) g 2 ( x 3 ) r2 x ，
多项式理论是高等代数的重要内容之一， 虽然它在高等代数课程中是一个相对独立而自 成体系的部分，但却为高等代数所讲述的基本 内容提供了理论依据。多项式理论中的一些重 要定理和方法，在进一步学习数学理论和解决 实际问题时常要用到。因此，在学习这部分内 容时，要正确地掌握概念，学会严谨地推导和 计算。
重点、难点解读
( x 2 x 1)[( x 1)q1 ( x 3 ) x( x 1)q2 ( x 3 )] (r2 x r1 )
由 x 2 x 1 | f ( x 3 ) xg( x 3 ) 得 r2 x r1 0 所以 r1 r2 0 ，故 x 1 | f ( x) ， x 1 | g ( x) 。
x （ m, n, p 是 例9、 证明 x x 1 x x 三个任意的正整数）。 分析 用带余除法及待定系数法不易证明时，可以 考虑采用因式定理来证明，即 x a f x 的充分必要 条件是 f a 0. 证 可求得 x 2 x 1 的根为
2 3m
2 2 由归纳假设当 ( x x 1) | f n 1 ( x) 时，必有 ( x x 1) | f n ( x) 。
高等代数多项式
PART 2
多项式的运算
2
多项式的运算
多项式的运算包括加 法、减法、乘法和除
法。具体来说
2
多项式的运算
加法
减法
乘法
除法
将两个多项式相加， 即将它们的对应项 系数相加，例如
$(3+4x)+(+6x)=8
+10x$
将两个多项式相减， 即将它们的对应项 系数相减，例如
$(3+4x)-(5+6x)=-
极值点是指函数 值从正值变为负 值或从负值变为
正值的地方
对于一个给定的多项 式函数$f(x)$，我 们可以找到其极值点
和最值点
这些点的求解通 常需要使用微积
分的方法
最值点是指函数 在其定义域内取 得最大值或最小
值的点
PART 6
多项式的泰勒展 开式
6
多项式的泰勒展开式
1
泰勒展开式是一种将一个 函数表示为无穷级数的方
数的等式。如果两个多项式函数满
足贝祖等式，则它们具有相同的根
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2023
PART 3
多项式的零点和 根
3
多项式的零点和根
零点：多项式的零点是指使得多项式等于0 的$x$的值。对于一个给定的多项式$f(x)$， 如果存在一个数$a$使得$f(a)=0$，那么我
们说$a$是多项式的根或零点
根：多项式的根是指使得多 项式等于0的数。在高等代数 中，我们通常使用根或零点
来表示同一个概念
1
2
PART 4
多项式的因式分 解
多项式理论及多项式除法
分解因式中的两个有用的结论：
Polynomial Long Division
多项式的长除法 分解因式中的两个有用的结论：
介绍两个多项式的除法
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称为有理函数
Q P ( (x x ) ) b a 0 0 x x m n b a 1 1 x x m n 1 1 b a m n 1 1 x x a b n m
其中m、n都是非负整数；a0 ,a1,,an及 b0 ,b1 ,,bm都是实数，并且a0 0，b0 0.
3
13 3 1
4
4
4 13
12
1
有理函数中的假分式也可以通过长除法化为多
项式与真分式的和。
有理函数中的假分式也可以通过长除法化为多
项式与真分式的和。
例如
x3 4x2 3x2 4x2 2x1
x 4
7 8
3 x 23
2 4x2
8 2x 1
假分式
多项式 真分式
x 7
商
48
4x2 2x1 x 3 4 x 2 3 x 2
Polynomial Long Division （1）怎样判断一个多项式是否可约？
（1）怎样判断一个多项式是否可约？ 中学教材规定：“把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解”。 对于（1）高等代数作出了回答：在复数域中，一次多项式是既约的，任何次数大于1的多项式都是可约的； 第讲多项式理论及多项式除法 特别地：一个一元n次多项式，如果对于变数字母的任意取值，以标准形式给出的多项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等于0， 这个多项式称为0多项式。 特别地：一个一元n次多项式，如果对于变数字母的任意取值，以标准形式给出的多项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等于0， 这个多项式称为0多项式。 分解因式中的两个有用的结论： 要求：“因式分解要进行到不能再分解为止。 定理2：数域F上以标准形式给出的两个多项式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项分别具有相同系数的同类项。
高代选讲第1章、多项式
第一章多项式（讲授7课时）一、教学目的：1、掌握数域的定义，会判定一个代数系统是否是多项式；2、正确理解数域p上的一元多项式的定义，多项式相乘，次数，一元多项式环等概念。
3、掌握多项式的运算及规律。
4、掌握整除的定义，熟练掌握带余除法及整除的性质。
5、正确理解和掌握两个（或者若干个）多项式的最大公因式，互素等概念及性质。
能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。
6、正确理解和掌握不可约多项式的定义与性质及判定。
7、正确理解和掌握k重因式的定义。
8、掌握余数定理，多项式的根及性质。
9、理解代数基本定理，熟练掌握复系数多项式分解定理及标准分解式。
二、教学内容：1、数域、一元多项式、多项式根、多项式整除。
2、最大公因式、不可约多项式、重因式、复系数与实系数多项式的因式分解。
三、教学重点：多项式整除及性质、多项式互素、最大公因式、重因式、不可约多项式判定及多项式的标准分解四、教学难点：多项式互素、最大公因式、不可约多项式及多项式分解五、教学方法：启发讲授六、教学过程：(一)、多项式整除基本知识点1、定义：设(),()[]f x gxhxg x f x。
=，则称()|()∃∈，使()()()hx Pxf xg x P x∈，若()[]2、带余除法定理：(),()[],()0∃∈，有q x r x P x∈≠，则(),()[]f xg x P x g x=+f xg x q x r x()()()()其中()0∂<∂。
r x=，或(())(())r x g x3、整除的性质：(1)、()|(),()|()()()⇒=；f xg x g x f x f x cg x(2)、()|(),()|()()|()f x g x g x h x f x h x ⇒； (3)、11()|(),1,,()|(()()()())i n n f x g x i n f x u x f x u x f x =⇒++；(4)、整除与系数域大小无关；(5)、()|()()g x f x g x ⇔的所有根都是()f x 的根(含重根)常见的n 次单位根。
多项式理论及多项式除法
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多项式方程
多项式插值是一种通过已知数据点构造多项 式函数的方法，使得该多项式函数能够精确 通过所有数据点。它在数值分析、计算机图 形学等领域有重要应用。
多项式拟合
多项式拟合是一种通过最小二乘法等优化方 法寻找最佳拟合多项式的过程。它在数据分 析、统计学等领域有广泛应用，如回归分析 中的多项式回归模型。
数值计算问题中应用举例
多项式求根
通过求解多项式方程找到其根，这在数学、物理和工程 等领域中是一个基本问题。例如，求解二次方程、三次 方程等。
多项式积分与微分
利用多项式的性质进行积分和微分运算，这在数学分析 、物理建模和工程计算等领域有广泛应用。
优化问题中应用举例
多项式优化
通过优化多项式函数的系数或结构， 实现对目标函数的优化。这种方法在 机器学习、模式识别和图像处理等领 域有广泛应用。
多项式函数
多项式函数是以多项式为解析式的函数，如 $f(x) = x^2 + 2x - 3$。多项式函数具有连 续、可导等良好性质，在数学分析等领域有
广泛应用。
多项式插值
多项式方程是形如 $f(x) = 0$ 的方程，其中 $f(x)$ 是多项式。求解多项式方程是数学研 究的重要课题之一，与代数、几何等领域密
一元多项式加减法
要点一
一元多项式加法
两个一元多项式相加，只需要将它们的对应项系数相加即 可。例如，$(2x^2+3x+1)+(x^2+2x+3)=3x^2+5x+4$ 。
要点二
一元多项式减法
两个一元多项式相减，只需要将它们的对应项系数相减即 可。例如，$(2x^2+3x+1)-(x^2+2x+3)=x^2+x-2$。
高等代数教案(北大版)第一章 多项式
第一章多项式多项式理论是高等代数研究得基本对象之一，在整个高等代数课程中既相对独立，又贯穿其它章节，换句话说，多项式理论得讨论可以不依赖于高等代数得其他内容而自成体系，却可为其它章节的内容提供范例和理论依据。
本章主要讨论多项式的基本概念和基本性质，包括数域的概念、一元多项式的定义与运算规律、整除性、因式分解及根等概念。
教学目的：通过本章的学习，要使学生了一元多项式及运算、整除、最大公因式、(不)可约多项式、重因式等基本概念，领会因式分解定理的基本内容及复数域和实数域上的因式分解的具体内容，掌握多项式的最大公因式的求法、因式分解的方法、重因式的求法及有理系数多项式的可约性的判定。
教学重点：最大公因式的求法、因式分解定理及其应用教学难点：有理系数多项式教学方法与手段：1. 理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多媒体。
2．习题课以多媒体教学为主。
教学内容：§1 一元多项式的定义和运算1. 多项式的定义令R是一个数环, 并且R含有数1, 因而R含有全体整数。
在这一章里, 凡是说到数环, 都作这样的约定, 不再每次重复。
先讨论R上一元多项式。
定义1 数环R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式a0+a1x+ a2x2+…+ a n x n (1)这里n是非负整数而a0, a1, a2, …, a n都是R中的数。
在多项式 (1)中, a0叫做零次项或常数项, a1x叫做一次项, 一般地，a i x i叫做第i次项, a i叫做第i次项的系数。
一元多项式常用符号f(x), g(x), …来表示。
2. 相等多项式:定义2 若是数环R上两个一元多项式f(x)和g(x)有完全相同的项, 或者只差一些系数为零的项, 那么f(x)和g(x)说是相等;f (x)=g(x)定义3a n x n叫做多项式a0+a1x+ a2x2+…+ a n x n, ( a n≠0)的最高次项，非负整数n叫做多项式a0+a1x+…+ a n x n, (a n≠0)的次数。
高代多项式
第一章 多项式多项式是高等代数的重要组成部分一、基本概念1、一元多项式定义 设n 是一非负整数，形式表达式()111n n n n 0f x a x a x a x a −−=++++", (1)其中全属于数域n a a a ,,,10"P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域上的一元多项式.P 在多项式（1）中，称为i 次项，称为次项的系数. 称为常数项. 如果，那么称为多项式的首项，称为首项系数，n 称为多项式的次数.多项式的次数记为.系数全为零的多项式称为零多项式. 零多项式是唯一不定义次数的多项式.i i x a i a i 0a 0≠n a n n x a n a )(x f ))((x f ∂2、整除 设(),()[]f x g x P x ∈,若存在()[]h x P x ∈，使)()()(x h x g x f =，则称整除.记，其中称为的因式.)(x g )(x f )(|)(x f x g )(x g )(x f 3、最大公因式 设(),(),()[]f x g x d x P x ∈，若(i),即为与的一个公因式；()|(),()|()d x f x d x g x )(x d )(x f )(x g (ii)对与的任一公因式，都有，)(x f )(x g ()h x ()|()h x d x 则称为与的最大公因式.把首系数为1的最大公因式记作)(x d )(x f )(x g ()(),()f x g x .4、互素 设(),()[]f x g x P x ∈，若与除零次多项式外没有其它的公因式，则称与互素，记为())(x f )(x g )(x f )(x g (),()1f x g x =上述两个定义可推广到n 个多项式的情形.需要注意的是，个多项式(2n n >)12(),(),()n f x f x f x "互素时，它们不一定两两互素.5、不可约多项式 中次数大于零的多项式不能表示成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积，则称为数域上不可约多项式.换句话说，在中只有平凡因式.[]P x )(x p P )(x p )(x p P )(x p []P x 对此需注意两点，其一对零和零多项式不定义它们的可约性；其二多项式的可约性依赖于系数域.6、重因式 设是数域上的不可约多项式，且，但， )(x p P )(|)(x f x p k )(|)(1x f x p k /+则称是的重因式.特别地，当)(x p )(x f k 1k =时，称是的单因式.)(x p )(x f 7、多项式的微商 设1110()[]n n n n f x a x a x a x a P x −−=++++∈"，规定它的微商(也称导数或一阶导数)是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n ++−+=′−−−"此定义不是用函数与极限概念给出的，而是借用于数学分析中函数的导数形式的定义.上述诸定义都是把多项式看作形式表达式给出的，并且定义2～7都限制在数域上一元多项式环中讨论.多项式的重要性在于它是最基本的函数，用它可去逼近一个比较复杂的函数，这对数学分析、微分方程等学科，在理论和实际求解上有重要意义.因此下面我们将从函数观点来讨论多项式.P []P x 8、多项式函数 设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=−−" (2)是中的多项式，][x P α是中的数，在(2)中用P α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++−−ααα"称为当)(x f α=x 时的值,记为)(αf .这样，多项式就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.)(x f 9、本原多项式 系数互素的整系数多项式.二、基本理论1、次数定理：设(),()[]f x g x P x ∈(i) )))(()),((max())()((x g x f x g x f ∂∂≤+∂(ii) 若，则0)(,0)(≠≠x g x f 0)()(≠x g x f ，且))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂2、整除性质：(1) 任一多项式都能整除零多项式0.)(x f (2) ，,都有∀0c ≠∀()[]g x P x ∈|(),()|()c f x cf x f x(3) 若，则.(整除的传递性))(|)(),(|)(x h x g x g x f )(|)(x h x f (4) 若，则)(|)(),(|)(x f x g x g x f )()(x cg x f =,其中c 为非零常数.(5) 若，则()|(),()|()h x f x h x g x ()()|()()h x f x g x ±(6) 若，对，则()|()h x f x ∀()[]g x P x ∈()|()()h x f x g x (7) ，对都有()|()i h x f x ∀()[]i g x P x ∈()11()|()()()()r r h x f x g x f x g x ±±"，其中 1,2,,i r =".3、带余除法: 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使][x P )(x f )(x g 0)(≠x g ][x P )(),(x r x q )()()()(x r x g x q x f += (3)成立，其中或者))(())((x g x r ∂<∂0)(=x r ，并且这样的是唯一决定的. )(),(x r x q 多项式和称为除的商式和余式.)(x q )(x r )(x g )(x f 因此得到两个推论(1)()|()()0g x h x r x ⇔=(2) 多项式的整除性不因数域的扩大而改变.4、最大公因式存在唯一定理：中任意两个多项式与一定有最大公因式，除相差一个零次因式外，与的最大公因式是唯一的.][x P )(x f )(x g )(x f )(x g 需注意的是两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变，但它们的公因式却不然.5、倍式和定理: 对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使][x P )(x f )(x g ][x P )(x d )(x d )(x f )(x g ][x P )(),(x v x u )()()()()(x g x v x f x u x d +=6、互素判别: 中两个多项式，互素][x P )(x f )(x g ⇔1))(),((=x g x f ⇔(),()[]u x v x P x ∃∈,使1)()()()(=+x g x v x f x u互素性质：(1) 如果，且,那么.1))(),((=x g x f )()(|)(x h x g x f )(|)(x h x f (2) 如果,1))(),((1=x g x f 1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f (3) 如果，且)(|)(),(|)(21x g x f x g x f 1))(),((21=x f x f ,那么. )(|)()(21x g x f x f 此性质可推广大有限多个多项式的情形.7、不可约多项式的判别：在上不可约的充要条件是在中任一分解式)(x f P )(x f ][x P 12()()()f x f x f x =中的因式1()f x 与2()f x 总有一个是零次的 不可约多项式的性质:(1) 若是不可约多项式，则)(x p )0)((≠c x cp 也是不可约多项式.即不可约多项式的相伴元仍是不可约的.(2) 若是不可约多项式，对)(x p ∀()[]f x P x ∈，则有或者或者)(|)(x f x p 1))(),((=x f x p (3) 若是不可约多项式，对于)(x p ∀(),()[]f x g x P x ∈，有，则或)()(|)(x g x f x p )(|)(x f x p )(|)(x g x p 8、多项式因式分解唯一定理：数域上次数的多项式都可以唯一地分解成数域P 1≥)(x f P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ""==,那么必有，并且适当排列因式的次序后有t s =s i x q c x p i i i ,,2,1,)()("==.其中是一些非零常数.),,2,1(s i c i "=一般地有(4))()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r "=其中其中c 是的首项系数，是互不相同的首项系数为1的不可约多项式，而是正整数.这种分解式称为的标准分解式或典型分解式.)(x f )(,),(),(21x p x p x p s "s r r r ,,,21")(x f9、重因式的判别：(1) 如果不可约多项式是的一个重因式,那么是的重因式.)(x p )(x f )1(≥k k )(x p )(x f ′1−k (2) 如果不可约多项式是的一个重因式, 那么是，,…,)的因式,但不是的因式. )(x p )(x f )1(≥k k )(x p )(x f )(x f ′()1(x f k −)()(x f k 特别，当时不是的因式.反之，若，且为的重因式，则是的重因式1k =)(x p )(x f ′()|()p x f x )(x p )(x f ′1k −)(x p )(x f )1(≥k k (3) 不可约多项式是的重因式的充要条件是是与的公因式)(x p )(x f )(x p )(x f )(x f ′(4) 无重因式)(x f 1))(),((=′⇔x f x f .由此可知无重因式不因数域扩大而改变.同时当形如(4)式，则)(x f )(x f ()12'()()()()()(),()s f x q x cp x p x p x f x f x ==" 即与有完全相同的不可约多项式，且都是单因式.()q x )(x f 10、余式定理：设()[]f x P x ∈，P α∈，用x α−除所得余式是常数)(x f ()f α11、因式定理：()()0x f x f αα−⇔=12、中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算. ][x P n )0(≥n P n 13、。
高等代数考研复习[多项式]描述
![高等代数考研复习[多项式]描述](https://img.taocdn.com/s3/m/a157aa777cd184254b3535bf.png)
例5 证明：g(x) 1 x x2 L x2n 能整除
f (x) 1 x4 L x4n 的充分必要条件是： n是偶数.
2.多项式的因式分解与重因式
2.1不可约多项式 1)定义：数域P上一个次数1的多项式 p(x), 如 果不能表成数域P上的两个次数比p(x), 次数低的 多项式的乘积，称 p(x) 为P上的不可约多项式. 2)性质：
g(x) 有n+1重零根.
例8 证明：设 f (x) 是首项系数为1且次数大于 零的多项式.那么 f (x) 是某一不可约多项式的方 幂的充分必要条件是：
g(x) P[x], 必有 ( f (x), g(x)) 1 或对某一正整数m，有 f (x) | gm(x). 例9 设 f1(x), f2(x),L , fn (x), 都是次数不大于n-2 的式系数多项式，证明：对任意数1,2,L ,n 都有
f1(x) f2 (x) | g(x).
c)若 ( f (x), g(x)) 1, (h(x), g(x)) 1, 则
( f (x)h(x), g(x)) 1.
推论：若 ( f (x), g(x)) 1 ( f n(x), gn(x)) 1 例1 证明：( f (x)h(x), f (x)g(x)) ( f (x), g(x))h(x).
x a | f (x) f (a) 0.
当 f (a) 0 时称 a 为多项式 f (x) 的根.
(2)性质：
a) f (x) | f (x); f (x) | 0; c | f (x).
b) f (x) | g(x), 且 g(x) | f (x), 则 f (x) cg(x).
《高等代数》第一章多项式讲稿
《高等代数》第一章多项式讲稿本章教学目的及要求：1．理解和掌握数域，多项式，整除，最大公因式，互素，不可约多项式，本原多项式，重因式，重根等概念；2．掌握多项式的运算性质，带余除法，辗转相除法，会求最大公因式，会将对称多项式化为初等对称多项式的多项式；3．掌握多项式的重因式和重根的判别；4．理解因式分解及唯一性定理及其应用；实系数多项式因式分解定理，复系数多项式因式分解定理。
5．掌握有理系数多项式因式分解与整系数多项式因式分解的关系，掌握整系数多项式有理根的性质，会用艾森斯坦（Eisenstein）判别法判别整系数多项式的不可约性。
本章基本教学内容：§1 数域［本节的教学目的及要求］1．理解数域的定义；2．会用定义证明给定数集是否是数域。
［本节基本教学内容］1．数域的基本概念数是数学的一个最基本的概念。
我们的讨论就从这里开始，在历史上，数的概念经历了一个长期发展的过程，大体上看，是自然数到整数、有理数、然后是实数、再到复数。
这个过程反映了人们对客观世界认识的不断深入。
按照所研究的问题，我们常常需要明确规定所考虑的数的范围。
譬如说，在解决一个实际问题中列出了一个二次方程，这个方程有没有解就与未知量所代表的对象有关，也就是与未知量所允许的取值范围有关。
又如，任意两个整数的商不一定是整数，这就是说，限制在整数的范围内，除法不是普遍可以做的，而在有理数范围内，除法总是可以做的。
因此，在数的不同的范围内同一个问题的回答可能是不同的。
我们经常会遇到的数的范围有全体有理数、全体实数以及全体复数，它们显然具有一些不同的性质，当然，它们也有很多共同的性质，在代数中经常是将有共同性质的对象统一进行讨论。
关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质。
代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的。
有时我们还会碰到一些其它的数的范围，为了方便起见，当我们把这些数当作一个整体来考虑时，常称它为一个数的集合，简称数集。
高等代数--第八章 多项式
r(x)=f(x)-q(x)g(x)
由此可见，如果g(x),r(x)有一个最大 公
因式d(x)，那么d(x)也是f(x),g(x)的一个 最大公 因式。
h
36
定理2 对于P[x]中任意两个多项式 f(x),g(x),在P[x]中存在一个最大公因式d(x)， 且d(x)可以表示成f(x),g(x)的一个线性组合， 即有P[x]中多项式u(x),v(x)使
g ( x ) q 2 ( x ) r 1 ( x ) r 2 ( x )r 2 0
h
25
例题
f 3 x 3 4 x 2 5 x 6 ,g x 2 3 x 1
x2 3x1
|3x34x25x6 | |_3_x_3__9_x2__3_x____ |
3x 13
| 13x28x6 |
|___1_3_x_2__3__9x__1_ |3
f(x)
31x7
(3x13)g(x)(31x7)
h
26
定义５ 数域P上的多项式g(x)称为整除f(x), 如果有数域P上的多项式h(x)使得
f (x) 0 ,那么 g(x)=h(X)
定义4 所有系数在数域P中的多项式的全体，
称为数域P上的一元多项式环，记为P[x],
P称为P[x]的系数域
BACK
h
19
§3 整除的概念
以后讨论都是在某一固定的数域P上的 多项式环中进行。
带余除法 整除 整除的性质
h
20
带余除法
对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其
35
Байду номын сангаас
h
最大公因式的求法
结论：如果有等式
f(x)=q(x)g(x)+r(x)
高等代数中的多项式 基本概念与计算方法
高等代数中的多项式基本概念与计算方法高等代数中的多项式：基本概念与计算方法在高等代数中，多项式是一种重要的数学对象。
它是由各个数乘以一个（或多个）不同幂次的未知数，并加以相应系数得到的代数表达式。
本文将介绍多项式的基本概念以及常用的计算方法。
1. 多项式的定义多项式由一系列的单项式相加或相减而得。
单项式由一个数与若干个未知数的乘积构成，其系数和指数可以是实数或复数。
一个常数也可以看作是只有零个未知数的单项式。
2. 多项式的表示一般来说，多项式的表示形式为：P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0其中，P(x)代表多项式，x是未知数，a_n,...,a_0是系数，n是多项式的次数。
系数可以为实数或复数，次数n是一个非负整数。
3. 多项式的运算（1）多项式的加法和减法：两个多项式相加或相减的规则是将对应的项合并。
例如，给定多项式P(x) = 3x^2 + 2x + 1Q(x) = 2x^2 - x + 4则P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) + (2x^2 - x + 4) = 5x^2 + x + 5（2）多项式的乘法：多项式的乘法是将每一项相乘，并将同类项合并。
例如，给定多项式P(x) = 3x^2 + 2x + 1Q(x) = 2x - 1则P(x) × Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) × (2x - 1) = 6x^3 -1x^2 + 4x - 14. 多项式的因式分解多项式的因式分解在很多应用中都有重要作用。
它是将一个多项式表示为几个较简单的因子相乘的形式。
例如，给定多项式P(x) = x^2 + 4x + 4可以进行因式分解为P(x) = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)^2这里的(x + 2)称为多项式P(x)的因子。
5. 多项式的求值给定一个多项式P(x)，我们可以通过给定的值x来求出P(x)的具体数值。
高代选讲第一章
第一章 多项式一、整除的理论1. 一元多项式：设x 是符号（或文字），n 是一非负整数，形式表达式110,n n n n a x a x a --+++ 其中01,,,n a a a 全属于数域P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式.2. 整除：数域P 上的多项式()g x 称为整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()()()f x g x h x =成立，我们用“()()g x f x ”表示()g x 整除()f x ，用()()†g x f x 表示()g x 不能整除()f x .3. 带余除法：对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中()()()()r x g x ∂<∂或者()0,r x =并且这样的()q x ，()r x 是唯一确定的.4. 最大公因式：设()f x ，()g x 是[]P x 中两个多项式. []P x 中的多项式()d x 称为()f x ，()g x 的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：1) ()d x 是()f x ，()g x 的公因式； 2) ()f x ，()g x 的公因式全是()d x 的因式.5． 互素：[]P x 中两个多项式()f x ，()g x 称为互素（也称互质）的，如果()()(),1f x g x =. 二、性质： 整除：（1）如果()()f x g x ，()()g x f x ，那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数.（2）如果()()f x g x ，()()g x h x ，那么()()f x h x （整除的传递性）. （3）如果()(),1,2,,,i f x g x i r =那么()()()()()()()()1122r r f x u x g x u x g x u x g x +++ 其中()i u x 是数域P 上任意的多项式.（4）对于数域P 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，()()g x f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余子式为零.（5）对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，在[]P x 中存在一个最大公因式()d x ，且()d x 可以表示成()f x ，()g x 的一个组合，即有[]P x 中多项式()(),u x v x 使()()()()().d x u x f x v x g x =+ （6）[]P x 中两个多项式()f x ，()g x 互素的充分必要条件是有[]P x中的多项式()(),u x v x 使()()()() 1.u x f x v x g x +=（7）如果()()(),1f x g x =，且()()()f x g x h x ，那么()().f x h x （8）如果()()1,f x g x ()()2,f x g x且()()121,f x f x =那么()()()12.f f x x g x（9）如果()p x 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式()f x ，()g x ，由()()()p x f x g x 一定推出()()p x f x 或者()()p x g x .二、因式分解理论 1、基本概念：（1）不可约多项式：数域P 上次数1≥的多项式()p x 称为域P 上的不可约多项式，如果它不能表成数域P 上的两个次数比()p x 的次数低的多项式的乘积。
高等代数02多项式
根据定理2.4.2，我们可以得到f(x)的一个唯一确定的分解：
f ( x) = ap1 ( x) p2 ( x)L pr ( x),
(5)
分解式（5）中的不可约多项式，不一定都不相同.若是在分解式 （5）中不可约因式p(x)出现K次并且只出现 k次，那么p(x)叫做 的f(x)一个 k重因式 重因式.一重因式叫做单因式 单因式.重数大于1的因式叫做 单因式 重因式.若不可约因式在p(x)在f(x)的分解式（5）中不出现，我们 重因式 就说p(x)是f(x)的一个零重因式 零重因式。 零重因式 将（5）改写成以下形状： f ( x) = ap k11 ( x) p k2 2 ( x)L p kt t ( x) （6）
定理 2.1.1
≠ 是数环R上两个多项式 上两个多项式， 设f (x)和 g(x)是数环 上两个多项式，并且 f(x） 0,g(x) ≠ 0, 那么
(i )
当（x）+f(x） 0时， f ≠
0 （f ( x) + g ( x)) ≤ max( 0 ( f ( x)), 0 ( g ( x)))
(ii ) 0 f (x)g(x)) =0 ( f (x)) +0 (g(x)). （
§2.4 多项式的分解
我们知道，给了F(X)的任何一个多项式f(x)，那么的任何不为零 的元素c都是f(x)的因式.另一方面，c与f(x)的成绩cf(x)也总是f(x)的因 式.我们f(x)把的这样的因式叫做他的平凡因式 平凡因式. 平凡因式 定义 令f(x)是F[X]的一个次数大于零的多项式.若是f(x)在F[X] f(x)是F[X]的一个次数大于零的多项式.若是f(x)在 的一个次数大于零的多项式 f(x) 中只有平凡因式，f(x)就是说在数域 上不可约. f(x)除平凡 就是说在数域F 中只有平凡因式，f(x)就是说在数域F上不可约.若f(x)除平凡 饮食外， F[X]中还有其它因式 f(x)就是说在 上可约。 中还有其它因式， 就是说在F 饮食外，在F[X]中还有其它因式，f(x)就是说在F上可约。 对于零多项式与零次多项式我们既不能说它们是可约的，也 不能说它们是不可约的。在任一多项式环F[X]中都存在不可约多 项式，因为F[X]的任何一个一次多项式总是不可约的. 注意： 注意：我们只能对给定的数域来谈论多项式可约或不可约
高等代数 第一章 多项式
x1 a1 b1i, x2 a2 b2i, a1, a2 ,b1,b1 Z
那么
x1 x2 (a1 b1i) (a2 b2i) (a1 a2 ) (b1 b2 )i S x1x2 (a1 b1i)(a2 b2i) (a1a2 b1b2 ) (b1a2 a1b2 )i S
x2 1 , ax3, x3 3x 2
x
x 1
都不是多项式。
定义2： f x, g x 是两个多项式，
f x gx
亦最称c高为次首项项，。
除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。 多项式的表法唯一。
方程 a0 a1x L an xn 0 是一个条件等式而不是 两个多项式相等。
定义3： 设 f x a0 a1x L anxn, an 0, 非负整数n称为 f x 的次数，记为：
一、多项式的概念
中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减 法运算的整式）的代数和叫多项式。
例： 4a+3b， 3x2 2x 1, 3 y 1 .
25
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是 形式表达式。
后来又把多项式定义为R上的函数：
f x a0 a1x L anxn
但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中 并没有交代。
ai 称为i次项系数。
高等代数中采用形式观点定义多项式，它在两方 面推广了中学的多项式定义：
1. 这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。 2. 系数可以是任意数域。
例1： f x 1 2x 3x2 9x3 是Q上多项式；
f x 3 2x x2 是R上多项式；
f x 3 ix 5x2 是C上多项式。
附:和号与积号
第二讲多项式理论
3、复合根式的计算
4、根式的恒等变形和化简
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一、有理分式的恒等
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二、根式的定义和意义
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三、复合根式的计算
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四、根式的恒等变形的化简 类型1 多元代数式型
基本思想：观察代数式的结构，转化为基 本对称多项式的形式
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类型2 一元代数式型根式 基本思想：转化为一元代数方程式
4、多项式的因式分解
中学教材规定：“把一个多项式化成 几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式 分解”。要求：“因式分解要进行到不能 再分解为止。”
高等代数中规定因式分解的涵义是： “所谓因式分解是把数域F上的一个多项式 化成几个既约多项式乘积的形式。”
11
关于因式分解理论，有两个基本问题： （1）怎样判断一个多项式是否可约？ （2）如果一个多项式是可约的，如何分解？
43
类型3 一元代数式型 基本思想：降低次数法
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类型4 方程型无理根式 基本思想：构造对偶式、函数等方法，
利用相关性质求解
45
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5、代数代换法
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6、函数型根式——构造几何模型法
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7、三角形代换法
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指数式与对数式
题记
如果计算生命的长短 不以活着的年龄为标准， 而以人的贡献来计算的话， 那么对数的发现将人类的 寿命延长了两倍。
14
定义分析：
1、一个置换实际上是指一个排列；
2、置换的总数共有n!种。
15
判断下列多项式是否是对称多项式
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（2）基本对称函数（基本对称多项式）
多项式理论及其应用
多项式理论及其应用许洋巢湖学院 数学系 安徽 巢湖 238000摘 要多项式是代数学中最基本的对象之一。
它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也会碰到。
本文将介绍一些有关多项式的基本理论以及多项式在矩阵问题，行列式问题和初等数学中的运用。
关键词：多项式；矩阵；行列式AbstractAbstract:polymial is the most basic object of algebra one.It does not but with high times equation,and discussion about the further study algebra and other branches of mathematic may encounter.This paper will intraduce the basic theory of some relevant polynomial in matrix,determinants and polynomial in the application,elementary algebraKeywords:polynomial;matrix;determinants引言：多项式理论是古典代数的主要内容。
多项式的研究源于“代数方程求解”，是最古老的数学问题之一。
16世纪以前，人们对一般的一元二次方程已经有了公式解法，但对于一般的一元二次方程，数学家却束手无策。
16世纪的欧洲数学家们都致力于寻求一般的一元三次方程的求根公式。
1799年，高斯（Garss,1777-1855）在他的博士论文中第一次严格证明了代数基本定理：在复数域中，任何n(n ≥1)次多项式至少有一个根。
经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般解法。
终于在1824年阿贝尔（Galois,1811-1832）引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，这理论被引申为伽罗华理论。
多项式理论
《高等代数》考试大纲（一）多项式理论一元多项式的整除性、带余除法、最大公因式、互素多项式、不可约多项式、多项式的因式分解、重因式等基本概念及其性质；多项式函数；多项式的根（重根）与它的一次因式（重因式）间的关系；多项式是否有重因式的判别法；实、复系数多项式的不可约多项式的形式及标准分解式的形式；有理系数多项式的不可约判定及求整系数多项式的有理根等基本方法。
（二）行列式n级排列的逆序数、对换、奇偶性；n阶行列式的定义、性质；行列式的子式、代数余子式及展开定理；行列式的计算方法；克莱姆法则；Vandermonde行列式；（三）线性方程组n维向量空间；n维向量组的线性相关性；n维向量组的秩、向量组的等价，矩阵的秩等基本概念及性质；Gauss消元法；线性方程组有解的判定定理；线性方程组解的结构（括齐次线性方程组的基础解系定义、求法）。
（四）矩阵矩阵的运算及性质；矩阵的秩；矩阵的初等变换与初等矩阵；矩阵在初等变换下的标准形；矩阵的逆、伴随阵、线性方程组的矩阵形式；行列式乘积定理；；分块矩阵；分块矩阵运算；矩阵和转置、对角阵、三角阵、矩阵单位；矩阵的迹、方阵的多项式；（五）二次型二次型的矩阵表示；二次型的标准形与合同变换；复数域与实数域上二次型的标准形、规范形；惯性定理；实二次型、实对称矩阵正定的充分必要条件；（六）线性空间线性空间的概念；一些重要的线性空间实例，基、维数与坐标；基变换与坐标变换；（七）线性变换线性映射与线性变换的概念、运算；线性变换的矩阵表示；线性变换（矩阵）的特征多项式、特征值与特征向量；线性变换的值域与核；特征子空间;线性变换的不变子空间；线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件，线性变换及矩阵的最小多项式；（八）λ-矩阵λ-矩阵在初等变换下的标准形、不变因子、行列式因子；矩阵相似的条件；数字矩阵或线性变换的不变因子、初等因子、Jordan标准形。
（九）欧氏空间向量内积；欧氏空间的概念及性质，度量矩阵；向量的长度、夹角、正交、距离，柯西一布涅科夫斯基不等式；标准正交基；欧氏空间的子空间的正交补，欧氏空间的同构；欧氏空间的正交变换与对称变换，对称变换与实对称矩阵用正交变换化实对称矩阵为对角阵的方法。
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注 多项式的整除性是 Px 中元素间的一种关系，
不是多项式的运算。整除概念与带余除法有密切的联系， 我们不能用带余除法来定义整除，因为这样定义整除，将 会遗漏零多项式整除零多项式的情形。
4、整除的性质
（1）任一多项式 f x一定整除它自身，即 f x f x; （2）f x 0; 任意多项式都整除零多项式。
f x qxgxrx
其中r x 0 或 r x g x.
2、整除的概念
设 f x, g xPx ，如果存在多项式 hxPx, 使 f x hx g x ，则称 g x整除 f x。
3、整除的充分必要条件
如果 g x 0，则 g x f x的充分必要条件是用 g x
除 f x 所得的余式r x 0.
a,b P, 若 a, b 中有一个为零，则 ab 0 P.
若
ab 0，则 ab
a 1
P.
从而P对乘法封闭。
b
综上所述，P关于加法、减法、乘法、除法都封闭，所 以P是一个数域。
例2、证明：实数域与复数域之间不存在其他的数域。
证 设P是任意一个包含R且不同于R的数域，且P还
包含至少一个复数 a bi b 0 。
（3）零次多项式能整除任一多项式；
（4）零次多项式只能被零次多项式整除； （5）零多项式只能整除零多项式；
（6）如果 g x f x ，则 kg x lf x ，其中 k 为非零
常数， l 为常数；
（7）如果 f x g x ，且 g x h x ，则 f x hx;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（8）如果 f x gi x，又ui x 为任意多项式，
（1） f x g x maxf x,g x; （2） f x g x f x g x.
4、一元多项式环 所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P
上的一元多项式环，记为 Px ，称P为 Px 的系数域。
5、一元多项式环的有关结论
多项式的加、减、乘运算对Px 封闭，且多项式的
加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分 配率，乘法还满足消去律。
（优选）第一讲高等
代数选讲之多项式理 论
重点、难点解读
这部分内容对多项式理论作了较深入、系统、全面 地论述，内容可分为一元多项式与多元多项式两大部分， 以一元多项式理论为主。可归纳为以下四个方面：
（1）一般理论：包括一元多项式的概念、运算、多 项式相等、导数等基本性质。
（2）整除理论：包括带余除法、整除、最大公因式、 互素的概念与性质。
6、注意零多项式和另次多项式的区别。
例1、令
f x x50 x49 x48 x47 x 1 x50 x49 x 1
求 f x 的奇次项系数之和。
解 法1 由于
x51 1 x 1 x50 x49 x48 x47
x51 1 x 1 x50 x49 x 1
由于P是一个数域，所以 i a bi a P. 但 R P,
b
从而对任意实数 a, b 都有 a bi P ，即P包含了全体复数。 故P=C。
二、一元多项式的概念
1、一元多项式的概念
形式表达式
f x anxn an1xn1 a1x a0
称为数域P上文字 x 的一元多项式，其中 a0 , a1, , an P,
P31.4
例3设 f (x)是非零实系数多项式，k 是一个 正整数，且 f ( f (x) f k (x) ，则 f (x) 为零次 多项式或者 f (x) xk 。
三、多项式的带余除法及整除
1、带余除法
定理（带余除法）设 f x, g xPx, g x 0,
则存在唯一的多项式 qx,r xPx, 使
n 是非负整数。当 an 0 时，称多项式 f x的次数为 n.
记为 f x n.
2、多项式的相等关系 设
f x anxn an1xn1 a1x a0
g x bnxn bn1xn1 b1x b0
则
f x g x ai bi i 0,1,2, ,n
3、次数公式
（3）因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解、 重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多 项式不可约的判定等。
（4）根的理论：包括多项式函数、多项式的根、代 数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数 的关系等。
一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分 解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式 存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如 能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一 元多项式的理论。
x 1
两式相乘得 x102 1 x2 1 f x
由于x102 1与 x2 1 无奇次项，从而 f x不可能有奇
次项，故其奇次项系数之和等于零。
法2 因为 f x f x，所以 f x是偶函数，于 是 f x的奇次项系数全为零。故其奇次项系数之和等
于零。
例2、设 f x 为一多项式，若 f x y f x f y
小的数域。
（2）在有理数域与实数域之间存在无穷多个数域； 在实数域与复数域之间不存在其他的数域。
例1、设P是一个数集，有非零数 a P ，且P关于减
法、除法（除数不为零）封闭，证明P是一个数域。
证 因为 a P ，所以 0 a a P,1 a P. a
a,b P, 有 a b a 0 b P, 即P对加法封闭。
对于多元多项式，则要理解 n 元多项式、对称多项 式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的 多项式的方法。
一、数域的判定
1、数域的概念
设P是至少含有两个数（或包含0与1）的数集，如果 P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍是P 中的数，则称P为一个数域。
2、数域的有关结论 （1）所有的数域都包含有理数域，即有理数域是最
则 f x 0 或 f x 1. 证 若 f x 0 ，则证毕。若 f x 0 ，由于 f 2x f x x f x f x f 2 x
所以 f x只能是零次多项式。令 f x A 0 ，又因为 A f 0 f 0 0 f 2 0 A2
所以 A 1，此即 f x 1.