导数小题中构造函数的技巧

则 f ' ( 0) （ A、 2 6
） B、 29 C、 212 D、 215
a 2e a 1 c 1 ，其中 e 是自然对数的底数， b d 1
【例 11】已知实数 a, b, c 满足 那么 (a c) 2 (b d ) 2 的最小值为( A、8 B、10 C、12
f ( x ) e 2 x 的解集为___________
【变式提升】若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ' ( x) 2 f ( x) 4 0, f (0) 1 ， 则不等式 f ( x) e 2 x 2 的解集为___________ 【例 7】 已知函数 f x 在 R 上可导，其导函数为 f x ，若 f x 满足：
3、利用 f ( x ) 与 sin x. cos x 关系构造 【 例 8 】 已 知 函 数 y f x 对 于 任 意 的 x (
, ) 满 足 2 2
f x cos x f x sin x 0 （其中 f x 是函数 f x 的导函数） ，则下列不等式不
成立的是（
）
A、 2 f ( ) f ( ) 3 4
B、 2 f ( ) f ( ) 3 4
C、 f (0) 2 f ( ) 4
D、 f (0) 2 f ( ) 3
【变式提升】定义在 (0, ) 上的函数，函数 f ' ( x) 是它的导函数，且恒有 2
【 例 2 】 设 f ( x ) 是 定义 在 R 上 的 偶 函 数 ，且 f (1) 0 ， 当 x 0 时 ， 有
xf ' ( x) f ( x) 0 恒成立，则不等式 f ( x ) 0 的解集为________________
【例 3】 已知偶函数 f ( x)( x 0) 的导函数为 f ' ( x) ， 且满足 f (1) 0 ， 当x0 时， 2 f ( x) xf ' ( x) ，则使得 f ( x ) 0 成立的 x 的取值范围是___________
, ] ，且 sin sin 0 ，则下列结论正确的是（ ） 2 2
C、 D、 0
B、 2 2
a8 4 ， 【例 10】 等比数列 {an } 中， 函数 f ( x) x( x a1 )( x a2 )...( x a8 ) ， a1 Байду номын сангаас ，
7 月 10 日
1、利用 f ( x ) 与 x 构造；常用构造形式有 xf ( x),
f ( x) ； x
【例 1】 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时， f ( x) xf ' ( x) 0 ，且
f (4) 0 ，则不等式 xf ( x) 0 的解集为____________
【例 4】设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，在 (,0) 上有 2 xf ' (2 x) f (2 x) 0 ， 且 f (2) 0 ，则不等式 xf (2 x) 0 的解集为_________________.
x 2、利用 f ( x) 与 e 构造. ' （1） f ( x ) f ( x ) 类型；
f ( x) f ' ( x) tan x 成立，则（
）
A、 3 f ( ) 2 f ( ) 4 3 C、 2 f ( ) f ( ) 6 4 二、构造具体的函数关系式
【例 9】 , [ A、
B、 f (1) 2 f ( ) sin 1 6 D、 3 f ( ) f ( ) 6 3
)
D、18
【变式提升】 已知实数 a, b 满足 2a 2 5 ln a b 0 ， 则 (a c) 2 (b c) 2 cR ， 的最小值为______________
导数小题中构造函数的技巧 程磊 （一）利用 f ( x ) 进行抽象函数构造 （1）利用 f ( x ) 与 x 构造； （2）利用 f ( x ) 与 e x 构造； （3）利用 f ( x ) 与 sin x, cos x 构造. （二）构造具体函数关系式构造 （1）构造具体函数解决不等式及求值问题； （2）构造具体函数解决导数几何意义问题. （一）利用 f ( x ) 进行抽象函数构造
【例 5】 已知 f ( x) 是定义在 (, ) 上的函数， 导函数 f ' ( x ) 满足 f ' ( x) f ( x) 对于 x R 恒成立，则（ ） B、 f (2) e 2 f (0), f (2014) e 2014 f (0) D、 f (2) e 2 f (0), f (2014) e 2014 f (0) A、 f (2) e 2 f (0), f (2014) e 2014 f (0) C、 f (2) e 2 f (0), f (2014) e 2014 f (0) （2） cf ( x) f ' ( x) 类型； 【例 6】若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ' ( x) 2 f ( x) 0, f (0) 1 ，则不等式
【变式提升】设函数 f ( x ) 满足 x 3 f ' ( x) 3 x 2 f ( x) 1 ln x ，且 f ( e ) 则 x 0 时， f ( x ) （ ） A、有极大值，无极小值 C、既有极大值又有极小值 B、有极小值，无极大值 D、既无极大值也无极小值
1 ， 2e
( x 1)[ f x f x ] 0 ， f (2 x) f x e 2 2 x ，则下列判断一定正确的是（
）
A、 f 1 f 0 C、 f 3 e 2 f 0
B、 f 2 ef 0 D、 f 4 e 4 f 0