高三数学一轮复习---高中数学人教A版必修2《空间中的平行关系》复习课教学设计
高三数学一轮复习空间中的平行关系教案高三全册数学教案
城东蜊市阳光实验学校空间中的平行关系α=，A线面平行的断定定理：假设不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，aα．//b β=⇒．两个平面的位置关系有两种：两平面相交〔有一条公一一共直线〕、两平面平行〕两个平面平行的断定定理：假设一个平面内有两条相交直线都平行////b P a b αα⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭推论：假设一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。
论,,,,,//b P a b a b P a b ααβαβ'''''=⊂⊂=⊂⊂⇒〔2〕两个平面平行的性质〔1〕假设两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；〔2〕假设两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
cb典例解析题型1：一一共线、一一共点和一一共面问题例1．〔1〕如下列图，平面ABD 平面BCD ＝直线BD ，M 、N 、P 、Q 分别为线段AB 、BC 、CD 、DA 上的点，四边形MNPQ 是以PN 、QM 为腰的梯形。
试证明三直线BD 、MQ 、NP 一一共点。
证明：∵四边形MNPQ 是梯形，且MQ 、NP 是腰， ∴直线MQ 、NP 必相交于某一点O 。
∵O ∈直线MQ ；直线MQ ⊂平面ABD ， ∴O ∈平面ABD 。
同理，O ∈平面BCD ，又两平面ABD 、BCD 的交线为BD ，故由公理二知，O ∈直线BD ，从而三直线BD 、MQ 、NP 一一共点。
点评：由条件，直线MQ 、NP 必相交于一点O ，因此，问题转化为求证点O 在直线BD 上，由公理二，就是要寻找两个平面，使直线BD 是这两个平面的交线，同时点O 是这两个平面的公一一共点即可．“三点一一共线〞及“三线一一共点〞的问题都可以转化为证明“点在直线上〞的问题。
〔2〕如下列图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定一一共线。
8.5空间直线、平面的平行-人教A版高中数学必修第二册(2019版)教案
8.5 空间直线、平面的平行-人教A版高中数学必修第二册（2019版）教案一、教学目标1.了解空间直线与空间平面的平行的概念，掌握平行的判定方法。
2.掌握平面与平面、直线与平面平行的判定方法。
3.能够运用平行的概念和判定方法解决相关数学问题。
二、教学重点1.空间直线与空间平面的平行的概念。
2.平行的判定方法。
3.平面与平面、直线与平面平行的判定方法。
三、教学难点1.掌握平面与平面、直线与平面平行的判定方法。
2.能够灵活运用平行的概念和判定方法解决相关数学问题。
四、教学过程1. 导入环节请同学们在笔记本上用自己的话简要概括一下“平行”的概念。
2. 讲解与练习2.1 空间直线与空间平面的平行•平行的概念：在同一个平面内，两条直线不相交，称这两条直线平行；在空间中，一条直线和一个平面不相交，称这条直线和这个平面平行。
•平行的判定方法：方法1：两条直线平行的充要条件是它们的方向向量成比例。
方法2：一条直线和一个平面平行的充要条件是它们的方向向量分别平行。
•练习：请同学们画出一条直线与一个平面的平行示意图，并根据判定方法给出判断过程。
2.2 平面与平面的平行•平面与平面平行的判定方法：方法1：两个平面如果有公共的一条直线与它们的法向量垂直，则这两个平面平行。
方法2：两个平面如果它们的法向量成比例，则这两个平面平行。
•练习：请同学们画出两个平面的平行示意图，并根据判定方法给出判断过程。
2.3 直线与平面的平行•直线与平面平行的判定方法：方法1：如果一条直线在一个平面上，它的方向向量与这个平面的法向量平行，则这条直线与这个平面平行。
方法2：如果一条直线在一个平面上，这个平面的法向量与直线方向向量的矢量积为零，则这条直线与这个平面平行。
•练习：请同学们画出一条直线与一个平面的平行示意图，并根据判定方法给出判断过程。
3. 思考与讨论请同学们思考以下问题：1.为什么平面和平面的平行可以用法向量来判断？2.同一个平面内的两条直线平行的充要条件是什么？4. 总结与拓展请同学们用自己的话总结本节课讲解的所有内容，并想想还有哪些与这次课程相关的问题可以探讨。
人教高中数学必修二A版《空间直线、平面的平行》立体几何初步说课复习(直线与平面平行)
如果_平__面__外___一条直线与___此__平__面__内_______的 一条直线__平__行____，那么该直线与此平面平行
符号语言 _a_⊄_α_，__b_⊂__α_，__且__a_∥__b__ ⇒a∥α
图形语言
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第八章 立体几何初步
■名师点拨 课件
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个人简历：课件/j ia nli/
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用该定理判断直线 a 和平面 α 平行时，必须同时具备三个条件：
(1)直线 a 在平面 α 外，即 a⊄α.
(2)直线 b 在平面 α 内，即 b⊂α.
(3)两直线 a，b 平行，即 a∥b.
栏目 导引
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第八章 立体几何初步
解：过点 E 作 EG∥FD 交 AP 于点 G，连接 CG，连接 AC 交
BD 于点 O，
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连接
FO.
因为 EG∥FD，EG⊄平面 BDF，
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高三数学(文)一轮复习方案课件 第59讲 空间中的平行关系
第59讲 │ 要点探究
(2)方法一：过 D 作 DE⊥AC 于 E，过点 E 作 EF⊥A1C 于 F，
的正切值为
10 15 .
第59讲 │ 要点探究
变式题 [2011·南宁二中月考] 如图 59－5，在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，点 D 是棱 AB 的中点，BC＝1，AA1＝ 3.
(1)求证：BC1∥平面 A1DC； (2)求二面角 D—A1C—A 的大小．
图 59－5
第59讲 │ 要点探究
第59讲 │ 要点探究
[点评] 对图形对称的情况，我们可以采用定义法，即在棱上 选点，因为图形对称，在计算上我们可以简洁．有时我们还要注 意中点的作用．
第59讲 │ 要点探究
变式题 在棱长为 1 的正方体 AC1 中， (1)求二面角 A－B1D1－C 的大小； (2)求平面 C1BD 与底面 ABCD 所成二面角 C1－BD－C 的平面 角大小．
如图所示，因为 BC＝1，AA1＝ 3，△ABC 是等边三角形，所以
O
为
BC
的中点，则
O(0,0,0)，A0，0，
23，C－21，0，0，
பைடு நூலகம்
A10，
3， 23，D41，0， 43，C1－21，
3，0.
第59讲 │ 要点探究
n·C→D＝0， 设平面 A1DC 的法向量为 n＝(x，y，z)，则n·A→1C＝0.
高中数学空间平行关系复习导学案新人教版必修2
必修2第二章§2-5空间平行关系（1）【课前预习】阅读教材P54-57达成下边填空1．直线与平面平行判断定理：（1）定义：，则直线和平面平行（2）判断定理：.，则该直线与此平面平行.图形语言：符号语言为：.2．平面与平面平行判断定理（ 1）定义：（ 2）判断定理：：，则平面和平面平行.，则这两个平面平行.图形语言：符号语言为：.【课初 5 分钟】课前达成以下练习，课前1．已知直线l1、 l 2 ,平面α ,l1∥ l 2 ,5 分钟回答以下问题l1∥α ,那么l2与平面α的关系是（） .A. l1∥α C.l2∥α或l 2B.α D.l2αl 2与α订交2．以下说法（此中a, b 表示直线，表示平面）①若 a∥b， b，则a∥②若 a∥， b∥，则 a∥b③若 a∥b， b∥，则 a∥④若 a∥， b，则a∥ b此中正确说法的个数是（） .个个个个3．以下说法正确的选项是（）.A.一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行B.平行于同一平面的两条直线平行C.假如一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行D.假如一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行4．在以下条件中，可判断平面α与β平行的是（）.A. α、β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C.l 、m是α内两条直线，且 l ∥β， m∥βD.l 、m是两条异面直线，且 l ∥α， m∥α， l ∥β， m∥β重申（笔录）：【课中 35 分钟】边听边练边落实5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F 分别为棱 BC、 C1D1的中点.求证：EF∥平面BB1D1D.6．如图，已知P是平行四边形所在平面外一点，M、N分别是的中点ABCD AB、PC（ 1）求证：MN// 平面PAD；（ 2）若MN BC 4，PA 4 3 ，求异面直线PA与 MN所成的角的大小.7．在正方体ABCD— A1B1C1D1中， M、 N、 P 分别是 C1C、 B1C1、 C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面 A1BD.8．直四棱柱 ABCD A1 B1C1D1中，底面ABCD为正方形，边长为2, 侧棱 A1A 3 ，M、N分别为 A1B1、A1D1的中点， E、 F 分别是 B1C1、 C1D1的中点.（ 1）求证：平面AMN∥平面 EFDB；（ 2）求平面与平面的距离 .AMN EFDB重申（笔录）：【课末 5 分钟】知识整理、理解记忆重点1.2.3.4.【课后 15 分钟】自主落实，未懂则问1．已知a，b是两条订交直线，a∥，则A.b∥B. b 与订交b与的地点关系是（） .C. bαD.b∥或b 与订交2．假如平面是（） . A. 平行C. 平行或订交外有两点 A、B，它们到平面B.订交D.AB的距离都是a，则直线AB和平面的地点关系必定3．假如点M是两条异面直线外的一点，则过点A. 只有一个 B.恰有两个C. 或没有，或只有一个 D.有无数个M且与a， b 都平行的平面（）.4．已知a、b、c是三条不重合直线，、、是三个不重合的平面，以下说法中：⑴ a∥ c，b∥ c a∥ b；⑵ a∥ ，b∥a∥b；⑶ c∥， c∥∥；⑷∥，∥∥；⑸ a∥c，∥ c a∥；⑹ a∥ ，∥a∥.此中正确的说法挨次是.5．P是平行四边形ABCD所在平面外一点， E为 PB的中点， O为 AC，BD的交点.（1）求证：EO‖平面PCD；（2）图中EO还与哪个平面平行？6．已知四棱锥P-ABCD中,底面 ABCD为平行四边形.点 M、N、Q分别在 PA、BD、PD上,且PM： MA=BN： ND=PQ： QD.求证：面 MNQ∥面 PBC.PQMCDNB A。
高中数学 空间中的平行关系学案 新人教A版必修2
专题课：空间中的平行关系班级 姓名 号数一、知识回顾：1.线面平行：（1）定义（2）线面平行的判定定理：（3）线面平行的性质定理：2面面平行：（1）定义：性质：（2）面面平行的判定定理：（3）面面平行的性质定理：二、课前自测：1.已知不重合的直线a,b 和平面,αβ，试判断下列命题的正误。
(1),;a b b a a α⊂⇒ (2),,,a b a b αααβαβ⊂⊂⇒点评：熟记定理，条件缺一不可。
如：线面平行的判定必须指出线不在平面内，等。
2.下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是___ _____(写出所有符合要求的图形序号)．点评：要掌握平行关系的转化，挖掘几何体内线面的几何性质，注意辅助线面的添加。
二、知识梳理：1.平行转化体系：线线平行 线面平行 面面平行2.线线平行的判定方法：线面平行的判定方法：面面平行的判定方法：三、典型例题例.如图，已知在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别是BC ，B 1C 1的中点， 求证：A 1E //平面ADC 1当堂检测： 1111111//.ABC A B C AB AC D BC B BCC A B AC D -=如图，在直三棱柱中，，为中点，四边形是正方形，求证：平面变式（一题多法）：如图，已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面为正三角形，侧棱与底面垂直，点E ，F A B D CA 1 EB 1 C1分别是CC1，BB1上的点，点M是棱AC上的动点，且EC=2FB，当M在何位置时，BM//平面AEF？四、作业：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．测评练习：《空间中的平行关系》。
高中数学 空间平行关系(2)复习导学案 新人教版必修2
必修2 第二章§2-6 空间平行关系（2）【课前预习】阅读教材P58-61完成下面填空1．直线与平面平行性质定理：性质定理：一条直线与一个平面平行， .图形语言：符号语言为： .2．平面与平面平行性质定理：（1）性质定理： .图形语言：符号语言为： .（2）其它性质：①//,//l l αβαβ⊂⇒；②//,l l αβαβ⊥⇒⊥；③夹在平行平面间的平行线段相等.【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1．已知直线l //平面α，m 为平面α内任一直线，则直线l 与直线m 的位置关系是（）. A. 平行 B. 异面C. 相交D. 平行或异面2．下列说法错误的是（ ）A.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的平行.B.平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面C. 若直线a 、b 均平行于平面α，则a 与b 平行D. 夹在两个平行平面间的平行线段相等3．下列说法正确的是（ ）.A. 如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C. 在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D. 如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行4．下列说法正确的是（ ）.A. 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行B. 经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行D. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实5．经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1E∥B1B6．已知正三棱柱的棱长都是a，过底面一边和上、下底面中心连线的中点作截面，求此截面的面积..7．如图，设平面α//平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C ∈α，B、D∈β. 求证：MN//α.αβ，直线AB，CA交于点S，A，C在平面α内，B，D在平面β内，且线段8．已知平面//AS=2cm，BS=4cm，CD=8cm，求线段CS的长度.强调（笔记）：【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点1.2.3.4.【课后15分钟】自主落实，未懂则问1．梯形ABCD中AB//CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（）.A. 平行B. 平行和异面C. 平行和相交D. 异面和相交2．如图：已知l是过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是（）.A. D1B1∥lB. BD//平面AD1B1C. l∥平面A1D1B1D. l⊥B1 C13．设不同的直线a,b和不同的平面α，β，γ，给出下列四个说法：①a∥α，b∥α，则a∥b；②a∥α, a∥β, 则α∥β；③α∥γ，β∥γ，则α∥β；④a∥b,b⊂α,则a∥α.其中说法正确的序号依次是 .4．在正方体''''-中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（）.ABCD A B C DA. '''A BC ACD与与 B. '''BDC B D CC. '''A DC AD C与与 D. '''B D D BDA5．已知在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E、F在PC上，且PE：EF：FC=1：1：1，问在PB上是否存在一点M，使平面AEM∥平面BFD，并请说明理由。
人教A版高中数学必修二第一轮高效复习导学案第二课时空间点、直线、平面之间的位置关系新人教
第二课时平面的基本性质和空间两条直线的位置关系【学习目标】①掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系。
②掌握两条直线平行和垂直关系的有关概念。
【考纲要求】平面及其基本性质为A级要求【自主学习】1．公理1：2．公理2：3．公理3：4．推论1：5．推论2：6 推论3：7 公理4：8 等角定理：9 异面直线定义：[课前热身]1给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1,l2互相平行；④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是 .2对于平面α和直线l，α内至少有一条直线与直线l （用“垂直”，“平行”或“异面”填空）.3若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成部分.4若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c 的位置关系是 .[典型例析]例1 如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线.别为CC1、AA1的中点，画出平面BED1F 与平面ABCD的交线.例3如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点.F四点共面；求证：（1）E，C，D Array 1，（2）CE，D1F，DA三线共点.[当堂检测]1．若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是 .2. 给出下列命题：①若平面α内的直线a与平面β内的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么直线c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b为异面直线，直线b与c平行，则直线a与c异面；③一定存在平面α和异面直线a、b同时平行.其中正确命题的序号是 .3. 已知a，b是异面直线，直线c∥直线a,则c与b的位置关系 .①一定是异面直线②一定是相交直线③不可能是平行直线④不可能是相交直线4．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则说法错误的有（填序号）.①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面[学后反思]____________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________。
高考数学一轮总复习 第八单元 立体几何 第53讲 空间中的平行关系课件 理 新人教A版
答案：C
4．下列命题中不正确的是( ) A. 两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个 平面 B. 两个平行平面同时和第三个平面相交，其交线一定平行 C. 一直线与两平行平面中的一个相交，这条直线必与另一 个相交 D．一直线与两平行平面中的一个平行，这条直线必与另 一个平行
1．下列说法正确的是( ) A．若直线 l 平行于平面α 内的无数条直线，则 l∥α B．若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α C．若直线 a∥b，b⊂α，则 a∥α D．若直线 a⊄α，b⊂α 且 a∥b，那么直线 a∥α
解：A 中缺少 l 在平面 α 外这一条件；直线在平面 α 外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故 B 错；C 中缺少 a 不在平面 α 内这一条件；D 满足线面平 行的三个条件，故选 D.
可得 DF∥GC，DF＝GC， 所以四边形 DFCG 为平行四边 形，则 O 为 CD 的中点． 又 H 为 BC 的中点， 所以 OH∥BD.又 OH⊂平面 FGH，BD⊄平面 FGH， 所以 BD∥平面 FGH.
(方法 2)在三棱台 DEF-ABC 中， 由 BC＝2EF，H 为 BC 的中点，可得 BH∥EF，BH＝ EF， 所以四边形 BHFE 为平行四边形，可得 BE∥HF. 又 BE⊄平面 FGH，HF⊂平面 FGH， 所以 BE∥平面 FGH. 在△ABC 中，G 为 AC 的中点，H 为 BC 的中点， 所以 GH∥AB. 又 GH⊂平面 FGH，AB⊄平面 FGH， 所以 AB∥平面 FGH. 又 AB∩BE＝B，所以平面 FGH∥平面 ABED. 因为 BD⊂平面 ABED，所以 BD∥平面 FGH.
高考数学第一轮复习精讲(课前准备+课堂活动小结+课后练习)空间的平行关系导学案 文 新人教A版
高考数学第一轮复习精讲（课前准备+课堂活动小结+课后练习）空间的平行关系导学案文新人教A版导学目标： 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系．自主梳理1．直线a和平面α的位置关系有________、________、__________，其中________与________统称直线在平面外．2．直线和平面平行的判定：(1)定义：直线和平面没有____________，则称直线和平面平行．(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒________；(3)其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒________.3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒________.4．两个平面的位置关系有________、________.5．两个平面平行的判定：(1)定义：两个平面没有________，称这两个平面平行；(2)判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α；(3)推论：a∩b＝P，a，b⊂α，a′∩b′＝P′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒________.6．两个平面平行的性质定理：α∥β，a⊂α⇒________；α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒________.7．与垂直相关的平行的判定：(1)a⊥α，b⊥α⇒________；(2)a⊥α，a⊥β⇒________.自我检测1．(2011·湖南四县调研)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，a∥β，b⊂β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α2．(2011·烟台模拟)一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l∥α B．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α3．下列各命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④垂直于同一直线的两个平面平行．不正确的命题个数是()A．1 B．2 C．3 D．44．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作()A．0个B．1个C．0个或1个D．1个或2个5．(2011·南京模拟)在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________________.探究点一线面平行的判定例1已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.变式迁移1(2011·长沙调研)在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD.探究点二面面平行的判定例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.变式迁移2已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心．(1)求证：平面G1G2G3∥平面ABC；(2)求S△G1G2G3∶S△ABC.探究点三平行中的探索性问题例3(2011·惠州月考)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD ＝DC ＝12AB ，BC ⊥PC.(1)求证：PA ⊥BC ；(2)试在线段PB 上找一点M ，使CM ∥平面PAD ，并说明理由．变式迁移3如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?转化与化归思想综合应用例 (12分)一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、SC 的中点，P 是SD 上的一动点．(1)求证：BP ⊥AC ；(2)当点P 落在什么位置时，AP ∥平面SMC? (3)求三棱锥B —NMC 的体积．多角度审题 第(1)问的关键是根据三视图得到SD ⊥平面ABCD ，第(2)问是一个开放型问题，可有两种思维方式：一是猜想P 是SD 的中点，二是从结论“AP 平行于平面SMC ”出发找P 满足的条件．【答题模板】(1)证明 连接BD ，∵ABCD 为正方形， ∴BD ⊥AC ，又SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥AC ，∵BD ∩SD ＝D ，∴AC ⊥平面SDB ，∵BP ⊂平面SDB ， ∴AC ⊥BP ，即BP ⊥AC.[4分](2)解 取SD 的中点P ，连接PN ，AP ，MN.则PN ∥DC 且PN ＝12DC.[6分]∵底面ABCD 为正方形，∴AM ∥DC 且AM ＝12DC ，∴四边形AMNP 为平行四边形，∴AP ∥MN.又AP ⊄平面SMC ，MN ⊂平面SMC ，∴AP ∥平面SMC.[8分](3)解 V B —NMC ＝V N —MBC ＝13S △MBC ·12SD ＝13·12·BC·MB·12SD ＝16×1×12×12×2＝112.[12分]【突破思维障碍】1．本题综合考查三视图、体积计算及线面平行、垂直等位置关系，首先要根据三视图想象直观图，尤其是其中的平行、垂直及长度关系，第(1)问的关键是根据三视图得到SD ⊥平面ABCD ，第(2)问是一个开放型问题，开放型问题能充分考查学生的思维能力和创新精神，近年来在高考试题中频繁出现这类题目．结合空间平行关系，利用平行的性质，设计开放型试题是新课标高考命题的一个动向．2．线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方法．1.直线与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质定理．2.平面与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)利用结论：a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β.3.线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化：(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2011·开封月考)下列命题中真命题的个数为()①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．A.1 B．2 C．3 D．42.已知直线a、b、c和平面m，则直线a∥直线b的一个必要不充分的条件是()A.a⊥m且b⊥m B．a∥m且b∥mC.a∥c且b∥c D．a，b与m所成的角相等3.在空间中，下列命题正确的是()A.若a∥α，b∥a，则b∥αB.若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC.若α∥β，b∥α，则b∥βD.若α∥β，a⊂α，则a∥β4.设l1、l2是两条直线，α、β是两个平面，A为一点，有下列四个命题，其中正确命题的个数是()①若l1⊂α，l2∩α＝A，则l1与l2必为异面直线；②若l1∥α，l2∥l1，则l2∥α；③若l1⊂α，l2⊂β，l1∥β，l2∥α，则α∥β；④若α⊥β，l1⊂α，则l1⊥β.A.0 B．1 C．2 D．35.若直线a，b为异面直线，则分别经过直线a，b的平面中，相互平行的有()A.1对B．2对C.无数对D．1或2对二、填空题(每小题4分，共12分)6.(2011·秦皇岛月考)下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．,7.(2011·大连模拟)过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的有______条．8.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点．求证：MN∥平面AA1C1C.10．(12分)(2010·湖南改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．11．(14分)(2011·济宁模拟)如图，四边形ABCD 为矩形，DA ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，BF ⊥平面ACE ，且点F 在CE 上．(1)求证：AE ⊥BE ；(2)求三棱锥D —AEC 的体积；(3)设点M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE.学案43 空间的平行关系自主梳理1．平行 相交 在平面内 平行 相交 2.(1)公共点 (2)a ∥α (3)a ∥β 3.a ∥l 4.平行 相交 5.(1)公共点(3)α∥β 6.a ∥β a ∥b 7.(1)a ∥b (2)α∥β 自我检测1．D 2.D 3.A 4.C 5．面ABC 和面ABD 课堂活动区例1 解题导引 证明线面平行问题一般可考虑证线线平行或证面面平行，要充分利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化．证明如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN . ∵矩形ABCD 和矩形ABEF 全等且有公共边AB ，∴AE ＝BD . 又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ， 又∵PM ∥AB ∥QN ， ∴PM AB ＝EP EA ，QN DC ＝BQ BD ，∴PM AB ＝QN DC. ∴PM 綊QN ，∴四边形PQNM 为平行四边形， ∴PQ ∥MN又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .变式迁移1 证明 取PD 中点F ，连接AF 、NF 、NM . ∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点，∴NF 綊12CD ，AM 綊12CD ，∴AM 綊NF .∴四边形AMNF为平行四边形，∴MN∥AF.又AF⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.例2解题导引面面平行的常用判断方法有：(1)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；关键是利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．证明方法一如图所示，连接B1D1、B1C.∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD.方法二如图所示，连接AC1、AC.∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴AC⊥BD.又CC1⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，∴CC1⊥BD，∴BD⊥面ACC1，又∵AC1⊂面ACC1，∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B，∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN，∴平面PMN∥平面A1BD.变式迁移2(1)证明 如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ，连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD ＝2∶3，PG 2∶PE ＝2∶3，∴G 1G 2∥DE .又G 1G 2不在平面ABC 内，DE 在平面ABC 内， ∴G 1G 2∥平面ABC . 同理G 2G 3∥平面ABC . 又因为G 1G 2∩G 2G 3＝G 2，∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC .(2)解 由(1)知PG 1PD ＝PG 2PE ＝23，∴G 1G 2＝23DE .又DE ＝12AC ，∴G 1G 2＝13AC .同理G 2G 3＝13AB ，G 1G 3＝13BC .∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3， ∴S △G 1G 2G 3∶S △ABC ＝1∶9.例3 解题导引 近几年探索性问题在高考中时有出现，解答此类问题时先以特殊位置尝试探究，找到符合要求的点后再给出严格证明．(1)证明 连接AC ，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E . 在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AD ＝DC ， ∴四边形ADCE 为正方形．∴∠ACD ＝∠ACE ＝45°. ∵AE ＝CD ＝12AB ，∴BE ＝AE ＝CE .∴∠BCE ＝45°.∴∠ACB ＝∠ACE ＋∠BCE ＝45°＋45°＝90°. ∴AC ⊥BC .又∵BC ⊥PC ，AC ⊂平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，AC ∩PC ＝C ， ∴BC ⊥平面P AC .∵P A ⊂平面P AC ，∴P A ⊥BC . (2)解 当M 为PB 的中点时，CM ∥平面P AD .取AP 的中点F ，连接CM ，FM ，DF .则FM綊12AB.∵CD∥AB，CD＝12AB，∴FM綊CD.∴四边形CDFM为平行四边形．∴CM∥DF.∵DF⊂平面P AD，CM⊄平面P AD，∴CM∥平面P AD.变式迁移3解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面P AO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥P A.∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.又PO∩P A＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面P AO，QB∥平面P AO，∴平面D1BQ∥平面P AO.课后练习区1．A[①、②、③错，④对．]2．D[注意命题之间的相互推出关系；易知选项D中，若两直线平行，则其与m所成的角相等，反之却不一定成立，故a、b与m所成的角相等是两直线平行的必要不充分条件．] 3．D[A不正确，由直线与平面平行的判定定理的条件知缺少条件b⊄α；B不正确，由两个平面平行的判定定理的条件，因a、b未必相交，而可能为两条平行直线，则α、β未必平行；C不正确，因有可能b⊂β；D正确，由两个平面平行的定义及直线与平面平行的定义知正确．]4．A[①错，l1⊂α，l2∩α＝A，l1与l2可能相交．②错，l2有可能在平面α内．③错，α有可能与β相交．④错，l1有可能与平面β相交或平行或在平面内．]5．A[如图，a，b为异面直线，过b上一点作a′∥a，直线a′，b确定一个平面β，过a上一点作b′∥b，b与b′确定一个平面α，则α∥β.因为α，β是惟一的，所以相互平行的平面仅有一对．]6．①③解析①∵面AB∥面MNP，∴AB∥面MNP，②过N作AB的平行线交于底面正方形的中心O，NO⊄面MNP，∴AB与面MNP不平行．③易知AB∥MP，∴AB∥面MNP；④过点P作PC∥AB，∵PC ⊄面MNP ，∴AB 与面MNP 不平行． 7.6 解析 如图，EF ∥E 1F 1∥AB ，EE 1∥FF 1∥BB 1，F 1E ∥A 1D ，E 1F ∥B 1D ， ∴EF 、E 1F 1、EE 1、FF 1、F 1E 、E 1F 都平行于平面ABB 1A 1，共6条．8.223a解析如图所示，连接AC ， 易知MN ∥平面ABCD ，又∵PQ 为平面ABCD 与平面MNQP 的交线，∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC ，又∵AP ＝a3，∴DPAD ＝DQCD ＝PQAC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223a .9．证明 设A 1C 1中点为F ，连接NF ，FC ，∵N 为A 1B 1中点，∴NF ∥B 1C 1，且NF ＝12B 1C 1，又由棱柱性质知B 1C 1綊BC ，(4分)又M 是BC 的中点，∴NF 綊MC ，∴四边形NFCM 为平行四边形．∴MN ∥CF ，(8分)又CF ⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ，∴MN ∥平面AA 1C 1C .(12分)10．解 在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .证明如下：如图所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接B 1F ，EG ，BG ，CD 1，FG .因为A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，因此D 1C ∥A 1B .又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B .这说明A 1，B ，G ，E 四点共面，所以BG ⊂平面A 1BE .(6分)因为四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1都是正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B ，因此四边形B 1BGF 是平行四边形，所以B 1F ∥BG .而B 1F ⊄平面A 1BE ，BG ⊂平面A 1BE ，故B 1F ∥平面A 1BE .(12分)11．(1)证明 由AD ⊥平面ABE 及AD ∥BC ，得BC ⊥平面ABE ，BC ⊥AE ，(1分)而BF ⊥平面ACE ，所以BF ⊥AE ，(2分)又BC ∩BF ＝B ，所以AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，故AE ⊥BE .(4分)(2)解 在△ABE 中，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，则EH ⊥平面ACD .由已知及(1)得EH ＝12AB ＝2，S △ADC ＝2 2. (6分)故V D —AEC ＝V E —ADC ＝13×22×2＝43.(8分)(3)解 在△ABE 中，过点M 作MG ∥AE 交BE 于点G ，在△BEC 中过点G 作GN ∥BC 交EC 于点N ，连接MN ，则由CN CE ＝BG BE ＝MB AB ＝13，得CN ＝13CE . 由MG ∥AE ，AE ⊂平面ADE ，MG ⊄平面ADE ，则MG ∥平面ADE .(10分)再由GN ∥BC ，BC ∥AD ，AD ⊂平面ADE ，GN ⊄平面ADE ，得GN ∥平面ADE ，所以平面MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，则MN ∥平面ADE .(12分)故当点N 为线段CE 上靠近点C 的一个三等分点时，MN∥平面ADE.(14分)。
【公开课教案】《空间中的平行关系复习课》教学设计
《空间中的平行关系复习课》教学设计一．概述：本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定定理及其性质定理之后进行的，它蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“线线平行与线面平行、面面平行间互相转化”等数学思想．学好本节知识可帮助学生形成严谨、务实、求真的探索精神，为立体几何的学习和提高打下扎实的基础。
二．教学目标分析：知识与技能：使学生掌握线线平行与线面平行、面面平行的判定定理及其性质定理的本质，充分理解它们之间的内在联系和本质特征，真正掌握将空间问题平面化的技巧。
过程与方法：培养学生的几何识图能力，使他们在读图的同时也能结合所学的定理进行综合应用，在探索解法的过程中掌握定理的本质。
情感、态度与价值观：在体验数学美的过程中激发学生学习兴趣，从而培养学生勤于思考、善于总结的良好品质。
三．学习者特征分析：学生已有的认知基础是已经学过的空间点、直线、平面之间的位置关系和线线平行、线面平行、面面平行的判定定理及其性质定理等知识，也做了一定量的练习，这对本节知识的学习奠定了一定的基础。
学生学习的困难在于对学过的知识未进行梳理、生搬硬套，从而找不到正确的解题突破口。
教学重点：掌握线线平行与线面平行、面面平行的判定定理及其性质定理的区别和联系；教学难点：在于如何利用所学知识将空间问题平面化。
四．教学策略选择与设计：本节课综合运用讲授式、启发式、自主学习、协作学习等各种策略，指导学生进行自主探索学习。
通过质疑、小组交流等环节完成教学，激发学生的学习兴趣和进一步深入学习的欲望，启迪学生的思维，鼓励学生自己总结，使自身的认知结构得到得到提高和发展。
五、教学资源与工具设计：使用多媒体课件进行教学六．教学过程：七、教学反思：。
高考数学一轮复习 专题40 空间中的平行关系教学案 文-人教版高三全册数学教学案
专题40 空间中的平行关系1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题．1．直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥b a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α1．平行直线(1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．(2)基本性质4(空间平行线的传递性)：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(3)定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．(4)空间四边形：顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形．2．直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示 符号表示判定定理不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α性质定理一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b3.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面． (2)判定定理与性质定理文字语言图形表示 符号表示判定定理 一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行a ⊂α，b ⊂α，a ∩b＝P ，a ∥β，b ∥β⇒α∥β性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a ⊂α⇒a ∥β如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b4.与垂直相关的平行的判定 (1)a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ． (2)a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β．高频考点一 直线与平面平行的判定与性质例1、如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD . 证明 (1)连接EC ， ∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，(2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面PAD .又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， ∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面PAD .又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面PAD . 又∵GH ⊂平面OHF ，∴GH ∥平面PAD .【举一反三】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积． 因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内， 所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK＝4＋82×3＝18.【变式探究】(1)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，E 为PD 的中点，AB ＝1，求证：CE∥平面PAB；(2)如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．证明(1)由已知条件有AC＝2AB＝2，AD＝2AC＝4，CD＝2 3.如图所示，延长DC，AB，设其交于点N，连接PN，同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形．∴CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角．又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四边形EFGH为矩形．高频考点二平面与平面平行的判定与性质例2、如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【方法技巧】证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．【变式探究】如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E 、F 、G 分别是BC 、DC 、SC 的中点，求证：(1)直线EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1. 证明 (1)如图，连接SB ，又EG ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.高频考点三 平行关系的综合应用例4、如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大？ 解 ∵AB ∥平面EFGH ，平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG 、EH .∴AB ∥FG ，AB ∥EH ， ∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ， ∴截面EFGH 是平行四边形．设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)． 又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba(a －x )，∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大． 【感悟提升】利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．【变式探究】如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面PAD . 解 如图所示，在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ， 连接AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ，∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ， ∴四边形FEGA 为平行四边形， ∴FE ∥AG .又AG ⊂平面PAD ，FE ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD . ∴F 即为所求的点． 又PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥BC ， 即AF ＝23AB .故点F 是AB 上靠近B 点的一个三等分点．1.【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O 的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（II ）已知EF =FB =12AC =AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析； 【解析】 （II ）解法一：连接'OO ,则'OO ⊥平面ABC ，又,AB BC =且AC 是圆O 的直径，所以.BO AC ⊥ 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由题意得(0,B ，(C -，过点F 作FM OB 垂直于点M ，所以3,FM =可得F故(23,23,0),(0,BC BF =--=-. 因为平面ABC 的一个法向量(0,0,1),n = 所以7cos ,||||m n m n m n ⋅<>==.所以二面角F BC A --的余弦值为7. 解法二：连接'OO ，过点F 作FM OB ⊥于点M ， 则有//'FM OO , 又'OO ⊥平面ABC ， 所以FM ⊥平面ABC,可得3,FM =过点M 作MN BC 垂直于点N ，连接FN ， 可得FN BC ⊥, 2.【2016高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F . 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC 在三角形ABC 中，因为D,E 分别为AB,BC 的中点. 所以//DE AC ，于是11//DE AC又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F 所以直线DE//平面11AC F（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C 3.【2016高考天津理数】如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2.（I）求证：EG∥平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH =23 HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）33（Ⅲ）721【解析】依题意，OF ABCD⊥平面，如图，以O为点，分别以,,AD BA OF的方向为x轴，y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G-------，.（I）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF==-.设()1,,n x y z=为平面ADF的法向量，则11n ADn AF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020xx y z=⎧⎨-+=⎩.不妨设1z=，可得()10,2,1n=，又()0,1,2EG=-，可得1EG n⋅=，又因为直线EG ADF⊄平面，所以//EG ADF平面.O EF C--3（III）解：由23AH HF=，得25AH AF=.因为()1,1,2AF=-，所以2224,,5555AH AF⎛⎫==-⎪⎝⎭，进而有334,,555H⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此2227cos,21BH nBH nBH n⋅<>==-⋅.所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为721.1.【2015高考新课标2，理19】（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D-中,=16AB，=10BC，18AA=，点E，F分别在11A B，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4515． 【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：线AF 与平面α所成角的正弦值为45． 2.【2015江苏高考，16】（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11 .求证：（1）C C AA DE 11//平面；（2）11AB BC ⊥.DD 1C 1A 1 EFA BCB 1【答案】（1）详见解析（2）详见解析 （2）因为棱柱111C C AB -A B 是直三棱柱， 所以1CC ⊥平面C AB ．因为C A ⊂平面C AB ，所以1C CC A ⊥．又因为C C A ⊥B ，1CC ⊂平面11CC B B ，C B ⊂平面11CC B B ，1C CC C B =，所以C A ⊥平面11CC B B ．又因为1C B ⊂平面11CC B B ，所以1C C B ⊥A ．因为1C CC B =，所以矩形11CC B B 是正方形，因此11C C B ⊥B ． 因为C A ，1C B ⊂平面1C B A ，1CC C A B =，所以1C B ⊥平面1C B A ．又因为1AB ⊂平面1C B A ，所以11C B ⊥AB ．3.【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F.（Ⅰ）证明：1//EF B C ；（Ⅱ）求二面角11E A D B --余弦值.【答案】（Ⅰ）1//EF B C ；（Ⅱ）3【解析】AB CD EA 1B 1C 1设面1A DE 的法向量1111(,,)n r s t =.而该面上向量11(0.5,0.5,0),(0,1,1)A E A D ==-，由1111,n A E n A D ⊥⊥得111,,r s t 应满足的方程组11110.50.500r s s t +=⎧⎨-=⎩，(1,1,1)-为其一组解，所以可取1(1,1,1)n =-.设面11A B CD 的法向量2222(,,)n r s t =，而该面上向量111(1,0,0),(0,1,1)A B A D ==-，由此同理可得2(0,1,1)n =.所以结合图形知二面角1E A D B --的余弦值为1212||6||||32n n n n ⋅==⋅⨯. 1．（2014·安徽卷）如图15，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，且AD ＝2BC .过A 1，C ，D 三点的平面记为α，BB 1与α的交点为Q . 图15(1)证明：Q 为BB 1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA 1＝4，CD ＝2，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小． 解： (1)证明：因为BQ ∥AA 1，BC ∥AD ，BC ∩BQ ＝B ，AD ∩AA 1＝A ，所以平面QBC ∥平面A 1AD ，从而平面A 1CD 与这两个平面的交线相互平行，即QC ∥A 1D . 故△QBC 与△A 1AD 的对应边相互平行， 于是△QBC ∽△A 1AD ，所以BQ BB 1＝BQ AA 1＝BC AD ＝12，即Q 为BB 1的中点． (2)如图1所示，连接QA ，QD .设AA 1＝h ，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V 上和V 下，BC ＝a ，则AD ＝2a .图1V 三棱锥Q A 1AD ＝13×12·2a ·h ·d ＝13ahd ，V 四棱锥Q ABCD ＝13·a ＋2a 2·d ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12h ＝14ahd ， 所以V 下＝V 三棱锥Q A 1AD ＋V 四棱锥Q ABCD ＝712ahd . 又V 四棱柱A 1B 1C 1D 1 ABCD ＝32ahd ， 所以V 上＝V 四棱柱A 1B 1C 1D 1 ABCD －V 下＝32ahd －712ahd ＝1112ahd ，故V 上V 下＝117. 故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为π4. 方法二：如图2所示，以D 为原点，DA ，DD 1→分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系．设∠CDA ＝θ，BC ＝a ，则AD ＝2a .因为S 四边形ABCD ＝a ＋2a 2·2sin θ＝6，所以a ＝2sin θ. 图2从而可得C (2cos θ，2sin θ，0)，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫4sin θ，0，4， 所以DC ＝(2cos θ，2sin θ，0)，DA 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫4sin θ，0，4. 2．（2014·北京卷）如图13，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H .(1)求证：AB ∥FG ；(2)若PA ⊥底面ABCDE ，且PA ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长． 图13建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (2，1，0)，P (0，0，2)，F (0，1，1)，BC →＝(1，1，0)．设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·o (AB,sup 6(→))＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0. 令z ＝1，则y ＝－1.所以n ＝(0，－1，1)．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝||f (n ·o (BC,sup 6(→)),|n ||BC →|)＝12. 因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6. 所以PH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝2. 3．（2014·湖北卷）如图14，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ .(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．图14解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1，所以BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .图① 图②(2)如图②，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF ＝12BD . 故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°.连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF ＝MN 知四边形EFNM 是平行四边形．连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点， 所以GH ＝ME ＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝λ2＋12， OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝(2－λ)2＋12， 由OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22， 故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 方法二(向量方法)：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)． 图③BC 1→＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1时，FP ＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)，所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 4．（2014·新课标全国卷Ⅱ）如图13，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D AE C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E ACD 的体积．图1318．解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO .如图，以A 为坐标原点，AB →，AD ，AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A xyz ，则D ()0，3，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12. 设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎨⎧n 1·o (AC,sup 6(→))＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0， 可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量，由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即 33＋4m 2＝12，解得m ＝32. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD 的高为12.三棱锥E ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38. 5．（2014·山东卷）如图13所示，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．图13(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值． 连接AD 1.因为在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1，所以C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，因此，C 1M ∥D 1A .因此CA ⊥CB .设C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz .所以A (3，0，0)，B (0，1，0)，D 1(0，0，3)．因此M ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0， 所以MD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0. 设平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·o (D 1C 1,sup 6(→))＝0，n ·MD 1→＝0，得⎩⎨⎧3x －y ＝0，3x ＋y －2 3z ＝0， 可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)．又CD 1→＝(0，0，3)为平面ABCD 的一个法向量．因此cos 〈CD 1→，n 〉＝CD 1sup 6(→)·n |CD 1→||n |＝55， 所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 方法二：由(1)知，平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB ，点过C 向AB 引垂线交AB 于点N ，连接D 1N . 所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 1.有下列命题：①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确.答案 A2.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A3.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.答案 B4.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )A.①③B.①④C.②③D.②④解析①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图).④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.答案 B5.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α答案 B6.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.解析如图，取CD的中点E.连接AE，BE，由于M，N分别是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分别过M，N，则EM∶MA ＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.因为AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.答案平面ABD与平面ABC7.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.答案 28.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ，∴MN ∥平面B 1BDD 1.答案 点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合)9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论.解 (1)点F ，G ，H 的位置如图所示.又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .10. 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P －ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离. (1)证明 设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点.又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .又因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)解 V ＝16PA ·AB ·AD ＝36AB . 由V ＝34，可得AB ＝32.作AH ⊥PB 交PB 于H . 由题设知AB ⊥BC ，PA ⊥BC ，且PA ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面PAB .又AH ⊂平面PAB ，所以BC ⊥AH ，又PB ∩BC ＝B ，故AH ⊥平面PBC .∵PB ⊂平面PBC ，∴AH ⊥PB ，在Rt △PAB 中，由勾股定理可得PB ＝132， 所以AH ＝PA ·AB PB ＝31313.所以A 到平面PBC 的距离为31313.。
人教A版【新教材】高中数学必修第二册第八章立体几何初步小结及复习教学设计
《空间中平行关系证明》教学设计一、内容分析空间直线与平面的平行关系和证明是立体几何的基本任务，通过本节课对知识点的复习与梳理，为学生构建完整的知识体系。
特别是采用了“执果索因”法以后，让学生能更好的找到了证明空间中平行关系的实质即为线线平行，空间想象能力得到较大的提高。
二、学情分析1.由于这是复习课，学生已经系统学习了立体几何的知识，本节课就是让学生更深入地对空间中几何图形的平行位置和数量关系进行推理和计算；2.学生在学习过程中将会遇到一些问题：不能很好地使用直观图来表示立体图形、不能准确的做出辅助线、证明过程书写不规范等等。
三、教学目标1.认知目标：熟知空间中关于平行关系的公理定理，能流利运用自己的语言正确表述出线与面、面与面平行的相互转化。
2.能力目标：能从空间图形中正确识别出线与面的平行关系，并能依照相关公理定理进行证明。
3.情感、态度、价值观目标：通过相关题目训练，对数学公理、定理等相关科学结论的发现过程有所认识，学会数学证明的基本思想方法，进一步感受数学的逻辑美。
四、核心素养1.逻辑推理：归纳空间中平行关系判定定理和性质定理，线线、线面、面面之间的相互转化。
2.直观想象：空间中几何体的点、线、面的位置关系。
五、教学重难点重点：培养空间想象能力，明确证明空间中的平行关系的一般思想方法，并会应用。
难点：在证明的过程中做辅助线或辅助平面。
六、教学过程设计（一）复习引入（PK 游戏）1.平行于同一平面的两条直线平行。
（ ）2.若直线a 与平面α内无数条直线平行，则α//a 。
（ ）3.若平面βα，都与平面γ相交，且交线平行，则βα//。
（ ）4.如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（ ）（二）知识结构：（三）合作探究设计意图：使学生更明确本节课的主题----三个平行的关系；通过知识点的复习与梳理，为学生构建完整的知识体系。
（四）经典例题（课本P170，第11题）11、如图，在四面体A-BCD 中，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ=3QC 。
空间中的平行关系人教A版高中数学必修第二册课件PPT
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.
8 . 5 . 2空间中 的平行 关系（ 1）-人 教A版 （2019 ）高中 数学必 修第二 册课件 (共21张 PPT)
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1．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB， BC，CD，DA的中点．
[解] (1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD. ∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD， ∴EH∥平面BCD. (2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH.
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3.如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点， M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC ＝l.
第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行（1）
1．基本事实 4
最新人教版高中数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系——复习》教学设计
教学设计本章复习(一)整体设计课型：复习课一、教学目标1．知识与技能(1)使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；(2)通过对知识的梳理，提高学生归纳知识和综合运用知识的能力．2．过程与方法利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系．3．情感态度与价值观学生通过知识的整合、梳理，理解空间点、线、面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题的能力．二、教学重点、难点重点：各知识点间的网络关系；难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化．三、教学设计(一)知识回顾，整体认识1．本章知识回顾(1)空间点、线、面间的位置关系；(2)直线、平面平行的判定及其性质；(3)直线、平面垂直的判定及其性质．2．本章知识结构框图(二)整合知识，发展思维1．刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础．公理1——判定直线是否在平面内的依据；公理2——提供确定平面最基本的依据；公理3——判定两个平面交线位置的依据；公理4——判定空间直线之间平行的依据．2．空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题．3．空间平行、垂直之间的转化与联系：4．观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可．(三)应用举例，深化巩固1．习题2.3A组第1题2．习题2.3A组第6、8题(四)课堂练习：1．选择题(1)如图，BC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，那么图中直角三角形的个数是()A．4B．6C．7D．8(2)直线a与平面α斜交，则在平面α内与直线a垂直的直线…()A．没有B．有一条C．有无数条D．α内所有直线答案：(1)D(2)C2．填空题(1)边长为a的正六边形ABCDEF在平面α内，P A⊥α，P A＝a，则P到CD的距离为________，P到BC的距离为________．(2)AC是平面α的斜线，且AO＝a，AO与α成60°角，OC⊂α，AA′⊥α于A′，∠A′OC ＝45°，则A到直线OC的距离是________，∠AOC的余弦值是______．答案：(1)2a72a(2)144a243．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.分析：A1C在面ABCD上的射影AC⊥BD，A1C在面CC1D1D上的射影D1C⊥C1D，所以A1C⊥BD，A1C⊥C1D，从而有A1C⊥平面BC1D.课后作业1．阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，领会问题解决的思想方法．2．习题2.3B组第2题．本章复习(二)整体设计课型：复习课一、复习目标：1．了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．2．了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．3．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题．二、例题分析：1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.又BD⊄平面B1D1C，B1D1⊂平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.取BB1中点G，连接AG，FG，∵AA1∥BB1，AA1＝BB1，∴AE∥B1G，又∵E为AA1中点，∴AE＝B1G.∴四边形AGB 1E 是平行四边形．从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ，GF ＝AD ， ∴四边形AGFD 是平行四边形． ∴AG ∥DF .∴B 1E ∥DF ，B 1E ⊂面EB 1D 1. ∴DF ∥平面EB 1D 1. ∵FD ∩BD ＝D ， ∴平面EB 1D 1∥平面FBD .说明 要证“面面平行”，只要证“线面平行”，要证“线面平行”，只要证“线线平行”，故问题最终转化为证线与线的平行．2 如图，已知M 、N 、P 、Q 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：(1)线段MP 和NQ 相交且互相平分； (2)AC ∥平面MNP ，BD ∥平面MNP . 证明：(1)∵M 、N 是AB 、BC 的中点， ∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .∵P 、Q 是CD 、DA 的中点， ∴PQ ∥CA ，PQ ＝12CA .∴MN ∥QP ，MN ＝QP ， ∴MNPQ 是平行四边形．∴▱MNPQ 的对角线MP 、NQ 相交且互相平分．(2)由(1)，AC ∥MN .记平面MNP (即平面MNPQ )为α.显然AC ⊄α. 否则，若AC ⊂α，由A ∈α，M ∈α，得B ∈α； 由A ∈α，Q ∈α，得D ∈α， 则A 、B 、C 、D ∈α，与已知四边形ABCD 是空间四边形矛盾． 又∵MN ⊂α，∴AC ∥α，即AC ∥平面MNP . 同理可证BD ∥平面MNP .3 四面体ABCD 中，AC ＝BD ，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，且EF ＝22AC ，∠BDC＝90°，求证：BD ⊥平面ACD .证明：取CD 的中点G ，连接EG ，FG ， ∵E ，F 分别为AD ，BC 的中点， ∴EG 綊12AC ，FG 綊12BD .又AC ＝BD ， ∴FG ＝12AC .∴在△EFG 中，EG 2＋FG 2＝12AC 2＝EF 2.∴EG ⊥FG ， ∴BD ⊥AC .又∠BDC ＝90°，即BD ⊥CD ，AC ∩CD ＝C ， ∴BD ⊥平面ACD .4 如图，P 是△ABC 所在平面外一点，P A ＝PB ，CB ⊥平面P AB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，AN ＝3NB .(1)求证：MN ⊥AB ；(2)当∠APB ＝90°，AB ＝2BC ＝4时，求MN 的长． (1)证明：取PB 的中点Q ，连接MQ ，NQ ， ∵M 是PC 的中点，∴MQ ∥BC . ∵CB ⊥平面P AB ，∴MQ ⊥平面P AB . ∴MQ ⊥AB ，取AB 的中点D ，连接PD ， ∵P A ＝PB ，∴PD ⊥AB .又AN ＝3NB ，∴BN ＝ND .∴QN ∥PD ，∴QN ⊥AB . ∵MQ ∩QN ＝Q ，∴AB ⊥平面MNQ . ∵MN ⊂面MNQ ，∴MN ⊥AB .(2)解：∵∠APB ＝90°，P A ＝PB ，∴PD ＝12AB ＝2.∴QN ＝1.∵MQ ⊥平面P AB ，∴MQ ⊥NQ ，且MQ ＝12BC ＝1.∴MN ＝ 2.课后作业：1．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，经过其对角线BD 1的平面分别与棱AA 1、CC 1相交于E ，F 两点，则四边形EBFD 1的形状为______________．2．已知直线a 、b 和平面M 、N ，且a ⊥M ，那么( ) A ．b ∥M ⇒b ⊥a B ．b ⊥a ⇒b ∥M C ．N ⊥M ⇒a ∥N D ．a ⊄N ⇒M ∩N ≠∅3．如图，P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，(1)求证：MN ∥平面P AD . (2)求证：MN ⊥CD .(3)若∠PDA ＝π4，求证：MN ⊥平面PCD .4．如图，已知SA ，SB ，SC 是由一点S 引出的不共面的三条射线，∠ASC ＝∠ASB ＝45°，∠BSC ＝60°，∠SAB ＝90°，求证：AB ⊥SC .。
人教高中数学必修二A版《空间直线、平面的平行》立体几何初步说课教学课件复习(直线与平面平行)
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2．在已知条件中有线面平行时，就设法应用该条件，即着力寻找过已知直线的平面 与已知平面的交线，也就是找已知直线的平行线．有时为了得到交线还需作出辅助 平面，而且证明与平行有关的问题时，常与基本事实 4 等结合起来使用．
必修第二册·人教数学A版
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2．如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 AA1 和
的中心，则正方体的六个面中与 EF 平行的平面有________个．
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解析：如图正方体四个侧面 AA′B′B，BB′C′C，CC′D′D， DD′A′A 都与 EF 平行．
必修第二册·人教数学A版
∴MBCE＝BBND＝NADF.又 AD＝BC，
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∴ME＝NF.又 XX
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ME∥BC∥AD∥NF，
∴四边形 MEFN 为平行四边形，
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课题：《空间中的平行关系》复习课
一、教学目标：
1、知识与技能目标：
通过复习三个平行的关系，使学生在《立体几何》的证明中能够正确运用定理证明三个平行，从而使学生重新认识学习立体几何的目的，明确立体几何研究的内容；使学生初步建立空间观念，会看空间图形的直观图；使学生知道立体几何研究问题的一般思想方法。
2、过程与方法目标：
通过背定理、小组互相讨论等环节，使学生形成自主学习、语言表达等能力，以及相互协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助图形，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式，完善思维结构，发展空间想象能力。
3、情感、态度、与价值观目标：
在教学过程中培养学生创新意识和数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣并注意在小组合作学习中培养学生的合作精神。
二、教学重点与难点：
重点：培养空间想象能力，明确证明空间中的平行关系的一般思想方法，并会应用。
难点：在证明的过程中做辅助线或辅助平面。
三、教学方法：合作探究教学法、引导式教学法
四、学情分析：
1、由于这是复习课，学生已经系统学习了立体几何的知识，本节课就是让学生更深入
地对空间中几何图形的平行位置和数量关系进行推理和计算；
2、学生在学习过程中将会遇到一些问题：不能很好地使用直观图来表示立体图形、不
能准确的做出辅助线、证明过程书写不规范等等。
五、教学过程：
4. 如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PD的中点，F是线段CD上任意一点(不包括端点)，平面PBF与平面ACE交于直线GH. 求证：PB∥GH.
.AB DE
BC EF =
证明：BE//面α
6.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?
检测题：
如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的中点。
(1)求证：PC//面BDE;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积。